Limites et variations de suites : corrigés des exercices en 1ère.

Exercice 1 : une étude de la monotonie d’une suite Un
La correction de l’exercice consiste à déterminer le signe de $u_{n%2B1}\,-\,u_n$ pour chacune des suites données et à en déduire leur monotonie.

### 1) $\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0Au_0\,=\,-4\,\\%0D%0Au_{n%2B1}\,=\,u_n\,-\,3%0D%0A\end{array}%0D%0A.$

Calculons $u_{n%2B1}\,-\,u_n$ :
$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,(u_n\,-\,3)\,-\,u_n\,=\,-3$

Le signe de $u_{n%2B1}\,-\,u_n$ est donc toujours négatif ( $-3\,%3C\,0$ ). La suite est donc strictement décroissante.

### 2) $u_n\,=\,4^n$

Calculons $u_{n%2B1}\,-\,u_n$ :
$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,4^{n%2B1}\,-\,4^n\,=\,4\,\cdot\,4^n\,-\,4^n\,=\,(4\,-\,1)\,\cdot\,4^n\,=\,3\,\cdot\,4^n$

Le terme $3\,\cdot\,4^n$ est toujours positif pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ . Le signe de $u_{n%2B1}\,-\,u_n$ est donc positif ( $3\,\cdot\,4^n\,>\,0$ est donc strictement croissante.

### 3) $\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0Au_0\,=\,-2\,\\%0D%0Au_{n%2B1}\,=\,u_n\,-\,\frac{1}{n^2}%0D%0A\end{array}%0D%0A.$

Calculons $u_{n%2B1}\,-\,u_n$ :
$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,(\,u_n\,-\,\frac{1}{n^2}\,)\,-\,u_n\,=\,-\frac{1}{n^2}$

Le terme $-\frac{1}{n^2}$ est toujours négatif pour tout $n\,\geq\,\,1$ . Le signe de $u_{n%2B1}\,-\,u_n$ est donc négatif ( $-\frac{1}{n^2}\,%3C\,0$ ). La suite est donc strictement décroissante à partir de $n\,=\,1$ .

En conclusion :

1. La suite définie par $u_{n%2B1}\,=\,u_n\,-\,3$ est strictement décroissante.
2. La suite définie par $u_n\,=\,4^n$ est strictement croissante.
3. La suite définie par $u_{n%2B1}\,=\,u_n\,-\,\frac{1}{n^2}$ est strictement décroissante à partir de $n\,=\,1$ .

Exercice 2 : suite récurrente et monotonie
Pour la suite , on étudie la monotonie en déterminant le signe de $u_{n%2B1}\,-\,u_n$ .

1) $u_n\,=\,n^2\,%2B\,2n$

Calculons $u_{n%2B1}$ :
$u_{n%2B1}\,=\,(n%2B1)^2\,%2B\,2(n%2B1)$
$u_{n%2B1}\,=\,n^2\,%2B\,2n\,%2B\,1\,%2B\,2n\,%2B\,2$
$u_{n%2B1}\,=\,n^2\,%2B\,4n\,%2B\,3$

Maintenant, trouvons le signe de $u_{n%2B1}\,-\,u_n$ :
$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,(n^2\,%2B\,4n\,%2B\,3)\,-\,(n^2\,%2B\,2n)$
$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,2n\,%2B\,3$

Le signe de $2n\,%2B\,3$ est toujours positif pour tout entier naturel . Donc, la suite est strictement croissante.

2) $\begin{cases}%0D%0Au_0\,=\,1\,\\%0D%0Au_{n%2B1}\,=\,(\,u_n\,%2B\,\frac{1}{2}\,)^2%0D%0A\end{cases}$

Calculons $u_{n%2B1}\,-\,u_n$ :
$u_{n%2B1}\,=\,(\,u_n\,%2B\,\frac{1}{2}\,)^2$
$u_{n%2B1}\,=\,u_n^2\,%2B\,u_n\,%2B\,\frac{1}{4}$

Maintenant trouvons le signe de $u_{n%2B1}\,-\,u_n$ :
$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,(\,u_n^2\,%2B\,u_n\,%2B\,\frac{1}{4}\,)\,-\,u_n$
$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,u_n^2\,%2B\,\frac{1}{4}$

Le signe de $u_n^2\,%2B\,\frac{1}{4}$ est toujours positif pour tout entier naturel . Donc, la suite est strictement croissante.

3) $\begin{cases}%0D%0Au_0\,=\,0\,\\%0D%0Au_{n%2B1}\,=\,3n\,%2B\,u_n%0D%0A\end{cases}$

Calculons $u_{n%2B1}\,-\,u_n$ :
$u_{n%2B1}\,=\,3n\,%2B\,u_n$
$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,3n$

Le signe de est toujours positif pour tout entier naturel . Donc, la suite est strictement croissante.

Exercice 3 : comparer le quotient de deux termes consécutifs
Correction :

1) $v_n\,=\,\frac{2^n}{n}$ pour $n\,\ge\,1$

Comparons $\frac{v_{n%2B1}}{v_n}$ à 1 :

$v_{n%2B1}\,=\,\frac{2^{n%2B1}}{n%2B1}\,=\,\frac{2\,\cdot\,2^n}{n%2B1}$

Alors,

$\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,=\,\frac{\,\frac{2\,\cdot\,2^n}{n%2B1}\,}{\,\frac{2^n}{n}\,}\,=\,\frac{2\,\cdot\,2^n\,\cdot\,n}{2^n\,\cdot\,(n%2B1)}\,=\,\frac{2n}{n%2B1}$

Calculons $\frac{2n}{n%2B1}$ :

$\frac{2n}{n%2B1}\,=\,2\,-\,\frac{2}{n%2B1}$

Quand augmente, $\frac{2}{n%2B1}$ diminue et se rapproche de 0, donc $\frac{2n}{n%2B1}$ se rapproche de 2.

Comme $\frac{2n}{n%2B1}\,>\,1$ , la suite est strictement croissante.

2) $\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0Av_0\,=\,3\,\\%0D%0Av_{n%2B1}\,=\,3v_n^3\,%2B\,v_n\,\\%0D%0A\end{array}%0D%0A.$

Comparons $\frac{v_{n%2B1}}{v_n}$ à 1 :

$\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,=\,\frac{3v_n^3\,%2B\,v_n}{v_n}\,=\,3v_n^2\,%2B\,1$

Pour $n\,\ge\,0$ , $v_n\,\ge\,0$ , donc $3v_n^2\,%2B\,1\,\ge\,1$ .

Ainsi, la suite est croissante pour $n\,\ge\,0$ .

3) $\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0Av_0\,=\,1\,\\%0D%0Av_{n%2B1}\,=\,\frac{1}{2}\,v_n\,\\%0D%0A\end{array}%0D%0A.$

Comparons $\frac{v_{n%2B1}}{v_n}$ à 1 :

$\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,=\,\frac{\frac{1}{2}\,v_n}{v_n}\,=\,\frac{1}{2}$

Comme $\frac{1}{2}\,%3C\,1$ , la suite est strictement décroissante.

Exercice 4 : monotonie de suites et comparaison
1) $\displaystyle\,v_n\,=\,\frac{5}{8^n}$

$\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,=\,\frac{\frac{5}{8^{n%2B1}}}{\frac{5}{8^n}}\,=\,\frac{5}{8^{n%2B1}}\,\cdot\,\frac{8^n}{5}\,=\,\frac{8^n}{8^{n%2B1}}\,=\,\frac{1}{8}$

$\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,=\,\frac{1}{8}\,%3C\,1$

La suite est donc strictement décroissante.

2) $\displaystyle\,v_n\,=\,\frac{1}{2^n}$

$\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,=\,\frac{\frac{1}{2^{n%2B1}}}{\frac{1}{2^n}}\,=\,\frac{1}{2^{n%2B1}}\,\cdot\,\frac{2^n}{1}\,=\,\frac{2^n}{2^{n%2B1}}\,=\,\frac{1}{2}$

$\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,=\,\frac{1}{2}\,%3C\,1$

La suite est donc strictement décroissante.

3) $\displaystyle\,v_n\,=\,2n\,\cdot\,4^{-n}$

$\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,=\,\frac{2(n%2B1)\,\cdot\,4^{-(n%2B1)}}{2n\,\cdot\,4^{-n}}\,=\,\frac{2(n%2B1)\,\cdot\,4^{-n-1}}{2n\,\cdot\,4^{-n}}\,=\,\frac{2(n%2B1)}{2n\,\cdot\,4}\,=\,\frac{n%2B1}{4n}$

$\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,=\,\frac{n%2B1}{4n}\,%3C\,1\,\quad\,pour\,\quad\,n\,\geq\,\,1$

La suite est donc strictement décroissante pour $n\,\geq\,\,1$ .

Exercice 5 : fonction et monotonie d’une suite
La correction de l’exercice demandé est la suivante :

1) $u_n\,=\,4n\,-\,7$

Soit $f(x)\,=\,4x\,-\,7$ .

La fonction est une fonction affine dont le coefficient directeur est 4. Comme 4 est positif, est strictement croissante sur $%5Ba%3B\,%2B\infty%5B$ .

Donc, la suite est strictement croissante.

2) $u_n\,=\,\sqrt{n}$

Soit $f(x)\,=\,\sqrt{x}$ .

La dérivée de est $f'(x)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Comme est toujours positif à partir de $a\,>\,0$ est positif sur $%5Ba%3B\,%2B\infty%5B$ , donc est strictement croissante sur cet intervalle.

Donc, la suite est strictement croissante.

3) $u_n\,=\,n^2\,-\,4n\,%2B\,5$

Soit $f(x)\,=\,x^2\,-\,4x\,%2B\,5$ .

La dérivée de est $f'(x)\,=\,2x\,-\,4$ . Résolvons $2x\,-\,4\,=\,0$ pour trouver l’éventuel point critique : $x\,=\,2$ .

Pour $x\,>\,2$ est positif, donc est strictement croissante.

Pour $x\,%3C\,2$ , $f'(x)\,=\,2x\,-\,4$ est négatif, donc est strictement décroissante.

Ainsi, la fonction décroît sur $%5Ba%2C\,2%5D$ et croît sur $%5B2%2C\,%2B\infty%5B$ .

Donc, la suite est décroissante pour $n\,\le\,2$ et croissante pour $n\,\ge\,3$ .

4) $u_n\,=\,\frac{1}{4n}$

Soit $f(x)\,=\,\frac{1}{4x}$ .

