Tribus et mesure de Lebesgue en L3 de maths : cours et méthodes
Ce cours de mesure Lebesgue L3 ouvre la partie intégration du semestre 5. Nous y construisons pas à pas les objets qui permettront ensuite d’intégrer : les tribus, la tribu borélienne de la droite réelle, puis les mesures positives et leurs propriétés de continuité. Les mesures de Dirac et de comptage servent d’exemples de référence tout au long du chapitre.
Le cœur du chapitre est la construction de la mesure de Lebesgue. On part d’une mesure extérieure définie par recouvrements, puis le théorème de Carathéodory isole une tribu sur laquelle elle devient une vraie mesure. L’ensemble de Cantor illustre chaque étape : il est borélien, non dénombrable et pourtant de mesure nulle. Nous terminons par les ensembles négligeables, les fonctions mesurables et l’approximation par des fonctions étagées, qui prépare directement l’intégrale de Lebesgue et les théorèmes de convergence.
Ce que vous saurez faire
- Reconnaître un ensemble dénombrable et manipuler les réunions dénombrables.
- Prouver qu’une classe de parties est une tribu, puis décrire une tribu engendrée.
- Exprimer un borélien de la droite à partir d’intervalles bien choisis.
- Calculer une mesure par continuité croissante ou décroissante.
- Suivre la construction de la mesure de Lebesgue par le théorème de Carathéodory.
- Montrer qu’une fonction est mesurable et l’approcher par des fonctions étagées.
1. Ensembles dénombrables
La théorie de la mesure repose sur un mot clé : dénombrable. En effet, une tribu est stable par réunion dénombrable, et une mesure additionne une infinité dénombrable de termes. Nous commençons donc par fixer ce vocabulaire.
Un ensemble \(E\) est dénombrable s’il existe une injection de \(E\) dans \(\mathbb{N}\). Autrement dit, on peut numéroter ses éléments, avec éventuellement un nombre fini d’entre eux. Un ensemble infini dénombrable est en bijection avec \(\mathbb{N}\).
Trois opérations conservent le caractère dénombrable : passer à une partie, former \(E_1\times\cdots\times E_p\) avec \(p\) fini, et réunir une suite \((E_k)_{k\in\mathbb{N}}\) dont chaque terme se numérote.
Pour le produit, l’application \((m,n)\mapsto 2^m 3^n\) injecte \(\mathbb{N}^2\) dans \(\mathbb{N}\), par unicité de la décomposition en facteurs premiers. Ensuite, si chaque \(E_k\) s’injecte dans \(\mathbb{N}\) par \(u_k\), on associe à \(x\) le couple \((k,u_k(x))\), où \(k\) est le plus petit indice tel que \(x\in E_k\). Cette application est injective de \(\bigcup_k E_k\) dans \(\mathbb{N}^2\). On conclut avec le cas du produit.
1.1 Exemples et argument diagonal
Ainsi \(\mathbb{Z}\) et \(\mathbb{Q}\) sont dénombrables : \(\mathbb{Q}\) s’injecte dans \(\mathbb{Z}\times\mathbb{N}\) par l’écriture irréductible. En revanche, \(\mathbb{R}\) ne l’est pas. L’argument diagonal le montre : à toute suite \((x_n)\) de \([0,1[\), on associe un réel dont la \(n\)-ième décimale diffère de celle de \(x_n\) et ne vaut ni 0 ni 9. Ce réel n’est alors aucun des \(x_n\).
Montrons que l’ensemble \(\mathcal{F}\) des parties finies de \(\mathbb{N}\) est dénombrable. D’abord, pour chaque \(m\), les parties de \(\{0,\dots,m\}\) sont en nombre fini, à savoir \(2^{m+1}\). Ensuite, toute partie finie est incluse dans un tel ensemble. Par conséquent, \(\mathcal{F}\) est une réunion dénombrable d’ensembles finis, donc il est dénombrable. En revanche, l’ensemble de toutes les parties de \(\mathbb{N}\) ne l’est pas : il est en bijection avec \(\{0,1\}^{\mathbb{N}}\).
