Exercice 1 : tableau de variation et images
1. \( f(0) < f(1) \)
Selon le tableau, \( f(x) \) augmente sur l’intervalle \([-1, 2]\), ce qui implique que la valeur maximale de \( f(x) \) sur cet intervalle est atteinte à \( x = 2 \). Toutefois, on ne connait pas la valeur exacte de \( f(0) \) et \( f(1) \). Ainsi, \[\]on ne peut pas savoir\[\] si cette affirmation est vraie ou fausse.
2. \( f(-3) < f(4) \)
Selon le tableau, \( f(x) \) décroît sur l’intervalle \([-4, -1]\) et sur l’intervalle \([2, 5]\). On peut donc conclure que la valeur de \( f(x) \) en \( 4 \) est inférieure à la valeur de \( f(x) \) en \( 2 \) et de même pour \( f(x) \) en \(-3\) est supérieure à celle en \(-1\). Cependant, sans connaître les valeurs exactes sur chaque intervalle, \[\]on ne peut pas savoir\[\] si cette affirmation est vraie ou fausse.
3. \( f(0) > f(5) \)
Selon le tableau, \( f(x) \) décroît sur l’intervalle \([2, 5]\) avec \( f(5) = -5 \) et \( f(2) = 1\). La valeur en \( f(0) \) est inconnue. Puisque \( f(5) \) est très petit, il est très probable que cette affirmation soit vraie, mais \[\]on ne peut pas savoir\[\] pour sûr sans la valeur exacte de \( f(0) \).
4. \( f(3) < f(5) \)
Selon le tableau, \( f(x) \) décroît sur l’intervalle \([2, 5]\) avec \( f(5) = -5 \). La valeur en \( f(3) \) est inconnue. Comme \( f(x) \) décroît, cela rend probable que \( f(3) > -5 \). Donc, cette affirmation est \[\]fausse\[\].
5. \( f(2) > f(-3) \)
Selon le tableau, \( f(2) = 1 \). La valeur exacte de \( f(-3) \) n’est pas donnée, mais comme \( f(x) \) décroît sur l’intervalle \([-4, -1]\), il est possible que \( f(-3) \) soit supérieur à \( 3 \), la valeur en \( f(-4) \). Par conséquent, cette affirmation est \[\]fausse\[\].
6. \( f(3) < f(4) \)
Selon le tableau, \( f(x) \) décroît sur l’intervalle \([2, 5]\), donc \( f(4) \) est plus petite que \( f(3) \). Par conséquent, cette affirmation est \[\]fausse\[\].
Exercice 2 : préciser le sens de variation des fonctions usuelles
Correction de l’exercice :
1. \( f : x \mapsto -2x + 5 \) sur \(\mathbb{R}\):
La fonction \( f \) est une fonction affine de la forme \( f(x) = ax + b \) avec \( a = -2 \).
Le coefficient directeur \( a = -2 \) étant négatif, la fonction \( f \) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
2. \( g : x \mapsto x^2 \) sur \(\mathbb{R}\):
Pour \( x \in \mathbb{R} \), la dérivée de \( g \) est \( g'(x) = 2x \).
– Si \( x > 0 \), \( g'(x) = 2x > 0 \), donc \( g \) est croissante sur \( ]0, +\infty[ \).
– Si \( x < 0 \), \( g'(x) = 2x < 0 \), donc \( g \) est décroissante sur \( ]-\infty, 0[ \).
– Si \( x = 0 \), \( g'(0) = 0 \).
Donc, la fonction \( g \) est décroissante sur \( ]-\infty, 0] \) et croissante sur \( [0, +\infty[ \).
3. \( h : x \mapsto 3x – 7 \) sur \(\mathbb{R}\):
La fonction \( h \) est une fonction affine de la forme \( h(x) = ax + b \) avec \( a = 3 \).
Le coefficient directeur \( a = 3 \) étant positif, la fonction \( h \) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
4. \( l : x \mapsto \frac{1}{x} \) sur \( ]-\infty , 0[ \) et sur \( ]0 ; +\infty[ \):
Pour \( x \in ]-\infty, 0[ \) et \( x \in ]0, +\infty[ \), la dérivée de \( l \) est \( l'(x) = -\frac{1}{x^2} \).
– Si \( x < 0 \), \( l'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \), donc \( l \) est décroissante sur \( ]-\infty, 0[ \).
– Si \( x > 0 \), \( l'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \), donc \( l \) est décroissante sur \( ]0, +\infty[ \).
Donc, la fonction \( l \) est décroissante sur \( ]-\infty , 0[ \) et sur \( ]0 ; +\infty[ \).
Exercice 3 : comparer des nombres sans les calculer
1) \(1,15^2\) et \(1,3^2\)
\(1,15 < 1,3\ \Rightarrow\ 1,15^2 < 1,3^2\)
2) \((-2,05)^2\) et \((-1,99)^2\)
Pour tout nombre réel \(a\), \(a^2 \geq\, 0\), et la fonction \(x \mapsto x^2\) est croissante pour \(x > 0\). Ainsi:
\(2,05 > 1,99\ \Rightarrow\ (2,05)^2 > (1,99)^2\)
Comme \((-2,05)^2 = (2,05)^2\) et \((-1,99)^2 = (1,99)^2\), nous avons donc:
\((-2,05)^2 > (-1,99)^2\)
3) \(\frac{1}{\sqrt{2} + 1}\) et \(\frac{1}{\sqrt{2} + 3}\)
Comparons \(\sqrt{2} + 1\) et \(\sqrt{2} + 3\):
\(\sqrt{2} + 1 < \sqrt{2} + 3\)
La fonction \(f(x) = \frac{1}{x}\) est décroissante pour \(x > 0\):
Donc, si \(a < b\) alors \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b}\)
Ainsi:
\(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} > \frac{1}{\sqrt{2} + 3}\)
4) \(-\frac{1}{0,8}\) et \(-\frac{1}{0,7}\)
Comparons \(0,8\) et \(0,7\):
\(0,8 > 0,7\)
La fonction \(f(x) = \frac{1}{x}\) est décroissante pour \(x > 0\):
Donc, si \(a > b\) alors \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)
Ainsi:
\(\frac{1}{0,8} < \frac{1}{0,7}\)
Donc, \(-\frac{1}{0,8} > -\frac{1}{0,7}\)
Nous avons donc:
\(-\frac{1}{0,8} > -\frac{1}{0,7}\)
Exercice 4 : résoudre des équations et des inéquations
\[\]Correction des exercices\[\]
1. \[\]Résoudre les équations suivantes.\[\]
1) \[
\frac{1}{x} = -2
\]
Pour résoudre cette équation, multiplions les deux côtés par \( x \) (en tenant compte que \( x \neq 0 \)):
\[
1 = -2x
\]
Ensuite, résolvons pour \( x \):
\[
x = -\frac{1}{2}
\]
2) \[
\frac{1}{x} = \frac{3}{4}
\]
De la même manière, multiplions les deux côtés par \( x \) :