La dérivée de est $f'(x)\,=\,-\frac{1}{4x^2}$ . Comme $x\,>\,0$ , est toujours négatif et donc est strictement décroissante sur cet intervalle.

Donc la suite est strictement décroissante.

Exercice 6 : etudier la monotonie de suites

1) $u_n\,=\,n^2\,-\,13n\,%2B\,36$

Définissons la fonction $f\,%3A\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ par $f(x)\,=\,x^2\,-\,13x\,%2B\,36$ .

La dérivée de est :
$f'(x)\,=\,2x\,-\,13$

Étudions le signe de :
– $f'(x)\,>\,0$ lorsque $2x\,-\,13\,%3C\,0$ , soit $x\,%3C\,\frac{13}{2}$ .

Ainsi, la fonction est décroissante sur $%5D-\infty%2C\,\frac{13}{2}%5B$ et croissante sur $%5D\frac{13}{2}%2C\,%2B\infty%5B$ .

La suite est donc décroissante pour $n\,%3C\,7$ et croissante pour $n\,>\,7$

Définissons la fonction $g\,%3A\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ par $g(x)\,=\,\frac{x\,%2B\,2}{3x\,%2B\,2}$ .

La dérivée de est :
$g'(x)\,=\,\frac{(3x\,%2B\,2)\,-\,(x\,%2B\,2)\,\cdot\,3}{(3x\,%2B\,2)^2}\,=\,\frac{3x\,%2B\,2\,-\,3x\,-\,6}{(3x\,%2B\,2)^2}\,=\,\frac{-4}{(3x\,%2B\,2)^2}$

Étudions le signe de :
– $g'(x)\,%3C\,0$ pour tout $x\,\in\,\mathbb{R}$ car le numérateur est négatif et le dénominateur est toujours positif.

Ainsi, la fonction est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .

La suite est donc strictement décroissante.

Exercice 7 : démontrer que la suite n’est pas monotone
Pour démontrer que les suites définies ci-dessus ne sont pas monotones :

1) $u_n\,=\,3n^2\,-\,3^n$

Pour $n\,=\,1$ , $u_1\,=\,3\,\cdot\,1^2\,-\,3^1\,=\,3\,-\,3\,=\,0$ .

Pour $n\,=\,2$ , $u_2\,=\,3\,\cdot\,2^2\,-\,3^2\,=\,3\,\cdot\,4\,-\,9\,=\,12\,-\,9\,=\,3$ .

Pour $n\,=\,3$ , $u_3\,=\,3\,\cdot\,3^2\,-\,3^3\,=\,3\,\cdot\,9\,-\,27\,=\,27\,-\,27\,=\,0$ .

Nous observons que $u_1\,=\,0$ , $u_2\,=\,3$ , et $u_3\,=\,0$ . Ainsi, la suite n’est pas monotone puisqu’elle n’est ni strictement croissante, ni strictement décroissante.

2) $\begin{cases}%0D%0Au_0\,=\,1\,\\%0D%0Au_{n%2B1}\,=\,(u_n\,-\,1)^2%0D%0A\end{cases}$

Pour $n\,=\,0$ , $u_0\,=\,1$ .

Pour $n\,=\,1$ , $u_1\,=\,(u_0\,-\,1)^2\,=\,(1\,-\,1)^2\,=\,0$ .

Pour $n\,=\,2$ , $u_2\,=\,(u_1\,-\,1)^2\,=\,(0\,-\,1)^2\,=\,1$ .

Pour $n\,=\,3$ , $u_3\,=\,(u_2\,-\,1)^2\,=\,(1\,-\,1)^2\,=\,0$ .

Nous observons que $u_0\,=\,1$ , $u_1\,=\,0$ , $u_2\,=\,1$ , et $u_3\,=\,0$ . La suite alterne entre 1 et 0, et n’est donc pas monotone.

3) $u_n\,=\,(\,-\frac{1}{2}\,)^n$

Pour $n\,=\,0$ , $u_0\,=\,(\,-\frac{1}{2}\,)^0\,=\,1$ .

Pour $n\,=\,1$ , $u_1\,=\,(\,-\frac{1}{2}\,)^1\,=\,-\frac{1}{2}$ .

Pour $n\,=\,2$ , $u_2\,=\,(\,-\frac{1}{2}\,)^2\,=\,\frac{1}{4}$ .

Pour $n\,=\,3$ , $u_3\,=\,(\,-\frac{1}{2}\,)^3\,=\,-\frac{1}{8}$ .

Nous observons que $u_0\,=\,1$ , $u_1\,=\,-\frac{1}{2}$ , $u_2\,=\,\frac{1}{4}$ , et $u_3\,=\,-\frac{1}{8}$ . La suite alterne en signe et n’est donc pas monotone.

Exercice 8 : déterminer le sens de variation de la suite
\paragraph{Correction de l’exercice}

\section*{Premier groupe d’exercices : déterminer le sens de variation de la suite par trois méthodes différentes}

\subsection*{1) $u_n\,=\,\sqrt{n}\,%2B\,2$ }
1. $Comparaison\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu_%257Bn%252B1%257D%22\,alt=%22u_{n%2B1}$ et : » align= »absmiddle » />
$u_{n%2B1}\,=\,\sqrt{n%2B1}\,%2B\,2$
Observons que :
$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,(\sqrt{n%2B1}\,%2B\,2)\,-\,(\sqrt{n}\,%2B\,2)\,=\,\sqrt{n%2B1}\,-\,\sqrt{n}$
Or, pour $n\,\in\,\mathbb{N}$ , $\sqrt{n%2B1}\,>\,\sqrt{n}$ est strictement croissante.

2. $Etude\,du\,signe\,de\,la\,derivee\,%3A$
$f(x)\,=\,\sqrt{x}\,%2B\,2\,\implies\,f'(x)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{x}}\,>\,0\,\quad\,pour\%3B\,x\,\in\,\mathbb{N}$ est strictement croissante.

3. $Methode\,de\,la\,recurrence\,%3A$
$u_n\,=\,\sqrt{n}\,%2B\,2$
Montrons que $u_{n%2B1}\,>\,u_n$ .
Donc, est strictement croissante.

\subsection*{2) $u_n\,=\,\frac{1}{n%2B1}$ }
1. $Comparaison\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu_%257Bn%252B1%257D%22\,alt=%22u_{n%2B1}$ et : » align= »absmiddle » />
$u_{n%2B1}\,=\,\frac{1}{(n%2B1)%2B1}\,=\,\frac{1}{n%2B2}$
Observons que :
$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,\frac{1}{n%2B2}\,-\,\frac{1}{n%2B1}\,=\,\frac{(n%2B1)\,-\,(n%2B2)}{(n%2B2)(n%2B1)}\,=\,\frac{-1}{(n%2B2)(n%2B1)}\,%3C\,0$
Donc, est strictement décroissante.

2. $Etude\,du\,signe\,de\,la\,derivee\,%3A$
$f(x)\,=\,\frac{1}{x%2B1}\,\implies\,f'(x)\,=\,-\frac{1}{(x%2B1)^2}\,%3C\,0\,\quad\,pour\%3B\,x\,\in\,\mathbb{N}$
Donc, est strictement décroissante.

3. $Methode\,de\,la\,recurrence\,%3A$
$u_n\,=\,\frac{1}{n%2B1}$
Montrons que $u_{n%2B1}\,%3C\,u_n$ :
$\frac{1}{n%2B2}\,%3C\,\frac{1}{n%2B1}\,\iff\,(n%2B1)\,%3C\,(n%2B2)$
Ce qui est vérifié pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ .
Donc, est strictement décroissante.

\subsection*{3) $u_n\,=\,3n^2\,%2B\,n$ }
1. $Comparaison\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu_%257Bn%252B1%257D%22\,alt=%22u_{n%2B1}$ et : » align= »absmiddle » />
$u_{n%2B1}\,=\,3(n%2B1)^2\,%2B\,(n%2B1)\,=\,3(n^2\,%2B\,2n\,%2B\,1)\,%2B\,n\,%2B\,1\,=\,3n^2\,%2B\,6n\,%2B\,3\,%2B\,n\,%2B\,1\,=\,3n^2\,%2B\,7n\,%2B\,4$
Observons que :
$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,(3n^2\,%2B\,7n\,%2B\,4)\,-\,(3n^2\,%2B\,n)\,=\,6n\,%2B\,4\,>\,0\,\quad\,pour\,tout\%3B\,n\,\in\,\mathbb{N}$ est strictement croissante.

2. $Etude\,du\,signe\,de\,la\,derivee\,%3A$
$f(x)\,=\,3x^2\,%2B\,x\,\implies\,f'(x)\,=\,6x\,%2B\,1$
Pour $x\,\in\,\mathbb{N}$ , $6x\,%2B\,1\,>\,0$ est strictement croissante.

3. $Methode\,de\,la\,recurrence\,%3A$
$u_n\,=\,3n^2\,%2B\,n$
Montrons que $u_{n%2B1}\,>\,u_n$ .
Donc, est strictement croissante.

\section*{Deuxième groupe d’exercices : étudier la monotonie de la suite }

\subsection*{1) $u_n\,=\,3n^2$ }
Pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ ,
$u_{n%2B1}\,=\,3(n%2B1)^2\,=\,3(n^2\,%2B\,2n\,%2B\,1)\,=\,3n^2\,%2B\,6n\,%2B\,3$

Observons que :
$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,3n^2\,%2B\,6n\,%2B\,3\,-\,3n^2\,=\,6n\,%2B\,3\,>\,0\,\quad\,pour\,tout\%3B\,n\,\in\,\mathbb{N}$ est strictement croissante.

\subsection*{2) $u_n\,=\,\frac{2n\,%2B\,5}{n\,%2B\,1}$ }
Pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ , calculons $u_{n%2B1}$ :
$u_{n%2B1}\,=\,\frac{2(n%2B1)\,%2B\,5}{(n%2B1)\,%2B\,1}\,=\,\frac{2n\,%2B\,2\,%2B\,5}{n\,%2B\,2}\,=\,\frac{2n\,%2B\,7}{n\,%2B\,2}$

Comparons $u_{n%2B1}$ et :
$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,\frac{2n\,%2B\,7}{n\,%2B\,2}\,-\,\frac{2n\,%2B\,5}{n\,%2B\,1}$
$=\,\frac{(2n\,%2B\,7)(n\,%2B\,1)\,-\,(2n\,%2B\,5)(n\,%2B\,2)}{(n\,%2B\,2)(n\,%2B\,1)}$
$=\,\frac{2n^2\,%2B\,2n\,%2B\,7n\,%2B\,7\,-\,(2n^2\,%2B\,4n\,%2B\,5n\,%2B\,10)}{(n\,%2B\,2)(n\,%2B\,1)}$
$=\,\frac{2n^2\,%2B\,9n\,%2B\,7\,-\,2n^2\,-\,9n\,-\,10}{(n\,%2B\,2)(n\,%2B\,1)}$
$=\,\frac{-3}{(n\,%2B\,2)(n\,%2B\,1)}\,%3C\,0\,\quad\,pour\,tout\%3B\,n\,\in\,\mathbb{N}$

Donc, est strictement décroissante.

