Corrigé des 31 exercices sur la fonction exponentielle en terminale à télécharger en PDF

a) Position de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\). On étudie le signe de \(f(x)-g(x)=e^{-2x}-e^{-3x}\).

Puis la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc \(e^{-2x}\gt e^{-3x}\) équivaut à \(-2x\gt -3x\), c’est-à-dire à \(x\gt 0\).

• Si \(x\gt 0\) : \(f(x)\gt g(x)\), donc \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\).
• Si \(x\lt 0\) : \(f(x)\lt g(x)\), donc \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de \(\mathcal{C}_g\).
• Si \(x=0\) : \(f(0)=g(0)=1\), les courbes se coupent au point \((0\,;1)\).

b) Position de \(\mathcal{C}_h\) et \(\mathcal{C}_g\). De même, \(e^{-x^2}\gt e^{-3x}\) équivaut à \(-x^2\gt -3x\), soit \(x^2-3x\lt 0\), soit \(x(x-3)\lt 0\).

De plus, le trinôme \(x(x-3)\) a pour racines 0 et 3 et il est négatif entre ses racines.

• Sur \(]0\,;3[\) : \(h(x)\gt g(x)\), \(\mathcal{C}_h\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\).
• Sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]3\,;+\infty[\) : \(\mathcal{C}_h\) est en dessous de \(\mathcal{C}_g\).
• Les courbes se coupent aux points d’abscisses 0 et 3 : \((0\,;1)\) et \((3\,;e^{-9})\).

Équation de la tangente T en 0. \(f(0)=e^{0}=1\). Puis la fonction \(f=e^{u}\) avec \(u(x)=-x^4\) est dérivable et \(f^{\prime}=u^{\prime}e^{u}\) :

\[ f^{\prime}(x)=-4x^3e^{-x^4}, \qquad f^{\prime}(0)=0. \]

Par ailleurs, T a pour équation \(y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\), soit \(y=1\) : c’est une tangente horizontale.

Position relative. On étudie le signe de \(f(x)-1=e^{-x^4}-1\).

Ainsi, pour tout réel \(x\), \(-x^4\leqslant 0\), donc, par croissance de l’exponentielle, \(e^{-x^4}\leqslant e^{0}=1\), avec égalité seulement si \(x^4=0\), c’est-à-dire \(x=0\).

Notons \(x\) l’abscisse de M, avec \(x\gt 0\). De même, alors \(OM=x\) et N est le point de \(\mathcal{C}\) d’abscisse \(x\), donc \(MN=f(x)=2e^{-x}\).

Ensuite, l’aire du rectangle est \(A(x)=OM\times MN=2xe^{-x}\), pour \(x\in[0\,;+\infty[\).

Dérivée. Avec \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) :

\[ A^{\prime}(x)=2e^{-x}+2x\times(-e^{-x})=2(1-x)e^{-x}. \]

Puis comme \(2e^{-x}\gt 0\), \(A^{\prime}(x)\) a le signe de \(1-x\) : positif sur \([0\,;1]\), négatif sur \([1\,;+\infty[\). Ensuite, la fonction \(A\) est donc croissante sur \([0\,;1]\) puis décroissante sur \([1\,;+\infty[\) : elle admet un maximum en \(x=1\).

\[ A(1)=2\times 1\times e^{-1}=\frac{2}{e}\approx 0{,}74. \]

1. Au moment où l’on plonge la casserole, \(t=0\) :

\[ T(0)=55e^{0}+45=55+45=100. \]

De plus, la casserole est à 100 °C.

2. a) \(T(t)=55e^{-0{,}2t}+45\), donc \(T^{\prime}(t)=55\times(-0{,}2)e^{-0{,}2t}=-11e^{-0{,}2t}\).

Par ailleurs, l’écart de température entre la casserole et l’eau de l’évier est \(T(t)-45=55e^{-0{,}2t}\). Or

\[ -0{,}2\times\big(T(t)-45\big)=-0{,}2\times 55e^{-0{,}2t}=-11e^{-0{,}2t}=T^{\prime}(t). \]

Donc \(T^{\prime}(t)=-0{,}2\big(T(t)-45\big)\) : la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l’écart de température.

b) Le coefficient de proportionnalité est \(-0{,}2\) (il est négatif car la température diminue).

3. 5 minutes = 300 secondes :

\[ T(300)=55e^{-0{,}2\times 300}+45=55e^{-60}+45. \]

Or \(55e^{-60}\approx 5\times 10^{-25}\), quantité négligeable : \(T(300)\approx 45\).

