Angles orientés et trigonométrie : corrigés des exercices de maths en 1ère.

Exercice 11 : donner la mesure des angles orientés
Soit l’ensemble des points \(\{A, B, C, D, E\}\) avec leurs affixes respectives :

– \(A: \dfrac{\pi}{4}\)
– \(B: \dfrac{2\pi}{3}\)
– \(C: \dfrac{5\pi}{6}\)
– \(D: -\dfrac{3\pi}{4}\)
– \(E: -\dfrac{\pi}{4}\)

La mesure d’un angle orienté \((\vec{u}, \vec{v})\) est donnée par \(\arg(v) – \arg(u)\) modulo \(2\pi\).

1) Mesure de l’angle orienté \((\vec{OI}, \vec{OA})\) :

\[
\arg(A) – \arg(O) = \dfrac{\pi}{4} – 0 = \dfrac{\pi}{4}
\]

2) Mesure de l’angle orienté \((\vec{OA}, \vec{OB})\) :

\[
\arg(B) – \arg(A) = \dfrac{2\pi}{3} – \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{8\pi}{12} – \dfrac{3\pi}{12} = \dfrac{5\pi}{12}
\]

3) Mesure de l’angle orienté \((\vec{OC}, \vec{OA})\) :

\[
\arg(A) – \arg(C) = \dfrac{\pi}{4} – \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{12} – \dfrac{10\pi}{12} = -\dfrac{7\pi}{12}
\]

4) Mesure de l’angle orienté \((\vec{OD}, \vec{OB})\) :

\[
\arg(B) – \arg(D) = \dfrac{2\pi}{3} – (-\dfrac{3\pi}{4}) = \dfrac{8\pi}{12} + \dfrac{9\pi}{12} = \dfrac{17\pi}{12}
\]

5) Mesure de l’angle orienté \((\vec{OC}, \vec{OE})\) :

\[
\arg(E) – \arg(C) = -\dfrac{\pi}{4} – \dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{3\pi}{12} – \dfrac{10\pi}{12} = -\dfrac{13\pi}{12}
\]

6) Mesure de l’angle orienté \((\vec{OE}, \vec{OD})\) :

\[
\arg(D) – \arg(E) = -\dfrac{3\pi}{4} – (-\dfrac{\pi}{4}) = -\dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{2\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{2}
\]

Exercice 12 : angles orientés dans un carré

\( ( \vec{OA}, \vec{OB} ) \)

Comme \(ABCD\) est un carré et \(O\) en est le centre, \(\vec{OA}\) et \(\vec{OB}\) sont des vecteurs perpendiculaires. Donc, l’angle entre eux est 90° dans le sens antihoraire.

\[\boxed{90^\circ}\]

\( ( \vec{OA}, \vec{OC} ) \)

\(\vec{OC}\) est le vecteur opposé de \(\vec{OA}\). Ainsi, l’angle entre eux est 180°.

\[\boxed{180^\circ}\]

\( ( \vec{OB}, \vec{OA} ) \)

L’angle orienté \( ( \vec{OB}, \vec{OA} ) \) est l’opposé de \( ( \vec{OA}, \vec{OB} ) \), donc il est de -90°.

\[\boxed{-90^\circ}\]

\( ( \vec{AO}, \vec{AD} ) \)

\( \vec{AO} \) et \( \vec{AD} \) ont la même direction (après translation d’ \(OA\) par \(AO\)), donc l’angle entre eux est 0°.

\(\boxed{0^\circ}\)

\( ( \vec{CB}, \vec{CD} ) \)

Dans un carré, les vecteurs formant les côtés adjacents sont perpendiculaires. Donc, l’angle orienté est de \(90^\circ\).

\[\boxed{90^\circ}\]

\( ( \vec{CA}, \vec{CB} ) \)

L’angle orienté entre ces deux vecteurs est aussi \(90^\circ\) car \(CA\) et \(CB\) sont perpendiculaires dans un carré. Toutefois, comme l’angle se mesure dans le sens inverse (antihoraire), il est \(-90^\circ\).

\[\boxed{-90^\circ}\]

Exercice 13 : mesure principale d’un angle orienté²
\[
\begin{array}{l}
\text{1) } -\frac{7\pi}{5} \\
\text{Pour trouver la mesure principale, on ajoute ou soustrait des multiples de } 2\pi \text{ jusqu’à ce que l’angle soit compris dans l’intervalle } ]-\pi, \pi]. \\
-\frac{7\pi}{5} + 2\pi = -\frac{7\pi}{5} + \frac{10\pi}{5} = \frac{3\pi}{5}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\text{2) } 18\pi \\
\text{Pour trouver la mesure principale, on ajoute ou soustrait des multiples de } 2\pi : \\
18\pi – 9 \times 2\pi = 18\pi – 18\pi = 0
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\text{3) } \frac{4\pi}{3} \\
\text{Pour trouver la mesure principale, on soustrait des multiples de } 2\pi : \\
\frac{4\pi}{3} – 2\pi = \frac{4\pi}{3} – \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\text{4) } \frac{7\pi}{10} \\
\text{L’angle } \frac{7\pi}{10} \text{ est déjà dans l’intervalle } ]-\pi, \pi] \\
\text{La mesure principale est donc } \frac{7\pi}{10}.
\end{array}
\]

Exercice 14 : mesure principale d’un angle
1) \[\frac{-21\pi}{4}\]

Pour déterminer la mesure principale, on ajoute ou soustrait des multiples de \[2\pi\] jusqu’à obtenir un angle dans l’intervalle \[[-\pi, \pi[\].

\[
\frac{-21\pi}{4} = -\frac{21\pi}{4} + 10\pi = -\frac{21\pi – 40\pi}{4} = \frac{19\pi}{4}
\]

\[
\frac{19\pi}{4} = \frac{19\pi}{4} – 6\pi = \frac{19\pi – 24\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}
\]

La mesure principale de \[\frac{-21\pi}{4}\] est donc \[-\frac{5\pi}{4}\].

2) \[\frac{37\pi}{7}\]

Pour déterminer la mesure principale, on ajoute ou soustrait des multiples de \[2\pi\] jusqu’à obtenir un angle dans l’intervalle \[[-\pi, \pi[\].

\[
\frac{37\pi}{7} = \frac{37\pi}{7} – 10\pi = \frac{37\pi – 70\pi}{7} = -\frac{33\pi}{7}
\]

\[
-\frac{33\pi}{7} + 6\pi = -\frac{33\pi – 42\pi}{7} = \frac{9\pi}{7}
\]

La mesure principale de \[\frac{37\pi}{7}\] est donc \[\frac{9\pi}{7}\].

3) \[\frac{-2\pi}{3}\]

L’angle \[\frac{-2\pi}{3}\] est déjà dans l’intervalle \[[-\pi, \pi[\], donc il n’est pas nécessaire de le modifier.

La mesure principale de \[\frac{-2\pi}{3}\] est donc \[\frac{-2\pi}{3}\].

4) \[\frac{23\pi}{10}\]

Pour déterminer la mesure principale, on ajoute ou soustrait des multiples de \[2\pi\] jusqu’à obtenir un angle dans l’intervalle \[[-\pi, \pi[\].

\[
\frac{23\pi}{10} = \frac{23\pi}{10} – 2\pi = \frac{23\pi – 20\pi}{10} = \frac{3\pi}{10}
\]

La mesure principale de \[\frac{23\pi}{10}\] est donc \[\frac{3\pi}{10}\].

