Dérivée d'une fonction : corrigés des exercices de maths en 1ère.

Exercice 1 : nombre dérivé et tangente
1. $Determiner\,l'equation\,de\,la\,tangente\,a\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC_f%22\,alt=%22C_f$ au point d’abscisse 2. » align= »absmiddle » />

La forme générale de l’équation de la tangente à une courbe $y\,=\,f(x)$ en un point $x\,=\,a$ est donnée par :
$y\,=\,f'(a)\,(x\,-\,a)\,%2B\,f(a)$
Ici, $a\,=\,2$ , $f(2)\,=\,5$ et $f'(2)\,=\,3$ . Donc, l’équation de la tangente est :
$y\,=\,3(x\,-\,2)\,%2B\,5$
En simplifiant :
$y\,=\,3x\,-\,6\,%2B\,5$
$y\,=\,3x\,-\,1$

2. $Le\,taux\,d'accroissement\,en\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fa%22\,alt=%22a$ de la fonction definie par $f(x)\,=\,(x\,-\,5)^3$ . » align= »absmiddle » />

Le taux d’accroissement de en est donné par :
$f(a\,%2B\,h)\,-\,f(a)\,=\,h^2\,%2B\,(3a\,-\,15)h\,%2B\,3a^2\,-\,30a\,%2B\,75$

3. $Quel\,est\,son\,nombre\,derive\,en\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fa%22\,alt=%22a$ ? » align= »absmiddle » />

Le nombre dérivé peut être obtenu en calculant la limite du taux d’accroissement lorsque tend vers 0. On peut également dériver directement :
$f(x)\,=\,(x\,-\,5)^3$
$f'(x)\,=\,3(x\,-\,5)^2$
Pour $x\,=\,a$ , on a donc :
$f'(a)\,=\,3(a\,-\,5)^2$

4. $Quel\,est\,le\,nombre\,derive\,de\,ces\,fonctions\,%3A$

1. $La\,fonction\,inverse\,en\,4\,%3F$
$f(x)\,=\,\frac{1}{x}$
$f'(x)\,=\,-\frac{1}{x^2}$
Pour $x\,=\,4$ :
$f'(4)\,=\,-\frac{1}{16}$

2. $La\,fonction\,carre\,en\,-2\,%3F$
$f(x)\,=\,x^2$
$f'(x)\,=\,2x$
Pour $x\,=\,-2$ :
$f'(-2)\,=\,2\,\times \,(-2)\,=\,-4$

3. $La\,fonction\,racine\,carree\,en\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cfrac%257B1%257D%257B4%257D%22\,alt=%22\frac{1}{4}$ ? » align= »absmiddle » />
$f(x)\,=\,\sqrt{x}$
$f'(x)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Pour $x\,=\,\frac{1}{4}$ :
$f'(\frac{1}{4})\,=\,\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}}\,=\,\frac{1}{2\,\times \,\frac{1}{2}}\,=\,2$

4. $La\,fonction\,cube\,en\,-1\,%3F$
$f(x)\,=\,x^3$
$f'(x)\,=\,3x^2$
Pour $x\,=\,-1$ :
$f'(-1)\,=\,3\,\times \,(-1)^2\,=\,3$

Exercice 2 : signe du nombre dérivé d’une fonction

1) Que valent et ?

D’après le graphique, on observe que $f(0)\,=\,1$ et que la tangente à la courbe en (qui est ) a une pente négative. Cette pente semble être de , donc $f'(0)\,=\,-1$ .

$f(0)\,=\,1$
$f'(0)\,=\,-1$

2) En quelle(s) valeur(s) le nombre dérivé de la fonction est-il nul ?

Le nombre dérivé de la fonction est nul aux points où la tangente à la courbe est horizontale (pente nulle). D’après le graphique, cela se produit en deux points : environ en et .

$f'(x)\,=\,0\,\quad\,pour\,\quad\,x\,=\,-1\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,1$

3) Sur quel(s) intervalle(s) le nombre dérivé de la fonction est-il négatif ?

Le nombre dérivé de la fonction est négatif lorsque la fonction est décroissante. D’après le graphique, cela se produit pour $-2\,%3C\,x\,%3C\,-1$ et $0\,%3C\,x\,%3C\,1$ .

$f'(x)\,%3C\,0\,\quad\,pour\,\quad\,x\,\in\,(-2%2C\,-1)\,\cup\,(0%2C\,1)$

4) Sur quel(s) intervalle(s) le nombre dérivé de la fonction est-il positif ?

Le nombre dérivé de la fonction est positif lorsque la fonction est croissante. D’après le graphique, cela se produit pour $-1\,%3C\,x\,%3C\,0$ et pour $x\,>\,1$ Exercice 3 : fonction dérivable sur R
Soit une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ , sa courbe représentative, $A(-1\,%3B\,3)$ un point de et $\mathcal{T}_A$ la tangente à en . Déterminer lorsque $\mathcal{T}_A$ passe aussi par le point :

1) $O(0\,%3B\,0)$ ?
2) $B(1\,%3B\,3)$ ?
3) $C(2\,%3B\,5)$ ?

Pour déterminer , utilisons l’équation de la tangente $\mathcal{T}_A$ :

$y\,=\,f'(-1)(x\,%2B\,1)\,%2B\,3$

### 1) $O(0%3B\,0)$ :
Point $(0%3B\,0)$ appartient à la tangente :

$0\,=\,f'(-1)(0\,%2B\,1)\,%2B\,3$
$0\,=\,f'(-1)\,%2B\,3$
$f'(-1)\,=\,-3$

### 2) $B(1%3B\,3)$ :
Point $(1%3B\,3)$ appartient à la tangente :

$3\,=\,f'(-1)(1\,%2B\,1)\,%2B\,3$
$3\,=\,f'(-1)\,\cdot\,2\,%2B\,3$
$0\,=\,2f'(-1)$
$f'(-1)\,=\,0$

### 3) $C(2%3B\,5)$ :
Point $(2%3B\,5)$ appartient à la tangente :

$5\,=\,f'(-1)(2\,%2B\,1)\,%2B\,3$
$5\,=\,f'(-1)\,\cdot\,3\,%2B\,3$
$2\,=\,3f'(-1)$
$f'(-1)\,=\,\frac{2}{3}$

Déterminer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1) $f(x)\,=\,2x^2\,%2B\,3$

$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(2x^2\,%2B\,3)\,=\,4x$

2) $g(x)\,=\,x^3\,(x\,%2B\,2)$

Utilisons la dérivée d’un produit :

$g'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,%5B\,x^3\,(x\,%2B\,2)\,%5D$
$=\,\frac{d}{dx}\,%5B\,x^4\,%2B\,2x^3\,%5D$
$=\,4x^3\,%2B\,6x^2$

3) $h(x)\,=\,\frac{1}{x^4}$

$h(x)\,=\,x^{-4}$
$h'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(x^{-4})\,=\,-4x^{-5}\,=\,-\frac{4}{x^5}$

4) $i(x)\,=\,\frac{x\,%2B\,1}{x^2}$

$i(x)\,=\,(x\,%2B\,1)\,\cdot\,x^{-2}$
Utilisons la dérivée d’un produit :

$i'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,%5B\,(x\,%2B\,1)x^{-2}\,%5D$
$=\,\frac{d}{dx}\,%5B\,x^{-1}\,%2B\,x^{-2}\,%5D$
$=\,-x^{-2}\,-\,2x^{-3}$
$=\,-\frac{1}{x^2}\,-\,\frac{2}{x^3}$

Ainsi, nous avons déterminé les dérivées recherchées.

Exercice 4 : dérivabilité en a et taux de variation
« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\begin{document}

Correction de l’exercice :

$f(x) = 2x – 7$, $a = 3$
$f'(x)\,=\,2%2C\,\quad\,f'(3)\,=\,2$

$f(x) = mx + p$, $m \in \mathbb{R}, p \in \mathbb{R}$, $a$ réel quelconque
$f'(x)\,=\,m%2C\,\quad\,f'(a)\,=\,m$

$f(x) = -3x^2$, $a = 2$
$f'(x)\,=\,-6x%2C\,\quad\,f'(2)\,=\,-12$

$f(x) = -\frac{2}{x}$, $a = 1$
$f'(x)\,=\,\frac{2}{x^2}%2C\,\quad\,f'(1)\,=\,2$

$f(x) = \sqrt{x – 1}$, $a = 1$
$f\,\,n'est\,pas\,derivable\,en\,\,a\,=\,1\,\,car\,\,\sqrt{x-1}\,\,n'est\,pas\,definie\,pour\,\,x\,%3C\,1$

Même consigne :

$f(x) = -x^2 + 7x$, $a = 2$
$f'(x)\,=\,-2x\,%2B\,7%2C\,\quad\,f'(2)\,=\,3$

$f(x) = x^3$, $a = 4$
$f'(x)\,=\,3x^2%2C\,\quad\,f'(4)\,=\,48$

$f(x) = \frac{1}{x + 1}$, $a = -2$
$f'(x)\,=\,-\frac{1}{(x\,%2B\,1)^2}%2C\,\quad\,f'(-2)\,=\,-\frac{1}{1}\,=\,-1$

$f(x) = 2\sqrt{x – 1}$, $a = 4$
$f(x)\,=\,2\,(x\,-\,1)^{\frac{1}{2}}%2C\,\quad\,f'(x)\,=\,2\,\cdot\,\frac{1}{2}\,(x\,-\,1)^{-\frac{1}{2}}\,=\,\frac{1}{\sqrt{x\,-\,1}}%2C\,\quad\,f'(4)\,=\,\frac{1}{\sqrt{3}}$

\end{document}
« `

Exercice 5 : déterminer l’équation réduite de la tangente en a
1. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,-x^2\,%2B\,x\,%2B\,1%2C\,\\,a\,=\,-1$

La dérivée de est :
$f'(x)\,=\,-2x\,%2B\,1$
En $a\,=\,-1$ :
$f'(-1)\,=\,-2(-1)\,%2B\,1\,=\,2\,%2B\,1\,=\,3$

La tangente en $a\,=\,-1$ passe par le point $(\,-1%2C\,f(-1)\,)$ :
$f(-1)\,=\,-(-1)^2\,%2B\,(-1)\,%2B\,1\,=\,-1\,-\,1\,%2B\,1\,=\,-1$

L’équation de la tangente est donc :
$y\,=\,3(x\,%2B\,1)\,-\,1\,\quad\,ou\,\quad\,y\,=\,3x\,%2B\,3\,-1\,\quad\,soit\,\quad\,y\,=\,3x\,%2B\,2$

—

2. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\sqrt{x}%2C\,\\,a\,=\,4$

La dérivée de est :
$f'(x)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{x}}$
En $a\,=\,4$ :
$f'(4)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{4}}\,=\,\frac{1}{2\,\cdot\,2}\,=\,\frac{1}{4}$

La tangente en $a\,=\,4$ passe par le point $(4%2C\,\sqrt{4})$ :
$\sqrt{4}\,=\,2$

L’équation de la tangente est donc :
$y\,=\,\frac{1}{4}(x\,-\,4)\,%2B\,2\,\quad\,ou\,\quad\,y\,=\,\frac{1}{4}x\,-\,1\,%2B\,2\,\quad\,soit\,\quad\,y\,=\,\frac{1}{4}x\,%2B\,1$

—

3. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\sqrt{x}%2C\,\\,a\,=\,0$

La dérivée de est :
$f'(x)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{x}}$
La dérivée en 0 n’est pas définie, donc la tangente ne peut pas être déterminée.

—

4. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{1}{x}%2C\,\\,a\,=\,-2$

La dérivée de est :
$f'(x)\,=\,-\frac{1}{x^2}$
En $a\,=\,-2$ :
$f'(-2)\,=\,-\frac{1}{(-2)^2}\,=\,-\frac{1}{4}$

La tangente en $a\,=\,-2$ passe par le point $(-2%2C\,\frac{1}{-2})$ :
$\frac{1}{-2}\,=\,-\frac{1}{2}$

L’équation de la tangente est donc :
$y\,=\,-\frac{1}{4}(x\,%2B\,2)\,-\,\frac{1}{2}\,\quad\,ou\,\quad\,y\,=\,-\frac{1}{4}x\,-\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{2}\,\quad\,soit\,\quad\,y\,=\,-\frac{1}{4}x\,-\,1$

—

1. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,3x^2\,-\,x\,-\,1%2C\,\\,a\,=\,2$

La dérivée de est :
$f'(x)\,=\,6x\,-\,1$
En $a\,=\,2$ :
$f'(2)\,=\,6\,\cdot\,2\,-\,1\,=\,12\,-\,1\,=\,11$

La tangente en $a\,=\,2$ passe par le point $(2%2C\,3\,\cdot\,2^2\,-\,2\,-\,1)$ :
$f(2)\,=\,3\,\cdot\,4\,-\,2\,-\,1\,=\,12\,-\,2\,-\,1\,=\,9$

L’équation de la tangente est donc :
$y\,=\,11(x\,-\,2)\,%2B\,9\,\quad\,ou\,\quad\,y\,=\,11x\,-\,22\,%2B\,9\,\quad\,soit\,\quad\,y\,=\,11x\,-\,13$

—

2. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{1}{x}%2C\,\\,a\,=\,-1$

La dérivée de est :
$f'(x)\,=\,-\frac{1}{x^2}$
En $a\,=\,-1$ :
$f'(-1)\,=\,-\frac{1}{(-1)^2}\,=\,-1$

La tangente en $a\,=\,-1$ passe par le point $(-1%2C\,\frac{1}{-1})$ :
$\frac{1}{-1}\,=\,-1$

L’équation de la tangente est donc :
$y\,=\,-1(x\,%2B\,1)\,-\,1\,\quad\,ou\,\quad\,y\,=\,-x\,-\,1\,-\,1\,\quad\,soit\,\quad\,y\,=\,-x\,-\,2$

—

3. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^3%2C\,\\,a\,=\,2$

La dérivée de est :
$f'(x)\,=\,3x^2$
En $a\,=\,2$ :
$f'(2)\,=\,3\,\cdot\,2^2\,=\,3\,\cdot\,4\,=\,12$

La tangente en $a\,=\,2$ passe par le point $(2%2C\,2^3)$ :
$2^3\,=\,8$

L’équation de la tangente est donc :
$y\,=\,12(x\,-\,2)\,%2B\,8\,\quad\,ou\,\quad\,y\,=\,12x\,-\,24\,%2B\,8\,\quad\,soit\,\quad\,y\,=\,12x\,-\,16$

—

4. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^2\,%2B\,x\,%2B\,1%2C\,\\,a\,=\,0$

La dérivée de est :
$f'(x)\,=\,2x\,%2B\,1$
En $a\,=\,0$ :
$f'(0)\,=\,2\,\cdot\,0\,%2B\,1\,=\,1$

La tangente en $a\,=\,0$ passe par le point $(0%2C\,0^2\,%2B\,0\,%2B\,1)$ :
$0^2\,%2B\,0\,%2B\,1\,=\,1$

L’équation de la tangente est donc :
$y\,=\,1(x\,-\,0)\,%2B\,1\,\quad\,ou\,\quad\,y\,=\,x\,%2B\,1$

Exercice 6 : donner une allure possible de la courbe
Pour déterminer une allure possible de la courbe de la fonction , nous nous appuyons sur les valeurs de et de données dans le tableau. Analysons chaque intervalle entre les points donnés :

1. Intervalle $%5B-2%2C\,0%5D$ :
– $f'(-2)\,=\,-1$ : la fonction décroît au point $x\,=\,-2$ .
– $f'(0)\,=\,1$ : la fonction croît au point $x\,=\,0$ .
– Entre $x\,=\,-2$ et $x\,=\,0$ , passe de -2 à -1. Comme la dérivée change de signe (de négatif à positif), il s’agit probablement d’un minimum local aux alentours de $x\,=\,0$ .

