Statistiques : corrigés des exercices de maths en 1ère.

Exercice 1 : calcul de la médiane, quartile et étendue
L’intervalle représenté par le diagramme en boîte est de $%5B98%2C\,150%5D$ .

Calcul de l’écart interquartile:
$Q_3\,-\,Q_1\,=\,135\,-\,120\,=\,15$

Pour déterminer la série de 5 valeurs ayant les caractéristiques suivantes (la médiane est 12, le maximum est 36, le premier quartile est 9, l’étendue est 34, et l’écart interquartile est 15), on peut procéder comme suit :

1. :
$Etendue\,=\,Maximum\,-\,Minimum$
$34\,=\,36\,-\,Minimum$
$Minimum\,=\,36\,-\,34$
$Minimum\,=\,2$

2. $Ecart\,Interquartile$ :
$Q_3\,-\,Q_1\,=\,15$
$Q_3\,-\,9\,=\,15$
$Q_3\,=\,24$

Ainsi, les valeurs sont : $2%2C\,9%2C\,12%2C\,24%2C\,36$ .

En vérifiant :
– La médiane est bien .
– Le premier quartile est .
– L’étendue est $36\,-\,2\,=\,34$ .
– L’écart interquartile est $24\,-\,9\,=\,15$ .

Donc la série de valeurs est $2%2C\,9%2C\,12%2C\,24%2C\,36$ .

Exercice 2 : calcul de l’écart-type d’une série statistique
Pour calculer l’écart-type de la première série statistique, suivez les étapes suivantes.

La série est : $2%2C\,4%2C\,8%2C\,16%2C\,32%2C\,64%2C\,128%2C\,256%2C\,512%2C\,512$ .

Calculons la moyenne arithmétique $\overline{x}$ :
$\overline{x}\,=\,\frac{2\,%2B\,4\,%2B\,8\,%2B\,16\,%2B\,32\,%2B\,64\,%2B\,128\,%2B\,256\,%2B\,512\,%2B\,512}{10}\,=\,\frac{1534}{10}\,=\,153.4$

Ensuite, nous calculons la variance $\sigma^2$ :
$\sigma^2\,=\,\frac{(2-153.4)^2\,%2B\,(4-153.4)^2\,%2B\,(8-153.4)^2\,%2B\,(16-153.4)^2\,%2B\,(32-153.4)^2\,%2B\,(64-153.4)^2\,%2B\,(128-153.4)^2\,%2B\,(256-153.4)^2\,%2B\,(512-153.4)^2\,%2B\,(512-153.4)^2}{10}$

Les différences au carré sont :
$(2-153.4)^2\,=\,22961.16$
$(4-153.4)^2\,=\,22305.16$
$(8-153.4)^2\,=\,21025.16$
$(16-153.4)^2\,=\,18835.56$
$(32-153.4)^2\,=\,14777.16$
$(64-153.4)^2\,=\,8009.16$
$(128-153.4)^2\,=\,654.76$
$(256-153.4)^2\,=\,10542.76$
$(512-153.4)^2\,=\,128292.76$

$(512-153.4)^2\,=\,128292.76$

La somme des carrés des différences est :
$22961.16\,%2B\,22305.16\,%2B\,21025.16\,%2B\,18835.56\,%2B\,14777.16\,%2B\,8009.16\,%2B\,654.76\,%2B\,10542.76\,%2B\,128292.76\,%2B\,128292.76\,=\,374696.40$

Ainsi, la variance est :
$\sigma^2\,=\,\frac{374696.40}{10}\,=\,37469.64$

L’écart-type $\sigma$ est :
$\sigma\,=\,\sqrt{37469.64}\,\approx\,193.54$

Pour le second exercice, nous allons suivre les mêmes étapes :

Calculons la moyenne :
$\overline{x}\,=\,\frac{6\,\times \,9\,%2B\,7\,\times \,2\,%2B\,8\,\times \,1\,%2B\,9\,\times \,8\,%2B\,10\,\times \,7\,%2B\,12\,\times \,6}{9\,%2B\,2\,%2B\,1\,%2B\,8\,%2B\,7\,%2B\,6}\,=\,\frac{54\,%2B\,14\,%2B\,8\,%2B\,72\,%2B\,70\,%2B\,72}{33}\,=\,\frac{290}{33}\,\approx\,8.79$

Calculons la variance $\sigma^2$ :
$\sigma^2\,=\,\frac{9(6-8.79)^2\,%2B\,2(7-8.79)^2\,%2B\,1(8-8.79)^2\,%2B\,8(9-8.79)^2\,%2B\,7(10-8.79)^2\,%2B\,6(12-8.79)^2}{33}$

Les différences au carré multipliées par les effectifs sont :
$9(6-8.79)^2\,=\,9(7.7841)\,=\,70.0569$
$2(7-8.79)^2\,=\,2(3.2041)\,=\,6.4082$
$1(8-8.79)^2\,=\,1(0.6241)\,=\,0.6241$
$8(9-8.79)^2\,=\,8(0.0441)\,=\,0.3528$
$7(10-8.79)^2\,=\,7(1.4641)\,=\,10.2487$
$6(12-8.79)^2\,=\,6(10.3681)\,=\,62.2086$

La somme des carrés des différences est :
$70.0569\,%2B\,6.4082\,%2B\,0.6241\,%2B\,0.3528\,%2B\,10.2487\,%2B\,62.2086\,=\,149.8993$

Ainsi, la variance est :
$\sigma^2\,=\,\frac{149.8993}{33}\,\approx\,4.5424$

L’écart-type $\sigma$ est :
$\sigma\,=\,\sqrt{4.5424}\,\approx\,2.13$

Exercice 3 : déterminer la moyenne à l’aide de l’écart interquartile
1. $Determiner\,une\,serie\,de\,quatre\,valeurs\,dont\,l'ecart-type\,est\,inferieur\,a\,l'ecart\,interquartile.$

Exemple de série : $2%2C\,2%2C\,2%2C\,5$

Pour cette série, les trois premiers quartiles $Q_1%2C\,Q_2%2C\,Q_3$ sont respectivement :
– $Q_1\,=\,2$
– $Q_2\,=\,mediane\,=\,2$
– $Q_3\,=\,2.5$

L’écart interquartile est donc :
$IQR\,=\,Q_3\,-\,Q_1\,=\,2.5\,-\,2\,=\,0.5$

Pour calculer l’écart-type $\sigma$ , nous devons d’abord trouver la moyenne $\mu$ :
$\mu\,=\,\frac{2%2B2%2B2%2B5}{4}\,=\,2.75$

Puis, calculons la variance $\sigma^2$ :
$\sigma^2\,=\,\frac{(2-2.75)^2\,%2B\,(2-2.75)^2\,%2B\,(2-2.75)^2\,%2B\,(5-2.75)^2}{4}\,=\,\frac{0.5625\,%2B\,0.5625\,%2B\,0.5625\,%2B\,5.0625}{4}\,=\,1.6875$

Et enfin l’écart-type $\sigma$ :
$\sigma\,=\,\sqrt{1.6875}\,\approx\,1.30$

Donc, pour cette série, $\sigma\,=\,1.30$ et $IQR\,=\,0.5$ , l’écart-type n’est pas inférieur à l’écart interquartile. Trouvons plutôt une série où l’écart-type est vraiment plus petit :

Série alternative : $2%2C\,2%2C\,3%2C\,3$
– $Q_1\,=\,2$
– $Q_2\,=\,2.5$
– $Q_3\,=\,3$

$IQR\,=\,Q_3\,-\,Q_1\,=\,3\,-\,2\,=\,1$

Moyenne $\mu$ :
$\mu\,=\,\frac{2%2B2%2B3%2B3}{4}\,=\,2.5$

Variance $\sigma^2$ :
$\sigma^2\,=\,\frac{(2-2.5)^2\,%2B\,(2-2.5)^2\,%2B\,(3-2.5)^2\,%2B\,(3-2.5)^2}{4}\,=\,\frac{0.25\,%2B\,0.25\,%2B\,0.25\,%2B\,0.25}{4}\,=\,0.25$

$\sigma\,=\,\sqrt{0.25}\,=\,0.5$

Pour cette série, $\sigma\,=\,0.5$ et $IQR\,=\,1$ , donc l’écart-type est bien inférieur à l’écart interquartile.