Exercice 15 : vecteurs et mesure principale d’un angle orienté
Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls tels que :
\[
(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{6}.
\]

Donner la mesure principale des angles orientés suivants :

1) \((-\vec{u}, -\vec{v})\)

L’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est \(\frac{\pi}{6}\). Inverser les deux vecteurs multiplie cet angle par -1 (changement de signe).
\[
(-\vec{u}, -\vec{v}) = (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{6}.
\]
Donc l’angle orienté \((-\vec{u}, -\vec{v})\) est \(\frac{\pi}{6}\).

2) \((\vec{v}, \vec{u})\)

Par symétrie, l’angle entre \(\vec{v}\) et \(\vec{u}\) est l’opposé de l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), donc :
\[
(\vec{v}, \vec{u}) = -(\vec{u}, \vec{v}) = -\frac{\pi}{6}.
\]

3) \((-\vec{v}, -\vec{u})\)

Multiplions par -1 tant \(\vec{v}\) que \(\vec{u}\) :
\[
(-\vec{v}, -\vec{u}) = (\vec{v}, \vec{u}) = -\frac{\pi}{6}.
\]

4) \((-\vec{v}, \vec{u})\)

Changer le signe de \(\vec{v}\) inverse l’angle :
\[
(-\vec{v}, \vec{u}) = -(\vec{v}, \vec{u}) = \frac{\pi}{6}.
\]

Exercice 16 : mesure principale et vecteurs

\((\vec{BA}, \vec{AC})\)

\[
(\vec{AB}, \vec{AC}) = -\frac{\pi}{5}
\]
donc
\[
(\vec{BA}, \vec{AC}) = (\vec{AB}, \vec{AC}) + \pi = -\frac{\pi}{5} + \pi = \frac{4\pi}{5}
\]

\((\vec{AC}, \vec{BA})\)

\[
(\vec{AC}, \vec{AB}) = -(\vec{AB}, \vec{AC}) = \frac{\pi}{5}
\]
donc
\[
(\vec{AC}, \vec{BA}) = (\vec{AC}, \vec{AB}) + \pi = \frac{\pi}{5} + \pi = \frac{6\pi}{5}
\]
La mesure principale étant dans l’intervalle \([- \pi, \pi[\), on a :
\[
(\vec{AC}, \vec{BA}) = \frac{6\pi}{5} – 2\pi = \frac{6\pi}{5} – \frac{10\pi}{5} = – \frac{4\pi}{5}
\]

\((\vec{AC}, \vec{AB})\)

\[
(\vec{AC}, \vec{AB}) = -(\vec{AB}, \vec{AC}) = \frac{\pi}{5}
\]

\((\vec{AB}, \vec{CA})\)

\[
(\vec{CA}, \vec{AB}) =\pi – (\vec{AC}, \vec{AB}) =\pi – \frac{\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}
\]
donc
\[
(\vec{AB}, \vec{CA}) = (\vec{CA}, \vec{AB}) + \pi = \frac{4\pi}{5} + \pi = \frac{9\pi}{5}
\]
La mesure principale étant dans l’intervalle \([- \pi, \pi[\), on a :
\[
(\vec{AB}, \vec{CA}) = \frac{9\pi}{5} – 2\pi = \frac{9\pi}{5} – \frac{10\pi}{5} = – \frac{\pi}{5}
\]

Exercice 17 : démontrer qu’un triangle est rectangle
Soit \( A, B, C \) et \( D \) des points du plan tels que :
\[ ( \vec{AB}, \vec{AC} ) = \frac{\pi}{6} \quad \text{et} \quad ( \vec{AC}, \vec{AD} ) = \frac{\pi}{3} \]

Démontrons que le triangle \( ABD \) est rectangle en \( A \).

—
Pour que \( ABD \) soit un triangle rectangle en \( A \), il faut que les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AD} \) soient orthogonaux, c’est-à-dire :
\[ ( \vec{AB}, \vec{AD} ) = \frac{\pi}{2} \]

Sachant que :
\[ ( \vec{AB}, \vec{AC} ) = \frac{\pi}{6} \]
et
\[ ( \vec{AC}, \vec{AD} ) = \frac{\pi}{3} \]

Nous devons examiner la relation entre les angles. Considérons les angles dans le sens direct. On a :
\[ ( \vec{AB}, \vec{AD} ) = ( \vec{AB}, \vec{AC} ) + ( \vec{AC}, \vec{AD} ) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \]

Ainsi :
\[ ( \vec{AB}, \vec{AD} ) = \frac{\pi}{2} \]

Cela montre que les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AD} \) sont orthogonaux. Donc, le triangle \( ABD \) est rectangle en \( A \).

—

Soit \( A, B, C \) et \( D \) des points tels que :
\[ ( \vec{CB}, \vec{CA} ) = \frac{\pi}{3} \]
\( BCA \) est rectangle en \( B \) et direct (c’est-à-dire \( ( \vec{BC}, \vec{BA} ) = \frac{\pi}{2} \)) et :
\[ ( \vec{AD}, \vec{AB} ) = \frac{5\pi}{6} \]

Montrons que les points \( A, C \) et \( D \) sont alignés.

Pour montrer que les points \( A, C \) et \( D \) sont alignés, il faut que les vecteurs \( \vec{CA} \) et \( \vec{CD} \) soient colinéaires, soit :
\[ ( \vec{CA}, \vec{CD} ) = 0 \quad \text{ou} \quad \pi \]

Mais :
\[ ( \vec{CA}, \vec{AD} ) + ( \vec{AD}, \vec{AB} ) + ( \vec{AB}, \vec{AC} ) = 0 \]
\[ ( \vec{CA}, \vec{AD} ) + \frac{5\pi}{6} + ( \vec{AB}, \vec{AC} ) = 0 \]
\[ ( \vec{CA}, \vec{AD}) + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 0 \]
\[ ( \vec{CA}, \vec{AD}) + \pi = 0 \]
\[ ( \vec{CA}, \vec{AD}) = -\pi = \pi \quad \text{mod}(-1) \]

Ce qui confirme que les vecteurs \( \vec{CA} \) et \( \vec{CD} \) sont colinéaires. Par conséquent, les points \( A, C \) et \( D \) sont alignés.

Exercice 18 : relation de Chasles et somme des angles d’un triangle
1) a) Montrer en utilisant la relation de Chasles que
\[
( \vec{OB}, \vec{OD} ) = \pi – ( \vec{OA}, \vec{OB} ).
\]

On utilise la relation de Chasles:
\[
( \vec{OB}, \vec{OD} ) = ( \vec{OB}, \vec{OA} ) + ( \vec{OA}, \vec{OD} ).
\]

Or, puisque D est le point diamétralement opposé à A, le vecteur \(\vec{OD}\) est opposé au vecteur \(\vec{OA}\), donc
\[
( \vec{OA}, \vec{OD} ) = \pi.
\]

Ainsi,
\[
( \vec{OB}, \vec{OD} ) = ( \vec{OB}, \vec{OA} ) + \pi,
\]

et
\[
( \vec{OB}, \vec{OA} ) = \pi – ( \vec{OA}, \vec{OB} ).
\]

b) Exprimer que la somme des angles du triangle AOB est égale à \(\pi\).

