Les suites numériques : corrigés des exercices de maths en 1ère.

Exercice 11 : mode de génération d’une suite numérique
1) Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer son mode de génération et ses quatre premiers termes :

a) \( u \) définie sur \(\mathbb{N}\) par \( u_n = n^3 \)

Les quatre premiers termes de la suite \( u_n \) sont :
\[
u_0 = 0^3 = 0 \\
u_1 = 1^3 = 1 \\
u_2 = 2^3 = 8 \\
u_3 = 3^3 = 27
\]

b) \( v \) définie sur \(\mathbb{N}\) par
\[
\{
\begin{array}{l}
v_0 = -5 \\
v_{n+1} = 2v_n + 4
\end{array}
.
\]

Les quatre premiers termes de la suite \( v_n \) sont :
\[
v_0 = -5 \\
v_1 = 2v_0 + 4 = 2(-5) + 4 = -10 + 4 = -6 \\
v_2 = 2v_1 + 4 = 2(-6) + 4 = -12 + 4 = -8 \\
v_3 = 2v_2 + 4 = 2(-8) + 4 = -16 + 4 = -12
\]

c) \( w \) définie sur \(\mathbb{N}^*\) par \( w_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n} \)

Les quatre premiers termes de la suite \( w_n \) sont :
\[
w_1 = 1 \\
w_2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\
w_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} \\
w_4 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12}
\]

2) À l’aide de la calculatrice, contrôler les résultats précédents.

Pour vérifier les résultats obtenus, vous pouvez utiliser une calculatrice ou un logiciel de calcul en particulier pour vérifier les termes des suites \( v \) et \( w \) qui impliquent des additions répétées ou des fractions.

Par exemple, pour la suite \( w_n \), on peut directement calculer en simplifiant les fractions :
\[
w_1 = 1 \approx 1 \\
w_2 = 1 + 0.5 = 1.5 \\
w_3 = 1 + 0.5 + 0.3333 \approx 1.8333 \\
w_4 = 1 + 0.5 + 0.3333 + 0.25 \approx 2.0833
\]

Ainsi, avec une calculatrice, vous pouvez confirmer que les résultats sont corrects.

Exercice 12 : mode de génération des 4 premiers termes d’une suite
Pour la suite \((u_n)\) définie par \( u_0 = 1 \) et \( u_n = \frac{2}{u_{n-1}} + 1 \), les premiers termes sont calculés comme suit :

\[
\begin{align*}
u_0 = 1, \\
u_1 = \frac{2}{u_0} + 1 = \frac{2}{1} + 1 = 3, \\
u_2 = \frac{2}{u_1} + 1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}, \\
u_3 = \frac{2}{u_2} + 1 = \frac{2}{\frac{5}{3}} + 1 = \frac{6}{5} + 1 = \frac{11}{5}.
\end{align*}
\]

Donc, les quatre premiers termes de la suite \((u_n)\) sont \(1, 3, \frac{5}{3}, \frac{11}{5}\).

Pour la suite \((v_n)\) définie par \( v_n = \sin(\frac{n\pi}{3}) \), les premiers termes sont calculés comme suit :

\[
\begin{align*}
v_0 = \sin(\frac{0 \cdot \pi}{3}) = \sin(0) = 0, \\
v_1 = \sin(\frac{1 \cdot \pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \\
v_2 = \sin(\frac{2 \cdot \pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \\
v_3 = \sin(\frac{3 \cdot \pi}{3}) = \sin(\pi) = 0.
\end{align*}
\]

Donc, les quatre premiers termes de la suite \((v_n)\) sont \(0, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\).

Pour l’étape 2, les résultats précédents devraient être vérifiés avec une calculatrice.

Exercice 13 : tableur et formule des termes d’une suite v
1) La formule en C2 est `=2*B1+1+B2`. Si nous la copions vers la droite en D2, la formule devient `=2*C1+1+C2`. Ainsi, en utilisant les valeurs de la cellule, nous obtenons :

\[
\begin{align*}
C1 = 2, \\
C2 = -2.
\end{align*}
\]

Calculons D2 :
\[
D2 = 2 \times 2 + 1 + (-2) = 4 + 1 – 2 = 3.
\]

Donc, la valeur obtenue dans la case D2 est 3.

2) Pour définir la suite \( v \), observons les formules et les valeurs obtenues. La suite partie de \( u_1 = -5 \) est définie par une relation de récurrence utilisant les deux termes précédents. La formule générale semble être de la forme :
\[
v_n = 2v_{n-1} + 1 + v_{n-2}.
\]

Pour confirmer cela, calculons les valeurs à l’aide de cette relation :
\[
\begin{align*}
v_1 = -5, \\
v_2 = -2, \\
v_3 = 2v_2 + 1 + v_1 = 2(-2) + 1 + (-5) = -4 + 1 – 5 = -8, \\
v_4 = 2v_3 + 1 + v_2 = 2(-8) + 1 + (-2) = -16 + 1 – 2 = -17, \\
v_5 = 2v_4 + 1 + v_3 = 2(-17) + 1 + (-8) = -34 + 1 – 8 = -41.
\end{align*}
\]

En conclusion, la suite \( v \) est définie par :
\[
v_1 = -5, \quad v_2 = -2, \quad \text{et} \quad v_n = 2v_{n-1} + 1 + v_{n-2} \quad \text{pour} \quad n \geq\, 3.
\]

Exercice 14 : suite récurrente et utilisation du tableur
Pour obtenir les premiers termes de la suite \(u\), nous devons initialiser la cellule B2 avec la valeur \(u_0 = -3\) et écrire une formule en C2 qui représente l’équation de la récurrence \(u_{n+1} = u_n^2 + 3u_n\) en utilisant la valeur de la cellule précédente.

1. En B2, nous écrivons :
\[
-3
\]

2. En C2, nous devons écrire la formule représentant \(u_{n+1} = u_n^2 + 3u_n\). En notation de tableur, si B2 contient \(u_0 \), alors le contenu de C2 doit être:
\[
=B2^2 + 3*B2
\]

Donc, la solution correcte avec les instructions suivant l’utilisation du tableur est :

* B2 : -3
* C2 : =B2^2 + 3*B2

Ensuite, en étirant la formule de la cellule C2 vers la droite, les cellules D2, E2, F2, etc. se rempliront automatiquement avec les valeurs suivantes de la suite \(u_n\).

Exercice 15 : tableur et formule entrée dans la cellule pour une suite
1) La cellule C2 contient \( \frac{3}{2} \), ce qui correspond à \( u_1 = 0.5 \times 1 + 2 = 2.5 \). Cependant, puisque la colonne correspond à \( u_n \), pour obtenir \( u_{n+1} \), la formule entrée dans la cellule C2 et recopiée vers la droite est :

\[
\text{C2} : \quad =0.5 \times C1 + 2
\]

2) La cellule C3 contient la somme des termes de la suite \( u_n \) jusqu’au terme \(n\). La première valeur dans C3 est \( \sum_{k=0}^{1} u_k \) (c’est-à-dire \( u_0 + u_1 \)), donc \( 1 + 2.5 = 3.5 \). Pour obtenir cela, la formule entrée dans la cellule C3 et recopiée vers la droite est :

\[
\text{C3} : \quad =B3 + C2
\]

En terme Excel, B3 contient la somme partielle jusqu’à la colonne précédente et C2 contient le dernier terme de \( u_n \).