2. $Les\,moyennes\,trimestrielles\,d'un\,eleve\,en\,mathematiques\,sont\,11\,%3B\,9\,et\,16.\,Determiner\,sa\,moyenne\,annuelle%2C\,puis\,la\,variance\,et\,l'ecart-type\,de\,cette\,serie\,de\,notes.$

Moyenne annuelle :
$\mu\,=\,\frac{11\,%2B\,9\,%2B\,16}{3}\,=\,\frac{36}{3}\,=\,12$

Variance :
$\sigma^2\,=\,\frac{(11\,-\,12)^2\,%2B\,(9\,-\,12)^2\,%2B\,(16\,-\,12)^2}{3}\,=\,\frac{(-1)^2\,%2B\,(-3)^2\,%2B4^2}{3}\,=\,\frac{1\,%2B\,9\,%2B\,16}{3}\,=\,\frac{26}{3}\,\approx\,8.67$

Écart-type :
$\sigma\,=\,\sqrt{8.67}\,\approx\,2.94$

3. $Sans\,calcul%2C\,deviner\,laquelle\,des\,deux\,series\,a\,le\,plus\,grand\,ecart-type.$

Série 1 : $5%2C\,12%2C\,1%2C\,13%2C\,2$

Série 2 : $313%2C\,312%2C\,313%2C\,314%2C\,312%2C\,311$

La série 1 présente des valeurs très dispersées, allant de 1 à 13, tandis que la série 2 a des valeurs très proches les unes des autres autour de 312 et 313. Par conséquent, il est intuitivement évident que la série 1 a un écart-type plus grand que la série 2.

Exercice 4 : simplifier des sommes
\begin{align*}
\text{1. Simplifier } \sum_{i=1}^{5} x_i – \sum_{i=2}^{3} x_i:
\end{align*}

\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{5} x_i = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5
\end{equation*}

\begin{equation*}
\sum_{i=2}^{3} x_i = x_2 + x_3
\end{equation*}

\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{5} x_i – \sum_{i=2}^{3} x_i
= (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) – (x_2 + x_3)
= x_1 + x_4 + x_5
\end{equation*}

\vspace{1cm}

\begin{align*}
\text{2. Simplifier } \sum_{i=7}^{12} n_i – \sum_{k=6}^{9} n_k:
\end{align*}

\begin{equation*}
\sum_{i=7}^{12} n_i = n_7 + n_8 + n_9 + n_{10} + n_{11} + n_{12}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\sum_{k=6}^{9} n_k = n_6 + n_7 + n_8 + n_9
\end{equation*}

\begin{equation*}
\sum_{i=7}^{12} n_i – \sum_{k=6}^{9} n_k
= (n_7 + n_8 + n_9 + n_{10} + n_{11} + n_{12}) – (n_6 + n_7 + n_8 + n_9)
= n_{10} + n_{11} + n_{12} – n_6
\end{equation*}

Exercice 5 : diagramme en boîte et intervalle interquartile
1) Pour lire les valeurs du diagramme en boîte :

– Le minimum (la plus petite valeur) est .
– Le premier quartile est .
– La médiane (le deuxième quartile, ) est .
– Le troisième quartile est .
– Le maximum (la plus grande valeur) est .

2) L’intervalle interquartile (IQR) est la différence entre le troisième quartile et le premier quartile :
$IQR\,=\,Q_3\,-\,Q_1$
$IQR\,=\,8\,-\,4\,=\,4$

Exercice 6 : compléter le diagramme en boîte
Pour résoudre cet exercice, nous devons placer correctement les valeurs des quartiles et des extrêmes du diagramme en boîte, en respectant les conditions données :

1. L’étendue doit être de 11.
2. La médiane doit être de 12.
3. L’écart interquartile doit être de 5.

1. $Calculer\,les\,valeurs\,des\,extremes\,%3A$

L’étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale. Étant donné que l’étendue est de 11, si nous supposons que la valeur minimale (min) est 7, alors la valeur maximale (max) sera :
$max\,=\,min\,%2B\,11\,=\,7\,%2B\,11\,=\,18$

2. $Placer\,la\,mediane\,%3A$

La médiane est déjà donnée comme étant 12. Donc, elle reste à 12.

3. $Determiner\,les\,quartiles\,%3A$

L’écart interquartile (Q3 – Q1) est donné comme étant 5. Sachant que la médiane (Q2) est 12, nous devons répartir cet écart de part et d’autre de la médiane de manière équilibrée.

– Si Q2 est 12, pour avoir un écart interquartile de 5, nous pouvons placer Q1 à 10 (Q2 – 2.5) et Q3 à 15 (Q2 + 2.5).

En résumé, voici les valeurs pour constituer le diagramme en boîte :

– Minimum (min) : 7
– Quartile 1 (Q1) : 10
– Médiane (Q2) : 12
– Quartile 3 (Q3) : 15
– Maximum (max) : 18

Le diagramme en boîte respectant ces conditions se dessine comme suit :

$\boxed{%0D%0A\begin{array}{c}%0D%0Amin\,=\,7\,\\%0D%0AQ_1\,=\,10\,\\%0D%0AQ_2\,=\,12\,\\%0D%0AQ_3\,=\,15\,\\%0D%0Amax\,=\,18\,\\%0D%0A\end{array}%0D%0A}$

Ce diagramme satisfera toutes les conditions de l’exercice.

Exercice 7 : déterminer les quartiles et diagramme en boîte
Pour déterminer les quartiles et et la médiane de cette série, nous devons d’abord organiser les données sous forme triée cumulée.

### Table des Effectifs Cumulés

| Nombre d’articles | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|——————-|—-|—-|—-|—-|—-|—-|—-|—-|—-|
| Nombre de clients | 3 | 5 | 10 | 15 | 22 | 8 | 1 | 0 | 1 |
| Effectif cumulé | 3 | 8 | 18 | 33 | 55 | 63 | 64 | 64 | 65 |

### Calcul de la Médiane

Le nombre total de clients (n) est de 65. La médiane correspond à la valeur de la position
$(\frac{65\,%2B\,1}{2})\,=\,33$ .
En examinant les effectifs cumulés, on remarque que la position se trouve dans la catégorie où il y a 5 articles (car l’effectif cumulé passe de 18 à 33). Donc, la médiane est:
$Mediane\,=\,5$

### Calcul du Premier Quartile ()

Le premier quartile correspond à la valeur de la position $(\frac{n%2B1}{4})\,=\,(\frac{65%2B1}{4})\,=\,16.5$ .
La position se situe dans la catégorie où il y a 4 articles (car l’effectif cumulé passe de 8 à 18). Donc,
$Q_1\,=\,4$

### Calcul du Troisième Quartile ()

Le troisième quartile correspond à la valeur de la position $3\,(\frac{n%2B1}{4})\,=\,3\,(\frac{65%2B1}{4})\,=\,49.5$ .
La position se situe dans la catégorie où il y a 6 articles (car l’effectif cumulé passe de 33 à 55). Donc,
$Q_3\,=\,6$

### Diagramme en boîte

Pour tracer le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches), nous utilisons les valeurs suivantes :

– Minimum: 2
– : 4
– Médiane: 5
– : 6
– Maximum: 10

« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) — (10,0);
\draw[thick] (2,0) — (2,0.5);
\draw[thick] (4,0) — (4,0.5);
\draw[thick] (5,0) — (5,0.5);
\draw[thick] (6,0) — (6,0.5);
\draw[thick] (10,0) — (10,0.5);

\draw[dashed] (2,0.25) — (4,0.25);
\draw[dashed] (6,0.25) — (10,0.25);
\draw[thick] (4,0.5) rectangle (6,-0.5);

\node at (2,-0.7) {2};
\node at (4,-0.7) {4};
\node at (5,-0.7) {5};
\node at (6,-0.7) {6};
\node at (10,-0.7) {10};

\end{tikzpicture}

\end{document}
« `

Exercice 8 : déterminer la médiane et jeux vidéos
1. Détermination de , et de la médiane de cette série.

La série triée dans l’ordre croissant est :
$0%2C\,1%2C\,2%2C\,3%2C\,5%2C\,6%2C\,7%2C\,10%2C\,11%2C\,12$

Nombre total de valeurs, $n\,=\,10$ .

La médiane () est la valeur moyenne des valeurs en position $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2}\,%2B\,1$ , soit :
$Q_2\,=\,\frac{6\,%2B\,7}{2}\,=\,6.5$

Les quartiles et sont les médianes des moitiés inférieure et supérieure de la série triée.