Piège à éviter :
Une réunion quelconque de singletons n’a aucune raison d’être dénombrable. Par exemple, \([0,1]\) est la réunion des \(\{x\}\) pour \(x\in[0,1]\). C’est pourquoi les propriétés des mesures exigent toujours des familles indexées par \(\mathbb{N}\).
2. Algèbres et tribus
On fixe un ensemble \(\Omega\). Nous voulons mesurer certaines de ses parties, pas forcément toutes. Il faut donc une famille de parties stable par les opérations usuelles. Deux niveaux de stabilité apparaissent.
Soit \(\mathcal{A}\subset\mathcal{P}(\Omega)\). Trois exigences font de \(\mathcal{A}\) une algèbre : contenir \(\Omega\), contenir le complémentaire de chacun de ses membres, contenir la réunion de deux quelconques de ses membres. On parle de tribu, ou de \(\sigma\)-algèbre, lorsque la troisième exigence porte sur une suite entière : \(\bigcup_{n} A_n\in\mathcal{A}\) dès que tous les \(A_n\) sont dans \(\mathcal{A}\). Le couple \((\Omega,\mathcal{A})\) reçoit alors le nom d’espace mesurable.
Par passage au complémentaire, une tribu est aussi stable par intersection dénombrable, par différence et par différence symétrique. De plus, elle contient l’ensemble vide. Les deux exemples extrêmes sont \(\{\varnothing,\Omega\}\), la tribu grossière, et \(\mathcal{P}(\Omega)\), la tribu discrète.
2.1 Prouver qu’une classe est une tribu
- Vérifier que \(\Omega\) appartient à la classe.
- Prendre \(A\) dans la classe et montrer que \(\Omega\setminus A\) y est aussi.
- Prendre une suite \((A_n)\) de la classe et montrer que \(\bigcup_n A_n\) y est. On peut remplacer cette étape par la stabilité par intersection dénombrable, grâce aux lois de De Morgan.
- Pour une image réciproque \(f^{-1}(\mathcal{T})\), utiliser que \(f^{-1}\) commute avec complémentaire et réunions.
Sur \(\Omega=\mathbb{R}\), considérons la classe \(\mathcal{S}\) des parties \(A\) telles que \(A=-A\), c’est-à-dire des parties symétriques. D’abord, \(\mathbb{R}\) est symétrique. Ensuite, si \(A=-A\), alors \(-(\mathbb{R}\setminus A)=\mathbb{R}\setminus(-A)=\mathbb{R}\setminus A\). Enfin, si chaque \(A_n\) est symétrique, on a \(-\bigcup_n A_n=\bigcup_n(-A_n)=\bigcup_n A_n\). Par conséquent, \(\mathcal{S}\) est une tribu. Elle ne contient pas \([0,1]\), donc elle est strictement plus petite que \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\).
Sur \(\Omega=\mathbb{N}\), la famille des parties finies ou de complémentaire fini est une algèbre. Cependant, elle n’est pas une tribu. En effet, l’ensemble \(2\mathbb{N}\) des entiers pairs est la réunion dénombrable des singletons \(\{2k\}\). Or ni \(2\mathbb{N}\) ni son complémentaire ne sont finis.
2.2 Tribu engendrée
Si \((\mathcal{T}_i)_{i\in I}\) est une famille, même non dénombrable, de tribus sur \(\Omega\), alors \(\bigcap_{i}\mathcal{T}_i\) en est encore une. Pour toute classe \(\mathcal{C}\subset\mathcal{P}(\Omega)\), on appelle tribu engendrée par \(\mathcal{C}\), notée \(\sigma(\mathcal{C})\), l’intersection de toutes les tribus qui contiennent \(\mathcal{C}\). C’est la plus petite tribu contenant \(\mathcal{C}\).
La preuve est immédiate : chaque axiome passe à l’intersection, et \(\mathcal{P}(\Omega)\) garantit que la famille intersectée n’est pas vide. En pratique, on retient un principe de minimalité. Pour montrer \(\sigma(\mathcal{C})\subset\mathcal{T}\), il suffit de vérifier que \(\mathcal{T}\) est une tribu et que \(\mathcal{C}\subset\mathcal{T}\).