Exercice 16 : etude de trois suites
{Correction de l’exercice}

Pour la suite \((u_n)\) définie par :
\[ u_n = 2n^2 + (-1)^n \]

1. Écrire \(u_{n+1}\) en fonction de \(n\).
\[
u_{n+1} = 2(n+1)^2 + (-1)^{n+1}
\]
Développons \(2(n+1)^2\) :
\[
2(n+1)^2 = 2(n^2 + 2n + 1) = 2n^2 + 4n + 2
\]
Ensuite,
\[
(-1)^{n+1} = -(-1)^n
\]
Donc :
\[
u_{n+1} = 2n^2 + 4n + 2 – (-1)^n = 2n^2 + 4n + 2 – (-1)^n
\]

2. Écrire \(u_{2n}\) en fonction de \(n\).
\[
u_{2n} = 2(2n)^2 + (-1)^{2n}
\]
Simplifions :
\[
(2n)^2 = 4n^2 \quad \text{et} \quad (-1)^{2n} = 1
\]
Ainsi :
\[
u_{2n} = 2 \cdot 4n^2 + 1 = 8n^2 + 1
\]

Pour la suite \((v_n)\) définie par :
\[ v_n = \frac{(-2)^{n-1}}{3^n} \]

1. Écrire \(v_{n-1}\) en fonction de \(n\).
\[
v_{n-1} = \frac{(-2)^{(n-1)-1}}{3^{n-1}} = \frac{(-2)^{n-2}}{3^{n-1}}
\]

2. Écrire \(v_{n+2}\) en fonction de \(n\).
\[
v_{n+2} = \frac{(-2)^{(n+2)-1}}{3^{n+2}} = \frac{(-2)^{n+1}}{3^{n+2}}
\]

Pour la suite \((w_n)\) définie par :
\[ w_n = \cos ( \frac{n\pi}{3} ) \]

1. Calculer les 6 premiers termes de la suite.
\[
\begin{align*}
w_0 = \cos ( \frac{0\pi}{3} ) = \cos(0) = 1 \\
w_1 = \cos ( \frac{1\pi}{3} ) = \cos ( \frac{\pi}{3} ) = \frac{1}{2} \\
w_2 = \cos ( \frac{2\pi}{3} ) = -\frac{1}{2} \\
w_3 = \cos ( \frac{3\pi}{3} ) = \cos(\pi) = -1 \\
w_4 = \cos ( \frac{4\pi}{3} ) = -\frac{1}{2} \\
w_5 = \cos ( \frac{5\pi}{3} ) = \frac{1}{2} \\
w_6 = \cos ( \frac{6\pi}{3} ) = \cos(2\pi) = 1 \\
\end{align*}
\]
Les 6 premiers termes sont : \(1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\).

2. Soit \(n\) un entier naturel. Exprimer \(w_{n+6}\) en fonction de \(w_n\).
\[
w_{n+6} = \cos ( \frac{(n+6)\pi}{3} ) = \cos ( \frac{n\pi}{3} + 2\pi ) = \cos ( \frac{n\pi}{3} ) = w_n
\]
Donc :
\[
w_{n+6} = w_n
\]

Exercice 17 : problème sur les suites récurrentes
Correction de l’exercice :

Soit \[(u_n)\] la suite définie sur \[\mathbb{N}\] par \[u_n = -2n + 7\].

1) Exprimer \[u_{n+1}\] en fonction de \[n\].

\[\]u_{n+1} = -2(n+1) + 7 = -2n – 2 + 7 = -2n + 5\[\]

Donc, \[u_{n+1} = -2n + 5\].

2) Exprimer \[u_{n+1}\] en fonction de \[u_n\].

\[\]u_n = -2n + 7 \implies n = \frac{7 – u_n}{2}\[\]

\[\]u_{n+1} = -2 ( \frac{7 – u_n}{2} + 1 ) + 7 = – (7 – u_n + 2) + 7 = u_n + 5 – 2\[\]

Donc, \[u_{n+1} = u_n -2\].

Soit \[(v_n)\] la suite définie sur \[\mathbb{N}\] par \[v_n = 2^n\].

1) Exprimer \[v_{n+1}\] en fonction de \[n\].

\[\]v_{n+1} = 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n = 2v_n\[\]

Donc, \[v_{n+1} = 2v_n\].

2) Exprimer \[v_{n+1}\] en fonction de \[v_n\].

\[\]v_{n+1} = 2v_n\[\]

Dans chaque cas, exprimer \[u_n\] en fonction de \[u_{n-1}\].

1) \[(u_n)\] est la suite définie sur \[\mathbb{N}\] par \[u_0 = 3\] et \[u_{n+1} = 3u_n + 5n – 1\].

Pour exprimer \[u_n\] en fonction de \[u_{n-1}\]:

\[\]u_{n+1} = 3u_n + 5n – 1\[\]
\[\]u_n = 3u_{n-1} + 5(n-1) – 1\[\]

2) \[(u_n)\] est la suite définie sur \[\mathbb{N}^*\] par \[u_n = 2\] et \[u_{n+2} = (n+1)u_{n+1} + 5\].

Pour exprimer \[u_{n+2}\] en fonction de \[u_{n-1}\]:

\[\]u_{n+2} = (n+1)u_{n+1} + 5\[\]

Exercice 18 : algorithme et terme d’une suite défini par sa forme explicite
1) La suite \( (u_n) \) est-elle définie par sa forme explicite ou par récurrence?

La suite \( (u_n) \) est définie par récurrence, car chaque terme \( u_n \) est calculé en utilisant les termes précédents (plus précisément, il est calculé en fonction de \( u_{n-1} \) et diverses opérations itératives).

2) Définir la suite \( (u_n) \).

D’après l’algorithme fourni, pour un \( n \) donné, la suite \( (u_n) \) est calculée en suivant l’algorithme suivant :
– \(\text{Lire } n\)
– \(\text{Poser } u = 0\)
– \(\text{Pour } i \text{ allant de } 0 \text{ à } n \text{:}\)
– \(u \text{ prend la valeur } 5i + 2\)
– \(\text{Afficher } u\)

En suivant cet algorithme, le terme \( u_n \) est calculé comme suit :
\[ u_n = 5n + 2 \]

Ainsi, la suite \( (u_n) \) est définie par :
\[ (u_n) = 5n + 2 \]

Exercice 19 : algorithme et définition d’une suite numérique
1) La suite \[(u_n)\] est définie par la récurrence :
\[ u_0 = 5 \]
\[ u_{n+1} = u_n + 2 \]

2) Cet algorithme lit la valeur de \( n \) et initialise la suite \( u \) à 5 (c’est-à-dire \( u_0 = 5 \)). Ensuite, il calcule et affiche les \( n \) premiers termes de la suite selon la relation de récurrence \( u_{n+1} = u_n + 2 \).

3) Pour modifier l’algorithme afin qu’il n’affiche que le terme \( u_n \) dont l’indice \( n \) a été choisi par l’utilisateur, il faut changer le code comme indiqué ci-dessous :
« `pseudo-algorithme
VARIABLES
n EST_DU_TYPE NOMBRE
u EST_DU_TYPE NOMBRE

DEBUT_ALGORITHME
LIRE n
u PREND_LA_VALEUR 5
POUR i ALLANT DE 1 A n
u PREND_LA_VALEUR u + 2
FIN_POUR
AFFICHER u
FIN_ALGORITHME
« `

Exercice 20 : une suite de triangles rectangles et étude de la suite de longueurs
1) Calculer \( u_2 \) et \( u_3 \).

On commence par calculer \( u_2 = OA_2 \). D’après l’énoncé, le triangle \( OA_1A_2 \) est un triangle rectangle en \( A_1 \) avec \( OA_1 = 1 \) et \( A_1A_2 = 1 \). Par le théorème de Pythagore dans le triangle \( OA_1A_2 \), on a :

\[
OA_2^2 = OA_1^2 + A_1A_2^2
\]

Comme \( OA_1 = 1 \) et \( A_1A_2 = 1 \), on substitue ces valeurs :

\[
OA_2^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2
\]

Ainsi :

\[
OA_2 = \sqrt{2}
\]

Donc, \( u_2 = \sqrt{2} \).

Pour \( u_3 = OA_3 \), on sait que le triangle \( OA_2A_3 \) est rectangle en \( A_2 \), avec \( OA_2 = \sqrt{2} \) et \( A_2A_3 = 1 \). En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore :

\[
OA_3^2 = OA_2^2 + A_2A_3^2
\]

Avec \( OA_2 = \sqrt{2} \) et \( A_2A_3 = 1 \) :

\[
OA_3^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3
\]

Ainsi :

\[
OA_3 = \sqrt{3}
\]

Donc, \( u_3 = \sqrt{3} \).