La somme des angles dans un triangle est toujours égale à \(\pi\). Donc, pour le triangle \(AOB\):
\[
( \vec{OA}, \vec{OB} ) + ( \vec{OB}, \vec{OA} ) = \pi.
\]

c) En déduire que
\[
( \vec{OB}, \vec{OD} ) = 2 ( \vec{AB}, \vec{AO} ).
\]

Nous avons montré que
\[
( \vec{OB}, \vec{OD} ) = \pi – ( \vec{OA}, \vec{OB} ) = 2 ( \vec{AB}, \vec{AO} ).
\]

2) On peut montrer de même que :
\[
( \vec{OD}, \vec{OC} ) = 2 ( \vec{AO}, \vec{AC} ).
\]

En déduire que
\[
( \vec{OB}, \vec{OC} ) = 2 ( \vec{AB}, \vec{AC} ).
\]

Nous utilisons la même démarche:
\[
( \vec{OB}, \vec{OD} ) = \pi – ( \vec{OA}, \vec{OB} ),
\]

et de plus,

\[
( \vec{OD}, \vec{OC} ) = 2 ( \vec{AO}, \vec{AC} ).
\]
\[
( \vec{OB}, \vec{OC} ) = 2 ( \vec{AB}, \vec{AC} ).
\]

3) Compléter l’énoncé du théorème :

«L’angle au \({centre}\) est égal au double de l’angle inscrit interceptant le même \({arc}\).»

Exercice 19 : construire des point avec des angles orientés
1. \[\]Construction du point \( C \)\[\] :

Soit le point \( C \) tel que
\[
( \vec{AB}, \vec{AC} ) = \frac{\pi}{4}
\]
et
\[
AB = AC = 4 \text{ cm}.
\]
Pour tracer \( C \), on utilise un compas pour faire un cercle centré en \( A \) avec un rayon de 4 cm. Puis on mesure \(\frac{\pi}{4}\) (\(45^\circ\)) à l’aide d’un rapporteur depuis \( \vec{AB} \).

2. \[\]Construction du point \( D \)\[\] :

Soit \( D \) tel que le triangle \( ACD \) soit équilatéral, donc
\[
CA = CD = AD = 4 \text{ cm}.
\]
et
\[
( \vec{CA}, \vec{CD} ) = -\frac{\pi}{3}.
\]
Pour tracer \( D \), avec le point \( C \) déjà trouvé, on utilise un compas pour tracer un cercle centré en \( C \) de rayon 4 cm. La même procédure est répétée en centrant le compas sur \( A \). Le point d’intersection de ces cercles donne \( D \).

3. \[\]Construction du point \( E \)\[\] :

Soit \( E \) tel que
\[
( \vec{DE}, \vec{DC} ) = \frac{11\pi}{12}
\]
et
\[
DE = 3 \text{ cm}.
\]
Avec le compas, tracez un cercle centré sur \( D \) de rayon 3 cm, puis utilisez le rapporteur pour mesurer l’angle \(\frac{11\pi}{12}\) (\(165^\circ\)) à partir de \(\vec{DC}\).

4. \[\]Démonstration que les droites \((AB)\) et \((DE)\) sont parallèles\[\] :

Pour que les droites soient parallèles,
\[
( \vec{DE}, \vec{AB} ) = 0 \text{ ou } \pi.
\]
On sait que
\[
( \vec{DE}, \vec{DC} ) = \frac{11\pi}{12}
\]
et
\[
( \vec{AB}, \vec{AC} ) = \frac{\pi}{4}.
\]

Étant donné que \( C \) et \( D \) sont construits de sorte que le triangle \( ACD \) soit équilatéral (angles de \( 60^\circ \) ou \(\frac{\pi}{3}\)), on verifie les angles des vecteurs. Ainsi, l’égalité des mesures d’angles entre vecteurs confirme la parallélité, en vérifiant
\[
( \vec{DE}, \vec{AB} ) = ( \frac{11\pi}{12} – \frac{\pi}{3} ) + \frac{\pi}{4} = \pi.
\]

5. \[\]Construction du point \( F \)\[\] :

Soit \( F \) tel que \( A, F \) et \( C \) soient alignés et
\[
( \vec{BF}, \vec{CD} ) = \frac{5\pi}{12}.
\]
Puisque \( A, F \) et \( C \) sont alignés, \( F \) est sur la droite \( AC \). En utilisant un rapporteur et les propriétés d’alignement, mesurez l’angle par rapport à \( \vec{CD} \).

6. \[\]Démonstration que les droites \((AB)\) et \((BF)\) sont perpendiculaires\[\] :

Pour que \((AB)\) et \((BF)\) soient perpendiculaires, il faut
\[
( \vec{AB}, \vec{BF} ) = \frac{\pi}{2}.
\]

À partir de la construction précédente et de l’alignement sur \( A, F \), et \( C \), puis en vérifiant l’angle donné, démontrez que l’angle entre \( \vec{AB} \) et \( \vec{BF} \) est effectivement \( 90^\circ \) ou \(\frac{\pi}{2}\).

Chaque étape de construction et de démonstration devrait être suivie graphiquement sur papier pour validation géométrique.

Exercice 20 : déterminer si il existe un nombre réel
\[\]1) \quad \sin x = -0,8 \quad \text{et} \quad x \in ] -\frac{\pi}{2}, 0 [ \[\]

On cherche la valeur de \( x \) telle que \( \sin x = -0,8 \) dans l’intervalle \( ] -\frac{\pi}{2}, 0 [ \).

Utilisons la fonction \(\sin^{-1}\) (l’arc sinus) :

\[\] x = \sin^{-1}(-0,8) \[\]

Sachant que la fonction \(\sin^{-1}\) retourne une valeur dans l’intervalle \( [ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ] \), et comme nous cherchons \( x \) dans l’intervalle \( ] -\frac{\pi}{2}, 0 [ \), nous obtenons :

\[\] x = -\sin^{-1}(0,8) \[\]

Calculons la valeur :

\[\] x \approx -0,9273 \; \text{rad} \[\]

Donc, la solution est :

\[\] x \approx -0,9273 \[\]

\[\]2) \quad \sin x = 1,2 \quad \text{et} \quad x \in ] 0, \frac{\pi}{2} [ \[\]

La fonction sinus varie entre -1 et 1, donc \(\sin x = 1,2\) n’est pas possible car cela dépasse la plage des valeurs de la fonction sinus.

En conséquence, il n’y a pas de solution pour le deuxième cas.

Exercice 21 : résoudre un système d’inéquations
\[
\begin{cases}
\cos(x) \geq\, \frac{1}{2} \\
\sin(x) \leq\, \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases}
\]

Analysons d’abord l’inéquation \(\cos(x) \geq\, \frac{1}{2}\).

La condition \(\cos(x) \geq\, \frac{1}{2}\) est satisfaite pour :
\[
x \in [-\pi, -\frac{\pi}{3}] \cup [\frac{\pi}{3}, \pi]
\]

Analysons maintenant l’inéquation \(\sin(x) \leq\, \frac{\sqrt{3}}{2}\).