Une seule exponentielle.

\[ \begin{aligned} \text{a) } e^4\times e^6 &= e^{4+6}=e^{10} \\ \text{b) } e\times(e^5)^2 &= e^1\times e^{10}=e^{11} \\ \text{c) } \frac{e^{30}\times e^{-10}}{e^{10}} &= \frac{e^{20}}{e^{10}}=e^{10} \end{aligned} \]

Signe de \(f(x)=-xe^{x}\). Pour tout réel \(x\), \(e^x\gt 0\), donc \(f(x)\) a le signe de \(-x\) :

• \(f(x)\gt 0\) pour \(x\lt 0\) ;
• \(f(0)=0\) ;
• \(f(x)\lt 0\) pour \(x\gt 0\).

Simplifications avec \(a\) réel.

\[ \begin{aligned} \text{a) } e^{2a}\times e^{-a} &= e^{2a-a}=e^{a} \\ \text{b) } \frac{e^{2a}+1}{e^{1-a}} &= (e^{2a}+1)\,e^{a-1}=e^{3a-1}+e^{a-1} \\ \text{c) } (e^a)^3\times e &= e^{3a}\times e^{1}=e^{3a+1} \end{aligned} \]

1. Pour tout réel \(x\), la relation fonctionnelle donne \(e^{x}=e^{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}=e^{\frac{x}{2}}\times e^{\frac{x}{2}}\), soit

\[ e^{x}=\left(e^{\frac{x}{2}}\right)^2. \]

Ainsi, un carré est positif ou nul, donc \(e^x\geqslant 0\). De même, comme la fonction exponentielle ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\), \(e^x\neq 0\). Donc \(e^x\gt 0\) pour tout réel \(x\) : la fonction exponentielle est strictement positive.

2. a) Conjecture. Sur l’écran, la courbe est sous l’axe des abscisses à gauche de 1 et au-dessus à droite de 1 : on conjecture que \(f(x)\lt 0\) pour \(x\lt 1\), \(f(1)=0\) et \(f(x)\gt 0\) pour \(x\gt 1\).

b) Démonstration. D’après la question 1, \(e^x\gt 0\) pour tout \(x\), donc \(f(x)=(x-1)e^x\) a le signe de \(x-1\).

a) Pour tout réel \(x\), \(e^x\gt 0\), donc \(e^x+1\gt 1\gt 0\) : le dénominateur ne s’annule jamais. Puis la fonction \(f\) est donc définie sur \(\mathbb{R}\).

b) On multiplie numérateur et dénominateur de \(f(-x)\) par \(e^{x}\) :

\[ f(-x)=\frac{2}{e^{-x}+1}=\frac{2e^{x}}{e^{-x}e^{x}+e^{x}}=\frac{2e^{x}}{1+e^{x}}. \]

\[ f(-x)+f(x)=\frac{2e^{x}}{e^{x}+1}+\frac{2}{e^{x}+1}=\frac{2(e^{x}+1)}{e^{x}+1}=2. \]

c) Soit \(M(x\,;f(x))\) et \(M^{\prime}(-x\,;f(-x))\) deux points de la courbe. Ensuite, leur milieu a pour coordonnées

\[ \left(\frac{x+(-x)}{2}\,;\,\frac{f(x)+f(-x)}{2}\right)=(0\,;1). \]

Puis le point \(I(0\,;1)\) est donc le milieu de tout segment \([MM^{\prime}]\) : la courbe de \(f\) admet le point \(I(0\,;1)\) pour centre de symétrie.

a) Faux. Pour \(x=1\) : \(e^{1^2}=e\) alors que \(e^1\times e^1=e^2\neq e\). De plus, un contre-exemple suffit.

b) Vrai. \(e^x\times e^x=e^{2x}\), et par stricte croissance de l’exponentielle, \(e^{x^2}=e^{2x}\) équivaut à \(x^2=2x\), soit \(x(x-2)=0\). Ensuite, les réels \(x=0\) et \(x=2\) conviennent (par exemple \(e^{0}=1=e^0\times e^0\)).

c) Faux. Pour \(x=0\) : \(e^0=1\) et \(0+2=2\), or \(1\lt 2\).

d) Vrai. Pour \(x=2\) : \(e^2\approx 7{,}39\) et \(2+2=4\), donc \(e^2\geqslant 4\).

1. \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0 et, pour tout réel \(x\),

\[ f(-x)=e^{-x}+e^{-(-x)}-2=e^{-x}+e^{x}-2=f(x). \]

De plus, la fonction \(f\) est paire : l’axe des ordonnées est un axe de symétrie de \(\mathcal{C}\).