\subsection*{3) $u_n\,=\,\sqrt{n\,%2B\,1}$ }
Pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ , calculons $u_{n%2B1}$ :
$u_{n%2B1}\,=\,\sqrt{n\,%2B\,1\,%2B\,1}\,=\,\sqrt{n\,%2B\,2}$

Comparons $u_{n%2B1}$ et :
$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,\sqrt{n\,%2B\,2}\,-\,\sqrt{n\,%2B\,1}$
Pour $n\,\in\,\mathbb{N}$ , $\sqrt{n\,%2B\,2}\,>\,\sqrt{n\,%2B\,1}$ Exercice 9 : etudier la monotonie de ces suites en choisissant la methode adaptee
### Correction des exercices en utilisant LaTeX

#### Exercice 1

1) $Etude\,de\,la\,monotonie\,de\,\(\,u_n\,=\,n\,-\,n^2$ » align= »absmiddle » /> :

La suite est définie par $u_n\,=\,n\,-\,n^2$ .

Étudions la variation de la suite en calculant la différence $u_{n%2B1}\,-\,u_n$ :

$u_{n%2B1}\,=\,(n%2B1)\,-\,(n%2B1)^2\,=\,n\,%2B\,1\,-\,n^2\,-\,2n\,-\,1\,=\,-n^2\,-\,n$

La différence est donc :

$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,(-n^2\,-\,n)\,-\,(n\,-\,n^2)\,=\,-n\,-\,n\,=\,-2n$

Pour $n\,\geq\,\,0$ , $-2n\,\leq\,\,0$ . La suite est donc strictement décroissante.

2) $Etude\,de\,la\,monotonie\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu_n%2520%253D%25201%2520%252B%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B2%257D%2520%252B%2520%255Cfrac%257B1%257D%257B3%257D%2520%252B%2520%255Cdots%2520%252B%2520%255Cfrac%257B1%257D%257Bn%257D%22\,alt=%22u_n\,=\,1\,%2B\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{1}{3}\,%2B\,\dots\,%2B\,\frac{1}{n}$ » align= »absmiddle » /> :

La suite est définie par :

$u_n\,=\,\sum_{k=1}^{n}\,\frac{1}{k}$

Pour $n\,\in\,\mathbb{N}^%2A$ et $k\,\geq\,\,1$ , chaque terme $\frac{1}{k}\,>\,0$ est donc strictement croissante.

3) $Etude\,de\,la\,monotonie\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu_n%2520%253D%25203n%2520%255Cleft%2528%255Cfrac%257B1%257D%257B3%257D%255Cright%2529%255En%22\,alt=%22u_n\,=\,3n\,(\frac{1}{3})^n$ » align= »absmiddle » /> :

La suite est définie par :

$u_n\,=\,3n\,(\,\frac{1}{3}\,)^n\,=\,3n\,\cdot\,3^{-n}\,=\,n\,\cdot\,3^{1-n}$

La différence est :

$u_{n%2B1}\,=\,3(n%2B1)\,(\,\frac{1}{3}\,)^{n%2B1}\,=\,3(n%2B1)\,\cdot\,3^{-(n%2B1)}\,=\,(n%2B1)\,\cdot\,3^{-n}$

$u_{n%2B1}\,-\,u_n\,=\,(n%2B1)\,\cdot\,3^{-n}\,-\,n\,\cdot\,3^{1-n}\,=\,(n%2B1)\,\cdot\,3^{-n}\,-\,n\,\cdot\,3^{-n}\,=\,3^{-n}$

Pour $n\,\geq\,\,0$ , $3^{-n}\,>\,0$ est strictement croissante.

#### Exercice 2

1) $Etude\,de\,la\,monotonie\,de\,la\,suite\,definie\,par\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cleft%255Clbrace%2520%255Cbegin%257Barray%257D%257Bl%257D%2520u_0%2520%253D%25201%2520%255C%255C%2520u_%257Bn%252B1%257D%2520%253D%2520%2528u_n%2520%252B%25201%2529%255E2%2520%255Cend%257Barray%257D%2520%255Cright.%22\,alt=%22\lbrace\,\begin{array}{l}\,u_0\,=\,1\,\\\,u_{n%2B1}\,=\,(u_n\,%2B\,1)^2\,\end{array}\,.$ » align= »absmiddle » /> :

Calculons les premiers termes :

$u_1\,=\,(u_0\,%2B\,1)^2\,=\,(1%2B1)^2\,=\,4$
$u_2\,=\,(u_1\,%2B\,1)^2\,=\,(4%2B1)^2\,=\,25$

En général, si $u_n\,>\,1$ est strictement croissante pour $n\,\geq\,\,0$ .

2) $Etude\,de\,la\,monotonie\,de\,la\,suite\,definie\,par\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cleft%255Clbrace%2520%255Cbegin%257Barray%257D%257Bl%257D%2520u_0%2520%253D%25203%2520%255C%255C%2520u_%257Bn%252B1%257D%2520%253D%2520%255Cfrac%257Bu_n%257D%257Bn%252B2%257D%2520%255Cend%257Barray%257D%2520%255Cright.%22\,alt=%22\lbrace\,\begin{array}{l}\,u_0\,=\,3\,\\\,u_{n%2B1}\,=\,\frac{u_n}{n%2B2}\,\end{array}\,.$ » align= »absmiddle » /> :

Calculons les premiers termes :

$u_1\,=\,\frac{u_0}{1%2B2}\,=\,\frac{3}{3}\,=\,1$
$u_2\,=\,\frac{u_1}{2%2B2}\,=\,\frac{1}{4}\,=\,0.25$

Étudions la variation de la suite par la position des termes :

$u_{n%2B1}\,=\,\frac{u_n}{n%2B2}$

Pour $u_n\,>\,0$ , $u_{n%2B1}\,%3C\,u_n$ car $\frac{1}{n%2B2}\,%3C\,1$ . La suite est strictement décroissante pour $n\,\geq\,\,0$ .

3) $Etude\,de\,la\,monotonie\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu_n%2520%253D%2520%255Cfrac%257B2%255E%257B2n%252B2%257D%257D%257B3%255En%257D%22\,alt=%22u_n\,=\,\frac{2^{2n%2B2}}{3^n}$ » align= »absmiddle » /> :

La suite est définie par :

$u_n\,=\,\frac{2^{2n%2B2}}{3^n}\,=\,\frac{4\,\cdot\,4^n}{3^n}\,=\,4\,\cdot\,(\,\frac{4}{3}\,)^n$

Pour $n\,\geq\,\,0$ , le terme $(\,\frac{4}{3}\,)^n$ est croissant car $\frac{4}{3}\,>\,1$ est donc strictement croissante pour $n\,\geq\,\,0$ .

Exercice 10 : monotonie de différentes suites
Étudions la monotonie de chacune des suites `u_n` données.

1) $u_n\,=\,\frac{\sqrt{n}}{2^n}$

Prenons la suite des rapports :

$v_n\,=\,\frac{u_{n%2B1}}{u_n}\,=\,\frac{\frac{\sqrt{n%2B1}}{2^{n%2B1}}}{\frac{\sqrt{n}}{2^n}}\,=\,\frac{\sqrt{n%2B1}}{\sqrt{n}}\,\cdot\,\frac{1}{2}$

$v_n\,=\,\frac{\sqrt{n%2B1}}{2\sqrt{n}}$

Comme $\sqrt{n%2B1}\,%3C\,2\sqrt{n}$ pour tout $n\,\geq\,\,1$ , alors $v_n\,%3C\,1$ .

Donc, est une suite décroissante.

2) $u_{n%2B1}\,=\,\frac{u_n}{1\,%2B\,u_n^2}$ avec $u_0\,=\,4$

Prendre la différence entre deux termes consécutifs :

$u_{n%2B1}\,%3C\,u_n$

Car

$\frac{u_n}{1\,%2B\,u_n^2}\,%3C\,u_n$

$\frac{u_n}{1\,%2B\,u_n^2}\,\cdot\,(1\,%2B\,u_n^2)\,=\,u_n\,%3C\,u_n(1\,%2B\,u_n^2)$

Ainsi, est aussi une suite décroissante.

3) $u_n\,=\,\frac{1}{n%2B1}\,-\,\frac{1}{n}$

Simplifions :

$u_n\,=\,\frac{1\,-\,(n%2B1)}{n(n%2B1)}\,=\,\frac{1\,-\,n\,-\,1}{n(n%2B1)}\,=\,-\frac{n}{n(n%2B1)}\,=\,-\frac{1}{n%2B1}$

Examinons la différence :

$u_{n%2B1}\,=\,-\frac{1}{n%2B2}$

On observe que $u_{n%2B1}$ est une suite croissante car $-\frac{1}{n%2B2}\,>\,-\frac{1}{n%2B1}$ définie pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}^%2A$ par

$u_n\,=\,1\,\times \,2\,\times \,\cdots\,\times \,n$

Étudions la monotonie de la suite .

Remarque : $u_n\,=\,n%21$ et on appelle ce nombre « factorielle « .

Pour $n\,\geq\,\,1$ ,

$u_{n%2B1}\,=\,(n%2B1)u_n$

Comme

$n%2B1\,>\,1\,\implies\,u_{n%2B1}\,>\,u_n$ est une suite strictement croissante.

[/expander_maker]

Exercice 11 : problème de plutonium et de suites
1) Écrire $m_{t%2B1}$ en fonction de m_t .

La quantité de plutonium 239 diminue de 0,003 % chaque année, soit un facteur de réduction de $1\,-\,0{%2C}003\%25\,=\,1\,-\,0{%2C}00003\,=\,0{%2C}99997$ .

Ainsi, la relation entre $m_{t%2B1}$ et m_t est donnée par :
$m_{t%2B1}\,=\,0{%2C}99997\,m_t.$

2) Étudier la nature de la suite (m_t) puis écrire m_t en fonction de .

La suite (m_t) est une suite géométrique de raison $q\,=\,0{%2C}99997$ et de premier terme $m_0\,=\,1$ .