La condition \(\sin(x) \leq\, \frac{\sqrt{3}}{2}\) est satisfaite pour :
\[
x \in [-\pi, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{2\pi}{3}, \pi]
\]

Nous devons maintenant trouver l’intersection de ces deux ensembles de solutions. L’intersection est l’ensemble des valeurs de \(x\) qui satisfont à la fois \(\cos(x) \geq\, \frac{1}{2}\) et \(\sin(x) \leq\, \frac{\sqrt{3}}{2}\).

\[
[-\pi, -\frac{\pi}{3}] \cup [\frac{\pi}{3}, \pi] \cap [-\pi, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{2\pi}{3}, \pi]
\]

En résolvant cela, nous obtenons :
\[
([-\pi, -\frac{\pi}{3}] \cap [-\pi, \frac{\pi}{3}]) \cup ([\frac{\pi}{3}, \pi] \cap [\frac{2\pi}{3}, \pi])
\]

Ce qui donne :
\[
[-\pi, -\frac{\pi}{3}] \cup [\frac{2\pi}{3}, \pi]
\]

Les solutions pour le système d’inéquations sont donc :
\[
x \in [-\pi, -\frac{\pi}{3}] \cup [\frac{2\pi}{3}, \pi]
\]

Exercice 22 : qCM sur la trigonométrie
Correction de l’exercice:

a. \(\widehat{IOM} = 72^\circ\)

En radians:
\[ 72^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5} \]

Donc, \(M\) est le point image de \(\frac{2\pi}{5}\), et non \(\frac{\pi}{5}\).

b. \(\widehat{IOM} = 260^\circ\)

En radians:
\[ 260^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{260\pi}{180} = \frac{13\pi}{9} \]

Donc, \(M\) est le point image de \(\frac{13\pi}{9}\), et non \(\frac{10\pi}{9}\).

c. \(\widehat{IOM} = 126^\circ\)

En radians:
\[ 126^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{126\pi}{180} = \frac{7\pi}{10} \]

Donc, \(M\) est effectivement le point image de \(\frac{7\pi}{10}\).

d. \(\widehat{IOM} = 60^\circ\)

En radians:
\[ 60^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \]

Donc, \(M\) est le point image de \(\frac{\pi}{3}\), et non \(\frac{\pi}{6}\).

Exercice 23 : qCm sur les points images
Pour déterminer quel nombre n’admet pas le même point image que les autres sur le cercle trigonométrique, nous devons réduire ces fractions à leurs valeurs principales modulo \(2\pi\).

1. \( \frac{29\pi}{6} \) :
\[ \frac{29\pi}{6} = 4\pi + \frac{5\pi}{6} \equiv \frac{5\pi}{6} \mod 2\pi \]

2. \( \frac{125\pi}{6} \) :
\[ \frac{125\pi}{6} = 20\pi + \frac{5\pi}{6} \equiv \frac{5\pi}{6} \mod 2\pi \]

3. \( \frac{-31\pi}{6} \) :
\[ \frac{-31\pi}{6} = -6\pi – \frac{5\pi}{6} \equiv -\frac{5\pi}{6} \equiv \frac{7\pi}{6} \mod 2\pi \]

4. \( \frac{-85\pi}{6} \) :
\[ \frac{-85\pi}{6} = -14\pi – \frac{5\pi}{6} \equiv -\frac{5\pi}{6} \equiv \frac{7\pi}{6} \mod 2\pi \]

Les points images de \( \frac{5\pi}{6} \) et \( \frac{7\pi}{6} \) ne sont pas les mêmes sur le cercle trigonométrique.

Ainsi, les numéros a) et b) admettent le même point image, tandis que les numéros c) et d) admettent un point différent.

Conclusion: Le nombre qui n’admet pas le même point image que les autres est \( \boxed{c} \).

Exercice 24 : quelle proposition est vraie ?
On cherche quelle proposition parmi les suivantes est vraie pour \( a = -\frac{\pi}{4} \).

Calculons d’abord \(\sin(a)\) et \(\cos(a)\) en utilisant \( a = -\frac{\pi}{4} \).

\[
\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

\[
\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Maintenant vérifions chaque proposition:

\[\]a)\[\] \(\sin(a) = \sin(\frac{\pi}{4})\)

\[
\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et} \quad \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Cette proposition est fausse puisque \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\[\]b)\[\] \(\sin(a) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\[
\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Cette proposition est fausse puisque \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\[\]c)\[\] \(\cos(a) = -\cos(\frac{\pi}{4})\)

\[
\cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et} \quad -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Cette proposition est fausse puisque \( \frac{\sqrt{2}}{2} \neq -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

\[\]d)\[\] \(\cos(a) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\[
\cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Cette proposition est vraie puisque \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

La proposition correcte est donc la \[\]d\[\].

Exercice 25 : quel est le signe du cosinus et du sinus ?
Pour déterminer le signe du cosinus et du sinus de \(\frac{7\pi}{12}\), identifions d’abord dans quel quadrant se situe cet angle.

1. Convertissons l’angle en degrés pour une meilleure compréhension :
\[
\frac{7\pi}{12} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{7 \times 180^\circ}{12} = 105^\circ
\]

2. Un angle de \(105^\circ\) se situe dans le deuxième quadrant.

Dans le deuxième quadrant:
– Le cosinus est négatif.
– Le sinus est positif.

Par conséquent, la bonne réponse est :
\[
\boxed{c}
\]

Exercice 26 : déterminer un point image
Pour déterminer quelle valeur des quatre options correspond à la position du point \( A \) sur le cercle trigonométrique, nous devons examiner la position sur le cercle:

\( A \) se trouve sur l’axe des abscisses positives. Cela correspond à \( \theta = 0 \) radians, \( \theta = 2\pi \) radians, ou n’importe quel multiple impair de \( \pi \) radians.

\[\]Option a: \( -\frac{5\pi}{6} \)\[\]

Calculons la position de \( -\frac{5\pi}{6} \) sur le cercle trigonométrique:
\[ -\frac{5\pi}{6} \text{ est négatif, nous tournons donc dans le sens horaire de } 5\pi/6. \]
Cela nous amène dans le troisième quadrant (pas sur l’axe des abscisses positives).

\[\]Option b: \( \frac{11\pi}{6} \)\[\]

Calculons la position de \( \frac{11\pi}{6} \):
\[ \frac{11\pi}{6} = 2\pi – \frac{\pi}{6} \]
\[ 2\pi – \frac{\pi}{6} \]
Ce qui est \( 360^\circ – 30^\circ \) ou exactement dans le sens antihoraire à \( \frac{\pi}{6} \) en dessous de 2π, donc cela se situe sur l’axe des abscisses positives.

\[\]Option c: \( \frac{47\pi}{6} \)\[\]

Calculons la position de \( \frac{47\pi}{6} \):
\[ \frac{47\pi}{6} \]
\[ \frac{47\pi}{6} = 2\pi \times 7 + \frac{5\pi}{6} \]
Ce qui est équivalent à tourner sept fois (révolutions complètes) plus \( \frac{5\pi}{6} \) supplémentaires. Cela nous amène dans le premier quadrant (pas sur l’axe des abscisses positives).

\[\]Option d: \( -\frac{\pi}{6} \)\[\]

Calculons la position de \( -\frac{\pi}{6} \):
\[ -\frac{\pi}{6} \text{ est négatif ; nous tournons dans le sens horaire.} \]
Cela amène à l’axe des abscisses négatives.

