Corrigé des 32 exercices sur les intégrales en terminale : solutions détaillées à télécharger en PDF

1) Avec \(u(x)=1-x\), \(u^{\prime}(x)=-1\) : \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}=-\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\), qui a pour primitive \(-2\sqrt{u}\).

\[ I=\Big[-2\sqrt{1-x}\Big]_{-4}^{0}=-2\sqrt{1}+2\sqrt{5}=2\sqrt{5}-2\approx 2{,}47. \]

2) \(\dfrac{1}{1-x}=-\dfrac{u^{\prime}}{u}\) avec \(u=1-x\gt 0\) sur \([-1\,;0]\) : primitive \(-\ln(1-x)\).

\[ J=\Big[-\ln(1-x)\Big]_{-1}^{0}=-\ln 1+\ln 2=\ln 2. \]

3) Sur \([2\,;3]\), \(1-x\lt 0\) : on écrit \(\dfrac{1}{1-x}=-\dfrac{1}{x-1}\), de primitive \(-\ln(x-1)\) (car \(x-1\gt 0\)).

\[ K=\Big[-\ln(x-1)\Big]_{2}^{3}=-\ln 2+\ln 1=-\ln 2. \]

4) \(\dfrac{\ln x}{x}=u^{\prime}u\) avec \(u=\ln x\) : primitive \(\dfrac{(\ln x)^2}{2}\).

\[ L=\left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_{1}^{e}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}. \]

Intégrale avec duplication. \(\sin(2t)=2\sin t\cos t\). De plus, avec \(u(t)=1+\sin^2 t\), \(u^{\prime}(t)=2\sin t\cos t\) : l’intégrande est \(\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\), de primitive \(2\sqrt{u}\).

\[ I=\Big[2\sqrt{1+\sin^2 t}\Big]_{0}^{\pi}=2\sqrt{1+0}-2\sqrt{1+0}=0. \]

1) La dérivée du dénominateur \(x+1\) est 1, pas \(x\) : ce n’est pas une forme \(\frac{u^{\prime}}{u}\). De plus, ce n’est pas non plus \(\frac{u^{\prime}}{u^2}\), \(u^{\prime}u^n\) ni \(\frac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\) : aucune forme de dérivée connue n’apparaît directement.

2) Pour \(x\neq -1\) :

\[ f(x)=\frac{x+1-1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}. \]

Donc \(\alpha=1\) et \(\beta=-1\).

3) Sur \([0\,;1]\), \(x+1\gt 0\), une primitive de \(f\) est \(x-\ln(x+1)\) :

\[ I=\Big[x-\ln(x+1)\Big]_0^1=(1-\ln 2)-(0-\ln 1)=1-\ln 2. \]

Première intégrale. \(t^3=t^3+t-t=t(t^2+1)-t\), donc \(\dfrac{t^3}{t^2+1}=t-\dfrac{t}{t^2+1}=t-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2t}{t^2+1}\).

\[ I=\left[\frac{t^2}{2}-\frac{1}{2}\ln(t^2+1)\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2. \]

Deuxième intégrale. Sur \([1\,;2]\), \(\dfrac{3u^2+2u-1}{u}=3u+2-\dfrac{1}{u}\) :

\[ I=\left[\frac{3u^2}{2}+2u-\ln u\right]_1^2=(6+4-\ln 2)-\left(\frac{3}{2}+2\right)=\frac{13}{2}-\ln 2. \]

Troisième intégrale. 1) \(f(t)=t\cos t\), \(f^{\prime}(t)=\cos t-t\sin t\), \(f^{\prime\prime}(t)=-\sin t-\sin t-t\cos t=-2\sin t-t\cos t\). Donc \(-2\sin t-f^{\prime\prime}(t)=-2\sin t+2\sin t+t\cos t=f(t)\).

2) Une primitive de \(-2\sin t\) est \(2\cos t\) et une primitive de \(f^{\prime\prime}\) est \(f^{\prime}\) :

\[ \begin{aligned} I&=\Big[2\cos t-f^{\prime}(t)\Big]_0^{\pi}=\big(2\cos\pi-f^{\prime}(\pi)\big)-\big(2\cos 0-f^{\prime}(0)\big) \\ &=(-2-(-1))-(2-1)=-1-1=-2. \end{aligned} \]

La seconde intégrale de l’énoncé est notée \(J=\int_0^1\frac{1}{e^x+2}\,\mathrm{d}x\).

1) Par linéarité :

\[ I+J=\int_0^1\frac{e^x+2}{e^x+2}\,\mathrm{d}x=\int_0^1 1\,\mathrm{d}x=1, \]

\[ I-J=\int_0^1\frac{e^x}{e^x+2}\,\mathrm{d}x=\Big[\ln(e^x+2)\Big]_0^1=\ln(e+2)-\ln 3=\ln\frac{e+2}{3}. \]

2) En additionnant puis en soustrayant :

\[ I=\frac{1}{2}\left(1+\ln\frac{e+2}{3}\right)\approx 0{,}726,\qquad J=\frac{1}{2}\left(1-\ln\frac{e+2}{3}\right)\approx 0{,}274. \]

Même consigne. \(I+J=\int_0^{\pi}(\cos^2t+\sin^2t)\,\mathrm{d}t=\int_0^{\pi}1\,\mathrm{d}t=\pi\) et

\[ I-J=\int_0^{\pi}\cos(2t)\,\mathrm{d}t=\left[\frac{\sin 2t}{2}\right]_0^{\pi}=0. \]

Donc \(I=J=\dfrac{\pi}{2}\).

1) Il faut \(1-x^2\geqslant 0\iff -1\leqslant x\leqslant 1\) : \(\mathcal{D}_f=[-1\,;1]\).