\[
1 = \frac{3}{4} x
\]
Ensuite, résolvons pour \( x \):
\[
x = \frac{4}{3}
\]
3) \[
\frac{-3}{x} = \frac{1}{5}
\]
Pour résoudre cette équation, multiplions les deux côtés par \( x \):
\[
-3 = \frac{1}{5}x
\]
Ensuite, résolvons pour \( x \) :
\[
x = -15
\]
—
2. \[\]Encadrer \( \frac{1}{x} \) pour chaque intervalle donné.\[\]
1) \( 2 \leq\, x \leq\, 5 \)
Sachons que \( \frac{1}{x} \) est une fonction décroissante. Donc, les bornes de \( \frac{1}{x} \) dans cet intervalle sont:
\[
\frac{1}{5} \leq\, \frac{1}{x} \leq\, \frac{1}{2}
\]
2) \( -4 \leq\, x < -\frac{1}{2} \)
Encore, \( \frac{1}{x} \) est décroissante et les bornes sont:
\[
-2 \leq\, \frac{1}{x} < -\frac{1}{4}
\]
3) \( 10^2 \leq\, x \leq\, 10^4 \)
\[
\frac{1}{10^4} \leq\, \frac{1}{x} \leq\, \frac{1}{10^2}
\]
4) \( -1 < x < -10^{-2} \)
\[
-100 < \frac{1}{x} < -1
\]
—
3. \[\]Résoudre les inéquations suivantes en s’aidant du graphique.\[\]
1) \( x^2 > 1 \)
D’après le graphique, \( x^2 > 1 \) lorsque \( x > 1 \) ou \( x < -1 \). Donc, la solution est:
\[
x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)
\]
2) \( x^2 \leq\, 4 \)
D’après le graphique, \( x^2 \leq\, 4 \) lorsque \( -2 \leq\, x \leq\, 2 \). Donc, la solution est:
\[
x \in [-2, 2]
\]
3) \( \frac{1}{x} > 2 \)
D’après le graphique, \( \frac{1}{x} > 2 \) :
\[
0 < x < \frac{1}{2}
\]
4) \( \frac{1}{x} \leq\, \frac{1}{2} \)
D’après le graphique, \( \frac{1}{x} \leq\, \frac{1}{2} \) lorsque \( x \leq\, \frac{1}{2} \) ou \( x > 2 \). Donc, la solution est:
\[
x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup (2, \infty)
\]
Exercice 5 : fonction racine carrée et valeur absolue
\[\]Correction de l’exercice de mathématiques\[\]
1. \[\]Dans chaque cas, calculer l’image du nombre proposé par la fonction racine carrée.\[\]
\(1) \quad \sqrt{49} = 7\)
\[
2) \quad \sqrt{100} = 10
\]
\(3) \quad \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}\)
\[
4) \quad \sqrt{10^8} = 10^4
\]
\(5) \quad \sqrt{4 \times 10^{-6}} = 2 \times 10^{-3}\)
2. \[\]Dans chaque cas, donner les antécédents éventuels du nombre proposé par la fonction racine carrée.\[\]
\(1) \quad 3 \quad \Rightarrow \quad \pm 3^2 = 9\)
\[
2) \quad 0 \quad \Rightarrow \quad 0\)
\]
\(3) \quad \sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad 5\)
\[
4) \quad -1 \quad \Rightarrow \quad \text{Pas d’antécédent réel}
\]
\(5) \quad 10^{-2} \quad \Rightarrow \quad (10^{-2})^2 = 10^{-4}\)
3. \[\]Calculer.\[\]
\(1) \quad |8| = 8\)
\[
2) \quad |0| = 0
\]
\(3) \quad |-2| = 2\)
\[
4) \quad |6 – 2\pi| \approx |6 – 6.28| \approx |-0.28| = 0.28
\]
\(5) \quad |\sqrt{2} – 1| \approx |1.414 – 1| = 0.414\)
\[
6) \quad |1 – \pi| \approx |1 – 3.14| = 2.14
\]
4. \[\]Donner la valeur absolue des nombres suivants.\[\]
\(1) \quad |-4| = 4\)
\[
2) \quad |(-3)^2| = 9
\]
\(3) \quad |\sqrt{5} – 3| \approx |2.236 – 3| = 0.764\)
\[
4) \quad 1 – \pi \approx 1 – 3.14 = -2.14 \quad \Rightarrow \quad |1 – \pi| = 2.14
\]
\(5) \quad 2 – \sqrt{2} \approx 2 – 1.414 = 0.586 \quad \Rightarrow \quad |2 – \sqrt{2}| = 0.586\)
\[
6) \quad (-1)^5 = -1 \quad \Rightarrow \quad |-1| = 1\]
Exercice 6 : valeur absolue et inverse
1) \(|x| = 5\)
\(x = 5 \quad \text{ou} \quad x = -5\)
2) \(|x| = \sqrt{2}\)
\(x = \sqrt{2} \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{2}\)
3) \(|x| = -\pi\)
Pas de solution car \(|x|\) est toujours positif ou nul.
Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0 < a < b < 3\).
Compléter par \(<\) ou \(>\).
1) \(\sqrt{a} \ldots \sqrt{b}\)
\(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) car \(a < b\).
2) \(\dfrac{1}{\sqrt{a}} \ldots \dfrac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{a}} > \dfrac{1}{\sqrt{b}}\) car \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\).
3) \(|a| \ldots |b|\)
\(|a| < |b|\) car \(a < b\) et ils sont tous les deux positifs.
4) \(a^2 \ldots b^2\)
\(a^2 < b^2\) car \(a < b\) et ils sont tous les deux positifs.
5) \(\dfrac{1}{a^2} \ldots \dfrac{1}{b^2}\)
\(\dfrac{1}{a^2} > \dfrac{1}{b^2}\) car \(a^2 < b^2\).
6) \(\dfrac{-4}{a^2} \ldots \dfrac{-4}{b^2}\)
\(\dfrac{-4}{a^2} < \dfrac{-4}{b^2}\) car \(a^2 < b^2\) et les deux fractions sont négatives.
7) \(\sqrt{a} – 1 \ldots \sqrt{b} – 1\)
\(\sqrt{a} – 1 < \sqrt{b} – 1\) car \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\).
8) \(|a – 3| \ldots |b – 3|\)
\(|a – 3| > |b – 3|\) car \(|a – 3| = 3 – a\) et \(|b – 3| = 3 – b\), et \(a < b\).
9) \(|3 – a| \ldots |3 – b|\)
Même raisonnement que pour 8), \(|3 – a| > |3 – b|\).
10) \( -2|a| \ldots -2|b|\)
Multipliant par \(-2\) les deux côtés de \(|a| < |b|\), on obtient \(-2|a| > -2|b|\).
Exercice 7 : fonction linéaire, affine et inverse
Soit \( u \) une fonction croissante sur un intervalle \( I \).
1) \( u – 2 \) : Une fonction affine de \( u \) conserve le même sens de variation que \( u \). Par conséquent, \( u – 2 \) est croissante sur \( I \).
2) \( u + 3 \) : De même, \( u + 3 \) est croissante sur \( I \).
3) \( -3u \) : Une multiplication par une constante négative inverse le sens de variation. Donc \( -3u \) est décroissante sur \( I \).
4) \( -7u \) : En utilisant le même principe, \( -7u \) est décroissante sur \( I \).
