Droites, plans et produit vectoriel en L1 de maths : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Angle et orthogonalité de deux vecteurs

L’espace est muni d’un repère orthonormé. On considère \(\vec{u}=(1,2,-2)\) et \(\vec{v}=(4,0,3)\).

1. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
2. En déduire le cosinus de l’angle géométrique \(\theta\) de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). L’angle est-il aigu ou obtus ?
3. Déterminer le réel \(a\) tel que \(\vec{w}=(a,1,1)\) soit orthogonal à \(\vec{u}\).

Exercice 2 – Plan donné par un point et un vecteur normal

Soit \(\mathcal{P}\) le plan passant par \(A(2,-1,4)\) et de vecteur normal \(\vec{n}=(1,-3,2)\).

1. Écrire une équation cartésienne de \(\mathcal{P}\).
2. Les points \(B(5,0,4)\) et \(C(0,0,6)\) appartiennent-ils à \(\mathcal{P}\) ?
3. Donner une représentation paramétrique de \(\mathcal{P}\).

Exercice 3 – Deux écritures d’une droite du plan

Le plan est muni d’un repère orthonormé.

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \(\mathcal{D}_1\) définie par \(x=3-2t\), \(y=1+5t\), \(t\in\mathbb{R}\).
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\mathcal{D}_2\) d’équation \(4x-3y=7\).
3. Les droites \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_2\) sont-elles parallèles ?

Exercice 4 – Un produit vectoriel et ses contrôles

Soient \(\vec{u}=(2,1,0)\) et \(\vec{v}=(-1,3,4)\).

1. Calculer \(\vec{u}\wedge\vec{v}\), puis vérifier qu’il est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\).
2. Donner sans nouveau calcul \(\vec{v}\wedge\vec{u}\).
3. Calculer l’aire du parallélogramme construit sur \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Exercice 5 – Distances à des droites du plan

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère \(M(4,-2)\).

1. Calculer la distance de \(M\) à la droite d’équation \(5x-12y+3=0\).
2. Calculer la distance de \(M\) à la droite d’équation \(y=2x-1\).

Exercice 6 – Reconnaître un cercle

Le plan est muni d’un repère orthonormé. Déterminer la nature des ensembles suivants.

1. \(\Gamma_1\) d’équation \(x^2+y^2+8x-4y-5=0\).
2. \(\Gamma_2\) d’équation \(x^2+y^2-2x+6y+12=0\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Plan passant par trois points

On donne \(A(1,2,0)\), \(B(0,1,3)\) et \(C(2,0,1)\).

1. Montrer que \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.
2. Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
3. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

Exercice 8 – Projeté orthogonal et symétrique par rapport à un plan

Soit \(\mathcal{P}\) le plan d’équation \(2x-y+2z=4\) et \(M(3,1,-2)\).

1. Calculer la distance de \(M\) à \(\mathcal{P}\).
2. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(\mathcal{P}\).
3. En déduire le symétrique \(M^{\prime}\) de \(M\) par rapport à \(\mathcal{P}\).

Exercice 9 – Droite d’intersection de deux plans

Soient \(\mathcal{P} : x-2y+z=3\) et \(\mathcal{Q} : 2x+y-3z=1\).

1. Montrer que ces plans sont sécants.
2. Donner une représentation paramétrique de leur droite d’intersection \(\Delta\).
3. Calculer le cosinus de l’angle aigu formé par leurs vecteurs normaux.

Exercice 10 – Distance d’un point à une droite de l’espace

Soit \(\mathcal{D}\) la droite passant par \(A(0,1,-1)\) et dirigée par \(\vec{u}=(2,-1,2)\), et soit \(M(3,4,0)\).

1. Calculer \(d(M,\mathcal{D})\) à l’aide du produit vectoriel.
2. Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(\mathcal{D}\), puis retrouver la distance.

Exercice 11 – Une droite parallèle et une droite sécante à un plan

Soit \(\mathcal{P}\) le plan d’équation \(2x+y-z=5\). On considère les droites

\[\mathcal{D}_1 : \begin{cases} x=1+t\\ y=2-t\\ z=3+t \end{cases}\qquad \mathcal{D}_2 : \begin{cases} x=t\\ y=1+2t\\ z=-1+t \end{cases}\qquad (t\in\mathbb{R}).\]

1. Montrer que \(\mathcal{D}_1\) est strictement parallèle à \(\mathcal{P}\), puis calculer la distance de \(\mathcal{D}_1\) à \(\mathcal{P}\).
2. Montrer que \(\mathcal{D}_2\) coupe \(\mathcal{P}\) et déterminer le point d’intersection.

Exercice 12 – Deux droites non coplanaires

Soit \(\mathcal{D}\) la droite passant par \(A(1,0,2)\) et dirigée par \(\vec{u}=(1,1,0)\). Soit \(\mathcal{D}^{\prime}\) la droite passant par \(B(0,3,1)\) et dirigée par \(\vec{v}=(2,0,-1)\).

