Limites de suites en terminale : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

a) On calcule les premiers termes (la somme contient les produits \(k(k-1)\) pour \(k\) de 1 à \(n\)) :

Par exemple \(v_3=\dfrac{3}{3}(0+2+6)=8\) et \(v_4=\dfrac{3}{4}(0+2+6+12)=\dfrac{3}{4}\times 20=15\). On constate que \(v_n\) vaut toujours \(n^2\) moins 1.

b) On conjecture : pour tout \(n\geqslant 1\), \(v_n=n^2-1\).

(On peut le confirmer : \(\sum_{k=1}^{n}k(k-1)=\dfrac{(n-1)n(n+1)}{3}\), donc \(v_n=\dfrac{3}{n}\times\dfrac{(n-1)n(n+1)}{3}=(n-1)(n+1)=n^2-1\).)

c) \(\lim\limits_{n\to+\infty}n^2=+\infty\), donc par somme \(\lim\limits_{n\to+\infty}(n^2-1)=+\infty\).

On utilise les limites de référence.

a) \(\lim n=+\infty\) et \(-7\lt 0\), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}(-7n)=-\infty\).

b) \(e^{-n}=\dfrac{1}{e^{n}}\) et \(\lim e^{n}=+\infty\), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}e^{-n}=0\).

c) \(\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty\).

d) \(\lim n^2=+\infty\), donc \(\lim\dfrac{1}{n^2}=0\) et, par produit par 4, \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{4}{n^2}=0\).

a) \(\lim 4n=+\infty\), donc \(\lim(2+4n)=+\infty\) : oui.

b) \(\lim(-n)=-\infty\), donc \(\lim(-n+3)=-\infty\) : non, la limite est \(-\infty\).

c) \(\lim(n^2+1)=+\infty\), donc \(\lim\dfrac{1}{n^2+1}=0\) : non, la suite converge vers 0.

d) \(\lim n^3=+\infty\) et \(5\gt 0\), donc \(\lim 5n^3=+\infty\) : oui.

On lit le tableau et on cherche une régularité :

• \(u_n\) : 0, 1, 8, 27, 64… ce sont les cubes, \(u_n=n^3\). Les termes grandissent sans limite : \(\lim u_n=+\infty\).
• \(v_n\) : 1 ; 0,125 ; 0,03704 ; 0,01563… ce sont \(\frac{1}{1}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{27}\), \(\frac{1}{64}\), soit \(v_n=\dfrac{1}{(n+1)^3}\). Les termes s’approchent de 0 : \(\lim v_n=0\).
• \(w_n\) : −20, −120, −220… on retire 100 à chaque rang, \(w_n=-20-100n\) : \(\lim w_n=-\infty\).
• \(t_n\) : 1,008 ; 1,00463 ; 1,00292… soit \(1+\frac{1}{125}\), \(1+\frac{1}{216}\), \(1+\frac{1}{343}\) : \(t_n=1+\dfrac{1}{(n+5)^3}\). Les termes s’approchent de 1 par valeurs supérieures : \(\lim t_n=1\).

a) Tableau de valeurs (arrondies au millième) :

b) On conjecture que \(\lim u_n=-3\) et que \(\lim v_n=+\infty\).

c) Pour tout \(n\geqslant 1\), \(u_n=-3+\dfrac{1}{n^2}\gt -3\gt -3{,}01\). Il reste à obtenir \(u_n\lt -2{,}99\) :

\[ -3+\frac{1}{n^2}\lt -2{,}99\iff\frac{1}{n^2}\lt 0{,}01\iff n^2\gt 100\iff n\gt 10. \]

Attention : \(u_{10}=-2{,}99\) n’appartient pas à l’intervalle ouvert. Donc \(u_n\in\,]-3{,}01\,;-2{,}99[\) à partir du rang 11.