5) \( -2u + 8 \) : Une constante ajoutée à une fonction multidimensionnée n’affecte pas son sens de variation. Donc \( -2u + 8 \) est décroissante sur \( I \).
6) \( 4u – 1 \) : Puisqu’il s’agit d’une addition d’une constante, cela n’affecte pas le sens de variation. \( 4u – 1 \) est croissante sur \( I \).
Soit \( u \) une fonction strictement positive et décroissante sur un intervalle \( I \).
1) \( \frac{1}{u} \) : Si \( u \) est décroissante et strictement positive, alors \( \frac{1}{u} \) sera croissante sur \( I \).
2) \( -\frac{2}{u} \) : Une multiplication par une constante négative inverse le sens de variation. \( \frac{2}{u} \) est croissante, donc \( -\frac{2}{u} \) est décroissante sur \( I \).
3) \( \sqrt{u} \) : La racine carrée est une fonction croissante pour une fonction strictement positive. Si \( u \) est décroissante, alors \( \sqrt{u} \) est également décroissante sur \( I \).
Exercice 8 : encadrement d’un nombre
1) Comparer sans calculatrice:
Pour comparer les nombres donnés :
\[\sqrt{0}\], \[0,3\], et \[0,3^2\]
\begin{align*}
\sqrt{0} = 0 \\
0,3^2 = 0,09 \\
\text{Donc, } 0 < 0,09 < 0,3
\end{align*}
\[1,2\] ; \[\sqrt{1,2}\] et \[1,2^2\]
\begin{align*}
\sqrt{1,2} \approx 1,095 \\
1,2^2 = 1,44 \\
\text{Donc, } 1,095 < 1,2 < 1,44
\end{align*}
2) Dans chaque cas, déterminer un encadrement de \[\sqrt{x}\].
Si \[0 < x < 4\]
\begin{align*}
\sqrt{0} < \sqrt{x} < \sqrt{4} \\
0 < \sqrt{x} < 2
\end{align*}
Si \[0 \leq\, x \leq\, 0,04\]
\begin{align*}
\sqrt{0} \leq\, \sqrt{x} \leq\, \sqrt{0,04} \\
0 \leq\, \sqrt{x} \leq\, 0,2
\end{align*}
Si \[1 \leq\, x < 9 \times 10^{6}\]
\begin{align*}
\sqrt{1} \leq\, \sqrt{x} < \sqrt{9 \times 10^{6}} \\
1 \leq\, \sqrt{x} < 3000
\end{align*}
3) Soit \[x\] un réel tel que \[0 \leq\, x \leq\, 9\]. Dans chacun des cas, déterminer un encadrement de:
\[\sqrt{x} – 5\]
\begin{align*}
x = 0 \implies \sqrt{0} – 5 = -5 \\
x = 9 \implies \sqrt{9} – 5 = -2 \\
\text{Donc, } -5 \leq\, \sqrt{x} – 5 \leq\, -2
\end{align*}
\[\frac{10 – x}{5}\]
\begin{align*}
x = 0 \implies \frac{10 – 0}{5} = 2 \\
x = 9 \implies \frac{10 – 9}{5} = 0,2 \\
\text{Donc, } 0,2 \leq\, \frac{10 – x}{5} \leq\, 2
\end{align*}
\[\frac{10 – x}{\sqrt{x} + 1}\]
\begin{align*}
x = 0 \implies \frac{10 – 0}{\sqrt{0} + 1} = 10 \\
x = 9 \implies \frac{10 – 9}{\sqrt{9} + 1} = \frac{1}{4} = 0,25 \\
\text{Donc, } 0,25 \leq\, \frac{10 – x}{\sqrt{x} + 1} \leq\, 10
\end{align*}
\[- \sqrt{x^{2} + 19}\]
\begin{align*}
x = 0 \implies – \sqrt{0^2 + 19} = – \sqrt{19} \\
x = 9 \implies – \sqrt{9^2 + 19} = – \sqrt{100} = -10 \\
\text{Donc, } -10 \leq\, – \sqrt{x^{2} + 19} \leq\, – \sqrt{19}
\end{align*}
\[-2 \sqrt{x} + 1\]
\begin{align*}
x = 0 \implies -2 \sqrt{0} + 1 = 1 \\
x = 9 \implies -2 \sqrt{9} + 1 = -5 \\
\text{Donc, } -5 \leq\, -2 \sqrt{x} + 1 \leq\, 1
\end{align*}
4) Soit \(a\) et \(b\) deux réels positifs.
On pose \(X = a^2 + b^2\) et \(Y = (a + b)^2\). Comparer les réels \(X\) et \(Y\) en étudiant le signe de leur différence.
\begin{align*}
Y – X = (a + b)^2 – (a^2 + b^2) \\
= a^2 + 2ab + b^2 – a^2 – b^2 \\
= 2ab \\
\text{Comme } a \text{ et } b \text{ sont positifs, } 2ab > 0. \\
\text{Donc, } Y – X > 0 \text{ et } Y > X
\end{align*}
En utilisant le sens de variation de la fonction racine carrée, démontrer que \(\sqrt{a^2 + b^2} \leq\, a + b\).
La fonction racine carrée est croissante sur \(\mathbb{R}^+\), donc
\[
\sqrt{X} \leq\, \sqrt{Y} \implies \sqrt{a^2 + b^2} \leq\, \sqrt{(a + b)^2}
\]
\( \sqrt{(a + b)^2} = a + b \) car \(a\) et \(b\) sont positifs.
Ainsi, nous obtenons :
\[
\sqrt{a^2 + b^2} \leq\, a + b
\]
Exercice 9 : des équations et inéquations avec les racines carrées
\underline{Résoudre les équations.}
\[
\sqrt{x} = 4
\]
En élevant au carré des deux côtés, nous obtenons :
\[
x = 4^2 = 16
\]
\[
\sqrt{x} = -3
\]
Cette équation n’a pas de solution, car la racine carrée d’un nombre ne peut pas être négative.
\[
\sqrt{-3x} = 3
\]
En élevant au carré des deux côtés, nous obtenons :
\[
-3x = 3^2
\]
\[
-3x = 9
\]
\[
x = \frac{9}{-3} = -3
\]
\[
\sqrt{2x – 5} = 9
\]
En élevant au carré des deux côtés, nous obtenons :
\[
2x – 5 = 9^2
\]
\[
2x – 5 = 81
\]
\[
2x = 86
\]
\[
x = \frac{86}{2} = 43
\]
\underline{Résoudre les inéquations.}
\[
\sqrt{x} > 3
\]
En élevant les deux côtés au carré, nous obtenons :
\[
x > 9
\]
\[
\sqrt{x} \leq\, 10^2
\]
En élevant les deux côtés au carré, nous obtenons :
\[
x \leq\, 100
\]
\[
\sqrt{x} \leq\, -2
\]
Cette inéquation n’a pas de solution, car la racine carrée d’un nombre ne peut pas être négative.