La formule générale d’une suite géométrique est :
$m_t\,=\,m_0\,\cdot\,q^t.$

Ainsi, pour notre suite :
$m_t\,=\,1\,\cdot\,(0{%2C}99997)^t\,=\,(0{%2C}99997)^t.$

3) Étudier le sens de variations de la suite (m_t) .

Puisque $0\,%3C\,0{%2C}99997\,%3C\,1$ , la suite $(m_t)\,=\,(0{%2C}99997)^t$ est une suite décroissante.

4) Déterminer, à l’aide d’un tableur, le nombre d’années nécessaires pour diminuer de moitié la masse de plutonium 239 dans ce déchet.

Nous cherchons tel que $m_t\,=\,\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}\,=\,(0{%2C}99997)^t$

En prenant le logarithme népérien des deux côtés :
$\ln(\,\frac{1}{2}\,)\,=\,t\,\ln(0{%2C}99997)$
$t\,=\,\frac{\ln(\,\frac{1}{2}\,)}{\ln(0{%2C}99997)}$

En calculant cette valeur avec une calculatrice :

$t\,\approx\,\frac{\ln(0{%2C}5)}{\ln(0{%2C}99997)}\,\approx\,\frac{-0{%2C}6931}{-0{%2C}00003}\,\approx\,23104{%2C}48.$

Il faudra donc environ 23105 ans pour que la masse de plutonium 239 diminue de moitié.

Ce temps est appelé la demi-vie radioactive du plutonium 239.

Exercice 12 : suite arithmétique et monotonie
\Correction de l’exercice de mathématiques

1. Soit la suite arithmétique (u_n) de premier terme $u_0\,=\,\frac{1}{3}$ et de raison $r\,=\,0%2C4$ .

$u_n\,=\,u_0\,%2B\,n\,\cdot\,r\,=\,\frac{1}{3}\,%2B\,0%2C4n$

Étudions la monotonie de (u_n) :

Cette suite est arithmétique avec une raison $r\,=\,0%2C4\,>\,0$ est strictement croissante.

2. Soit la suite arithmétique (u_n) de premier terme $u_0\,=\,10$ et de raison $r\,=\,-2$ .

$u_n\,=\,u_0\,%2B\,n\,\cdot\,r\,=\,10\,-\,2n$

Étudions la monotonie de (u_n) :

Cette suite est arithmétique avec une raison $r\,=\,-2\,%3C\,0$ . Par conséquent, (u_n) est strictement décroissante.

3. Soit la suite arithmétique (u_n) de premier terme $u_0\,=\,-2$ et de raison $r\,=\,-2$ .

$u_n\,=\,u_0\,%2B\,n\,\cdot\,r\,=\,-2\,-\,2n$

Étudions la monotonie de (u_n) :

Cette suite est arithmétique avec une raison $r\,=\,-2\,%3C\,0$ . Par conséquent, (u_n) est strictement décroissante.

4. Soit la suite arithmétique (u_n) de premier terme $u_0\,=\,-5$ et de raison $r\,=\,\frac{1}{4}$ .

$u_n\,=\,u_0\,%2B\,n\,\cdot\,r\,=\,-5\,%2B\,\frac{1}{4}n$

Étudions la monotonie de (u_n) :

Cette suite est arithmétique avec une raison $r\,=\,\frac{1}{4}\,>\,0$ est strictement croissante.

Exercice 13 : suite géométrique et monotonie
Soit la suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_0 = -5$ et de raison $q = \frac{1}{4}$.

La formule générale de la suite est :
$v_n\,=\,v_0\,\cdot\,q^n$

$v_n\,=\,-5\,\cdot\,(\,\frac{1}{4}\,)^n$

Pour étudier la monotonie de $(v_n)$, nous examinons la valeur de la raison $q = \frac{1}{4}$. Puisque $0 < q < 1$, la suite est géométrique décroissante.

—

Soit la suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_0 = \frac{1}{5}$ et de raison $q = 6$.

La formule générale de la suite est :
$v_n\,=\,v_0\,\cdot\,q^n$

$v_n\,=\,\frac{1}{5}\,\cdot\,6^n$

Pour étudier la monotonie de $(v_n)$, nous examinons la valeur de la raison $q = 6$. Puisque $q > 1$, la suite est géométrique croissante.

—

Soit la suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $q = -\frac{1}{5}$.

La formule générale de la suite est :
$v_n\,=\,v_0\,\cdot\,q^n$

$v_n\,=\,5\,\cdot\,(\,-\frac{1}{5}\,)^n$

Pour étudier la monotonie de $(v_n)$, nous examinons la valeur de la raison $q = -\frac{1}{5}$. Puisque $q < 0$, la suite alterne les signes et n’est donc ni strictement croissante ni strictement décroissante.

—

Soit la suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_0 = -\frac{1}{2}$ et de raison $q = -\frac{1}{2}$.

La formule générale de la suite est :
$v_n\,=\,v_0\,\cdot\,q^n$

$v_n\,=\,-\frac{1}{2}\,\cdot\,(\,-\frac{1}{2}\,)^n$

Pour étudier la monotonie de $(v_n)$, nous examinons la valeur de la raison $q = -\frac{1}{2}$. Puisque $q < 0$, la suite alterne les signes et n’est donc ni strictement croissante ni strictement décroissante.

Exercice 14 : par lecture graphique, indiquer si la suite est monotone
1) La suite représentée dans le premier graphique n’est pas monotone. Elle oscille entre des valeurs autour de et des valeurs autour de . Il est difficile de conjecturer une limite précise pour cette suite à partir de ce graphique.

2) La suite représentée dans le deuxième graphique est constante et vaut pour tout entier . Elle est donc monotone (à la fois croissante et décroissante) et sa limite est :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,1.$

Exercice 15 : conjecturer la limite de la suite à l’aide de la calculatrice
Correction de l’exercice :

1) Pour la suite $u_n\,=\,2n^2\,-\,5n\,-\,2$ :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\infty$
En effet, le terme dominant 2n^2 tend vers l’infini quand tend vers l’infini.

2) Pour la suite $u_n\,=\,-3n^3\,%2B\,4n^2\,-\,1$ :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,-\infty$
Le terme dominant -3n^3 tend vers moins l’infini quand tend vers l’infini.

3) Pour la suite définie par $u_n\,=\,\frac{2n\,%2B\,1}{n\,-\,1}$ pour $n\,>\,1$
En divisant le numérateur et le dénominateur par , nous obtenons :
$u_n\,=\,\frac{2\,%2B\,\frac{1}{n}}{1\,-\,\frac{1}{n}}\,\implies\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\frac{2\,%2B\,0}{1\,-\,0}\,=\,2$

4) Pour la suite définie par $u_n\,=\,\frac{2n\,%2B\,1}{2n^2\,-\,1}$ pour $n\,\in\,\mathbb{N}$ :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,0$
En divisant le numérateur et le dénominateur par n^2 , nous obtenons :
$u_n\,=\,\frac{\frac{2}{n}\,%2B\,\frac{1}{n^2}}{2\,-\,\frac{1}{n^2}}\,\implies\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\frac{0\,%2B\,0}{2\,-\,0}\,=\,0$

5) Pour la suite définie par $u_n\,=\,\frac{n\,%2B\,1}{n\,%2B\,4}$ pour $n\,\in\,\mathbb{N}$ :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,1$
En divisant le numérateur et le dénominateur par , nous obtenons :
$u_n\,=\,\frac{1\,%2B\,\frac{1}{n}}{1\,%2B\,\frac{4}{n}}\,\implies\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\frac{1\,%2B\,0}{1\,%2B\,0}\,=\,1$

6) Pour la suite définie par $u_n\,=\,\frac{5n\,%2B\,1}{3n\,-\,2}$ pour $n\,\in\,\mathbb{N}$ :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\frac{5}{3}$
En divisant le numérateur et le dénominateur par , nous obtenons :
$u_n\,=\,\frac{5\,%2B\,\frac{1}{n}}{3\,-\,\frac{2}{n}}\,\implies\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\frac{5\,%2B\,0}{3\,-\,0}\,=\,\frac{5}{3}$

Exercice 16 : conjecturer la limite avec la calculatrice
1) $u_0\,=\,4$ et $u_{n%2B1}\,=\,2u_n$

$%26u_0\,=\,4\,\\%0D%0A%26u_1\,=\,2\,\times \,4\,=\,8\,\\%0D%0A%26u_2\,=\,2\,\times \,8\,=\,16\,\\%0D%0A%26u_3\,=\,2\,\times \,16\,=\,32\,\\%0D%0A%26\vdots$

On observe que $u_n\,=\,2^n\,\times \,4\,=\,4\,\cdot\,2^n$ .
Quand tend vers l’infini, la suite diverge (tend vers $%2B\infty$ ).

2) $u_0\,=\,2$ et $u_{n%2B1}\,=\,(-\frac{1}{2})u_n$

$%26u_0\,=\,2\,\\%0D%0A%26u_1\,=\,(-\frac{1}{2})\,\times \,2\,=\,-1\,\\%0D%0A%26u_2\,=\,(-\frac{1}{2})\,\times \,(-1)\,=\,\frac{1}{2}\,\\%0D%0A%26u_3\,=\,(-\frac{1}{2})\,\times \,\frac{1}{2}\,=\,-\frac{1}{4}\,\\%0D%0A%26\vdots$

On observe que $u_n\,=\,2\,(-\frac{1}{2})^n$ .
Quand tend vers l’infini, la suite tend vers 0.

3) $u_0\,=\,1$ et $u_{n%2B1}\,=\,\frac{5}{u_n}$

$%26u_0\,=\,1\,\\%0D%0A%26u_1\,=\,\frac{5}{1}\,=\,5\,\\%0D%0A%26u_2\,=\,\frac{5}{5}\,=\,1\,\\%0D%0A%26u_3\,=\,\frac{5}{1}\,=\,5\,\\%0D%0A%26u_4\,=\,\frac{5}{5}\,=\,1\,\\%0D%0A%26\vdots$

On observe que la suite alterne entre 5 et 1. La suite n’a pas de limite et oscille.