Sur \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), cherchons la tribu engendrée par \(A=\{1,2,3\}\) et \(B=\{3,4\}\). Les intersections \(A\cap B=\{3\}\), \(A\setminus B=\{1,2\}\), \(B\setminus A=\{4\}\) et \(\Omega\setminus(A\cup B)=\{5,6,7\}\) forment une partition de \(\Omega\) en quatre atomes. Toute tribu contenant \(A\) et \(B\) contient ces atomes, donc leurs réunions. Inversement, les réunions d’atomes forment une tribu. Ainsi \(\sigma(\{A,B\})\) compte exactement \(2^4=16\) éléments.
La figure suivante représente ce découpage : chaque élément de la tribu engendrée est une réunion de zones colorées.
3. La tribu borélienne de la droite réelle
Sur \(\mathbb{R}\), la tribu naturelle est celle qu’engendrent les ouverts. Elle contient tous les ensembles que l’on rencontre en analyse. Cependant, on la décrit rarement élément par élément : on travaille avec ses générateurs.
On note \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\), et l’on nomme tribu borélienne, la plus petite tribu de \(\mathbb{R}\) dans laquelle figure chaque ouvert. Un borélien est un membre de cette tribu. Plus généralement, sur un espace métrique \(X\), \(\mathcal{B}(X)\) désigne la tribu engendrée par les ouverts de \(X\).
La tribu \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) est aussi engendrée par chacune des classes suivantes : les intervalles ouverts \(]a,b[\), les intervalles \(]a,b]\), les demi-droites \(]-\infty,a]\), les demi-droites \(]-\infty,a]\) avec \(a\in\mathbb{Q}\).
Traitons la dernière classe \(\mathcal{C}=\{]-\infty,q] : q\in\mathbb{Q}\}\). D’une part, chaque \(]-\infty,q]\) est fermé, donc borélien : ainsi \(\sigma(\mathcal{C})\subset\mathcal{B}(\mathbb{R})\). D’autre part, pour \(a\) réel, on choisit des rationnels \(q_n\) strictement croissants de limite \(a\). Alors \(]-\infty,a[=\bigcup_n\,]-\infty,q_n]\) appartient à \(\sigma(\mathcal{C})\). Ensuite, \(]a,+\infty[\) est le complémentaire de \(]-\infty,a]=\bigcap_n\,]-\infty,a+1/n[\). Par intersection, \(]a,b[\) est dans \(\sigma(\mathcal{C})\). Enfin, tout ouvert de \(\mathbb{R}\) est réunion dénombrable d’intervalles ouverts à extrémités rationnelles. Par minimalité, \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\subset\sigma(\mathcal{C})\).
Ce théorème fournit une liste d’exemples. Les fermés sont boréliens, ainsi que les singletons. Par conséquent, toute partie dénombrable, comme \(\mathbb{Q}\), est borélienne. L’ensemble des irrationnels l’est aussi, par passage au complémentaire.
3.1 L’ensemble de Cantor
Voici l’exemple fondamental qui nous accompagnera jusqu’à la fin du chapitre. On part de \(K_0=[0,1]\). On retire le tiers central ouvert \(]1/3,2/3[\) pour obtenir \(K_1\). Ensuite, on retire le tiers central de chacun des deux segments restants, et ainsi de suite.
Le fermé \(K_n\) est la réunion de \(2^n\) segments disjoints de longueur \(3^{-n}\). L’ensemble de Cantor est \(K=\bigcap_{n\geqslant 0}K_n\). C’est un fermé, donc un borélien. On montre aussi que \(K\) est exactement l’ensemble des réels de \([0,1]\) qui admettent un développement en base 3 sans chiffre 1.
Les premières étapes sont dessinées ci-dessous. À chaque étape, le nombre de segments double tandis que leur longueur est divisée par trois.