2) a) Le tracé ressemble à un demi-cercle de centre O et de rayon 1 (au-dessus de l’axe des abscisses).

b) \(M\in\mathcal{C}_f\iff x_M\in\mathcal{D}_f\) et \(y_M=\sqrt{1-x_M^2}\). Or, pour \(y_M\geqslant 0\) :

\[ y_M=\sqrt{1-x_M^2}\iff y_M^2=1-x_M^2\iff x_M^2+y_M^2=1\iff OM=1. \]

Précisément : si \(M\in\mathcal{C}_f\), alors \(x_M\in\mathcal{D}_f\) et \(OM^2=x_M^2+(1-x_M^2)=1\). Par ailleurs, réciproquement, si \(OM=1\), \(x_M\in\mathcal{D}_f\) et \(y_M\geqslant 0\) (les points de la courbe ont une ordonnée positive), alors \(y_M=\sqrt{1-x_M^2}\).

c) \(\mathcal{C}_f\) est le demi-cercle supérieur (ordonnées positives) de centre O et de rayon 1.

3) a) \(f\) est continue sur \([-1\,;1]\) (composée de fonctions continues), donc l’intégrale existe. De plus \(f\geqslant 0\) : elle représente une aire.

b) I est l’aire du demi-disque de rayon 1 : \(I=\dfrac{\pi\times 1^2}{2}=\dfrac{\pi}{2}\).

1) a) \(t\mapsto t^2e^t\) est continue sur \(\mathbb{R}^+\), donc \(\varphi\) est la primitive de \(f(x)=x^2e^x\) qui s’annule en 0 : \(\varphi^{\prime}(x)=x^2e^x\).

\(\psi^{\prime}(x)=(2x-2)e^x+(x^2-2x+2)e^x=x^2e^x\). Donc \(\varphi\) et \(\psi\) sont deux primitives de \(f(x)=x^2e^x\).

b) Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante : \(\varphi=\psi+k\). Ensuite, en 0 : \(\varphi(0)=0\) et \(\psi(0)=2\), donc \(k=-2\) et \(\varphi(x)=\psi(x)-2\).

2) Les primitives de \(f\) sont \(F(x)=(x^2-2x+2)e^x+C\).

• a) \(F(0)=2+C=0\iff C=-2\) : \(F(x)=(x^2-2x+2)e^x-2\) (c’est \(\varphi\)).
• b) \(F(1)=(1-2+2)e+C=e+C=0\iff C=-e\) : \(F(x)=(x^2-2x+2)e^x-e\).

1) Sur \(I\), \(x+1\neq 0\) et

\[ F(x)-G(x)=\frac{(x^2-x+1)-(x^2-3x-1)}{x+1}=\frac{2x+2}{x+1}=2. \]

Ainsi, F et G diffèrent d’une constante sur l’intervalle I : elles ont la même dérivée, donc oui, ce sont des primitives d’une même fonction.

2) Cette fonction est \(F^{\prime}\). De même, avec \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\) :

\[ F^{\prime}(x)=\frac{(2x-1)(x+1)-(x^2-x+1)}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x-2}{(x+1)^2}. \]

\(C\) désigne une constante réelle quelconque.

Première série.

• 1) \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}+C\).
• 2) \(F(x)=\ln x+x+C\).
• 3) \(\dfrac{1}{x^2}\) a pour primitive \(-\dfrac{1}{x}\) et \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) a pour primitive \(2\sqrt{x}\) : \(F(x)=-\dfrac{1}{x}-2\sqrt{x}+C\).
• 4) \(F(x)=-\cos x-\sin x+C\).

Deuxième série.

• 1) \(F(x)=\dfrac{x^6}{6}-2x^2+3x+C\).
• 2) \(\dfrac{1}{x^5}=x^{-5}\) a pour primitive \(\dfrac{x^{-4}}{-4}=-\dfrac{1}{4x^4}\) : \(F(x)=-\dfrac{1}{4x^4}-\dfrac{1}{4}\ln x+C\).
• 3) \(F(x)=4\sqrt{x}+C\).
• 4) \(\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}\) : \(F(x)=\dfrac{x^2}{2}+\ln x+C\).

Contrôle : on dérive chaque résultat et on retrouve \(f\).

1) \(h(t)=2\sin t\cos t=2u^{\prime}u\) avec \(u=\sin t\). Par ailleurs, une primitive est \(H_1(t)=\sin^2 t\).

2) a) Formule de duplication : \(h(t)=\sin(2t)\).

b) Une primitive de \(\sin(2t)\) est \(H_2(t)=-\dfrac{\cos(2t)}{2}\).

3) a) Les courbes ont la même forme mais sont décalées verticalement : \(H_1\) et \(H_2\) ne sont pas égales (\(H_1(0)=0\), \(H_2(0)=-\frac{1}{2}\)).

b) \(\cos(2t)=1-2\sin^2 t\), donc \(H_2(t)=-\dfrac{1}{2}+\sin^2 t\) et \(H_1(t)-H_2(t)=\dfrac{1}{2}\).

4) Les primitives de \(h\) sont \(\sin^2 t+C\) ; celle qui s’annule en 0 vérifie \(0+C=0\) : c’est \(H_1(t)=\sin^2 t\).

1) Le résultat s’écrit \(\big(b\ln b-b\big)-\big(a\ln a-a\big)=F(b)-F(a)\) avec \(F(x)=x\ln x-x\).

2) \(F\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et, avec \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) :

\[ F^{\prime}(x)=1\times\ln x+x\times\frac{1}{x}-1=\ln x. \]

3) Le calcul précédent est valable pour tout \(x\gt 0\) : \(F\) est une primitive de \(\ln\) sur tout l’intervalle \(]0\,;+\infty[\), et pas seulement sur \([1\,;+\infty[\).

Dans chaque cas, on reconnaît une forme connue, on écrit une primitive \(F\) de la fonction à intégrer, puis on calcule \(F(b)-F(a)\).

