La continuité en terminale : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

1) a) \(f(0)=\dfrac{b}{-1}=-b\), donc \(-b=1\) et \(b=-1\). En \(+\infty\), on factorise par \(x\) : \(f(x)=\dfrac{a+\frac{b}{x}}{2-\frac{1}{x}}\to\dfrac{a}{2}\). Donc \(\dfrac{a}{2}=2\) et \(a=4\).

Ainsi \(f(x)=\dfrac{4x-1}{2x-1}\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{1}{2}\right\}\).

b) On réduit au même dénominateur \(4x-2=2(2x-1)\) :

\[ \frac{a}{2}+\frac{a+2b}{4x-2}=\frac{a(2x-1)+a+2b}{2(2x-1)}=\frac{2ax+2b}{2(2x-1)}=\frac{ax+b}{2x-1}=f(x). \]

Avec \(a=4\), \(b=-1\) : \(f(x)=2+\dfrac{2}{4x-2}=2+\dfrac{1}{2x-1}\).

2) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{2x-1}=0\), donc \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=2\) : asymptote horizontale \(y=2\). En \(\frac{1}{2}\), \(2x-1\to 0^+\) à droite et \(0^-\) à gauche :

\[ \lim_{x\to\frac{1}{2}^+}f(x)=+\infty,\qquad\lim_{x\to\frac{1}{2}^-}f(x)=-\infty : \]

asymptote verticale \(x=\frac{1}{2}\).

3) Avec \(\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^2}\) : \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{2}{(2x-1)^2}\lt 0\) pour tout \(x\neq\frac{1}{2}\).

4) \(f\) est strictement décroissante sur \(\left]-\infty\,;\frac{1}{2}\right[\) (de 2 à \(-\infty\)) et sur \(\left]\frac{1}{2}\,;+\infty\right[\) (de \(+\infty\) à 2).

5) Allure de la courbe :

1) Pour \(x\neq 2\) : \(2+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{2(x-2)+1}{x-2}=\dfrac{2x-3}{x-2}=f(x)\).

2) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x-2}=0\), donc \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=2\). En 2 : \(\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)=+\infty\).

3) a) Forme \(2+\dfrac{1}{x-2}\) : la fonction \(x\mapsto x-2\) est croissante et la fonction inverse est décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\). Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;2[\) et sur \(]2\,;+\infty[\). (Ou : \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{(x-2)^2}\lt 0\).)

b) Forme \(\dfrac{2x-3}{x-2}\) : tableau de signes.

\(f(x)\geqslant 0\) sur \(\left]-\infty\,;\frac{3}{2}\right]\cup\,]2\,;+\infty[\) et \(f(x)\lt 0\) sur \(\left]\frac{3}{2}\,;2\right[\).

c) Forme \(2+\dfrac{1}{x-2}\) : \(f(x)\geqslant 2\iff\dfrac{1}{x-2}\geqslant 0\iff x-2\gt 0\iff x\gt 2\).

1) Faux. La fonction \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) est strictement décroissante sur \([1\,;+\infty[\) mais \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\). Une fonction décroissante peut être minorée et avoir une limite finie.

2) Faux. \(f(x)=-2x-2\) et \(g(x)=-x-1\) (qui ne s’annule pas sur \([0\,;+\infty[\)) tendent vers \(-\infty\), mais \(\dfrac{f(x)}{g(x)}=2\).

3) Vrai. Pour \(x\gt 0\), en divisant par \(x\) : \(0\leqslant\dfrac{f(x)}{x}\leqslant\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\). Comme \(\lim\dfrac{1}{\sqrt{x}}=0\), le théorème des gendarmes donne \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0\).

4) Faux. \(f(x)=x\) restreinte à \(\mathbb{R}^*\) a pour limite 0 en 0 : la droite \(x=0\) n’est pas asymptote.

Ensemble de définition. Il faut \(x^2-2x=x(x-2)\geqslant 0\) et \(x\neq 1\), soit \(x\in\,]-\infty\,;0]\cup[2\,;+\infty[\). La valeur 1 n’est pas au bord du domaine : on ne peut pas s’approcher de 1, donc pas d’asymptote \(x=1\).