Pour (premier quartile), on prend les 5 premières valeurs :
$0%2C\,1%2C\,2%2C\,3%2C\,5$
Le premier quartile est la médiane de cette sous-série :
$Q_1\,=\,2$

Pour (troisième quartile), on prend les 5 dernières valeurs :
$7%2C\,10%2C\,11%2C\,12$
Le troisième quartile est la médiane de cette sous-série :
$Q_3\,=\,10.5$

2. Diagramme en boîte (boîte à moustaches) de cette série :
Après avoir déterminé les valeurs importantes $(Q_1%2C\,Q_2%2C\,Q_3)$ , nous pouvons tracer le diagramme en boîte. Il est représenté comme suit :

$0\,---%7C\,2\,---%7C\,6.5\,---%7C\,10.5\,---%7C\,12$

3. Phénomène important que le diagramme en boîte ne rend pas compte.

Le diagramme en boîte donne une vision claire de la dispersion et des valeurs extrêmes, mais il ne montre pas les détails de la distribution des valeurs chronologiques, comme les tendances ou les variations au cours du temps.

4. Représentation graphique rendant compte de ce phénomène.

Pour rendre compte de la tendance chronologique, on peut utiliser un graphique de séries chronologiques, où l’axe représente le temps (les années) et l’axe représente le nombre de jeux achetés. Voici une esquisse de ce graphique :

$\begin{tikzpicture}%0D%0A\begin{axis}%5B%0D%0Axlabel={Annee}%2C%0D%0Aylabel={Nombre\,de\,jeux\,achetes}%2C%0D%0Axtick={1%2C2%2C3%2C4%2C5%2C6%2C7%2C8%2C9%2C10}%2C%0D%0Axticklabels={1%2C2%2C3%2C4%2C5%2C6%2C7%2C8%2C9%2C10}%2C%0D%0Aytick={0%2C2%2C4%2C6%2C8%2C10%2C12}%2C%0D%0Aymin=0%2C\,ymax=12%2C%0D%0Agrid=major%2C%0D%0Awidth=10cm%2C%0D%0Aheight=6cm%0D%0A%5D%0D%0A\addplot%5Bmark=%2A%2C\,mark\,options={scale=1.2}%2C\,color=blue%5D%0D%0Acoordinates\,{(1%2C5)\,(2%2C6)\,(3%2C10)\,(4%2C11)\,(5%2C12)\,(6%2C7)\,(7%2C3)\,(8%2C2)\,(9%2C1)\,(10%2C0)}%3B%0D%0A\end{axis}%0D%0A\end{tikzpicture}$

Ce graphique montre clairement la diminution du nombre de jeux achetés au fil des années.

Exercice 9 : tracer les diagrammes en boîtes des séries
1) Déterminons le nombre d’élèves de chaque classe.

Pour la classe 1re S1:
$Nombre\,d'eleves\,=\,5\,%2B\,4\,%2B\,0\,%2B\,4\,%2B\,5\,%2B\,3\,%2B\,7\,%2B\,6\,%2B\,5\,%2B\,5\,=\,44$

Pour la classe 1re S2:
$Nombre\,d'eleves\,=\,4\,%2B\,3\,%2B\,5\,%2B\,6\,%2B\,4\,%2B\,6\,%2B\,5\,%2B\,2\,%2B\,3\,%2B\,1\,=\,39$

2) Traçons les diagrammes en boîtes (boxplots) des deux séries sur le même graphique.

Pour tracer les diagrammes en boîtes, nous devons d’abord calculer le minimum, le premier quartile (Q1), la médiane (Q2), le troisième quartile (Q3), et le maximum pour chaque classe.

Pour la classe 1re S1:
– Notes triées: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10.
– Minimum = 1
– Q1 = 5 (11e valeur)
– Médiane (Q2) = 7 (22e et 23e valeurs moyennes)
– Q3 = 9 (33e valeur)
– Maximum = 10

Pour la classe 1re S2:
– Notes triées: 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9.
– Minimum = 1
– Q1 = 4 (10e et 11e valeurs moyennes)
– Médiane (Q2) = 5 (20e et 21e valeurs moyennes)
– Q3 = 6 (24e et 25e valeurs moyennes)
– Maximum = 9

Diagrammes en boîtes pour les deux classes (dans un environnement graphique):

$\begin{array}{c%7Cl%7Cl%7Cl%7Cl%7Cl}%0D%0AClasse\,%26\,Minimum\,%26\,Q1\,%26\,Q2\,%26\,Q3\,%26\,Maximum\,\\%0D%0A\hline%0D%0A1re\,S1\,%26\,1\,%26\,5\,%26\,7\,%26\,9\,%26\,10\,\\%0D%0A1re\,S2\,%26\,1\,%26\,4\,%26\,5\,%26\,6\,%26\,9\,\\%0D%0A\end{array}$

3) Comparons les deux classes.

– La classe 1re S1 a une médiane (7) plus élevée que celle de la classe 1re S2 (5), ce qui suggère que la classe 1re S1 a globalement des résultats meilleurs.
– Les valeurs interquartiles (Q1 et Q3) sont également plus élevées pour la classe 1re S1 comparé à la classe 1re S2.
– La classe 1re S2 a une dispersion plus faible des valeurs (écart interquartile de 4 à 6) par rapport à la classe 1re S1 (écart interquartile de 5 à 9), indiquant que les notes des élèves de 1re S2 sont plus groupées autour de la médiane.
– Le maximum pour la note de la classe 1re S1 est plus élevé (10) comparé à la classe 1re S2 (9). Cela montre qu’il y a des élèves avec des résultats excédant en classe 1re S1.

Exercice 10 : une étude de séries statistiques
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

1) La série la plus homogène est celle avec le plus petit écart interquartile . Donc, celle avec est plus homogène que celle avec .

2) Soit $t_1%2C\,t_2%2C\,\ldots%2C\,t_n$ les valeurs des tailles en mètres pour une série d’élèves.

Les tailles en centimètres seront alors données par $100\,\times \,t_1%2C\,100\,\times \,t_2%2C\,\ldots%2C\,100\,\times \,t_n$ .

Si et sont respectivement les 1er et 3e quartiles des tailles exprimées en mètres, alors l’écart interquartile est $e\,=\,Q_3\,-\,Q_1$ .

Pour la série des tailles en centimètres, les 1er et 3e quartiles seront $100\,\times \,Q_1$ et $100\,\times \,Q_3$ respectivement. Ainsi, l’écart interquartile de cette série sera :
$100Q_3\,-\,100Q_1\,=\,100(e).$
Donc, l’écart interquartile de la deuxième série est bien égal à fois celui de la première série.

3) Concernant la réponse à la question 1), la série la plus homogène est la première avec un écart interquartile . Lorsqu’on discute de l’homogénéité de deux séries à l’aide de l’écart interquartile, il est important de tenir compte des échelles des valeurs.

Plutôt que seulement l’écart interquartile, on devrait utiliser l’écart interquartile relatif défini comme $e\,%2F\,moyenne$ ou une autre mesure normalisée pour comparer l’homogénéité des séries lorsque les unités diffèrent. Vous pouvez aussi considérer d’autres paramètres statistiques comme la variance relative ou le coefficient de variation pour avoir une vision plus complète de l’homogénéité.

Exercice 11 : salaires nets mensuels des femmes et hommes en France
1) Pour les femmes:
– Médiane : $\approx\,1750$ euros.
– Écart interquartile ( $Q3\,-\,Q1$ ) : $Q3\,\approx\,2100$ euros et $Q1\,\approx\,1350$ euros, donc $Ecart\,interquartile\,=\,2100\,-\,1350\,=\,750$ euros.

Pour les hommes:
– Médiane : $\approx\,1600$ euros.
– Écart interquartile ( $Q3\,-\,Q1$ ) : $Q3\,\approx\,2200$ euros et $Q1\,\approx\,1200$ euros, donc $Ecart\,interquartile\,=\,2200\,-\,1200\,=\,1000$ euros.