\underline{Résoudre les inéquations.}
\[
\sqrt{x^2} < 1
\]
Élevant au carré des deux côtés, nous obtenons :
\[
x^2 < 1
\]
Les solutions sont donc :
\[
-1 < x < 1
\]
\[
\sqrt{x – 1} \leq\, 2
\]
Élevant au carré des deux côtés, nous obtenons :
\[
x – 1 \leq\, 4
\]
\[
x \leq\, 5
\]
\[
\sqrt{x + 2} \geq\, 3
\]
Élevant au carré des deux côtés, nous obtenons :
\[
x + 2 \geq\, 9
\]
\[
x \geq\, 7
\]
\underline{Exprimer sans racine carrée au dénominateur.}
\[
\frac{1}{\sqrt{3}}
\]
En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{3}\), nous obtenons :
\[
\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
\[
\frac{1}{\sqrt{2} + 1}
\]
En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{2} – 1\), nous obtenons :
\[
\frac{1 \cdot (\sqrt{2} – 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} – 1)} = \frac{\sqrt{2} – 1}{2 – 1} = \sqrt{2} – 1
\]
\[
\frac{2}{\sqrt{3} – 1}
\]
En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{3} + 1\), nous obtenons :
\[
\frac{2 \cdot (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 – 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = \sqrt{3} + 1
\]
\[
\frac{1}{\sqrt{5} – \sqrt{2}}
\]
En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{5} + \sqrt{2}\), nous obtenons :
\[
\frac{1 \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} – \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 – (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{5 – 2} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3}
\]
Exercice 10 : comparaison de racines carrée et de carrés
On pose \( x = \sqrt{2} – 1 \).
Comparons \( x \) et \( \sqrt{x} \) :
Calculons \( x^2 \) :
\[ x^2 = (\sqrt{2} – 1)^2 = 2 – 2\sqrt{2} + 1 = 3 – 2\sqrt{2} \]
Comme \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), \( 2\sqrt{2} \approx 2.828 \).
\[ x^2 = 3 – 2.828 = 0.172 \]
Nous avons donc \( x^2 \), qui est une valeur comprise entre \( 0 \) et \( 1 \).
Puisque \( x = \sqrt{2} – 1 \approx 0.414 \) est plus grand que \( x^2 \approx 0.172 \), nous avons \( x > x^2 \).
Calculons \( \sqrt{x} \) :
\[ \sqrt{x} = \sqrt{\sqrt{2} – 1} \]
Comme \( \sqrt{2} > 1 \), nous avons \( \sqrt{2} – 1 < 1 \). Donc \( \sqrt{\sqrt{2} – 1} < 1 \) et comme \( \sqrt{2} \) est irrationnelle et plus proche de 1 que de 2, nous en déduisons que :
\[ x < \sqrt{x} \]
Finalement, nous avons :
\[ x < \sqrt{x} < 1 \]
On pose \( y = \sqrt{5} – 1 \).
Comparons \( y \) et \( \sqrt{y} \) :
Calculons \( y^2 \) :
\[ y^2 = (\sqrt{5} – 1)^2 = 5 – 2\sqrt{5} + 1 = 6 – 2\sqrt{5} \]
Comme \( \sqrt{5} \approx 2.236 \), \( 2\sqrt{5} \approx 4.472 \).
\[ y^2 = 6 – 4.472 = 1.528 \]
Nous avons donc \( y^2 \), qui est une valeur comprise entre \( 0 \) et \( 2 \).
Puisque \( y = \sqrt{5} – 1 \approx 1.236 \) est plus petit que \( y^2 \approx 1.528 \), nous avons \( y < y^2 \).
Calculons \( \sqrt{y} \) :
\[ \sqrt{y} = \sqrt{\sqrt{5} – 1} \]
Comme \( \sqrt{5} > 2 \), nous avons \( \sqrt{5} – 1 < 2 \). Donc \( \sqrt{\sqrt{5} – 1} < \sqrt{2} \approx 1.414 \), et \( \sqrt{2} – 1 \approx 0.414 \).
Nous en déduisons que :
\[ y > \sqrt{y} \]
Finalement, nous avons :
\[ \sqrt{y} < y < y^2 \]
Soit \( a \) un réel tel que \( 1 \leq\, a \leq\, 2 \).
Comparons \( a – 1 \), \( \sqrt{a – 1} \) et \( (a – 1)^2 \).
Notons que si \( 1 \leq\, a \leq\, 2 \), alors \( 0 \leq\, a – 1 \leq\, 1 \). Posons \( b = a – 1 \), donc \( 0 \leq\, b \leq\, 1 \).
\[ \sqrt{b} \leq\, b \leq\, b^2 \]
En effet, puisque \( 0 \leq\, b \leq\, 1 \),
\[ b \geq\, b^2 \]
et
\[ \sqrt{b} \leq\, b \]
car la fonction racine carré est croissante pour les valeurs positives de \( b \).
Donc,
\[ \sqrt{a – 1} \leq\, a – 1 \leq\, (a – 1)^2 \]
Comparons \( 2a – 1 \), \( \sqrt{2a – 1} \) et \( (2a – 1)^2 \).
Posons \( c = 2a – 1 \). L’intervalle \( 2 \leq\, 2a \leq\, 4 \) nous donne \( 1 \leq\, c \leq\, 3 \).
Notons que pour \( 1 \leq\, c \leq\, 3 \), \( \sqrt{c} \leq\, c \leq\, c^2 \).
En effet,
\[ c^2 \geq\, c \geq\, \sqrt{c} \]
Pour montrer cela, considérons que \( c \geq\, \sqrt{c} \) pour \( c \geq\, 1 \) et \( c^2 \geq\, c \) est une évidence pour \( c \geq\, 1 \).