2) Définir la suite \( (u_n) \) par récurrence.

D’après l’énoncé, pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), le triangle \( OA_nA_{n+1} \) est rectangle en \( A_n \) avec \( OA_n = u_n \) et \( A_nA_{n+1} = 1 \). En utilisant le théorème de Pythagore :

\[
OA_{n+1}^2 = OA_n^2 + A_nA_{n+1}^2
\]

On a donc :

\[
u_{n+1}^2 = u_n^2 + 1
\]

Ce qui nous donne la relation de récurrence :

\[
u_{n+1} = \sqrt{u_n^2 + 1}
\]

Avec la condition initiale :

\[
u_1 = 1
\]

3) Conjecturer la forme explicite de la suite \( (u_n) \).

Observons la suite \( u_n \) :

\[
u_1 = 1, \quad u_2 = \sqrt{2}, \quad u_3 = \sqrt{3}, \quad u_4 = \sqrt{4}, \quad \ldots
\]

On remarque que \( u_n = \sqrt{n} \). Conjecturons que la suite \( (u_n) \) est donnée explicitement par :

\[
u_n = \sqrt{n} \quad \text{pour tout} \quad n \in \mathbb{N}^*
\]

Il est à noter que cette conjecture peut être démontrée par induction mathématique pour confirmer qu’elle est correcte pour tous les \( n \).

Exercice 21 : suites géométriques et arithmétiques
\paragraph{Question 1}
La suite \((w_n)\) est définie pour tout entier naturel \( n \) par \( w_0 = -1 \) et \( w_{n+1} = 3w_n – 2 \). Nous devons déterminer si cette suite est géométrique, arithmétique, ou ni l’un ni l’autre.

Pour qu’une suite soit géométrique de raison \( r \), nous devons avoir:
\[
\frac{w_{n+1}}{w_n} = r \quad \text{constant}
\]
Pour qu’une suite soit arithmétique de raison \( r \), nous devons avoir:
\[
w_{n+1} – w_n = r \quad \text{constant}
\]
Calculons quelques termes de la suite \( (w_n) \):
\[
w_0 = -1
\]
\[
w_1 = 3w_0 – 2 = 3(-1) – 2 = -3 – 2 = -5
\]
\[
w_2 = 3w_1 – 2 = 3(-5) – 2 = -15 – 2 = -17
\]
\[
w_3 = 3w_2 – 2 = 3(-17) – 2 = -51 – 2 = -53
\]

Le rapport \(\frac{w_{n+1}}{w_n}\) n’est pas constant:
\[
\frac{w_1}{w_0} = \frac{-5}{-1} = 5 \quad \text{et} \quad \frac{w_2}{w_1} = \frac{-17}{-5} = 3.4
\]
La différence \(w_{n+1} – w_n\) n’est pas constante:
\[
w_1 – w_0 = -5 – (-1) = -4 \quad \text{et} \quad w_2 – w_1 = -17 – (-5) = -12
\]

Donc, la suite \( (w_n) \) n’est ni géométrique ni arithmétique.
La réponse correcte est \(\boxed{\text{d}}\).

\paragraph{Question 2}
L’expression du terme général d’une suite arithmétique de premier terme \( u_1 = 2 \) et de raison \( -5 \) est :

La formule du terme général d’une suite arithmétique est donnée par :
\[
u_n = u_1 + (n-1) \cdot r
\]
Ici, \( u_1 = 2 \) et \( r = -5 \). Donc,
\[
u_n = 2 + (n-1)(-5)
\]
\[
u_n = 2 – 5n + 5
\]
\[
u_n = 7 – 5n
\]

La réponse correcte est \(\boxed{\text{c}}\).

Exercice 22 : expression du terme général d’une suite
1. L’expression du terme général d’une suite géométrique de premier terme \( v_1 = 2 \) et de raison \(-5\) est :

La formule du terme général \( v_n \) d’une suite géométrique est donnée par :
\[ v_n = v_1 \times q^{n-1} \]

Ici, \( v_1 = 2 \) et \( q = -5 \). Donc :
\[ v_n = 2 \times (-5)^{n-1} \]
La réponse correcte est donc :
\[ \boxed{\text{b}} \]

2. La suite \( (t_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par :
\[ t_n = \frac{1}{2} n – 3 \]

Pour déterminer si la suite est croissante ou décroissante, nous étudions le signe de la dérivée de la fonction associée \( f(n) = \frac{1}{2} n – 3 \).

La dérivée de \( f(n) \) est :
\[ f'(n) = \frac{1}{2} \]

Puisque la dérivée \(\frac{1}{2}\) est positive, la suite est croissante pour tout \( n \).

La réponse correcte est donc :
\[ \boxed{\text{a}} \]

Exercice 23 : suite arithmétique ou géométrique
Correction de l’exercice :

1. La suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par
\[ u_n = -3n + 5 : \]
– \(a\) est une suite arithmétique de raison \(-3\).

\[\]Vrai\[\] : En effet, une suite arithmétique est définie par une formule de la forme \(u_n = u_0 + n \cdot r\) où \(r\) est la raison de la suite. Ici, \(u_n = -3n + 5\) est de la forme \(u_n = u_0 + n \cdot (-3)\) avec \(u_0 = 5\) et \(r = -3\).

– \(b\) est une suite arithmétique de raison \(5\).

\[\]Faux\[\] : Comme démontré ci-dessus, la raison est \(-3\), et non \(5\).

– \(c\) a pour premier terme \(u_0 = 5\).

\[\]Vrai\[\] : En effet, pour \(n = 0\), on a \(u_0 = -3 \times 0 + 5 = 5\).

– \(d\) a pour premier terme \(u_0 = -3\).

\[\]Faux\[\] : Le premier terme est \(u_0 = 5\), comme démontré ci-dessus.

2. La suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par
\[ v_n = -3 \times 5^n : \]
– \(a\) est une suite géométrique de raison \(-3\).

\[\]Faux\[\] : Une suite géométrique est définie par une formule de la forme \(v_n = v_0 \cdot q^n\) où \(q\) est la raison de la suite. Ici, \(v_n = -3 \times 5^n\) est de la forme \(v_n = v_0 \cdot (5)^n\) avec \(v_0 = -3\) et \(q = 5\).

– \(b\) est une suite géométrique de raison \(5\).

\[\]Vrai\[\] : Comme démontré ci-dessus, la raison est \(5\).

– \(c\) a pour premier terme \(v_0 = 5\).

\[\]Faux\[\] : Le premier terme est obtenu pour \(n = 0\), soit \(v_0 = -3 \times 5^0 = -3\).

– \(d\) a pour premier terme \(v_0 = -3\).

\[\]Vrai\[\] : Le premier terme est bien \(v_0 = -3\), comme démontré ci-dessus.

Exercice 24 : somme des premiers termes
Pour la première question, nous avons une somme de termes pairs de 2 à 20. C’est une suite arithmétique où le premier terme est \(a = 2\) et la différence commune est \(d = 2\). Le \(n\)-ième terme de cette suite est 20.

\[
a_n = a + (n – 1)d
\]

En substituant les valeurs, nous obtenons :

\[
20 = 2 + (n – 1) \cdot 2
\]
\[
20 = 2 + 2n – 2
\]
\[
20 = 2n
\]
\[
n = 10
\]

Donc, il y a 10 termes dans la suite \(\{2, 4, 6, …, 20\}\).

La somme des termes d’une suite arithmétique est donnée par la formule :

\[
S_n = \frac{n}{2} (a + l)
\]

où \(n\) est le nombre de termes, \(a\) est le premier terme et \(l\) est le dernier terme. Ainsi,

\[
S_{10} = \frac{10}{2} (2 + 20) = 5 \cdot 22 = 110
\]

La réponse correcte est donc \( \boxed{a} \).