Exercice 12 : algorithme et quartiles
1) Analyse de l’algorithme :

Cet algorithme demande à l’utilisateur de saisir une valeur puis fonctionne de la manière suivante:
– Initialise à 1.
– Tant que $i\,\leq\,\,\frac{n}{4}\,%2B\,1$ , il répète :
– Affiche « Saisir la valeur suivante ».
– Demande une valeur .
– Incrémente de 1.
– Affiche la dernière valeur de saisie.
– Affiche « J’espère que la série était ordonnée… ».

L’algorithme permet de saisir $\lfloor\,\frac{n}{4}\,\rfloor\,%2B\,1$ valeurs et affiche la dernière valeur saisie.

Améliorations possibles :
– Inclure une validation pour s’assurer que les valeurs saisies sont effectivement des nombres.
– Stocker toutes les valeurs saisies dans une liste pour potentiellement les utiliser ensuite.
– Rendre le message d’affichage plus pertinent et informatif.

2) Modification pour afficher le troisième quartile :

Nous devons :
– Stocker toutes les valeurs saisies dans une liste.
– Trier cette liste.
– Calculer et afficher le troisième quartile.

Correction :

« `latex
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
\KwData{Variable réelle $x$, entiers $n$, $i$, liste $L$}
\KwResult{Affiche le troisième quartile de la série}
Demander $n$\;
$L arrow \text{liste vide}$\;
Donner à $i$ la valeur $1$\;
\While{$i \leq\, \frac{n}{4}+1$}{
Afficher « Saisir la valeur suivante »\;
Demander $x$\;
Ajouter $x$ à $L$\;
$i ( arrow )i + 1$\;
}
Trier $L$\;
$troisième\_quartile arrow L[\lfloor \frac{3(n/4+1)}{4} \rfloor]$\;
Afficher $troisième\_quartile$\;
Afficher « J’espère que la série était ordonnée… »\;
\end{algorithm}
« `
Explications:
– `L` est une liste qui contiendra toutes les valeurs saisies.
– On trie cette liste.
– Le troisième quartile est approximé par l’indice $\lfloor \frac{3(m+1)}{4} \rfloor$ où est la taille de la liste (dans ce cas, $m\,=\,\lfloor\,\frac{n}{4}\,\rfloor\,%2B\,1$ ).
– Affichage du troisième quartile.

Exercice 13 : algorithme et série statistiques
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\section*{Correction de l’exercice}

Voici l’algorithme complété :

\begin{verbatim}
1. Liste des variables utilisées
2. L : liste
3. n, i : entiers
4. Traitement
5. Demander L(1)
6. Demander n
7. Pour i variant de 2 à n faire
8. Demander L(i)
9. Si L(i) < L(i-1) Alors
10. Afficher « Votre série n’est pas ordonnée »
11. Fin Si
12. Fin Pour
\end{verbatim}

Explication des étapes complétées :

– À la ligne 9, on doit vérifier si chaque élément L(i) est bien supérieur ou égal à l’élément précédent L(i-1) . Si ce n’est pas le cas ( $L(i)\,%3C\,L(i-1)$ ), alors la série n’est pas ordonnée.

En LaTeX, cela peut être traduit ainsi :

\begin{verbatim}
Si L(i) < L(i-1) Alors
\end{verbatim}

Ainsi, l’algorithme final vérifie correctement si une série d’éléments fournie par l’utilisateur est ordonnée en ordre croissant.

\end{document}

Exercice 14 : championnat du monde basket et statistiques
1) Calculer le nombre de points marqués lors de ces championnats par chacune des joueuses.

Pour Ana Dabovic :
$12\,%2B\,24\,%2B\,6\,%2B\,21\,%2B\,2\,%2B\,11\,%2B\,19\,=\,95$

Pour Maya Moore :
$15\,%2B\,17\,%2B\,16\,%2B\,10\,%2B\,16\,%2B\,18\,=\,92$

2) Calculer la moyenne et l’écart-type du nombre de points marqués pour chacune (arrondir à $10^{-2}$ près).

Pour Ana Dabovic :
$Moyenne\,=\,\frac{12\,%2B\,24\,%2B\,6\,%2B\,21\,%2B\,2\,%2B\,11\,%2B\,19}{7}\,=\,\frac{95}{7}\,\approx\,13.57$

L’écart-type $\sigma$ est donné par :
$\sigma\,=\,\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\,(x_i\,-\,\mu)^2}{n}}$
où $\mu$ est la moyenne et x_i sont les valeurs. Calculons :
$(12\,-\,13.57)^2\,=\,2.46$
$(24\,-\,13.57)^2\,=\,108.47$
$(6\,-\,13.57)^2\,=\,57.23$
$(21\,-\,13.57)^2\,=\,54.87$
$(2\,-\,13.57)^2\,=\,135.45$
$(11\,-\,13.57)^2\,=\,6.60$
$(19\,-\,13.57)^2\,=\,29.47$

$\sum_{i=1}^{7}\,(x_i\,-\,\mu)^2\,=\,394.55$

$\sigma\,=\,\sqrt{\frac{394.55}{7}}\,\approx\,7.52$

Pour Maya Moore :
$Moyenne\,=\,\frac{15\,%2B\,17\,%2B\,16\,%2B\,10\,%2B\,16\,%2B\,18}{6}\,=\,\frac{92}{6}\,\approx\,15.33$

Calculons l’écart-type :
$(15\,-\,15.33)^2\,=\,0.11$
$(17\,-\,15.33)^2\,=\,2.78$
$(16\,-\,15.33)^2\,=\,0.44$
$(10\,-\,15.33)^2\,=\,28.44$
$(16\,-\,15.33)^2\,=\,0.44$
$(18\,-\,15.33)^2\,=\,7.11$

$\sum_{i=1}^{6}\,(x_i\,-\,\mu)^2\,=\,39.33$

$\sigma\,=\,\sqrt{\frac{39.33}{6}}\,\approx\,2.56$

3) Contrôler les résultats à l’aide de la calculatrice.

Les calculs devraient être vérifiés sur une calculatrice pour s’assurer de l’exactitude, particulièrement pour les valeurs arrondies.

4) D’après la question précédente, quelle joueuse a été la plus efficace ? la plus régulière ?

– Ana Dabovic a marqué au total plus de points (95 contre 92).
– La moyenne de Maya Moore est plus élevée (15.33 contre 13.57).
– Maya Moore a un écart-type plus faible (2.56 contre 7.52), donc elle est plus régulière.

Ainsi, Maya Moore paraît être la joueuse la plus régulière, tandis qu’Ana Dabovic a été plus efficace en termes du total de points.

Exercice 15 : fruits et légumes mangés par jour
1. Calculons la moyenne du nombre de fruits et légumes par jour ainsi que l’écart-type.

Soit N_i le nombre de fruits et légumes consommés et f_i le nombre de jours correspondant.

| N_i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|——-|—|—|—|—|—|—|—|
| f_i | 1 | 1 | 2 | 10 | 8 | 7 | 1 |

La moyenne $\mu$ est donnée par :

$\mu\,=\,\frac{\sum\,(N_i\,\times \,f_i)}{\sum\,f_i}$

Calculons les valeurs intermédiaires :

$\sum\,(N_i\,\times \,f_i)\,=\,1\,\cdot\,1\,%2B\,2\,\cdot\,1\,%2B\,3\,\cdot\,2\,%2B\,4\,\cdot\,10\,%2B\,5\,\cdot\,8\,%2B\,6\,\cdot\,7\,%2B\,7\,\cdot\,1$
$=\,1\,%2B\,2\,%2B\,6\,%2B\,40\,%2B\,40\,%2B\,42\,%2B\,7\,=\,138$

$\sum\,f_i\,=\,1\,%2B\,1\,%2B\,2\,%2B\,10\,%2B\,8\,%2B\,7\,%2B\,1\,=\,30$

Donc,

$\mu\,=\,\frac{138}{30}\,=\,4.6$

Arrondie à 0,1 près, la moyenne est:
$\mu\,\approx\,4.6$

Pour l’écart-type $\sigma$ , nous utilisons la formule suivante :

$\sigma\,=\,\sqrt{\frac{\sum\,f_i\,(N_i\,-\,\mu)^2}{\sum\,f_i}}$

Calculons les termes intermédiaires :

$\sum\,f_i\,(N_i\,-\,\mu)^2\,=\,1\,\cdot\,(1\,-\,4.6)^2\,%2B\,1\,\cdot\,(2\,-\,4.6)^2\,%2B\,2\,\cdot\,(3\,-\,4.6)^2\,%2B\,10\,\cdot\,(4\,-\,4.6)^2\,%2B\,8\,\cdot\,(5\,-\,4.6)^2\,%2B\,7\,\cdot\,(6\,-\,4.6)^2\,%2B\,1\,\cdot\,(7\,-\,4.6)^2$

