Théorème de Rolle et dérivées n-ièmes : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « théorème de Rolle et dérivées n-ièmes », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur le chapitre de la dérivation des fonctions réelles. Il s’ouvre par une question de cours : vous redémontrerez le théorème de Rolle après avoir établi le lien entre extremum local et dérivée nulle. Ensuite, trois fonctions servent à étudier la dérivabilité en un point, à gauche comme à droite.
La suite du sujet utilise Rolle pour compter les zéros d’un polynôme, puis l’égalité des accroissements finis pour encadrer une somme de racines. Enfin, le problème calcule les dérivées successives d’un produit par la formule de Leibniz. Traitez ce sujet dès la fin du chapitre, avant les développements limités.
Ce qu’évalue le contrôle : théorème de Rolle et dérivées n-ièmes
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Nombre dérivé, théorème de Rolle et TAF (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Redémontrer le théorème de Rolle à partir du théorème des bornes atteintes
- Étudier la dérivabilité en un point par le taux d’accroissement, à gauche et à droite
- Compter les racines réelles d’un polynôme en combinant Rolle et valeurs intermédiaires
- Encadrer une somme grâce à l’égalité des accroissements finis
- Calculer une dérivée n-ième avec la formule de Leibniz et en étudier le signe
Avant de commencer le devoir
Avant d’appliquer Rolle ou les accroissements finis, vérifiez explicitement les trois hypothèses : continuité sur le segment fermé, dérivabilité sur l’intervalle ouvert, égalité des valeurs aux bornes pour Rolle. Pour une dérivabilité en un point, revenez toujours au taux d’accroissement, car les formules de dérivation ne s’appliquent pas en un point de raccord. Dans le problème, écrivez la somme de Leibniz en entier, puis contrôlez votre formule pour n égal à 1.
Le sujet du contrôle : théorème de Rolle et dérivées n-ièmes
Exercice 1 – Question de cours : la preuve de Rolle (3 points)
Dans cet exercice, \(a\) et \(b\) désignent deux réels tels que \(a < b\). On admet par ailleurs le théorème des bornes atteintes : une fonction continue sur un segment y est bornée et atteint ses bornes.
- Énoncer le théorème de Rolle avec toutes ses hypothèses.
- Soit \(g\) une fonction définie sur \(]a\,;\,b[\) et dérivable en un point \(c\) de cet intervalle. On suppose de plus que \(g\) admet un maximum local en \(c\). Montrer que \(g^{\prime}(c) = 0\) en étudiant le signe du taux d’accroissement à gauche puis à droite de \(c\).
- En déduire une démonstration du théorème de Rolle. On distinguera d’abord le cas où la fonction est constante.
- On considère \(\psi(x) = 2 – |2x – 3|\) sur \([0\,;\,3]\). Vérifier que \(\psi(0) = \psi(3)\), puis expliquer pourquoi \(\psi^{\prime}\) ne s’annule pourtant jamais. Quelle hypothèse manque ?
Exercice 2 – Trois études locales (4 points)
Les trois questions sont indépendantes, mais dans chacune on revient à la définition du nombre dérivé par un taux d’accroissement. La figure représente notamment la fonction \(h\) de la première question au voisinage de \(0\).
- Pour tout réel \(x\), on pose \(h(x) = \sqrt{x^2 + x^4}\). Étudier la dérivabilité de \(h\) à gauche et à droite en \(0\). La fonction \(h\) est-elle alors dérivable en \(0\) ? Donner enfin les équations des demi-tangentes à l’origine.
- Pour tout réel \(x\), on pose \(k(x) = (x – 2)\sqrt{|x – 2|}\). Montrer que \(k\) est dérivable en \(2\) et préciser \(k^{\prime}(2)\).
- Pour des paramètres réels \(\alpha\) et \(\beta\), la fonction \(\varphi\), définie sur \(]0\,;\,+\infty[\), vaut \(\varphi(x) = \alpha x^2 + \beta x\) si \(x \leq 1\) et \(\varphi(x) = 2\sqrt{x}\) si \(x > 1\). Déterminer \(\alpha\) et \(\beta\) pour que \(\varphi\) soit dérivable en \(1\), puis donner l’équation de la tangente en ce point.
Exercice 3 – Rolle pour compter des zéros (4 points)
On pose \(P(x) = x^5 – 5x + 2\) pour tout réel \(x\). Sa courbe est aussi tracée ci-dessous sur \([-1{,}8\,;\,1{,}8]\).
- Calculer \(P(-2)\), \(P(-1)\), \(P(0)\), \(P(1)\) et \(P(2)\). Prouver ensuite que \(P\) s’annule au moins trois fois, puis localiser chaque zéro entre deux entiers consécutifs.
- Montrer à l’aide du théorème de Rolle que \(P\) ne peut pas avoir quatre racines réelles distinctes. Conclure.
- Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \([0\,;\,2]\) telle que \(f(0) = 0\), \(f(1) = 1\) et \(f(2) = 4\). En introduisant \(g(x) = f(x) – x^2\), montrer qu’il existe \(c \in \,]0\,;\,2[\) tel que \(f^{\prime\prime}(c) = 2\).
Exercice 4 – Accroissements finis et racines carrées (4 points)
La figure montre la courbe de la fonction racine carrée, la corde qui joint ses points d’abscisses \(1\) et \(4\), et enfin la droite qui touche la courbe en \(c\) avec la même pente que ce segment.
- Énoncer l’égalité des accroissements finis, puis déterminer la valeur exacte du réel \(c\) de la figure.
- Montrer que, pour tous réels \(x\) et \(y\), on a \(|\cos(3x) – \cos(3y)| \leq 3\,|x – y|\).
- Soit \(k\) un entier naturel non nul. Établir l’encadrement \(\dfrac{1}{2\sqrt{k + 1}} < \sqrt{k + 1} – \sqrt{k} < \dfrac{1}{2\sqrt{k}}\).
- Pour \(n \geq 1\), on note \(T_n = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\). Montrer que \(2\sqrt{n + 1} – 2 \leq T_n \leq 2\sqrt{n} – 1\), puis en déduire la limite de \(\dfrac{T_n}{\sqrt{n}}\).
Exercice 5 – Problème : les dérivées successives d’un produit (5 points)
On définit sur \(\mathbb{R}\) la fonction \(f\) par \(f(x) = (x^2 + 1)\,\mathrm{e}^{2x}\). Elle est ainsi de classe \(C^{\infty}\) comme produit de deux fonctions de classe \(C^{\infty}\). On note \(f^{(n)}\) sa dérivée n-ième, avec \(f^{(0)} = f\).
- Énoncer la formule de Leibniz. Montrer ensuite que, pour tout entier \(n \geq 0\) et tout réel \(x\), \[f^{(n)}(x) = 2^{n-2}\,\mathrm{e}^{2x}\,Q_n(x) \quad \text{avec} \quad Q_n(x) = 4x^2 + 4nx + n^2 – n + 4.\]
- Calculer le discriminant de \(Q_n\). Déterminer alors les entiers \(n\) pour lesquels \(f^{(n)}\) garde un signe constant sur \(\mathbb{R}\).
- Vérifier que \(f^{(5)}\) s’annule exactement en \(-3\) et en \(-2\). Justifier sans calcul que \(f^{(6)}\) s’annule au moins une fois dans \(]-3\,;\,-2[\), puis confirmer ce résultat avec les racines de \(Q_6\).
- Exprimer \(f^{(n)}(0)\) en fonction de \(n\), puis calculer \(f^{(10)}(0)\).
Réviser théorème de Rolle et dérivées n-ièmes avant le contrôle
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