Pour la deuxième question, nous avons une somme de termes de la forme \(1 + 5 + 5^2 + … + 5^{10}\). Ceci est une suite géométrique où le premier terme est \(a = 1\) et la raison \(r = 5\).

La somme d’une suite géométrique est donnée par la formule :

\[
S_n = \frac{a(r^n – 1)}{r – 1}
\]

où \(a\) est le premier terme, \(r\) est la raison, et \(n\) est le nombre de termes. Ici, \(a = 1\), \(r = 5\), et \(n = 11\) (car on commence à \(5^0\) et \(\Delta_n = 10\)).

\[
S_{11} = \frac{1 \cdot (5^{11} – 1)}{5 – 1} = \frac{5^{11} – 1}{4}
\]

La réponse correcte est donc \( \boxed{a} \).

Exercice 25 : calculer les premiers termes
Pour chacune des suites suivantes définies sur \(\mathbb{N}\), voici les valeurs de \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_{10}\) :

1. \(u_n = 3n + 7\)

\[
\begin{aligned}
u_0 = 3 \times 0 + 7 = 7 \\
u_1 = 3 \times 1 + 7 = 10 \\
u_2 = 3 \times 2 + 7 = 13 \\
u_3 = 3 \times 3 + 7 = 16 \\
u_{10} = 3 \times 10 + 7 = 37 \\
\end{aligned}
\]

2. \(u_n = \frac{n}{n + 1} + 2\)

\[
\begin{aligned}
u_0 = \frac{0}{0 + 1} + 2 = 2 \\
u_1 = \frac{1}{1 + 1} + 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2} \\
u_2 = \frac{2}{2 + 1} + 2 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2}{3} + \frac{6}{3} = \frac{8}{3} \\
u_3 = \frac{3}{3 + 1} + 2 = \frac{3}{4} + 2 = \frac{3}{4} + \frac{8}{4} = \frac{11}{4} \\
u_{10} = \frac{10}{10 + 1} + 2 = \frac{10}{11} + 2 \\
\end{aligned}
\]

3. \(u_n = n^2 – 7n + 2\)

\[
\begin{aligned}
u_0 = 0^2 – 7 \times 0 + 2 = 2 \\
u_1 = 1^2 – 7 \times 1 + 2 = 1 – 7 + 2 = -4 \\
u_2 = 2^2 – 7 \times 2 + 2 = 4 – 14 + 2 = -8 \\
u_3 = 3^2 – 7 \times 3 + 2 = 9 – 21 + 2 = -10 \\
u_{10} = 10^2 – 7 \times 10 + 2 = 100 – 70 + 2 = 32 \\
\end{aligned}
\]

4. \(u_n = 2^n – 3\)

\[
\begin{aligned}
u_0 = 2^0 – 3 = 1 – 3 = -2 \\
u_1 = 2^1 – 3 = 2 – 3 = -1 \\
u_2 = 2^2 – 3 = 4 – 3 = 1 \\
u_3 = 2^3 – 3 = 8 – 3 = 5 \\
u_{10} = 2^{10} – 3 = 1024 – 3 = 1021 \\
\end{aligned}
\]

5. \(u_n = (-1)^n \cdot n\)

\[
\begin{aligned}
u_0 = (-1)^0 \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0 \\
u_1 = (-1)^1 \cdot 1 = -1 \times 1 = -1 \\
u_2 = (-1)^2 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2 \\
u_3 = (-1)^3 \cdot 3 = -1 \cdot 3 = -3 \\
u_{10} = (-1)^{10} \cdot 10 = 1 \cdot 10 = 10 \\
\end{aligned}
\]

6. \(u_n = \frac{3}{4} – \frac{1}{4} n\)

\[
\begin{aligned}
u_0 = \frac{3}{4} – \frac{1}{4} \times 0 = \frac{3}{4} \\
u_1 = \frac{3}{4} – \frac{1}{4} \times 1 = \frac{3}{4} – \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\
u_2 = \frac{3}{4} – \frac{1}{4} \times 2 = \frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \\
u_3 = \frac{3}{4} – \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4} – \frac{3}{4} = 0 \\
u_{10} = \frac{3}{4} – \frac{1}{4} \times 10 = \frac{3}{4} – \frac{10}{4} = \frac{3}{4} – \frac{5}{2} = \frac{3}{4} – \frac{10}{4} = -\frac{7}{4} \\
\end{aligned}
\]

Exercice 26 : premiers termes et conjecture
\[
\begin{array}{c}
u_{0} = 20 \\
u_{n+1} = u_{n} – (n – 4)^2 \text{, pour tout } n \in \mathbb{N}
\end{array}
\]

1. Calculer les quatre premiers termes de la suite.

\[
\begin{aligned}
u_{0} = 20 \\
u_{1} = u_{0} – (0 – 4)^2 = 20 – 16 = 4 \\
u_{2} = u_{1} – (1 – 4)^2 = 4 – 9 = -5 \\
u_{3} = u_{2} – (2 – 4)^2 = -5 – 4 = -9 \\
u_{4} = u_{3} – (3 – 4)^2 = -9 – 1 = -10
\end{aligned}
\]

Les quatre premiers termes de la suite sont donc \( u_{0} = 20 \), \( u_{1} = 4 \), \( u_{2} = -5 \), et \( u_{3} = -9 \), \( u_{4} = -10 \).

2. Conjecturer le sens de variation.

En observant les termes calculés, on remarque que la suite semble être décroissante.

3. Démontrer cette conjecture.

Supposons que la suite soit décroissante, c’est-à-dire \( u_{n+1} \leq\, u_n \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
Nous devons montrer que \( u_{n+1} = u_n – (n-4)^2 \leq\, u_n \).

\[
u_{n+1} = u_n – (n-4)^2
\]

Comme \((n-4)^2 \geq\, 0\) pour tout \( n \in \mathbb{N} \), il s’ensuit que \( u_{n+1} \leq\, u_n \).

Il en découle que la suite est bien décroissante. Conjecture démontrée.

Exercice 27 : quelle est la nature de ces suites ?
Déterminons si les suites suivantes sont arithmétiques. Si oui, donnons le premier terme et la raison.

1. \( u_n = 7n – 3 \), pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

La suite \( (u_n) \) est arithmétique s’il existe un nombre \( r \) tel que \( u_{n+1} = u_n + r \).

Calculons la différence entre deux termes consécutifs :
\[
u_{n+1} = 7(n+1) – 3 = 7n + 7 – 3 = 7n + 4
\]
\[
u_{n+1} – u_n = (7n + 4) – (7n – 3) = 7
\]
La suite est arithmétique avec une raison \( r = 7 \) et le premier terme \( u_0 = -3 \).

2. \( u_n = n^2 + 4 \), pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

Calculons la différence entre deux termes consécutifs :
\[
u_{n+1} = (n+1)^2 + 4 = n^2 + 2n + 1 + 4
\]
\[
u_{n+1} – u_n = (n^2 + 2n + 1 + 4) – (n^2 + 4) = 2n + 1
\]
La différence entre termes consécutifs n’est pas constante. La suite n’est pas arithmétique.

3. \[
\begin{cases}
u_0 = 1 \\
u_{n+1} = 2u_n + 7, \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Vérifions si la suite est arithmétique:

Calculons quelques termes :
\[
u_1 = 2u_0 + 7 = 2 \cdot 1 + 7 = 9
\]
\[
u_2 = 2u_1 + 7 = 2 \cdot 9 + 7 = 25
\]
\[
u_1 – u_0 = 9 – 1 = 8
\]
\[
u_2 – u_1 = 25 – 9 = 16
\]
La différence n’est pas constante. La suite n’est pas arithmétique.

4. \[
\begin{cases}
u_1 = -3 \\
u_{n+1} = u_n + n + 9, \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}^*.
\end{cases}
\]

Calculons la différence entre deux termes consécutifs :
\[
u_{n+1} = u_n + n + 9
\]
\[
u_{n+2} = u_{n+1} + (n+1) + 9 = u_n + n + 9 + (n+1) + 9 = u_n + 2n + 19
\]
La différence n’est pas constante. La suite n’est pas arithmétique.