1. Montrer que \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}^{\prime}\) ne sont pas coplanaires.
2. Déterminer une équation du plan \(\Pi\) contenant \(\mathcal{D}\) et parallèle à \(\vec{v}\).
3. Calculer la distance de \(B\) à \(\Pi\). Expliquer pourquoi tous les points de \(\mathcal{D}^{\prime}\) sont à cette même distance de \(\Pi\).

Exercice 13 – Produit mixte et volume

On note \(O\) l’origine et l’on considère \(A(1,2,0)\), \(B(0,1,3)\), \(C(2,0,1)\).

1. Calculer le produit mixte \([\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]\).
2. En déduire le volume du tétraèdre \(OABC\).
3. Déterminer le réel \(m\) pour lequel les points \(O\), \(A\), \(B\) et \(E(m,1,1)\) sont coplanaires.

Exercice 14 – Section d’une sphère par un plan

Soit \(\mathcal{S}\) l’ensemble d’équation \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0\) et \(\mathcal{P}\) le plan d’équation \(2x-2y+z=1\).

1. Montrer que \(\mathcal{S}\) est une sphère dont on précisera le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\).
2. Montrer que \(\mathcal{P}\) coupe \(\mathcal{S}\) selon un cercle, dont on donnera le centre et le rayon.
3. Déterminer les plans parallèles à \(\mathcal{P}\) et tangents à \(\mathcal{S}\).

Pour approfondir

Exercice 15 – Double produit vectoriel

Soient \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) trois vecteurs de \(\mathbb{R}^3\).

1. Vérifier la formule \(\vec{u}\wedge(\vec{v}\wedge\vec{w})=(\vec{u}\cdot\vec{w})\,\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\,\vec{w}\) lorsque \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont des vecteurs de la base canonique, puis l’étendre au cas général.
2. En déduire l’identité de Jacobi : la somme des trois vecteurs \(\vec{u}\wedge(\vec{v}\wedge\vec{w})\), \(\vec{v}\wedge(\vec{w}\wedge\vec{u})\) et \(\vec{w}\wedge(\vec{u}\wedge\vec{v})\) est nulle.
3. Montrer que l’égalité \((\vec{u}\wedge\vec{v})\wedge\vec{w}=\vec{u}\wedge(\vec{v}\wedge\vec{w})\) équivaut à \((\vec{v}\cdot\vec{w})\,\vec{u}=(\vec{u}\cdot\vec{v})\,\vec{w}\).
4. En déduire un triplet de vecteurs de la base canonique pour lequel cette égalité est fausse.

Exercice 16 – Perpendiculaire commune à deux droites

Soit \(\mathcal{D}\) la droite passant par \(A(1,-1,0)\) et dirigée par \(\vec{u}=(1,2,1)\). Soit \(\mathcal{D}^{\prime}\) la droite passant par \(B(2,1,3)\) et dirigée par \(\vec{v}=(0,1,-1)\).

1. Calculer \(\vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{v}\) et montrer que les droites ne sont pas coplanaires.
2. Déterminer les réels \(s\) et \(t\) tels que, pour \(M=A+s\,\vec{u}\) et \(N=B+t\,\vec{v}\), le vecteur \(\overrightarrow{MN}\) soit orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\).
3. Vérifier que \(\overrightarrow{MN}\) est colinéaire à \(\vec{w}\) et calculer \(MN\).
4. Montrer que \(MN\leqslant PQ\) pour tous \(P\in\mathcal{D}\) et \(Q\in\mathcal{D}^{\prime}\). On pourra décomposer \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NQ}\).

Exercice 17 – Cercle circonscrit à un triangle rectangle

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne \(A(1,1)\), \(B(5,1)\) et \(C(1,7)\), représentés ci-dessous.

1. Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
2. En déduire le centre \(\Omega\) et le rayon du cercle \(\Gamma\) circonscrit au triangle, puis une équation de \(\Gamma\).
3. Déterminer une équation de la tangente à \(\Gamma\) en \(B\).
4. Déterminer les points d’intersection de \(\Gamma\) avec la droite d’équation \(y=x\).

Exercice 18 – Problème du tétraèdre trirectangle

On considère \(O(0,0,0)\), \(A(2,0,0)\), \(B(0,3,0)\) et \(C(0,0,6)\). Le tétraèdre \(OABC\) a trois arêtes deux à deux orthogonales issues de \(O\).

1. Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
2. Calculer la distance de \(O\) au plan \((ABC)\).
3. Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\), puis l’aire du triangle \(ABC\).
4. Calculer le volume du tétraèdre de deux façons : avec la hauteur issue de \(O\), puis avec un produit mixte.
5. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon de la sphère \(\mathcal{S}\) passant par \(O\), \(A\), \(B\), \(C\). Donner une équation de \(\mathcal{S}\).
6. Montrer que l’intersection de \(\mathcal{S}\) et du plan \((ABC)\) est un cercle. Calculer son rayon et son centre.

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «droites, plans et produit vectoriel en L1 de maths : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 224 426 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.