2. a) On développe avec \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) :

\[ \frac{(e^x-1)^2}{e^x}=\frac{e^{2x}-2e^x+1}{e^x}=e^{x}-2+e^{-x}=f(x). \]

b) Pour tout \(x\), \((e^x-1)^2\geqslant 0\) (un carré) et \(e^x\gt 0\), donc \(f(x)\geqslant 0\). De plus \(f(x)=0\) si et seulement si \(e^x=1\), c’est-à-dire \(x=0\).

1. a) \(f(0)=(a\times 0+b)e^{0}=b\).

b) Comme \(e^x\gt 0\), \(f(x)=0\) équivaut à \(ax+b=0\), soit \(x=-\dfrac{b}{a}\) (possible car \(a\neq 0\)). Par ailleurs, l’ensemble des solutions est \(\left\{-\dfrac{b}{a}\right\}\).

2. a) C est sur \(\mathcal{C}\), donc \(f(0)=2\), soit \(b=2\). Par ailleurs, D est sur \(\mathcal{C}\), donc \(\dfrac{5}{2}\) est la solution de \(f(x)=0\) :

\[ -\frac{b}{a}=\frac{5}{2}\iff -\frac{2}{a}=\frac{5}{2}\iff a=-\frac{4}{5}. \]

b) \(f(x)=\left(-\dfrac{4}{5}x+2\right)e^{x}\) a le signe de \(-\dfrac{4}{5}x+2\), fonction affine décroissante qui s’annule en \(\dfrac{5}{2}\).

a) Conjecture. La courbe coupe l’axe des abscisses en \(x=-3\) et en \(x=4\). Puis elle est au-dessus de l’axe avant \(-3\) et après \(4\), en dessous entre les deux. Ensuite, on conjecture :

• \(f(x)\gt 0\) pour \(x\in\,]-\infty\,;-3[\,\cup\,]4\,;+\infty[\) ;
• \(f(x)=0\) pour \(x=-3\) et \(x=4\) ;
• \(f(x)\lt 0\) pour \(x\in\,]-3\,;4[\).

b) Démonstration. La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc pour tous réels \(a\) et \(b\) : \(e^{a}\gt e^{b} \iff a\gt b\). Ainsi :

\[ f(x)\gt 0 \iff e^{x^2-12}\gt e^{x} \iff x^2-12\gt x \iff x^2-x-12\gt 0. \]

Ainsi, le trinôme \(x^2-x-12\) a pour discriminant \(\Delta=1+48=49\), et pour racines \(x_1=\dfrac{1-7}{2}=-3\) et \(x_2=\dfrac{1+7}{2}=4\) : \(x^2-x-12=(x+3)(x-4)\). Puis il est du signe de \(a=1\), donc positif, à l’extérieur des racines.

De même, \(f(x)=0 \iff x^2-x-12=0 \iff x=-3\) ou \(x=4\), et \(f(x)\lt 0 \iff -3\lt x\lt 4\). De plus, la conjecture est démontrée.

a) Conjecture. Les deux tangentes T₁ (à la courbe de \(f\), passant par O) et T₂ (à la courbe de \(g\), passant par le point de coordonnées \((0\,;1)\)) semblent parallèles : quand on avance de 1 en abscisse, chacune monte de 1. Ensuite, elles auraient le même coefficient directeur, égal à 1.

b) Démonstration. Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 0 est le nombre dérivé en 0.

• \(f(x)=xe^{x}\) : avec \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\), \(f^{\prime}(x)=e^{x}+xe^{x}=(1+x)e^{x}\), donc \(f^{\prime}(0)=1\). Comme \(f(0)=0\), T₁ a pour équation \(y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\), soit \(y=x\).
• \(g(x)=x^2+e^{x}\) : \(g^{\prime}(x)=2x+e^{x}\), donc \(g^{\prime}(0)=0+1=1\). Comme \(g(0)=0+1=1\), T₂ a pour équation \(y=x+1\).

De même, les deux tangentes ont le même coefficient directeur 1 et des ordonnées à l’origine différentes (0 et 1) : elles sont strictement parallèles.

Étape 1 : trouver a et b. On lit sur la figure que la courbe passe par \(A(0\,;2)\) et \(B(2\,;0)\).

• \(f(0)=2\) : \((a\times 0+b)e^{0}=b\), donc \(b=2\).
• \(f(2)=0\) : \((2a+2)e^{2}=0\). Comme \(e^{2}\neq 0\), \(2a+2=0\), donc \(a=-1\).

Ainsi \(f(x)=(2-x)e^{x}\) sur \([-1\,;2]\).

