Différentielle et jacobienne en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Calculer des dérivées partielles et des gradients

Calculer les dérivées partielles premières et le gradient de chaque fonction sur son domaine.

1. \(f(x,y)=x^3y^2-4xy+y\) sur \(\mathbb{R}^2\).
2. \(g(x,y)=e^{x}\cos(2y)\) sur \(\mathbb{R}^2\).
3. \(h(x,y,z)=xyz+\ln(1+z^2)\) sur \(\mathbb{R}^3\).
4. \(k(x,y)=\arctan\frac{y}{x}\) sur le demi-plan \(x>0\).

Exercice 2 – Une dérivée directionnelle par la définition

On pose \(f(x,y)=x^2-xy+2y\), \(a=(1,-1)\) et \(v=(3,1)\).

1. Calculer \(D_vf(a)\) en revenant à la définition.
2. Ensuite, retrouver ce résultat à l’aide du gradient de \(f\) en \(a\).

Exercice 3 – Gradient et lignes de niveau d’une ellipse

On considère \(f(x,y)=x^2+4y^2\) et le point \(A=(2,1)\).

1. Calculer \(\nabla f(A)\).
2. Ensuite, donner une équation de la tangente en \(A\) à la ligne de niveau de \(f\) qui passe par \(A\), et vérifier qu’elle est orthogonale au gradient.
3. Enfin, déterminer le vecteur unitaire \(v\) qui rend \(D_vf(A)\) maximale, ainsi que cette valeur maximale.

La figure représente quelques lignes de niveau de \(f\) et le point \(A\).

Exercice 4 – Deux matrices jacobiennes

1. Écrire la matrice jacobienne de \(F(x,y)=\big(xy,\;x+y^2,\;e^{x-y}\big)\) en tout point, puis au point \((1,1)\).
2. De même, calculer la jacobienne et le jacobien de \(G(u,v)=\big(u^2-v,\;uv^2\big)\). Préciser les points où ce jacobien s’annule.

Exercice 5 – Différentielle d’un polynôme par la définition

On pose \(f(x,y)=x^2y\) et \(a=(2,1)\).

1. Développer \(f(2+u,1+w)\) et identifier une application linéaire candidate.
2. Ensuite, montrer par une majoration que le reste est un \(o\big(\|(u,w)\|\big)\), et conclure.

Exercice 6 – Variation d’une fonction sur le cercle unité

On pose \(f(x,y)=x^2+xy\) et \(\gamma(t)=(\cos t,\sin t)\) pour \(t\in\mathbb{R}\).

1. Calculer la dérivée de \(\varphi=f\circ\gamma\) à l’aide de la règle de la chaîne.
2. Ensuite, vérifier le résultat en calculant directement \(\varphi(t)\).
3. Enfin, trouver les valeurs de \(t\) où \(\varphi^{\prime}(t)=0\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Relation d’Euler pour les fonctions homogènes

Soit \(\alpha\) un réel et \(f\) différentiable sur \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), homogène de degré \(\alpha\) : pour tout \(t>0\) et tout point \(X\neq(0,0)\), \(f(tX)=t^{\alpha}f(X)\).

1. En dérivant par rapport à \(t\), montrer que \(x\,\partial_1f(x,y)+y\,\partial_2f(x,y)=\alpha\,f(x,y)\).
2. Ensuite, vérifier cette relation sur \(f(x,y)=\sqrt{x^4+y^4}\), en précisant \(\alpha\).

Exercice 8 – Différentiable ou non à l’origine

Chaque fonction est prolongée par 0 en \((0,0)\). Étudier sa différentiabilité en l’origine.

1. \(f(x,y)=\frac{xy^3}{x^2+y^2}\).
2. \(g(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+2y^2}\).
3. \(h(x,y)=\sqrt{|xy|}\), définie sur \(\mathbb{R}^2\) tout entier.