Exercice 28 : exprimer Un en fonction de n
Pour une suite arithmétique \( (u_n) \) de raison \( r \), la formule générale est :

\[ u_n = u_p + (n – p) \cdot r \]

où \( u_p \) est le \( p \)-ième terme de la suite. Utilisons cette formule pour chaque cas.

### 1. \( u_2 = 2 \) et \( r = 4 \)

Pour exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \) :

\[ u_n = u_2 + (n – 2) \cdot r \]
\[ u_n = 2 + (n – 2) \cdot 4 \]
\[ u_n = 2 + 4n – 8 \]
\[ u_n = 4n – 6 \]

### 2. \( u_5 = 7 \) et \( r = -\frac{1}{2} \)

Pour exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \) :

\[ u_n = u_5 + (n – 5) \cdot r \]
\[ u_n = 7 + (n – 5) \cdot (-\frac{1}{2}) \]
\[ u_n = 7 – \frac{1}{2}(n – 5) \]
\[ u_n = 7 – \frac{1}{2}n + \frac{5}{2} \]
\[ u_n = 7 + \frac{5}{2} – \frac{1}{2}n \]
\[ u_n = \frac{14}{2} + \frac{5}{2} – \frac{1}{2}n \]
\[ u_n = \frac{19}{2} – \frac{1}{2}n \]

### 3. \( u_3 = 4 \) et \( r = 12 \)

Pour exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \) :

\[ u_n = u_3 + (n – 3) \cdot r \]
\[ u_n = 4 + (n – 3) \cdot 12 \]
\[ u_n = 4 + 12n – 36 \]
\[ u_n = 12n – 32 \]

### 4. \( u_8 = \frac{37}{2} \) et \( r = -\frac{1}{4} \)

Pour exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \) :

\[ u_n = u_8 + (n – 8) \cdot r \]
\[ u_n = \frac{37}{2} + (n – 8) \cdot (-\frac{1}{4}) \]
\[ u_n = \frac{37}{2} – \frac{1}{4}(n – 8) \]
\[ u_n = \frac{37}{2} – \frac{1}{4}n + \frac{8}{4} \]
\[ u_n = \frac{37}{2} + 2 – \frac{1}{4}n \]
\[ u_n = \frac{37}{2} + \frac{4}{2} – \frac{1}{4}n \]
\[ u_n = \frac{41}{2} – \frac{1}{4}n \]

Exercice 29 : expression d’une suite récurrente
Pour chacune des suites géométriques, on a :
\[ v_{n+1} = v_n \cdot q \]

1. \( v_0 = 3 \) et \( q = 4 \)

\[
\begin{align*}
v_1 = v_0 \cdot q = 3 \cdot 4 = 12 \\
v_2 = v_1 \cdot q = 12 \cdot 4 = 48 \\
v_3 = v_2 \cdot q = 48 \cdot 4 = 192 \\
v_4 = v_3 \cdot q = 192 \cdot 4 = 768 \\
v_5 = v_4 \cdot q = 768 \cdot 4 = 3072 \\
\end{align*}
\]
Les cinq premiers termes sont : 3, 12, 48, 192, 768.

2. \( v_0 = 2 \) et \( q = -3 \)

\[
\begin{align*}
v_1 = v_0 \cdot q = 2 \cdot (-3) = -6 \\
v_2 = v_1 \cdot q = -6 \cdot (-3) = 18 \\
v_3 = v_2 \cdot q = 18 \cdot (-3) = -54 \\
v_4 = v_3 \cdot q = -54 \cdot (-3) = 162 \\
v_5 = v_4 \cdot q = 162 \cdot (-3) = -486 \\
\end{align*}
\]
Les cinq premiers termes sont : 2, -6, 18, -54, 162.

3. \( v_1 = 5 \) et \( q = \frac{1}{2} \)

\[
\begin{align*}
v_2 = v_1 \cdot q = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \\
v_3 = v_2 \cdot q = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4} \\
v_4 = v_3 \cdot q = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{8} \\
v_5 = v_4 \cdot q = \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{16} \\
\end{align*}
\]
Les cinq premiers termes sont : 5, \(\frac{5}{2}\), \(\frac{5}{4}\), \(\frac{5}{8}\), \(\frac{5}{16}\).

4. \( v_1 = -\frac{1}{4} \) et \( q = 2 \)

\[
\begin{align*}
v_2 = v_1 \cdot q = -\frac{1}{4} \cdot 2 = -\frac{1}{2} \\
v_3 = v_2 \cdot q = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1 \\
v_4 = v_3 \cdot q = -1 \cdot 2 = -2 \\
v_5 = v_4 \cdot q = -2 \cdot 2 = -4 \\
\end{align*}
\]
Les cinq premiers termes sont : -\(\frac{1}{4}\), -\(\frac{1}{2}\), -1, -2, -4.

Exercice 30 : déterminer si la suite est géométrique
1. \( v_n = 8^n \), pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

Oui, cette suite est géométrique.

Le premier terme est \( v_0 = 8^0 = 1 \).

La raison est \( q = \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{8^{n+1}}{8^n} = 8 \).

—

2. \( v_n = n^4 \), pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

Non, cette suite n’est pas géométrique.

—

3. \( v_n = 2 \times 3^n \), pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

Oui, cette suite est géométrique.

Le premier terme est \( v_0 = 2 \times 3^0 = 2 \).

La raison est \( q = \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2 \times 3^{n+1}}{2 \times 3^n} = 3 \).

—

4. \( v_n = -5 \times 2^{n+1} \), pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

Oui, cette suite est géométrique.

Le premier terme est \( v_0 = -5 \times 2^{0+1} = -10 \).

La raison est \( q = \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{-5 \times 2^{(n+1)+1}}{-5 \times 2^{n+1}} = 2 \).

—

5.
\[ v_0 = 1 \]
\[ v_{n+1} = 3v_n + 3n \], pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

Non, cette suite n’est pas géométrique.

—

6.
\[ v_0 = 2 \]
\[ v_{n+1} = 5 + 7v_n \], pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

Non, cette suite n’est pas géométrique.

Exercice 31 : algorithme et terme général
1. Pour déterminer la dernière valeur calculée par cet algorithme, nous devons calculer \( U \) pour \( i = 10 \).

L’algorithme donne :
\[ U arrow 2i – 1 \]

Lorsque \( i = 10 \) :
\[ U = 2 \times 10 – 1 \]
\[ U = 20 – 1 \]
\[ U = 19 \]

Donc, la dernière valeur calculée par cet algorithme est \( 19 \).

2. On appelle \( (u_n) \) la suite associée aux valeurs calculées par l’algorithme. Nous devons donner l’expression du terme général de cette suite.

D’après l’algorithme, pour chaque \( i \) allant de 1 à 10 :
\[ u_i = 2i – 1 \]

Ainsi, le terme général de la suite \( (u_n) \) est :
\[ u_n = 2n – 1 \]

Ainsi, \( u_n = 2n – 1 \) représente le terme général de la suite.