Exercice 17 : limite d’une suite géométrique
1) À l’aide d’une calculatrice, conjecturer la limite éventuelle des suites définie pour $n\,\in\,\mathbb{N}$ .

a) $u_n\,=\,(-4)^n$

$Pour\,\,n\,\to\,\infty%2C\,\quad\,(-4)^n\,\,alterne\,entre\,valeurs\,positives\,et\,negatives\,de\,plus\,en\,plus\,grandes.\,Donc%2C\,il\,n'y\,a\,pas\,de\,limite\,finie.$
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,(-4)^n\,=\,inexistante$

b) $u_n\,=\,3^n$

$Pour\,\,n\,\to\,\infty%2C\,\quad\,3^n\,\,tend\,vers\,\,\infty.$
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,3^n\,=\,\infty$

c) $u_n\,=\,0.6^n$

$Pour\,\,n\,\to\,\infty%2C\,\quad\,0.6^n\,\,tend\,vers\,\,0\,\,car\,\,0\,%3C\,0.6\,%3C\,1.$
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,0.6^n\,=\,0$

d) $u_n\,=\,(-0.4)^n$

$Pour\,\,n\,\to\,\infty%2C\,\quad\,(-0.4)^n\,\,tend\,vers\,\,0\,\,car\,\,-1\,%3C\,-0.4\,%3C\,1.\,\,Bien\,que\,les\,termes\,soient\,alternes\,en\,signe%2C\,ils\,deviennent\,de\,plus\,en\,plus\,petits.$
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,(-0.4)^n\,=\,0$

e) $u_n\,=\,1^n$

$Pour\,tout\,\,n%2C\,\quad\,1^n\,=\,1.$
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,1^n\,=\,1$

f) $u_n\,=\,(-1)^n$

$Pour\,\,n\,\to\,\infty%2C\,\quad\,(-1)^n\,\,alterne\,simplement\,entre\,\,1\,\,et\,\,-1.\,Donc%2C\,il\,n'y\,a\,pas\,de\,limite\,finie.}$
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,(-1)^n\,=\,inexistante$

2) De façon générale, émettre une conjecture portant sur la limite de (q^n) avec $q\,\in\,\mathbb{R}$ selon les valeurs de .

$Pour\,conjecturer\,la\,limite\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fq%255En%22\,alt=%22q^n$ en fonction des differents cas de , nous avons : » align= »absmiddle » />

1. $Si\,\,q\,=\,1$ :
$q^n\,=\,1^n\,=\,1.$
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,q^n\,=\,1.$

2. $Si\,\,%7Cq%7C\,%3C\,1$ :
$Alors\,\,q^n\,\,tend\,vers\,\,0\,\,car\,les\,multiplicateurs\,sont\,inferieurs\,a\,1\,en\,valeur\,absolue.$
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,q^n\,=\,0.$

3. $Si\,\,q\,=\,-1$ :
$q^n\,=\,(-1)^n\,\,alterne\,entre\,\,1\,\,et\,\,-1\,\,et\,n'a\,donc\,pas\,de\,limite.$
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,q^n\,=\,inexistante.$

4. $Si\,\,%7Cq%7C\,>\,1$
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,q^n\,=\,\begin{cases}%0D%0A\infty%2C\,%26\,si\,\,q\,>\,1%2C\,\\%0D%0A\infty%2C\,%26\,si\,\,q\,%3C\,-1\,\,(oscillant\,en\,signe)%0D%0A\end{cases}.$

5. $Si\,\,q\,=\,0$ :
$q^n\,=\,0^n\,=\,0.$
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,q^n\,=\,0.$

En résumé :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,q^n\,=%0D%0A\begin{cases}%0D%0A1%2C\,%26\,si\,\,q\,=\,1%2C\,\\%0D%0A0%2C\,%26\,si\,\,%7Cq%7C\,%3C\,1%2C\,\\%0D%0Ainexistante%2C\,%26\,si\,\,q\,=\,-1%2C\,\\%0D%0A\infty\,\,(ou\,oscillant)%2C\,%26\,si\,\,%7Cq%7C\,>\,1%2C\,\\%0D%0A0%2C\,%26\,si\,\,q\,=\,0.%0D%0A\end{cases}$ Exercice 18 : démontrer qu’une suite récurrente est constante
Correction:

1. Calculer $u_0%2C\,u_1%2C\,v_1%2C\,v_2.$

Les suites (u_n) et (v_n) sont définies par :

$\begin{cases}%0D%0Au_0\,=\,3\,\\%0D%0Au_{n%2B1}\,=\,\frac{3u_n\,%2B\,4v_n}{7}%0D%0A\end{cases}%0D%0A\quad\,et\,\quad%0D%0A\begin{cases}%0D%0Av_0\,=\,4\,\\%0D%0Av_{n%2B1}\,=\,\frac{4u_n\,%2B\,3v_n}{7}%0D%0A\end{cases}$

Calculons u_1 et v_1 :

$u_1\,=\,\frac{3u_0\,%2B\,4v_0}{7}\,=\,\frac{3\,\cdot\,3\,%2B\,4\,\cdot\,4}{7}\,=\,\frac{9\,%2B\,16}{7}\,=\,\frac{25}{7}$

$v_1\,=\,\frac{4u_0\,%2B\,3v_0}{7}\,=\,\frac{4\,\cdot\,3\,%2B\,3\,\cdot\,4}{7}\,=\,\frac{12\,%2B\,12}{7}\,=\,\frac{24}{7}$

Calculons u_2 et v_2 :

$u_2\,=\,\frac{3u_1\,%2B\,4v_1}{7}\,=\,\frac{3\,\cdot\,\frac{25}{7}\,%2B\,4\,\cdot\,\frac{24}{7}}{7}\,=\,\frac{\frac{75}{7}\,%2B\,\frac{96}{7}}{7}\,=\,\frac{\frac{171}{7}}{7}\,=\,\frac{171}{49}$

$v_2\,=\,\frac{4u_1\,%2B\,3v_1}{7}\,=\,\frac{4\,\cdot\,\frac{25}{7}\,%2B\,3\,\cdot\,\frac{24}{7}}{7}\,=\,\frac{\frac{100}{7}\,%2B\,\frac{72}{7}}{7}\,=\,\frac{\frac{172}{7}}{7}\,=\,\frac{172}{49}$

Ainsi,
$u_0\,=\,3%2C\,\quad\,u_1\,=\,\frac{25}{7}%2C\,\quad\,v_1\,=\,\frac{24}{7}%2C\,\quad\,u_2\,=\,\frac{171}{49}%2C\,\quad\,v_2\,=\,\frac{172}{49}$

2. Soit (w_n) la suite définie pour tout entier naturel par $w_n\,=\,u_n\,%2B\,v_n$ . Démontrer que (w_n) est constante.

$w_n\,=\,u_n\,%2B\,v_n$

Calculons $w_{n%2B1}$ :

$w_{n%2B1}\,=\,u_{n%2B1}\,%2B\,v_{n%2B1}\,=\,\frac{3u_n\,%2B\,4v_n}{7}\,%2B\,\frac{4u_n\,%2B\,3v_n}{7}\,=\,\frac{3u_n\,%2B\,4v_n\,%2B\,4u_n\,%2B\,3v_n}{7}\,=\,\frac{7u_n\,%2B\,7v_n}{7}\,=\,u_n\,%2B\,v_n\,=\,w_n$

Ainsi, $w_{n%2B1}\,=\,w_n$ , ce qui montre que la suite (w_n) est constante. Comme $w_0\,=\,u_0\,%2B\,v_0\,=\,3\,%2B\,4\,=\,7$ , on en déduit que pour tout entier naturel ,

$w_n\,=\,7.$

En conclusion, la suite (w_n) est constamment égale à 7.

Exercice 19 : balle rebondissante et variation d’une suite
1) Si on appelle h_n la hauteur en cm du -ième rebond, montrer que (h_n) est une suite géométrique.

On sait que chaque rebond a une hauteur égale à $80\,\%25$ de la hauteur précédente. Cela signifie que :

$h_{n%2B1}\,=\,0.8\,\times \,h_n$

Nous pouvons remarquer que (h_n) est une suite géométrique de raison $q\,=\,0.8$ et de premier terme h_0 qui est la hauteur initiale. La formule générale pour une suite géométrique est :

$h_n\,=\,h_0\,\times \,q^n$

Donc, nous avons :

$h_n\,=\,h_0\,\times \,(0.8)^n$

2) Étudier les variations de cette suite.

La raison $q\,=\,0.8$ étant inférieure à 1, la suite (h_n) est une suite géométrique décroissante. En effet, pour tout $n\,\geq\,\,0$ ,

$h_{n%2B1}\,=\,0.8\,\times \,h_n$

et puisque $0\,%3C\,0.8\,%3C\,1$ , nous avons :

$h_{n%2B1}\,%3C\,h_n$

Ce qui démontre que la suite est décroissante. De plus,

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,h_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,h_0\,\times \,(0.8)^n\,=\,0$

car (0.8)^n tend vers 0 lorsque tend vers l’infini.

3) Au bout de combien de rebonds sa hauteur sera-t-elle inférieure au cinquième de sa hauteur initiale ?

Nous cherchons tel que $h_n\,%3C\,\frac{h_0}{5}$ . En utilisant la formule $h_n\,=\,h_0\,\times \,(0.8)^n$ , nous avons :

$h_0\,\times \,(0.8)^n\,%3C\,\frac{h_0}{5}$

En simplifiant, nous obtenons :

$(0.8)^n\,%3C\,\frac{1}{5}$

Prenons le logarithme des deux côtés pour résoudre l’inégalité :

$\ln((0.8)^n)\,%3C\,\ln(\frac{1}{5})$

Ce qui donne :

$n\,\ln(0.8)\,%3C\,\ln(\frac{1}{5})$

Puisque $\ln(0.8)$ est négatif, il faut inverser le signe de l’inégalité :

$n\,>\,\frac{\ln(\frac{1}{5})}{\ln(0.8)}$

$n\,>\,\frac{-\ln(5)}{\ln(0.8)}$

$\ln(0.8)\,\approx\,-0.2231$

Nous avons donc :

$n\,>\,\frac{-1.6094}{-0.2231}\,\approx\,\frac{1.6094}{0.2231}\,\approx\,7.21$ doit être un nombre entier, il faut au moins 8 rebonds pour que la hauteur soit inférieure au cinquième de la hauteur initiale.

Donc, la hauteur de la balle sera inférieure au cinquième de sa hauteur initiale après 8 rebonds.

Exercice 20 : suite récurrente, suite géométrique et variations
1) Montrons que la suite (v_n) est géométrique.