Le point indiqué \( A \) correspond donc à l’option \( b: \frac{11\pi}{6} \).

La bonne réponse est donc l’option \( b: \frac{11\pi}{6} \).

Exercice 27 : qCm sur les longueurs et les angles

1. \(\sin(-\frac{21\pi}{6})\) est égal à :

On sait que \(\sin\) est une fonction périodique de période \(2\pi\). Donc :
\[
\sin(-\frac{21\pi}{6}) = \sin(-\frac{21\pi}{6} + 4\pi)
\]
Calculons -\(\frac{21\pi}{6} + 4\pi\) :
\[
-\frac{21\pi}{6} + 4\pi = -\frac{21\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}
\]
Donc :
\[
\sin(-\frac{21\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2})
\]
Et on sait que :
\[
\sin(\frac{\pi}{2}) = 1
\]
Par conséquent, la réponse est \(\boxed{c}\).

2. Dans la figure ci-dessous, nous devons déterminer la valeur de \(\angle BCA\), \(\angle BAC\) ou la longueur \(BA\).

Utilisons le théorème de Pythagore pour trouver \(BA\) :
\[
BC^2 + CA^2 = BA^2
\]
\[
2^2 + 4^2 = BA^2
\]
\[
4 + 16 = BA^2
\]
\[
20 = BA^2
\]
\[
BA = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]
Aucune des réponses données ne correspond à \(2\sqrt{5}\). Vérifions s’il y a eu une erreur.

\[
\text{Peut-être une erreur dans l’exercice original.}
\]

Cependant, nous savons que \(\angle BCA\) est l’angle entre le côté où \(C\) est l’angle droit et \(BA\), donc:
\(\angle BCA = 30^{\circ}\).

Donc, les réponses sont \(\boxed{a}\).

Exercice 28 : calculs dans un triangle rectangle
1. Déterminer, en justifiant, la mesure de \(\widehat{BAC}\).

Comme le triangle \(ABC\) est un triangle rectangle isocèle en \(B\), les deux angles \( \widehat{BAC} \) et \( \widehat{BCA} \) sont égaux.
Dans un triangle rectangle, la somme des angles vaut \(90^\circ\).
On a donc:
\[
\widehat{BAC} + \widehat{BCA} = 90^\circ
\]

Comme les angles sont égaux:
\[
2 \cdot \widehat{BAC} = 90^\circ
\]

Ainsi:
\[
\widehat{BAC} = 45^\circ
\]

2. En utilisant les formules de trigonométrie dans le triangle rectangle, déterminer les valeurs exactes de \(\cos(\widehat{BAC})\) et de \(\sin(\widehat{BAC})\).

Pour l’angle \( \widehat{BAC} = 45^\circ \):

\[
\cos(45^\circ) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Donc:
\[
\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Pour \(\sin(45^\circ)\):

\[
\sin(45^\circ) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Donc:
\[
\sin(\widehat{BAC}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

En conclusion:
\[
\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et} \quad \sin(\widehat{BAC}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Exercice 29 : trigonométrie et triangle équilatéral
1. Pour déterminer la mesure de l’angle \( \widehat{ACD} \) dans le triangle équilatéral \( ABC \):

Le triangle \( ABC \) est équilatéral, donc ses trois angles sont égaux à \( 60^\circ \).
La hauteur \( CD \) est perpendiculaire à \( AB \) et elle divise l’angle \(\widehat{ACB}\) en deux angles égaux.

Ainsi, chaque angle formé par la hauteur \( CD \) sera de :
\[ \widehat{ACD} = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ \]

Donc, la mesure de l’angle \( \widehat{ACD} \) est \( 30^\circ \).

2. Pour déterminer les valeurs exactes de \( \cos(\widehat{ACD}) \) et \( \sin(\widehat{ACD}) \) en utilisant les formules de trigonométrie dans le triangle rectangle \( ACD \):

Dans le triangle rectangle \( ACD \), nous connaissons l’angle \( \widehat{ACD} = 30^\circ \).

Utilisons les propriétés des triangles rectangles et les relations trigonométriques pour cet angle :
\[ \cos(30^\circ) \]
\[ \sin(30^\circ) \]

Dans un triangle rectangle de \( 30^\circ \) avec l’hypoténuse égale à \( a \) et l’angle adjacent, nous pouvons écrire :

\[ \cos(30^\circ) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{AD}{AC} \]
\[ \sin(30^\circ) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{CD}{AC} \]

Puisque \( AD = \frac{a}{2} \) (la moitié de \( AB \)) et \( CD = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ \cos(30^\circ) = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2} \]
\[ \sin(30^\circ) = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Les valeurs exactes sont donc :
\[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]

Exercice 30 : déterminer les longueurs et les angles d’un triangle
1. Déterminer la longueur de tous les côtés de ce triangle, arrondie au dixième près.

Le triangle \( EAU \) est rectangle en \( A \). Nous avons \(\angle EAU = 36^\circ\) et \( AU = 5 \) cm.

Nous pouvons utiliser les fonctions trigonométriques pour trouver les longueurs des côtés.

– Pour trouver \( EU \) (l’hypoténuse) :

\[ \cos(36^\circ) = \frac{AU}{EU} \]

\[ EU = \frac{AU}{\cos(36^\circ)} = \frac{5}{\cos(36^\circ)} \approx \frac{5}{0.8090} \approx 6.2 \, \text{cm} \]

– Pour trouver \( AE \) (le côté opposé à l’angle de 36°) :

\[ \sin(36^\circ) = \frac{AE}{EU} \]

\[ AE = EU \times \sin(36^\circ) = 6.2 \times \sin(36^\circ) \approx 6.2 \times 0.5878 \approx 3.6 \, \text{cm} \]

Donc, les longueurs des côtés du triangle sont :
\[ AU \approx 5.0 \, \text{cm} \]
\[ EU \approx 6.2 \, \text{cm} \]
\[ AE \approx 3.6 \, \text{cm} \]

2. Déterminer la mesure de tous les angles de ce triangle en radians arrondie à \(10^{-2}\) près.

Nous connaissons déjà les mesures en degrés :
\[ \angle EAU = 36^\circ \]
\[ \angle AEU = 90^\circ – 36^\circ = 54^\circ \]

Pour convertir les degrés en radians, nous utilisons la relation :
\[ \text{radian} = \text{degré} \times \frac{\pi}{180} \]

– \(\angle EAU \):
\[ 36^\circ \times \frac{\pi}{180} \approx 0.63 \, \text{radian} \]

– \(\angle AEU \):
\[ 54^\circ \times \frac{\pi}{180} \approx 0.94 \, \text{radian} \]

– \(\angle EAU = 90^\circ \):
\[ 90^\circ \times \frac{\pi}{180} \approx 1.57 \, \text{radian} \]

Donc, les mesures des angles en radians sont :
\[ \angle EAU \approx 0.63 \, \text{radian} \]
\[ \angle AEU \approx 0.94 \, \text{radian} \]
\[ \angle EAU \approx 1.57 \, \text{radian} \]