Calculons chaque terme:
$=\,1\,\cdot\,12.96\,%2B\,1\,\cdot\,6.76\,%2B\,2\,\cdot\,2.56\,%2B\,10\,\cdot\,0.36\,%2B\,8\,\cdot\,0.16\,%2B\,7\,\cdot\,1.96\,%2B\,1\,\cdot\,5.76$
$=\,12.96\,%2B\,6.76\,%2B\,5.12\,%2B\,3.6\,%2B\,1.28\,%2B\,13.72\,%2B\,5.76\,=\,49.2$

Donc,

$\sigma\,=\,\sqrt{\frac{49.2}{30}}\,=\,\sqrt{1.64}\,\approx\,1.3$

2. Contrôle à l’aide de la calculatrice.

Utilisez votre calculatrice pour vérifier les valeurs obtenues pour la moyenne et l’écart-type :
– Moyenne : 4.6
– Écart-type : 1.3

Exercice 16 : la répartition des salaires mensuels dans une netreprise
1) Calculer les couples médiane-écart interquartile et moyenne-écart-type.

Trions d’abord les salaires dans l’ordre croissant :
$1024\%2C%E2%82%AC\,%3B\,1467\%2C%E2%82%AC\,%3B\,1524\%2C%E2%82%AC\,%3B\,1726\%2C%E2%82%AC\,%3B\,1874\%2C%E2%82%AC\,%3B\,2167\%2C%E2%82%AC$

Déterminons la médiane. La liste contient 6 éléments, donc la médiane est la moyenne entre le 3ème et le 4ème élément :
$Mediane\,=\,\frac{1524\,%2B\,1726}{2}\,=\,\frac{3250}{2}\,=\,1625\%2C%E2%82%AC$

Pour trouver les quartiles :
– Le premier quartile (25%) est la médiane des trois premiers salaires :
$Q1\,=\,\frac{1467\,%2B\,1524}{2}\,=\,\frac{2991}{2}\,=\,1495.5\%2C%E2%82%AC$
– Le troisième quartile (75%) est la médiane des trois derniers salaires :
$Q3\,=\,\frac{1726\,%2B\,1874}{2}\,=\,\frac{3600}{2}\,=\,1800\%2C%E2%82%AC$

L’écart interquartile est $Q3\,-\,Q1$ :
$Ecart\,interquartile\,=\,1800\,-\,1495.5\,=\,304.5\%2C%E2%82%AC$

Calculons maintenant la moyenne :
$Moyenne\,=\,\frac{1024\,%2B\,1467\,%2B\,1524\,%2B\,1726\,%2B\,1874\,%2B\,2167}{6}\,=\,\frac{9772}{6}\,=\,1628.67\%2C%E2%82%AC$

Calculons l’écart-type $\sigma$ . Nous avons besoin des différences au carré entre chaque valeur et la moyenne :
$\begin{align%2A}%0D%0A(1024\,-\,1628.67)^2\,%26=\,366849.15%2C\,\\%0D%0A(1467\,-\,1628.67)^2\,%26=\,26131.19%2C\,\\%0D%0A(1524\,-\,1628.67)^2\,%26=\,10917.55%2C\,\\%0D%0A(1726\,-\,1628.67)^2\,%26=\,9454.92%2C\,\\%0D%0A(1874\,-\,1628.67)^2\,%26=\,60179.55%2C\,\\%0D%0A(2167\,-\,1628.67)^2\,%26=\,289302.19.%0D%0A\end{align%2A}$

La somme des carrés est :
$366849.15\,%2B\,26131.19\,%2B\,10917.55\,%2B\,9454.92\,%2B\,60179.55\,%2B\,289302.19\,=\,763834.55$

La variance est :
$Variance\,=\,\frac{763834.55}{6}\,=\,127305.76$

Et l’écart-type est la racine carrée de la variance :
$\sigma\,=\,\sqrt{127305.76}\,%E2%89%88\,356.84\%2C%E2%82%AC$

2) Le plus haut salaire de l’entreprise obtient une augmentation de 500€. Reprendre la question 1) avec ce nouveau salaire.

Le nouveau salaire le plus élevé est :
$2167\,%2B\,500\,=\,2667\%2C%E2%82%AC$

Trions les nouveaux salaires :
$1024%2C\,1467%2C\,1524%2C\,1726%2C\,1874%2C\,2667$

La médiane est toujours la moyenne du 3ème et du 4ème élément :
$Mediane\,=\,\frac{1524\,%2B\,1726}{2}\,=\,1625\%2C%E2%82%AC$

Les nouveaux quartiles sont :
– (25%) reste le même :
$Q1\,=\,1495.5\%2C%E2%82%AC$
– (75%) devient :
$Q3\,=\,\frac{1726\,%2B\,1874}{2}\,=\,1800\%2C%E2%82%AC$

L’écart interquartile reste :
$Ecart\,interquartile\,=\,1800\,-\,1495.5\,=\,304.5\%2C%E2%82%AC$

La nouvelle moyenne est :
$Moyenne\,=\,\frac{1024\,%2B\,1467\,%2B\,1524\,%2B\,1726\,%2B\,1874\,%2B\,2667}{6}\,=\,\frac{10282}{6}\,=\,1713.67\%2C%E2%82%AC$

Calculons le nouvel écart-type $\sigma$ :
$\begin{align%2A}%0D%0A(1024\,-\,1713.67)^2\,%26=\,476426.03%2C\,\\%0D%0A(1467\,-\,1713.67)^2\,%26=\,60841.63%2C\,\\%0D%0A(1524\,-\,1713.67)^2\,%26=\,36028.63%2C\,\\%0D%0A(1726\,-\,1713.67)^2\,%26=\,152.63%2C\,\\%0D%0A(1874\,-\,1713.67)^2\,%26=\,25664.63%2C\,\\%0D%0A(2667\,-\,1713.67)^2\,%26=\,909869.63.%0D%0A\end{align%2A}$

La somme des carrés :
$476426.03\,%2B\,60841.63\,%2B\,36028.63\,%2B\,152.63\,%2B\,25664.63\,%2B\,909869.63\,=\,1518983.18$

La nouvelle variance est :
$Variance\,=\,\frac{1518983.18}{6}\,=\,253163.86$

Et le nouvel écart-type :
$\sigma\,=\,\sqrt{253163.86}\,%E2%89%88\,503.15\%2C%E2%82%AC$

3) Quel phénomène les deux premières questions illustrent-elles ?

Les deux premières questions illustrent l’impact des valeurs extrêmes (outliers) sur les mesures de dispersion. L’augmentation du salaire le plus élevé (une valeur extrême) n’a pas affecté la médiane ni l’écart interquartile, mais elle a considérablement augmenté la moyenne et l’écart-type, montrant que ces deux statistiques sont sensibles aux valeurs extrêmes.

Exercice 17 : médiane et écart interquartile dans une entreprise
1) Dans cette situation, le couple médiane-écart interquartile (1689; 353) apporte les informations les plus intéressantes. La médiane donne une idée du salaire central de l’ensemble des employés, ce qui est particulièrement utile pour comprendre la tendance centrale sans être influencé par des valeurs extrêmes (salaire très bas ou très élevé). L’écart interquartile montre la dispersion autour de cette médiane, donc une indication de la variation des salaires pour la majorité des employés (les 50% du milieu).

2) Une telle disparité entre les deux couples peut s’expliquer par la présence de valeurs extrêmes dans la distribution des salaires, ce qui affecte davantage la moyenne et l’écart-type que la médiane et l’écart interquartile. En effet :

$Moyenne\,=\,2087%2C\,\quad\,Ecart-type\,=\,1153$

suggèrent qu’il existe des salaires très élevés comparés à la médiane de

$Mediane\,=\,1689%2C\,\quad\,Ecart\,interquartile\,=\,353.$

Cela indique une distribution asymétrique des salaires avec une queue longue du côté des salaires élevés. En résumé, la moyenne est tirée vers le haut par des salaires relativement très élevés comparés à la medíane, qui reste plus représentative d’un salaire typique pour un employé de l’entreprise.

