Probabilités et variables aléatoires : corrigés des exercices de maths en 1ère.

Exercice 1 : déterminer des événements contraires
1) (X\,>\,5).

2) X est supérieur ou égal à 2 :

L’événement contraire est X\,%3C\,2.

3) (X\,\leq\,\,3) :

L’événement contraire est (X\,>\,3) est inférieur ou égal à 4 :

L’événement contraire est X\,>\,4Exercice 2 : donner l’affirmation contraire
La correction de l’exercice est la suivante :

1) « Tous les élèves de la classe seront admis au bac »
Affirmation\,contraire\,%3A\,\,\exists\,\,au\,moins\,un\,eleve\,de\,la\,classe\,qui\,ne\,sera\,pas\,admis\,au\,bac.

2) « Paul mange tous les jours à la cantine »
Affirmation\,contraire\,%3A\,\,Il\,existe\,au\,moins\,un\,jour\,ou\,Paul\,ne\,mange\,pas\,a\,la\,cantine.

3) « Je ne vais jamais au cinéma le dimanche »
Affirmation\,contraire\,%3A\,\,Il\,existe\,au\,moins\,un\,dimanche\,ou\,je\,vais\,au\,cinema.

4) « Chaque élève de la classe possède un téléphone portable »
Affirmation\,contraire\,%3A\,\,Il\,existe\,au\,moins\,un\,eleve\,de\,la\,classe\,qui\,ne\,possede\,pas\,de\,telephone\,portable.

Exercice 3 : loi de probabilité
Soit X une variable aléatoire définie par la table de probabilités suivante :

\begin{array}{c%7Cccccc}%0D%0Ax_i\,%26\,0\,%26\,1\,%26\,2\,%26\,3\,%26\,4\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ap_i\,%26\,0%2C15\,%26\,0%2C2\,%26\,a\,%26\,0%2C05\,%26\,0%2C35\,\\%0D%0A\end{array}

Pour que cette table définisse correctement une loi de probabilité, il faut que la somme de toutes les probabilités soit égale à 1. Autrement dit,

\sum\,p_i\,=\,1

Ainsi,

0%2C15\,%2B\,0%2C2\,%2B\,a\,%2B\,0%2C05\,%2B\,0%2C35\,=\,1

Nous pouvons désormais résoudre cette équation pour trouver a :

0%2C15\,%2B\,0%2C2\,%2B\,0%2C05\,%2B\,0%2C35\,%2B\,a\,=\,1

0%2C75\,%2B\,a\,=\,1

a\,=\,1\,-\,0%2C75

a\,=\,0%2C25

Ainsi, a doit être égal à 0,25 pour que la table définisse correctement une loi de probabilité.

Exercice 4 : calculer des probabilités
1. Les probabilités données sont :
P(A)\,=\,\frac{2}{7}
P(\overline{A})\,=\,\frac{5}{7}
P(B%7CA)\,=\,\frac{3}{5}
P(\overline{B}%7CA)\,=\,\frac{2}{5}
P(\overline{B}%7C\overline{A})\,=\,\frac{1}{3}

2. Les probabilités manquantes :

On peut déterminer les probabilités restantes en utilisant le fait que la somme des probabilités d’un événement et de son complémentaire vaut 1.

P(B%7C\overline{A})\,=\,1\,-\,P(\overline{B}%7C\overline{A})\,=\,1\,-\,\frac{1}{3}\,=\,\frac{2}{3}

3. Pour déterminer P(B) :

Utilisons la formule de la probabilité totale :

P(B)\,=\,P(B\,\cap\,A)\,%2B\,P(B\,\cap\,\overline{A})

Où :

P(B\,\cap\,A)\,=\,P(B%7CA)\,\cdot\,P(A)\,=\,\frac{3}{5}\,\cdot\,\frac{2}{7}\,=\,\frac{6}{35}

P(B\,\cap\,\overline{A})\,=\,P(B%7C\overline{A})\,\cdot\,P(\overline{A})\,=\,\frac{2}{3}\,\cdot\,\frac{5}{7}\,=\,\frac{10}{21}

Additionnons les deux résultats :

P(B)\,=\,\frac{6}{35}\,%2B\,\frac{10}{21}

Pour additionner ces fractions, utilisons un dénominateur commun qui est 105 :

\frac{6}{35}\,=\,\frac{6\,\times  \,3}{35\,\times  \,3}\,=\,\frac{18}{105}
\frac{10}{21}\,=\,\frac{10\,\times  \,5}{21\,\times  \,5}\,=\,\frac{50}{105}

Donc,

P(B)\,=\,\frac{18}{105}\,%2B\,\frac{50}{105}\,=\,\frac{68}{105}

Par conséquent, la probabilité P(B) est :

P(B)\,=\,\frac{68}{105}

Exercice 5 : calculer la probabilité de AUB
Les solutions demandées se calculent de la façon suivante :