2. Intervalle $%5B0%2C\,3%5D$ :
– $f'(0)\,=\,1$ : la fonction croît au point $x\,=\,0$ .
– $f'(3)\,=\,0$ : la fonction est plate au point $x\,=\,3$ .
– Entre $x\,=\,0$ et $x\,=\,3$ , passe de -1 à 4, indiquant que la fonction atteint un maximum local autour de $x\,=\,3$ .

3. Intervalle $%5B3%2C\,5%5D$ :
– $f'(3)\,=\,0$ : la fonction est plate à $x\,=\,3$ .
– $f'(5)\,=\,-2$ : la fonction décroît rapidement au point $x\,=\,5$ .
– Entre $x\,=\,3$ et $x\,=\,5$ , passe de 4 à 2, ce qui signifie que la fonction décroît.

Basé sur cette analyse, la courbe pourrait ressembler à ceci :

– Un minimum autour de $x\,=\,0$ .
– La fonction augmente vers $x\,=\,3$ où elle atteint un maximum.
– Ensuite, elle décroît après $x\,=\,3$ .

$\begin{tikzpicture}%0D%0A\begin{axis}%5B%0D%0Aaxis\,lines\,=\,middle%2C%0D%0Axlabel\,=\,$x$%2C%0D%0Aylabel\,=\,{$f(x)$}%2C%0D%0Aymin=-3%2C\,ymax=5%2C%0D%0Axmin=-3%2C\,xmax=6%2C%0D%0Agrid%0D%0A%5D%0D%0A%0D%0A\addplot%5Bdomain=-2%3A0%2C\,samples=100%2C\,thick%2C\,smooth%5D\,{((x%2B2)^2)%2F(2)-2}%3B%0D%0A\addplot%5Bdomain=0%3A3%2C\,samples=100%2C\,thick%2C\,smooth%5D\,{4\,%2A\,(x%2F3)\,-\,1}%3B%0D%0A\addplot%5Bdomain=3%3A5%2C\,samples=100%2C\,thick%2C\,smooth%5D\,{4\,-\,(2%2F3)\,%2A\,(x-3)^2}%3B%0D%0A\addplot%5Bonly\,marks%2C\,mark=%2A%5D\,coordinates\,{(-2%2C\,-2)\,(0%2C\,-1)\,(3%2C\,4)\,(5%2C\,2)}%3B%0D%0A%0D%0A\end{axis}%0D%0A\end{tikzpicture}$ ,
ylabel = {},
ymin=-3, ymax=5,
xmin=-3, xmax=6,
grid
]

\addplot[domain=-2:0, samples=100, thick, smooth] {((x+2)^2)/(2)-2};
\addplot[domain=0:3, samples=100, thick, smooth] {4 * (x/3) – 1};
\addplot[domain=3:5, samples=100, thick, smooth] {4 – (2/3) * (x-3)^2};
\addplot[only marks, mark=*] coordinates {(-2, -2) (0, -1) (3, 4) (5, 2)};

\end{axis}
\end{tikzpicture} » align= »absmiddle » />

Ainsi, l’allure possible de la courbe, tenant compte des valeurs de et de , pourrait ressembler à la figure ci-dessus.

Exercice 7 : calcul de la dérivée et équation de la tangente
1) La dérivée de est donnée par :
$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(x^2\,%2B\,3x\,-\,1)\,=\,2x\,%2B\,3.$
Pour tout réel , on a donc:
$f'(a)\,=\,2a\,%2B\,3.$

2) Pour déterminer l’équation réduite de la tangente au point d’abscisse :
$f(1)\,=\,1^2\,%2B\,3\,\cdot\,1\,-\,1\,=\,3.$
La pente de la tangente en $x\,=\,1$ est :
$f'(1)\,=\,2\,\cdot\,1\,%2B\,3\,=\,5.$
L’équation de la tangente est donc :
$y\,-\,f(1)\,=\,f'(1)(x\,-\,1).$
$y\,-\,3\,=\,5(x\,-\,1).$
$y\,=\,5x\,-\,5\,%2B\,3.$
$y\,=\,5x\,-\,2.$

3) On cherche s’il existe une tangente parallèle à la droite d’équation $y\,=\,-2x\,%2B\,\sqrt{17}$ . Une telle tangente aurait une pente de , donc :
$2a\,%2B\,3\,=\,-2.$
$2a\,=\,-2\,-\,3.$
$2a\,=\,-5.$
$a\,=\,-\frac{5}{2}.$

4) Déterminons les coordonnées du point de contact entre cette tangente et pour $a\,=\,-\frac{5}{2}$ :
$f(\,-\frac{5}{2}\,)\,=\,(\,-\frac{5}{2}\,)^2\,%2B\,3\,(\,-\frac{5}{2}\,)\,-\,1.$
$f(\,-\frac{5}{2}\,)\,=\,\frac{25}{4}\,-\,\frac{15}{2}\,-\,1.$
$f(\,-\frac{5}{2}\,)\,=\,\frac{25}{4}\,-\,\frac{30}{4}\,-\,\frac{4}{4}.$
$f(\,-\frac{5}{2}\,)\,=\,\frac{25\,-\,30\,-\,4}{4}.$
$f(\,-\frac{5}{2}\,)\,=\,\frac{-9}{4}.$
Les coordonnées du point de contact sont donc:
$(\,-\frac{5}{2}%2C\,-\frac{9}{4}\,).$

Exercice 8 : algorithme et tangente à une courbe
1) En utilisant la réponse « `%o2` » du logiciel, l’expression de est donnée comme suit :

$f'(a)\,=\,\lim_{{h\,\to\,0}}\,\frac{f(a\,%2B\,h)\,-\,f(a)}{h}\,=\,\frac{1}{(a%2B3)h\,%2B\,h^2\,%2B\,6h\,%2B\,9}\,=\,-\frac{1}{4(a%2B3)^2}$

Ainsi, l’expression simplifiée de est :

$f'(a)\,=\,\frac{-1}{(a%2B3)^2}$

2) Il s’agit de vérifier s’il existe une tangente à la courbe qui soit parallèle à la droite d’équation $y\,=\,-\frac{1}{4}x\,%2B\,5$ . Une tangente est parallèle à une droite si et seulement si elles ont la même pente. La pente de la droite donnée est $-\frac{1}{4}$ .

Nous devons donc résoudre l’équation suivante pour trouver :

$f'(a)\,=\,-\frac{1}{4}$

En utilisant l’expression de obtenue précédemment, nous avons :

$\frac{-1}{(a%2B3)^2}\,=\,-\frac{1}{4}$

En simplifiant, nous obtenons :

$(a%2B3)^2\,=\,4$

En prenant la racine carrée des deux côtés de l’équation, nous obtenons :

$a%2B3\,=\,2\,\quad\,ou\,\quad\,a%2B3\,=\,-2$

Ce qui donne :

$a\,=\,-1\,\quad\,ou\,\quad\,a\,=\,-5$

Maintenant, nous devons vérifier les coordonnées des points de contact correspondants pour les deux valeurs de . Nous avons :

Pour $a\,=\,-1$ :
$f(-1)\,=\,\frac{1}{-1\,%2B\,3}\,=\,\frac{1}{2}$
Le point de contact est donc $(-1%2C\,\frac{1}{2})$ .

Pour $a\,=\,-5$ :
$f(-5)\,=\,\frac{1}{-5\,%2B\,3}\,=\,\frac{1}{-2}\,=\,-\frac{1}{2}$
Le point de contact est donc $(-5%2C\,-\frac{1}{2})$ .

En conclusion, il existe deux tangentes à parallèles à la droite $y\,=\,-\frac{1}{4}x\,%2B\,5$ aux points de contact $(-1%2C\,\frac{1}{2})$ et $(-5%2C\,-\frac{1}{2})$ .

Exercice 9 : ensemble de définition et équation réduite de la tangente
1. a) $f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^3%2C\,a\,=\,-2$

– Ensemble de définition et de dérivabilité : $\mathbb{R}$
– Calcul de :
$f'(x)\,=\,3x^2\,\quad\,donc\,\quad\,f'(-2)\,=\,3(-2)^2\,=\,12$
– Équation réduite de la tangente à au point d’abscisse :
$y\,=\,f'(a)(x\,-\,a)\,%2B\,f(a)\,=\,12(x\,%2B\,2)\,-\,8\,\Rightarrow\,y\,=\,12x\,%2B\,16$

1. b) $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\sqrt{x}%2C\,a\,=\,\frac{1}{4}$

– Ensemble de définition et de dérivabilité : $x\,\in\,%5B0%2C\,%2B\infty%5B$

– Calcul de :
$f'(x)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\quad\,donc\,\quad\,f'(\frac{1}{4})\,=\,\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}}\,=\,\frac{1}{2\,\cdot\,\frac{1}{2}}\,=\,2$

– Équation réduite de la tangente à au point d’abscisse :
$y\,=\,f'(a)(x\,-\,a)\,%2B\,f(a)\,=\,2(x\,-\,\frac{1}{4})\,%2B\,\frac{1}{2}\,\Rightarrow\,y\,=\,2x\,-\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{1}{2}\,\Rightarrow\,y\,=\,2x$

1. c) $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{1}{x}%2C\,a\,=\,1$

– Ensemble de définition et de dérivabilité : $\mathbb{R}^%2A$ (ensemble des réels non nuls)

– Calcul de :
$f'(x)\,=\,-\frac{1}{x^2}\,\quad\,donc\,\quad\,f'(1)\,=\,-1$

– Équation réduite de la tangente à au point d’abscisse :
$y\,=\,f'(a)(x\,-\,a)\,%2B\,f(a)\,=\,-1(x\,-\,1)\,%2B\,1\,\Rightarrow\,y\,=\,-x\,%2B\,2$

1. d) $f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^4%2C\,a\,=\,-2$

– Ensemble de définition et de dérivabilité : $\mathbb{R}$

– Calcul de :
$f'(x)\,=\,4x^3\,\quad\,donc\,\quad\,f'(-2)\,=\,4(-2)^3\,=\,4(-8)\,=\,-32$

– Équation réduite de la tangente à au point d’abscisse :
$y\,=\,f'(a)(x\,-\,a)\,%2B\,f(a)\,=\,-32(x\,%2B\,2)\,%2B\,16\,\Rightarrow\,y\,=\,-32x\,-\,64\,%2B\,16\,\Rightarrow\,y\,=\,-32x\,-\,48$

1. e) $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\sqrt{x}%2C\,a\,=\,1$

– Ensemble de définition et de dérivabilité : $x\,\in\,%5B0%2C\,%2B\infty%5B$

– Calcul de :
$f'(x)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\quad\,donc\,\quad\,f'(1)\,=\,\frac{1}{2\cdot1}\,=\,\frac{1}{2}$

– Équation réduite de la tangente à au point d’abscisse :
$y\,=\,f'(a)(x\,-\,a)\,%2B\,f(a)\,=\,\frac{1}{2}(x\,-\,1)\,%2B\,1\,\Rightarrow\,y\,=\,\frac{1}{2}x\,%2B\,\frac{1}{2}$

1. f) $f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{1}{x}%2C\,a\,=\,4$

– Ensemble de définition et de dérivabilité : $\mathbb{R}^%2A$ (ensemble des réels non nuls)

– Calcul de :
$f'(x)\,=\,-\frac{1}{x^2}\,\quad\,donc\,\quad\,f'(4)\,=\,-\frac{1}{4^2}\,=\,-\frac{1}{16}$

– Équation réduite de la tangente à au point d’abscisse :
$y\,=\,f'(a)(x\,-\,a)\,%2B\,f(a)\,=\,-\frac{1}{16}(x\,-\,4)\,%2B\,\frac{1}{4}\,=\,-\frac{1}{16}x\,%2B\,\frac{4}{16}\,%2B\,\frac{1}{4}\,=\,-\frac{1}{16}x\,%2B\,\frac{1}{4}$

Exercice 10 : calculer la dérivée de x^n
1) On rappelle les formules de dérivées de fonctions de base :
$\frac{d}{dx}%5Bx%5D\,=\,1$
$\frac{d}{dx}%5Bx^2%5D\,=\,2x$

2) Soit $f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^3$ . En remarquant que $x^3\,=\,x\,\cdot\,x^2$ , on utilise la règle du produit :
$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}%5Bx\,\cdot\,x^2%5D\,=\,x\,\cdot\,\frac{d}{dx}%5Bx^2%5D\,%2B\,x^2\,\cdot\,\frac{d}{dx}%5Bx%5D\,=\,x\,\cdot\,2x\,%2B\,x^2\,\cdot\,1\,=\,2x^2\,%2B\,x^2\,=\,3x^2.$

3) Soit $f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^4$ . En remarquant que $x^4\,=\,x\,\cdot\,x^3$ , on utilise à nouveau la règle du produit :
$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}%5Bx\,\cdot\,x^3%5D\,=\,x\,\cdot\,\frac{d}{dx}%5Bx^3%5D\,%2B\,x^3\,\cdot\,\frac{d}{dx}%5Bx%5D\,=\,x\,\cdot\,3x^2\,%2B\,x^3\,\cdot\,1\,=\,3x^3\,%2B\,x^3\,=\,4x^3.$

4) Soit $f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^5\,\ldots$
On remarque $x^5\,=\,x\,\cdot\,x^4$ . Utilisons la règle du produit :
$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}%5Bx\,\cdot\,x^4%5D\,=\,x\,\cdot\,\frac{d}{dx}%5Bx^4%5D\,%2B\,x^4\,\cdot\,\frac{d}{dx}%5Bx%5D\,=\,x\,\cdot\,4x^3\,%2B\,x^4\,\cdot\,1\,=\,4x^4\,%2B\,x^4\,=\,5x^4.$

5) En continuant de cette manière, on peut observer un motif dans ces dérivées.

