Les suites numériques : corrigés des exercices de maths en 1ère.

Exercice 1 : calcul des termes d’une suite numérique
1. Calcul de u_4 pour u_n\,=\,\frac{2n\,%2B\,1{n\,%2B\,1}}

Pour n\,=\,4:
u_4\,=\,\frac{2\,\cdot\,4\,%2B\,1}{4\,%2B\,1}\,=\,\frac{8\,%2B\,1}{5}\,=\,\frac{9}{5}
u_4\,=\,1.8

2. Calcul des trois premiers termes de la suite u_n\,=\,\sqrt{n\,-\,1}

Pour n\,=\,1 :
u_1\,=\,\sqrt{1\,-\,1}\,=\,\sqrt{0}\,=\,0

Pour n\,=\,2 :
u_2\,=\,\sqrt{2\,-\,1}\,=\,\sqrt{1}\,=\,1

Pour n\,=\,3 :
u_3\,=\,\sqrt{3\,-\,1}\,=\,\sqrt{2}\,\approx\,1.414

Les trois premiers termes de la suite sont u_1\,=\,0, u_2\,=\,1 et u_3\,=\,\sqrt{2}\,\approx\,1.414.

3. Calcul de u_3 pour u_n\,=\,(n\,-\,5)^2\,%2B\,2

Pour n\,=\,3:
u_3\,=\,(3\,-\,5)^2\,%2B\,2\,=\,(-2)^2\,%2B\,2\,=\,4\,%2B\,2\,=\,6
u_3\,=\,6

4. Calcul de u_1 et u_2 pour \{\,\begin{array{l}\,u_0\,=\,3\,\\\,u_{n%2B1}\,=\,2u_n\,-\,4\,\end{array}\,.}

Pour n\,=\,0:
u_1\,=\,2u_0\,-\,4\,=\,2\,\cdot\,3\,-\,4\,=\,6\,-\,4\,=\,2
u_1\,=\,2

Pour n\,=\,1:
u_2\,=\,2u_1\,-\,4\,=\,2\,\cdot\,2\,-\,4\,=\,4\,-\,4\,=\,0
u_2\,=\,0

Ainsi, u_1\,=\,2 et u_2\,=\,0.

Exercice 2 : suites récurrentes et somme de termes
Correction :

1. Pour la suite définie par :
\begin{cases}%0D%0Au_0\,=\,3\,\\%0D%0Au_{n%2B1}\,=\,\frac{1}{u_n}\,%2B\,1%0D%0A\end{cases}

Calculons u_1, u_2 et u_3 :

u_1\,=\,\frac{1}{u_0}\,%2B\,1\,=\,\frac{1}{3}\,%2B\,1\,=\,\frac{1\,%2B\,3}{3}\,=\,\frac{4}{3}

u_2\,=\,\frac{1}{u_1}\,%2B\,1\,=\,\frac{1}{\frac{4}{3}}\,%2B\,1\,=\,\frac{3}{4}\,%2B\,1\,=\,\frac{3\,%2B\,4}{4}\,=\,\frac{7}{4}

u_3\,=\,\frac{1}{u_2}\,%2B\,1\,=\,\frac{1}{\frac{7}{4}}\,%2B\,1\,=\,\frac{4}{7}\,%2B\,1\,=\,\frac{4\,%2B\,7}{7}\,=\,\frac{11}{7}

Donc, u_1\,=\,\frac{4}{3}, u_2\,=\,\frac{7}{4}, u_3\,=\,\frac{11}{7}.

2. Pour la suite définie par :
\begin{cases}%0D%0Au_0\,=\,2\,\\%0D%0Au_{n%2B1}\,=\,(n%2B1)u_n%0D%0A\end{cases}

1) Calculons u_1 puis u_2 :

u_1\,=\,1\,\cdot\,u_0\,=\,1\,\cdot\,2\,=\,2
u_2\,=\,2\,\cdot\,u_1\,=\,2\,\cdot\,2\,=\,4

2) Écrivons u_n en fonction de u_{n-1} :

u_{n%2B1}\,=\,(n%2B1)u_n\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,u_n\,=\,\frac{u_{n%2B1}}{n%2B1}

3. Pour la suite définie par :
u_n\,=\,1\,%2B\,2\,%2B\,\ldots\,%2B\,n

Calculons les quatre premiers termes de cette suite :

u_1\,=\,1
u_2\,=\,1\,%2B\,2\,=\,3
u_3\,=\,1\,%2B\,2\,%2B\,3\,=\,6
u_4\,=\,1\,%2B\,2\,%2B\,3\,%2B\,4\,=\,10

Donc, les quatre premiers termes de la suite sont 1%2C\,3%2C\,6%2C\,10.