Donc,
\[ \sqrt{2a – 1} \leq\, 2a – 1 \leq\, (2a – 1)^2 \]
[/expander_maker]
Exercice 11 : position relative de courbes
{Correction de l’exercice}
Les fonctions \( f \) et \( g \) sont définies par :
\[ f(x) = x^2 – 3x – 5 \]
\[ g(x) = -x^2 + x + 1 \]
1) {Étude du signe de \( f(x) – g(x) \)}
Calculons \( f(x) – g(x) \) :
\[ f(x) – g(x) = (x^2 – 3x – 5) – (-x^2 + x + 1) \]
\[ f(x) – g(x) = x^2 – 3x – 5 + x^2 – x – 1 \]
\[ f(x) – g(x) = 2x^2 – 4x – 6 \]
Il s’agit maintenant d’étudier le signe de \( 2x^2 – 4x – 6 \). Nous commençons par chercher les racines de ce polynôme en résolvant l’équation :
\[ 2x^2 – 4x – 6 = 0 \]
La résolution de cette équation quadratique utilise la formule du discriminant \(\Delta\) :
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ a = 2, \; b = -4, \; c = -6 \]
\[ \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-6) \]
\[ \Delta = 16 + 48 \]
\[ \Delta = 64 \]
Les racines sont alors :
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4} \]
\[ x = \frac{4 \pm 8}{4} \]
Nous obtenons deux racines :
\[ x_1 = 3 \]
\[ x_2 = -1 \]
Le polynôme \( 2x^2 – 4x – 6 \) se factorise donc :
\[ 2x^2 – 4x – 6 = 2(x + 1)(x – 3) \]
L’étude du signe de \( 2(x + 1)(x – 3) \) montre que :
– \( 2(x + 1)(x – 3) \) est positif sur les intervalles \( (-\infty, -1) \) et \((3, +\infty) \)
– \( 2(x + 1)(x – 3) \) est négatif sur l’intervalle \( (-1, 3) \)
2) {Position relative des courbes \( C_f \) et \( C_g \)}
– \( C_f \) est au-dessus de \( C_g \) pour \( x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) \)
– \( C_f \) est au-dessous de \( C_g \) pour \( x \in (-1, 3) \)
– \( C_f \) et \( C_g \) se coupent en \( x = -1 \) et \( x = 3 \)
{Pour les autres fonctions définies par :}
\[ f(x) = -3x^2 + 5x + 2 \]
\[ g(x) = -x + 2 \]
Nous étudions de nouveau le signe de \( f(x) – g(x) \) :
\[ f(x) – g(x) = (-3x^2 + 5x + 2) – (-x + 2) \]
\[ f(x) – g(x) = -3x^2 + 5x + 2 + x – 2 \]
\[ f(x) – g(x) = -3x^2 + 6x \]
Le facteur commun nous donne :
\[ -3x^2 + 6x = -3x(x – 2) \]
L’étude du signe de \( -3x(x – 2) \) montre que :
– \( -3x(x – 2) \) est positive sur l’intervalle \( (0, 2) \)
– \( -3x(x – 2) \) est négative sur les intervalles \( (-\infty, 0) \) et \( (2, +\infty) \)
{Position relative des courbes \( C_f \) et \( C_g \) pour ces fonctions :}
– \( C_f \) est au-dessous de \( C_g \) pour \( x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \)
– \( C_f \) est au-dessus de \( C_g \) pour \( x \in (0, 2) \)
– \( C_f \) et \( C_g \) se coupent en \( x = 0 \) et \( x = 2 \)
Exercice 12 : position relative et tracés de courbes
Pour déterminer la position relative des courbes \(C_f\) et \(C_g\) représentatives des fonctions \(f\) et \(g\):
1. \[\]Étude de l’intersection des courbes \(C_f\) et \(C_g\)\[\]
On cherche les points d’intersection des courbes \(C_f\) et \(C_g\), ce qui équivaut à résoudre l’équation \(f(x) = g(x)\).
\[ f(x) = g(x) \]
\[ \frac{1}{3}(2x + 1) = \sqrt{x} \]
Posons \( y = \sqrt{x} \). Alors \( x = y^2 \). Substituons \( x \) par \( y^2 \) dans l’équation :
\[ \frac{1}{3}(2y^2 + 1) = y \]
\[ 2y^2 + 1 = 3y \]
\[ 2y^2 – 3y + 1 = 0 \]
Cette équation est une équation quadratique. En utilisant la formule quadratique \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\), où \( a = 2 \), \( b = -3 \) et \( c = 1 \), nous obtenons :
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-3)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1 \]
\[ \Delta = 9 – 8 \]
\[ \Delta = 1 \]
Les solutions de cette équation sont donc :
\[ y = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} \]
\[ y = \frac{3 \pm 1}{4} \]
\[ y_1 = \frac{4}{4} = 1 \]
\[ y_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Revenons à \( x \) en remplaçant \( y \) par \(\sqrt{x}\) :
Pour \( y_1 = 1 \), \( \sqrt{x} = 1 \) donc \( x = 1 \).
Pour \( y_2 = \frac{1}{2} \), \( \sqrt{x} = \frac{1}{2} \) donc \( x = ( \frac{1}{2} )^2 = \frac{1}{4} \).
Donc, les points d’intersection sont \( x = 1 \) et \( x = \frac{1}{4} \).
2. \[\]Tracé des courbes \(C_f\) et \(C_g\) dans un repère orthonormé\[\]
Pour tracer les courbes, nous calculons quelques valeurs de \( f(x) \) et \( g(x) \) sur l’intervalle \([0,2]\):
Pour \( f(x) = \frac{1}{3}(2x + 1) \):
\[
\begin{array}{c|c}
x f(x) \\
\hline
0 \frac{1}{3} (2 \cdot 0 + 1) = \frac{1}{3} \\
0.5 \frac{1}{3} (2 \cdot 0.5 + 1) = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3} \\
1 \frac{1}{3} (2 \cdot 1 + 1) = 1 \\
1.5 \frac{1}{3} (2 \cdot 1.5 + 1) = \frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3} \\
2 \frac{1}{3} (2 \cdot 2 + 1) = \frac{5}{3} \\
\end{array}
\]
Pour \( g(x) = \sqrt{x} \):
\[
\begin{array}{c|c}
x g(x) \\
\hline
0 \sqrt{0} = 0 \\
0.5 \sqrt{0.5} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.71 \\
1 \sqrt{1} = 1 \\
1.5 \sqrt{1.5} \approx 1.22 \\
2 \sqrt{2} \approx 1.41 \\
\end{array}
\]
En utilisant ces valeurs, nous pouvons tracer les courbes \( C_f \) et \( C_g \) dans un repère orthonormé d’unité 4 cm.
Exercice 13 : calculs de valeurs absolues et de distances
\[
\begin{aligned}
1) | 10^{-5} – 10^{-3} | = | \frac{1}{100000} – \frac{1}{1000} |
= | \frac{1 – 100}{100000} |
= | \frac{-99}{100000} |
= \frac{99}{100000}
= 9.9 \times 10^{-4}, \\
2) | 9 \times 10^4 – 10^5 | = | 90000 – 100000 |
= | -10000 |
= 10000, \\
3) | -10^{-3} | = | -\frac{1}{1000} |
= \frac{1}{1000}
= 10^{-3}, \\
4) | \pi – 4 |
= |\pi – 4|
\approx |3.14 – 4|
= |-0.86|
= 0.86, \\
5) | -2 – \sqrt{2} |
= | -2 – 1.414 |
= | -3.414 |
= 3.414, \\
6) | 10 – 3\pi |
= |10 – 3\pi|
\approx |10 – 9.42|
= |0.58|
= 0.58.
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
1) \quad a = 7 \text{ et } b = -5
\Rightarrow |a – b|
= |7 – (-5)|
= |7 + 5|
= 12, \\
2) \quad a = -3 \text{ et } b = -8
\Rightarrow |a – b|
= |-3 – (-8)|
= |-3 + 8|
= 5, \\
3) \quad a = -5.1 \text{ et } b = 2.3
\Rightarrow |a – b|
= |-5.1 – 2.3|
= |-7.4|
= 7.4, \\
4) \quad a = \sqrt{2} \text{ et } b = -\sqrt{8}
\Rightarrow |a – b|
= | \sqrt{2} – (-\sqrt{8}) |
= | \sqrt{2} + 2\sqrt{2} |
= | 3\sqrt{2} |
= 3\sqrt{2}
\approx 4.24, \\
5) \quad a = 6 \text{ et } b = 2\pi
\Rightarrow |a – b|
= |6 – 2\pi|
\approx |6 – 6.28|
= |-0.28|
= 0.28.