6) Conjecture : Pour tout $n\,\geq\,\,0$ , la dérivée de $f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^n$ est donnée par :
$\frac{d}{dx}%5Bx^n%5D\,=\,n\,x^{n-1}.$

Cette formule, bien que vraie, N’est PAS démontrée, il ne s’agit pour l’instant que d’une conjecture. La suite de la démonstration sera faite en classe de Terminale.

Exercice 11 : compléter le squelette de l’algorithme
« `latex
1. Liste des variables utilisées
2. f : fonction
f’ : dérivée de la fonction
a : réel
m : coefficient directeur
p : ordonnée à l’origine
3. Entrées
4. Demander f, f’ et a
5. Traitement
6. Donner à m la valeur de f'(a)
$m\,=\,f'(a)$
7. Donner à p la valeur de $f(a)\,-\,a\,\cdot\,m$
$p\,=\,f(a)\,-\,a\,\cdot\,f'(a)$
8. Affichage
9. Afficher m
10. Afficher p
11. Fin de l’algorithme
« `

Exercice 12 : déterminer la tangente à une parabole
Correction de l’exercice de mathématiques

[1)] Déterminer , et dans chacun des cas suivants :

[a)] La tangente à C_f au point d’abscisse 0 a pour équation et C_f passe par le point de coordonnées (3%3B6) .

La fonction est de la forme $f(x)\,=\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ .

La tangente en $x\,=\,0$ a pour équation $y\,=\,2x\,%2B\,3$ . Cela signifie que :
$f(0)\,=\,3\,\quad\,et\,\quad\,f'(0)\,=\,2$
En posant $x\,=\,0$ dans f(x) :
$f(0)\,=\,c\,=\,3\,\implies\,c\,=\,3$
Pour la dérivée :
$f'(x)\,=\,2ax\,%2B\,b$
Donc, $f'(0)\,=\,b\,=\,2\,\implies\,b\,=\,2$ .

C_f passe par le point $(3%2C\,6)$ , donc :
$f(3)\,=\,9a\,%2B\,6\,%2B\,3\,=\,6\,\implies\,9a\,%2B\,9\,=\,6\,\implies\,9a\,=\,-3\,\implies\,a\,=\,-\frac{1}{3}$

Les coefficients sont :
$a\,=\,-\frac{1}{3}%2C\,\%3B\,b\,=\,2%2C\,\%3B\,c\,=\,3$

[b)] La tangente à C_f au point d’abscisse a pour équation $y\,=\,3x\,-\,3$ et la tangente à C_f au point d’abscisse a pour équation $y\,=\,-x\,-\,3$ .

Pour $x\,=\,5$ :
$f(5)\,=\,3(5)\,-\,3\,=\,15\,-\,3\,=\,12\,\implies\,f(5)\,=\,12$
et
$f'(5)\,=\,3$

Pour $x\,=\,-5$ :
$f(-5)\,=\,-(-5)\,-\,3\,=\,5\,-\,3\,=\,2\,\implies\,f(-5)\,=\,2$
et
$f'(-5)\,=\,-1$

Les équations sont donc:
$f(5)\,=\,25a\,%2B\,5b\,%2B\,c\,=\,12$
$f'(\pm\,5)\,=\,10a\,%2B\,b\,=\,3$

et
$f'(-5)\,=\,-10a\,%2B\,b\,=\,-1$

En résolvant ce système :

$\begin{cases}%0D%0A10a\,%2B\,b\,=\,3\,\\%0D%0A-10a\,%2B\,b\,=\,-1%0D%0A\end{cases}$

En additionnant les deux équations :
$20a\,=\,4\,\implies\,a\,=\,\frac{1}{5}$

Puis, en utilisant $a\,=\,\frac{1}{5}$ dans $10a\,%2B\,b\,=\,3$ :
$10\,(\frac{1}{5})\,%2B\,b\,=\,3\,\implies\,2\,%2B\,b\,=\,3\,\implies\,b\,=\,1$

Utilisons maintenant $f(5)\,=\,25a\,%2B\,5b\,%2B\,c\,=\,12$ :
$25\,(\frac{1}{5})\,%2B\,5(1)\,%2B\,c\,=\,12\,\implies\,5\,%2B\,5\,%2B\,c\,=\,12\,\implies\,10\,%2B\,c\,=\,12\,\implies\,c\,=\,2$

Les coefficients sont :
$a\,=\,\frac{1}{5}%2C\,\%3B\,b\,=\,1%2C\,\%3B\,c\,=\,2$

[2)] Question ouverte

Étant donnés deux points et deux droites de coefficients directeurs donnés passant par chacun de ces deux points, nous cherchons à déterminer si une parabole passant par ces deux points peut avoir ces droites comme tangentes en ces points.

Pour qu’une parabole ait pour tangente des droites données en deux points, il faut que le système de points et de dérivées au second degré soit compatible avec les équations des tangentes données. En général, il existe une infinité de paraboles passant par deux points donnés, mais le fait qu’elles doivent avoir des tangentes imposées en ces points contraint davantage le problème.

Il y a généralement une unique parabole (si elle existe) passant par deux points donnés avec des pentes définies de leurs tangentes. Cette parabole peut être trouvée en utilisant les points de coordonnées et leurs pentes pour établir un système d’équations linéaires.

Cette unicité provient du fait que trois points déterminent une parabole unique et, avec la contrainte des tangentes trouvées en ces points, le problème devient déterminé ou surdéterminé au-delà de la solution unique standard. Lorsqu’il y a une tangente imposée en chacun des points, on aboutit généralement à une unique parabole.

Exercice 13 : déterminer les nombres a,b et c pour une rampe de skateboard
La fonction $f(x)\,=\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ doit passer par trois points spécifiques : $B(1%2C\,0)$ , $C(5%2C\,1.8)$ , et la première dérivée doit également être continue au point C.

1. La fonction passe par le point $B(1%2C\,0)$ :
$a\,\cdot\,1^2\,%2B\,b\,\cdot\,1\,%2B\,c\,=\,0\,\implies\,a\,%2B\,b\,%2B\,c\,=\,0$

2. La fonction passe par le point $C(5%2C\,1.8)$ :
$a\,\cdot\,5^2\,%2B\,b\,\cdot\,5\,%2B\,c\,=\,1.8\,\implies\,25a\,%2B\,5b\,%2B\,c\,=\,1.8$

3. La continuité de la dérivée en $x\,=\,5$ doit aussi être vérifiée. La dérivée de f(x) est :
$f'(x)\,=\,2ax\,%2B\,b$
La pente de la ligne droite entre et est :
$\frac{2.7\,-\,1.8}{6\,-\,5}\,=\,0.9$
Pour que les pentes soient égales à $x\,=\,5$ :
$f'(5)\,=\,2a\,\cdot\,5\,%2B\,b\,=\,10a\,%2B\,b\,=\,0.9$

Nous avons donc le système d’équations suivant:
$\begin{cases}%0D%0Aa\,%2B\,b\,%2B\,c\,=\,0\,\\%0D%0A25a\,%2B\,5b\,%2B\,c\,=\,1.8\,\\%0D%0A10a\,%2B\,b\,=\,0.9%0D%0A\end{cases}$

Résolvons ce système :

1. De la troisième équation:
$b\,=\,0.9\,-\,10a$

2. Substituons dans les deux premières équations:
$a\,%2B\,(0.9\,-\,10a)\,%2B\,c\,=\,0\,\implies\,-9a\,%2B\,0.9\,%2B\,c\,=\,0\,\implies\,c\,=\,9a\,-\,0.9$

$25a\,%2B\,5(0.9\,-\,10a)\,%2B\,c\,=\,1.8\,\implies\,25a\,%2B\,4.5\,-\,50a\,%2B\,c\,=\,1.8\,\implies\,-25a\,%2B\,4.5\,%2B\,c\,=\,1.8$

3. Égalons des deux équations:
$9a\,-\,0.9\,=\,-25a\,%2B\,4.5\,\implies\,34a\,=\,5.4\,\implies\,a\,=\,\frac{5.4}{34}\,=\,\frac{0.9}{5.6667}\,\implies\,a\,=\,0.1588$

4. Substituons pour trouver et :
$b\,=\,0.9\,-\,10\,\cdot\,0.1588\,=\,0.9\,-\,1.588\,=\,-0.688$

$c\,=\,9\,\cdot\,0.1588\,-\,0.9\,=\,1.4292\,-\,0.9\,=\,0.529$

Les valeurs de , et sont donc:
$a\,=\,0.1588%2C\,\quad\,b\,=\,-0.688%2C\,\quad\,c\,=\,0.529$

Exercice 14 : ensemble de définition et position relative par rapport à la tangente
$1a)\,\,f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^2\,%2B\,4x\,%2B\,1%2C\,\quad\,a\,=\,2$

1. Ensemble de définition et de dérivabilité de : $\mathbb{R}$

2. Dérivée de :
$f'(x)\,=\,2x\,%2B\,4$
L’équation de la tangente T_a au point d’abscisse $a\,=\,2$ est :
$T_a\,%3A\,y\,=\,f'(2)(x\,-\,2)\,%2B\,f(2)\,=\,(2\,\cdot\,2\,%2B\,4)(x\,-\,2)\,%2B\,(2^2\,%2B\,4\,\cdot\,2\,%2B\,1)\,=\,8x\,-\,11$

3. Position relative de T_a et C_f :
$\begin{cases}%0D%0Ay\,-\,(8x\,-\,11)\,=\,x^2\,%2B\,4x\,%2B\,1\,\\%0D%0A-8x\,%2B\,11\,=\,x^2\,-\,8x\,-\,10\,\\%0D%0Ay\,=\,x^2\,-\,10x\,%2B\,12%0D%0A\end{cases}$

$1b)\,\,f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{1}{x\,%2B\,1}%2C\,\quad\,a\,=\,1$

1. Ensemble de définition de : $\mathbb{R}\,\setminus\,\{-1\}$

Ensemble de dérivabilité de : $\mathbb{R}\,\setminus\,\{-1\}$

2. Dérivée de :
$f'(x)\,=\,-\frac{1}{(x\,%2B\,1)^2}$
L’équation de la tangente T_a au point d’abscisse $a\,=\,1$ est :
$T_a\,%3A\,y\,=\,f'(1)(x\,-\,1)\,%2B\,f(1)\,=\,-\frac{1}{(1\,%2B\,1)^2}(x\,-\,1)\,%2B\,\frac{1}{2}\,=\,-\frac{1}{4}(x\,-\,1)\,%2B\,\frac{1}{2}\,=\,-\frac{x}{4}\,%2B\,\frac{3}{4}$

3. Position relative de T_a et C_f :
$\begin{cases}%0D%0Ay\,-\,(-\frac{x}{4}\,%2B\,\frac{3}{4})\,=\,\frac{1}{x\,%2B\,1}\,\\%0D%0Ay\,=\,\frac{1}{x%2B1}\,%2B\,\frac{x}{4}\,-\,\frac{3}{4}%0D%0A\end{cases}$

$1c)\,\,f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^3\,-\,2x%2C\,\quad\,a\,=\,0$

1. Ensemble de définition et de dérivabilité de : $\mathbb{R}$

2. Dérivée de :
$f'(x)\,=\,3x^2\,-\,2$
L’équation de la tangente T_a au point d’abscisse $a\,=\,0$ est :
$T_a\,%3A\,y\,=\,f'(0)(x\,-\,0)\,%2B\,f(0)\,=\,(-2)(x\,-\,0)\,=\,-2x$

3. Position relative de T_a et C_f :
$\begin{cases}%0D%0Ay\,-\,(-2x)\,=\,x^3\,-\,2x\,\\%0D%0Ay\,=\,x^3%0D%0A\end{cases}$

$1d)\,\,f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^3\,-\,2x^2\,-\,x\,%2B\,3%2C\,\quad\,a\,=\,0$

1. Ensemble de définition et de dérivabilité de : $\mathbb{R}$

2. Dérivée de :
$f'(x)\,=\,3x^2\,-\,4x\,-\,1$
L’équation de la tangente T_a au point d’abscisse $a\,=\,0$ est :
$T_a\,%3A\,y\,=\,f'(0)(x\,-\,0)\,%2B\,f(0)\,=\,(-1)(x)\,%2B\,3\,=\,-x\,%2B\,3$