4. Pour la suite définie par :
u_n\,=\,1\,%2B\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{1}{2^2}\,%2B\,\ldots\,%2B\,\frac{1}{2^n}

Calculons les quatre premiers termes de cette suite :

u_1\,=\,1\,%2B\,\frac{1}{2}\,=\,1\,%2B\,0.5\,=\,1.5
u_2\,=\,1\,%2B\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{1}{2^2}\,=\,1\,%2B\,0.5\,%2B\,0.25\,=\,1.75
u_3\,=\,1\,%2B\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{1}{2^2}\,%2B\,\frac{1}{2^3}\,=\,1\,%2B\,0.5\,%2B\,0.25\,%2B\,0.125\,=\,1.875
u_4\,=\,1\,%2B\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{1}{2^2}\,%2B\,\frac{1}{2^3}\,%2B\,\frac{1}{2^4}\,=\,1\,%2B\,0.5\,%2B\,0.25\,%2B\,0.125\,%2B\,0.0625\,=\,1.9375

Donc, les quatre premiers termes de la suite sont 1.5%2C\,1.75%2C\,1.875%2C\,1.9375.

Exercice 3 : calcul de la somme des termes d’une suite géométrique
\begin{align*}
\text{Calculer :} \\
1) \sum_{k=0}^{3} k^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 \\
= 0 + 1 + 4 + 9 \\
= 14 \\
\\
2) \sum_{k=0}^{3} (-1)^k = (-1)^0 + (-1)^1 + (-1)^2 + (-1)^3 \\
= 1 – 1 + 1 – 1 \\
= 0 \\
\\
3) \sum_{k=0}^{2} \frac{k}{k+1} = \frac{0}{1} + \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \\
= 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \\
= \frac{0}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} \\
= \frac{7}{6} \\
\\
4) \sum_{k=0}^{2} (2k+1) \times (-1)^k = (2 \cdot 0 + 1) \times (-1)^0 + (2 \cdot 1 + 1) \times (-1)^1 + (2 \cdot 2 + 1) \times (-1)^2 \\
= 1 \times 1 + 3 \times (-1) + 5 \times 1 \\
= 1 – 3 + 5 \\
= 3 \\
\\
\text{Compléter :} \\
1) 3 + 4 + 5 + \ldots + 9 = \sum_{k=3}^{9} k \\
\\
2) 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \sum_{k=0}^{4} \frac{1}{2^k}
\end{align*}

Exercice 4 : courbe des premiers termes d’une suite
Soit u_0\,=\,1.

On lit graphiquement :
u_1\,=\,f(u_0)\,=\,f(1)\,\approx\,1.6

Ensuite, on lit :
u_2\,=\,f(u_1)\,=\,f(1.6)\,\approx\,2.3

Puis :
u_3\,=\,f(u_2)\,=\,f(2.3)\,\approx\,2.7

Enfin :
u_4\,=\,f(u_3)\,=\,f(2.7)\,\approx\,2.9

La valeur approchée de u_4 est donc u_4\,\approx\,2.9.

Exercice 5 : lire graphiquement une valeur approchée de Un
Pour lire graphiquement les valeurs de la suite (u_n) et en particulier u_3, procédons étape par étape :

1. On part de u_0 qui est sur l’axe des abscisses.
2. On lit graphiquement la valeur de u_1 en montant jusqu’à la courbe représentative de f et en lisant l’ordonnée correspondante.
3. À partir de cette ordonnée, on rejoint la droite y\,=\,x, ce qui donne u_1 sur l’axe des abscisses.
4. On répète le procédé pour obtenir u_2 puis u_3.