Étape 2 : hauteur du profilé. \(f^{\prime}(x)=-e^{x}+(2-x)e^{x}=(1-x)e^{x}\). Ensuite, comme \(e^{x}\gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(1-x\) : positif sur \([-1\,;1]\), négatif sur \([1\,;2]\). Par ailleurs, la fonction \(f\) est croissante puis décroissante : son maximum est \(f(1)=(2-1)e^{1}=e\approx 2{,}718\).

Puis le profilé tient donc dans un rectangle de largeur \(2-(-1)=3\) unités et de hauteur \(e\) unités. De plus, avec une unité de 10 cm :

• largeur : \(3\times 10=30\) cm, exactement la largeur de la planche ;
• hauteur : \(10e\approx 27{,}18\) cm.

Étape 3 : nombre de profilés. Les profilés sont empilés dans la longueur de 300 cm de la planche :

\[ \frac{300}{10e}=\frac{30}{e}\approx 11{,}04. \]

Par ailleurs, on peut placer 11 profilés (\(11\times 27{,}18\approx 299{,}0\) cm \(\leqslant 300\) cm), mais pas 12 (\(12\times 27{,}18\approx 326{,}2\) cm).

On part du membre de droite et on remplace \(f(x)\) par son expression. Puis pour tout réel \(x\), \(e^{x}+1\gt 0\), donc \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\).

\[ \begin{aligned} 1+[f(x)]^2 &= 1+\frac{(e^{x}-1)^2}{(e^{x}+1)^2} = \frac{(e^{x}+1)^2+(e^{x}-1)^2}{(e^{x}+1)^2} \\ &= \frac{e^{2x}+2e^{x}+1+e^{2x}-2e^{x}+1}{(e^{x}+1)^2} = \frac{2(e^{2x}+1)}{(e^{x}+1)^2}. \end{aligned} \]

Donc :

\[ \begin{aligned} \frac{2f(x)}{1+[f(x)]^2} &= \frac{2(e^{x}-1)}{e^{x}+1}\times\frac{(e^{x}+1)^2}{2(e^{2x}+1)} = \frac{(e^{x}-1)(e^{x}+1)}{e^{2x}+1} \\ &= \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}. \end{aligned} \]

Ainsi, on a utilisé \((e^{x})^2=e^{2x}\) et l’identité \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Or, par définition, \(f(2x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\).

On met tout au même dénominateur \(e^{x}\), en utilisant \(e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}\) :

\[ e^{x}-2+e^{-x}=\frac{(e^{x})^2-2e^{x}+1}{e^{x}}=\frac{(e^{x}-1)^2}{e^{x}}. \]

De même, le numérateur est un carré, donc positif ou nul, et le dénominateur \(e^{x}\) est strictement positif. Ensuite, le quotient est donc positif ou nul pour tout réel \(x\).

Remarque : l’égalité n’a lieu que si \(e^{x}=1\), c’est-à-dire pour \(x=0\).

On tape l’expression en une seule fois, sans oublier les parenthèses autour du dénominateur : e^(2) ÷ (1 + e^(−3)).

\[ \frac{e^{2}}{1+e^{-3}}\approx\frac{7{,}389056}{1{,}049787}\approx 7{,}03862. \]

Ensuite, le chiffre des dix-millièmes est 6 (supérieur ou égal à 5), on arrondit donc au millième supérieur.

1. La fonction exponentielle est sa propre dérivée : \(\exp^{\prime}(1)=e\) et \(\exp(1)=e\). Puis l’équation de T₁ est :

\[ y=e(x-1)+e=ex. \]

De plus, T₁ a pour équation \(y=ex\) (elle passe par l’origine).

2. a) \(g(x)=e^{x}-ex\), donc \(g^{\prime}(x)=e^{x}-e\). Par ailleurs, comme la fonction exponentielle est strictement croissante : \(g^{\prime}(x)\gt 0 \iff e^{x}\gt e^{1} \iff x\gt 1\), et \(g^{\prime}(1)=0\).

Limites : en \(-\infty\), \(e^{x}\to 0\) et \(-ex\to+\infty\), donc \(g(x)\to+\infty\). Puis en \(+\infty\), \(g(x)=x\left(\dfrac{e^{x}}{x}-e\right)\) et \(\dfrac{e^{x}}{x}\to+\infty\) (croissances comparées), donc \(g(x)\to+\infty\). Enfin \(g(1)=e-e=0\).

b) La fonction \(g\) admet un minimum égal à 0 en \(x=1\). Donc pour tout réel \(x\), \(g(x)\geqslant 0\), avec égalité seulement pour \(x=1\).

c) \(g(x)=e^{x}-ex\) est la différence entre l’ordonnée du point de \(\mathcal{C}\) et celle du point de T₁ de même abscisse. Ainsi, comme \(g(x)\geqslant 0\), la courbe \(\mathcal{C}\) est au-dessus de la tangente T₁, et elles n’ont qu’un point commun, le point de contact \((1\,;e)\).