3. Position relative de T_a et C_f :
$\begin{cases}%0D%0Ay\,-\,(-x\,%2B\,3)\,=\,x^3\,-\,2x^2\,-\,x\,%2B\,3\,\\%0D%0Ay\,=\,x^3\,-\,2x^2%0D%0A\end{cases}$

$1e)\,\,f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^4\,-\,2x^2\,%2B\,x\,%2B\,1%2C\,\quad\,a\,=\,-1$

1. Ensemble de définition et de dérivabilité de : $\mathbb{R}$

2. Dérivée de :
$f'(x)\,=\,4x^3\,-\,4x\,%2B\,1$
L’équation de la tangente T_a au point d’abscisse $a\,=\,-1$ est :
$T_a\,%3A\,y\,=\,f'(-1)(x\,%2B\,1)\,%2B\,f(-1)\,=\,(-1)(x\,%2B\,1)\,%2B\,3\,=\,-x\,%2B\,2$

3. Position relative de T_a et C_f :
$\begin{cases}%0D%0Ay\,-\,(-x\,%2B\,2)\,=\,x^4\,-\,2x^2\,%2B\,x\,%2B\,1\,\\%0D%0Ay\,=\,x^4\,-\,2x^2%0D%0A\end{cases}$

$1f)\,\,f\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{1}{x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1}%2C\,\quad\,a\,=\,0$

1. Ensemble de définition de : $\mathbb{R}\,\setminus\,\{-1\}$

Ensemble de dérivabilité de : $\mathbb{R}\,\setminus\,\{-1\}$

2. Dérivée de :
$f'(x)\,=\,-\,\frac{2x\,%2B\,2}{(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)^2}$
L’équation de la tangente T_a au point d’abscisse $a\,=\,0$ est :
$T_a\,%3A\,y\,=\,f'(0)(x\,-\,0)\,%2B\,f(0)\,=\,-\frac{2(0)\,%2B\,2}{(0\,%2B\,2\,\cdot\,0\,%2B\,1)^2}(x)\,%2B\,1\,=\,-2x\,%2B\,1$

3. Position relative de T_a et C_f :
$\begin{cases}%0D%0Ay\,-\,1\,=\,-2(x\,-\,1)\,\\%0D%0A-\,\frac{2x%2B2}{(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)^2}=x^2-2x-3%0D%0A\end{cases}$

$1g)\,\,f\,%3A\,x\,\mapsto \,x^3\,-\,2x^2\,-\,x\,%2B\,1%2C\,\quad\,a\,=\,2$

1. Ensemble de définition et de dérivabilité de : $\mathbb{R}$

2. Dérivée de :
$f'(x)\,=\,3x^2\,-\,4x\,-\,1$
L’équation de la tangente T_a au point d’abscisse $a\,=\,2$ est :
$T_a\,%3A\,y\,=\,f'(2)(x\,-\,2)\,%2B\,f(2)\,=\,(4)(x\,-\,2)\,%2B\,5\,=\,4x\,-\,3$

3. Position relative de T_a et C_f :
$\begin{cases}%0D%0Ay\,-\,1\,=\,-2(x\,-\,1)\,\\%0D%0A-\,\frac{2x%2B2}{(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)^2}=x^2-2x-3%0D%0A\end{cases}$

Pour $f\,(\,x\,)\,\mapsto \,x^3\,-\,2\,x^2\,-\,x\,%2B\,1$ , Il est nécessaire de factoriser l’expression polynomiale:
$x^3\,-\,2x^2\,-\,x\,%2B\,8\,=\,(x\,%2B\,2)^3$

Exercice 15 : fonction dérivable à droite de 0
Pour démontrer que $f$ est dérivable à droite en $a = 0$ mais pas à gauche, nous devons examiner les limites des taux de variation de $f$ à droite et à gauche de 0.

Commençons par la dérivabilité à droite :

Soit $a = 0$. Nous devons calculer
$\lim_{h\,\to\,0^%2B}\,\frac{f(a%2Bh)\,-\,f(a)}{h}.$

Pour $x \ge 0$, $f(x) = x^2 + 1$. Alors,
$f(0)\,=\,0^2\,%2B\,1\,=\,1.$
Pour $h > 0$, nous avons :
$f(0\,%2B\,h)\,=\,(0\,%2B\,h)^2\,%2B\,1\,=\,h^2\,%2B\,1.$

Donc,
$\frac{f(0\,%2B\,h)\,-\,f(0)}{h}\,=\,\frac{h^2\,%2B\,1\,-\,1}{h}\,=\,\frac{h^2}{h}\,=\,h.$

Ainsi,
$\lim_{h\,\to\,0^%2B}\,\frac{h^2}{h}\,=\,\lim_{h\,\to\,0^%2B}\,h\,=\,0.$

Ainsi, $f$ est dérivable à droite en $a = 0$ et $f'(0^+) = 0$.

Ensuite, examinons la dérivabilité à gauche :

Toujours pour $a = 0$, calculons
$\lim_{h\,\to\,0^-}\,\frac{f(a%2Bh)\,-\,f(a)}{h}.$

Pour $x < 0$, $f(x) = x^2 – 1$. Alors, pour $h < 0$,
$f(0\,%2B\,h)\,=\,(0\,%2B\,h)^2\,-\,1\,=\,h^2\,-\,1.$

Donc,
$\frac{f(0\,%2B\,h)\,-\,f(0)}{h}\,=\,\frac{h^2\,-\,1\,-\,1}{h}\,=\,\frac{h^2\,-\,2}{h}\,=\,h\,-\,\frac{2}{h}.$

Ainsi,
$\lim_{h\,\to\,0^-}\,(h\,-\,\frac{2}{h}).$

La limite $\lim_{h \to 0^-} (h – \frac{2}{h})$ n’existe pas car $\lim_{h \to 0^-} \frac{2}{h}$ tend vers $-\infty$.

Donc, $f$ n’est pas dérivable à gauche en $a = 0$.

En conclusion, $f$ est dérivable à droite en $a = 0$ mais pas à gauche.

Exercice 16 : fonction dérivable et problème
Soit une fonction dérivable en .

1) Soit $M(a\,%3B\,f(a))$ et $N(-a\,%3B\,f(-a))$ . Quel est le lien géométrique entre et ?

Pour une fonction paire, $f(-x)\,=\,f(x)$ . Donc $f(-a)\,=\,f(a)$ . Par conséquent, les points $M(a%3B\,f(a))$ et $N(-a%3B\,f(-a))$ ont la même ordonnée et sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

2) En utilisant le résultat de la question 1), démontrer que pour tout réel : $f'(-a)\,=\,-f'(a)$ .

Pour démontrer cette propriété, on va utiliser la définition de la dérivée :

$f'(-a)\,=\,\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{f(-a\,%2B\,h)\,-\,f(-a)}{h}$

Comme est paire, on a $f(-a\,%2B\,h)\,=\,f(a\,-\,h)$ . Donc :

$f'(-a)\,=\,\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{f(a\,-\,h)\,-\,f(a)}{h}\,=\,\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{-(f(a)\,-\,f(a\,-\,h))}{h}\,=\,-\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{f(a)\,-\,f(a\,-\,h)}{h}\,=\,-f'(a)$

3) Que peut-on alors dire de f'(0) ?

En remplaçant par dans l’égalité obtenue en 2), on obtient :

$f'(0)\,=\,-f'(0)$

Il en découle que $f'(0)\,=\,0$ .

Soit une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout réel $x\,%3A\,f(-x)\,=\,-f(x)$ (on dit que est impaire).

4) Soit $M(a\,%3B\,f(a))$ et $N(-a\,%3B\,f(-a))$ . Quel est le lien géométrique entre et ?

Pour une fonction impaire, $f(-x)\,=\,-f(x)$ . Donc $f(-a)\,=\,-f(a)$ . Par conséquent, les points $M(a%3B\,f(a))$ et $N(-a%3B\,f(-a))$ sont symétriques par rapport à l’origine.

5) Démontrer que pour tout réel : $f'(-a)\,=\,-f'(a)$ .

Pour démontrer cette propriété, on va utiliser la définition de la dérivée :

$f'(-a)\,=\,\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{f(-a\,%2B\,h)\,-\,f(-a)}{h}$

Comme est impaire, on a $f(-a\,%2B\,h)\,=\,-f(a\,-\,h)$ . Donc :

$f'(-a)\,=\,\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{-f(a\,-\,h)\,%2B\,f(a)}{h}\,=\,\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{-(f(a\,-\,h)\,-\,f(a))}{h}\,=\,-\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{f(a\,-\,h)\,-\,f(a)}{h}\,=\,-f'(a)$

Exercice 17 : signe de f’ et sens de variation
Soit une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est $f'(x)\,=\,(x-1)(x-2)$ .
Donner le sens de variation de .

L’équation $f'(x)\,=\,(x-1)(x-2)$ s’annule pour $x\,=\,1$ et $x\,=\,2$ .

Nous devons déterminer le signe de la dérivée f'(x) sur les intervalles déterminés par ces points critiques.

Pour $x\,\in\,(-\infty%2C\,1)$ , nous avons $f'(x)\,%3C\,0$ (produit de deux termes négatifs).
Pour $x\,\in\,(1%2C\,2)$ , nous avons $f'(x)\,>\,0$ , nous avons $f'(x)\,>\,0$ est:
– décroissante sur $(-\infty%2C\,1)$ ,
– croissante sur $(1%2C\,2)$ ,
– décroissante sur $(2%2C\,%2B\infty)$ .

—

Donner le sens de variation de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)\,=\,x^3\,-\,3x^2$ .

Calculons la dérivée de :

$f'(x)\,=\,3x^2\,-\,6x\,=\,3x(x-2)$

L’équation $f'(x)\,=\,0$ s’annule pour $x\,=\,0$ et $x\,=\,2$ .

Nous devons déterminer le signe de f'(x) sur les intervalles déterminés par ces points critiques.

Pour $x\,\in\,(-\infty%2C\,0)$ , nous avons $f'(x)\,%3C\,0$ (produit d’un terme négatif et d’un terme positif).
Pour $x\,\in\,(0%2C\,2)$ , nous avons $f'(x)\,>\,0$ , nous avons $f'(x)\,>\,0$ est:
– décroissante sur $(-\infty%2C\,0)$ ,
– croissante sur $(0%2C\,2)$ ,
– décroissante sur $(2%2C\,%2B\infty)$ .

—

Soit une fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont on donne le tableau de variations ci-dessous.

Pour $x\,\in\,(-\infty%2C\,3)$ , est décroissante, donc $f'(x)\,%3C\,0$ .
Pour $x\,\in\,(3%2C\,4)$ , est croissante, donc $f'(x)\,>\,0$ , est décroissante, donc $f'(x)\,%3C\,0$ .

En résumé :
– Pour $x\,\in\,(-\infty%2C\,3)$ , $f'(x)\,%3C\,0$ .
– Pour $x\,\in\,(3%2C\,4)$ , $f'(x)\,>\,0$ , $f'(x)\,%3C\,0$ .

Exercice 18 : résoudre graphiquement des inéquations

Résoudre graphiquement les inéquations :

$f(x)\,>\,0$ :
$f(x)\,%3C\,0\,\quad\,pour\,\quad\,x\,\in\,%5D-1%2C\,\frac{1}{2}\,%5B$

$f'(x)\,>\,0$ :
$f'(x)\,%3C\,0\,\quad\,pour\,\quad\,x\,\in\,%5D-1%2C\,0%5B\,\cup\,%5D2%2C\,3%5B$

Existe-t-il un lien entre le signe de f(x) et celui de f'(x) ?
$Non%2C\,il\,n'y\,a\,pas\,de\,lien\,direct\,entre\,les\,signes\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2528x%2529%22\,alt=%22f(x)$ et f'(x) . Les signes de ces deux fonctions sont independants l’un de l’autre. » align= »absmiddle » />

Résoudre graphiquement les équations :

$f(x)\,=\,0$ :
$f(x)\,=\,0\,\quad\,pour\,\quad\,x\,=\,-1\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,\frac{1}{2}$

$f'(x)\,=\,0$ :
$f'(x)\,=\,0\,\quad\,pour\,\quad\,x\,=\,-1%2C\,\quad\,x\,=\,0\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,2$

Exercice 19 : courbe de f et de f’
Pour déterminer laquelle des courbes C_1 et C_2 représente la fonction et laquelle représente sa dérivée , nous devons observer les caractéristiques des courbes.

1. Observons la courbe C_1 :
– La courbe C_1 passe par le point (0%2C0) .
– Elle présente un minimum local près de $x\,=\,-0.5$ et un maximum local près de $x\,=\,0.5$ .
– Aux alentours de ces points d’inflexion, la courbe change de tendance (descendante puis montante, et vice versa).

2. Observons la courbe C_2 :
– La courbe C_2 semble être la dérivée, car elle passe par zéro aux points où la pente de C_1 change de signe (les points critiques de C_1 ).
– C_2 coupe l’axe des abscisses (où $f'\,=\,0$ ) aux mêmes points où C_1 a des extrémums locaux, ce qui correspond aux points critiques de .

Conclusion :
– La courbe C_1 a des minimums et des maximums où la dérivée s’annule.
– La courbe C_2 s’annule aux points où la courbe C_1 a ses extrémums.

Ainsi, on peut conclure que :
– La courbe C_1 représente la fonction .
– La courbe C_2 représente la dérivée .