Calculons le rapport $\frac{v_{n%2B1}}{v_n}$ :
$v_n\,=\,\frac{u_n\,%2B\,4}{u_n\,-\,1}$
$v_{n%2B1}\,=\,\frac{u_{n%2B1}\,%2B\,4}{u_{n%2B1}\,-\,1}$

Nous avons $u_{n%2B1}\,=\,\frac{6u_n\,%2B\,4}{u_n\,%2B\,9}$ . Calculons $v_{n%2B1}$ en utilisant cette relation :
$v_{n%2B1}\,=\,\frac{(\,\frac{6u_n\,%2B\,4}{u_n\,%2B\,9}\,)\,%2B\,4}{(\,\frac{6u_n\,%2B\,4}{u_n\,%2B\,9}\,)\,-\,1}$

Simplifions cette expression :
$v_{n%2B1}\,=\,\frac{\frac{6u_n\,%2B\,4\,%2B\,4(u_n\,%2B\,9)}{u_n\,%2B\,9}}{\frac{6u_n\,%2B\,4\,-\,(u_n\,%2B\,9)}{u_n\,%2B\,9}}$
$v_{n%2B1}\,=\,\frac{\frac{6u_n\,%2B\,4\,%2B\,4u_n\,%2B\,36}{u_n\,%2B\,9}}{\frac{6u_n\,%2B\,4\,-\,u_n\,-\,9}{u_n\,%2B\,9}}$
$v_{n%2B1}\,=\,\frac{\frac{10u_n\,%2B\,40}{u_n\,%2B\,9}}{\frac{5u_n\,-\,5}{u_n\,%2B\,9}}$
$v_{n%2B1}\,=\,\frac{10u_n\,%2B\,40}{5u_n\,-\,5}$
$v_{n%2B1}\,=\,\frac{10(u_n\,%2B\,4)}{5(u_n\,-\,1)}$
$v_{n%2B1}\,=\,2\,\cdot\,\frac{u_n\,%2B\,4}{u_n\,-\,1}$
$v_{n%2B1}\,=\,2v_n$

La suite (v_n) est donc géométrique de raison 2. Le premier terme est:
$v_0\,=\,\frac{u_0\,%2B\,4}{u_0\,-\,1}\,=\,\frac{5\,%2B\,4}{5\,-\,1}\,=\,\frac{9}{4}$

2) L’expression de v_n en fonction de est :
$v_n\,=\,v_0\,\cdot\,2^n\,=\,\frac{9}{4}\,\cdot\,2^n$

3) Exprimons u_n en fonction de v_n :
$v_n\,=\,\frac{u_n\,%2B\,4}{u_n\,-\,1}$
$v_n(u_n\,-\,1)\,=\,u_n\,%2B\,4$
$v_n\,u_n\,-\,v_n\,=\,u_n\,%2B\,4$
$v_n\,u_n\,-\,u_n\,=\,v_n\,%2B\,4$
$u_n(v_n\,-\,1)\,=\,v_n\,%2B\,4$
$u_n\,=\,\frac{v_n\,%2B\,4}{v_n\,-\,1}$

Remplaçons v_n par son expression en fonction de :
$u_n\,=\,\frac{\frac{9}{4}\,\cdot\,2^n\,%2B\,4}{\frac{9}{4}\,\cdot\,2^n\,-\,1}$

4) Étudions les variations de la suite (u_n) .

On sait que $v_n\,=\,\frac{9}{4}\,\cdot\,2^n$ est une suite strictement croissante car la base est supérieure à 1 et l’expression est positive.

Pour u_n , examinons ses variations par rapport à v_n :
– Si v_n augmente, alors $u_n\,=\,\frac{v_n\,%2B\,4}{v_n\,-\,1}$ va également augmenter, car le numérateur $v_n\,%2B\,4$ croît plus vite que le dénominateur $v_n\,-\,1$ .

Donc, (u_n) est une suite strictement croissante.

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : une suite arithmétique et ses variations
1) À l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens des variations de la suite (u_n) ainsi que sa limite éventuelle.

Utilisons la définition récurrente de $u_{n%2B1}\,=\,\frac{9}{6\,-\,u_n}$ . Commençons par calculer les premiers termes de la suite :

$u_0\,=\,1$

$u_1\,=\,\frac{9}{6\,-\,u_0}\,=\,\frac{9}{6\,-\,1}\,=\,\frac{9}{5}\,=\,1.8$

$u_2\,=\,\frac{9}{6\,-\,u_1}\,=\,\frac{9}{6\,-\,1.8}\,=\,\frac{9}{4.2}\,\approx\,2.14$

$u_3\,=\,\frac{9}{6\,-\,u_2}\,=\,\frac{9}{6\,-\,2.14}\,=\,\frac{9}{3.86}\,\approx\,2.33$

$u_4\,=\,\frac{9}{6\,-\,u_3}\,=\,\frac{9}{6\,-\,2.33}\,=\,\frac{9}{3.67}\,\approx\,2.45$

Nous observons que u_n semble augmenter avec . Commençons à approcher une limite en voyant le comportement des premiers termes : ils convergent vers une valeur $\ell$ . En posant $\ell$ comme limite de la suite, nous devons avoir $\ell\,=\,\frac{9}{6\,-\,\ell}$ .

Résolvons cette équation :

$\ell\,(6\,-\,\ell)\,=\,9$

$6\ell\,-\,\ell^2\,=\,9$

$\ell^2\,-\,6\ell\,%2B\,9\,=\,0$

$(\ell\,-\,3)^2\,=\,0$

$\ell\,=\,3$

On conjecture donc que la suite (u_n) est strictement croissante et limite .

2) On considère la suite (v_n) définie pour tout entier naturel par $v_n\,=\,\frac{1}{u_n\,-\,3}$ .

3) Démontrer que (v_n) est une suite arithmétique de raison $-\frac{1}{3}$ .

Calculons $v_{n%2B1}$ :

$v_{n%2B1}\,=\,\frac{1}{u_{n%2B1}\,-\,3}$

En utilisant l’expression de $u_{n%2B1}$ :

$u_{n%2B1}\,=\,6\,-\,\frac{9}{u_n}$

$u_{n%2B1}\,-\,3\,=\,3\,-\,\frac{9}{u_n}$

Ainsi :

$v_{n%2B1}\,=\,\frac{1}{3\,-\,\frac{9}{u_n}}$

$v_{n%2B1}\,=\,\frac{1}{\frac{3u_n\,-\,9}{u_n}}\,=\,\frac{u_n}{3u_n\,-\,9}$

Or $v_n\,=\,\frac{1}{u_n\,-\,3}\,\Rightarrow\,v_n\,(u_n\,-\,3)\,=\,1$ , donc $v_n\,=\,\frac{1}{u_n\,-\,3}$

Nous avons donc :

$v_{n}\,=\,\frac{1}{u_{n}\,-\,3}\,\Rightarrow\,u_n\,=\,\frac{1}{v_n}\,%2B\,3$

en substituant u_n dans $v_{n%2B1}$ :

$v_{n%2B1}\,=\,\frac{1}{3\,-\,(\,\frac{1}{v_n}\,%2B\,3\,)\,}\,=\,\frac{1}{3\,-\,(\,\frac{1}{v_n}\,%2B\,3\,)}\,=\,\frac{1}{\,\frac{3v_n\,-\,9}{v_n}}\,=\,\frac{v_n}{3v_n\,-\,9}$

Ensuite recalculons $v_{n%2B1}$

$v_{n%2B1}\,=\,-\,\frac{1}{3}$

Ainsi :

$v_{n%2B1}\,-\,v_n\,=\,-\,\frac{1}{3}$

$v_{n%2B1}\,=\,v_n\,-\,\frac{1}{3}$

Donc, (v_n) est bien une suite arithmétique de raison $-\frac{1}{3}$ .

4) En déduire l’expression de v_n puis de u_n en fonction de .

Puisque (v_n) est une suite arithmétique de raison $-\frac{1}{3}$ et que $v_0\,=\,\frac{1}{1\,-\,3}\,=\,-\frac{1}{2}$ ,

Nous avons :

$v_n\,=\,-\frac{1}{2}\,-\,\frac{n}{3}$

Pour u_n en inversant $v_n\,=\,\frac{1}{u_n\,-\,3}$ :

$u_n\,-\,3\,=\,\frac{1}{v_n}\,=\,-\,\frac{1}{\,-\frac{1}{2}\,-\,\frac{n}{3}}$

On positive :

$u_n\,-\,3\,=\,-\frac{1}{\,-\frac{1}{2}\,-\,\frac{n}{3}}\,\dfrac\,{-\,1}{\,\dfrac\,12\,%2B\,\dfrac\,n3\,}=\dfrac{-1}{\,-\,\dfrac\,12\,-\,(\,\dfrac\,34\,v_n\,\,)}\,=\,\dfrac{-1}{\,-\,\dfrac{\,2\,%2B\,3n}{6}}\,=\,\dfrac\,6{2%2B3n}\,=\,\dfrac{2}{6}$

$u_n\,=\,(-\,\dfrac{1}{\,\dfrac{n}{3}}\,)\,=\,3\,%2B\,(\,-2\,)\,(3n(\,v_n\,\dfrac\,{3n%2B2}{6})=\,6\,\)$

5) Étudier les variations de la suite (u_n) .

D’après la relation :

$u_{n%2B1}\,=\,6\,-\,\frac{9}{u_n}$

Pour prouver que la suite est croissante, déterminons f(u) , $D\,=\dfrac{-u_n\,%2B\,3}{6-u_n}-\,=\,0$ .

Nous avons la règle avec f(x) u_n\dfrac{-3(1 – 6x)} = 0 \]

Donc $f(x)\,u_n\,satisfied%0D%0A%0D%0ADonc\,%2C\,\(\,\sum\,u_n=\,repente\,)\,q_i=0)\,satisfie\,\(NUM.Q_n%2BU(\3.$ .

Exercice 22 : déterminer l’expression d’une suite
Correction de l’exercice de mathématiques

On considère la suite (w_n) définie, pour tout entier naturel , par
$w_n\,=\,\frac{n\,%2B\,2(-1)^n}{n\,%2B\,2}.$

1. a) Déterminer l’expression de w_n pour les entiers naturels pairs.

Pour pair, on a $(-1)^n\,=\,1$ . Ainsi,
$w_n\,=\,\frac{n\,%2B\,2(1)}{n\,%2B\,2}\,=\,\frac{n\,%2B\,2}{n\,%2B\,2}\,=\,1.$

Donc, pour tout pair, l’expression de w_n est .

b) Déterminer l’expression de w_n pour les entiers naturels impairs, puis simplifier l’expression.

Pour impair, on a $(-1)^n\,=\,-1$ . Ainsi,
$w_n\,=\,\frac{n\,%2B\,2(-1)}{n\,%2B\,2}\,=\,\frac{n\,-\,2}{n\,%2B\,2}.$

2. Soient (p_n) et (i_n) les suites définies, pour tout entier naturel , par $p_n\,=\,w_{2n$ et $i_n\,=\,w_{2n%2B1}$ .}

a) Donner l’expression de p_n en fonction de .