Exercice 18 : une école de journalisme et étude statistique
1)
a) Tracer les diagrammes en boîte de ces quatre séries sur le même graphique :

Les diagrammes en boîte se construisent de la manière suivante :
– La ligne inférieure du rectangle indique le premier quartile .
– La ligne du milieu du rectangle est la médiane.
– La ligne supérieure du rectangle indique le troisième quartile .
– Les « moustaches » (droites horizontales) partent du minimum au quartile inférieur et du quartile supérieur au maximum.

Les valeurs sont les suivantes :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A%26\,Promotion\,2013\,Francais\,%26\,Promotion\,2013\,Histoire\,%26\,Promotion\,2014\,Francais\,%26\,Promotion\,2014\,Histoire\,\\%0D%0A\hline%0D%0AMoyenne\,%26\,11\,%26\,12\,%26\,11\,%26\,12%2C5\,\\%0D%0AEcart-type\,%26\,2%2C5\,%26\,2%2C3\,%26\,1%2C8\,%26\,3%2C0\,\\%0D%0AMinimum\,%26\,6\,%26\,7\,%26\,6\,%26\,6\,\\%0D%0AQ1\,%26\,9\,%26\,10\,%26\,10\,%26\,10\,\\%0D%0AMediane\,%26\,11\,%26\,11\,%26\,11\,%26\,12\,\\%0D%0AQ3\,%26\,13\,%26\,14\,%26\,12\,%26\,16\,\\%0D%0AMaximum\,%26\,16\,%26\,17\,%26\,15\,%26\,19\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Le graphique est ensuite tracé en utilisant ces données. [Insérer le graphique si possible].

b) Comparer les résultats en français et histoire de chacune des promotions :

Promotion 2013 :
– Français : Médiane = 11, Q1-Q3 = [9, 13], Minimum = 6, Maximum = 16.
– Histoire: Médiane = 11, Q1-Q3 = [10, 14], Minimum = 7, Maximum = 17.

On note que la distribution des résultats est assez similaire pour les deux matières :
– La médiane est identique (11).
– L’étendue des valeurs (Minimum-Maximum) est similaire mais légèrement plus large pour l’histoire.
– Les quartiles sont légèrement décalés vers le haut en histoire.

Promotion 2014 :
– Français : Médiane = 11, Q1-Q3 = [10, 12], Minimum = 6, Maximum = 15.
– Histoire: Médiane = 12, Q1-Q3 = [10, 16], Minimum = 6, Maximum = 19.

On note un décalage plus net en faveur de l’histoire :
– La médiane en histoire est supérieure (12 contre 11).
– La dispersion (étendue des valeurs) est plus grande en histoire.

c) Comparer les résultats en français, puis en histoire d’une promotion sur l’autre :

Français :
– La médiane est la même (11) pour les années 2013 et 2014.
– La dispersion semble légèrement plus faible en 2014 (écart plus court entre Q1 et Q3, minimum et maximum moins extrêmes).

Histoire :
– Une médiane plus élevée en 2014 (12 contre 11 en 2013).
– Une bien plus grande dispersion des résultats en 2014 aussi bien au niveau des quartiles qu’aux bornes minimum/maximum.

2) Les résultats précédents sont-ils confirmés par le couple moyenne-écart-type ?

Moyenne et écart-type pour Français :
– 2013 : 11 et 2,5
– 2014 : 11 et 1,8

Les moyennes sont identiques, mais la dispersion (écart-type) est plus faible en 2014, ce qui confirme l’observation précédente de valeurs moins dispersées.

Moyenne et écart-type pour Histoire :
– 2013 : 12 et 2,3
– 2014 : 12,5 et 3,0

La moyenne est légèrement supérieure en 2014, et l’écart-type plus élevé confirme également une plus grande dispersion des valeurs observées.

Exercice 19 : le prix du téléphone portable et histogramme

Recopier et compléter le tableau ci-dessous.

D’après l’histogramme, nous pouvons remplir le tableau de la manière suivante :

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Prix en centaines d’€ $[0 \; ; \; 2[$ $[2 \; ; \; 4[$ $[4 \; ; \; 6[$ $[6 \; ; \; 8[$ $[8 \; ; \; 9[$ \\
\hline
Effectifs 100 50 200 40 10 \\
\hline
Fréquences $\frac{100}{400} = 0.25$ $\frac{50}{400} = 0.125$ $\frac{200}{400} = 0.5$ $\frac{40}{400} = 0.1$ $\frac{10}{400} = 0.025$ \\
\hline
\end{tabular}

Les effectifs sont obtenus en observant la hauteur des barres dans l’histogramme. La fréquence est calculée en divisant l’effectif de chaque classe par le total d’élèves interrogés (400).

Exercice 20 : une étude avec des sommes
1. $\sum_{i=1}^{n}\,(x_i\,%2B\,y_i)\,=\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,%2B\,\sum_{i=1}^{n}\,y_i$

2.
a) $\sum_{i=1}^{n}\,a\,=\,a\,\sum_{i=1}^{n}\,1\,=\,a\,\cdot\,n$

b) $\sum_{i=1}^{n}\,(x_i\,%2B\,a)\,=\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,%2B\,\sum_{i=1}^{n}\,a\,=\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,%2B\,a\,\cdot\,n$

$\sum_{i=1}^{n}\,a\,x_i\,=\,a\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : une formule de la variance
1) La formule de la variance de cette série est:
$V\,=\,\frac{1}{n}\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,(x_i\,-\,\overline{x})^2$

2) Pour montrer que $V\,=\,(\,\frac{1}{n}\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,x_i^2\,)\,-\,\overline{x}^2$ , procédons comme suit :

Départons de la formule classique de la variance :
$V\,=\,\frac{1}{n}\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,(x_i\,-\,\overline{x})^2$

Développons le terme $(x_i\,-\,\overline{x})^2$ :
$(x_i\,-\,\overline{x})^2\,=\,x_i^2\,-\,2x_i\overline{x}\,%2B\,\overline{x}^2$

Remplaçons $(x_i\,-\,\overline{x})^2$ dans la formule de la variance :
$V\,=\,\frac{1}{n}\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,(x_i^2\,-\,2x_i\overline{x}\,%2B\,\overline{x}^2)$

Distribuons n_i à chaque terme dans la somme :
$V\,=\,\frac{1}{n}\,(\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,x_i^2\,-\,\sum_{i=1}^{p}\,2\,n_i\,x_i\,\overline{x}\,%2B\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,\overline{x}^2\,)$

Dans la deuxième somme, factorisons le terme commun :
$\sum_{i=1}^{p}\,2\,n_i\,x_i\,\overline{x}\,=\,2\,\overline{x}\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,x_i$

Rappelons que la moyenne $\overline{x}$ est définie comme :
$\overline{x}\,=\,\frac{1}{n}\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,x_i$

Donc :
$2\,\overline{x}\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,x_i\,=\,2\,\overline{x}\,\cdot\,n\,\overline{x}\,=\,2n\,\overline{x}^2$

En conséquence :
$V\,=\,\frac{1}{n}\,(\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,x_i^2\,-\,2n\,\overline{x}^2\,%2B\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,\overline{x}^2\,)$

Sachant que $\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,=\,n$ , nous avons :
$\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,\overline{x}^2\,=\,n\,\overline{x}^2$

Ainsi :
$V\,=\,\frac{1}{n}\,(\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,x_i^2\,-\,2n\,\overline{x}^2\,%2B\,n\,\overline{x}^2\,)$
$V\,=\,\frac{1}{n}\,(\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,x_i^2\,-\,n\,\overline{x}^2\,)$
$V\,=\,\frac{1}{n}\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,x_i^2\,-\,\overline{x}^2$

Ce qui conclut la démonstration :
$V\,=\,(\,\frac{1}{n}\,\sum_{i=1}^{p}\,n_i\,x_i^2\,)\,-\,\overline{x}^2$

Exercice 22 : résultats du baccalauréat général
a. Calcul du taux de réussite 2021.

Le taux de réussite global est donné par :
$Taux\,de\,reussite\,=\,\frac{Nombre\,total\,d'admis}{Nombre\,total\,de\,candidats}\,\times \,100$

Ainsi :
$Taux\,de\,reussite\,=\,\frac{371\%2C705}{381\%2C132}\,\times \,100\,\approx\,97%2C5\%25$

b. Calcul du nombre de filles.