Exercice 9 – Différentiable sans être de classe C1

On pose \(f(x,y)=(x^2+y^2)\cos\frac{1}{x^2+y^2}\) pour \((x,y)\neq(0,0)\) et \(f(0,0)=0\).

1. Montrer que \(f\) est différentiable en \((0,0)\) et donner \(\mathrm{d}f(0,0)\).
2. Ensuite, calculer \(\partial_1f(x,y)\) pour \((x,y)\neq(0,0)\).
3. Enfin, montrer que \(\partial_1f\) n’est pas continue en l’origine.

Exercice 10 – Une équation aux dérivées partielles linéaire

On cherche les fonctions \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) qui vérifient \(2\,\partial_1f-\partial_2f=0\).

1. Pour une telle \(f\), on pose \(g(u,v)=f(u-2v,\,v)\). Justifier que \(g\) est \(C^1\) et que \(f(x,y)=g(x+2y,\,y)\).
2. Ensuite, exprimer \(\partial_vg\) à l’aide des dérivées de \(f\), et en déduire que \(\partial_vg=0\).
3. Enfin, conclure : décrire toutes les solutions, puis vérifier qu’elles conviennent.

Exercice 11 – Jacobienne d’une composée

On pose \(F(x,y)=(x+y,\;xy)\) et \(G(u,v)=(u^2-2v,\;e^{v})\).

1. Calculer \(J_F(1,2)\) et \(J_G\big(F(1,2)\big)\), puis en déduire \(J_{G\circ F}(1,2)\) par la règle de la chaîne.
2. Ensuite, expliciter \(G\circ F\) et retrouver directement cette matrice.

Exercice 12 – Différentielle nulle et accroissements finis

1. Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\mathbb{R}^n\) et \(f:U\to\mathbb{R}\) différentiable de différentielle nulle en tout point. Montrer que \(f\) est constante.
2. Ensuite, construire une fonction différentiable de différentielle nulle sur l’ouvert \(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x\neq0\}\) qui ne soit pas constante.
3. Enfin, on pose \(f(x,y)=e^{x}\sin y\) sur le carré ouvert \(]0\,;1[^2\). Montrer que \(|f(a)-f(b)|\leqslant e\,\|a-b\|\) pour tous points \(a,b\) de ce carré.

Exercice 13 – Fonctions radiales

Une fonction radiale ne dépend que de la distance \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) à l’origine. On se donne donc \(\varphi\in C^1\big(]0\,;+\infty[\big)\), puis on définit \(f\) hors de l’origine par \(f(x,y)=\varphi(r)\).

1. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) et que \(\nabla f(x,y)=\frac{\varphi^{\prime}(r)}{r}\,(x,y)\).
2. Ensuite, en déduire que \(x\,\partial_2f-y\,\partial_1f=0\).
3. Enfin, trouver toutes les fonctions radiales dont le gradient vaut \(\frac{1}{x^2+y^2}(x,y)\).

Exercice 14 – Différentielle de la norme euclidienne

Sur \(\mathbb{R}^n\), on note \(N(x)=\|x\|^2\) et \(\nu(x)=\|x\|\).

1. En développant \(N(a+h)\), montrer que \(N\) est différentiable en tout point et donner \(\mathrm{d}N(a)\).
2. Ensuite, en déduire que \(\nu\) est différentiable en tout \(a\neq0\), et calculer son gradient.
3. Enfin, montrer que \(\nu\) n’est pas différentiable en 0.

Exercice 15 – Approximation affine et plan tangent

On pose \(f(x,y)=x^3\sqrt{y}\) sur \(\mathbb{R}\times\,]0\,;+\infty[\).

1. Justifier que \(f\) est de classe \(C^1\) et calculer \(\nabla f(2,4)\).
2. Ensuite, écrire le plan qui approche au mieux le graphe \(z=f(x,y)\) près de \((2,4,16)\), c’est-à-dire son plan tangent.
3. Enfin, en déduire une valeur approchée de \((1{,}98)^3\sqrt{4{,}03}\), puis la comparer à la valeur donnée par la calculatrice.