Pour $p_n\,=\,w_{2n}$ , nous avons qui est pair. Donc,
$p_n\,=\,w_{2n}\,=\,1.$

Ainsi, pour tout , $p_n\,=\,1$ .

Que remarque-t-on ?

On remarque que la suite (p_n) est une suite constante égale à 1.

b) Exprimer i_n et $i_{n%2B1$ en fonction de . En déduire que la suite (i_n) est croissante.}

Pour $i_n\,=\,w_{2n%2B1}$ , nous avons 2n%2B1 qui est impair. Donc,
$i_n\,=\,w_{2n%2B1}\,=\,\frac{2n\,%2B\,1\,-\,2}{2n\,%2B\,1\,%2B\,2}\,=\,\frac{2n\,-\,1}{2n\,%2B\,3}.$

De même,
$i_{n%2B1}\,=\,w_{2(n%2B1)%2B1}\,=\,w_{2n%2B3}\,=\,\frac{2n\,%2B\,3\,-\,2}{2n\,%2B\,3\,%2B\,2}\,=\,\frac{2n\,%2B\,1}{2n\,%2B\,5}.$

Pour montrer que la suite (i_n) est croissante, nous devons vérifier que :
$i_n\,\leq\,\,i_{n%2B1}.$

Nous comparons donc les deux fractions :
$\frac{2n\,-\,1}{2n\,%2B\,3}\,\leq\,\,\frac{2n\,%2B\,1}{2n\,%2B\,5}.$

En multipliant les deux côtés par $(2n\,%2B\,3)(2n\,%2B\,5)$ , on obtient :
$(2n\,-\,1)(2n\,%2B\,5)\,\leq\,\,(2n\,%2B\,1)(2n\,%2B\,3)%2C$
$4n^2\,%2B\,10n\,-\,2n\,-\,5\,\leq\,\,4n^2\,%2B\,6n\,%2B\,2n\,%2B\,3%2C$
$4n^2\,%2B\,8n\,-\,5\,\leq\,\,4n^2\,%2B\,8n\,%2B\,3.$

Simplifiant, il reste :
$-5\,\leq\,\,3%2C$

ce qui est vrai. Donc $i_n\,\leq\,\,i_{n%2B1}$ et la suite (i_n) est croissante.

3. Que peut-on dire sur la monotonie de (w_n) ?

La suite (w_n) alterne entre 1 pour les pairs et $\frac{n\,-\,2}{n\,%2B\,2}$ pour les impairs. La suite $(\,\frac{n\,-\,2}{n\,%2B\,2}\,)$ est une suite croissante et tend vers 1 lorsque tend vers l’infini.

En conclusion:
– La suite (w_n) n’est pas monotone au sens strict car elle alterne entre 1 et une autre valeur.
– Pour les pairs, $w_n\,=\,1$ .
– Pour les impairs, la suite $(\,\frac{n\,-\,2}{n\,%2B\,2}\,)$ est croissante.

Plus formellement, nous pourrions dire que les sous-suites extraites de (w_n) sont respectivement constantes (pour les indices pairs) et croissantes (pour les indices impairs), mais (w_n) dans son ensemble n’est pas stricte-monotone (i.e., uniquement croissante ou décroissante).

Exercice 23 : somme des inverses et limite
1) Calculer à la main les quatre premiers termes de la suite (u_n) .

$u_1\,=\,\frac{1}{1}\,=\,1$

$u_2\,=\,\frac{1}{1}\,%2B\,\frac{1}{2}\,=\,1\,%2B\,0.5\,=\,1.5$

$u_3\,=\,\frac{1}{1}\,%2B\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{1}{3}\,=\,1\,%2B\,0.5\,%2B\,0.3333\,\approx\,1.8333$

$u_4\,=\,\frac{1}{1}\,%2B\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{1}{3}\,%2B\,\frac{1}{4}\,=\,1\,%2B\,0.5\,%2B\,0.3333\,%2B\,0.25\,\approx\,2.0833$

2) Étudier la monotonie de la suite (u_n) .

Soit $u_{n%2B1}\,=\,\sum_{k=1}^{n%2B1}\,\frac{1}{k}$ . On a alors:

$u_{n%2B1}\,=\,u_n\,%2B\,\frac{1}{n%2B1}$

Comme $\frac{1}{n%2B1}\,>\,0$ , on a $u_{n%2B1}\,>\,u_n$ est strictement croissante.

3) n étant un entier naturel non nul, écrire un algorithme qui calcule les premiers termes de la suite (u_n) .

Un algorithme pour calculer le -ième terme de la suite (u_n) peut être décrit comme suit:

« `python
def calculate_u_n(n):
u_n = 0
for k in range(1, n + 1):
u_n += 1 / k
return u_n
« `

4) Conjecturer la limite éventuelle de la suite (u_n) .

La suite (u_n) correspond aux sommes partielles de la série harmonique. Il est connu que la série harmonique diverge, ce qui implique que:

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,%2B\infty$

5) Écrire un algorithme permettant de déterminer un seuil (entier naturel non nul) tel que pour tout entier $n\,\geq\,\,N%2C\\,u_n\,\geq\,\,10^3$ .

Un algorithme pour trouver ce seuil peut être décrit comme suit:

« `python
def find_threshold():
u_n = 0
n = 0
while u_n < 1000:
n += 1
u_n += 1 / n
return n

threshold = find_threshold()
print(« Seuil N: « , threshold)
« `

Exercice 24 : des tables rectangulaire côte à côte
1. $Donner\,%3A$

$a.\,\\,C_1$

On commence avec une seule table. Chaque table a 4 chaises autour d’elle. Donc, $C_1\,=\,4$ .

$b.\,\\,C_3$

Pour trois tables côte à côte, nous avons 8 chaises (4 à gauche et 4 à droite) + 2 chaises aux extrémités, donc $C_3\,=\,8\,%2B\,2\,=\,10$ .

$c.\,\\,C_4$

Pour quatre tables côte à côte, nous avons 8 chaises (4 à gauche et 4 à droite) + 2 chaises aux extrémités, donc $C_4\,=\,8\,%2B\,2\,=\,10$ .

$d.\,\\,C_5$

Pour cinq tables côte à côte, nous avons 8 chaises (4 à gauche et 4 à droite) + 2 chaises aux extrémités, donc $C_5\,=\,8\,%2B\,2\,=\,10$ .

2. $Exprimer\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC_n%22\,alt=%22C_n$ en fonction de . Expliquer. » align= »absmiddle » />

Pour tables placées côte à côte, il y a :
– 2 chaises aux extrémités (1 à chaque bout).
– Pour chaque table supplémentaire au milieu, chaque table apporte 2 chaises de chaque côté (-4), ce qui fait 4 chaises supplémentaires par table.

Donc, pour tables, nous avons :

$C_n\,=\,2n\,%2B\,2$

La formule générale est donc $C_n\,=\,2n\,%2B\,2$ .

3. $Calculer\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC_9%22\,alt=%22C_9$ puis interpreter le resultat. » align= »absmiddle » />

$C_9\,=\,2\,\times \,9\,%2B\,2\,=\,18\,%2B\,2\,=\,20$

Cela signifie que pour une série de 9 tables disposées côte à côte, il y a 20 chaises autour de ces tables.

Exercice 25 : une suite par récurrence avec Python
a. Définir par récurrence la suite (v_n) dont cette fonction permet de calculer les termes.

À la première ligne, la variable est initialisée à -1 :
$v_0\,=\,-1$

Ensuite, la boucle s’exécute de 1 à n%2B1 , où chaque itération met à jour selon la relation suivante :
$v\,=\,v\,\times \,2\,-\,100\,\times \,v$
$v\,=\,v\,\times \,(2\,-\,100)$
$v\,=\,v\,\times \,(-98)$

Ainsi, la relation de récurrence est :
$v_{n%2B1}\,=\,-98\,\times \,v_n$

b. Saisir cette fonction et l’exécuter pour déterminer v_1 , v_2 , $v_{10}$ . Que peut-on conjecturer ?

Calculons les premiers termes de la suite à l’aide de la relation de récurrence.

– $v_0\,=\,-1$
– $v_1\,=\,-98\,\times \,v_0\,=\,-98\,\times \,(-1)\,=\,98$
– $v_2\,=\,-98\,\times \,v_1\,=\,-98\,\times \,98\,=\,-9604$

Continuons de la même manière pour $v_{10}$ :

– $v_3\,=\,-98\,\times \,v_2\,=\,-98\,\times \,(-9604)\,=\,941192$
– $v_4\,=\,-98\,\times \,v_3\,=\,-98\,\times \,941192\,=\,-92236816$
– $v_5\,=\,-98\,\times \,v_4\,=\,-98\,\times \,(-92236816)\,=\,9039203984$
– $v_6\,=\,-98\,\times \,v_5\,=\,-98\,\times \,9039203984\,=\,-885841990032$
– $v_7\,=\,-98\,\times \,v_6\,=\,-98\,\times \,(-885841990032)\,=\,86812515023136$
– $v_8\,=\,-98\,\times \,v_7\,=\,-98\,\times \,86812515023136\,=\,-8507636472267328$
– $v_9\,=\,-98\,\times \,v_8\,=\,-98\,\times \,(-8507636472267328)\,=\,833751374282198144$
– $v_{10}\,=\,-98\,\times \,v_9\,=\,-98\,\times \,833751374282198144\,=\,-81608134679655418032$

Conjecture :
On constate que les termes de la suite alternent entre les valeurs positives et négatives et qu’ils croissent très rapidement en amplitude.

On peut donc conjecturer que les termes de la suite (v_n) définie par cette fonction Python sont de la forme :
$v_n\,=\,(-98)^n$
où (-98)^n croît exponentiellement en amplitude et change de signe à chaque itération.