1. Calcul de \mathrm{P}(A\,\cup\,B) :
\mathrm{P}(A\,\cup\,B)\,=\,\mathrm{P}(A)\,%2B\,\mathrm{P}(B)\,-\,\mathrm{P}(A\,\cap\,B)
En remplaçant les valeurs données :
\mathrm{P}(A\,\cup\,B)\,=\,0{%2C}3\,%2B\,0{%2C}6\,-\,0{%2C}2\,=\,0{%2C}7

2. Calcul de \mathrm{P}_B(A) :
\mathrm{P}_B(A)\,=\,\frac{\mathrm{P}(A\,\cap\,B)}{\mathrm{P}(B)}
En remplaçant les valeurs données :
\mathrm{P}_B(A)\,=\,\frac{0{%2C}2}{0{%2C}6}\,=\,\frac{1}{3}

3. Calcul de \mathrm{P}_A(B) :
\mathrm{P}_A(B)\,=\,\frac{\mathrm{P}(A\,\cap\,B)}{\mathrm{P}(A)}
En remplaçant les valeurs données :
\mathrm{P}_A(B)\,=\,\frac{0{%2C}2}{0{%2C}3}\,\approx\,0{%2C}67

Les résultats finaux sont :
\mathrm{P}(A\,\cup\,B)\,=\,0{%2C}7
\mathrm{P}_B(A)\,=\,\frac{1}{3}
\mathrm{P}_A(B)\,\approx\,0{%2C}67

Exercice 6 : des événements indépendants ?
Pour déterminer si les événements A et B sont indépendants, nous devons vérifier si la relation suivante est satisfaite :

P(A\,\cap\,B)\,=\,P(A)\,\cdot\,P(B)

Les probabilités données sont :
P(A)\,=\,\frac{7}{8}
P(B)\,=\,\frac{2}{7}
P(A\,\cap\,B)\,=\,\frac{1}{4}

Calculons d’abord le produit des probabilités P(A) et P(B) :

P(A)\,\cdot\,P(B)\,=\,(\frac{7}{8})\,\cdot\,(\frac{2}{7})\,=\,\frac{7\,\times  \,2}{8\,\times  \,7}\,=\,\frac{14}{56}\,=\,\frac{1}{4}

Nous constatons que :
P(A\,\cap\,B)\,=\,\frac{1}{4}\,=\,P(A)\,\cdot\,P(B)

Ainsi, la relation P(A\,\cap\,B)\,=\,P(A)\,\cdot\,P(B) est vérifiée.

Par conséquent, les événements A et B sont indépendants.

Exercice 7 : calculer deux probabilités
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
A_1 \overline{A_1} \text{Total} \\
\hline
A_2 0,55 0,15 0,7 \\
\hline
\overline{A_2} 0,15 0,15 0,3 \\
\hline
\text{Total} 0,7 0,3 1 \\
\hline
\end{array}

D’après le tableau complété, nous avons :
P_{A_2}(A_1)\,=\,\frac{P(A_1\,\cap\,A_2)}{P(A_2)}\,=\,\frac{0%2C55}{0%2C7}\,\approx\,0%2C7857
et
P_{A_2}(\overline{A_1})\,=\,\frac{P(\overline{A_1}\,\cap\,A_2)}{P(A_2)}\,=\,\frac{0%2C15}{0%2C7}\,\approx\,0%2C2143

Exercice 8 : calculer la probabilité conditionnelle
1. Calculons \mathbb{P}(A\,\cap\,B).

On utilise la formule de la probabilité de l’union de deux événements :

\mathbb{P}(A\,\cup\,B)\,=\,\mathbb{P}(A)\,%2B\,\mathbb{P}(B)\,-\,\mathbb{P}(A\,\cap\,B)

Nous avons \mathbb{P}(A\,\cup\,B)\,=\,0.9, \mathbb{P}(A)\,=\,0.45, et \mathbb{P}(B)\,=\,0.6. En remplaçant ces valeurs, nous obtenons :

0.9\,=\,0.45\,%2B\,0.6\,-\,\mathbb{P}(A\,\cap\,B)

0.9\,=\,1.05\,-\,\mathbb{P}(A\,\cap\,B)

\mathbb{P}(A\,\cap\,B)\,=\,1.05\,-\,0.9

\mathbb{P}(A\,\cap\,B)\,=\,0.15

2. En déduire \mathbb{P}_B(A) et \mathbb{P}_A(B).

La probabilité conditionnelle \mathbb{P}_B(A) est donnée par :

\mathbb{P}_B(A)\,=\,\frac{\mathbb{P}(A\,\cap\,B)}{\mathbb{P}(B)}

Avec \mathbb{P}(A\,\cap\,B)\,=\,0.15 et \mathbb{P}(B)\,=\,0.6, on obtient :

\mathbb{P}_B(A)\,=\,\frac{0.15}{0.6}\,=\,\frac{15}{60}\,=\,\frac{1}{4}\,=\,0.25

Ensuite, la probabilité conditionnelle \mathbb{P}_A(B) est donnée par :