Exercice 31 : quadrants dans un cercle trigonométrique
\[
1. \quad \frac{2\pi}{3}

\]
Pour déterminer dans quel quadrant se trouve \(\frac{2\pi}{3}\), il suffit de noter que \(\frac{2\pi}{3}\) est environ égal à \(2 \times \frac{\pi}{3}\), c’est-à-dire environ \(2.094\) radians, ce qui se situe entre \(\frac{\pi}{2}\) (1er quadrant) et \(\pi\) (2e quadrant). Donc, \(\frac{2\pi}{3}\) se trouve dans le Quadrant 2.

\[
2. \quad \frac{\pi}{8}

\]
Pour \(\frac{\pi}{8}\), nous savons que c’est positif et moins que \(\frac{\pi}{2}\), donc c’est dans le Quadrant 1.

\[
3. \quad \frac{5\pi}{4}

\]
Pour trouver la position de \(\frac{5\pi}{4}\), nous remarquons que \(\frac{5\pi}{4}\) est entre \(\pi\) et \(\frac{3\pi}{2}\). \(\pi\) est à \(180^\circ\) et \(\frac{3\pi}{2}\) est à \(270^\circ\), ce qui place \(\frac{5\pi}{4}\) dans le Quadrant 3.

\[
4. \quad -\frac{2\pi}{3}

\]
\(-\frac{2\pi}{3}\) est l’opposé de \(\frac{2\pi}{3}\). Quand nous parcourons les radians dans le sens horaire au lieu de l’anti-horaire, nous trouvons que \(-\frac{2\pi}{3}\) sera dans le Quadrant 3, car \(\frac{2\pi}{3}\) dans le sens anti-horaire est dans le Quadrant 2.

Exercice 32 : associer des points aux réels donnés
Correction de l’exercice :

1. \(-\frac{4\pi}{3}\)

\[
-\frac{4\pi}{3} = -( \pi + \frac{\pi}{3} ) = -\pi – \frac{\pi}{3}
\]

Étendre de \(\pi\) dans le sens horaire revient à \(I’\), puis de \( -\frac{\pi}{3} \) dans le sens horaire donne : \(K\).
Donc, le point correspondant à \(-\frac{4\pi}{3}\) est \(K\).

2. \(\frac{7\pi}{2}\)

\[
\frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2} = 1.5 \times 2\pi + \frac{\pi}{2}
\]

En faisant une rotation complète (\(2\pi\)) une fois, on revient à \(O\), puis \(1.5\times 2\pi\) nous amène à \(O\) aussi, donc nous restons au même endroit qu’après partie entière du tour. Ensuite à partir de \(O\), nous faisons \(\frac{\pi}{2}\) anti-horaire et cela nous amène à \(E\).
Donc, le point correspondant à \(\frac{7\pi}{2}\) est \(E\).

3. \(-\frac{11\pi}{6}\)

\[
-\frac{11\pi}{6} = -( \frac{12\pi}{6} – \frac{\pi}{6} ) = – 2\pi + \frac{\pi}{6}
\]

En prenant \(-2\pi\) dans le sens horaire, nous complétons une rotation complète et revenons à \(O\). Ensuite, nous prenons \(-\frac{\pi}{6}\) sense horaire à partir de \(O \), et nous arrivons à \(L\).
Donc, le point correspondant à \(-\frac{11\pi}{6}\) est \(L\).

4. \(13\pi\)

\[
13\pi = 6.5 \times 2\pi + \pi = 1 \times 2\pi + \pi
\]

En prenant \(6.5\tours\) nous arrivons à la position parité d’origine après rotation complète à chaque \(2\pi\) qui est à \(O\). Ensuite de \(\pi\) dans le sens anti-horaire nous amène à \(I\).
Donc, le point correspondant à \(13\pi\) est \(I’\).

Exercice 33 : déterminer l’intrus
\[\]
\underline{\text{Liste 1:}} \quad \frac{3\pi}{2}, \; \frac{9\pi}{2}, \; -\frac{\pi}{2}, \; -\frac{5\pi}{2}
\[\]
\[\frac{3\pi}{2}\], \[\frac{9\pi}{2}\], et \[-\frac{5\pi}{2}\] sont tous des multiples de \[\frac{\pi}{2}\]. Cependant, \[- \frac{\pi}{2}\] n’est pas un multiple de \[\frac{3\pi}{2}\].\\
{Intrus: } \[-\frac{\pi}{2}\]

\[\]
\underline{\text{Liste 2:}} \quad \pi, \; \frac{14\pi}{3}, \; -\frac{8\pi}{6}, \; -\frac{10\pi}{3}
\[\]
Simplifions \[-\frac{8\pi}{6}\]:
\[\]-\frac{8\pi}{6} = -\frac{4\pi}{3}\[\]
Les autres termes \[\pi\], \[\frac{14\pi}{3}\], et \[-\frac{10\pi}{3}\] sont soit en forme simplifiée, soit déjà simplifiés.\\
Ainsi, \[-\frac{4\pi}{3}\] est le seul terme simplifié au lieu d’être un multiple exact de \[\pi\].\\
{Intrus: } \[-\frac{4\pi}{3}\]

\[\]
\underline{\text{Liste 3:}} \quad \frac{7\pi}{4}, \; -\frac{\pi}{4}, \; -\frac{9\pi}{4}, \; -\frac{19\pi}{4}
\[\]
Tous les termes sont des multiples de \[\frac{\pi}{4}\]. Cependant, \[\frac{7\pi}{4}\] n’est pas un multiple des autres termes car les autres termes sont négatifs.\\
{Intrus: } \[\frac{7\pi}{4}\]

\[\]
\underline{\text{Liste 4:}} \quad \pi, \; -\pi, \; \pi\sqrt{9}, \; 0
\[\]
Simplifions \[\pi\sqrt{9}\]:
\[\]\pi\sqrt{9} = \pi \times 3 = 3\pi\[\]
Les autres termes sont \[\pi\], \[-\pi\], et \[0\], qui sont tous situés près de zéro sur l’axe des réels.\\
Ainsi, \[3\pi\] est un terme qui diffère significativement des autres.\\
{Intrus: } \[3\pi\]

Exercice 34 : problème de l’horloge Big Ben
1. Entre 12 h et 12 h 20 :
\[
20 \text{ minutes} = \frac{20}{60} \text{ heures} = \frac{1}{3} \text{ heures}
\]
La grande aiguille fait un tour complet en 1 heure, donc en 20 minutes elle fait :
\[
\frac{1}{3} \text{ tour}
\]
Cette distance équivaut à :
\[
\frac{1}{3} \text{ fois la longueur de l’aiguille}
\]

2. Entre 15 h 15 et 16 h 30 :
\[
16 \text{ h } 30 \text{ min} – 15 \text{ h } 15 \text{ min} = 1 \text{ h } 15 \text{ min} = 1 + \frac{15}{60} \text{ heures} = 1 \text{ h } + \frac{1}{4} \text{ h} = 1 \frac{1}{4} \text{ heures}
\]
Cette distance équivaut à :
\[
1 \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \text{ tours}
\]
Donc la distance parcourue par la pointe de la grande aiguille est :
\[
\frac{5}{4} \text{ fois la longueur de l’aiguille}
\]