L’ensemble \(K\) n’est pas dénombrable. En effet, l’application qui envoie une suite \((\varepsilon_k)\) de \(\{0,1\}^{\mathbb{N}^*}\) sur \(\sum_k 2\varepsilon_k 3^{-k}\) est une injection à valeurs dans \(K\). Or \(\{0,1\}^{\mathbb{N}^*}\) n’est pas dénombrable. Nous verrons pourtant que \(K\) est de mesure nulle.
4. Mesures positives et continuité
Une fois la tribu choisie, on attribue une taille à chacun de ses éléments. La règle essentielle est l’additivité pour une suite de parties disjointes.
On se place sur \((\Omega,\mathcal{A})\). On appelle mesure positive toute fonction \(\mu\) qui associe à chaque membre de \(\mathcal{A}\) un élément de \([0,+\infty]\), qui vaut 0 sur l’ensemble vide, et qui additionne les tailles de morceaux disjoints : si les \(A_n\in\mathcal{A}\) ne se rencontrent pas deux à deux,
\[\mu\Big(\bigcup_{n\geqslant 0}A_n\Big)=\sum_{n\geqslant 0}\mu(A_n).\]
Le triplet \((\Omega,\mathcal{A},\mu)\) est un espace mesuré. La mesure est finie si \(\mu(\Omega)<+\infty\).
4.1 Mesures de Dirac et de comptage
Pour \(a\in\Omega\), la mesure de Dirac en \(a\) est définie sur \(\mathcal{P}(\Omega)\) par \(\delta_a(A)=1\) si \(a\in A\) et \(\delta_a(A)=0\) sinon. La mesure de comptage associe à \(A\) son cardinal \(\#A\), égal à \(+\infty\) si \(A\) est infini.
Une combinaison \(\sum_k c_k\delta_{a_k}\) à coefficients positifs est encore une mesure. Par exemple, avec \(\mu=4\delta_{-2}+\delta_{5}\), on obtient \(\mu([-3,0])=4\) et \(\mu(\mathbb{Z})=5\). La figure suivante trace la fonction \(x\mapsto\mu(]-\infty,x])\) d’une telle mesure : chaque masse ponctuelle crée un saut.
4.2 Propriétés et continuité
Soit \(\mu\) une mesure sur \((\Omega,\mathcal{A})\) et \(A,B\in\mathcal{A}\).
- Monotonie : si \(A\subset B\), alors \(\mu(A)\leqslant\mu(B)\).
- Si de plus \(\mu(A)<+\infty\), alors \(\mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A)\).
- Sous-additivité : \(\mu\big(\bigcup_n A_n\big)\leqslant\sum_n\mu(A_n)\) pour toute suite de \(\mathcal{A}\).
Continuité croissante. Si \(A_0\subset A_1\subset\cdots\), alors \(\mu\big(\bigcup_n A_n\big)=\lim_n\mu(A_n)\).
Continuité décroissante. Si \(A_0\supset A_1\supset\cdots\) et si \(\mu(A_0)<+\infty\), alors \(\mu\big(\bigcap_n A_n\big)=\lim_n\mu(A_n)\).
Pour la version croissante, on pose \(B_0=A_0\) et \(B_n=A_n\setminus A_{n-1}\) pour \(n\geqslant 1\). Ces parties sont disjointes, de réunion \(\bigcup_n A_n\), et \(A_N\) est la réunion des \(B_n\) pour \(n\leqslant N\). Ainsi, l’additivité donne \(\mu\big(\bigcup_n A_n\big)=\sum_n\mu(B_n)=\lim_N\mu(A_N)\). Pour la version décroissante, on applique ce résultat à la suite croissante \(A_0\setminus A_n\). Comme \(\mu(A_0)\) est finie, on peut soustraire, ce qui donne la conclusion.
L’hypothèse de finitude est indispensable. Prenons la mesure de comptage sur \(\mathbb{N}\) et \(A_n=\{k\in\mathbb{N} : k\geqslant n\}\). Chaque \(A_n\) est de mesure infinie. Pourtant, l’intersection des \(A_n\) est vide, donc de mesure nulle.