À partir de l’image, on peut suivre la séquence suivante :

1. u_0\,=\,1
2. On monte verticalement jusqu’à la courbe f, ce qui nous donne f(u_0)\,\approx\,1.2 (on lit u_1).
3. Ensuite, on rejoint la droite y=x horizontalement pour obtenir u_1.
4. On répète cette opération.
– De u_1\,\approx\,1.2, on monte à la courbe et on lit f(u_1)\,\approx\,0.9 (on obtient u_2).
– Puis, on se projette sur la droite y=x pour obtenir u_2.
– Ensuite, de u_2\,\approx\,0.9, on monte de nouveau à la courbe et on lit f(u_2)\,\approx\,0.7 (on obtient u_3).
– Finalement, on se projette vers la droite y=x pour obtenir u_3.

Ainsi,

u_3\,\approx\,0.7

Exercice 6 : suite arithmétique et suite géométrique
Pour la suite arithmétique (u_n) de raison r\,=\,4 et de premier terme u_0\,=\,16, on a la formule générale :

u_n\,=\,u_0\,%2B\,n\,\cdot\,r

En appliquant la formule pour n\,=\,6 :

u_6\,=\,16\,%2B\,6\,\cdot\,4
u_6\,=\,16\,%2B\,24
u_6\,=\,40

Pour la suite géométrique u de raison q\,=\,-3 et de premier terme u_0\,=\,2, on a la formule générale :

u_n\,=\,u_0\,\cdot\,q^n

En appliquant la formule pour n\,=\,3 :

u_3\,=\,2\,\cdot\,(-3)^3
u_3\,=\,2\,\cdot\,(-27)
u_3\,=\,-54

Exercice 7 : calculer les premiers termes d’une suite
1. Pour\,la\,suite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu_n%2520%253D%2520%255Cfrac%257B3n%2520%252B%25201%257D%257B2n%257D%22\,alt=%22u_n\,=\,\frac{3n\,%2B\,1}{2n} : » align= »absmiddle » />

Calculons u_1, u_2 et u_3 :

u_1\,=\,\frac{3\,\times  \,1\,%2B\,1}{2\,\times  \,1}\,=\,\frac{3\,%2B\,1}{2}\,=\,\frac{4}{2}\,=\,2

u_2\,=\,\frac{3\,\times  \,2\,%2B\,1}{2\,\times  \,2}\,=\,\frac{6\,%2B\,1}{2\,\times  \,2}\,=\,\frac{7}{4}\,=\,1.75

u_3\,=\,\frac{3\,\times  \,3\,%2B\,1}{2\,\times  \,3}\,=\,\frac{9\,%2B\,1}{2\,\times  \,3}\,=\,\frac{10}{6}\,=\,\frac{5}{3}\,\approx\,1.67

2. Pour\,la\,suite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu_n%2520%253D%25202%2520%255Cleft%2528%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257D%2520%255Cright%2529%255En%22\,alt=%22u_n\,=\,2\,(\,\frac{1}{2}\,)^n : » align= »absmiddle » />

Calculons u_1, u_2 et u_3 :

u_1\,=\,2\,(\,\frac{1}{2}\,)^1\,=\,2\,\times  \,\frac{1}{2}\,=\,1

u_2\,=\,2\,(\,\frac{1}{2}\,)^2\,=\,2\,\times  \,\frac{1}{4}\,=\,\frac{2}{4}\,=\,\frac{1}{2}\,=\,0.5

u_3\,=\,2\,(\,\frac{1}{2}\,)^3\,=\,2\,\times  \,\frac{1}{8}\,=\,\frac{2}{8}\,=\,\frac{1}{4}\,=\,0.25

3. Pour\,la\,suite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu_n%2520%253D%2520%255Csum_%257Bk%253D0%257D%255E%257Bn%257D%25202%255Ek%22\,alt=%22u_n\,=\,\sum_{k=0}^{n}\,2^k : » align= »absmiddle » />

Calculons u_1, u_2 et u_3 :

u_1\,=\,\sum_{k=0}^{1}\,2^k\,=\,2^0\,%2B\,2^1\,=\,1\,%2B\,2\,=\,3

u_2\,=\,\sum_{k=0}^{2}\,2^k\,=\,2^0\,%2B\,2^1\,%2B\,2^2\,=\,1\,%2B\,2\,%2B\,4\,=\,7

u_3\,=\,\sum_{k=0}^{3}\,2^k\,=\,2^0\,%2B\,2^1\,%2B\,2^2\,%2B\,2^3\,=\,1\,%2B\,2\,%2B\,4\,%2B\,8\,=\,15