Exercice 32 : termes consécutifs et expression
Pour chacune des suites suivantes définies sur \(\mathbb{N}\), nous allons exprimer \(u_{n-1}\) et \(u_{n+1}\) en fonction de \(n\) :

1. \(u_n = 6n + 8\)

\[ u_{n-1} = 6(n-1) + 8 = 6n – 6 + 8 = 6n + 2 \]
\[ u_{n+1} = 6(n+1) + 8 = 6n + 6 + 8 = 6n + 14 \]

2. \(u_n = n^2 – 2n + 8\)

\[ u_{n-1} = (n-1)^2 – 2(n-1) + 8 = n^2 – 2n + 1 – 2n + 2 + 8 = n^2 – 4n + 11 \]
\[ u_{n+1} = (n+1)^2 – 2(n+1) + 8 = n^2 + 2n + 1 – 2n – 2 + 8 = n^2 + 7 \]

3. \(u_n = \frac{n(n+1)}{n+2}\)

\[ u_{n-1} = \frac{(n-1)n}{n+1} \]
\[ u_{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)}{n+3} \]

4. \(u_n = 5^n\)

\[ u_{n-1} = 5^{n-1} \]
\[ u_{n+1} = 5^{n+1} \]

5. \(u_n = \frac{3^{n+1}}{2^n}\)

\[ u_{n-1} = \frac{3^n}{2^{n-1}} = \frac{3^n \cdot 2}{2^n} = \frac{2 \cdot 3^n}{2^n} \]
\[ u_{n+1} = \frac{3^{n+2}}{2^{n+1}} = \frac{3^n \cdot 3^2}{2^n \cdot 2} = \frac{9 \cdot 3^n}{2 \cdot 2^n} = \frac{9 \cdot 3^n}{2^{n+1}} \]

6. \(u_n = \frac{9n – 5}{4n + 6}\)

\[ u_{n-1} = \frac{9(n-1) – 5}{4(n-1) + 6} = \frac{9n – 9 – 5}{4n – 4 + 6} = \frac{9n – 14}{4n + 2} \]
\[ u_{n+1} = \frac{9(n+1) – 5}{4(n+1) + 6} = \frac{9n + 9 – 5}{4n + 4 + 6} = \frac{9n + 4}{4n + 10} \]

7. \(u_n = ( \frac{n^2}{n+1} )^{n+1}\)

\[ u_{n-1} = ( \frac{(n-1)^2}{n} )^n = ( \frac{n^2 – 2n + 1}{n} )^n = ( n – 2 + \frac{1}{n} )^n \]
\[ u_{n+1} = ( \frac{(n+1)^2}{n+2} )^{n+2} = ( \frac{n^2 + 2n + 1}{n+2} )^{n+2} = ( n + 2 + \frac{1}{n+2} )^{n+2} \]

Exercice 33 : premiers termes d’une suite récurrente
1.
\[
\begin{cases}
u_0 = 2 \\
u_{n+1} = 3u_n – 4n
\end{cases}
\]
Calculons les trois termes suivants \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) :
\[ u_1 = 3u_0 – 4 \cdot 0 = 3 \cdot 2 – 0 = 6 \]
\[ u_2 = 3u_1 – 4 \cdot 1 = 3 \cdot 6 – 4 = 18 – 4 = 14 \]
\[ u_3 = 3u_2 – 4 \cdot 2 = 3 \cdot 14 – 8 = 42 – 8 = 34 \]

Donc les trois premiers termes suivants sont : \(u_1 = 6\), \(u_2 = 14\), \(u_3 = 34\).

2.
\[
\begin{cases}
u_0 = 0 \\
u_{n+1} = u_n^2 + \frac{1}{2n+1}
\end{cases}
\]
Calculons les trois termes suivants \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) :
\[ u_1 = u_0^2 + \frac{1}{2 \cdot 0 + 1} = 0 + 1 = 1 \]
\[ u_2 = u_1^2 + \frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = 1^2 + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \]
\[ u_3 = u_2^2 + \frac{1}{2 \cdot 2 + 1} = (\frac{4}{3})^2 + \frac{1}{5} = \frac{16}{9} + \frac{1}{5} = \frac{80}{45} + \frac{9}{45} = \frac{89}{45} \]

Donc les trois premiers termes suivants sont : \(u_1 = 1\), \(u_2 = \frac{4}{3}\), \(u_3 = \frac{89}{45}\).

3.
\[
\begin{cases}
u_0 = 3 \\
u_n = 5u_{n-1} – 2
\end{cases}
\]
Calculons les trois termes suivants \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) :
\[ u_1 = 5u_0 – 2 = 5 \cdot 3 – 2 = 15 – 2 = 13 \]
\[ u_2 = 5u_1 – 2 = 5 \cdot 13 – 2 = 65 – 2 = 63 \]
\[ u_3 = 5u_2 – 2 = 5 \cdot 63 – 2 = 315 – 2 = 313 \]

Donc les trois premiers termes suivants sont : \(u_1 = 13\), \(u_2 = 63\), \(u_3 = 313\).

4.
\[
\begin{cases}
u_0 = 1 \\
u_1 = 2 \\
u_{n+2} = 2u_{n+1} + u_n
\end{cases}
\]
Calculons les trois termes suivants \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\) :
\[ u_2 = 2u_1 + u_0 = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \]
\[ u_3 = 2u_2 + u_1 = 2 \cdot 5 + 2 = 10 + 2 = 12 \]
\[ u_4 = 2u_3 + u_2 = 2 \cdot 12 + 5 = 24 + 5 = 29 \]

Donc les trois premiers termes suivants sont : \(u_2 = 5\), \(u_3 = 12\), \(u_4 = 29\).

5.
\[
\begin{cases}
u_0 = 1 \\
u_1 = 2 \\
u_{n+2} = u_{n+1} + n
\end{cases}
\]
Calculons les trois termes suivants \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\) :
\[ u_2 = u_1 + 0 = 2 + 0 = 2 \]
\[ u_3 = u_2 + 1 = 2 + 1 = 3 \]
\[ u_4 = u_3 + 2 = 3 + 2 = 5 \]

Donc les trois premiers termes suivants sont : \(u_2 = 2\), \(u_3 = 3\), \(u_4 = 5\).

Exercice 34 : algorithme et relation entre termes consécutifs
1. L’algorithme calcule une suite \((u_n)\) en appliquant une formule récurrente sur 10 itérations, en commençant avec la valeur initiale \(u_1 = 1\).

2. La relation entre \(u_{n+1}\) et \(u_n\) est donnée par la règle de mise à jour de la suite dans l’algorithme :

\[u_{n+1} = \frac{u_n – 1}{u_n – 2}\]

Ainsi, pour chaque itération, la valeur de \(u\) est mise à jour selon cette relation, en partant de \(u = 1\).

Exercice 35 : expression d’une suite récurrente
\[\]Correction de l’exercice :\[\]

Pour chaque suite définie, nous allons exprimer \( u_n \) en fonction de \( u_{n-1} \) et \( u_{n+2} \) en fonction de \( u_n \).

a.
\[
\lbrace \begin{array}{l}
u_0 = 3 \\
u_{n+1} = 5u_n – 3
\end{array} .
\]

1. Exprimons \( u_n \) en fonction de \( u_{n-1} \):
\[
u_n = 5u_{n-1} – 3
\]

Ensuite, exprimons \( u_{n+2} \) en fonction de \( u_n \):
\[
u_{n+2} = 5u_{n+1} – 3 \\
u_{n+2} = 5(5u_n – 3) – 3 \\
u_{n+2} = 25u_n – 15 – 3 \\
u_{n+2} = 25u_n – 18
\]

2. En déduire une expression de \( u_{n+2} \) en fonction de \( u_n \) et de l’entier \( n \):
\[
u_{n+2} = 25u_n – 18
\]

b.
\[
\lbrace \begin{array}{l}
u_0 = 1 \\
u_{n+1} = 4u_n – (n – 3)
\end{array} .
\]

1. Exprimons \( u_n \) en fonction de \( u_{n-1} \):
\[
u_n = 4u_{n-1} – ((n-1) – 3) \\
u_n = 4u_{n-1} – (n – 4)
\]

Ensuite, exprimons \( u_{n+2} \) en fonction de \( u_n \):
\[
u_{n+2} = 4u_{n+1} – ((n+1) – 3) \\
u_{n+2} = 4(4u_n – (n – 3)) – (n + 1 – 3) \\
u_{n+2} = 16u_n – 4(n – 3) – (n – 2) \\
u_{n+2} = 16u_n – 4n + 12 – n + 2 \\
u_{n+2} = 16u_n – 5n + 14
\]