Pour approfondir

Exercice 16 – Une famille de fonctions selon un paramètre

Pour \(\alpha>0\), on pose \(f_\alpha(x,y)=|xy|^{\alpha}\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Montrer que \(f_\alpha\) est continue en l’origine et calculer ses dérivées partielles en ce point.
2. Ensuite, prouver que \(f_\alpha\) est différentiable en l’origine si et seulement si \(\alpha>\frac12\).
3. Enfin, pour \(\alpha>1\), montrer que \(f_\alpha\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\).

Exercice 17 – Accroissements finis pour une fonction vectorielle

1. On pose \(F(t)=(\cos t,\sin t)\). Montrer qu’aucun \(c\in\,]0\,;2\pi[\) ne vérifie \(F(2\pi)-F(0)=2\pi\,F^{\prime}(c)\).
2. Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\mathbb{R}^n\) et \(f:U\to\mathbb{R}^p\) de classe \(C^1\). On suppose \(\|\mathrm{d}f(x)(h)\|\leqslant k\|h\|\) pour tous \(x\in U\) et \(h\in\mathbb{R}^n\). Soit \(a,b\in U\) avec \(f(a)\neq f(b)\). En appliquant le théorème des accroissements finis à \(\psi(t)=\big\langle f\big(a+t(b-a)\big),w\big\rangle\), où \(w=\frac{f(b)-f(a)}{\|f(b)-f(a)\|}\), montrer que \(\|f(b)-f(a)\|\leqslant k\|b-a\|\).
3. Enfin, on pose \(G(x,y)=\big(\sin x+\frac{y}{2},\;\cos y-\frac{x}{2}\big)\). Montrer que \(G\) est \(\sqrt{5/2}\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}^2\).

Exercice 18 – Changement de variables dans une équation aux dérivées partielles

On note \(Q=\,]0\,;+\infty[^2\) le quart de plan ouvert. Le but est de résoudre, parmi les fonctions \(C^1\) sur \(Q\), l’équation \(x\,\partial_1f(x,y)-y\,\partial_2f(x,y)=0\).

1. On pose \(\Phi(x,y)=(xy,\,x)\) et \(\Psi(u,v)=\big(v,\frac{u}{v}\big)\). Vérifier que \(\Phi\) et \(\Psi\) envoient \(Q\) dans \(Q\) et sont réciproques l’une de l’autre.
2. Ensuite, pour une solution \(f\), on pose \(g(u,v)=f\big(v,\frac uv\big)\). Calculer \(\partial_vg\) et montrer qu’elle est nulle.
3. Enfin, en déduire toutes les solutions, et vérifier la réponse.

Exercice 19 – Problème : une fonction homogène de degré 1 non différentiable

On pose \(f(x,y)=\frac{x(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\) pour \((x,y)\neq(0,0)\) et \(f(0,0)=0\).

1. Montrer que \(|f(x,y)|\leqslant\|(x,y)\|\), puis que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Ensuite, vérifier que \(f(tv)=t\,f(v)\) pour tout réel \(t\) et tout vecteur \(v\). En déduire que \(D_vf(0,0)\) existe pour tout \(v\) et vaut \(f(v)\).
3. Par conséquent, calculer \(\partial_1f(0,0)\) et \(\partial_2f(0,0)\), puis montrer que \(f\) n’est pas différentiable en l’origine.
4. De plus, calculer \(\partial_1f\) et \(\partial_2f\) sur \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), et montrer que \(\partial_1f\) n’a pas de limite en l’origine.
5. Finalement, on pose \(\gamma(t)=(t,t)\). Comparer la dérivée de \(f\circ\gamma\) en 0 avec \(\partial_1f(0,0)\,\gamma_1^{\prime}(0)+\partial_2f(0,0)\,\gamma_2^{\prime}(0)\). Commenter.

La figure représente quelques lignes de niveau de \(f\) ainsi que les deux bissectrices.

Pour aller plus loin

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