Exercice 8 : calculer U0,U1 et U2
1) Pour chacune des suites ci-dessous, calculer u_0, u_1 et u_2.

a) u définie pour tout entier naturel n par :
u_n\,=\,2n^2\,-\,5n

Calculons u_0, u_1 et u_2 :

u_0\,%26=\,2\,\times  \,0^2\,-\,5\,\times  \,0\,=\,0%2C\,\\%0D%0Au_1\,%26=\,2\,\times  \,1^2\,-\,5\,\times  \,1\,=\,2\,-\,5\,=\,-3%2C\,\\%0D%0Au_2\,%26=\,2\,\times  \,2^2\,-\,5\,\times  \,2\,=\,2\,\times  \,4\,-\,10\,=\,8\,-\,10\,=\,-2.

b) u définie pour tout entier naturel n par :
u_n\,=\,(n%2B1)\,\times  \,(-2)^n

Calculons u_0, u_1 et u_2 :

u_0\,%26=\,(0%2B1)\,\times  \,(-2)^0\,=\,1\,\times  \,1\,=\,1%2C\,\\%0D%0Au_1\,%26=\,(1%2B1)\,\times  \,(-2)^1\,=\,2\,\times  \,(-2)\,=\,-4%2C\,\\%0D%0Au_2\,%26=\,(2%2B1)\,\times  \,(-2)^2\,=\,3\,\times  \,4\,=\,12.

c) u définie pour tout entier naturel n par :
u_n\,=\,\sum_{i=0}^{n}\,(2i\,%2B\,1)

Calculons u_0, u_1 et u_2 :

u_0\,%26=\,\sum_{i=0}^{0}\,(2i\,%2B\,1)\,=\,2\,\times  \,0\,%2B\,1\,=\,1%2C\,\\%0D%0Au_1\,%26=\,\sum_{i=0}^{1}\,(2i\,%2B\,1)\,=\,(2\,\times  \,0\,%2B\,1)\,%2B\,(2\,\times  \,1\,%2B\,1)\,=\,1\,%2B\,3\,=\,4%2C\,\\%0D%0Au_2\,%26=\,\sum_{i=0}^{2}\,(2i\,%2B\,1)\,=\,(2\,\times  \,0\,%2B\,1)\,%2B\,(2\,\times  \,1\,%2B\,1)\,%2B\,(2\,\times  \,2\,%2B\,1)\,=\,1\,%2B\,3\,%2B\,5\,=\,9.

2) À l’aide de la calculatrice, contrôler les résultats des questions a) et b).

Pour vérifier ces résultats, entrez les formules correspondantes dans une calculatrice et confirmez les valeurs précédemment trouvées:

Pour a):
u_0\,%26=\,0%2C\,\\%0D%0Au_1\,%26=\,-3%2C\,\\%0D%0Au_2\,%26=\,-2.

Pour b):
u_0\,%26=\,1%2C\,\\%0D%0Au_1\,%26=\,-4%2C\,\\%0D%0Au_2\,%26=\,12.

Exercice 9 : terme précédent d’une suite
Correction de l’exercice :

Premiere\,suite\,%3A
\begin{cases}%0D%0Au_0\,=\,-2\,\\%0D%0Au_{n%2B1}\,=\,\frac{1}{2}u_n\,%2B\,3%0D%0A\end{cases}

1) Calculer u_1, u_2 et u_3.

u_1\,%26=\,\frac{1}{2}u_0\,%2B\,3\,=\,\frac{1}{2}(-2)\,%2B\,3\,=\,-1\,%2B\,3\,=\,2\,\\%0D%0Au_2\,%26=\,\frac{1}{2}u_1\,%2B\,3\,=\,\frac{1}{2}(2)\,%2B\,3\,=\,1\,%2B\,3\,=\,4\,\\%0D%0Au_3\,%26=\,\frac{1}{2}u_2\,%2B\,3\,=\,\frac{1}{2}(4)\,%2B\,3\,=\,2\,%2B\,3\,=\,5

2) Écrire u_n en fonction de u_{n-1}.

