QCM : Noyau, image et rang en maths sup (MPSI)

Réponse B.

Chaque coordonnée de la bonne réponse est une combinaison linéaire de \(x\) et \(y\), donc l’application est linéaire. En revanche, une application linéaire envoie 0 sur 0 ; or \((x+1,y)\) envoie l’origine sur \((1,0)\). Le produit \(xy\) n’est pas linéaire : doubler le vecteur quadruple ce terme. Enfin, la valeur absolue ne respecte pas la multiplication par \(-1\).

Réponse D.

Le noyau est formé des vecteurs vérifiant \(x+y=0\) et \(y-z=0\). Ainsi \(x=-y\) et \(z=y\), d’où les vecteurs \(y(-1,1,1)\). Le vecteur \((1,-1,1)\) annule la première équation mais donne \(y-z=-2\). De plus, le noyau ne peut pas être nul : une application de \(\mathbb{R}^3\) vers \(\mathbb{R}^2\) a un rang au plus 2, donc un noyau de dimension au moins 1.

Réponse C.

Si \(f(x)=f(y)\), alors \(f(x-y)=0\) par linéarité. Par conséquent, l’injectivité revient à dire que seul 0 a pour image 0. La condition \(f(0)=0\) est vraie pour toute application linéaire, donc elle ne caractérise rien. Par ailleurs, \(\operatorname{Im} f=F\) traduit la surjectivité. Enfin, un noyau de dimension 1 contient des vecteurs non nuls d’image nulle, ce qui empêche l’injectivité.

Réponse A.

L’image réciproque est un sous-espace de \(E\), car \(f\) est linéaire et \(B\) stable par combinaison linéaire. De plus, \(0\in B\), donc tout vecteur du noyau est envoyé dans \(B\) : ainsi \(\operatorname{Ker} f\subset f^{-1}(B)\). L’inclusion inverse est fausse, par exemple avec \(B=F\). Le piège sur la bijectivité confond la notation \(f^{-1}(B)\), toujours définie, avec une application réciproque.

Réponse D.

Fixer les images des vecteurs d’une base, sans aucune contrainte sur elles, fixe une application linéaire et une seule. Comme on impose ici les images de la base canonique, la solution existe et elle est unique : \(f(x,y)=(x,2x+y,3x)\). L’égalité des dimensions n’est requise que pour un isomorphisme, pas pour l’existence. Par ailleurs, l’infinité correspond au cas où l’on ne fixe l’image que d’une partie de la base.

Réponse B.

On décompose dans la base donnée : \((3,1)=2(1,1)+1\cdot(1,-1)\). Par linéarité, \(f(3,1)=2(2,0)+(0,4)=(4,4)\). La réponse \((6,4)\) prend à tort les coordonnées canoniques 3 et 1 comme coefficients. Ensuite, \((4,-4)\) vient d’une erreur de signe sur le second coefficient. Enfin, \((2,4)\) additionne simplement les deux images, sans aucun coefficient.

Réponse B.

On vérifie directement : \((g\circ f)\circ(f^{-1}\circ g^{-1})=g\circ g^{-1}=\operatorname{id}_E\), et de même dans l’autre sens. Ainsi, \(GL(E)\) est stable par composition, et l’inverse d’une composée renverse l’ordre. Le piège \(g^{-1}\circ f^{-1}\) garde l’ordre initial, ce qui est faux sauf si les applications commutent. Par ailleurs, \(f\circ g\) oublie complètement de prendre les réciproques.

Réponse C.

En dimension finie, trouver un isomorphisme revient à comparer les dimensions : il faut et il suffit qu’elles coïncident. Or \(\mathbb{R}_3[X]\) admet la base \((1,X,X^2,X^3)\), donc il est de dimension 4, comme \(\mathbb{R}^4\). La réponse \(\mathbb{R}^3\) confond le degré maximal avec la dimension. De même, \(\mathbb{R}_4[X]\) est de dimension 5. Enfin, l’espace des matrices à 2 lignes et 3 colonnes est de dimension 6.

Réponse C.

Si \(E\) et \(F\) sont de dimensions \(p\) et \(q\), le choix de bases associe à chaque application une matrice à \(q\) lignes et \(p\) colonnes, d’où la dimension \(pq\). Ici, \(\dim\mathbb{R}_2[X]=3\), donc on obtient \(4\times3=12\). La réponse 7 additionne les dimensions au lieu de les multiplier. En outre, 8 prend 2 pour la dimension de \(\mathbb{R}_2[X]\), en oubliant le polynôme constant.

Réponse A.

Le théorème du rang porte sur l’espace de départ, ici de dimension 5. On obtient \(5=\dim\operatorname{Ker} f+3\), donc le noyau est de dimension 2. Sous forme géométrique, la restriction de \(f\) à n’importe quel supplémentaire de ce noyau réalise une bijection sur l’image. La réponse 0 croit à tort que la surjectivité entraîne l’injectivité, ce qui exige des dimensions égales. Enfin, 8 additionne les dimensions au lieu de soustraire.

Réponse D.

Tout polynôme admet une primitive polynomiale, donc \(D\) est surjective. Cependant, les constantes non nulles ont une dérivée nulle : le noyau n’est pas réduit à 0. Ainsi, l’équivalence entre injectivité et surjectivité, valable pour un endomorphisme en dimension finie, tombe en défaut ici, car \(\mathbb{R}[X]\) est de dimension infinie. Le piège « injective » confond la dérivation avec la multiplication par \(X\).

Réponse A.

La relation \(f\circ f=0\) signifie que \(\operatorname{Im} f\subset\operatorname{Ker} f\). Donc \(\operatorname{rg} f\le\dim\operatorname{Ker} f=7-\operatorname{rg} f\), d’où \(\operatorname{rg} f\le3{,}5\), soit au plus 3. Cette valeur est atteinte en envoyant trois vecteurs de base sur trois autres et le reste sur 0. La réponse 4 arrondit au-dessus. Par ailleurs, 0 confond \(f\circ f=0\) avec \(f=0\).