- Écrire l’ensemble cherché comme réunion croissante ou intersection décroissante d’ensembles simples.
- Calculer la mesure de chaque terme, souvent par additivité finie.
- Dans le cas décroissant, vérifier qu’un terme est de mesure finie.
- Passer à la limite.
Par exemple, pour \(\mu=\delta_0\), la suite \(]0,1/n]\) décroît vers l’ensemble vide. Ainsi \(\mu(]0,1/n])=0\) pour tout \(n\), ce qui est cohérent. En revanche, \([0,1/n]\) décroît vers \(\{0\}\), et chaque terme vaut 1, comme la limite.
5. Construction de la mesure de Lebesgue
Nous cherchons une mesure \(\lambda\) sur \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) qui donne à tout intervalle sa longueur. La difficulté est réelle : on ne connaît pas les boréliens un par un. La stratégie se déroule donc en trois étapes. D’abord, on mesure toutes les parties par excès. Ensuite, on isole celles qui se découpent bien. Enfin, on vérifie que les intervalles en font partie.
5.1 Étape 1 : la mesure extérieure
Pour \(E\subset\mathbb{R}\), on pose
\[\lambda^{*}(E)=\inf\Big\{\sum_{k\geqslant 0}(b_k-a_k) : E\subset\bigcup_{k\geqslant 0}\,]a_k,b_k[\Big\}.\]
Autrement dit, \(\lambda^{*}(E)\) est le plus petit budget de longueur qui permet de couvrir \(E\) avec une infinité dénombrable d’intervalles ouverts.
L’application \(\lambda^{*}\) est définie sur toutes les parties. Elle vérifie \(\lambda^{*}(\varnothing)=0\), elle est croissante et dénombrablement sous-additive. On dit que c’est une mesure extérieure. De plus, on démontre que \(\lambda^{*}([a,b])=b-a\) ; l’inégalité difficile utilise la compacité de \([a,b]\) pour se ramener à un recouvrement fini.
Calculons \(\lambda^{*}(\mathbb{Q}\cap[0,1])\). Numérotons ces rationnels en \((r_k)_{k\geqslant 0}\). Fixons \(\varepsilon>0\) et recouvrons \(r_k\) par l’intervalle de centre \(r_k\) et de longueur \(\varepsilon\,2^{-k-1}\). La longueur totale vaut \(\sum_k\varepsilon\,2^{-k-1}=\varepsilon\). Par conséquent, \(\lambda^{*}(\mathbb{Q}\cap[0,1])\leqslant\varepsilon\) pour tout \(\varepsilon\), donc cette mesure extérieure est nulle.
La figure illustre ce recouvrement : les intervalles rétrécissent si vite que leur longueur cumulée reste aussi petite que l’on veut.
5.2 Étape 2 : le critère de Carathéodory
Une partie \(A\subset\mathbb{R}\) est dite \(\lambda^{*}\)-mesurable si elle découpe correctement toute partie test :
\[\forall E\subset\mathbb{R},\quad \lambda^{*}(E)=\lambda^{*}(E\cap A)+\lambda^{*}(E\setminus A).\]
Théorème de Carathéodory. Soit \(m^{*}\) une mesure extérieure sur un ensemble \(\Omega\). Les parties \(m^{*}\)-mesurables forment une tribu \(\mathcal{M}\), sur laquelle \(m^{*}\) devient \(\sigma\)-additive. En outre, chaque \(N\) vérifiant \(m^{*}(N)=0\) appartient à \(\mathcal{M}\).
Dans le critère, l’inégalité \(\leqslant\) est toujours vraie par sous-additivité. Il suffit donc de prouver l’inégalité \(\geqslant\), et seulement pour les \(E\) de mesure extérieure finie. La preuve du théorème est technique mais instructive. On établit d’abord la stabilité par réunion finie. Ensuite, pour des \(A_k\) disjoints de réunion \(A\), on obtient l’additivité \(m^{*}\big(E\cap\bigcup_{k\leqslant n}A_k\big)=\sum_{k\leqslant n}m^{*}(E\cap A_k)\). On passe enfin à la limite grâce à la monotonie.