2. En déduire une expression de \( u_{n+2} \) en fonction de \( u_n \) et de l’entier \( n \):
\[
u_{n+2} = 16u_n – 5n + 14
\]

c.
\[
\lbrace \begin{array}{l}
u_0 = -1 \\
u_{n+1} = (n + 1)u_n + 2
\end{array} .
\]

1. Exprimons \( u_n \) en fonction de \( u_{n-1} \):
\[
u_n = nu_{n-1} + 2
\]

Ensuite, exprimons \( u_{n+2} \) en fonction de \( u_n \):
\[
u_{n+2} = (n+2)u_{n+1} + 2 \\
u_{n+2} = (n+2)(nu_n + 2) + 2 \\
u_{n+2} = (n^2 + 2n)u_n + 2n + 4 + 2 \\
u_{n+2} = (n^2 + 2n)u_n + 2n + 6
\]

2. En déduire une expression de \( u_{n+2} \) en fonction de \( u_n \) et de l’entier \( n \):
\[
u_{n+2} = (n^2 + 2n)u_n + 2n + 6
\]

d.
\[
\lbrace \begin{array}{l}
u_0 = -1 \\
u_{n+1} = \frac{u_n^2}{2n + 3}
\end{array} .
\]

1. Exprimons \( u_n \) en fonction de \( u_{n-1} \):
\[
u_n = \frac{u_{n-1}^2}{2(n-1) + 3} \\
u_n = \frac{u_{n-1}^2}{2n – 2 + 3} \\
u_n = \frac{u_{n-1}^2}{2n + 1}
\]

Ensuite, exprimons \( u_{n+2} \) en fonction de \( u_n \):
\[
u_{n+2} = \frac{u_{n+1}^2}{2(n+1) + 3} \\
u_{n+2} = \frac{(\frac{u_n^2}{2n + 3})^2}{2n + 2 + 3} \\
u_{n+2} = \frac{u_n^4}{(2n + 3)^2 (2n + 5)}
\]

2. En déduire une expression de \( u_{n+2} \) en fonction de \( u_n \) et de l’entier \( n \):
\[
u_{n+2} = \frac{u_n^4}{(2n + 3)^2 (2n + 5)}
\]

Exercice 36 : sens de variation d’une suite
1. \( u_n = \frac{n+1}{n+2} \) pour tout \( n \geq\, 0 \).

Calculons \( u_{n+1} \) :
\[ u_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{(n+1)+2} = \frac{n+2}{n+3} \]

Comparaons \( u_n \) et \( u_{n+1} \) :
\[ u_{n+1} = \frac{n+2}{n+3} \quad et \quad u_n = \frac{n+1}{n+2} \]
\[ \frac{n+2}{n+3} < \frac{n+1}{n+2} \]
\[ (n+2)^2 < (n+1)(n+3) \]
\[ n^2 + 4n + 4 < n^2 + 4n + 3 \]
\[ 4 < 3 \]

Il semble y avoir une contradiction. Remarque : \( u_n \) est en fait décroissante.

2. \( u_n = \frac{3^n}{n} \) pour tout \( n \geq\, 1 \).

Pour étudier la monotonie, calculons \( u_{n+1} \):
\[ u_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{n+1} = \frac{3 \cdot 3^n}{n+1} \]

Comparons \( u_n \) et \( u_{n+1} \):
\[ u_{n+1} > u_n \]
\[ \frac{3 \cdot 3^n}{n+1} > \frac{3^n}{n} \]
\[ \frac{3}{n+1} > \frac{1}{n} \]
\[ 3n > n+1 \]
\[ 2n > 1 \]

Ce qui est vrai pour \( n \geq\, 1 \). Donc, \( u_n \) est croissante.

3. \( u_n = n^2 – 3n + 12 \) pour tout \( n \geq\, 0 \).

Nous calculons \( u_{n+1} \) :
\[ u_{n+1} = (n+1)^2 – 3(n+1) + 12 \]
\[ u_{n+1} = n^2 + 2n + 1 – 3n – 3 + 12 \]
\[ u_{n+1} = n^2 – n + 10 \]

Comparons avec \( u_n \) :
\[ u_{n+1} – u_n = (n^2 – n + 10) – (n^2 – 3n + 12) \]
\[ = 2n – 2 \]

Donc \( u_{n+1} > u_n \) si et seulement si \( 2n – 2 > 0 \), ce qui est vrai pour \( n > 1 \). Donc \( u_n \) est croissante pour \( n \geq\, 1 \).

4. \( u_n = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \) pour tout \( n \geq\, 1 \).

Calculons \( u_{n+1} \) :
\[ u_{n+1} = \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \]

Comparons \( u_n \) et \( u_{n+1} \) :
\[ u_n = \frac{1}{n(n+1)} \quad et \quad u_{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \]

Comparons :
\[ u_n – u_{n+1} \]
\[ \frac{1}{n(n+1)} – \frac{1}{(n+1)(n+2)} \]
\[ = \frac{(n+2) – n}{n(n+1)(n+2)} \]
\[ = \frac{2}{n(n+1)(n+2)} \]

Alors, \( u_n > u_{n+1} \) pour tout \( n \geq\, 1 \). Donc, \( u_n \) est décroissante.

Exercice 37 : suite récurrente et fonction
1. Reproduire et représenter les cinq premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses.

La suite \[(u_n)\] est définie par la relation de récurrence suivante :
\[ u_0 = 5 \]
\[ u_{n+1} = f(u_n) \]
où \[f(x) = \frac{6}{x+2} – 1\].

Calculons les cinq premiers termes de la suite :

Pour \(u_1\) :
\[ u_1 = f(u_0) = f(5) = \frac{6}{5+2} – 1 = \frac{6}{7} – 1 = \frac{6}{7} – \frac{7}{7} = \frac{-1}{7} = -\frac{1}{7} \]

Pour \(u_2\) :
\[ u_2 = f(u_1) = f(-\frac{1}{7}) = \frac{6}{-\frac{1}{7} + 2} – 1 = \frac{6}{\frac{13}{7}} – 1 = \frac{6 \times 7}{13} – 1 = \frac{42}{13} – 1 = \frac{42}{13} – \frac{13}{13} = \frac{29}{13} \]

Pour \(u_3\) :
\[ u_3 = f(u_2) = f(\frac{29}{13}) = \frac{6}{\frac{29}{13} + 2} – 1 = \frac{6}{\frac{55}{13}} – 1 = \frac{6 \times 13}{55} – 1 = \frac{78}{55} – 1 = \frac{78}{55} – \frac{55}{55} = \frac{23}{55} \]

Pour \(u_4\) :
\[ u_4 = f(u_3) = f(\frac{23}{55}) = \frac{6}{\frac{23}{55} + 2} – 1 = \frac{6}{\frac{133}{55}} – 1 = \frac{6 \times 55}{133} – 1 = \frac{330}{133} – 1 = \frac{330}{133} – \frac{133}{133} = \frac{197}{133} \]

Pour \(u_5\) :
\[ u_5 = f(u_4) = f(\frac{197}{133}) = \frac{6}{\frac{197}{133} + 2} – 1 = \frac{6}{\frac{463}{133}} – 1 = \frac{6 \times 133}{463} – 1 = \frac{798}{463} – 1 = \frac{798}{463} – \frac{463}{463} = \frac{335}{463} \]

Les cinq premiers termes de la suite sont donc :
\[ u_0 = 5 \]
\[ u_1 = -\frac{1}{7} \]
\[ u_2 = \frac{29}{13} \]
\[ u_3 = \frac{23}{55} \]
\[ u_4 = \frac{197}{133} \]
\[ u_5 = \frac{335}{463} \]

2. Émettre une conjecture sur le sens de variation de la suite, puis sur sa limite.

En observant les valeurs des premiers termes de la suite, on remarque que :

\[ u_0 > u_1 \]
\[ u_2 > u_3 \]
\[ u_2 > u_4 \]
\[ u_2 > u_5 \]

Il semble que la suite soit décroissante au début, puis commence à augmenter.