La relation de récurrence est déjà donnée :
u_{n}\,=\,\frac{1}{2}u_{n-1}\,%2B\,3

Deuxieme\,suite\,%3A
\begin{cases}%0D%0Au_0\,=\,2\,\\%0D%0Au_{n%2B1}\,=\,-2u_n%0D%0A\end{cases}

1) Calculer u_1, u_2 et u_3.

u_1\,%26=\,-2u_0\,=\,-2(2)\,=\,-4\,\\%0D%0Au_2\,%26=\,-2u_1\,=\,-2(-4)\,=\,8\,\\%0D%0Au_3\,%26=\,-2u_2\,=\,-2(8)\,=\,-16

2) Écrire u_n en fonction de u_{n-1}.

La relation de récurrence est déjà donnée :
u_{n}\,=\,-2u_{n-1}

Troisieme\,suite\,%3A
\begin{cases}%0D%0Au_0\,=\,1\,\\%0D%0Au_{n%2B1}\,=\,nu_n\,%2B\,3%0D%0A\end{cases}

1) Calculer u_1, u_2 et u_3.

u_1\,%26=\,0u_0\,%2B\,3\,=\,0(1)\,%2B\,3\,=\,3\,\\%0D%0Au_2\,%26=\,1u_1\,%2B\,3\,=\,1(3)\,%2B\,3\,=\,6\,\\%0D%0Au_3\,%26=\,2u_2\,%2B\,3\,=\,2(6)\,%2B\,3\,=\,15

2) Écrire u_n en fonction de u_{n-1}.

La relation de récurrence est déjà donnée :
u_{n}\,=\,(n-1)u_{n-1}\,%2B\,3

Exercice 10 : suites récurrentes et terme de rang n
1) Calcul de u_1, u_2 et u_3.

a) Pour la suite définie par :
\begin{cases}%0D%0Au_0\,=\,-3\,\\%0D%0Au_{n%2B1}\,=\,-u_n\,-\,5%0D%0A\end{cases}

Calculons :
u_1\,=\,-u_0\,-\,5\,=\,-(-3)\,-\,5\,=\,3\,-\,5\,=\,-2
u_2\,=\,-u_1\,-\,5\,=\,-(-2)\,-\,5\,=\,2\,-\,5\,=\,-3
u_3\,=\,-u_2\,-\,5\,=\,-(-3)\,-\,5\,=\,3\,-\,5\,=\,-2

b) Pour la suite définie par :
\begin{cases}%0D%0Au_0\,=\,7\,\\%0D%0Au_{n%2B1}\,=\,(n%2B1)u_n\,-\,4%0D%0A\end{cases}

Calculons :
u_1\,=\,(0%2B1)u_0\,-\,4\,=\,1\,\cdot\,7\,-\,4\,=\,7\,-\,4\,=\,3
u_2\,=\,(1%2B1)u_1\,-\,4\,=\,2\,\cdot\,3\,-\,4\,=\,6\,-\,4\,=\,2
u_3\,=\,(2%2B1)u_2\,-\,4\,=\,3\,\cdot\,2\,-\,4\,=\,6\,-\,4\,=\,2

c) Pour la suite définie par :
\begin{cases}%0D%0Au_0\,=\,2\,\\%0D%0Au_1\,=\,-1\,\\%0D%0Au_{n%2B2}\,=\,2u_n\,-\,u_{n%2B1}%0D%0A\end{cases}

Calculons :
u_2\,=\,2u_0\,-\,u_1\,=\,2\,\cdot\,2\,-\,(-1)\,=\,4\,%2B\,1\,=\,5
u_3\,=\,2u_1\,-\,u_2\,=\,2\,\cdot\,(-1)\,-\,5\,=\,-2\,-\,5\,=\,-7

2) Écriture de u_n en fonction de u_{n-1} pour les questions a) et b).

a) La suite est déjà définie comme :
u_{n%2B1}\,=\,-u_n\,-\,5

b) La suite est déjà définie comme :
u_{n%2B1}\,=\,(n%2B1)u_n\,-\,4

Ainsi, nous avons les calculs et les écritures en fonction pour chaque suite.

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