Première série

1) Une primitive de \((x-1)^2\) est \(\dfrac{(x-1)^3}{3}\) (forme \(u^{\prime}u^2\) avec \(u^{\prime}=1\)) :

\[ I=\left[\frac{(x-1)^3}{3}\right]_{-1}^{4}=\frac{3^3}{3}-\frac{(-2)^3}{3}=\frac{27}{3}+\frac{8}{3}=\frac{35}{3}. \]

2) Avec \(u(x)=2x-1\), \(u^{\prime}(x)=2\) : \(\dfrac{1}{(2x-1)^2}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u^{\prime}}{u^2}\), qui a pour primitive \(-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{u}\) (et \(u\) ne s’annule pas sur \([1\,;2]\)) :

\[ J=\left[-\frac{1}{2(2x-1)}\right]_{1}^{2}=-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}. \]

3) Avec \(u(t)=\cos t\), \(u^{\prime}(t)=-\sin t\) : \(e^{\cos t}\sin t=-u^{\prime}e^{u}\), qui a pour primitive \(-e^{\cos t}\) :

\[ K=\left[-e^{\cos t}\right]_{0}^{\pi}=-e^{\cos\pi}+e^{\cos 0}=-e^{-1}+e=e-\frac{1}{e}. \]

4) Sur \(\left[\frac{1}{2}\,;2\right]\), \(\dfrac{x^2-1}{x}=x-\dfrac{1}{x}\), qui a pour primitive \(\dfrac{x^2}{2}-\ln x\) :

\[ \begin{aligned} L &= \left(\frac{4}{2}-\ln 2\right)-\left(\frac{1}{8}-\ln\frac{1}{2}\right) \\ &= 2-\ln 2-\frac{1}{8}-\ln 2=\frac{15}{8}-2\ln 2. \end{aligned} \]

Deuxième série

1) Avec \(u(x)=x^2+2x\), \(u^{\prime}(x)=2x+2=2(x+1)\), donc \(\dfrac{x+1}{(x^2+2x)^2}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u^{\prime}}{u^2}\). Ensuite, sur \([-4\,;-3]\), \(u(x)=x(x+2)\gt 0\). Puis une primitive est \(-\dfrac{1}{2(x^2+2x)}\) ; comme \(u(-3)=3\) et \(u(-4)=8\) :

\[ I=-\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{2\times 8}=-\frac{1}{6}+\frac{1}{16}=-\frac{8}{48}+\frac{3}{48}=-\frac{5}{48}. \]

2) Avec \(v(u)=u^2-1\), \(v^{\prime}(u)=2u\) : \(u(u^2-1)^2=\dfrac{1}{2}v^{\prime}v^2\), qui a pour primitive \(\dfrac{(u^2-1)^3}{6}\) :

\[ J=\left[\frac{(u^2-1)^3}{6}\right]_{-2}^{1}=\frac{0^3}{6}-\frac{3^3}{6}=-\frac{27}{6}=-\frac{9}{2}. \]

3) Avec \(u(x)=x^2-1\) (strictement positif sur \([\sqrt{2}\,;\sqrt{3}]\)) : \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\), qui a pour primitive \(\sqrt{u}=\sqrt{x^2-1}\) :

\[ K=\left[\sqrt{x^2-1}\right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}=\sqrt{2}-\sqrt{1}=\sqrt{2}-1. \]

4) \(e^{t+e^t}=e^t\times e^{e^t}=u^{\prime}e^{u}\) avec \(u(t)=e^t\), donc une primitive est \(e^{e^t}\) :

\[ L=\left[e^{e^t}\right]_{-1}^{1}=e^{e}-e^{e^{-1}}=e^{e}-e^{1/e}. \]

On utilise le tableau des primitives usuelles, en vérifiant chaque résultat par dérivation. Puis toute autre primitive s’obtient en ajoutant une constante.

• 1) \(f(x)=x^3-1\) sur \(\mathbb{R}\) : \(F(x)=\dfrac{x^4}{4}-x\).
• 2) \(f(x)=\dfrac{2}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) : \(F(x)=2\ln x\).
• 3) \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\) sur \(]0\,;+\infty[\) : \(F(x)=-\dfrac{1}{x}\), car \(\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{\prime}=\dfrac{1}{x^2}\).
• 4) \(f(x)=-\sin x\) sur \(\mathbb{R}\) : \(F(x)=\cos x\), car \((\cos x)^{\prime}=-\sin x\).
• 5) \(f(x)=\dfrac{1}{x^6}=x^{-6}\) sur \(]-\infty\,;0[\) : une primitive de \(x^{-6}\) est \(\dfrac{x^{-5}}{-5}\), donc \(F(x)=-\dfrac{1}{5x^5}\).
• 6) \(f(x)=\dfrac{4}{\sqrt{x}}=8\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) sur \(]0\,;+\infty[\) : \(F(x)=8\sqrt{x}\).

Vérification du 5) : \(F(x)=-\dfrac{1}{5}x^{-5}\), donc \(F^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{5}\times(-5)x^{-6}=\dfrac{1}{x^6}\).

Chaque fonction est de la forme « \(u^{\prime}\times\) quelque chose de \(u\) » : on repère \(u\), on ajuste la constante multiplicative, puis on applique la formule.

• 1) \(u(x)=x^2+1\), \(u^{\prime}(x)=2x\) : \(f=u^{\prime}u^2\), donc \(F(x)=\dfrac{(x^2+1)^3}{3}\).
• 2) Même \(u\) : \(f=\dfrac{u^{\prime}}{u^2}\), donc \(F(x)=-\dfrac{1}{x^2+1}\).
• 3) \(f(x)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u^{\prime}}{u}\) avec \(u\gt 0\), donc \(F(x)=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)\).
• 4) \(u(x)=1-x^2\), strictement positif sur \(]-1\,;1[\), \(u^{\prime}(x)=-2x\) : \(f(x)=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\) et une primitive de \(\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\) est \(2\sqrt{u}\), donc \(F(x)=-\sqrt{1-x^2}\).
• 5) \(u(x)=1-2x\), \(u^{\prime}(x)=-2\) : \(f=-\dfrac{1}{2}u^{\prime}e^{u}\), donc \(F(x)=-\dfrac{1}{2}e^{1-2x}\).
• 6) \(u(x)=e^x-1\), \(u^{\prime}(x)=e^x\), et \(u(x)\gt 0\) sur \(]0\,;+\infty[\) : \(f=\dfrac{u^{\prime}}{u}\), donc \(F(x)=\ln\left(e^x-1\right)\).