Le nombre de filles est donné par :
$Nombre\,de\,filles\,=\,56%2C2\%25\,\times \,381\%2C132$

Ainsi :
$Nombre\,de\,filles\,=\,0%2C562\,\times \,381\%2C132\,\approx\,214\%2C308$

c. Calcul du nombre de filles admises.

Le nombre de filles admises est donné par :
$Nombre\,de\,filles\,admises\,=\,98%2C1\%25\,\times \,Nombre\,de\,filles$

Ainsi :
$Nombre\,de\,filles\,admises\,=\,0%2C981\,\times \,214\%2C308\,\approx\,210\%2C086$

Étape finale : Complètement du tableau

1. Nombre de garçons total :
$Nombre\,de\,garcons\,=\,381\%2C132\,-\,214\%2C308\,\approx\,166\%2C824$

2. Nombre de garçons admis :
$Nombre\,de\,garcons\,admis\,=\,371\%2C705\,-\,210\%2C086\,\approx\,161\%2C619$

3. Nombre de filles et garçons refusés :
$Nombre\,de\,filles\,refusees\,=\,214\%2C308\,-\,210\%2C086\,\approx\,4\%2C222$
$Nombre\,de\,garcons\,refuses\,=\,166\%2C824\,-\,161\%2C619\,\approx\,5\%2C205$

Tableau complété :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A%26\,Admis\,%26\,Refuse\,%26\,Total\,\\%0D%0A\hline%0D%0AFille\,%26\,210\%2C086\,%26\,4\%2C222\,%26\,214\%2C308\,\\%0D%0A\hline%0D%0AGarcon\,%26\,161\%2C619\,%26\,5\%2C205\,%26\,166\%2C824\,\\%0D%0A\hline%0D%0ATotal\,%26\,371\%2C705\,%26\,9\%2C427\,%26\,381\%2C132\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 23 : les menus d’une brasserie
\documentclass{article}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}

\begin{document}

Nous allons représenter les données fournies dans le tableau par un diagramme en barres cumulées.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Café Pas de café \\
\hline
Entrée + Plat 24 50 \\
\hline
Plat + Dessert 46 30 \\
\hline
Total 70 80 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Pour le diagramme en barres cumulées, nous allons utiliser le package \texttt{pgfplots} de \LaTeX. Voici le code :

\begin{verbatim}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
ybar stacked,
bar width=20pt,
ymin=0, ymax=100,
enlarge x limits=0.4,
legend style={at={(0.5,-0.15)},
anchor=north,legend columns=-1},
ylabel={Nombre de clients},
symbolic x coords={Café, Pas de café},
xtick=data,
x tick label style={rotate=45, anchor=east},
nodes near coords, nodes near coords align={vertical},
]
\addplot coordinates {(Café,24) (Pas de café,50)};
\addplot coordinates {(Café,46) (Pas de café,30)};
\legend{Entrée + Plat, Plat + Dessert}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{verbatim}

Et voici le résultat graphique :

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
ybar stacked,
bar width=20pt,
ymin=0, ymax=100,
enlarge x limits=0.4,
legend style={at={(0.5,-0.15)},
anchor=north,legend columns=-1},
ylabel={Nombre de clients},
symbolic x coords={Café, Pas de café},
xtick=data,
x tick label style={rotate=45, anchor=east},
nodes near coords, nodes near coords align={vertical},
]
\addplot coordinates {(Café,24) (Pas de café,50)};
\addplot coordinates {(Café,46) (Pas de café,30)};
\legend{Entrée + Plat, Plat + Dessert}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Diagramme en barres cumulées des menus pris par les clients}
\end{figure}

\end{document}

Exercice 24 : l’énergie cinétique d’un vélo
a. Pour représenter les données du tableau par un nuage de points sur un repère, on place les couples $(v%2C\,E)$ sur un graphique. Les couples sont : $(1%2C\,15)$ , $(2%2C\,60)$ , $(2.5%2C\,94)$ , $(3%2C\,135)$ et $(5%2C\,375)$ .

$\begin{array}{cccccc}%0D%0Av\,%26\,1\,%26\,2\,%26\,2.5\,%26\,3\,%26\,5\,\\%0D%0AE\,%26\,15\,%26\,60\,%26\,94\,%26\,135\,%26\,375\,\\%0D%0A\end{array}$

Voici un exemple de représentation graphique, en utilisant LaTeX :

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={v (m/s)},
ylabel={E (J)},
grid=both,
width=10cm,
height=7cm,
ymin=0, ymax=400,
xmin=0, xmax=6
]
\addplot[
only marks,
mark=*,
color=red
] coordinates {
(1, 15)
(2, 60)
(2.5, 94)
(3, 135)
(5, 375)
};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Nuage de points représentant l’énergie cinétique en fonction de la vitesse.}
\end{figure}

b. Pour déterminer s’il existe un lien entre la vitesse et l’énergie cinétique , on peut analyser la relation $E\,=\,\frac{1}{2}\,m\,v^2$ . Selon cette relation, l’énergie cinétique est proportionnelle au carré de la vitesse .

Si nous prenons les valeurs de et du tableau et essayons de vérifier cette relation :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Av\,%26\,E\,%26\,\frac{E}{v^2}\,\\%0D%0A\hline%0D%0A1\,%26\,15\,%26\,15\,\\%0D%0A2\,%26\,60\,%26\,15\,\\%0D%0A2.5\,%26\,94\,%26\,15.04\,\\%0D%0A3\,%26\,135\,%26\,15\,\\%0D%0A5\,%26\,375\,%26\,15\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Les valeurs du rapport $\frac{E}{v^2}$ sont pratiquement constantes et avoisinent 15, ce qui confirme que $E\,\propto\,v^2$ . Ainsi, il existe un lien quadratique entre l’énergie cinétique et la vitesse .

Exercice 25 : répartition des résidences principales
a. Parmi ces ménages, combien sont propriétaires de leur résidence principale ?

Le nombre de ménages propriétaires de leur résidence principale est:

$13881\,%2B\,3230\,=\,17111\,\,(en\,milliers)$

b. Recopier et compléter le tableau ci-dessus.

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A%26\,1\,\leq\,\,F\,\leq\,\,3\,%26\,F\,\geq\,\,4\,%26\,Total\,\\%0D%0A\hline%0D%0AProprietaire\,%26\,13881\,%26\,3230\,%26\,17111\,\\%0D%0A\hline%0D%0ALocataire\,%26\,9000\,%26\,1776\,%26\,10776\,\\%0D%0A\hline%0D%0ALoge\,gratuitement\,%26\,1770\,%26\,666\,%26\,2436\,\\%0D%0A\hline%0D%0ATotal\,%26\,24651\,%26\,5662\,%26\,29752\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

c. Commenter le tableau.

Le tableau montre la répartition des différentes catégories de ménages selon le nombre de personnes les composant et leur statut d’occupation en 2018 en France. Nous pouvons observer que la majorité des ménages, qu’ils soient petits (1 à 3 personnes) ou grands (4 personnes et plus), sont propriétaires de leur résidence principale. En ce qui concerne les locataires, ils sont majoritairement des petits ménages (1 à 3 personnes). De plus, une petite proportion des ménages vit dans des résidences occupées à titre gratuit. Le total du nombre de ménages est de 29 752 milliers, avec un nombre plus élevé de petits ménages (24 651 milliers) comparé aux grands ménages (5 662 milliers).

Exercice 26 : répartition de la composition des repas
a. Complétons le tableau :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A%26\,Dejeuner\,%26\,Diner\,%26\,Total\,\\%0D%0A\hline%0D%0AFeculents\,%26\,25\%25\,%26\,15\%25\,%26\,40\%25\,\\%0D%0A\hline%0D%0ALegumes\,%26\,15\%25\,%26\,10\%25\,%26\,25\%25\,\\%0D%0A\hline%0D%0AViande\,ou\,poisson\,%26\,20\%25\,%26\,5\%25\,%26\,25\%25\,\\%0D%0A\hline%0D%0ATotal\,%26\,60\%25\,%26\,30\%25\,%26\,100\%25\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b. Analyse des affirmations :

$Affirmation\,1\,%3A$ 40 % des repas sont pris au dîner.

Faux. Le tableau rempli montre que seulement 30 % des repas sont pris au dîner.

$Affirmation\,2\,%3A$ 40 % des aliments sont des féculents pris au déjeuner.

