Quadrilatères et construction au compas : corrigé du contrôle de maths en 6ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 6ème sur le thème « quadrilatères et construction au compas », question par question.
Dans ce corrigé, chaque réponse est justifiée par une définition ou une propriété, comme ton professeur l’attend : on nomme le quadrilatère, puis on cite le codage qui le prouve. La construction du losange est dessinée avec ses arcs de compas, et un programme de construction modèle est proposé pour le logo.
Compare ta rédaction à celle de la correction plutôt que ta seule réponse finale : une bonne nature sans justification ne rapporte qu’une partie des points. Le barème détaillé sous chaque exercice indique la répartition, et les remarques signalent les confusions fréquentes, par exemple entre losange et carré. Refais ensuite la construction sur une feuille blanche pour t’entraîner à la précision.
L’énoncé complet se trouve ici : Quadrilatères et construction au compas : contrôle de maths en 6ème.
Barème du contrôle corrigé : quadrilatères et construction au compas
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Que disent les codages ? | 4 points |
| 2. Vrai ou faux sur les quadrilatères | 3 points |
| 3. Un losange au compas | 4 points |
| 4. Le logo de l’atelier | 4 points |
| 5. Le potager de Mathis | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : quadrilatères et construction au compas
Exercice 1 – Que disent les codages ? (4 points)
- Les quatre côtés de ABCD portent le même codage : AB = BC = CD = DA. Un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur est un losange. Comme aucun angle droit n’est codé, on ne peut pas dire que c’est un carré. ABCD est un losange.
- Les quatre angles de EFGH sont codés droits. Un quadrilatère qui a quatre angles droits est un rectangle. En effet, aucun codage ne dit que les côtés sont égaux. EFGH est un rectangle.
- Les quatre côtés de IJKL ont le même codage, donc IJKL est un losange ; de plus, l’angle en J est codé droit. Un losange qui a un angle droit est un carré. IJKL est un carré.
- Les codages indiquent MN = MP et NO = OP, mais le codage de [MN] est différent de celui de [NO]. Ainsi, les quatre côtés ne sont pas égaux, et aucun angle droit n’est codé. MNOP n’est ni un losange, ni un rectangle, ni un carré : c’est un quadrilatère sans nom particulier au programme de 6ème.
Piège classique : la figure 4 ressemble à un losange, et la figure 1 pourrait sembler être un carré tourné. Seuls les codages permettent de conclure.
Exercice 2 – Vrai ou faux sur les quadrilatères (3 points)
- Vrai : les diagonales d’un rectangle ont la même longueur.
- Vrai : les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
- Faux : dans un rectangle qui n’est pas un carré, par exemple de 8 cm sur 3 cm, les diagonales ne sont pas perpendiculaires.
- Vrai : un carré a quatre côtés de même longueur, c’est donc un losange (qui a en plus des angles droits).
- Faux : un losange n’a quatre angles droits que lorsque c’est un carré, alors que tous les losanges ne le sont pas.
- Vrai : un carré est un rectangle, donc ses diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu.
Exercice 3 – Un losange au compas (4 points)
La figure est réduite : sur ta copie, RS doit mesurer 6 cm.
- D’abord, on trace [RS] de 6 cm. Ensuite, on pointe le compas en R avec un écartement de 5 cm et on trace un arc au-dessus et un arc au-dessous de (RS), puis on fait de même en pointant en S. Les arcs se coupent alors en T (au-dessus) et en U (au-dessous). On trace enfin les côtés [RT], [TS], [SU] et [UR].
- Par construction, RT = TS = SU = UR = 5 cm. Or un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur est un losange. RTSU est un losange.
- On mesure TU = 8 cm. Les diagonales [RS] et [TU] d’un losange sont perpendiculaires : on le vérifie avec l’équerre, et on constate de plus qu’elles se coupent en leur milieu (3 cm de chaque côté sur [RS], 4 cm sur [TU]).
Piège classique : effacer les arcs de compas. Sans eux, on ne voit plus comment les points T et U ont été placés.
Exercice 4 – Le logo de l’atelier (4 points)
- [AC] est un diamètre du grand cercle, et un diamètre mesure deux fois le rayon, donc \(2 \times 3 = 6\). Le segment [AC] mesure 6 cm.
- Un programme possible :
1. Trace un cercle de centre O et de rayon 3 cm.
2. Trace un diamètre [AC] de ce cercle.
3. Trace la droite perpendiculaire à (AC) passant par O ; elle coupe le cercle en B et en D.
4. Trace le quadrilatère ABCD.
5. Trace les cercles de centres A, B, C et D et de rayon 1 cm.
Toute rédaction qui donne ces étapes dans un ordre possible est acceptée. - On suit le programme de la question 2 avec le compas réglé d’abord à 3 cm, puis à 1 cm, et l’équerre pour l’angle droit en O. Le logo obtenu a un grand cercle de 6 cm de diamètre.
Piège classique : écrire « trace un cercle » sans préciser son centre et son rayon. Un programme doit permettre à quelqu’un qui ne voit pas la figure de la reproduire.
Exercice 5 – Le potager de Mathis (5 points)
- EFGH est un rectangle, et les diagonales d’un rectangle ont la même longueur. Donc FH = EG. La diagonale [FH] mesure 10 m.
- Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu, donc K est le milieu de [EG]. On en déduit que \(EK = 10 \div 2 = 5\). EK = 5 m.
- K est le milieu des deux diagonales, qui mesurent chacune 10 m. Donc KE = KG = 5 m et KF = KH = \(10 \div 2 = 5\) m. Ainsi, les quatre coins sont à 5 m de K. Oui, le cercle de centre K et de rayon 5 m passe par E, F, G et H.
- Le grillage fait le tour du potager, c’est son périmètre : \(2 \times (8 + 6) = 2 \times 14 = 28\) m.
Division euclidienne de 28 par 5 : \(28 = 5 \times 5 + 3\). Cinq rouleaux donnent 25 m, mais il manque encore 3 m, il faut donc un rouleau de plus : \(5 + 1 = 6\).
Mathis doit acheter 6 rouleaux de grillage.
Piège classique : répondre 5 rouleaux en ne gardant que le quotient : il resterait 3 m de potager sans grillage.
À retenir de ce contrôle
- Un losange a quatre côtés de même longueur ; un rectangle a quatre angles droits ; un carré est à la fois un losange et un rectangle.
- Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu ; celles d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
- Pour construire un point situé à une distance donnée de deux points, on trace deux arcs de cercle au compas et on prend leur intersection.
- Un quadrilatère avec seulement deux paires de côtés consécutifs égaux n’est pas un losange : il faut les quatre côtés égaux.
- Un programme de construction s’écrit dans l’ordre du tracé, une étape par ligne, avec des verbes d’action et le nom de chaque point.
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Consolider quadrilatères et construction au compas après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon triangles et quadrilatères puis le cercle ; entraîne-toi sur la fiche polygones et constructions et cercle.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en 6ème.
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