En \(+\infty\) (\(x\gt 0\), donc \(\sqrt{x^2}=x\)) :

\[ g(x)=\frac{x\sqrt{1-\frac{2}{x}}}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\frac{\sqrt{1-\frac{2}{x}}}{1-\frac{1}{x}}\ \xrightarrow[x\to+\infty]{}\ 1. \]

En \(-\infty\) (\(x\lt 0\), donc \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\)) :

\[ g(x)=\frac{-x\sqrt{1-\frac{2}{x}}}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}=-\frac{\sqrt{1-\frac{2}{x}}}{1-\frac{1}{x}}\ \xrightarrow[x\to-\infty]{}\ -1. \]

\(\Gamma\) admet donc deux asymptotes horizontales : \(y=-1\) en \(-\infty\) et \(y=1\) en \(+\infty\).

a) Vrai. C’est un théorème du cours : si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f(a+h)-f(a)=h\times\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\to 0\times f^{\prime}(a)=0\), donc \(f\) est continue en \(a\).

b) Faux. La fonction valeur absolue est continue en 0 mais pas dérivable en 0 : \(\dfrac{|h|}{h}\) vaut 1 pour \(h\gt 0\) et \(-1\) pour \(h\lt 0\), il n’y a pas de limite en 0.

c) Vrai. C’est la définition du nombre dérivé : \(f\) est dérivable en \(a\) signifie exactement que ce taux d’accroissement a une limite finie en 0, notée \(f^{\prime}(a)\).

1) « On dit que \(f\) admet une limite finie \(\ell\) en \(+\infty\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient toutes les valeurs \(f(x)\) pour \(x\) assez grand. »

2) Démonstration. Soit \(I\) un intervalle ouvert contenant \(\ell\).

• Comme \(\lim\limits_{+\infty}g=\ell\), il existe un réel \(A_1\) tel que, pour \(x\gt A_1\), \(g(x)\in I\).
• Comme \(\lim\limits_{+\infty}h=\ell\), il existe \(A_2\) tel que, pour \(x\gt A_2\), \(h(x)\in I\).
• Par hypothèse, il existe \(A_3\) tel que, pour \(x\gt A_3\), \(g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\).

Soit \(A\) le plus grand des trois réels \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\). Pour \(x\gt A\), \(g(x)\) et \(h(x)\) sont dans \(I\) et \(f(x)\) est compris entre eux. Un intervalle contient tous les nombres compris entre deux de ses éléments, donc \(f(x)\in I\).

Tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient donc toutes les valeurs \(f(x)\) pour \(x\) assez grand : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell\).

Première fonction. Pour \(x\neq 1\) (et \(x\geqslant -3\)), on multiplie par la quantité conjuguée :

\[ \frac{2-\sqrt{x+3}}{x-1}=\frac{4-(x+3)}{(x-1)\left(2+\sqrt{x+3}\right)}=\frac{-(x-1)}{(x-1)\left(2+\sqrt{x+3}\right)}=\frac{-1}{2+\sqrt{x+3}}. \]

Donc \(\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\dfrac{-1}{2+\sqrt{4}}=-\dfrac{1}{4}=f(1)\) : \(f\) est continue en 1.

Seconde fonction. Pour \(x\gt -1\), \(\dfrac{x+1}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}\), donc \(\lim\limits_{x\to -1^+}f(x)=0\). Or \(f(-1)=1\neq 0\) : \(f\) n’est pas continue en \(-1\).

Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe s’y trace sans lever le crayon. Un point plein appartient à la courbe, un point creux non.

Précisions : en a, les points creux en \(-1\) et en 3 excluent ces bornes ; en c, \(f\) n’est pas définie sur \([0\,;1[\) (point creux en 0), donc il n’y a pas de limite à gauche en 1 ; en b, le point \((1\,;0)\) est isolé sous le point creux \((1\,;1)\).

1) Il faut \(1-x^2\geqslant 0\iff x^2\leqslant 1\iff -1\leqslant x\leqslant 1\). Donc \(\mathcal{D}=[-1\,;1]\).

2) Représentation graphique (calculatrice ou logiciel) : la courbe part de \((-1\,;0)\), descend jusqu’à un minimum \(f(-0{,}5)=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\approx -1{,}3\), puis remonte jusqu’à \((1\,;0)\).

3) La fonction \(x\mapsto 1-x^2\) est continue et positive sur \([-1\,;1]\) et la racine carrée est continue sur \([0\,;+\infty[\) : par composition, \(x\mapsto\sqrt{1-x^2}\) est continue sur \([-1\,;1]\). La fonction \(x\mapsto x-1\) est continue. Par produit, \(f\) est continue sur \(\mathcal{D}\).

1) On trace la demi-droite \(y=x+2\) pour \(x\leqslant -1\) (elle passe par \((-1\,;1)\) et \((-3\,;-1)\)) et la demi-droite \(y=-2x-1\) pour \(x\gt -1\) (passant par \((0\,;-1)\) et \((1\,;-3)\)).

2) Au voisinage de 1, \(f(x)=-2x-1\) : fonction affine, donc continue en 1. (Le point intéressant est en fait \(-1\), où la définition change : voir la question 3.)

3)

\[ \lim_{\substack{x\to -1\\ x\lt -1}}f(x)=-1+2=1,\qquad\lim_{\substack{x\to -1\\ x\gt -1}}f(x)=-2\times(-1)-1=1. \]

Les deux limites sont égales à \(f(-1)=1\) : \(f\) est aussi continue en \(-1\), donc continue sur \(\mathbb{R}\).