Exercice 20 : tableau de signes d’une fonction
Pour le premier tableau de signes de la fonction définie sur $\mathbb{R^%2A}$ :

1. Sur l’intervalle $%5D-\infty%2C\,-1%5B$ , $f'(x)\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>.\,Ainsi%2C\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ est croissante.
2. En $x\,=\,-1$ , $f'(x)\,=\,0$ . Il y a un extremum local à $x\,=\,-1$ .
– En examinant les signes de de part et d’autre de $x\,=\,-1$ , on constate que passe de croissante à décroissante. Donc, $x\,=\,-1$ est un maximum local.
3. Sur l’intervalle $%5D-1%2C\,0%5B$ , $f'(x)\,%3C\,0$ . Ainsi, est décroissante.
4. En $x\,=\,0$ , $f'(x)\,=\,0$ . Il y a un autre extremum local à $x\,=\,0$ .
– En examinant les signes de de part et d’autre de $x\,=\,0$ , on constate que passe de décroissante à croissante. Donc, $x\,=\,0$ est un minimum local.
5. Sur l’intervalle $%5D0%2C\,1%5B$ , $f'(x)\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>.\,Ainsi%2C\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ est croissante.
6. En $x\,=\,1$ , $f'(x)\,=\,0$ . Il y a un autre extremum local à $x\,=\,1$ .
– En examinant les signes de de part et d’autre de $x\,=\,1$ , on constate que passe de croissante à décroissante. Donc, $x\,=\,1$ est un maximum local.
7. Sur l’intervalle $%5D1%2C\,%2B\infty%5B$ , $f'(x)\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>.\,Ainsi%2C\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ est croissante.

Résumons :

$\begin{cases}%0D%0Ax\,%3C\,-1\,%26\,%3A\,f\,\,croissante\,\\%0D%0Ax\,=\,-1\,%26\,%3A\,f\,\,max\,local\,\\%0D%0A-1\,%3C\,x\,%3C\,0\,%26\,%3A\,f\,\,decroissante\,\\%0D%0Ax\,=\,0\,%26\,%3A\,f\,\,min\,local\,\\%0D%0A0\,%3C\,x\,%3C\,1\,%26\,%3A\,f\,\,croissante\,\\%0D%0Ax\,=\,1\,%26\,%3A\,f\,\,max\,local\,\\%0D%0Ax\,>\,1\,%26\,%3A\,f\,\,croissante%0D%0A\end{cases}$ définie sur $\mathbb{R^%2A}$ :

1. Sur l’intervalle $%5D0%2C\,1%5B$ , $f'(x)\,%3C\,0$ . Ainsi, est décroissante.
2. En $x\,=\,1$ , $f'(x)\,=\,0$ . Il y a un extremum local à $x\,=\,1$ .
3. Sur l’intervalle $%5D1%2C\,2%5B$ , $f'(x)\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>.\,Ainsi%2C\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ est croissante.
4. En $x\,=\,2$ , $f'(x)\,=\,0$ . Il y a un autre extremum local à $x\,=\,2$ .
5. Sur l’intervalle $%5D2%2C\,4%5B$ , $f'(x)\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>.\,Ainsi%2C\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ est croissante.
6. En $x\,=\,4$ , $f'(x)\,=\,0$ . Il y a un autre extremum local à $x\,=\,4$ .
7. Sur l’intervalle $%5D4%2C\,%2B\infty%5B$ , $f'(x)\,%3C\,0$ . Ainsi, est décroissante.

Résumons :

$\begin{cases}%0D%0A0\,%3C\,x\,%3C\,1\,%26\,%3A\,f\,\,decroissante\,\\%0D%0Ax\,=\,1\,%26\,%3A\,f\,\,min\,local\,\\%0D%0A1\,%3C\,x\,%3C\,2\,%26\,%3A\,f\,\,croissante\,\\%0D%0Ax\,=\,2\,%26\,%3A\,f\,\,max\,local\,\\%0D%0A2\,%3C\,x\,%3C\,4\,%26\,%3A\,f\,\,croissante\,\\%0D%0Ax\,=\,4\,%26\,%3A\,f\,\,max\,local\,\\%0D%0Ax\,>\,4\,%26\,%3A\,f\,\,decroissante%0D%0A\end{cases}$

Exercice 21 : donner le tableau de signes
$\begin{array}{c%7Cccccccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,0\,%26\,%26\,1\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af'(x)\,%26\,%2B\,%26\,0\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,ND\,%26\,-\,%26\,%2B\,\\%0D%0A\end{array}$

Explication :

1. Entre $-\infty$ et , la fonction est croissante, donc $f'(x)\,>\,0$ , la pente de la tangente est nulle, donc $f'(x)\,=\,0$ .
3. Entre et , la fonction est décroissante, donc $f'(x)\,%3C\,0$ .
4. En $x\,=\,1$ , la dérivée n’est pas définie sur tout $\mathbb{R}\,\setminus\,\{1\}$ , donc il y a une discontinuité.
5. Après $x\,=\,1$ , la fonction change de comportement. Initialement décroissante, elle devient croissante après un certain point, donc f'(x) change de signe de à %2B .

Exercice 22 : parmi ces fonctions quelle est celle de la dérivée de f ?
Pour déterminer laquelle des fonctions f_1 , f_2 ou f_3 a pour dérivée la fonction représentée par $C_{f'}$ , nous devons analyser le comportement de $C_{f'}$ :

1. La courbe $C_{f'}$ est une parabole tournée vers le haut. Cela signifie que la fonction dérivée est toujours positive sauf en un point, où elle atteint un minimum. La dérivée s’annule donc en ce point et change de signe.

Analysons les courbes C_1 , C_2 et C_3 pour voir laquelle satisfait cette condition.

– C_1 : La courbe C_1 a deux maximums et un minimum, ce qui signifie que sa dérivée s’annule en ces trois points. De plus, la dérivée est positive entre les deux maximums (où C_1 monte) et négative aux alentours des maximums et du minimum, ce qui ne correspond pas à une parabole tournée vers le haut pour la dérivée.

– C_2 : La courbe C_2 a une forme de sinusoidale, ayant trois points où la pente change de signe (deux minimums et deux maximums). Cette courbe a plus de points de changement de signe que ce qui est représenté par $C_{f'}$ .

– C_3 : La courbe C_3 a la forme d’une parabole tournée vers le bas avec un maximum au milieu. La dérivée de C_3 s’annule au sommet et change de signe autour de ce point de manière compatible avec $C_{f'}$ .

Ainsi, la fonction qui a pour dérivée la fonction représentée par $C_{f'}$ est f_3 .

f_3

Exercice 23 : volume maximal d’un cône inclus dans une sphère
$Correction\,de\,l'exercice$

1. $Premiere\,approche\,%3A\,variable\,d'etude\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fr%2520%253D%2520HA%22\,alt=%22r\,=\,HA$ » align= »absmiddle » />

Le volume d’un cône est donné par la formule :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$

Ici, $h\,=\,SH$ représente la hauteur du cône. On a :
$SH\,=\,AH\,%2B\,HO\,=\,r\,%2B\,x$

Dans un triangle rectangle SHO , par le théorème de Pythagore :
$SO^2\,=\,SH^2\,%2B\,HO^2$
$R^2\,=\,(r\,%2B\,x)^2\,%2B\,x^2$
$R^2\,=\,r^2\,%2B\,2rx\,%2B\,2x^2$

Il faut maximiser par rapport à . Reprenons les calculs en terme de :

Remplaçons dans l’expression de :

$x\,=\,\sqrt{R^2\,-\,r^2}\,-\,r$

Donc, le volume devient :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,(\sqrt{R^2\,-\,r^2}\,-\,r)$

Pour maximiser ce volume, dérivons par rapport à et trouvons où la dérivée est nulle.

$\frac{dV}{dr}\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(\,2r\,(\sqrt{R^2\,-\,r^2}\,-\,r)\,%2B\,r^2\,(\,\frac{-r}{\sqrt{R^2\,-\,r^2}}\,)\,)$

Ensuite, mettre à zéro et résoudre pour :

$2r\,(\sqrt{R^2\,-\,r^2}\,-\,r)\,-\,\frac{r^3}{\sqrt{R^2\,-\,r^2}}\,=\,0$

Cela nécessite une résolution algébrique ou numérique plus approfondie.

2. $Deuxieme\,approche\,%3A\,variable\,d'etude\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%2520%253D%2520HO%22\,alt=%22x\,=\,HO$ » align= »absmiddle » />

Nous avons déjà que :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,(\sqrt{R^2\,-\,r^2}\,-\,r)$

Refaisons le changement de variable directement :

$r^2\,=\,R^2\,-\,x^2$
$h\,=\,x\,%2B\,\sqrt{R^2\,-\,x^2}$

Le volume devient :
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(R^2\,-\,x^2)x$

Dérivons par rapport à :

$\frac{dV}{dx}\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,%5B\,(R^2\,-\,x^2)\,%2B\,x\,\cdot\,(-2x)\,%5D$
$\frac{dV}{dx}\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,%5B\,R^2\,-\,3x^2\,%5D$

Mettons à zéro et résolvons pour :

$R^2\,-\,3x^2\,=\,0$
$x^2\,=\,\frac{R^2}{3}$
$x\,=\,\frac{R}{\sqrt{3}}$

On peut substituer pour trouver :

$r^2\,=\,R^2\,-\,(\frac{R}{\sqrt{3}})^2$
$r^2\,=\,R^2\,-\,\frac{R^2}{3}$
$r^2\,=\,\frac{2R^2}{3}$
$r\,=\,\frac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Enfin, substituons et dans le volume:

$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(\frac{2R^2}{3})(\frac{R}{\sqrt{3}}\,%2B\,\frac{\sqrt{2R^2}}{\sqrt{3}})$
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(\frac{2R^2}{3})(\frac{R}{\sqrt{3}}\,%2B\,\frac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}})$
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(\frac{2R^3}{3\sqrt{3}}\,%2B\,\frac{2R^3}{3\sqrt{3}})$
$V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(\frac{4R^3}{3\sqrt{3}})$
$V\,=\,\frac{4\pi\,R^3}{9\sqrt{3}}$

Ainsi, le volume maximal du cône est $\frac{4\pi\,R^3}{9\sqrt{3}}$ .

Exercice 24 : une boîte de conserve et la surface de métal
1) La surface de métal utilisé pour confectionner la boîte comprend la surface latérale du cylindre ainsi que les surfaces des deux bases circulaires. La surface latérale est donnée par :
$S_{lat}\,=\,2\pi\,rh$

Les deux bases circulaires ont ensemble une surface de :
$S_{bases}\,=\,2\pi\,r^2$

Ainsi, la surface totale est :
$S\,=\,2\pi\,r^2\,%2B\,2\pi\,rh$

Sachant que le volume $\mathcal{V}$ du cylindre est donné par :
$\mathcal{V}\,=\,\pi\,r^2\,h$

On peut exprimer en fonction de et $\mathcal{V}$ :
$h\,=\,\frac{\mathcal{V}}{\pi\,r^2}$

En remplaçant par cette expression dans la surface totale, on obtient :
$S\,=\,2\pi\,r^2\,%2B\,2\pi\,r\,(\frac{\mathcal{V}}{\pi\,r^2})\,=\,2\pi\,r^2\,%2B\,\frac{2\mathcal{V}}{r}$

Donc, la surface de métal utilisée est bien :
$S(r)\,=\,2\pi\,r^2\,%2B\,\frac{2\mathcal{V}}{r}$

2) La fonction $S(r)\,=\,2\pi\,r^2\,%2B\,\frac{2\mathcal{V}}{r}$ doit être étudiée sur son ensemble de définition $(0%2C\infty)$ .

Calcul de la dérivée :
$S'(r)\,=\,4\pi\,r\,-\,\frac{2\mathcal{V}}{r^2}$

Pour trouver les points critiques, nous résolvons $S'(r)\,=\,0$ :
$4\pi\,r\,=\,\frac{2\mathcal{V}}{r^2}$
$4\pi\,r^3\,=\,2\mathcal{V}$
$2\pi\,r^3\,=\,\mathcal{V}$
$r^3\,=\,\frac{\mathcal{V}}{2\pi}$
$r\,=\,(\frac{\mathcal{V}}{2\pi})^{1%2F3}$

Pour déterminer si ce point est un minimum, nous examinons la dérivée seconde :
$S''(r)\,=\,4\pi\,%2B\,\frac{4\mathcal{V}}{r^3}$

En substituant $r\,=\,(\frac{\mathcal{V}}{2\pi})^{1%2F3}$ :
$S''((\frac{\mathcal{V}}{2\pi})^{1%2F3})\,=\,4\pi\,%2B\,\frac{4\mathcal{V}}{(\frac{\mathcal{V}}{2\pi})}\,=\,4\pi\,%2B\,8\pi\,=\,12\pi\,>\,0$ est un point de minimum.

3) Les dimensions du cylindre minimisant la surface sont :
$r\,=\,(\frac{\mathcal{V}}{2\pi})^{1%2F3}$
$h\,=\,\frac{\mathcal{V}}{\pi\,r^2}\,=\,\frac{\mathcal{V}}{\pi\,(\frac{\mathcal{V}}{2\pi})^{2%2F3}}\,=\,2\,(\frac{\mathcal{V}}{2\pi})^{1%2F3}\,=\,2r$

Donc les dimensions optimales sont :
$r\,=\,(\frac{\mathcal{V}}{2\pi})^{1%2F3}$
$h\,=\,2(\frac{\mathcal{V}}{2\pi})^{1%2F3}$

4) Pour une boîte donnée d’un volume $\mathcal{V}$ , on peut appliquer les formules trouvées ci-dessus pour calculer le rayon et la hauteur. Par exemple, si $\mathcal{V}\,=\,1000\,\%2C\,cm^3$ :
$r\,=\,(\frac{1000}{2\pi})^{1%2F3}\,\approx\,5.42\,\%2C\,cm$
$h\,=\,2\,\times \,r\,\approx\,10.84\,\%2C\,cm$

Donc, les dimensions de la boîte devraient être :
$r\,\approx\,5.42\,\%2C\,cm$
$h\,\approx\,10.84\,\%2C\,cm$

Exercice 25 : qCM sur la dérivée
Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x)\,=\,x^2\,%2B\,x\,%2B\,1$ . Alors est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{array}{ll}%0D%0A(a)\,%26\,f'(x)\,=\,2x\,%2B\,1\,\\%0D%0A(b)\,%26\,f'(-1)\,=\,-1\,\\%0D%0A\textcolor{green}{(c)}\,%26\,f'(x)\,=\,2x\,\\%0D%0A\textcolor{green}{(d)}\,%26\,f'(0)\,=\,0\,\\%0D%0A\end{array}$

Correction :
La dérivée de $f(x)\,=\,x^2\,%2B\,x\,%2B\,1$ est :
$f'(x)\,=\,2x\,%2B\,1$

Par conséquent,
– $f'(x)\,=\,2x$ est faux. (La dérivée correcte est $f'(x)\,=\,2x\,%2B\,1$ , comme d(i)onné en (a).
– On a $f'(-1)\,=\,2(-1)\,%2B\,1\,=\,-2\,%2B\,1\,=\,-1$ , donc (b) est vrai.
– $f'(0)\,=\,2(0)\,%2B\,1\,=\,1$ , donc (d) est incorrect. $f'(0)\,=\,1$ .