Remarque :
Le critère se vérifie mal sur un exemple abstrait. Sur un ensemble fini muni d’une mesure extérieure peu régulière, il arrive que seules \(\varnothing\) et \(\Omega\) soient mesurables. Le théorème garantit seulement une tribu, éventuellement très pauvre.
5.3 Étape 3 : les boréliens sont mesurables
Toute demi-droite \(]-\infty,a]\) est \(\lambda^{*}\)-mesurable. Par conséquent, \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\subset\mathcal{M}\). Notons \(\lambda\) l’application \(\lambda^{*}\) vue seulement sur \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\). Aucune autre mesure borélienne ne donne à chaque \(]a,b]\) la valeur \(b-a\). On l’appelle la mesure de Lebesgue.
L’inclusion vient du principe de minimalité : \(\mathcal{M}\) est une tribu qui contient une classe génératrice des boréliens. L’unicité, que nous admettons, repose sur un lemme de classe monotone. Elle a une conséquence utile : \(\lambda\) est invariante par translation, et \(\lambda(cA)=|c|\,\lambda(A)\) pour tout réel \(c\). En effet, les deux membres définissent des mesures qui coïncident sur les intervalles.
Calculons la mesure de l’ensemble de Cantor. Le fermé \(K_n\) est une réunion disjointe de \(2^n\) segments de longueur \(3^{-n}\). Donc \(\lambda(K_n)=(2/3)^n\). La suite \((K_n)\) décroît et \(\lambda(K_0)=1\) est finie. Par continuité décroissante, \(\lambda(K)=\lim_n(2/3)^n=0\).
6. Ensembles négligeables et presque partout
On fixe \((\Omega,\mathcal{A},\mu)\). On qualifie \(N\subset\Omega\) de négligeable lorsqu’il existe \(Z\in\mathcal{A}\) tel que \(N\subset Z\) et \(\mu(Z)=0\). Une propriété \(P(x)\) est vraie presque partout (p.p.) si l’ensemble des \(x\) où elle est fausse est négligeable.
Une réunion dénombrable de parties négligeables est négligeable. Pour la mesure de Lebesgue, tout singleton est négligeable, donc toute partie dénombrable l’est aussi.
La preuve tient en une ligne : si \(N_k\subset Z_k\) avec \(\mu(Z_k)=0\), la sous-additivité donne \(\mu\big(\bigcup_k Z_k\big)=0\). Ainsi, \(\mathbb{Q}\) est \(\lambda\)-négligeable, et l’indicatrice \(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) est nulle presque partout.
Piège à éviter :
Négligeable ne signifie pas dénombrable. L’ensemble de Cantor n’est pas dénombrable, et pourtant il est de mesure nulle. Inversement, « presque partout » dépend de la mesure : pour \(\delta_0\), la fonction \(x\mapsto x\) est nulle presque partout, car l’ensemble où elle ne s’annule pas, à savoir \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), vérifie \(\delta_0(\mathbb{R}\setminus\{0\})=0\).
7. Fonctions mesurables et fonctions étagées
Pour intégrer une fonction, il faut pouvoir mesurer ses ensembles de niveau. C’est exactement ce que demande la mesurabilité.
Soit \((\Omega,\mathcal{A})\) et \((\Omega^{\prime},\mathcal{A}^{\prime})\) deux espaces mesurables. Une application \(f:\Omega\to\Omega^{\prime}\) est mesurable si \(f^{-1}(B)\in\mathcal{A}\) pour tout \(B\in\mathcal{A}^{\prime}\). Pour une fonction à valeurs réelles, on munit l’arrivée de \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\).
Si \(\mathcal{A}^{\prime}=\sigma(\mathcal{C})\), il suffit de vérifier \(f^{-1}(C)\in\mathcal{A}\) pour tout \(C\in\mathcal{C}\). En particulier, \(f:\Omega\to\mathbb{R}\) est mesurable dès que \(\{f\leqslant a\}\in\mathcal{A}\) pour tout rationnel \(a\).