a) \(f(x)=e^{-x}\), donc \(f^{\prime}(x)=-e^{-x}\) (dérivée de \(e^{u}\) : \(u^{\prime}e^{u}\) avec \(u(x)=-x\)). De plus, en 0 : \(f(0)=1\) et \(f^{\prime}(0)=-1\).

\[ y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)=-x+1. \]

De même, la tangente T a pour équation \(y=-x+1\).

b) On étudie le signe de la différence \(d(x)=f(x)-(-x+1)=e^{-x}+x-1\).

\(d^{\prime}(x)=-e^{-x}+1\). Or \(d^{\prime}(x)\gt 0 \iff e^{-x}\lt 1 \iff -x\lt 0 \iff x\gt 0\). Donc \(d\) est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) et croissante sur \([0\,;+\infty[\) : elle admet un minimum en 0, égal à \(d(0)=1+0-1=0\).

Donc \(d(x)\geqslant 0\) pour tout réel \(x\) : la courbe \(\mathcal{C}\) est au-dessus de sa tangente T, et elles se touchent uniquement au point \((0\,;1)\).

La tangente affichée. Elle est horizontale et touche la courbe en son point le plus bas, d’abscisse 0. Vérifions : \(h^{\prime}(x)=e^{x}-e^{-x}\), donc \(h^{\prime}(0)=1-1=0\), et \(h(0)=1+1=2\). Ensuite, c’est la tangente au point d’abscisse 0, d’équation \(y=2\).

Position relative. On étudie le signe de \(h(x)-2\) :

\[ h(x)-2=e^{x}-2+e^{-x}=\frac{(e^{x}-1)^2}{e^{x}}. \]

(C’est le calcul de l’exercice 15.) Un carré est positif ou nul et \(e^{x}\gt 0\), donc \(h(x)-2\geqslant 0\) pour tout réel \(x\), avec égalité seulement pour \(x=0\).

1. a) Conjecture. À la calculatrice, la courbe \(\mathcal{C}_f\) monte jusqu’à un sommet d’abscisse 1 (ordonnée environ 2,72), puis redescend. Ensuite, on conjecture que \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;1]\) et décroissante sur \([1\,;+\infty[\).

b) Validation. \(f(x)=e^{u(x)}\) avec \(u(x)=-x^2+2x\), donc \(f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)e^{u(x)}=(-2x+2)e^{-x^2+2x}\).

Puis comme une exponentielle est strictement positive, \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(-2x+2\) : positif pour \(x\lt 1\), nul en 1, négatif pour \(x\gt 1\). Par ailleurs, la conjecture est validée, et le maximum est \(f(1)=e^{1}=e\).

2. a) Conjecture. Les deux courbes semblent se couper aux points d’abscisses 0 et 3 ; \(\mathcal{C}_f\) semble au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) entre 0 et 3, et en dessous ailleurs.

b) Étude. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante :

\[ f(x)\gt g(x) \iff e^{-x^2+2x}\gt e^{-x} \iff -x^2+2x\gt -x \iff -x^2+3x\gt 0 \iff x(3-x)\gt 0. \]

De plus, le produit \(x(3-x)\) s’annule en 0 et en 3, et il est positif entre ses racines (coefficient de \(x^2\) égal à \(-1\), négatif). Donc :

• sur \(]0\,;3[\), \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) ;
• sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]3\,;+\infty[\), \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de \(\mathcal{C}_g\) ;
• les courbes se coupent aux points d’abscisses 0 et 3, c’est-à-dire en \((0\,;1)\) et \((3\,;e^{-3})\).

On utilise les règles \((e^{a})^{n}=e^{na}\), \(e^{a}\times e^{b}=e^{a+b}\), \(\dfrac{e^{a}}{e^{b}}=e^{a-b}\) et \(\dfrac{1}{e^{-x}}=e^{x}\).

a)

\[ (e^{x})^{5}\times e^{-2x}=e^{5x}\times e^{-2x}=e^{5x-2x}=e^{3x}. \]

b)

\[ \frac{e^{2x+3}}{e^{2x-1}}=e^{(2x+3)-(2x-1)}=e^{4}. \]

Attention au signe : on soustrait tout l’exposant \(2x-1\), donc \(+3-(-1)=4\). Puis le résultat ne dépend plus de \(x\).

c)

\[ \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{-x}}=\frac{e^{x}}{e^{-x}}+\frac{e^{-x}}{e^{-x}}=e^{x-(-x)}+1=e^{2x}+1. \]

On part du membre de droite et on multiplie numérateur et dénominateur par \( e^{x} \) (qui n’est jamais nul), pour faire disparaître les exposants négatifs. Ensuite, on utilise \( e^{x} \times e^{-x} = e^{0} = 1 \) et \( e^{x} \times e^{-2x} = e^{-x} \).