Les bonnes réponses sont donc : (a) et (b).

—

Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x)\,=\,-x^3$ . Alors est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{array}{ll}%0D%0A\textcolor{green}{(a)}\,%26\,f'(0)\,=\,0\,\\%0D%0A(b)\,%26\,f'(1)\,=\,-1\,\\%0D%0A\textcolor{green}{(c)}\,%26\,f'(x)\,=\,-3x^2\,\\%0D%0A(d)\,%26\,f'(x)\,=\,-x^2\,\\%0D%0A\end{array}$

Correction :
La dérivée de $f(x)\,=\,-x^3$ est :
$f'(x)\,=\,-3x^2$

Par conséquent,
– $f'(0)\,=\,-3(0)^2\,=\,0$ , donc (a) est vrai.
– On a $f'(1)\,=\,-3(1)^2\,=\,-3$ , donc (b) est faux.
– $f'(x)\,=\,-3x^2$ , donc (c) est vrai.
– $f'(x)\,=\,-x^2$ , donc (d) est faux. (La dérivée correcte est $f'(x)\,=\,-3x^2$ ).

Les bonnes réponses sont donc : (a) et (c).

—

Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x)\,=\,g(4x\,%2B\,2)$ . Alors est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{array}{ll}%0D%0A(a)\,%26\,f'(x)\,=\,g'(4x\,%2B\,2)\,\\%0D%0A(b)\,%26\,f'(x)\,=\,-4g'(4x\,%2B\,2)\,\\%0D%0A\textcolor{green}{(c)}\,%26\,f'(x)\,=\,4g'(4x\,%2B\,2)\,\\%0D%0A(d)\,%26\,f'(x)\,=\,4g'(x)\,\\%0D%0A\end{array}$

Correction :
En utilisant la règle de la chaîne pour la dérivée :

Soit $u(x)\,=\,4x\,%2B\,2$ , alors $f(x)\,=\,g(u(x))$ .

Donc,
$f'(x)\,=\,g'(u(x))\,\cdot\,u'(x)\,=\,g'(4x\,%2B\,2)\,\cdot\,4\,=\,4g'(4x\,%2B\,2)$

Par conséquent,
– $f'(x)\,=\,g'(4x\,%2B\,2)$ est faux.
– $f'(x)\,=\,-4g'(4x\,%2B\,2)$ est faux.
– $f'(x)\,=\,4g'(4x\,%2B\,2)$ est vrai.
– $f'(x)\,=\,4g'(x)$ est faux.

La bonne réponse est donc : (c).

Exercice 26 : qCM sur la dérivation
Corrections de l’exercice :

1. Soit la fonction définie sur $I\,=\,%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B$ par $f(x)\,=\,\frac{1}{x(\sqrt{x}\,-\,1)}$ .
Alors, est dérivable sur et :

La bonne réponse est $\mathbf{a}$ :
$f'(x)\,=\,-\frac{1}{2x^2\sqrt{x}}$

2. Soient les fonctions et définies respectivement sur $\mathbb{R}^%2B$ et $\mathbb{R}^%2B$ par $f(x)\,=\,\sqrt{x}$ et $g(x)\,=\,\frac{1}{f(x)}$ .
Alors, est dérivable sur $\mathbb{R}^%2B$ et :

La bonne réponse est $\mathbf{c}$ :
$g'(x)\,=\,-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

Exercice 27 : limite du taux d’accroissement
Soit une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et dérivable en .
Soit un réel non nul.
Le nombre dérivé de en est égal à .

$f'(2)\,=\,-1$

Le nombre dérivé de en est donné par :

$f'(2)\,=\,\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{f(2\,%2B\,h)\,-\,f(2)}{h}$

D’après l’énoncé, nous savons que :

$\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{f(2\,%2B\,h)\,-\,f(2)}{h}\,=\,-1$

Nous devons maintenant vérifier si l’expression donnée dans l’énoncé est égale à :

$\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{f(2\,%2B\,h)\,-\,f(h)}{h}$

En observant cette nouvelle limite, remarquons que f(h) n’est pas la même chose que f(2) . Pour qu’il soit correct de dire que :

$\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{f(2\,%2B\,h)\,-\,f(h)}{h}\,=\,-1$

Il faudrait que $f(h)\,\approx\,f(2)$ lorsque $h\,\to\,0$ , ce qui n’est généralement pas vrai puisque f(h) dépend de la valeur de et non de .

Considérons une fonction contre-exemple : $f(x)\,=\,x$ . En ce cas,

$f'(2)\,=\,1\,\neq\,-1%2C$

et pourtant,

$\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{f(2\,%2B\,h)\,-\,f(h)}{h}\,=\,\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{2\,%2B\,h\,-\,h}{h}\,=\,\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{2}{h}.$

Ici, la limite ne tend même pas vers une valeur finie, mais diverge. Ceci montre que l’expression $\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{f(2\,%2B\,h)\,-\,f(h)}{h}\,\neq\,-1$ .

Conclusion : On ne peut pas écrire que

$\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{f(2\,%2B\,h)\,-\,f(h)}{h}\,=\,-1.$

Exercice 28 : nombre dérivé et tangente
1. Lire graphiquement le nombre dérivé de en .

Pour lire graphiquement le nombre dérivé de en , on regarde la pente de la tangente T_A en . Étant donné que la tangente T_A passe par le point et a une pente de 2 (car elle monte de 2 unités pour chaque unité parcourue horizontalement), le nombre dérivé de en est :
$f'(-1)\,=\,2$

2. Déterminer une équation de la tangente T_A .

L’équation d’une droite tangente peut être écrite sous la forme $y\,=\,mx\,%2B\,b$ , où est la pente et est l’ordonnée à l’origine. Nous savons que:
– La pente est .
– La tangente passe par le point .

Substituons ces valeurs dans l’équation de la droite:
$0\,=\,2(-1)\,%2B\,b$
$0\,=\,-2\,%2B\,b$
$b\,=\,2$

Ainsi, l’équation de la tangente T_A est :
$y\,=\,2x\,%2B\,2$

Exercice 29 : taux de variation
\section*{Correction de l’exercice}

La fonction est définie par :
$f(x)\,=\,\frac{1}{x%2B2}$
avec $h\,\neq\,0$ et $h\,\neq\,-3$ .

\subsection*{1. Montrer que le taux de variation de entre 1 et $1\,%2B\,h$ est égal à $-\frac{1}{3(3%2Bh)}$ }

Le taux de variation de entre et $1\,%2B\,h$ est donné par :
$\frac{f(1%2Bh)\,-\,f(1)}{h}$

Calculons f(1) :
$f(1)\,=\,\frac{1}{1\,%2B\,2}\,=\,\frac{1}{3}$

Calculons :
$f(1%2Bh)\,=\,\frac{1}{(1%2Bh)\,%2B\,2}\,=\,\frac{1}{3\,%2B\,h}$

Le taux de variation devient alors :
$\frac{f(1%2Bh)\,-\,f(1)}{h}\,=\,\frac{\frac{1}{3%2Bh}\,-\,\frac{1}{3}}{h}$

Regroupons les fractions sous un même dénominateur :
$\frac{\frac{1}{3%2Bh}\,-\,\frac{1}{3}}{h}\,=\,\frac{\frac{3\,-\,(3%2Bh)}{3(3%2Bh)}}{h}\,=\,\frac{\frac{-h}{3(3%2Bh)}}{h}$

Simplifions l’expression :
$\frac{\frac{-h}{3(3%2Bh)}}{h}\,=\,\frac{-h}{3(3%2Bh)h}\,=\,-\frac{1}{3(3%2Bh)}$

Ainsi, nous avons montré que :
$\frac{f(1%2Bh)\,-\,f(1)}{h}\,=\,-\frac{1}{3(3%2Bh)}$

\subsection*{2. En déduire que est dérivable en 1 et calculer f'(1) }

Pour montrer que la fonction est dérivable en $x\,=\,1$ , il faut que le taux de variation tende vers une limite finie lorsque tend vers 0.

$\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{f(1%2Bh)\,-\,f(1)}{h}\,=\,\lim_{h\,\to\,0}\,-\frac{1}{3(3%2Bh)}$

Cette limite est :
$-\frac{1}{3(3%2B0)}\,=\,-\frac{1}{9}$

Donc, la fonction est dérivable en $x\,=\,1$ et:
$f'(1)\,=\,-\frac{1}{9}$

Exercice 30 : tangente à une courbe
1. Sachant que T_A est parallèle à l’axe des abscisses, déterminer f'(-2) .

La tangente T_A est parallèle à l’axe des abscisses, ce qui signifie que sa pente est nulle. Donc, la dérivée de la fonction en est nulle :
$f'(-2)\,=\,0$

2. Déterminer f'(0) graphiquement en justifiant la réponse.

La tangente T_J en a une pente négative. Étant donné que la tangente T_J est l’une des représentations graphiques de la dérivée en $J(0%2C\,1)$ , pour déterminer f'(0) nous devons estimer la pente de T_J .

On observe que pour un changement de d’environ 1 unité, change d’environ -4 unités. Donc, la pente est :
$f'(0)\,\approx\,\frac{\Delta\,y}{\Delta\,x}\,=\,\frac{-4}{1}\,=\,-4$

Par conséquent, graphiquement :
$f'(0)\,=\,-4$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 31 : dérivabilité en un point
1. Soit un réel non nul.
Exprimer $f(1%2Bh)\,-\,f(1)$ en fonction de .

$f(1%2Bh)\,=\,(1%2Bh)^2\,=\,1\,%2B\,2h\,%2B\,h^2$
$f(1)\,=\,1^2\,=\,1$
$f(1%2Bh)\,-\,f(1)\,=\,1\,%2B\,2h\,%2B\,h^2\,-\,1\,=\,2h\,%2B\,h^2$

2. Montrer que est dérivable en 1 et donner la valeur du nombre dérivé de en 1.

La définition de la dérivabilité en 1 est:

$f'(1)\,=\,\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{f(1%2Bh)\,-\,f(1)}{h}$

En substituant l’expression trouvée à la question 1:

$f'(1)\,=\,\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{2h\,%2B\,h^2}{h}\,=\,\lim_{h\,\to\,0}\,(2\,%2B\,h)$

Puisque $\lim_{h\,\to\,0}\,h\,=\,0$ :

$f'(1)\,=\,2$

3. Vérifier le résultat à la calculatrice.

La dérivée de $f(x)\,=\,x^2$ est $f'(x)\,=\,2x$ . En substituant $x\,=\,1$ :

$f'(1)\,=\,2\,\times \,1\,=\,2$

Ce qui confirme le résultat obtenu.

Exercice 32 : dérivabilité en 3
$Correction\,de\,l'exercice%3A$

1. Par lecture graphique, déterminer la valeur du nombre dérivé de en .

On peut observer que la tangente à la courbe C_f au point (c’est-à-dire pour $x\,=\,0$ ) est horizontale. Une tangente horizontale indique que le nombre dérivé de en ce point est nul. Donc:
$f'(0)\,=\,0$

2. Déterminer f'(3) graphiquement.

Pour déterminer la valeur de la dérivée de en $x\,=\,3$ , on regarde la pente de la tangente T_B au point (où $x\,=\,3$ ). En observant le graphique, on peut voir que la tangente T_B fait approximativement un angle assez élevé avec l’axe des abscisses.

Pour estimer la pente, on peut approximativement compter la montée et la distance horizontale directement depuis le graphique, ou approximativement évaluer visuellement l’angle de la pente.

En estimant visuellement la pente de T_B , on pourrait dire approximativement que:
$f'(3)\,\approx\,3$

(La valeur exacte pourrait nécessiter des outils de mesure plus précis.)

Ainsi, les réponses sont :
1. $f'(0)\,=\,0$
2. $f'(3)\,\approx\,3$

Exercice 33 : déterminer graphiquement le nombre dérivé
Correction de l’exercice de mathématiques :

Pour déterminer graphiquement les nombres dérivés de en $x_1\,=\,-4$ , $x_2\,=\,-\frac{5}{2}$ et $x_3\,=\,0$ , nous utilisons les tangentes d_1 , d_2 et d_3 .

