La fonction exponentielle en terminale : corrigé détaillé des exercices 1 à 10
Ce corrigé des exercices sur l’exponentielle en terminale reprend les dix premiers exercices de la fiche et les résout pas à pas. On y manipule les propriétés algébriques (\(e^{a+b}=e^a\times e^b\), \((e^a)^n=e^{na}\)), la stricte positivité de \(e^x\) et la croissance stricte de la fonction exponentielle, qui transforment une comparaison d’exponentielles en comparaison d’exposants. Plusieurs exercices portent sur la position relative de deux courbes ou d’une courbe et d’une tangente, d’autres sur l’étude du signe d’un produit \((ax+b)e^x\), sur une optimisation d’aire et sur un modèle physique de refroidissement. Chaque solution rédigée justifie les étapes comme on l’attend au baccalauréat, et les exercices graphiques sont accompagnés d’une figure qui montre le résultat. Pour progresser, cherchez d’abord seul chaque exercice, puis comparez votre rédaction avec cette correction : repérez les justifications manquantes (signe de \(e^x\), sens de variation) plutôt que les seuls résultats.
Les énoncés se trouvent sur la fiche Fonction exponentielle : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. (31 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.
Corrigé des exercices 1 à 10 sur la fonction exponentielle en terminale
Exercice 1 : Position relative de courbes et étude
Revoir l’énoncé de l’exercice 1
a) Position de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\). On étudie le signe de \(f(x)-g(x)=e^{-2x}-e^{-3x}\).
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc \(e^{-2x}\gt e^{-3x}\) équivaut à \(-2x\gt -3x\), c’est-à-dire à \(x\gt 0\).
- Si \(x\gt 0\) : \(f(x)\gt g(x)\), donc \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\).
- Si \(x\lt 0\) : \(f(x)\lt g(x)\), donc \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de \(\mathcal{C}_g\).
- Si \(x=0\) : \(f(0)=g(0)=1\), les courbes se coupent au point \((0\,;1)\).
b) Position de \(\mathcal{C}_h\) et \(\mathcal{C}_g\). De même, \(e^{-x^2}\gt e^{-3x}\) équivaut à \(-x^2\gt -3x\), soit \(x^2-3x\lt 0\), soit \(x(x-3)\lt 0\).
Le trinôme \(x(x-3)\) a pour racines 0 et 3 et il est négatif entre ses racines.
- Sur \(]0\,;3[\) : \(h(x)\gt g(x)\), \(\mathcal{C}_h\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\).
- Sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]3\,;+\infty[\) : \(\mathcal{C}_h\) est en dessous de \(\mathcal{C}_g\).
- Les courbes se coupent aux points d’abscisses 0 et 3 : \((0\,;1)\) et \((3\,;e^{-9})\).
Exercice 2 : Fonction et étude de la position relative de la courbe
Revoir l’énoncé de l’exercice 2
Équation de la tangente T en 0. \(f(0)=e^{0}=1\). La fonction \(f=e^{u}\) avec \(u(x)=-x^4\) est dérivable et \(f^{\prime}=u^{\prime}e^{u}\) :
\[ f^{\prime}(x)=-4x^3e^{-x^4}, \qquad f^{\prime}(0)=0. \]
T a pour équation \(y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\), soit \(y=1\) : c’est une tangente horizontale.
Position relative. On étudie le signe de \(f(x)-1=e^{-x^4}-1\).
Pour tout réel \(x\), \(-x^4\leqslant 0\), donc, par croissance de l’exponentielle, \(e^{-x^4}\leqslant e^{0}=1\), avec égalité seulement si \(x^4=0\), c’est-à-dire \(x=0\).
Exercice 3 : Aire maximale d’un rectangle et fonctions
Revoir l’énoncé de l’exercice 3
Notons \(x\) l’abscisse de M, avec \(x\gt 0\). Alors \(OM=x\) et N est le point de \(\mathcal{C}\) d’abscisse \(x\), donc \(MN=f(x)=2e^{-x}\).
L’aire du rectangle est \(A(x)=OM\times MN=2xe^{-x}\), pour \(x\in[0\,;+\infty[\).
Dérivée. Avec \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) :
\[ A^{\prime}(x)=2e^{-x}+2x\times(-e^{-x})=2(1-x)e^{-x}. \]
Comme \(2e^{-x}\gt 0\), \(A^{\prime}(x)\) a le signe de \(1-x\) : positif sur \([0\,;1]\), négatif sur \([1\,;+\infty[\). La fonction \(A\) est donc croissante sur \([0\,;1]\) puis décroissante sur \([1\,;+\infty[\) : elle admet un maximum en \(x=1\).
\[ A(1)=2\times 1\times e^{-1}=\frac{2}{e}\approx 0{,}74. \]
Exercice 4 : La température d’ébullition de l’eau et exponentielle
Revoir l’énoncé de l’exercice 4
1. Au moment où l’on plonge la casserole, \(t=0\) :
\[ T(0)=55e^{0}+45=55+45=100. \]
La casserole est à 100 °C.