Vérification du 4) : \(\left(-\sqrt{1-x^2}\right)^{\prime}=-\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).

1) \(\displaystyle\int_{-2}^{4}x\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{4}=8-2=\mathbf{6}\).

2) \(\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\left[\ln x\right]_{1}^{e}=\ln e-\ln 1=\mathbf{1}\).

3) Sur \([-e\,;-1]\), \(x\lt 0\) : une primitive de \(\dfrac{1}{x}\) est \(\ln(-x)\) (car \(\left(\ln(-x)\right)^{\prime}=\dfrac{-1}{-x}=\dfrac{1}{x}\)).

\[ \int_{-e}^{-1}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln 1-\ln e=-1. \]

De plus, le résultat est négatif, ce qui est normal : la fonction est négative sur l’intervalle.

4) Une primitive de \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) est \(2\sqrt{x}\) : \(\displaystyle\int_{4}^{25}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=2\sqrt{25}-2\sqrt{4}=10-4=\mathbf{6}\).

5) \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin u\,\mathrm{d}u=\left[-\cos u\right]_{0}^{\pi}=-\cos\pi+\cos 0=1+1=\mathbf{2}\).

6) Les bornes sont inversées par rapport au 5) : \(\displaystyle\int_{\pi}^{0}\sin t\,\mathrm{d}t=-\int_{0}^{\pi}\sin t\,\mathrm{d}t=\mathbf{-2}\).

1) Sur \([5\,;7]\), \(x^2-1\gt 0\) et \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\) avec \(u=x^2-1\) ; une primitive est \(\sqrt{x^2-1}\) :

\[ \int_{5}^{7}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,\mathrm{d}x=\sqrt{48}-\sqrt{24}=4\sqrt{3}-2\sqrt{6}\approx 2{,}03. \]

2) La variable d’intégration s’appelle \(u\) : posons \(v(u)=u^2+u+1\), \(v^{\prime}(u)=2u+1\). Par ailleurs, son discriminant vaut \(1-4=-3\lt 0\), donc \(v(u)\gt 0\) pour tout \(u\) ; une primitive de \(\dfrac{v^{\prime}}{v}\) est \(\ln v\) :

\[ \int_{-4}^{4}\frac{2u+1}{u^2+u+1}\,\mathrm{d}u=\ln 21-\ln 13=\ln\frac{21}{13}. \]

3) \(\sin t\cos t=u^{\prime}u\) avec \(u(t)=\sin t\), donc une primitive est \(\dfrac{\sin^2 t}{2}\) :

\[ \int_{\pi/6}^{\pi/4}\sin t\cos t\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{8}. \]

4) Une primitive de \(\dfrac{1}{(x+1)^2}\) est \(-\dfrac{1}{x+1}\) :

\[ \int_{1}^{2}\frac{1}{(x+1)^2}\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}. \]

On utilise la relation de Chasles \(\displaystyle\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c\) et la linéarité de l’intégrale.

1) \(\displaystyle\int_{-3}^{4}f=\int_{-3}^{1}f+\int_{1}^{4}f=-2+3=\mathbf{1}\).

2) \(\displaystyle\int_{-3}^{4}g=\int_{-3}^{1}g+\int_{1}^{4}g\), donc \(\displaystyle\int_{-3}^{1}g=-1-1=\mathbf{-2}\).

3) \(\displaystyle\int_{1}^{4}(f+g)=\int_{1}^{4}f+\int_{1}^{4}g=3+1=\mathbf{4}\).

4) \(\displaystyle\int_{1}^{4}(f-g)=3-1=\mathbf{2}\).

5) \(\displaystyle\int_{1}^{4}(4f-3g)=4\times 3-3\times 1=12-3=\mathbf{9}\).

6) \(\displaystyle\int_{-3}^{4}(f+g)=\int_{-3}^{4}f+\int_{-3}^{4}g=1+(-1)=\mathbf{0}\).

On ne calcule rien : on regroupe avec la linéarité (même bornes) et la relation de Chasles (bornes qui se suivent), sans oublier que \(\displaystyle\int_b^a=-\int_a^b\). Ensuite, la variable d’intégration est muette : \(t\), \(u\) ou \(x\), c’est la même intégrale.

1) Par linéarité, \(\displaystyle\int_0^1\left(e^{x^2}-1\right)\mathrm{d}x+\int_0^1\mathrm{d}x=\int_0^1 e^{x^2}\,\mathrm{d}x\), puis par Chasles :

\[ \int_0^1 e^{x^2}\,\mathrm{d}x+\int_1^2 e^{x^2}\,\mathrm{d}x=\int_0^2 e^{x^2}\,\mathrm{d}x. \]

2) On réordonne et on applique Chasles : \(\displaystyle\int_3^4\frac{\mathrm{d}x}{\ln x}+\int_4^6\frac{\mathrm{d}x}{\ln x}=\int_3^6\frac{1}{\ln x}\,\mathrm{d}x\).

3) \(\displaystyle-\int_0^{-2}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\int_{-2}^{0}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}\), donc l’expression vaut \(\displaystyle\int_{-2}^{0}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}+\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\int_{-2}^{1}\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\).

4) La variable est muette, donc \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos(t^2)\,\mathrm{d}t+\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(u^2)\,\mathrm{d}u=\int_0^{\pi}\cos(x^2)\,\mathrm{d}x\).