1. $Pour\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx_1%2520%253D%2520-4%22\,alt=%22x_1\,=\,-4$ : » align= »absmiddle » />
La tangente d_2 à la courbe C_f au point de l’abscisse est une droite horizontale. Par définition, la pente d’une droite horizontale est nulle. Donc, le nombre dérivé de en est :
$f'(-4)\,=\,0$

2. $Pour\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx_2%2520%253D%2520-%255Cfrac%257B5%257D%257B2%257D%22\,alt=%22x_2\,=\,-\frac{5}{2}$ : » align= »absmiddle » />
La tangente d_1 à la courbe C_f au point de l’abscisse $-\frac{5}{2}$ est parallèle à l’axe des abscisses. Une tangente parallèle à l’axe des abscisses a également une pente nulle. Donc, le nombre dérivé de en $-\frac{5}{2}$ est :
$f'(-\frac{5}{2})\,=\,0$

3. $Pour\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx_3%2520%253D%25200%22\,alt=%22x_3\,=\,0$ : » align= »absmiddle » />
La tangente d_3 à la courbe C_f au point de l’abscisse a une certaine pente positive, que l’on peut estimer graphiquement. Supposons que la pente de cette tangente soit observée comme . Après une observation attentive du graphique et des grilles de distance, on peut estimer cette pente. Supposons, par exemple, que la pente soit 2 :
$f'(0)\,\approx\,2$

Ainsi, les nombres dérivés de en $x_1\,=\,-4$ , $x_2\,=\,-\frac{5}{2}$ et $x_3\,=\,0$ sont respectivement :
$f'(-4)\,=\,0%2C\,\quad\,f'(-\frac{5}{2})\,=\,0%2C\,\quad\,f'(0)\,\approx\,2$

Exercice 34 : déterminer graphiquement f ‘ (a)
L’objectif est de déterminer graphiquement la dérivée f'(a) en un point donné sur la courbe C_f . Ici, $a\,=\,2$ .

1. Tout d’abord, nous repérons le point sur la courbe C_f correspondant à $a\,=\,2$ .
2. Ensuite, nous traçons la tangente à la courbe C_f en ce point .
3. La pente de cette tangente nous donnera la valeur de la dérivée f'(a) en $a\,=\,2$ .

À partir du graphique, nous observons que la tangente en passe par et a une pente qui peut être estimée visuellement. Pour déterminer cette pente, nous utilisons deux points de la tangente pour calculer sa pente.

Supposons que la tangente passe par les points $(2%2C\,-3)$ et $(3%2C\,2)$ . La pente de la tangente est donc :

$f'(2)\,=\,\frac{\Delta\,y}{\Delta\,x}\,=\,\frac{2\,-\,(-3)}{3\,-\,2}$

Calculons cela :

$f'(2)\,=\,\frac{2\,%2B\,3}{3\,-\,2}\,=\,\frac{5}{1}\,=\,5$

Ainsi, graphiquement, nous avons :

$f'(2)\,=\,5$

La valeur graphique de f'(2) est donc approximativement 5.

Exercice 35 : calculer f ‘ (a)
Les points et ont les coordonnées suivantes :
$A(-3\,%3B\,1)$
$B(2\,%3B\,-1)$

La droite tangente passe par ces deux points. La pente de la droite est donc donnée par la formule :
$m\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}$

En substituant les coordonnées des points et , on obtient :
$m\,=\,\frac{-1\,-\,1}{2\,-\,(-3)}\,=\,\frac{-2}{5}\,=\,-\frac{2}{5}$

Ainsi, la pente de la tangente en est :
$f'(-3)\,=\,-\frac{2}{5}$

Pour trouver f'(-1) , on doit utiliser l’information que est tangente à la courbe C_f en . Puisque est une droite, son équation dans la forme point-pente est :
$y\,-\,y_1\,=\,m(x\,-\,x_1)$

En utilisant le point $A(-3%2C\,1)$ et la pente $m\,=\,-\frac{2}{5}$ , l’équation de la droite devient :
$y\,-\,1\,=\,-\frac{2}{5}(x\,%2B\,3)$
$y\,=\,-\frac{2}{5}x\,-\,\frac{6}{5}\,%2B\,1$
$y\,=\,-\frac{2}{5}x\,-\,\frac{6}{5}\,%2B\,\frac{5}{5}$
$y\,=\,-\frac{2}{5}x\,-\,\frac{1}{5}$

Puisque est la tangente en $x\,=\,-1$ , nous pouvons écrire :
$f'(-1)\,=\,-\frac{2}{5}$

Donc, la valeur de f'(-1) est :
$-\frac{2{5}}$

Exercice 36 : calculer le nombre dérivé en a
Pour déterminer la dérivée f'(a) où $a\,=\,1$ , nous devons d’abord trouver l’équation de la tangente qui passe par les points $A(1%2C\,-\frac{3}{2})$ et $B(-1%2C\,\frac{5}{2})$ .

La pente de la tangente passant par les points et est donnée par :

$m\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}\,=\,\frac{\frac{5}{2}\,-\,(\,-\frac{3}{2}\,)}{-1\,-\,1}\,=\,\frac{\frac{5}{2}\,%2B\,\frac{3}{2}}{-2}\,=\,\frac{8%2F2}{-2}\,=\,\frac{4}{-2}\,=\,-2$

Ainsi, la pente de la tangente est .

L’équation de la tangente peut être écrite sous la forme :

$y\,=\,mx\,%2B\,c$

En utilisant le point $A(1%2C\,-\frac{3}{2})$ pour trouver :

$-\frac{3}{2}\,=\,-2\,\cdot\,1\,%2B\,c$
$-\frac{3}{2}\,=\,-2\,%2B\,c$
$c\,=\,-\frac{3}{2}\,%2B\,2\,=\,\frac{4}{2}\,-\,\frac{3}{2}\,=\,\frac{1}{2}$

Donc, l’équation de la tangente est :

$y\,=\,-2x\,%2B\,\frac{1}{2}$

La dérivée de en $x\,=\,1$ , c’est-à-dire f'(1) , est identifiée par la pente de la tangente à ce point. D’après notre calcul, la pente de la tangente est .

Ainsi,

$f'(1)\,=\,-2$

Exercice 37 : coefficient directeur de la tangente
Pour calculer f'(a) , nous devons connaître la pente de la tangente au point . Puisque passe par les points et , la pente de peut être déterminée en utilisant la formule de la pente entre deux points.

Les coordonnées du point sont $(a%2C\,f(a))$ et les coordonnées du point sont $(\frac{1}{2}%2C\,2)$ .

La pente de la tangente est donc :
$f'(a)\,=\,\frac{f(\,\frac{1}{2}\,)\,-\,f(a)}{\frac{1}{2}\,-\,a}$

On connaît également qu’à $f(\frac{1}{2})\,=\,2$ et, puisque $a\,=\,0$ , il nous vient alors f(0) .

Supposons que soit sur l’axe des ordonnées (peut-être à $f(0)\,=\,1$ ), la pente se calcule comme suit :
$f'(0)\,=\,\frac{2\,-\,1}{\frac{1}{2}\,-\,0}\,=\,\frac{1}{\frac{1}{2}}\,=\,2$

Ainsi, la dérivée de en (où $a\,=\,0$ ) est :
$f'(0)\,=\,2$

Exercice 38 : tracer une courbe représentative
Pour tracer la courbe représentative d’une fonction à partir du tableau de valeurs donné, nous prenons en compte à la fois les points de la fonction et les signes de la dérivée.

1. Identifier les points donnés par :
$f(-3)\,%26=\,-2%2C\,\\%0D%0Af(-2)\,%26=\,0%2C\,\\%0D%0Af(0)\,%26=\,2%2C\,\\%0D%0Af(\frac{3}{2})\,%26=\,0%2C\,\\%0D%0Af(3)\,%26=\,-4.$

2. Utiliser les informations sur la dérivée :
$f'(-3)\,%26=\,0%2C\,\\%0D%0Af'(-2)\,%26=\,2%2C\,\\%0D%0Af'(0)\,%26=\,2%2C\,\\%0D%0Af'(\frac{3}{2})\,%26=\,-\frac{5}{2}%2C\,\\%0D%0Af'(3)\,%26=\,0.$

3. Analyser les informations pour déduire le comportement de la fonction :
– $f'(-3)\,=\,0$ : La fonction a un extremum en .
– $f'(-2)\,=\,2\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>\,%3A\,La\,fonction\,est\,strictement\,croissante\,en\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F-2%22\,alt=%22-2$ .
– $f'(0)\,=\,2\,>\,0%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>\,%3A\,La\,fonction\,est\,strictement\,croissante\,en\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F0%22\,alt=%220$ .
– $f'(\frac{3}{2})\,=\,-\frac{5}{2}\,%3C\,0$ : La fonction est strictement décroissante en $\frac{3}{2}$ .
– $f'(3)\,=\,0$ : La fonction a un extremum en .

D’après ces observations, nous pouvons esquisser la courbe :

– La courbe passe par les points $(-3%2C\,-2)$ , $(-2%2C\,0)$ , $(0%2C\,2)$ , $(\frac{3}{2}%2C\,0)$ , et $(3%2C\,-4)$ .
– Au point $(-3%2C\,-2)$ et $(3%2C\,-4)$ , la fonction a des extrema.
– La fonction est croissante de $x\,=\,-3$ à $x\,=\,0$ .
– La fonction atteint son maximum entre $x\,=\,0$ et $x\,=\,\frac{3}{2}$ puis décroît jusqu’à $x\,=\,3$ .

Ainsi, la courbe représentative pourrait ressembler à celle décrite ci-dessous. Il est important de noter que cette courbe est une interpretation possible basée sur les informations données :

Pour dessiner cette courbe à la main, on pourrait suivre ces étapes en ayant ces points en tête et en respectant le comportement de la dérivée.

Merci de tracer la courbe en respectant ces points clés.

Exercice 39 : tangentes et parallèles
1. Par lecture graphique, déterminer l’équation réduite de T_A .

D’après le graphique, la tangente T_A est horizontale et parallèle à l’axe des abscisses. Donc sa pente est zéro. L’équation de la tangente est de la forme :

$y\,=\,k$

En observant le graphique, la tangente passe par le point sur l’axe des ordonnées à $y\,=\,2$ . Donc, l’équation réduite de T_A est :

$y\,=\,2$

2. Sachant que la droite T_B passe par le point de coordonnées $(\,-2\,%3B\,\frac{29}{4}\,)$ , déterminer son équation réduite.

On utilise la forme point-pente de l’équation d’une droite. Supposons que la pente soit . Puisque T_B passe par le point $(\,-2\,%3B\,\frac{29}{4}\,)$ , nous écrivons l’équation de la tangente en utilisant ce point :

$y\,-\,\frac{29}{4}\,=\,m\,(x\,%2B\,2)$

Pour trouver la pente , nous devons connaître une autre information ou caractéristique de la fonction ou de la tangente. Par exemple, si nous savons que T_B passe également par un autre point ou si $\frac{d\,f}{dx}$ est connue en ce point particulier, nous pourrions déterminer . Sans cette information supplémentaire, nous ne pouvons pas trouver l’équation exacte de T_B , toutefois, l’équation sous forme point-pente est :

$y\,=\,m\,(x\,%2B\,2)\,%2B\,\frac{29}{4}$

3. On donne $f'(3)\,=\,-\frac{101}{12}$ . Les tangentes T_B et T_C sont-elles parallèles ? Justifier.

Pour que deux droites soient parallèles, leurs pentes doivent être égales. La pente d’une tangente à une courbe au point $x\,=\,3$ est donnée par la dérivée en ce point. Ainsi, la pente de T_C qui est tangent à au point où $x\,=\,3$ est :

$m_{T_C}\,=\,f'(3)\,=\,-\frac{101}{12}$

Sans l’information concernant la pente de T_B explicitement, nous devons utiliser les points fournis pour $B\,(\,-2\,%3B\,\frac{29}{4}\,)$ et .

Si $m_{T_B}\,=\,m_{T_C}\,=\,-\frac{101}{12}$ , alors les tangentes T_B et T_C sont parallèles.

Ainsi :

$T_B\,%3A\,y\,-\,\frac{29}{4}\,=\,-\frac{101}{12}\,(x\,%2B\,2)$

$T_B\,%3A\,y\,=\,-\frac{101}{12}(x\,%2B\,2)\,%2B\,\frac{29}{4}$

En conclusion, sans connaître explicitement la pente de T_B ou f'(x) à $x\,=\,-2$ , nous ne pouvons pas conclure avec certitude qu’elles sont parallèles. Il est requis de vérifier que $m_{T_B}\,=\,-\frac{101}{12}$ pour que T_B et T_C soient parallèles.

Exercice 40 : déterminer l’équation réduite d’une tangente
Les équations réduites des tangentes à la courbe de en , , et doivent être déterminées.

1. Détermination de l’équation de la tangente d_1 au point :
– Le point où la tangente est tracée est $A(-2%2C\,4)$ .
– La pente de la tangente d_1 semble être .

L’équation de la tangente d_1 est :
$y\,=\,2(x%2B2)\,%2B\,4$
$y\,=\,2x\,%2B\,4\,%2B\,4$
$y\,=\,2x\,%2B\,8$

2. Détermination de l’équation de la tangente d_2 au point :
– Le point où la tangente est tracée semble être $B(1%2C\,0)$ .
– La pente de la tangente d_2 semble être .

L’équation de la tangente d_2 est :
$y\,=\,0$

3. Détermination de l’équation de la tangente d_3 au point :
– Le point où la tangente est tracée semble être $C(1%2C\,-1)$ .
– La pente de la tangente d_3 semble être .

L’équation de la tangente d_3 est :
$y\,=\,1(x\,-\,1)\,-\,1$
$y\,=\,x\,-\,1\,-\,1$
$y\,=\,x\,-\,2$

4. Détermination de l’équation de la tangente d_4 au point :
– Le point où la tangente est tracée semble être $D(2%2C\,4)$ .
– La pente de la tangente d_4 semble être .

L’équation de la tangente d_4 est :
$y\,=\,-1(x\,-\,2)\,%2B\,4$
$y\,=\,-x\,%2B\,2\,%2B\,4$
$y\,=\,-x\,%2B\,6$

Les équations réduites des tangentes aux points , , et sont donc respectivement :
$d_1%3A\,y\,=\,2x\,%2B\,8$
$d_2%3A\,y\,=\,0$
$d_3%3A\,y\,=\,x\,-\,2$
$d_4%3A\,y\,=\,-x\,%2B\,6$

Voir Corrigés 31 à 40 ...