Numérateur : \( e^{x} \times \left(1 – e^{-2x}\right) \times e^{x} = e^{2x}\left(1 – e^{-2x}\right) = e^{2x} – e^{0} = e^{2x} – 1 \).

Dénominateur : \( \left(1 + e^{-x}\right) \times e^{x} = e^{x} + 1 \).

Donc, pour tout réel \( x \) :

\[ e^{x} \times \frac{1 – e^{-2x}}{1 + e^{-x}} = \frac{e^{x} \times \left(1 – e^{-2x}\right) \times e^{x}}{\left(1 + e^{-x}\right) \times e^{x}} = \frac{e^{2x} – 1}{e^{x} + 1} \]

Par ailleurs, les dénominateurs \( 1 + e^{-x} \) et \( e^{x} + 1 \) sont strictement positifs (une exponentielle est toujours positive), donc tout est bien défini sur \( \mathbb{R} \).

Remarque : comme \( e^{2x} – 1 = \left(e^{x} – 1\right)\left(e^{x} + 1\right) \), les deux membres sont en fait égaux à \( e^{x} – 1 \).

a) Ici \( y \) est un nombre fixé : la variable est \( x \). Puis la fonction \( h \) est dérivable sur \( \mathbb{R} \) comme produit de fonctions dérivables. De plus, on dérive avec \( (uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime} \), où \( u(x) = \exp(x + y) \), \( u^{\prime}(x) = \exp(x + y) \), et \( v(x) = \exp(-x) \), \( v^{\prime}(x) = -\exp(-x) \) :

\[ h^{\prime}(x) = \exp(x + y) \times \exp(-x) + \exp(x + y) \times \left(-\exp(-x)\right) = 0 \]

Ainsi, la dérivée est nulle sur \( \mathbb{R} \) (qui est un intervalle), donc \( h \) est constante sur \( \mathbb{R} \).

b) Une fonction constante prend partout la même valeur qu’en 0. Or :

\[ h(0) = \exp(0 + y) \times \exp(0) = \exp(y) \times 1 = \exp(y) \]

Donc, pour tout réel \( x \), \( h(x) = \exp(y) \).

c) Pour tous réels \( x \) et \( y \), on a donc \( \exp(x + y) \times \exp(-x) = \exp(y) \). Ensuite, on multiplie les deux membres par \( \exp(x) \), en utilisant \( \exp(-x) \times \exp(x) = 1 \) (propriété du cours, qui vient de ce que \( \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)} \)) :

\[ \exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y) \]

a) La dérivée de \( x \mapsto \exp(-x) \) est \( x \mapsto -\exp(-x) \) (dérivée de \( e^{u} \) : \( u^{\prime}e^{u} \), avec \( u(x) = -x \)). Donc, pour tout réel \( x \) :

\[ f^{\prime}(x) = \exp(x) – \exp(-x) = g(x) \qquad g^{\prime}(x) = \exp(x) + \exp(-x) = f(x) \]

De même, on remarque que \( f^{\prime} = g \) et \( g^{\prime} = f \).

b) On utilise \( \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)} \) et on réduit au même dénominateur \( \exp(x) \).

• \( f(x) = \exp(x) + \dfrac{1}{\exp(x)} = \dfrac{\exp(x) \times \exp(x) + 1}{\exp(x)} = \dfrac{\left[\exp(x)\right]^{2} + 1}{\exp(x)} \).
• \( g(x) = \exp(x) – \dfrac{1}{\exp(x)} = \dfrac{\left[\exp(x)\right]^{2} – 1}{\exp(x)} \), et d’après l’identité remarquable \( a^{2} – 1 = (a – 1)(a + 1) \) avec \( a = \exp(x) \) : \( g(x) = \dfrac{\left(\exp(x) – 1\right)\left(\exp(x) + 1\right)}{\exp(x)} \).
• On factorise avec \( a^{2} – b^{2} = (a – b)(a + b) \) :
  \[ \begin{aligned} f^{2}(x) – g^{2}(x) &= \left(f(x) – g(x)\right)\left(f(x) + g(x)\right) \\ &= 2\exp(-x) \times 2\exp(x) \\ &= 4\exp(0) = 4 \end{aligned} \]
  car \( f(x) – g(x) = 2\exp(-x) \) et \( f(x) + g(x) = 2\exp(x) \).