5) On regroupe les deux intégrales entre 3 et 1 :

\[ \begin{aligned} -\int_3^1\mathrm{d}u+\int_3^1\frac{e^t}{1+e^t}\,\mathrm{d}t &= \int_1^3\mathrm{d}t-\int_1^3\frac{e^t}{1+e^t}\,\mathrm{d}t \\ &= \int_1^3\left(1-\frac{e^t}{1+e^t}\right)\mathrm{d}t=\int_1^3\frac{1}{1+e^t}\,\mathrm{d}t. \end{aligned} \]

Ainsi, avec la première intégrale, par Chasles, l’expression vaut \(\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+e^x}+\int_1^3\frac{\mathrm{d}x}{1+e^x}=\int_0^3\frac{1}{1+e^x}\,\mathrm{d}x\).

6) La somme enchaîne les intervalles \([1\,;2]\), \([2\,;3]\), …, \([100\,;101]\). De même, par Chasles :

\[ \sum_{k=1}^{100}\int_k^{k+1}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\int_1^{101}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\;\left(=\ln 101\right). \]

Rappel : si \(f\leqslant g\) sur \([a\,;b]\), l’aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites \(x=a\) et \(x=b\) vaut \(\displaystyle\int_a^b\left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x\) (en u.a.). Puis on lit donc les points d’intersection des courbes (les bornes) et, sur chaque morceau, quelle courbe est au-dessus.

1) Les courbes se coupent en O et au point de coordonnées \((3\,;3)\) ; entre les deux, \(\mathscr{C}_g\) est au-dessus de \(\mathscr{C}_f\) :

\[ \mathcal{A}_1=\int_0^3\left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x. \]

2) Les courbes se coupent en \(x=-2\), \(x=0\) et \(x=1\). Ensuite, sur \([-2\,;0]\), \(\mathscr{C}_f\) est au-dessus ; sur \([0\,;1]\), c’est \(\mathscr{C}_g\) :

\[ \mathcal{A}_2=\int_{-2}^{0}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}\left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x. \]

3) \(\mathscr{C}_g\) est la droite d’équation \(y=x\) ; elle coupe \(\mathscr{C}_f\) en \(x=-1\), \(x=0\) et \(x=1\). Puis sur \([-1\,;0]\), la droite est au-dessus ; sur \([0\,;1]\), c’est \(\mathscr{C}_f\) :

\[ \mathcal{A}_3=\int_{-1}^{0}\left(x-f(x)\right)\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}\left(f(x)-x\right)\mathrm{d}x. \]

4) Ici, le vecteur \(\vec{i}\) mesure deux carreaux (alors que \(\vec{j}\) en mesure un) : la parabole coupe l’axe des abscisses en \(x=-\frac{1}{2}\) et \(x=\frac{1}{2}\), et le domaine s’arrête en \(x=1\). De plus, sur \(\left[-\frac{1}{2}\,;\frac{1}{2}\right]\), \(f\) est négative, donc l’aire de cette partie est \(\displaystyle\int\left(-f\right)\) ; sur \(\left[\frac{1}{2}\,;1\right]\), \(f\) est positive :

\[ \mathcal{A}_4=-\int_{-1/2}^{1/2}f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{1/2}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x. \]

Attention : écrire simplement \(\displaystyle\int_{-1/2}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\) serait faux, car la partie située sous l’axe compterait négativement.

1) \(\displaystyle I=\int_a^b\mathrm{d}x=\int_a^b 1\,\mathrm{d}x\) : c’est l’intégrale de la fonction constante égale à 1 sur \([a\,;b]\).

2) Cette fonction est positive ; \(I\) est l’aire du domaine compris entre la droite d’équation \(y=1\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=a\) et \(x=b\). Par ailleurs, c’est un rectangle de largeur \(b-a\) et de hauteur 1.

3) Par le calcul : une primitive de 1 est \(x\), donc \(I=\left[x\right]_a^b=b-a\). De plus, on retrouve l’aire du rectangle : \((b-a)\times 1\).

Dans les quatre cas, la fonction est positive sur l’intervalle : l’intégrale est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites verticales aux bornes. Ensuite, les domaines sont des figures simples dont on connaît l’aire.

a) \(\displaystyle\int_{-1}^{1}3\,\mathrm{d}x\) : domaine sous la droite \(y=3\) entre \(x=-1\) et \(x=1\), c’est un rectangle de largeur 2 et de hauteur 3. Aire : \(2\times 3=\mathbf{6}\) u.a.

b) \(\displaystyle\int_{-5}^{2}\mathrm{d}x\) : domaine sous la droite \(y=1\) entre \(x=-5\) et \(x=2\), rectangle de largeur 7 et de hauteur 1. Aire : \(\mathbf{7}\) u.a.

c) \(\displaystyle\int_{0}^{3{,}5}x\,\mathrm{d}x\) : domaine sous la droite \(y=x\) entre \(x=0\) et \(x=3{,}5\), triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3,5. Aire : \(\dfrac{3{,}5\times 3{,}5}{2}=\mathbf{6{,}125}\) u.a.

d) \(\displaystyle\int_{0}^{2}(4-x)\,\mathrm{d}x\) : domaine sous la droite \(y=4-x\) entre \(x=0\) et \(x=2\), trapèze rectangle de bases \(f(0)=4\) et \(f(2)=2\), de hauteur 2. Aire : \(\dfrac{(4+2)\times 2}{2}=\mathbf{6}\) u.a.

Vérification par les primitives : \(\left[3x\right]_{-1}^{1}=6\) ; \(\left[x\right]_{-5}^{2}=7\) ; \(\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{3{,}5}=\frac{12{,}25}{2}=6{,}125\) ; \(\left[4x-\frac{x^2}{2}\right]_0^2=8-2=6\).