Exercice 41 : problème du projectile
Pour résoudre cet exercice, nous devons déterminer la vitesse du projectile aux instants $t\,=\,0$ , $t\,=\,2$ et $t\,=\,4$ en utilisant les pentes des tangentes tracées sur le graphique de la fonction .

La vitesse du projectile à l’instant est donnée par la dérivée de la fonction h(t) , notée h'(t) . L’équation d’une tangente au point d’une courbe est $y\,=\,h'(t)(x\,-\,t)\,%2B\,h(t)$ . La pente de cette tangente représente h'(t) , la vitesse du projectile à l’instant .

1. $\mathbf{A\,\\,t\,=\,0%3A}$

Observons la pente de la tangente à la courbe C_h au point d’abscisse sur le graphique.

La pente de cette tangente semble être positive avec une certaine valeur qu’on peut estimer visuellement. Supposons que la pente est $\approx\,8\,\\,m%2Fs$ .

Donc, $h'(0)\,\approx\,8\,\\,m%2Fs$ .

2. $\mathbf{A\,\\,t\,=\,2%3A}$

Maintenant, observons la pente de la tangente à la courbe C_h au point d’abscisse .

La pente de cette tangente semble être horizontale, indiquant une vitesse de 0 \ m/s.

Donc, $h'(2)\,\approx\,0\,\\,m%2Fs$ .

3. $\mathbf{A\,\\,t\,=\,4%3A}$

Observons la pente de la tangente à la courbe C_h au point d’abscisse .

La pente de cette tangente semble être négative. Supposons que la pente est $\approx\,-8\,\\,m%2Fs$ .

Donc, $h'(4)\,\approx\,-8\,\\,m%2Fs$ .

Maintenant, convertissons ces vitesses en km/h.

$1\,\\,m%2Fs\,=\,3.6\,\\,km%2Fh$

\begin{align*}
\text{À } t = 0: \quad h'(0) \approx 8 \ m/s \times 3.6 \frac{km}{m} = 28.8 \ km/h,\\
\text{À } t = 2: \quad h'(2) \approx 0 \ m/s \times 3.6 \frac{km}{m} = 0 \ km/h,\\
\text{À } t = 4: \quad h'(4) \approx -8 \ m/s \times 3.6 \frac{km}{m} = -28.8 \ km/h.
\end{align*}

Ceci conclut la correction de l’exercice.

Exercice 42 : donner l’équation réduite d’une tangente
1. Nous devons démontrer que C_f et C_g admettent une tangente commune en .

Tout d’abord, calculons les dérivées des fonctions et :

$f(x)\,=\,-x^2\,%2B\,4\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,f'(x)\,=\,-2x$
$g(x)\,=\,x^2\,-\,4x\,%2B\,6\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,g'(x)\,=\,2x\,-\,4$

Ensuite, évaluons ces dérivées en $x\,=\,1$ , car le point a pour abscisse $x\,=\,1$ :

$f'(1)\,=\,-2\,\times \,1\,=\,-2$
$g'(1)\,=\,2\,\times \,1\,-\,4\,=\,2\,-\,4\,=\,-2$

On constate que $f'(1)\,=\,g'(1)\,=\,-2$ . Cela signifie que les pentes des tangentes à C_f et C_g en sont égales.

De plus, vérifions que le point appartient à C_f et C_g :

Pour :
$f(1)\,=\,-1^2\,%2B\,4\,=\,-1\,%2B\,4\,=\,3$

Pour :
$g(1)\,=\,1^2\,-\,4\,\times \,1\,%2B\,6\,=\,1\,-\,4\,%2B\,6\,=\,3$

On trouve bien que $f(1)\,=\,g(1)\,=\,3$ , donc $(1%2C\,3)$ est un point commun aux deux courbes C_f et C_g .

Étant donné que C_f et C_g ont une tangente commune en avec la même pente , les courbes admettent une tangente commune en .

2. L’équation réduite de la tangente en est de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,b$ , où est la pente et $(1%2C\,3)$ est un point par lequel passe la tangente.

Sachant que $m\,=\,-2$ et que la tangente passe par $(1%2C\,3)$ :

$3\,=\,(-2)\,\times \,1\,%2B\,b\,\Rightarrow\,b\,=\,3\,%2B\,2\,=\,5$

Donc, l’équation de la tangente en est :
$y\,=\,-2x\,%2B\,5$

Exercice 43 : calculer la dérivée d’une fonction
1. Calculer f'(x) pour $f(x)\,=\,2019$ et $I\,=\,\mathbb{R}$ .

$f(x)\,=\,2019$ est une constante. Donc, $f'(x)\,=\,0$ .

2. Calculer g'(x) pour $g(x)\,=\,4x\,-\,7$ et $J\,=\,\mathbb{R}$ .

$g(x)\,=\,4x\,-\,7$ est une fonction linéaire. Donc, $g'(x)\,=\,4$ .

—

1. Calculer f'(x) pour $f(x)\,=\,x^4$ et $I\,=\,\mathbb{R}$ .

$f(x)\,=\,x^4\,\Rightarrow\,f'(x)\,=\,4x^3$ .

2. Calculer g'(x) pour $g(x)\,=\,4x^4$ et $J\,=\,\mathbb{R}$ .

$g(x)\,=\,4x^4\,\Rightarrow\,g'(x)\,=\,16x^3$ .

—

1. Calculer f'(x) pour $f(x)\,=\,(2x\,-\,1)(x\,%2B\,3)$ et $I\,=\,\mathbb{R}$ .

Développons d’abord f(x) :
$f(x)\,=\,(2x\,-\,1)(x\,%2B\,3)\,=\,2x^2\,%2B\,6x\,-\,x\,-\,3\,=\,2x^2\,%2B\,5x\,-\,3$

Maintenant, calculons la dérivée:
$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(2x^2\,%2B\,5x\,-\,3)\,=\,4x\,%2B\,5$

2. Calculer g'(x) pour $g(x)\,=\,(x^2\,-\,x\,%2B\,2)(2x^3\,-\,4)$ et $J\,=\,\mathbb{R}$ .

Utilisons la règle du produit pour calculer g'(x) :
$g(x)\,=\,(x^2\,-\,x\,%2B\,2)(2x^3\,-\,4)$
$g'(x)\,=\,(x^2\,-\,x\,%2B\,2)\,\frac{d}{dx}(2x^3\,-\,4)\,%2B\,(2x^3\,-\,4)\,\frac{d}{dx}(x^2\,-\,x\,%2B\,2)$
$=\,(x^2\,-\,x\,%2B\,2)(6x^2)\,%2B\,(2x^3\,-\,4)(2x\,-\,1)$
$=\,6x^2(x^2\,-\,x\,%2B\,2)\,%2B\,(2x^3\,-\,4)(2x\,-\,1)$
$=\,6x^4\,-\,6x^3\,%2B\,12x^2\,%2B\,4x^4\,-\,2x^3\,-\,8x\,%2B\,4$
$=\,10x^4\,-\,8x^3\,%2B\,12x^2\,-\,8x\,%2B\,4$

—

1. Calculer f'(x) pour $f(x)\,=\,2x^2\,-\,3x\,%2B\,1$ et $I\,=\,\mathbb{R}$ .

$f(x)\,=\,2x^2\,-\,3x\,%2B\,1\,\Rightarrow\,f'(x)\,=\,4x\,-\,3$

2. Calculer g'(x) pour $g(x)\,=\,x^3\,%2B\,4x^2\,%2B\,5x\,-\,6$ et $J\,=\,\mathbb{R}$ .

$g(x)\,=\,x^3\,%2B\,4x^2\,%2B\,5x\,-\,6\,\Rightarrow\,g'(x)\,=\,3x^2\,%2B\,8x\,%2B\,5$

—

1. Calculer f'(x) pour $f(x)\,=\,\frac{1}{4}x^4\,-\,\frac{1}{3}x^3\,%2B\,\frac{1}{2}x^2\,-\,10$ et $I\,=\,\mathbb{R}$ .

$f(x)\,=\,\frac{1}{4}x^4\,-\,\frac{1}{3}x^3\,%2B\,\frac{1}{2}x^2\,-\,10$
$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(\frac{1}{4}x^4\,-\,\frac{1}{3}x^3\,%2B\,\frac{1}{2}x^2\,-\,10)$
$=\,x^3\,-\,x^2\,%2B\,x$

2. Calculer g'(x) pour $g(x)\,=\,\sqrt{x}\,%2B\,\frac{1}{x}$ et $J\,=\,%5D0%3B\,%2B\infty%5B$ .

$g(x)\,=\,\sqrt{x}\,%2B\,\frac{1}{x}\,=\,x^{1%2F2}\,%2B\,x^{-1}$
$g'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(x^{1%2F2}\,%2B\,x^{-1})$
$=\,\frac{1}{2}x^{-1%2F2}\,-\,x^{-2}$
$=\,\frac{1}{2\sqrt{x}}\,-\,\frac{1}{x^2}$

Exercice 44 : déterminer la fonction dérivée
1. Calculer f'(x) pour $f(x)\,=\,\sqrt{x^2\,%2B\,1}$ et $I\,=\,%5D0\,%3B\,%2B\infty\,%5B$ .

$f(x)\,=\,\sqrt{x^2\,%2B\,1}$
$u(x)\,=\,x^2\,%2B\,1\,\quad\,et\,\quad\,v(x)\,=\,\sqrt{x}$
$u'(x)\,=\,2x\,\quad\,et\,\quad\,v'(u)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{u}}$
$f'(x)\,=\,v'(u(x))\,\cdot\,u'(x)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{x^2\,%2B\,1}}\,\cdot\,2x\,=\,\frac{x}{\sqrt{x^2\,%2B\,1}}$

2. Calculer g'(x) pour $g(x)\,=\,\frac{1}{x}\,(x^2\,-\,1)$ et $J\,=\,%5D-\infty\,%3B\,0%5B\,\cup\,%5D0\,%3B\,%2B\infty\,%5B$ .

$g(x)\,=\,\frac{1}{x}\,(x^2\,-\,1)\,=\,x\,-\,\frac{1}{x}$
$g'(x)\,=\,1\,-\,(\,-\frac{1}{x^2}\,)\,=\,1\,%2B\,\frac{1}{x^2}$

3. Calculer f'(x) pour $f(x)\,=\,\frac{4}{2x\,-\,3}$ et $I\,=\,%5D-\infty\,%3B\,\frac{3}{2}%5B\,\cup\,%5D\frac{3}{2}\,%3B\,%2B\infty\,%5B$ .

$f(x)\,=\,\frac{4}{2x\,-\,3}\,=\,4(2x\,-\,3)^{-1}$
$f'(x)\,=\,4\,\cdot\,(-1)\,\cdot\,(2x\,-\,3)^{-2}\,\cdot\,2\,=\,-\frac{8}{(2x\,-\,3)^2}$

4. Calculer g'(x) pour $g(x)\,=\,\frac{2}{1\,-\,4x}$ et $J\,=\,%5D-\infty\,%3B\,\frac{1}{4}%5B\,\cup\,%5D\frac{1}{4}\,%3B\,%2B\infty\,%5B$ .

$g(x)\,=\,\frac{2}{1\,-\,4x}\,=\,2(1\,-\,4x)^{-1}$
$g'(x)\,=\,2\,\cdot\,(-1)\,\cdot\,(1\,-\,4x)^{-2}\,\cdot\,(-4)\,=\,\frac{8}{(1\,-\,4x)^{2}}$

5. Calculer f'(x) pour $f(x)\,=\,\frac{-2}{x^2\,%2B\,x\,%2B\,1}$ et $I\,=\,\mathbb{R}$ .

$f(x)\,=\,\frac{-2}{x^2\,%2B\,x\,%2B\,1}\,=\,-2(x^2\,%2B\,x\,%2B\,1)^{-1}$
$f'(x)\,=\,-2\,\cdot\,(-1)\,\cdot\,(x^2\,%2B\,x\,%2B\,1)^{-2}\,\cdot\,(2x\,%2B\,1)\,=\,\frac{2(2x\,%2B\,1)}{(x^2\,%2B\,x\,%2B\,1)^2}$

6. Calculer g'(x) pour $g(x)\,=\,\frac{-3}{x^4\,%2B\,1}$ et $J\,=\,\mathbb{R}$ .

$g(x)\,=\,\frac{-3}{x^4\,%2B\,1}\,=\,-3(x^4\,%2B\,1)^{-1}$
$g'(x)\,=\,-3\,\cdot\,(-1)\,\cdot\,(x^4\,%2B\,1)^{-2}\,\cdot\,4x^3\,=\,\frac{12x^3}{(x^4\,%2B\,1)^2}$

7. Calculer f'(x) pour $f(x)\,=\,\frac{5x\,-\,1}{x^2\,-\,2}$ et $I\,=\,%5D-\infty\,%3B\,-\sqrt{2}%5B\cup\,%5D-\sqrt{2}\,%3B\,%2B\infty\,%5B$ .

$f(x)\,=\,\frac{5x\,-\,1}{x^2\,-\,2}$
$f'(x)\,=\,\frac{(x^2\,-\,2)(5)\,-\,(5x\,-\,1)(2x)}{(x^2\,-\,2)^2}\,=\,\frac{5x^2\,-\,10\,-\,10x^2\,%2B\,2x}{(x^2\,-\,2)^2}\,=\,\frac{-5x^2\,%2B\,2x\,-\,10}{(x^2\,-\,2)^2}$

8. Calculer g'(x) pour $g(x)\,=\,\frac{-3}{1\,%2B\,4x}$ et $J\,=\,%5D-\infty\,%3B\,-\frac{1}{4}%5B\cup\,%5D-\frac{1}{4}\,%3B\,%2B\infty\,%5B$ .

$g(x)\,=\,\frac{-3}{1\,%2B\,4x}\,=\,-3(1\,%2B\,4x)^{-1}$
$g'(x)\,=\,-3\,\cdot\,(-1)\,\cdot\,(1\,%2B\,4x)^{-2}\,\cdot\,4\,=\,\frac{12}{(1\,%2B\,4x)^2}$