Faux. Nous savons que 25 % des aliments sont des féculents pris au déjeuner.

$Affirmation\,3\,%3A$ 10 % des aliments sont des légumes qui sont pris au déjeuner.

Vrai. Le tableau montre que 15 % des 60 % (soit 25 %) des aliments pris au déjeuner sont des légumes.

$Affirmation\,4\,%3A$ Parmi les aliments des dîners, Pauline prend 5 % de viande ou poisson.

Vrai. Le tableau montre que 5 % des repas au dîner sont de la viande ou du poisson.

Exercice 27 : diagramme des résultats du baccalauréat
a. Vrai. Selon le diagramme, la proportion d’élèves refusés pour le bac général est la plus faible des trois types de bacs. On peut voir que la section rouge pour le bac général est beaucoup plus petite que pour les deux autres types de baccalauréat.

b. Faux. La fréquence d’élèves admis sans mention (en violet) est la plus élevée pour le bac professionnel, pas pour le bac technologique. On voit que la section violette pour le bac professionnel est plus grande que celle pour le bac technologique.

c. Faux. Environ 20 % des candidats du bac général ont mention très bien. D’après le diagramme, la proportion de candidats du bac général ayant une mention très bien (en bleu) est d’environ 15%, et non 20%.

d. Faux. Pour le bac technologique, la fréquence de la mention assez bien (en vert) est plus élevé comparé au bac général. On peut voir que la section verte pour les candidats du bac technologique est plus grande que pour celles des autres types de baccalauréat.

En résumé:
– $a.$ Vrai
– $b.$ Faux
– $c.$ Faux
– $d.$ Faux

Exercice 28 : diagramme circulaire des membres du gouvernement
Correction de l’exercice :

Commenter les similitudes et les différences dans la répartition entre les hommes et les femmes.

Similitudes :
– Il y a une répartition comparable dans le groupe des 20-40 ans pour les deux sexes, avec respectivement 24% de femmes et 19% d’hommes.

Différences :
– Il y a une proportion plus élevée d’hommes dans le groupe des 40-60 ans (62%) par rapport aux femmes (57%).
– Les femmes sont plus présentes dans le groupe des 60-80 ans (14%) par rapport aux hommes (24%).

Recopier ce tableau et le compléter à l’aide du diagramme. Arrondir à l’unité.

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A%26\,%5B20%3B40%5B\,%26\,%5B40%3B60%5B\,%26\,%5B60%3B80%5B\,%26\,Total\,\\%0D%0A\hline%0D%0AFemme\,%26\,5\,%26\,12\,%26\,3\,%26\,21\,\\%0D%0A\hline%0D%0AHomme\,%26\,4\,%26\,13\,%26\,4\,%26\,21\,\\%0D%0A\hline%0D%0ATotal\,%26\,9\,%26\,25\,%26\,7\,%26\,42\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Pour déterminer le nombre exact de chaque catégorie :
– Femmes 20-40 ans: $24\%25$ de 21 (environ 5)
– Femmes 40-60 ans: $57\%25$ de 21 (environ 12)
– Femmes 60-80 ans: $14\%25$ de 21 (environ 3)

– Hommes 20-40 ans: $19\%25$ de 21 (environ 4)
– Hommes 40-60 ans: $62\%25$ de 21 (environ 13)
– Hommes 60-80 ans: $24\%25$ de 21 (environ 4)

Total:
– Pour la tranche d’âge 20-40 ans: 5 femmes + 4 hommes = 9
– Pour la tranche d’âge 40-60 ans: 12 femmes + 13 hommes = 25
– Pour la tranche d’âge 60-80 ans: 3 femmes + 4 hommes = 7

Exercice 29 : le nombre de morts dans les accidents
a. En 2010, le nombre de morts sur les routes peut être estimé à environ 3 800.

b. Le nombre de morts sur les routes a été inférieur à 3 000 en 2020 et 2021.

c. En 2014, il y a eu environ 3 300 morts sur les routes, tandis qu’en 2018, il y a eu environ 3 250 morts. Donc, il y a eu plus de morts sur les routes en 2014 qu’en 2018.

Exercice 30 : l’évolution des produits bio
a. À partir du graphique, on observe que la part de produits bio dans la restauration collective a diminué entre 2014 et 2017. En 2014, elle était de 59 %, puis elle est passée à 58 % en 2015, à 57 % en 2016, et enfin à 57 % en 2017. On peut donc qualifier cette évolution de décroissante sur cette période.

b. Complétons le graphique avec les données fournies : en 2018, la part est de 61 %, et en 2019, elle est de 65 %. Voici le graphique complété :

$\begin{tikzpicture}%0D%0A\begin{axis}%5B%0D%0Awidth=0.95\textwidth%2C%0D%0Aheight=0.5\textwidth%2C%0D%0Agrid=major%2C%0D%0Axlabel={Annee}%2C%0D%0Aylabel={Produits\,bio\,(en\,\%25)}%2C%0D%0Aymin=56%2C\,ymax=66%2C%0D%0Axtick={2014%2C\,2015%2C\,2016%2C\,2017%2C\,2018%2C\,2019}%2C%0D%0Aytick={56%2C57%2C...%2C66}%2C%0D%0Ayticklabel\,style={%2Fpgf%2Fnumber\,format%2Ffixed}%2C%0D%0A%5D%0D%0A\addplot%5Bonly\,marks%2C\,mark=x%2C\,mark\,size=3pt%2C\,red%5D\,coordinates\,{%0D%0A(2014%2C59)%0D%0A(2015%2C58)%0D%0A(2016%2C57)%0D%0A(2017%2C57)%0D%0A(2018%2C61)%0D%0A(2019%2C65)%0D%0A}%3B%0D%0A\end{axis}%0D%0A\end{tikzpicture}$

c. Les nouvelles données pour 2018 et 2019 montrent une augmentation de la part de produits bio dans la restauration collective, passant de 61 % en 2018 à 65 % en 2019. Cela contraste avec la tendance décroissante observée de 2014 à 2017. Par conséquent, ces nouvelles données ne confirment pas la réponse à la question a. Les nouvelles données indiquent une inversion de la tendance, montrant une augmentation de la part de produits bio à partir de 2018.

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : diagramme en barre cumulées
a. En mobilité locale, le nombre d’occupants du véhicule le plus fréquent est celui des occupants « Seul » (en vert). La hauteur des barres vertes est la plus grande dans chaque catégorie de distance parcourue en mobilité locale. Le nombre de kilomètres parcourus n’influence pas notablement cette réponse, car dans chaque segment de distance (moins de 20 km, de 20 à moins de 50 km, de 50 à moins de 100 km), la catégorie « Seul » reste majoritaire.

b. Pour les distances longues, la répartition selon le nombre d’occupants est à peu près identique pour les catégories « De 100 à moins de 200 km » et « De 200 à moins de 500 km ». Dans ces deux catégories, les pourcentages de chaque type d’occupants (Seul, Deux, Trois ou plus) sont assez similaires, sans qu’un type d’occupants soit nettement plus fréquent qu’un autre.

c. Ce diagramme montre que :
– En mobilité locale, la majorité des véhicules sont occupés par une seule personne, quel que soit le segment de distance.
– En longue distance, il semble y avoir plus de diversité dans le nombre d’occupants. La proportion de véhicules avec trois occupants ou plus (en rose) est plus importante pour les longs trajets (à partir de 200 km).
– La proportion de véhicules avec un seul occupant diminue à mesure que la distance augmente, tandis que la proportion de véhicules avec deux, et particulièrement trois occupants ou plus, tend à augmenter.

Cela peut être interprété en termes d’organisation des trajets : les trajets quotidiens plus courts sont souvent effectués seul, probablement pour des raisons de flexibilité et de praticité, tandis que les trajets plus longs sont plus souvent partagés, possiblement pour des raisons économiques ou sociales (covoiturage, voyages en famille ou entre amis).

Exercice 32 : diagramme de la répartition de voitures neuves
Émilien affirme que « Les voitures hybrides rechargeables représentent moins de la moitié des véhicules hybrides ».

Les véhicules hybrides se divisent en trois catégories selon le graphique :
– Diesel – hybride non rechargeable : $2%2C1\,\%25$
– Essence – hybride non rechargeable : $15%2C5\,\%25$
– Hybride rechargeable : $8%2C4\,\%25$