On applique les règles \( e^{a} \times e^{b} = e^{a + b} \), \( \dfrac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a – b} \) et \( \left(e^{a}\right)^{n} = e^{na} \), avec \( e = e^{1} \).

1. a) \( \left(e^{2a + 1}\right)^{3} \times \left(e^{-3a}\right)^{2} = e^{6a + 3} \times e^{-6a} = e^{6a + 3 – 6a} = e^{3} \). Par ailleurs, le résultat ne dépend pas de \( a \).

b) \( \dfrac{e^{2 – 3a}}{e^{1 + a}} = e^{(2 – 3a) – (1 + a)} = e^{1 – 4a} \) (attention aux parenthèses : on soustrait tout l’exposant du dénominateur).

c) \( \dfrac{e^{3a + 1}}{e^{a} \times e} = \dfrac{e^{3a + 1}}{e^{a + 1}} = e^{3a + 1 – a – 1} = e^{2a} \).

2. On part du membre de droite et on sépare la fraction :

\[ \frac{e^{x} – 1}{e^{2x}} = \frac{e^{x}}{e^{2x}} – \frac{1}{e^{2x}} = e^{x – 2x} – e^{-2x} = e^{-x} – e^{-2x} \]

Ensuite, l’égalité est vraie pour tout réel \( x \).

a. À l’étape 1, tout le carré de côté 1 est colorié : \( C_1 = 1 \).

Puis après cela, à l’étape 2, le carré est partagé en 9 carrés de même aire \( \dfrac{1}{9} \) et on en garde 8 : \( C_2 = \dfrac{8}{9} \).

De plus, À l’étape 3, chacun des 8 carrés coloriés est à son tour partagé en 9 et perd celui du milieu : il garde \( \dfrac{8}{9} \) de son aire. Donc \( C_3 = 8 \times \dfrac{8}{9} \times \dfrac{1}{9} \), soit \( C_3 = \dfrac{64}{81} \). Puis on le vérifie sur la figure : 64 petits carrés coloriés sur une grille de \( 9 \times 9 = 81 \).

b. Passer d’une étape à la suivante revient à garder les \( \dfrac{8}{9} \) de la partie coloriée :

\[ C_3 = \frac{8}{9} \times C_2 = \frac{8}{9} \times \frac{8}{9} = \left(\frac{8}{9}\right)^{2} \]

Par ailleurs, c’est bien la forme \( a^{n} \) avec \( a = \dfrac{8}{9} \) et \( n = 2 \).

c. À chaque étape, l’aire est multipliée par \( \dfrac{8}{9} \) : \( (C_n) \) est une suite géométrique de premier terme \( C_1 = 1 \) et de raison \( \dfrac{8}{9} \). Donc \( C_n = \left(\dfrac{8}{9}\right)^{n – 1} \) et :

\[ C_{25} = \left(\frac{8}{9}\right)^{24} \approx 0{,}059 \]

Ainsi, À l’étape 25, il ne reste qu’environ 6 % du carré colorié : comme \( 0 \lt \dfrac{8}{9} \lt 1 \), l’aire diminue à chaque étape et se rapproche de 0.

a. On compte les parties sur chaque figure :

• n° 2 : le diamètre coupe le disque en 2 : \( u_2 = 2 \) ;
• n° 3 : le triangle et les 3 zones entre le triangle et le cercle : \( u_3 = 4 \) ;
• n° 4 : les deux diagonales coupent le carré en 4 triangles, plus 4 zones le long du cercle : \( u_4 = 8 \) ;
• n° 5 : le pentagone contient un petit pentagone central et 5 pointes d’étoile, 5 triangles entre l’étoile et les côtés, plus 5 zones le long du cercle : \( 1 + 5 + 5 + 5 = 16 \), donc \( u_5 = 16 \).

b. Les valeurs 1, 2, 4, 8, 16 doublent à chaque fois : ce sont les puissances de 2. Ensuite, on conjecture que \( u_n = 2^{n – 1} \), ce qui donnerait \( u_6 = 32 \).

Compter les parties du cercle à 6 points (question c)

c. Sur le cercle n° 6, les 6 points forment un hexagone régulier et on trace les \( \dfrac{6 \times 5}{2} = 15 \) segments.

De même, pour compter sans se tromper, on trace les segments un par un : un segment qui coupe \( k \) segments déjà tracés (en des points nouveaux) traverse \( k + 1 \) parties et ajoute donc \( k + 1 \) parties. Puis on obtient la règle : nombre de parties = 1 + nombre de segments + nombre de points de croisement intérieurs, un point où passent trois segments comptant pour 2.