3. Entre 20 h 30 et 22 h 50 :
\[
22 \text{ h } 50 \text{ min} – 20 \text{ h } 30 \text{ min} = 2 \text{ h } 20 \text{ min} = 2 + \frac{20}{60} \text{ heures} = 2 + \frac{1}{3} \text{ heures} = 2 \frac{1}{3} \text{ heures}
\]
Cette distance équivaut à :
\[
2 \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \text{ tours}
\]
Donc la distance parcourue par la pointe de la grande aiguille est :
\[
\frac{7}{3} \text{ fois la longueur de l’aiguille}
\]

4. Entre 14 h 50 et 17 h 22 :
\[
17 \text{ h } 22 \text{ min} – 14 \text{ h } 50 \text{ min} = 2 \text{ h } 32 \text{ min} = 2 + \frac{32}{60} \text{ heures} = 2 \text{ h } + \frac{8}{15} \text{ heures} = 2 \frac{8}{15} \text{ heures}
\]
Cette distance équivaut à :
\[
2 \frac{8}{15} = 2 + \frac{8}{15} = \frac{38}{15} \text{ tours}
\]
Donc la distance parcourue par la pointe de la grande aiguille est :
\[
\frac{38}{15} \text{ fois la longueur de l’aiguille}
\]

Exercice 35 : roue de loterie et trigonométrie
La roue est divisée en 10 secteurs égaux, chaque secteur correspondant à un angle de \(\frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}\).

1. \(\frac{\pi}{2}\):

\[
\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{5} \times (\frac{\pi}{2} : \frac{\pi}{5}) = \frac{\pi}{5} \times \frac{5}{2} = \frac{5\pi}{10} = \frac{5\pi}{10}
\]

L’angle \(\frac{5\pi}{10}\) correspond à \(\frac{1}{2}\) tour de la roue, donc la roue s’arrête sur le secteur 4.

2. \( \frac{19\pi}{10} \):

\[
\frac{19\pi}{10} = 1\times 2\pi + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{9\pi}{10}
\]

Cela équivaut à un tour complet (2π) plus \( \frac{9\pi}{10} \). Chaque secteur correspondant à \( \frac{\pi}{5} \), soit \( 2\times \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{5} = 0.4 tour, donc la roue s’arrête au secteur \mathbf{10}.

3. \(-\frac{5\pi}{4}\):

La roue tourne de manière négative donc dans le sens anti-horaire

\[
-\frac{5\pi}{4} = -\pi – \frac{\pi}{4} = -2\times \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{4}=2x(-\frac{5PI}{4}=-\frac{5}{4}T)
\]

cela equivaut a \( \frac{\pi}{2}+\\frac{\pi}{4} .
\]

cela equivaut à un tour complet -360 dégré.

La roue s’arrête au secteur \tion 4.

4. \(\frac{34\pi}{3}\):

\[
\frac{34\pi}{3} = 11\pi + \frac{\pi}{3}
\]

On divise 11Pi comme un tours complet donc la fraction correspondant à un placements su Complement -8Pi

total placements \frac {\pi{3}

cela equivaut a un tour complet -195

cela equivaut a un tour complet. la roue s’arrete donc a« `

\[
=cela equivalent a un turn complement. donc la roue s arrete sur le secteur 3.
Chaque secteur correspondant a un angle \frac{\pi}{5} .). , ` donc ca retourne au circuit de base de la divison de 10x qui corresponds<< \frac 2PI

<math)=>sections divisés *\ {(\) }}/10)}

Exercice 36 : démontrer une égalité avec tan et cos
La tangente d’un réel \( x \) est définie par
\[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]
pour toutes les valeurs de \( x \in \mathcal{D_T} \) où \( \cos(x) \neq 0 \).

Nous voulons montrer que pour tous les réels \( x \in \mathcal{D_T} \), on a :
\[ \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} – 1 \]

Démonstration :

Nous savons que :
\[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

En élevant les deux côtés au carré, nous obtenons :
\[ \tan^2(x) = ( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} )^2 \]
\[ \tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \]

Nous pouvons utiliser l’identité trigonométrique fondamentale :
\[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \]

En résolvant pour \(\sin^2(x)\), nous obtenons :
\[ \sin^2(x) = 1 – \cos^2(x) \]

En substituant cette expression de \(\sin^2(x)\) dans notre équation précédente, nous avons :
\[ \tan^2(x) = \frac{1 – \cos^2(x)}{\cos^2(x)} \]

En séparant les termes de l’équation, nous obtenons :
\[ \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} – \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \]
\[ \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} – 1 \]

Donc, nous avons montré que :
\[ \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} – 1 \]

Ce qui conclut notre démonstration.

Exercice 37 : vérifier si une égalité est vraie
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\alpha = \frac{3\pi}{2}, \, \beta = -\frac{\pi}{4} \alpha = \frac{2\pi}{3}, \, \beta = \frac{7\pi}{6} \\
\hline
\alpha + \beta \frac{3\pi}{2} – \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} – \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \frac{2\pi}{3} + \frac{7\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} + \frac{7\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \\
\hline
\cos(\alpha + \beta) \cos ( \frac{5\pi}{4} ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cos ( \frac{11\pi}{6} ) = \cos (2\pi – \frac{\pi}{6} ) = \cos ( -\frac{\pi}{6} ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\hline
\cos(\alpha) \cos ( \frac{3\pi}{2} ) = 0 \cos ( \frac{2\pi}{3} ) = -\frac{1}{2} \\
\hline
\cos(\beta) \cos ( -\frac{\pi}{4} ) = \cos ( \frac{\pi}{4} ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos ( \frac{7\pi}{6} ) = \cos ( \pi + \frac{\pi}{6} ) = -\cos ( \frac{\pi}{6} ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\hline
\cos(\alpha) + \cos(\beta) 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1 + \sqrt{3}}{2} \\
\hline
\end{array}
\\

2. La formule de l’énoncé n’est pas vérifiée. En effet, dans le cas \(\alpha = \frac{3\pi}{2}\) et \(\beta = -\frac{\pi}{4}\), on a :
\[\cos(\alpha + \beta) = \cos ( \frac{5\pi}{4} ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
et
\[\cos(\alpha) + \cos(\beta) = 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Ainsi, \(\cos(\alpha + \beta) \neq \cos(\alpha) + \cos(\beta)\).

3. Pour déterminer \(\cos(\alpha + \beta)\), nous utilisons la formule de cosinus de la somme des angles:
\[\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) – \sin(\alpha)\sin(\beta)\]

Exercice 38 : problème de l’office national des forêts
Les données de l’exercice sont les suivantes:
– \(OA = 15 \text{ m}\)
– \(\angle SOA = 45^\circ\)
– \(\angle AOP = 25^\circ\)

Pour calculer la hauteur \( h \) de l’arbre \(SA\), nous pouvons utiliser les relations trigonométriques dans les triangles \(SOA\) et \(OAP\).