\mathbb{P}_A(B)\,=\,\frac{\mathbb{P}(A\,\cap\,B)}{\mathbb{P}(A)}

Avec \mathbb{P}(A\,\cap\,B)\,=\,0.15 et \mathbb{P}(A)\,=\,0.45, on obtient :

\mathbb{P}_A(B)\,=\,\frac{0.15}{0.45}\,=\,\frac{15}{45}\,=\,\frac{1}{3}\,\approx\,0.33

Exercice 9 : un arbre de probabilités
1. Recopier et compléter l’arbre :

\begin{array}{ccccc}%0D%0A%26\,%26\,B\,%26\,P(A\,\cap\,B)\,=\,0.14\,\\%0D%0A%26\,%26\,0.2\,%26\,P(A\,\cap\,\overline{B})\,=\,0.56\,\\%0D%0AA\,%26\,0.7\,%26\,%26\,\\%0D%0A%26\,%26\,\overline{B}\,%26\,P(\overline{A}\,\cap\,B)\,=\,0.18\,\\%0D%0A%26\,%26\,0.8\,%26\,P(\overline{A}\,\cap\,\overline{B})\,=\,0.12\,\\%0D%0A\overline{A}\,%26\,0.3\,%26\,%26\,\\%0D%0A%26\,%26\,B\,%26\,0.6\,\\%0D%0A%26\,%26\,\overline{B}\,%26\,0.4\,\\%0D%0A\end{array}

Calcul des probabilités :
P(A\,\cap\,B)\,=\,P(A)\,\cdot\,P(B%7CA)\,=\,0.7\,\cdot\,0.2\,=\,0.14
P(A\,\cap\,\overline{B})\,=\,P(A)\,\cdot\,P(\overline{B}%7CA)\,=\,0.7\,\cdot\,0.8\,=\,0.56
P(\overline{A}\,\cap\,B)\,=\,P(\overline{A})\,\cdot\,P(B%7C\overline{A})\,=\,0.3\,\cdot\,0.6\,=\,0.18
P(\overline{A}\,\cap\,\overline{B})\,=\,P(\overline{A})\,\cdot\,P(\overline{B}%7C\overline{A})\,=\,0.3\,\cdot\,0.4\,=\,0.12

2. Calculer P(B) :

P(B)\,=\,P(A\,\cap\,B)\,%2B\,P(\overline{A}\,\cap\,B)
P(B)\,=\,0.14\,%2B\,0.18\,=\,0.32

Exercice 10 : probabilités indépendantes
Les événements A et B de probabilités respectives 0,5 et 0,7 sont indépendants.

1. Calculer \mathbb{P}(A\,\cap\,B).

\mathbb{P}(A\,\cap\,B)\,=\,\mathbb{P}(A)\,\times  \,\mathbb{P}(B)

\mathbb{P}(A\,\cap\,B)\,=\,0{%2C}5\,\times  \,0{%2C}7\,=\,0{%2C}35

2. Calculer \mathbb{P}(\overline{A}\,\cap\,B) de deux manières différentes.

Methode\,1\,%3A\,Utilisation\,de\,la\,formule\,de\,la\,probabilite\,conditionnelle

\mathbb{P}(\overline{A}\,\cap\,B)\,=\,\mathbb{P}(B)\,\times  \,\mathbb{P}(\overline{A}\,\mid\,B)

Puisque A et B sont indépendants, \mathbb{P}(\overline{A}\,\mid\,B)\,=\,\mathbb{P}(\overline{A}).

\mathbb{P}(\overline{A})\,=\,1\,-\,\mathbb{P}(A)

\mathbb{P}(\overline{A})\,=\,1\,-\,0{%2C}5\,=\,0{%2C}5

\mathbb{P}(\overline{A}\,\cap\,B)\,=\,\mathbb{P}(B)\,\times  \,\mathbb{P}(\overline{A})

\mathbb{P}(\overline{A}\,\cap\,B)\,=\,0{%2C}7\,\times  \,0{%2C}5\,=\,0{%2C}35

Methode\,2\,%3A\,Utilisation\,de\,la\,decomposition\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FB%22\,alt=%22B » align= »absmiddle » />

\mathbb{P}(B)\,=\,\mathbb{P}(A\,\cap\,B)\,%2B\,\mathbb{P}(\overline{A}\,\cap\,B)

Nous avons déjà calculé \mathbb{P}(A\,\cap\,B).

\mathbb{P}(B)\,=\,0{%2C}35\,%2B\,\mathbb{P}(\overline{A}\,\cap\,B)

0{%2C}7\,=\,0{%2C}35\,%2B\,\mathbb{P}(\overline{A}\,\cap\,B)

\mathbb{P}(\overline{A}\,\cap\,B)\,=\,0{%2C}7\,-\,0{%2C}35

\mathbb{P}(\overline{A}\,\cap\,B)\,=\,0{%2C}35

Ainsi, dans les deux cas, nous trouvons que \mathbb{P}(\overline{A}\,\cap\,B)\,=\,0{%2C}35.

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