2. a) \(T(t)=55e^{-0{,}2t}+45\), donc \(T^{\prime}(t)=55\times(-0{,}2)e^{-0{,}2t}=-11e^{-0{,}2t}\).
L’écart de température entre la casserole et l’eau de l’évier est \(T(t)-45=55e^{-0{,}2t}\). Or
\[ -0{,}2\times\big(T(t)-45\big)=-0{,}2\times 55e^{-0{,}2t}=-11e^{-0{,}2t}=T^{\prime}(t). \]
Donc \(T^{\prime}(t)=-0{,}2\big(T(t)-45\big)\) : la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l’écart de température.
b) Le coefficient de proportionnalité est \(-0{,}2\) (il est négatif car la température diminue).
3. 5 minutes = 300 secondes :
\[ T(300)=55e^{-0{,}2\times 300}+45=55e^{-60}+45. \]
Or \(55e^{-60}\approx 5\times 10^{-25}\), quantité négligeable : \(T(300)\approx 45\).
Exercice 5 : Simplifier des exponentielles et écrire l’expression
Revoir l’énoncé de l’exercice 5
Une seule exponentielle.
\[ \begin{aligned} \text{a) } e^4\times e^6 &= e^{4+6}=e^{10} \\ \text{b) } e\times(e^5)^2 &= e^1\times e^{10}=e^{11} \\ \text{c) } \frac{e^{30}\times e^{-10}}{e^{10}} &= \frac{e^{20}}{e^{10}}=e^{10} \end{aligned} \]
Signe de \(f(x)=-xe^{x}\). Pour tout réel \(x\), \(e^x\gt 0\), donc \(f(x)\) a le signe de \(-x\) :
- \(f(x)\gt 0\) pour \(x\lt 0\) ;
- \(f(0)=0\) ;
- \(f(x)\lt 0\) pour \(x\gt 0\).
Simplifications avec \(a\) réel.
\[ \begin{aligned} \text{a) } e^{2a}\times e^{-a} &= e^{2a-a}=e^{a} \\ \text{b) } \frac{e^{2a}+1}{e^{1-a}} &= (e^{2a}+1)\,e^{a-1}=e^{3a-1}+e^{a-1} \\ \text{c) } (e^a)^3\times e &= e^{3a}\times e^{1}=e^{3a+1} \end{aligned} \]
Exercice 6 : Relation fonctionnelle et conjecture
Revoir l’énoncé de l’exercice 6
1. Pour tout réel \(x\), la relation fonctionnelle donne \(e^{x}=e^{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}=e^{\frac{x}{2}}\times e^{\frac{x}{2}}\), soit
\[ e^{x}=\left(e^{\frac{x}{2}}\right)^2. \]
Un carré est positif ou nul, donc \(e^x\geqslant 0\). Comme la fonction exponentielle ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\), \(e^x\neq 0\). Donc \(e^x\gt 0\) pour tout réel \(x\) : la fonction exponentielle est strictement positive.
2. a) Conjecture. Sur l’écran, la courbe est sous l’axe des abscisses à gauche de 1 et au-dessus à droite de 1 : on conjecture que \(f(x)\lt 0\) pour \(x\lt 1\), \(f(1)=0\) et \(f(x)\gt 0\) pour \(x\gt 1\).
b) Démonstration. D’après la question 1, \(e^x\gt 0\) pour tout \(x\), donc \(f(x)=(x-1)e^x\) a le signe de \(x-1\).
| \(x\) | \(-\infty\) | 1 | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(x-1\) | \(-\) 0 \(+\) | ||
| \(e^x\) | \(+\) \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(-\) 0 \(+\) | ||
Exercice 7 : Fonction rationnelle avec une exponentielle
Revoir l’énoncé de l’exercice 7
a) Pour tout réel \(x\), \(e^x\gt 0\), donc \(e^x+1\gt 1\gt 0\) : le dénominateur ne s’annule jamais. La fonction \(f\) est donc définie sur \(\mathbb{R}\).
b) On multiplie numérateur et dénominateur de \(f(-x)\) par \(e^{x}\) :
\[ f(-x)=\frac{2}{e^{-x}+1}=\frac{2e^{x}}{e^{-x}e^{x}+e^{x}}=\frac{2e^{x}}{1+e^{x}}. \]
\[ f(-x)+f(x)=\frac{2e^{x}}{e^{x}+1}+\frac{2}{e^{x}+1}=\frac{2(e^{x}+1)}{e^{x}+1}=2. \]
c) Soit \(M(x\,;f(x))\) et \(M^{\prime}(-x\,;f(-x))\) deux points de la courbe. Leur milieu a pour coordonnées
\[ \left(\frac{x+(-x)}{2}\,;\,\frac{f(x)+f(-x)}{2}\right)=(0\,;1). \]
Le point \(I(0\,;1)\) est donc le milieu de tout segment \([MM^{\prime}]\) : la courbe de \(f\) admet le point \(I(0\,;1)\) pour centre de symétrie.