• Il y a 15 segments.
• Quatre points du cercle définissent un croisement de deux cordes : il y en aurait \( \binom{6}{4} = 15 \). Mais les trois grandes diagonales se coupent au même point, le centre : ces 3 croisements n’en forment qu’un, où passent 3 segments. Il reste 12 croisements simples et 1 croisement triple.

\[ u_6 = 1 + 15 + 12 \times 1 + 1 \times 2 = 30 \]

Ensuite, on trouve \( u_6 = 30 \), et non \( 2^{5} = 32 \). La conjecture \( u_n = 2^{n – 1} \) est fausse : quelques premiers termes ne suffisent jamais à démontrer une formule générale. (Même avec des points placés de façon à éviter tout croisement triple, on n’obtiendrait que 31 parties.)

Pour une fonction \( x \mapsto k \times a^{x} \) avec \( k \gt 0 \) et \( a \gt 0 \) : elle est strictement croissante si \( a \gt 1 \), strictement décroissante si \( 0 \lt a \lt 1 \), et constante si \( a = 1 \). Puis ici tous les \( k \) sont positifs, c’est donc \( a \) qui décide.

Attention aux cas d) et f) : quand aucun nombre n’est écrit devant, \( k = 1 \).

1. Sur le quadrillage, une unité est partagée en 5 petits carreaux : un carreau vaut 0,2 en ordonnée.

• La courbe part du point d’abscisse 0 situé 2 carreaux au-dessus de l’axe : \( f(0) = 0{,}4 \).
• Au-dessus de l’abscisse 1, la courbe est 3 carreaux au-dessus de l’axe : \( f(1) = 0{,}6 \).

2. \( f(0) = k \times a^{0} = k \times 1 = k \), donc \( k = 0{,}4 \).

\( f(1) = k \times a^{1} = k \times a \), donc \( 0{,}4 \times a = 0{,}6 \) et \( a = \dfrac{0{,}6}{0{,}4} \), soit \( a = 1{,}5 \).

Vérification sur la courbe : \( f(4) = 0{,}4 \times 1{,}5^{4} = 2{,}025 \), et la courbe passe bien très près du point de coordonnées (4 ; 2).

Deux informations suffisent : la valeur en 0, qui vaut \( k \) (car \( a^{0} = 1 \)), et le sens de variation, donné par \( a \).

• \( f(x) = 3 \times 0{,}7^{x} \) : \( f(0) = 3 \) et \( 0{,}7 \lt 1 \), donc \( f \) est décroissante et part de 3. C’est la courbe \( \mathscr{C}_2 \).
• \( g(x) = 3 \times 1{,}2^{x} \) : \( g(0) = 3 \) et \( 1{,}2 \gt 1 \), donc \( g \) est croissante et part de 3. C’est la courbe \( \mathscr{C}_3 \).
• \( h(x) = 1{,}2^{x} \) : \( h(0) = 1 \) et \( h \) est croissante. C’est la courbe \( \mathscr{C}_1 \).

Contrôle : \( h(2) = 1{,}2^{2} = 1{,}44 \) et \( f(2) = 3 \times 0{,}7^{2} = 1{,}47 \) : les courbes \( \mathscr{C}_1 \) et \( \mathscr{C}_2 \) se croisent bien près de l’abscisse 2, à une hauteur d’environ 1,5.

Sur \( [0 \,;\, +\infty[ \), la fonction \( x \mapsto x^{n} \) (avec \( n \) entier, \( n \geqslant 1 \)) est strictement croissante et continue, de 0 à \( +\infty \) : chaque équation \( x^{n} = c \) avec \( c \geqslant 0 \) a donc une seule solution positive, la racine \( n \)-ième de \( c \), notée \( c^{\frac{1}{n}} \). De plus, il suffit de la trouver.

a) \( 4^{3} = 64 \), donc \( x^{3} = 64 \iff x = 64^{\frac{1}{3}} = 4 \). \( \mathcal{S} = \{4\} \).

b) \( 3^{4} = 81 \), donc \( x^{4} = 81 \iff x = 81^{\frac{1}{4}} = 3 \). \( \mathcal{S} = \{3\} \) (la valeur \( -3 \) n’est pas dans l’intervalle).

c) \( 0{,}5^{3} = 0{,}125 \), donc \( x^{3} = 0{,}125 \iff x = 0{,}5 \). \( \mathcal{S} = \{0{,}5\} \).

d) \( 5^{2} = 25 \), donc \( x^{2} = 25 \iff x = 5 \). \( \mathcal{S} = \{5\} \) (la solution \( -5 \) de l’équation sur \( \mathbb{R} \) est exclue).