Pour \(v\) : \(2n^3+1\gt 10^4\iff n^3\gt 4999{,}5\iff n\gt\sqrt[3]{4999{,}5}\approx 17{,}1\). On vérifie : \(v_{17}=9\,827\) et \(v_{18}=11\,665\). La suite \(v\) étant croissante, \(v_n\in\,]10^4\,;+\infty[\) à partir du rang 18.

a) L’algorithme part de \(u_0=\sqrt{4}=2\) et calcule les termes successifs tant qu’ils restent inférieurs ou égaux à A. Il affiche le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\gt A\) : c’est un algorithme de seuil.

b) Programme en Python :

from math import sqrt
A = float(input(« A = « ))
n = 0
u = 2
while u <= A:
    n = n + 1
    u = sqrt(3*n + 4)
print(n)

c) On obtient :

Pour tout seuil A, aussi grand soit-il, les termes finissent par le dépasser : on conjecture que \(\lim u_n=+\infty\).

d) Soit \(A\gt 0\). Pour \(n\in\mathbb{N}\), la fonction racine carrée étant strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\) :

\[ u_n\gt A\iff 3n+4\gt A^2\iff n\gt\frac{A^2-4}{3}. \]

Donc, dès que \(n\) dépasse \(\dfrac{A^2-4}{3}\), tous les termes \(u_n\) sont dans \(]A\,;+\infty[\). C’est la définition de \(\lim u_n=+\infty\). (Pour \(A=50\) : \(n\gt 832\), d’où le 833 affiché.)

On conjecture que la limite est 5, car \(\dfrac{2}{\sqrt{n}}\) devient très petit. On revient à la définition : tout intervalle ouvert contenant 5 doit contenir tous les termes à partir d’un certain rang.

Soit \(\varepsilon\gt 0\) et l’intervalle \(]5-\varepsilon\,;5+\varepsilon[\). Pour tout \(n\geqslant 1\), \(u_n=5-\dfrac{2}{\sqrt{n}}\lt 5\lt 5+\varepsilon\). De plus :

\[ u_n\gt 5-\varepsilon\iff\frac{2}{\sqrt{n}}\lt\varepsilon\iff\sqrt{n}\gt\frac{2}{\varepsilon}\iff n\gt\frac{4}{\varepsilon^2}. \]

Ainsi, pour tout entier \(n\) supérieur à \(\dfrac{4}{\varepsilon^2}\), \(u_n\in\,]5-\varepsilon\,;5+\varepsilon[\). Tout intervalle ouvert contenant 5 contient un tel intervalle, donc il contient tous les termes à partir d’un certain rang.

1. À la calculatrice : \(w_0=-3\), \(w_1=-4\), \(w_2=-3\), \(w_3=0\), \(w_{10}=77\), \(w_{100}=9\,797\), \(w_{1000}=997\,997\). On conjecture que \(\lim w_n=+\infty\).

2. a) \((n-1)^2-4=n^2-2n+1-4=n^2-2n-3=w_n\).

b) Soit \(A\gt 0\). Pour \(n\geqslant 1\), \(n-1\geqslant 0\), donc :

\[ w_n\gt A\iff(n-1)^2\gt A+4\iff n-1\gt\sqrt{A+4}\iff n\gt 1+\sqrt{A+4}. \]

Ainsi, à partir d’un certain rang, tous les termes sont dans \(]A\,;+\infty[\), et cela pour tout réel A : par définition, \(\lim w_n=+\infty\).

1. a) Pour tout \(n\geqslant 6\) : \(u_n-n^3=n-6\geqslant 0\), donc \(u_n\geqslant n^3\).

b) \(\lim n^3=+\infty\) et \(u_n\geqslant n^3\) à partir du rang 6 : d’après le théorème de comparaison, \(\lim u_n=+\infty\).

2. Pour tout \(n\geqslant 1\), \(\left|(-1)^n\right|=1\) et \(-1\leqslant\sin n\leqslant 1\), donc \(-1\leqslant(-1)^n\sin n\leqslant 1\). En divisant par \(n^2\gt 0\) :

\[ -\frac{1}{n^2}\leqslant v_n\leqslant\frac{1}{n^2}. \]

Or \(\lim\left(-\dfrac{1}{n^2}\right)=\lim\dfrac{1}{n^2}=0\). D’après le théorème des gendarmes, la suite \(v\) converge et \(\lim v_n=0\).

a) Pour \(n\geqslant 2\), \(n^2-n=n(n-1)\). Comme \(n\geqslant 2\) et \(n-1\geqslant 1\), on a \(n(n-1)\geqslant 2\geqslant 1\).

En multipliant par \(\sqrt{n}\geqslant 0\) : \(v_n=(n^2-n)\sqrt{n}\geqslant 1\times\sqrt{n}\), soit \(v_n\geqslant\sqrt{n}\).

b) \(\lim\sqrt{n}=+\infty\) et \(v_n\geqslant\sqrt{n}\) pour \(n\geqslant 2\) : par comparaison, \(\lim v_n=+\infty\).