\end{aligned}
\]
Exercice 14 : valeur absolues et distances
La correction de l’exercice est la suivante:
Pour \( A \):
\[
A = |2,4 – 0,8| + |7,38 + 0,5| + |1,2 – 5,08|
\]
Effectuons les opérations à l’intérieur des valeurs absolues :
\[
A = |1,6| + |7,88| + |-3,88|
\]
Puis, nous calculons les valeurs absolues :
\[
A = 1,6 + 7,88 + 3,88 = 13,36
\]
Pour \( B \):
\[
B = | \frac{1}{3} – \frac{2}{3} | + | \frac{2}{3} – 1 | – | \frac{4}{3} – 1 |
\]
Simplifions chaque partie :
\[
B = | -\frac{1}{3} | + | -\frac{1}{3} | – | \frac{1}{3} |
\]
Calculons les valeurs absolues :
\[
B = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} – \frac{1}{3} = \frac{1}{3}
\]
Traductions des expressions algébriques avec le mot « distance » :
1. \( |x – 8| = 2 \) :
– La distance entre \( x \) et 8 est égale à 2.
2. \( |x| > 1 \) :
– La distance entre \( x \) et 0 est supérieure à 1.
3. \( |x + 3| = 4 \) :
– La distance entre \( x \) et -3 est égale à 4.
4. \( |x – 0,8| \leq\, 4 \) :
– La distance entre \( x \) et 0,8 est inférieure ou égale à 4.
Exercice 15 : algorithme de calcul
1) Faire fonctionner cet algorithme pour les valeurs de \( x \) suivantes : \(-8\); \(\frac{1}{3}\); \(0\); \(\pi\) et \(-3\).
Pour chaque valeur de \( x \), nous devons déterminer si \( x – 3 \geq\, 0 \) ou non :
– Pour \( x = -8 \):
\[
x – 3 = -8 – 3 = -11 \leq\, 0
\]
Donc, le résultat affiché est \( 3 – x = 3 – (-8) = 11 \).
– Pour \( x = \frac{1}{3} \):
\[
x – 3 = \frac{1}{3} – 3 = \frac{1}{3} – \frac{9}{3} = -\frac{8}{3} \leq\, 0
\]
Donc, le résultat affiché est \( 3 – x = 3 – \frac{1}{3} = \frac{9}{3} – \frac{1}{3} = \frac{8}{3} \).
– Pour \( x = 0 \):
\[
x – 3 = 0 – 3 = -3 \leq\, 0
\]
Donc, le résultat affiché est \( 3 – x = 3 – 0 = 3 \).
– Pour \( x = \pi \):
\[
x – 3 = \pi – 3 \approx 3.14159 – 3 = 0.14159 \geq\, 0
\]
Donc, le résultat affiché est \( x – 3 = \pi – 3 \approx 0.14159 \).
– Pour \( x = -3 \):
\[
x – 3 = -3 – 3 = -6 \leq\, 0
\]
Donc, le résultat affiché est \( 3 – x = 3 – (-3) = 6 \).
2) Pour un nombre réel \( x \) quelconque, quel est le résultat affiché en sortie ?
Le résultat affiché par l’algorithme dépend de la valeur de \( x \). Il est défini par la fonction :
\[
f(x) =
\begin{cases}
x – 3 \text{si } x \geq\, 3 \\
3 – x \text{si } x < 3
\end{cases}
\]
3) Modifier cet algorithme pour qu’il affiche en sortie l’image de \( x \) par la fonction : \( x \mapsto |−2x + 5| \).
Pour cela, nous devons modifier l’algorithme pour qu’il calcule et affiche \( |−2x + 5| \).
\begin{verbatim}
1. Variable : x réel
2. Entrée
3. Saisir x
4. Traitement
5. Afficher | -2x + 5 |
\end{verbatim}
En pseudocode, cela pourrait ressembler à :
\begin{verbatim}
Variable : x réel
Entrée
Saisir x
Traitement
Afficher | -2 * x + 5 |
Fin
\end{verbatim}
Ainsi, quelle que soit la valeur de \( x \) saisie, l’algorithme affichera \( |-2x + 5| \).
Exercice 16 : tableau de variation de g=u+3
Pour dresser les tableaux de variations des fonctions \( f = u – 2 \) et \( g = u + 3 \) sur l’intervalle \([-2; 4]\), nous devons d’abord transformer les valeurs de \( u(x) \) selon les fonctions données.
\[\]1. Calcul du tableau de variations pour \( f(x) = u(x) – 2 \):\[\]
\[
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x -2 0 4 \\
\hline
u(x) 0 -2 3 \\
\hline
f(x) u(x) – 2 0 – 2 3 – 2 \\
= -2 = -4 = 1 \\
\hline
\end{array}
\]
Donc, le tableau de variations de \( f(x) = u(x) – 2 \) est :
\[
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x -2 0 4 \\
\hline
f(x) -2 -4 1 \\
\hline
\end{array}
\]
*Remarque: \( f(x) \) décroît de \( -2 \) à \( -4 \) puis croît de \( -4 \) à \( 1 \).*
\[\]2. Calcul du tableau de variations pour \( g(x) = u(x) + 3 \):\[\]
\[
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x -2 0 4 \\
\hline
u(x) 0 -2 3 \\
\hline
g(x) u(x) + 3 0 + 3 3 + 3 \\
= 3 = 1 = 6 \\
\hline
\end{array}
\]
Donc, le tableau de variations de \( g(x) = u(x) + 3 \) est :
\[
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x -2 0 4 \\
\hline
g(x) 3 1 6 \\
\hline
\end{array}
\]
*Remarque: \( g(x) \) décroît de \( 3 \) à \( 1 \) puis croît de \( 1 \) à \( 6 \).*
Exercice 17 : reproduire le graphique de f+2 et -2f
Correction de l’exercice :
### Représentation graphique de \( f + 2 \):
L’ajout de la constante 2 à la fonction \( f \) se traduit par une translation verticale de 2 unités vers le haut. Ainsi, pour chaque point \((x, y)\) de la courbe de \( f \), la nouvelle ordonnée sera \( y + 2 \).
### Représentation graphique de \( \frac{1}{2}f \):
La fonction \( \frac{1}{2}f \) est une compression verticale de \( f \) avec un facteur \( \frac{1}{2} \). Pour chaque point \((x, y)\) de la courbe de \( f \), la nouvelle ordonnée sera \( \frac{y}{2} \).
### Représentation graphique de \( -2f \):
La fonction \( -2f \) est une réflexion de \( f \) par rapport à l’axe des abscisses suivie d’une dilatation verticale par un facteur 2. Pour chaque point \((x, y)\) de la courbe de \( f \), la nouvelle ordonnée sera \( -2y \).
### Graphiques :
Ci-dessous sont les étapes de transformation et les représentations graphiques correspondantes.
