Limites et asymptotes par DL : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « limites et asymptotes par DL », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur la formule de Taylor-Young et ses usages. Il commence par trois développements limités obtenus par produit, quotient ou changement de variable. Ensuite, vous lèverez des formes indéterminées, puis vous chercherez des équivalents de différences, là où les erreurs sont fréquentes.
Les deux derniers exercices exploitent les DL pour la géométrie des courbes : une tangente avec la position locale, puis une asymptote oblique avec la position relative de la courbe. Enfin, vous tracerez l’allure de la courbe près de ses asymptotes. Traitez ce sujet à la fin du chapitre, avant d’aborder les espaces vectoriels.
Ce qu’évalue le contrôle : limites et asymptotes par DL
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Taylor-Young, DL usuels et équivalents (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer un développement limité par produit, composition ou changement de variable
- Lever une forme indéterminée en développant numérateur et dénominateur au bon ordre
- Trouver un équivalent simple d’une différence sans soustraire des équivalents
- Déterminer une tangente ou une asymptote oblique et la position relative de la courbe
- Tracer l’allure d’une courbe au voisinage de ses asymptotes
Avant de commencer le devoir
Avant chaque calcul, fixez l’ordre du développement : il dépend du premier terme non nul attendu, souvent celui du dénominateur. Écrivez ensuite les DL usuels avec leur reste, car un terme oublié fausse toute la suite. Pour une asymptote en l’infini, posez \(h = \frac{1}{x}\) afin de revenir en \(0\). Enfin, déduisez la position relative du signe du premier terme non nul, en distinguant \(+\infty\) et \(-\infty\).
Le sujet du contrôle : limites et asymptotes par DL
Exercice 1 – Trois développements limités (3 points)
Dans cet exercice, on demande les développements limités sous forme réduite, avec leur reste écrit en \(o\).
- Donner d’abord le développement limité à l’ordre \(3\) en \(0\) de \(x \mapsto \sqrt{1 + 2x}\,\cos x\). Que remarquez-vous alors pour le terme de degré \(3\) ?
- Calculer ensuite le développement limité à l’ordre \(3\) en \(0\) de \(x \mapsto \frac{1}{1 + \sin x}\).
- En posant \(x = 1 + h\), déterminer enfin le développement limité à l’ordre \(2\) en \(1\) de \(x \mapsto \frac{\ln x}{x}\).
Exercice 2 – Formes indéterminées (4 points)
Pour chaque limite, préciser d’abord la forme indéterminée, puis la lever à l’aide de développements limités.
- Déterminer tout d’abord \(\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{e}^{2x} – 1 – 2x}{x \sin x}\).
- Déterminer \(\lim_{x \to 0} \left(\frac{2}{x^2} – \frac{1}{1 – \cos x}\right)\). On pourra par exemple développer \(1 – \cos x\) à l’ordre \(4\).
- Déterminer \(\lim_{x \to +\infty} \left(\cos\frac{2}{x}\right)^{x^2}\), après avoir écrit cette puissance sous forme exponentielle.
Exercice 3 – Équivalents d’une différence (3 points)
On rappelle que \(\ln(1 + x)\) et \(\sin x\) sont tous deux équivalents à \(x\) en \(0\). Pourtant, leur différence n’est pas négligeable devant \(x^2\).
- Donner un équivalent simple de \(\ln(1 + x) – \sin x\) en \(0\). Expliquer aussi pourquoi la soustraction des équivalents aurait donné un résultat absurde.
- En déduire ensuite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) – \sin x}{x\left(\mathrm{e}^{x} – 1\right)}\).
- Pour \(x \geq 1\), on pose \(b(x) = \sqrt{x^2 + 3x} – x – \frac{3}{2}\). La figure montre la courbe de \(b\) sur \([1\,;\,20]\). Trouver alors un équivalent simple de \(b(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Exercice 4 – Tangente et position locale (4 points)
Pour \(x > -1\), on pose \(k(x) = \frac{\arctan x}{1 + x}\).
- Établir le développement limité de \(k\) à l’ordre \(3\) en \(0\).
- En déduire alors l’équation de la tangente \(T\) à la courbe de \(k\) au point d’abscisse \(0\). Préciser ensuite la position de la courbe par rapport à \(T\) au voisinage de \(0\).
- Pour \(x > -1\) non nul, on pose \(\varphi(x) = \frac{k(x) – x}{x^2}\). Montrer d’abord que \(\varphi\) se prolonge par continuité en \(0\), puis que ce prolongement est dérivable en \(0\). Donner alors la valeur de \(\varphi^{\prime}(0)\).
Exercice 5 – Problème : une asymptote oblique (6 points)
On étudie la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x\ln\left(\mathrm{e} + \frac{1}{x}\right)\). Cependant, la figure montre sa courbe \(\mathcal{C}\) sur \(]0\,;\,6]\) seulement.
- Déterminer tout d’abord l’ensemble de définition \(D\) de \(f\), sous forme d’une réunion de deux intervalles.
- Donner le développement limité à l’ordre \(2\) en \(0\) de \(h \mapsto \ln(\mathrm{e} + h)\). Pour cela, on commencera par mettre \(\mathrm{e}\) en facteur.
- En posant \(h = \frac{1}{x}\), en déduire que \(f(x) = x + \frac{1}{\mathrm{e}} – \frac{1}{2\mathrm{e}^2 x} + o\left(\frac{1}{x}\right)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\).
- Montrer que la droite \(\Delta\) d’équation \(y = x + \frac{1}{\mathrm{e}}\) est asymptote à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Étudier ensuite la position relative de \(\mathcal{C}\) et \(\Delta\) de chaque côté.
- Calculer la limite de \(f\) en \(0\) à droite, puis en \(-\frac{1}{\mathrm{e}}\) à gauche. Quelle asymptote obtient-on ainsi ?
- Tracer enfin l’allure de \(\mathcal{C}\) sur \(D\), avec ses asymptotes, en respectant les positions relatives trouvées.
Réviser limites et asymptotes par DL avant le contrôle
La page contrôles de maths en L1 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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