La classe \(\{B : f^{-1}(B)\in\mathcal{A}\}\) est une tribu, car l’image réciproque respecte complémentaire et réunions. Elle contient \(\mathcal{C}\) par hypothèse. Par minimalité, elle contient donc \(\sigma(\mathcal{C})\). La seconde phrase découle du théorème de la partie 3.
7.1 Opérations sur les fonctions mesurables
Plusieurs conséquences se déduisent aussitôt. D’abord, toute fonction continue de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) est borélienne, car l’image réciproque d’un ouvert est ouverte. Ensuite, toute fonction monotone est borélienne, car \(\{f\leqslant a\}\) est alors un intervalle. Enfin, sommes, produits et composées de fonctions mesurables restent mesurables.
Si \((f_n)\) est une suite de fonctions mesurables de \(\Omega\) dans \(\mathbb{R}\), les fonctions \(\sup_n f_n\), \(\inf_n f_n\), \(\limsup_n f_n\) et \(\liminf_n f_n\), à valeurs dans \(\overline{\mathbb{R}}\), sont mesurables. En particulier, une limite simple de fonctions mesurables est mesurable.
Pour le supremum, on écrit simplement \(\{\sup_n f_n\leqslant a\}=\bigcap_n\{f_n\leqslant a\}\). C’est une intersection dénombrable d’éléments de \(\mathcal{A}\). On traite ensuite \(\limsup_n f_n=\inf_n\sup_{k\geqslant n}f_k\).
- Reconnaître une fonction continue, monotone ou une indicatrice d’un ensemble mesurable.
- Sinon, l’écrire comme somme, produit, composée ou limite de telles fonctions.
- En dernier recours, calculer \(\{f\leqslant a\}\) pour \(a\) rationnel et montrer que c’est un élément de la tribu.
7.2 Fonctions étagées
Une fonction \(\varphi:\Omega\to\mathbb{R}\) est étagée si elle est mesurable et ne prend qu’un nombre fini de valeurs \(c_1,\dots,c_p\). Elle s’écrit alors \(\varphi=\sum_{i=1}^{p}c_i\mathbf{1}_{A_i}\), avec \(A_i=\varphi^{-1}(\{c_i\})\in\mathcal{A}\).
Approximation. Soit \(f:\Omega\to[0,+\infty]\) mesurable. Il existe des \(\varphi_n\) étagées, positives, rangées dans l’ordre croissant, telles que \(\varphi_n(x)\to f(x)\) en chaque point. On peut prendre
\[\varphi_n=\sum_{k=0}^{n2^n-1}\frac{k}{2^n}\,\mathbf{1}_{\{k2^{-n}\leqslant f<(k+1)2^{-n}\}}+n\,\mathbf{1}_{\{f\geqslant n\}}.\]
Si \(f\) est bornée, la convergence est uniforme.
Chaque ensemble qui intervient est mesurable, donc \(\varphi_n\) est étagée. Par construction, \(\varphi_n(x)\) est le plus grand multiple de \(2^{-n}\) inférieur ou égal à \(f(x)\), tronqué à \(n\). Ainsi \(0\leqslant\varphi_n\leqslant f\). De plus, la grille de pas \(2^{-n-1}\) raffine celle de pas \(2^{-n}\), ce qui donne \(\varphi_n\leqslant\varphi_{n+1}\). Enfin, si \(f(x)<n\), on a \(f(x)-\varphi_n(x)<2^{-n}\). Si \(f(x)=+\infty\), alors \(\varphi_n(x)=n\) tend vers \(+\infty\). Dans tous les cas, \(\varphi_n(x)\to f(x)\).
Prenons \(f(x)=x^2\) sur \([0,2]\), prolongée par 0 ailleurs. Pour \(n=1\), les seuls paliers sont \(0\) et \(1/2\), puis la troncature vaut 1. On trouve \(\varphi_1=0\) sur \([0,1/\sqrt{2}[\), \(\varphi_1=1/2\) sur \([1/\sqrt{2},1[\) et \(\varphi_1=1\) sur \([1,2]\). Alors \(\lambda(\{\varphi_1=1/2\})=1-1/\sqrt{2}\approx 0{,}29\).
