Urnes infinies et formule de Bayes : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « urnes infinies et formule de Bayes », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure se place après le chapitre sur les probabilités dans un univers dénombrable, au cours du semestre 3. Vous y manipulerez d’abord des suites infinies d’essais et le théorème de continuité monotone. Ensuite, un arbre partiel à compléter prépare la formule des probabilités totales, puis une première inversion par la formule de Bayes. Le troisième exercice étend ces outils à une infinité d’urnes, c’est-à-dire à un système complet dénombrable. Enfin, le problème étudie un duel qui peut durer indéfiniment : vous montrerez qu’il s’arrête presque sûrement, puis vous chercherez à le rendre équitable. Aucune variable aléatoire n’est utilisée.
Ce qu’évalue le contrôle : urnes infinies et formule de Bayes
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Probabilités sur un univers dénombrable (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Modéliser une suite infinie d’essais et exprimer un événement comme réunion ou intersection dénombrable
- Calculer une probabilité limite grâce au théorème de continuité monotone
- Appliquer la formule des probabilités totales à un système complet fini puis dénombrable
- Inverser un conditionnement avec la formule de Bayes en s’appuyant sur un arbre partiel
- Démontrer l’indépendance de deux événements par le calcul
Avant de commencer le devoir
Nommez toujours vos événements avant de calculer, car la moitié des points vient de la modélisation. Quand une suite d’événements est croissante ou décroissante, dites-le explicitement avant d’invoquer la continuité monotone. De plus, vérifiez qu’une famille d’urnes forme bien un système complet en sommant ses probabilités. Enfin, contrôlez chaque résultat de Bayes : les probabilités conditionnelles obtenues doivent avoir une somme égale à 1.
Le sujet du contrôle : urnes infinies et formule de Bayes
Exercice 1 – Connexions répétées (4 points)
Un objet connecté tente indéfiniment de joindre un serveur. Chaque tentative réussit avec la probabilité \(\frac{1}{4}\), car le réseau est instable, et ce indépendamment des autres. Ainsi, pour tout entier \(n \geq 1\), on note \(R_n\) l’événement « la tentative numéro \(n\) réussit » et \(E_n\) l’événement « aucune des \(n\) premières tentatives ne réussit ».
- Écrire \(E_n\) à l’aide des \(R_k\), puis calculer \(P(E_n)\).
- Exprimer l’événement \(J\) « l’objet ne réussit jamais » à l’aide des \(E_n\). En déduire \(P(J)\) en justifiant le théorème employé.
- Calculer la probabilité que la première réussite ait lieu lors d’une tentative de numéro pair.
Exercice 2 – Trois serveurs et un fichier abîmé (4 points)
Une plateforme stocke ses fichiers sur trois serveurs : la moitié sur le serveur \(A\), un tiers sur le serveur \(B\) et le reste sur le serveur \(C\). Par ailleurs, un fichier du serveur \(A\) est corrompu avec la probabilité \(0{,}02\), un fichier de \(B\) avec la probabilité \(0{,}05\) et un fichier de \(C\) avec la probabilité \(0{,}08\). On choisit alors un fichier au hasard et on note \(K\) l’événement « le fichier est corrompu ».
- Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessus.
- Montrer que \(P(K) = 0{,}04\), en citant la formule utilisée.
- Le fichier choisi est corrompu. Calculer alors la probabilité qu’il provienne de chacun des trois serveurs.
Exercice 3 – Une infinité d’urnes (5 points)
On dispose d’urnes \(U_1, U_2, U_3, \ldots\) : pour tout \(n \geq 1\), l’urne \(U_n\) contient une boule blanche et \(2^n – 1\) boules noires. D’abord, l’urne \(U_n\) est choisie avec la probabilité \(\frac{1}{2^n}\), puis on tire une boule dans cette urne. Enfin, on note \(B\) l’événement « la boule tirée est blanche ».
- Justifier que les événements « l’urne \(U_n\) est choisie », pour \(n \geq 1\), forment un système complet d’événements.
- Calculer \(P(B)\).
- Sachant que la boule tirée est blanche, déterminer la probabilité que l’urne choisie soit \(U_n\).
- Sachant toujours que la boule est blanche, quelle est la probabilité que le numéro de l’urne soit pair ?
Exercice 4 – Problème : un duel au tir à l’arc (7 points)
Inès et Théo tirent à tour de rôle sur une cible, Inès commençant. À chacun de ses tirs, Inès atteint le centre avec la probabilité \(\frac{1}{3}\) ; Théo l’atteint avec la probabilité \(\frac{1}{2}\). Les tirs sont indépendants, et le premier qui atteint le centre gagne. Par conséquent, un tour est formé d’un tir d’Inès suivi, si nécessaire, d’un tir de Théo.
On note \(I_n\) l’événement « Inès gagne au tour \(n\) », \(T_n\) l’événement « Théo gagne au tour \(n\) » et \(D_n\) l’événement « personne n’a gagné à l’issue des \(n\) premiers tours ».
- Montrer que \(P(D_n) = \left(\frac{1}{3}\right)^n\) pour tout entier \(n \geq 1\).
- Démontrer ensuite que le duel s’arrête presque sûrement.
- Calculer d’abord \(P(I_n)\) et \(P(T_n)\), puis la probabilité que chacun des deux archers gagne le duel.
- Plus généralement, Inès réussit avec une probabilité \(a\) et Théo avec une probabilité \(b\), où \(a\) et \(b\) sont dans \(\left]0, 1\right]\). Montrer qu’Inès gagne avec la probabilité \(\frac{a}{a + b – ab}\), puis trouver une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) pour qu’on puisse choisir \(b\) rendant le duel équitable.
- On revient au cas \(a = \frac{1}{3}\) et \(b = \frac{1}{2}\). Sachant qu’Inès a gagné, quelle est la probabilité qu’elle ait gagné dès son premier tir ?
- On note \(F\) l’événement « le duel se termine au premier tour ». Les événements \(F\) et « Inès gagne » sont-ils indépendants ?
Réviser urnes infinies et formule de Bayes avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours probabilités sur un univers dénombrable ; entraînez-vous sur les exercices probabilités sur un univers dénombrable avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L2 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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