#### 1. \( f + 2 \)
Pour \( f + 2 \), on a :
\( f(-1) = 1 \Rightarrow f(-1) + 2 = 3 \)
\( f(0) = 1 \Rightarrow f(0) + 2 = 3 \)
\( f(1) = 0 \Rightarrow f(1) + 2 = 2 \)
\( f(2) = -1 \Rightarrow f(2) + 2 = 1 \)
\( f(3) = 0 \Rightarrow f(3) + 2 = 2 \)
\( f(5) = 4 \Rightarrow f(5) + 2 = 6 \)
#### 2. \( \frac{1}{2}f \)
Pour \( \frac{1}{2}f \), on a :
\( f(-1) = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}f(-1) = \frac{1}{2} \)
\( f(0) = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}f(0) = \frac{1}{2} \)
\( f(1) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}f(1) = 0 \)
\( f(2) = -1 \Rightarrow \frac{1}{2}f(2) = -\frac{1}{2} \)
\( f(3) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}f(3) = 0 \)
\( f(5) = 4 \Rightarrow \frac{1}{2}f(5) = 2 \)
#### 3. \( -2f \)
Pour \( -2f \), on a :
\( f(-1) = 1 \Rightarrow -2f(-1) = -2 \)
\( f(0) = 1 \Rightarrow -2f(0) = -2 \)
\( f(1) = 0 \Rightarrow -2f(1) = 0 \)
\( f(2) = -1 \Rightarrow -2f(2) = 2 \)
\( f(3) = 0 \Rightarrow -2f(3) = 0 \)
\( f(5) = 4 \Rightarrow -2f(5) = -8 \)
### Conclusion :
La transformation des fonctions est réalisée par les opérations suivantes sur leurs images respectives :
– \( f + 2 \) : Translation verticale vers le haut de 2 unités.
– \( \frac{1}{2}f \) : Compression verticale par un facteur \( \frac{1}{2} \).
– \( -2f \) : Réflexion par rapport à l’axe des abscisses et dilatation verticale par un facteur 2.
Les graphiques doivent être redessinés en fonction des transformations expliquées ci-dessus pour chaque fonction.
Exercice 18 : associer à chaque courbe la bonne fonction
Pour déterminer les fonctions associées à chaque courbe, observons comment chaque graphe se positionne par rapport à la courbe \( C \) représentant la fonction \( u \).
1. \[\]Courbe \( C_1 \)\[\] :
– La courbe \( C_1 \) semble être une translation verticale de la courbe \( C \) vers le haut de 1 unité. Cela signifie que \( C_1 \) représente la fonction \( u + 1 \).
2. \[\]Courbe \( C_2 \)\[\] :
– La courbe \( C_2 \) est plus compressée par rapport à \( C \) mais inversée en dessous de l’axe horizontal, ce qui suggère une multiplication par un coefficient négatif. Il semble que l’étirement soit le double. Donc, \( C_2 \) représente la fonction \( -2u \).
3. \[\]Courbe \( C_3 \)\[\] :
– La courbe \( C_3 \) est étirée par rapport à \( C \) vers le bas également en dessous de l’axe horizontal, ce qui indique une multiplication par une valeur positive plus petite que 1. La compression indique un rétrécissement de moitié, donc \( C_3 \) représente la fonction \( -\frac{1}{2}u \).
4. \[\]Courbe \( C_4 \)\[\] :
– La courbe \( C_4 \) est une translation verticale de la courbe \( C \) vers le bas de 1 unité. Cela signifie que \( C_4 \) représente la fonction \( u – 1 \).
En résumé, les fonctions associées aux courbes sont :
– \( C_1 \) : \( u + 1 \)
– \( C_2 \) : \( -2u \)
– \( C_3 \) : \( -\frac{1}{2}u \)
– \( C_4 \) : \( u – 1 \)
Exercice 19 : fonctions carré et inverse
La fonction \( u \) est définie sur \( \mathbb{R} \) par \( u(x) = x^2 – 1 \).
La courbe représentative de \( u \) est une parabole dont le sommet est au point \((0, -1)\), ouverte vers le haut.
– Pour la fonction \( -u \):
\[ -u(x) = -(x^2 – 1) = -x^2 + 1 \]
La courbe de \( -u \) est une parabole dont le sommet est au point \((0, 1)\), ouverte vers le bas.
– Pour la fonction \( u + 2 \):
\[ u(x) + 2 = (x^2 – 1) + 2 = x^2 + 1 \]
La courbe de \( u + 2 \) est une parabole dont le sommet est au point \((0, 1)\), ouverte vers le haut.
– Pour la fonction \( \frac{1}{4}u \):
\[ \frac{1}{4}u(x) = \frac{1}{4}(x^2 – 1) = \frac{1}{4}x^2 – \frac{1}{4} \]
La courbe de \( \frac{1}{4}u \) est une parabole dont le sommet est au point \((0, -\frac{1}{4})\), ouverte vers le haut, et plus « aplatie » que celle de \( u \).
En observant le graphe fourni:
– La courbe orange représente \( u(x) = x^2 – 1 \).
– La courbe turquoise (ouverte vers le haut et décalée vers \( y = 1 \)) représente \( u + 2 \).
– La courbe rouge (ouverte vers le bas) représente \( -u \).
– La courbe bleue (plus aplatie que \( u \)) représente \( \frac{1}{4}u \).
Exercice 20 : logiciel de géométrie et distance minimale
1. a) Réaliser la figure avec un logiciel de géométrie dynamique comme GeoGebra.
b) En déplaçant le point \(M\) le long de la courbe, la distance \(AM\) semble minimale lorsque \(M\) est proche de l’abscisse \(1\).
2) Vérification que \(AM = \sqrt{x^2 – 3x + 4}\) :
Soit \(A(2, 0)\) et \(M(x, \sqrt{x})\). La distance \(AM\) est donnée par:
\[ AM = \sqrt{(x-2)^2 + (\sqrt{x}-0)^2} \]
\[ AM = \sqrt{(x-2)^2 + x} \]
Développons \( (x-2)^2 \) :
\[ AM = \sqrt{x^2 – 4x + 4 + x} \]
\[ AM = \sqrt{x^2 – 3x + 4} \]
La formule est donc vérifiée.
3) Pour trouver la position de \(M\) telle que \(AM\) soit minimale, on doit minimiser la fonction :
\[ f(x) = \sqrt{x^2 – 3x + 4} \]
Minimiser \( f(x) \) revient à minimiser \( f(x)^2 \) car la racine carrée est une fonction croissante. Soit :
\[ g(x) = x^2 – 3x + 4 \]
On dérive \( g(x) \) pour trouver son minimum :
\[ g'(x) = 2x – 3 \]
On résout \( g'(x) = 0 \) :
\[ 2x – 3 = 0 \]
\[ x = \frac{3}{2} \]
On vérifie que \( g »(x) \) est positif en \( x = \frac{3}{2} \) pour s’assurer qu’il s’agit bien d’un minimum :
\[ g »(x) = 2 \]
Donc, \( g(x) \) a un minimum en \( x = \frac{3}{2} \).
La position de \( M \) telle que la distance \( AM \) soit minimale est donc \( x = \frac{3}{2} \). Pour cette valeur, \( M ( \frac{3}{2}, \sqrt{\frac{3}{2}} ) \).