### Étape 1 : Calculer \(AP\)

Dans le triangle \( OAP \), nous pouvons utiliser la tangente de l’angle \(\angle AOP\):

\[
\tan(\angle AOP) = \frac{\text{PA}}{\text{OA}}
\]

En réarrangeant cette équation pour résoudre \(PA\):

\[
PA = \text{OA} \cdot \tan(\angle AOP)
\]

Remplaçons les valeurs données:

\[
PA = 15 \cdot \tan(25^\circ)
\]

En utilisant une calculatrice pour trouver \(\tan(25^\circ)\):

\[
\tan(25^\circ) \approx 0.4663
\]

Ainsi,

\[
PA = 15 \cdot 0.4663 \approx 6.9945 \text{ m}
\]

### Étape 2 : Calculer la hauteur totale \(h\) de l’arbre

Dans le triangle \(SOA\), nous pouvons utiliser la tangente de l’angle \(\angle SOA\):

\[
\tan(45^\circ) = \frac{SA}{OA}
\]

Puisque \(\tan(45^\circ) = 1\):

\[
1 = \frac{SA}{15}
\]

Donc,

\[
SA = 15 \text{ m}
\]

Enfin, la hauteur totale de l’arbre \(h\) est égale à \(SA\) car \(PA\) n’affecte pas comme \(A\) se superpose avec \(S\):

\[
h = 15 \text{ m}
\]

Exercice 39 : problème des cratères de la Lune
Pour déterminer la profondeur du cratère, nous allons utiliser la tangente de l’angle formé par les rayons solaires avec la ligne horizontale.

Soit \( h \) la profondeur du cratère que nous cherchons à déterminer et \( d = 29 \) km la distance horizontale entre les points \( C \) et \( D \). L’angle entre les rayons solaires et la ligne horizontale est de \( 4,3^\circ \).

La relation trigonométrique de la tangente dans ce triangle rectangle \( CBD \) est donnée par :

\[
\tan(\theta) = \frac{h}{d}
\]

Où :
– \( \theta = 4,3^\circ \)
– \( d = 29 \) km

Nous avons donc :

\[
\tan(4,3^\circ) = \frac{h}{29}
\]

Pour trouver \( h \), il faut isoler \( h \):

\[
h = 29 \times \tan(4,3^\circ)
\]

En utilisant une calculatrice scientifique ou des tables trigonométriques pour trouver \( \tan(4,3^\circ) \):

\[
\tan(4,3^\circ) \approx 0,0752
\]

Ainsi :

\[
h \approx 29 \times 0,0752
\]

\[
h \approx 2,1828 \text{ km}
\]

En arrondissant au dixième de kilomètre près, nous obtenons :

\[
h \approx 2,2 \text{ km}
\]

La profondeur du cratère est donc d’environ 2,2 kilomètres.

Exercice 40 : loi des sinus et aire d’un triangle
{Correction de l’exercice de mathématiques}

1. Montrer que :
\[
\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{abc}{2S}.
\]
On peut utiliser une hauteur du triangle.

Pour montrer cette relation, considérons la hauteur issue du sommet \( C \) perpendiculaire au côté \( AB \). Notons cette hauteur \( h \).

L’aire \( S \) du triangle \( ABC \) peut être calculée de deux façons différentes en utilisant les bases \( a \), \( b \) et \( c \) :
\[
S = \frac{1}{2} \times a \times \text{hauteur issue de } A = \frac{1}{2} \times a \times h_A,
\]
\[
S = \frac{1}{2} \times b \times \text{hauteur issue de } B = \frac{1}{2} \times b \times h_B,
\]
\[
S = \frac{1}{2} \times c \times \text{hauteur issue de } C = \frac{1}{2} \times c \times h_C.
\]

En utilisant la loi des sinus et exprimant les hauteurs en fonction des angles :
\[
h_A = b \sin(\gamma), \quad h_B = a \sin(\gamma), \quad h_C = a \sin(\beta).
\]

Remplaçons ces hauteurs dans l’expression des aires :
\[
S = \frac{1}{2} \times a \times b \sin(\gamma),
\]
\[
S = \frac{1}{2} \times b \times a \sin(\gamma),
\]
\[
S = \frac{1}{2} \times c \times a \sin(\beta).
\]

Égalons ces expressions :
\[
\frac{1}{2} a b \sin(\gamma) = S \implies a b \sin(\gamma) = 2S,
\]
\[
\frac{1}{2} b a \sin(\gamma) = S \implies b a \sin(\gamma) = 2S,
\]
\[
\frac{1}{2} c a \sin(\beta) = S \implies c a \sin(\beta) = 2S.
\]

En isolant les côtés, nous obtenons :
\[
a = \frac{2S}{b \sin(\gamma)}, \quad b = \frac{2S}{a \sin(\gamma)}, \quad c = \frac{2S}{a \sin(\beta)}.
\]

D’où :
\[
\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{abc}{2S}.
\]

2. On suppose que : \( a = 4 \, \text{cm} \), \( c = 7 \, \text{cm} \) et \( \beta = 50^\circ \). Déterminer une valeur approchée de \( S \).

Utilisons la formule pour l’aire du triangle :
\[
S = \frac{1}{2} a c \sin(\beta).
\]

Calculons en remplaçant les valeurs :
\[
S = \frac{1}{2} \times 4 \times 7 \times \sin(50^\circ).
\]

Simplifions cette expression :
\[
S \approx \frac{1}{2} \times 4 \times 7 \times 0.766 \approx \frac{1}{2} \times 28 \times 0.766 \approx 14 \times 0.766 \approx 10.724.
\]

La valeur approchée de l’aire \( S \) est donc :
\[
S \approx 10.72 \, \text{cm}^2.
\]

Exercice 41 : utilisation des formules de trigonométrie
1. On sait que:
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) – \sin(\alpha)\sin(\beta) \]

En prenant \(\alpha = \beta = x\), on obtient:
\[ \cos(2x) = \cos(x + x) = \cos(x)\cos(x) – \sin(x)\sin(x) \]
\[ \cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]

On peut déduire que:
\[ \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \]

2. Pour déterminer la valeur exacte de \(\cos^2(\frac{\pi}{8})\):
\[ x = \frac{\pi}{8} \]
Alors,
\[ \cos(2x) = \cos(2 \times \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

En utilisant la formule précédente:
\[ \cos^2(\frac{\pi}{8}) = \frac{1 + \cos(\frac{\pi}{4})}{2} \]
\[ \cos^2(\frac{\pi}{8}) = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \]
\[ \cos^2(\frac{\pi}{8}) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \]
\[ \cos^2(\frac{\pi}{8}) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \]
\[ \cos^2(\frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}} \]

3. La valeur exacte de \(\cos(\frac{\pi}{8})\) est:
\[ \cos(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\cos^2(\frac{\pi}{8})} \]
\[ \cos(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \]
\[ \cos(\frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \]

Pour \(\sin(\frac{\pi}{8})\):
On sait que:
\[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \]
\[ \sin^2(\frac{\pi}{8}) = 1 – \cos^2(\frac{\pi}{8}) \]
\[ \sin^2(\frac{\pi}{8}) = 1 – \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \]
\[ \sin^2(\frac{\pi}{8}) = \frac{4 – (2 + \sqrt{2})}{4} \]
\[ \sin^2(\frac{\pi}{8}) = \frac{2 – \sqrt{2}}{4} \]
\[ \sin^2(\frac{\pi}{8}) = \frac{2 – \sqrt{2}}{4} \]

Donc,
\[ \sin(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\frac{2 – \sqrt{2}}{4}} \]
\[ \sin(\frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2 – \sqrt{2}}}{2} \]