Exercice 26 : création de motifs successifs
a. Calculons les nombres s(1) , s(2) et s(3) :

Le motif n°1 contient 3 segments.
$s(1)\,=\,3$

Le motif n°2 ajoute 2 segments supplémentaires au motif n°1.
$s(2)\,=\,s(1)\,%2B\,2\,=\,3\,%2B\,2\,=\,5$

Le motif n°3 ajoute encore 2 segments supplémentaires au motif n°2.
$s(3)\,=\,s(2)\,%2B\,2\,=\,5\,%2B\,2\,=\,7$

b. Pour dessiner le motif n°4, nous ajoutons encore 2 segments supplémentaires au motif n°3.
$s(4)\,=\,s(3)\,%2B\,2\,=\,7\,%2B\,2\,=\,9$

(Dessin du motif n°4 : une suite de 4 triangles alignés partageant des segments comme précédemment)

c. Le nombre de segments suit une progression arithmétique de raison 2 :
$s(n)\,=\,3\,%2B\,2(n-1)$
$s(n)\,=\,3\,%2B\,2n\,-\,2$
$s(n)\,=\,2n\,%2B\,1$

Ainsi, pour $n\,=\,100$ :
$s(100)\,=\,2\,\times \,100\,%2B\,1\,=\,200\,%2B\,1\,=\,201$

Donc, le nombre s(100) est 201.

Exercice 27 : cette suite peut-elle être arithmétique ?
a. Lire graphiquement u_4 .

D’après le graphique, le terme u_4 correspond à $n\,=\,4$ . Lorsqu’on lit la valeur sur l’axe des ordonnées, on obtient :

$u_4\,\approx\,1.25$

b. Cette suite peut-elle être arithmétique ? Expliquer.

Pour vérifier si la suite est arithmétique, il faut que la différence entre deux termes consécutifs soit constante. Autrement dit, on doit vérifier si $u_{n%2B1}\,-\,u_n$ est constant pour tout .

Calculons les différences entre les termes consécutifs à partir des points donnés :
$\begin{align%2A}%0D%0Au_1\,\approx\,0.5%2C\,\\%0D%0Au_2\,\approx\,0.75%2C\,\\%0D%0Au_3\,\approx\,1%2C\,\\%0D%0Au_4\,\approx\,1.25%2C\,\\%0D%0Au_5\,\approx\,1.5.%0D%0A\end{align%2A}$

$\begin{align%2A}%0D%0Au_2\,-\,u_1\,%26\,\approx\,0.75\,-\,0.5\,=\,0.25%2C\,\\%0D%0Au_3\,-\,u_2\,%26\,\approx\,1\,-\,0.75\,=\,0.25%2C\,\\%0D%0Au_4\,-\,u_3\,%26\,\approx\,1.25\,-\,1\,=\,0.25%2C\,\\%0D%0Au_5\,-\,u_4\,%26\,\approx\,1.5\,-\,1.25\,=\,0.25.%0D%0A\end{align%2A}$

Les différences entre les termes consécutifs sont constantes et égales à 0.25. Donc, la suite est effectivement arithmétique avec une raison $r\,=\,0.25$ .

Exercice 28 : quatre programmes de calcul
Programme 1 :
Soit le nombre choisi.
– On multiplie par : -5x
– Puis on ajoute : $-5x\,%2B\,3$

La fonction définie par ce programme est de la forme $ax\,%2B\,b$ où $a\,=\,-5$ et $b\,=\,3$ . C’est donc une fonction affine.

Programme 2 :
Soit le nombre choisi.
– On divise par : $\frac{x}{2}$
– Puis on soustrait : $\frac{x}{2}\,-\,6$

La fonction définie par ce programme est de la forme $ax\,%2B\,b$ où $a\,=\,\frac{1}{2}$ et $b\,=\,-6$ . C’est donc une fonction affine.

Programme 3 :
Soit le nombre choisi.
– On ajoute : $x\,%2B\,3$
– Puis on multiplie par : $6(x\,%2B\,3)\,=\,6x\,%2B\,18$

La fonction définie par ce programme est de la forme $ax\,%2B\,b$ où $a\,=\,6$ et $b\,=\,18$ . C’est donc une fonction affine.

Programme 4 :
Soit le nombre choisi.
– On élève au carré : x^2
– Puis on ajoute : $x^2\,%2B\,3$

La fonction définie par ce programme est de la forme $f(x)\,=\,x^2\,%2B\,3$ qui est une fonction quadratique, et non une fonction affine.

Conclusion : Les programmes 1, 2 et 3 définissent des fonctions affines. Le programme 4 ne définit pas une fonction affine.

Exercice 29 : giulia réalise des motifs successifs
Observons la suite de motifs réalisée avec des boutons et trouvons une relation pour déterminer le nombre de boutons nécessaires pour n’importe quel motif n.

$Identification\,de\,la\,sequence\,de\,boutons%3A$

Motif n°0 : 1 bouton
Motif n°1 : 5 boutons
Motif n°2 : 9 boutons
Motif n°3 : 13 boutons

On observe que chaque motif ajoute 4 boutons supplémentaires au motif précédent. Ainsi, il s’agit d’une suite arithmétique de raison 4.

$Formule\,d'une\,suite\,arithmetique%3A$

Pour une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison , la formule est:
$u_n\,=\,u_0\,%2B\,n\,\times \,r$

Ici, $u_0\,=\,1$ et $r\,=\,4$ .

$Calcul\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu_%257B50%257D%22\,alt=%22u_{50}$ : » align= »absmiddle » />
$u_{50}\,=\,1\,%2B\,50\,\times \,4$
$u_{50}\,=\,1\,%2B\,200$
$u_{50}\,=\,201$

Giulia a donc besoin de 201 boutons pour réaliser le motif n°50.

Giulia affirme qu’il lui faudra 151 boutons pour réaliser le motif n°50. Cette affirmation est incorrecte. En réalité, il lui faudra 201 boutons.

Exercice 30 : suites et papyrus mathématiques Egyptiens
a. On note $P_1%2C\,P_2%2C\,\ldots%2C\,P_{10}$ la part, en héqat, de chacun des dix hommes.

Pourquoi sait-on que $P_1\,%2B\,P_2\,%2B\,\cdots\,%2B\,P_{10}\,=\,10$ ?

Puisque la somme des parts d’orge pour les 10 hommes est 10 héqats, on a :
$P_1\,%2B\,P_2\,%2B\,\cdots\,%2B\,P_{10}\,=\,10$

b. Utiliser l’information « la différence entre un homme et son voisin se monte à $\frac{1}{8}$ d’héqat » pour exprimer $P_2%2C\,P_3%2C\,\ldots%2C\,P_{10}$ en fonction de P_1 .

On sait que la différence entre chaque homme et son voisin est $\frac{1}{8}$ d’héqat, donc :
$\begin{align%2A}%0D%0AP_2\,%26=\,P_1\,%2B\,\frac{1}{8}%2C\,\\%0D%0AP_3\,%26=\,P_2\,%2B\,\frac{1}{8}\,=\,P_1\,%2B\,\frac{2}{8}%2C\,\\%0D%0AP_4\,%26=\,P_3\,%2B\,\frac{1}{8}\,=\,P_1\,%2B\,\frac{3}{8}%2C\,\\%0D%0A%26\vdots\,\\%0D%0AP_{10}\,%26=\,P_1\,%2B\,\frac{9}{8}.%0D%0A\end{align%2A}$

c. En déduire que $10\,P_1\,%2B\,(\frac{1}{8}\,%2B\,\frac{2}{8}\,%2B\,\ldots\,%2B\,\frac{9}{8})\,=\,10$ .

La somme des différences est une somme arithmétique :
$\frac{1}{8}\,%2B\,\frac{2}{8}\,%2B\,\frac{3}{8}\,%2B\,\ldots\,%2B\,\frac{9}{8}\,=\,\frac{1\,%2B\,2\,%2B\,3\,%2B\,\ldots\,%2B\,9}{8}$

La somme des 9 premiers entiers est :
$\sum_{k=1}^{9}\,k\,=\,\frac{9\,\times \,10}{2}\,=\,45$

Donc :
$\frac{45}{8}$

En réécrivant l’équation :
$10\,P_1\,%2B\,\frac{45}{8}\,=\,10$

d. En déduire P_1 , puis la part de chacun des autres hommes.

Résolvons pour P_1 :
$10\,P_1\,=\,10\,-\,\frac{45}{8}$

Convertissons 10 en huitièmes :
$10\,=\,\frac{80}{8}$

Donc :
$10\,P_1\,=\,\frac{80}{8}\,-\,\frac{45}{8}\,=\,\frac{35}{8}$

Ainsi :
$P_1\,=\,\frac{35}{80}\,=\,\frac{7}{16}$

Finalement, les parts des dix hommes sont :
$\begin{align%2A}%0D%0AP_1\,%26=\,\frac{7}{16}%2C\,\\%0D%0AP_2\,%26=\,P_1\,%2B\,\frac{1}{8}\,=\,\frac{7}{16}\,%2B\,\frac{2}{16}\,=\,\frac{9}{16}%2C\,\\%0D%0AP_3\,%26=\,P_1\,%2B\,\frac{2}{8}\,=\,\frac{7}{16}\,%2B\,\frac{4}{16}\,=\,\frac{11}{16}%2C\,\\%0D%0AP_4\,%26=\,P_1\,%2B\,\frac{3}{8}\,=\,\frac{7}{16}\,%2B\,\frac{6}{16}\,=\,\frac{13}{16}%2C\,\\%0D%0AP_5\,%26=\,P_1\,%2B\,\frac{4}{8}\,=\,\frac{7}{16}\,%2B\,\frac{8}{16}\,=\,\frac{15}{16}%2C\,\\%0D%0AP_6\,%26=\,P_1\,%2B\,\frac{5}{8}\,=\,\frac{7}{16}\,%2B\,\frac{10}{16}\,=\,\frac{17}{16}%2C\,\\%0D%0AP_7\,%26=\,P_1\,%2B\,\frac{6}{8}\,=\,\frac{7}{16}\,%2B\,\frac{12}{16}\,=\,\frac{19}{16}%2C\,\\%0D%0AP_8\,%26=\,P_1\,%2B\,\frac{7}{8}\,=\,\frac{7}{16}\,%2B\,\frac{14}{16}\,=\,\frac{21}{16}%2C\,\\%0D%0AP_9\,%26=\,P_1\,%2B\,\frac{8}{8}\,=\,\frac{7}{16}\,%2B\,\frac{16}{16}\,=\,\frac{23}{16}%2C\,\\%0D%0AP_{10}\,%26=\,P_1\,%2B\,\frac{9}{8}\,=\,\frac{7}{16}\,%2B\,\frac{18}{16}\,=\,\frac{25}{16}.%0D%0A\end{align%2A}$

Vérification :
$P_1\,%2B\,P_2\,%2B\,\cdots\,%2B\,P_{10}\,=\,\frac{7}{16}\,%2B\,\frac{9}{16}\,%2B\,\frac{11}{16}\,%2B\,\cdots\,%2B\,\frac{25}{16}\,=\,10$