On lit les graduations à l’aide des vecteurs \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\). Attention au cas c) : le vecteur \(\vec{j}\) y mesure deux carreaux.

a)

• 1) \(\mathscr{C}_f\) est horizontale, à mi-hauteur entre 1 et 2 : \(f(x)=1{,}5\).
• 2) Le domaine est le rectangle compris entre \(\mathscr{C}_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=-2\) et \(x=1\).
• 3) \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_{-2}^{1}1{,}5\,\mathrm{d}x\).
• 4) \(\mathcal{A}=1{,}5\times 3=\mathbf{4{,}5}\) u.a.

b)

• 1) Droite passant par \((-1\,;0)\) et \((0\,;1)\) : coefficient directeur 1, ordonnée à l’origine 1, \(f(x)=x+1\).
• 2) Le domaine est le triangle compris entre \(\mathscr{C}_f\), l’axe des abscisses et la droite \(x=2\) (de \(x=-1\) à \(x=2\)).
• 3) \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)\,\mathrm{d}x\).
• 4) C’est un triangle rectangle de côtés 3 et \(f(2)=3\) : \(\mathcal{A}=\dfrac{3\times 3}{2}=\mathbf{4{,}5}\) u.a. (et \(\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-1}^{2}=4-\left(-\frac{1}{2}\right)=4{,}5\)).

c)

• 1) Avec \(\vec{j}\) de deux carreaux, la droite passe par \((-1\,;0)\) et \(\left(0\,;\frac{1}{2}\right)\) : \(f(x)=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\).
• 2) Le domaine est le triangle compris entre \(\mathscr{C}_f\), l’axe des abscisses et la droite \(x=2\).
• 3) \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_{-1}^{2}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\mathrm{d}x\).
• 4) Triangle de base 3 et de hauteur \(f(2)=1{,}5\) : \(\mathcal{A}=\dfrac{3\times 1{,}5}{2}=\mathbf{2{,}25}\) u.a.

d)

• 1) \(\mathscr{C}_f\) est formée de deux demi-droites issues de O, de coefficients directeurs \(-1\) et \(1\) : \(f(x)=|x|\) (soit \(-x\) si \(x\leqslant 0\) et \(x\) si \(x\geqslant 0\)).
• 2) Le domaine est compris entre \(\mathscr{C}_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=-2\) et \(x=1{,}5\) : deux triangles rectangles.
• 3) \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_{-2}^{1{,}5}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{-2}^{0}(-x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1{,}5}x\,\mathrm{d}x\).
• 4) \(\mathcal{A}=\dfrac{2\times 2}{2}+\dfrac{1{,}5\times 1{,}5}{2}=2+1{,}125=\mathbf{3{,}125}\) u.a.

a) Sur \( [-2 ; 0] \), \( f(x) = -x + 1 \) : c’est un segment de droite, de \( f(-2) = 3 \) à \( f(0) = 1 \). Ainsi, sur \( ]0 ; 3] \), \( f(x) = x + 1 \) : autre segment, qui part de \( (0 ; 1) \) et arrive en \( f(3) = 4 \). Par ailleurs, les deux morceaux se raccordent au point \( (0 ; 1) \) : la courbe est une ligne brisée en forme de V, et \( f \) est continue et positive sur \( [-2 ; 3] \).

b) On découpe l’intégrale avec la relation de Chasles, puisque l’expression de \( f \) change en 0 :

\[ \int_{-2}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-2}^{0} (-x+1)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{3} (x+1)\,\mathrm{d}x \]

De même, avec des primitives :

\[ \begin{aligned} \int_{-2}^{0} (-x+1)\,\mathrm{d}x &= \left[ -\frac{x^2}{2} + x \right]_{-2}^{0} = 0 – \left( -2 – 2 \right) = 4 \\ \int_{0}^{3} (x+1)\,\mathrm{d}x &= \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{3} = \frac{9}{2} + 3 – 0 = \frac{15}{2} \end{aligned} \]

Vérification géométrique : \( f \) est positive, l’intégrale est donc l’aire sous la courbe, formée de deux trapèzes : \( \dfrac{(3+1) \times 2}{2} = 4 \) et \( \dfrac{(1+4) \times 3}{2} = 7{,}5 \).

\[ \int_{-2}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = 4 + \frac{15}{2} = \frac{23}{2} = 11{,}5 \]

a) La droite d’équation \( y = x + 4 \) passe par \( (-4 ; 0) \) et \( (0 ; 4) \) : coefficient directeur 1, ordonnée à l’origine 4 (voir la figure ci-dessous).

b) On calcule d’abord le membre de droite. Puis une primitive de \( t \mapsto t + 4 \) est \( t \mapsto \dfrac{t^2}{2} + 4t \) :

\[ \int_{-4}^{0} (t+4)\,\mathrm{d}t = \left[ \frac{t^2}{2} + 4t \right]_{-4}^{0} = 0 – (8 – 16) = 8 \]

Ensuite, c’est l’aire du triangle de base 4 et de hauteur 4 : \( \dfrac{4 \times 4}{2} = 8 \).

Puis le membre de gauche, pour \( a \gt 0 \) :

\[ \int_{-1}^{a} (t+4)\,\mathrm{d}t = \left[ \frac{t^2}{2} + 4t \right]_{-1}^{a} = \frac{a^2}{2} + 4a – \left( \frac{1}{2} – 4 \right) = \frac{a^2}{2} + 4a + \frac{7}{2} \]

De plus, on résout l’équation :

\[ \begin{aligned} \frac{a^2}{2} + 4a + \frac{7}{2} = 8 &\iff a^2 + 8a + 7 = 16 \\ &\iff a^2 + 8a – 9 = 0 \end{aligned} \]

Discriminant : \( \Delta = 64 + 36 = 100 \), d’où \( a = \dfrac{-8 + 10}{2} = 1 \) ou \( a = \dfrac{-8 – 10}{2} = -9 \). Ensuite, on cherche \( a \gt 0 \), donc a = 1.

Vérification : l’aire du trapèze entre \( -1 \) et 1 vaut \( \dfrac{(3 + 5) \times 2}{2} = 8 \).