La figure compare \(f\) et ses deux premières approximations. Les marches de \(\varphi_2\) sont plus fines et plus hautes, ce qui illustre la croissance de la suite.
Les erreurs fréquentes
- Croire qu’une réunion de deux tribus est une tribu : c’est faux en général, seule l’intersection l’est.
- Appliquer la continuité décroissante sans vérifier qu’un des ensembles est de mesure finie.
- Confondre négligeable et dénombrable, alors que l’ensemble de Cantor est négligeable sans être dénombrable.
- Vérifier la mesurabilité sur tous les boréliens au lieu de se limiter à une classe génératrice.
- Oublier que « presque partout » dépend de la mesure choisie sur l’espace.
Fiche mémo
- Une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable ; \(\mathbb{R}\) ne l’est pas.
- Tribu : contient \(\Omega\), stable par complémentaire et par réunion dénombrable.
- \(\sigma(\mathcal{C})\) est la plus petite tribu contenant \(\mathcal{C}\) ; on raisonne par minimalité.
- \(\mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma\big(\{]-\infty,q] : q\in\mathbb{Q}\}\big)\).
- Mesure : \(\sigma\)-additive, monotone, sous-additive, continue sur les suites monotones.
- Continuité décroissante : seulement si un terme est de mesure finie.
- \(\lambda^{*}\) par recouvrements, tribu de Carathéodory, puis \(\lambda(]a,b])=b-a\).
- Ensemble de Cantor : non dénombrable, fermé, de mesure \(\lim(2/3)^n=0\).
- \(f\) mesurable si \(\{f\leqslant a\}\) est mesurable pour tout rationnel \(a\).
- Toute \(f\geqslant 0\) mesurable est limite croissante de fonctions étagées.
Questions fréquentes
Pourquoi ne mesure-t-on pas toutes les parties de la droite ?
Il n’existe pas de mesure définie sur toutes les parties de la droite, invariante par translation et qui donne à chaque intervalle sa longueur : la construction d’une telle partie non mesurable utilise l’axiome du choix. On se restreint donc à une tribu, celle des boréliens ou celle de Carathéodory, qui contient tous les ensembles utiles en analyse.
Quelle différence entre une algèbre et une tribu ?
Une algèbre est stable par réunion finie, une tribu par réunion dénombrable. La différence est essentielle, car la continuité des mesures et les passages à la limite exigent des réunions infinies. La famille des parties finies ou cofinies de l’ensemble des entiers est un exemple d’algèbre qui n’est pas une tribu.
Un ensemble de mesure nulle est-il forcément dénombrable ?
Non. Toute partie dénombrable de la droite est de mesure de Lebesgue nulle, mais la réciproque est fausse. L’ensemble de Cantor est le contre-exemple classique : il est en bijection avec les suites de 0 et de 1, donc non dénombrable, et sa mesure vaut pourtant la limite de (2/3)^n, soit 0.
Comment montrer rapidement qu'une fonction est mesurable ?
On commence par reconnaître une fonction continue, monotone ou une indicatrice d’un ensemble mesurable. Sinon, on l’obtient comme somme, produit, composée ou limite simple de telles fonctions. En dernier recours, on vérifie que les ensembles où la fonction est inférieure ou égale à un rationnel donné sont mesurables.
Pour aller plus loin
- S’exercer : exercices corrigés de L3 de maths sur tribus et mesure de Lebesgue
- Bases utiles : Distances, topologie métrique et continuité
- Chapitre d’avant : Borel-Lebesgue, compacité séquentielle et connexité
- Chapitre d’après : Beppo Levi, Fatou et convergence dominée
- Vérifier ses acquis : QCM de L3 de maths sur tribus et mesure de Lebesgue
- Contrôle corrigé en temps limité : Tribus engendrées et mesurabilité : contrôle de maths en L3
- Tous les chapitres : le sommaire de la L3 de maths
- Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3
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