De plus, en observant la forme de la fonction \[f(x)\] et les termes calculés, il semble probable que la suite \[(u_n)\] tende vers une limite. En examinant la fonction \[f(x)\], on verra que la suite pourrait tendre vers un point fixe de \[f(x)\] où \[u = f(u)\].

Effectuons cette vérification :

Si \(u = f(u)\), alors :
\[ u = \frac{6}{u+2} – 1 \]

\[
u + 1 = \frac{6}{u + 2}
\]

\[
(u + 1)(u + 2) = 6
\]

\[
u^2 + 3u + 2 = 6
\]

\[
u^2 + 3u – 4 = 0
\]

Les solutions de cette équation quadratique sont :
\[
u = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}
\]

Les solutions sont :
\[
u = 1 \quad \text{et} \quad u = -4
\]

Puisque la suite est définie pour \(u > -2\), la seule solution possible est :
\[
u = 1
\]

Ainsi, la conjecture sur la limite de la suite est :
\[
\text{La suite } (u_n) \text{ semble tendre vers } 1.
\]

Exercice 38 : problème des canettes de soda
1. Calculons les cinq premiers termes de la suite \( (c_n) \) :
– Pour \( n = 1 \) : \( c_1 = 1 \)
– Pour \( n = 2 \) : \( c_2 = 2 \)
– Pour \( n = 3 \) : \( c_3 = 3 \)
– Pour \( n = 4 \) : \( c_4 = 4 \)
– Pour \( n = 5 \) : \( c_5 = 5 \)

Donc, les cinq premiers termes de la suite \( (c_n) \) sont : \( 1, 2, 3, 4, 5 \).

2. Conjecturons une expression de \( c_{n+1} \) en fonction de \( c_n \). Observons les termes calculés :
\[ c_{n+1} = c_n + 1 \]

Ainsi, nous conjecturons que \( c_{n+1} = c_n + 1 \). La nature de la suite est une suite arithmétique de raison 1.

3. En déduire le terme général \( c_n \) en fonction de \( n \). Une suite arithmétique de raison 1 a pour terme général :
\[ c_n = c_1 + (n-1) \cdot 1 \]
\[ c_n = 1 + (n-1) \]
\[ c_n = n \]

4. Quel est le nombre total de canettes utilisées pour sept rangées ?

Le nombre total de canettes utilisées pour \( n \) rangées est la somme des \( n \) premiers termes de la suite :
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} c_k \]
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} k \]
\[ S_n = \frac{n(n+1)}{2} \]

Pour \( n = 7 \) :
\[ S_7 = \frac{7(7+1)}{2} \]
\[ S_7 = \frac{7 \cdot 8}{2} \]
\[ S_7 = 28 \]

Donc, le nombre total de canettes utilisées pour sept rangées est 28.

5. Déterminons combien de rangées on peut dresser avec 91 canettes.

Nous devons résoudre pour \( n \) l’équation :
\[ S_n = 91 \]
\[ \frac{n(n+1)}{2} = 91 \]
\[ n(n+1) = 182 \]

Résolvons l’équation quadratique \( n^2 + n – 182 = 0 \) en utilisant la formule quadratique :
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

Ici, \( a = 1 \), \( b = 1 \), et \( c = -182 \):
\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 728}}{2} \]
\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{729}}{2} \]
\[ n = \frac{-1 \pm 27}{2} \]

Prenons la solution positive :
\[ n = \frac{26}{2} \]
\[ n = 13 \]

On peut donc dresser 13 rangées avec 91 canettes.

Exercice 39 : problème d’empilement des allumettes
1. Déterminer les quatre premiers termes de la suite.

Pour \( n = 1 \), \( a_1 = 2 \).
Pour \( n = 2 \), \( a_2 = 4 \).
Pour \( n = 3 \), \( a_3 = 6 \).
Pour \( n = 4 \), \( a_4 = 8 \).

On observe que pour chaque valeur de \( n \), \( a_n \) augmente de 2. Les quatre premiers termes de la suite sont donc:
\[ a_1 = 2, \ a_2 = 4, \ a_3 = 6, \ a_4 = 8. \]

2. Exprimer \( a_n \) en fonction de \( n \) avec \( n \in \mathbb{N}^* \) puis en déduire la nature de la suite.

On observe que \( a_n = 2n \).

Cela signifie que la suite est une suite arithmétique de raison \( 2 \), et de premier terme \( 2 \).

La loi de récurrence est donc :
\[ a_n = 2n \]

3. Combien d’allumettes totales seront nécessaires pour construire la dixième étape ?

Pour \( n = 10 \), on utilise la formule trouvée précédemment :

\[ a_{10} = 2 \times 10 = 20 \]

Ainsi, il faudra 20 allumettes pour construire la dixième étape.

Exercice 40 : déterminer le sens de variation
\[\]1. Déterminer le sens de variation des suites arithmétiques suivantes définies sur \( \mathbb{N} \)\[\]

Pour une suite arithmétique définie par \( u_n = an + b \):

– Si \(a > 0\), la suite est croissante.
– Si \(a < 0\), la suite est décroissante.
– Si \(a = 0\), la suite est constante.

a. \( u_n = 4n – 2 \)

\(a = 4\), donc la suite est croissante.

b. \( u_n = \frac{-3n + 5}{8} \)

\(a = \frac{-3}{8}\), donc la suite est décroissante.

c. \( u_n = \frac{n^2 + 4n + 3}{n + 3} \)

Pour étudier cette suite, simplifions l’expression :

\[
u_n = \frac{n^2 + 4n + 3}{n + 3} = \frac{n^2 + 4n + 3}{n + 3} = \frac{(n+1)(n+3)}{n+3} = n + 1 \quad \text{pour } n \neq -3
\]

\( u_n = n + 1 \)

Donc, \(a = 1\), et la suite est croissante.

d. \( u_n = \frac{3n^2 + 5n – 2}{n + 2} \)

Pour étudier cette suite, simplifions l’expression :

\[
u_n = \frac{3n^2 + 5n – 2}{n + 2} = \frac{3n^2 + 5n – 2}{n + 2} = 3n – 1 \quad \text{(il faut vérifier)}
\]

\( u_n = 3n – 1 \)

Donc, \(a = 3\), et la suite est croissante.

\[\]2. Déterminer les termes suivants des suites arithmétiques définies\[\]

Pour une suite arithmétique définie par \( u_n = u_1 + (n-1)d \), on peut trouver la raison \(d\) en utilisant les termes connus.

a. \( u_3 = 4 \) et \( u_8 = 24 \)

La raison \( d \) est calculée comme suit :

\[
u_8 = u_3 + 5d \Rightarrow 24 = 4 + 5d \Rightarrow 20 = 5d \Rightarrow d = 4
\]

La suite est définie par \( u_n = 4 + (n-3) \times 4 = 4n – 8 \).

b. \( u_5 = \frac{7}{4} \) et \( u_9 = \frac{1}{4} \)

La raison \( d \) est calculée comme suit :

\[
u_9 = u_5 + 4d \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{7}{4} + 4d \Rightarrow \frac{1 – 7}{4} = 4d \Rightarrow -\frac{6}{4} = 4d \Rightarrow d = -\frac{3}{8}
\]

La suite est définie par \( u_n = 7/4 + (n-5) \times -3/8 \).

c. \( u_{13} = 16 \) et \( u_{32} = -7 \)

La raison \( d \) est calculée comme suit :

\[
u_{32} = u_{13} + 19d \Rightarrow -7 = 16 + 19d \Rightarrow -23 = 19d \Rightarrow d = -\frac{23}{19}
\]

La suite est définie par \( u_n = 16 + (n-13) \times -\frac{23}{19} \).

d. \( u_{50} = 159 \) et \( u_{100} = 309 \)

La raison \( d \) est calculée comme suit :

\[
u_{100} = u_{50} + 50d \Rightarrow 309 = 159 + 50d \Rightarrow 150 = 50d \Rightarrow d = 3
\]

La suite est définie par \( u_n = 159 + (n-50) \times 3 \).