Le carré OIKJ a pour côté 1 : son aire est 1 u.a.

a) Le domaine situé sous la courbe de \( x \mapsto \sqrt{x} \) entre 0 et 1 est formé de \( \mathcal{D}_1 \) et \( \mathcal{D}_2 \) ; son aire est \( \displaystyle \int_0^1 \sqrt{x}\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3} \) (la fonction racine carrée est positive). \( \mathcal{D}_3 \) est le reste du carré :

\[ \mathcal{A}(\mathcal{D}_3) = 1 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \text{ u.a.} \]

b) Sur \( [0 ; 1] \), les fonctions \( x \mapsto x^2 \) et \( x \mapsto \sqrt{x} \) sont réciproques l’une de l’autre : \( y = x^2 \iff x = \sqrt{y} \) pour \( x \) et \( y \) positifs. Puis un point \( (a ; b) \) est sur la parabole si et seulement si \( (b ; a) \) est sur la courbe de la racine. Par ailleurs, leurs courbes sont donc symétriques par rapport à la droite d’équation y = x, la diagonale (OK) du carré. De plus, cette symétrie axiale d’axe (OK) échange aussi les côtés [OJ] et [OI], [JK] et [IK] : elle transforme \( \mathcal{D}_3 \) en \( \mathcal{D}_1 \).

c) Une symétrie axiale conserve les aires, donc \( \mathcal{A}(\mathcal{D}_1) = \mathcal{A}(\mathcal{D}_3) = \dfrac{1}{3} \) u.a. Enfin :

\[ \mathcal{A}(\mathcal{D}_2) = 1 – \frac{1}{3} – \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \text{ u.a.} \]

Ainsi, les courbes partagent donc le carré en trois domaines de même aire.

Calcul de \( \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} f(t)\,\mathrm{d}t \). Ensuite, la fonction cosinus est paire, donc pour tout \( t \) : \( f(-t) = \cos(-2t) + 1 = \cos(2t) + 1 = f(t) \). Par ailleurs, la fonction \( f \) est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. De même, comme \( f \) est positive, les intégrales sont des aires, et le domaine entre \( -\dfrac{\pi}{2} \) et 0 est le symétrique du domaine vert :

\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t)\,\mathrm{d}t = \frac{\pi}{2} \]

Calcul de \( \displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} f(t)\,\mathrm{d}t \). Puis pour tout \( t \), \( f(t + \pi) = \cos(2t + 2\pi) + 1 = f(t) \) : \( f \) est périodique de période π. Ensuite, la bosse entre \( \dfrac{\pi}{2} \) et \( \dfrac{3\pi}{2} \) est donc la translatée de la bosse entre \( -\dfrac{\pi}{2} \) et \( \dfrac{\pi}{2} \), qui a la même aire :

\[ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t)\,\mathrm{d}t = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi \]

Vérification avec une primitive : \( F(t) = \dfrac{\sin(2t)}{2} + t \), et \( F\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) – F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \left(0 + \dfrac{3\pi}{2}\right) – \left(0 + \dfrac{\pi}{2}\right) = \pi \).

a) Une primitive de la fonction constante 3 est \( x \mapsto 3x \) :

\[ \int_0^4 3\,\mathrm{d}x = \big[ 3x \big]_0^4 = 12 – 0 = 12 \]

Ensuite, c’est l’aire d’un rectangle de largeur 4 et de hauteur 3.

b) Une primitive de \( t \mapsto \dfrac{1}{2}t + 2 \) est \( t \mapsto \dfrac{t^2}{4} + 2t \) :

\[ \begin{aligned} \int_3^7 \left( \frac{1}{2}t + 2 \right)\mathrm{d}t &= \left[ \frac{t^2}{4} + 2t \right]_3^7 \\ &= \left( \frac{49}{4} + 14 \right) – \left( \frac{9}{4} + 6 \right) \\ &= \frac{40}{4} + 8 = 18 \end{aligned} \]

Vérification : la fonction est affine et positive sur [3 ; 7], l’intégrale est l’aire d’un trapèze de bases \( f(3) = 3{,}5 \) et \( f(7) = 5{,}5 \) et de hauteur 4 : \( \dfrac{(3{,}5 + 5{,}5) \times 4}{2} = 18 \).

a) (Il faut lire « continue sur l’intervalle [−2 ; 3] ».) On a \( f(x) = -x \) si \( x \leqslant 0 \) et \( f(x) = x \) si \( x \geqslant 0 \). Puis chacune de ces expressions est une fonction affine, donc continue, et les deux donnent la même valeur en 0 : \( f(0) = 0 \). Puis la fonction valeur absolue est donc continue sur [−2 ; 3] : sa courbe se trace sans lever le crayon.

b) La courbe est formée de deux segments : de \( (-2 ; 2) \) à \( O(0 ; 0) \) (droite \( y = -x \)), puis de \( O \) à \( (3 ; 3) \) (droite \( y = x \)).

c) Relation de Chasles en 0 :

\[ \begin{aligned} \int_{-2}^{3} |x|\,\mathrm{d}x &= \int_{-2}^{0} (-x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{3} x\,\mathrm{d}x \\ &= \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} \\ &= 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2} \end{aligned} \]

De plus, géométriquement, ce sont les aires de deux triangles rectangles isocèles : \( \dfrac{2 \times 2}{2} = 2 \) et \( \dfrac{3 \times 3}{2} = 4{,}5 \).

On lit sur le graphique que la courbe de \( f \) est formée des segments joignant \( (-2 ; 0) \), \( (0 ; 3) \) et \( (2 ; 0) \). De plus, la fonction \( f \) est positive sur \( [-2 ; 2] \), donc \( \displaystyle \int_{-2}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x \) est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites \( x = -2 \) et \( x = 2 \).