Exercice 8 : Vrai ou faux avec les propriétés de l’exponentielle
Revoir l’énoncé de l’exercice 8
a) Faux. Pour \(x=1\) : \(e^{1^2}=e\) alors que \(e^1\times e^1=e^2\neq e\). Un contre-exemple suffit.
b) Vrai. \(e^x\times e^x=e^{2x}\), et par stricte croissance de l’exponentielle, \(e^{x^2}=e^{2x}\) équivaut à \(x^2=2x\), soit \(x(x-2)=0\). Les réels \(x=0\) et \(x=2\) conviennent (par exemple \(e^{0}=1=e^0\times e^0\)).
c) Faux. Pour \(x=0\) : \(e^0=1\) et \(0+2=2\), or \(1\lt 2\).
d) Vrai. Pour \(x=2\) : \(e^2\approx 7{,}39\) et \(2+2=4\), donc \(e^2\geqslant 4\).
Exercice 9 : Axe de symétrie et position relative d’une courbe
Revoir l’énoncé de l’exercice 9
1. \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0 et, pour tout réel \(x\),
\[ f(-x)=e^{-x}+e^{-(-x)}-2=e^{-x}+e^{x}-2=f(x). \]
La fonction \(f\) est paire : l’axe des ordonnées est un axe de symétrie de \(\mathcal{C}\).
2. a) On développe avec \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) :
\[ \frac{(e^x-1)^2}{e^x}=\frac{e^{2x}-2e^x+1}{e^x}=e^{x}-2+e^{-x}=f(x). \]
b) Pour tout \(x\), \((e^x-1)^2\geqslant 0\) (un carré) et \(e^x\gt 0\), donc \(f(x)\geqslant 0\). De plus \(f(x)=0\) si et seulement si \(e^x=1\), c’est-à-dire \(x=0\).
Exercice 10 : Le tracé d’une courbe et signe de f(x)
Revoir l’énoncé de l’exercice 10
1. a) \(f(0)=(a\times 0+b)e^{0}=b\).
b) Comme \(e^x\gt 0\), \(f(x)=0\) équivaut à \(ax+b=0\), soit \(x=-\dfrac{b}{a}\) (possible car \(a\neq 0\)). L’ensemble des solutions est \(\left\{-\dfrac{b}{a}\right\}\).
2. a) C est sur \(\mathcal{C}\), donc \(f(0)=2\), soit \(b=2\). D est sur \(\mathcal{C}\), donc \(\dfrac{5}{2}\) est la solution de \(f(x)=0\) :
\[ -\frac{b}{a}=\frac{5}{2}\iff -\frac{2}{a}=\frac{5}{2}\iff a=-\frac{4}{5}. \]
b) \(f(x)=\left(-\dfrac{4}{5}x+2\right)e^{x}\) a le signe de \(-\dfrac{4}{5}x+2\), fonction affine décroissante qui s’annule en \(\dfrac{5}{2}\).
La méthode à retenir sur la fonction exponentielle
- Pour comparer \(e^{a}\) et \(e^{b}\), on compare \(a\) et \(b\) : la fonction exponentielle est strictement croissante.
- Position relative de deux courbes : on étudie le signe de \(f(x)-g(x)\), et on conclut « au-dessus » là où il est positif.
- Dans un produit \(u(x)\times e^{v(x)}\), le facteur exponentiel est toujours strictement positif : le signe est celui de \(u(x)\).
- Dérivée de \(e^{u}\) : \(u^{\prime}e^{u}\) ; en particulier \((e^{kx})^{\prime}=ke^{kx}\).
- Pour montrer une symétrie : \(f(-x)=f(x)\) (axe des ordonnées) ou \(f(-x)+f(x)=2b\) (centre \((0\,;b)\)).
Les erreurs fréquentes
- Écrire \(e^{x^2}=(e^{x})^2\) : c’est faux, \((e^x)^2=e^{2x}\).
- Inverser le sens de l’inégalité en comparant \(-2x\) et \(-3x\) : il faut résoudre \(-2x\gt -3x\), ce qui donne \(x\gt 0\).
- Oublier de dire que \(e^x\gt 0\) avant de conclure sur le signe d’un produit.
- Confondre secondes et minutes dans un modèle : 5 min = 300 s.
- Répondre « vrai » à une propriété universelle sur un seul exemple ; seul le contre-exemple suffit pour dire « faux ».
Les exercices 11 à 31 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.
Questions fréquentes
Pourquoi l’exponentielle est-elle toujours strictement positive ?
Parce que \(e^x=\left(e^{x/2}\right)^2\) est un carré, donc positif, et que l’exponentielle ne s’annule jamais. Cette propriété sert dans presque tous les exercices : elle permet d’ignorer le facteur \(e^x\) dans l’étude d’un signe.
Comment savoir quelle courbe est au-dessus de l’autre ?
On calcule la différence \(f(x)-g(x)\) et on étudie son signe. Là où la différence est positive, la courbe de \(f\) est au-dessus ; là où elle s’annule, les courbes se coupent.
La calculatrice suffit-elle pour répondre à une question de signe ?
Non : l’écran permet de conjecturer, mais la question « démontrer » exige un raisonnement. On factorise, on utilise \(e^x\gt 0\) et on dresse un tableau de signes.
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