Par ailleurs, ce domaine est un triangle de base 4 (de −2 à 2) et de hauteur 3 :

\[ \int_{-2}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \]

Ainsi, on peut aussi utiliser les expressions : \( f(x) = \dfrac{3}{2}x + 3 \) sur \( [-2 ; 0] \) et \( f(x) = -\dfrac{3}{2}x + 3 \) sur \( [0 ; 2] \), chaque intégrale valant 3.

a) Sur \( [0 ; 2] \), \( f \) est positive, donc I est l’aire sous la courbe entre 0 et 2. Ensuite, on l’encadre par des aires de rectangles lues sur le graphique :

• Minoration : sur \( [0 ; 1{,}5] \), la courbe est au-dessus de la droite \( y = 2 \), et sur \( [1{,}5 ; 2] \), \( f \geqslant 0 \). Le domaine sous la courbe contient donc le rectangle \( [0 ; 1{,}5] \times [0 ; 2] \) : \( I \geqslant 1{,}5 \times 2 = 3 \).
• Majoration : sur \( [0 ; 2] \), \( f(x) \leqslant 3 \), donc le domaine est contenu dans le rectangle \( [0 ; 2] \times [0 ; 3] \) : \( I \leqslant 2 \times 3 = 6 \).

\[ 3 \leqslant I \leqslant 6 \]

b) À la calculatrice (menu intégrale) : \( I \approx 4{,}389 \), ce qui est bien compris entre 3 et 6 (et même entre 4 et 5).

De même, pour aller plus loin : \( F(x) = (3 – x)e^x \) est une primitive de \( f \), car \( F^{\prime}(x) = -e^x + (3 – x)e^x = (2 – x)e^x \). Donc \( I = F(2) – F(0) = e^2 – 3 \approx 4{,}389 \).

a) Sur le quadrillage (1 carreau = 1 u.a.), la courbe passe par \( (-5 ; 0) \), \( (-1 ; 3) \), \( (2 ; 3) \) et \( (5 ; 5) \). Par ailleurs, les pointillés en \( x = -1 \) et \( x = 2 \) découpent D en trois figures simples :

• sur \( [-5 ; -1] \), un triangle rectangle de base 4 et de hauteur 3 : \( \dfrac{4 \times 3}{2} = 6 \) u.a. ;
• sur \( [-1 ; 2] \), un rectangle de largeur 3 et de hauteur 3 : \( 3 \times 3 = 9 \) u.a. ;
• sur \( [2 ; 5] \), un trapèze de bases 3 et 5 et de hauteur 3 : \( \dfrac{(3 + 5) \times 3}{2} = 12 \) u.a.

Ensuite, aire de D : \( 6 + 9 + 12 = 27 \) u.a.

b) La fonction \( f \) est continue et positive sur \( [-5 ; 5] \) ; l’aire du domaine situé sous sa courbe est donc l’intégrale de \( f \) de −5 à 5 :

\[ \mathcal{A}(D) = \int_{-5}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = 27 \text{ u.a.} \]

Signe de f. On factorise : \( f(x) = -\dfrac{1}{2}\left(x^2 – 4x + 3\right) = -\dfrac{1}{2}(x – 1)(x – 3) \). Puis sur \( [0 ; 2] \), \( x – 3 \lt 0 \), donc \( f(x) \) a le signe de \( x – 1 \) : f est négative sur [0 ; 1] et positive sur [1 ; 2], comme sur la figure.

De plus, quand \( f \) est négative, l’aire entre la courbe et l’axe est \( -\displaystyle\int f \). Donc :

\[ \mathcal{A} = -\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x + \int_1^2 f(x)\,\mathrm{d}x \]

Par ailleurs, une primitive de \( f \) est \( F(x) = -\dfrac{x^3}{6} + x^2 – \dfrac{3}{2}x \), avec \( F(0) = 0 \), \( F(1) = -\dfrac{1}{6} + 1 – \dfrac{3}{2} = -\dfrac{2}{3} \) et \( F(2) = -\dfrac{8}{6} + 4 – 3 = -\dfrac{1}{3} \).

\[ \begin{aligned} \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x &= F(1) – F(0) = -\frac{2}{3} \\ \int_1^2 f(x)\,\mathrm{d}x &= F(2) – F(1) = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \end{aligned} \]

Ainsi, d’où \( \mathcal{A} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1 \) u.a.

Attention : \( \displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \) n’est pas l’aire, car les parties négative et positive se compensent.

On suppose, comme d’habitude, \( f \) continue sur \( [-4 ; 5] \). Puis on rappelle que si \( a \leqslant b \) et \( m \leqslant f(x) \leqslant M \) sur \( [a ; b] \), alors \( m(b – a) \leqslant \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant M(b – a) \) (inégalité de la moyenne, conséquence de la positivité de l’intégrale).

1. a) Sur \( \left[-\dfrac{1}{2} ; 0\right] \), \( f \) est croissante et \( f(0) = 0 \), donc \( f(x) \leqslant 0 \) (et même \( f(x) \lt 0 \) pour \( x \lt 0 \)). Ensuite, les bornes sont dans le bon ordre \( \left(-\dfrac{1}{2} \lt 0\right) \) : l’intégrale est négative.

1. b) Sur \( [0 ; 1] \), \( f \) croît de 0 à 2, donc \( f(x) \geqslant 0 \). De même, sur \( [1 ; 3] \), \( f \) décroît de 2 vers \( f(5) = 1 \), donc \( f(x) \geqslant 1 \gt 0 \). Ainsi \( f \geqslant 0 \) sur \( [0 ; 3] \) et, comme \( 0 \lt 3 \), l’intégrale est positive.

2. a) Sur \( [-4 ; -1] \), \( f \) décroît de 2 à −1, donc \( -1 \leqslant f(x) \leqslant 2 \). Puis l’intervalle a pour longueur 3 :

\[ -1 \times 3 \leqslant \int_{-4}^{-1} f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant 2 \times 3, \quad \text{soit} \quad -3 \leqslant \int_{-4}^{-1} f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant 6 \]

2. b) Sur \( [0 ; 1] \), \( f \) croît de 0 à 2, donc \( 0 \leqslant f(x) \leqslant 2 \), sur un intervalle de longueur 1 :

\[ 0 \leqslant \int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant 2 \]