Exercice 21 : QCM sur les fonctions de référence
Pour résoudre l’inéquation \( |x + 2| < 5 \), nous devons considérer les deux inégalités suivantes :
\[ -5 < x + 2 < 5 \]
En résolvant ces inégalités, nous avons :
\[ -5 – 2 < x < 5 – 2 \]
\[ -7 < x < 3 \]
Ainsi, l’ensemble des solutions est :
\[ {b) } ]-7; 3[ \]
Pour factoriser la fonction \( f \) définie par \( f(x) = 12 – 3(x+1)^2 \), nous devons d’abord développer l’expression :
\[ f(x) = 12 – 3(x^2 + 2x + 1) \]
\[ f(x) = 12 – 3x^2 – 6x – 3 \]
\[ f(x) = -3x^2 – 6x + 9 \]
\[ f(x) = -3(x^2 + 2x – 3) \]
Ensuite, nous devons factoriser le polynôme \( x^2 + 2x – 3 \) :
\[ x^2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) \]
Ainsi, la forme factorisée de la fonction est :
\[ f(x) = -3(x + 3)(x – 1) \]
Donc, la bonne réponse est :
\[ {d) } -3(x-1)(x+3) \]
Exercice 22 : qCM sur les fonctions carrées
La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -5 – (x-1)^2\) est :
1. Étude de la monotonie de \(f(x)\) :
– \(f(x)\) est une parabole tournée vers le bas (car le coefficient de \( (x-1)^2 \) est négatif).
– Le sommet de la parabole \(y = -5 – (x-1)^2\) se situe en \(x = 1\).
– La fonction est décroissante sur \( ]-\infty ; 1] \).
La réponse correcte est donc : \[\]b) décroissante sur \( ]-\infty ; 1] \)\[\].
—
La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2(5-x)(-x-1)\) est positive sur :
1. Recherche des zéros de \(f(x)\) :
\[
f(x) = 2(5-x)(-x-1) = 0
\]
– Les solutions de cette équation sont : \(x = 5\) et \(x = -1\).
2. Détermination du signe de \(f(x)\) :
– En \( x = 5 \), \( f(x) \) change de signe.
– En \( x = -1 \), \( f(x) \) change de signe également.
– Étudions le signe sur les intervalles :
– Pour \( x \in ]-\infty, -1[ \), \( (5-x) \) est positif et \( (-x-1) \) est négatif, donc \( f(x) \) est négatif.
– Pour \( x \in ]-1, 5[ \), \( (-x-1) \) est positif et \( (5-x) \) est également positif, donc \( f(x) \) est positif.
– Pour \( x \in ]5, +\infty[ \), \( (5-x) \) est négatif et \( (-x-1) \) est négatif aussi, donc \( f(x) \) est positif.
La réponse correcte est donc : \[\]b) \( ]-\infty ; -1] \cup [5 ; +\infty[ \)\[\].
Exercice 23 : qCM sur la valeur absolue et la fonction carrée
Correction de l’exercice :
1. La réunion d’intervalles \( ]-\infty ; -3] \cup [5 ; +\infty[ \) est l’ensemble des solutions de :
Pour retrouver les intervalles \( ]-\infty ; -3] \cup [5 ; +\infty[ \), cherchons l’inéquation corrrespondante. Nous avons :
\[
x \leq\, -3 \quad \text{ou} \quad x \geq\, 5
\]
Cela correspond en effet à \( |x – 1| \geq\, 4 \). Vérification :
\[
|x – 1| \geq\, 4 \implies x – 1 \leq\, -4 \quad \text{ou} \quad x – 1 \geq\, 4
\]
\[
x \leq\, -3 \quad \text{ou} \quad x \geq\, 5
\]
Donc, la réponse correcte est l’option a \( |x-1| \geq\, 4 \).
2. La fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = -2x^2 – 4x + 6 \) admet pour expression :
Nous devons factoriser l’expression donnée :
\[
f(x) = -2x^2 – 4x + 6
\]
Voyons les différentes options proposées :
Option a: \( -2(x + 3)(x – 1) \) :
\[
-2(x + 3)(x – 1) = -2(x^2 – x + 3x – 3) = -2(x^2 + 2x – 3)
\]
Ce n’est donc pas cette option.
Option b: \( 2(x + 3)(1 – x) \) :
\[
2(x + 3)(1 – x) = 2((x + 3)(1 – x)) = 2(1 – x^2 – 3x + x)
\]
Ce n’est donc pas cette option.
Option c: \( -2(x + 1)^2 + 8 \)
\[
-2(x + 1)^2 + 8 = -2(x^2 + 2x + 1) + 8 = -2x^2 – 4x – 2 + 8 = -2x^2 – 4x + 6
\]
Cela est correct. Donc la réponse est l’option c.
3. La courbe d’une fonction \( f : x \mapsto ax^2 + bx + c \) est au-dessus de l’axe des abscisses. Donc :
Si la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses, cela signifie que le polynôme \( ax^2 + bx + c \) n’a pas de racines réelles et est positif pour tout \( x \in \mathbb{R} \), ce qui implique que :
– \( a > 0 \)
– \( \Delta < 0 \)
Pour \( ax^2 + bx + c \), nous pouvons affirmer que \( a > 0 \).
Donc la réponse correcte est l’option a \( a > 0 \).
Exercice 24 : qCM sur les courbes représentatives
{Première partie: Comparaison des fonctions \[f\] et \[g\]}
Soient \[f\] et \[g\] définies par \[f(x) = 4x – 1\] et \[g(x) = (x + 5)^2 – 17\].
\[C_f\] est en dessous de \[C_g\] sur \[[-3 ; +\infty[\]
\[
\text{Comparons } f(x) \text{ et } g(x) \text{ sur cet intervalle}:
\]
Posons \[h(x) = g(x) – f(x) = (x + 5)^2 – 17 – (4x – 1) = x^2 + 10x + 25 – 17 – 4x + 1 = x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\]
\[\begin{cases}
(x + 3)^2 \geq\, 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} \\
(x + 3)^2 = 0 \text{ si et seulement si } x = -3
\end{cases}\]
Donc \[h(x) \geq\, 0\] pour tout \[x \in [-3, +\infty[\], c’est-à-dire \[g(x) \geq\, f(x)\] sur cet intervalle. \\
{La réponse a est correcte.}
\[C_f\] est en dessous de \[C_g\] sur \[[-3 ; +\infty[\]
\[
La même démonstration que pour l’item a s’applique ici.
\]
{La réponse b est correcte.}
\[C_f\] est en dessous de \[C_g\] sur \[[-\infty ; -3]\]
\[
Posons \[h(x) = g(x) – f(x) = (x + 5)^2 – 17 – (4x – 1) = x^2 + 10x + 25 – 17 – 4x + 1 = x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2
\]
Pour \]x \leq\, -3\[, \](x + 3)^2 \geq\, 0\[ donc \]h(x) \geq\, 0\[, c’est-à-dire \]g(x) \geq\, f(x)\[ sur cet intervalle. \\
{La réponse c est incorrecte.}
\]C_f\[ est au-dessus de \]C_g\[ sur \][-\infty ; -3]\[
\[
Nous avons déjà prouvé que \]g(x) \geq\, f(x)\[ sur \][-\infty ; -3]\[.
\]
{La réponse d est correcte.}
{Deuxième partie: étude de la fonction \]f\[}
La fonction \]f\[ est définie par les points \](-5; 0)\[, \](0; 15)\[, \](3; 0)\[ et le sommet \]S(-1 ; 16)\[.
\]f\[ admet un minimum sur \]\mathbb{R}\[
\[
\text{Puisque } S \text{ est le sommet de la parabole, le minimum de } f \text{ est atteint en } x = -1.
\]
{La réponse a est correcte.}
\]f\[ admet pour expression \]f(x) = -x^2-2x+15\[
\[
La forme canonique d’un tel polynôme est \]f(x) = a(x+1)^2 + 16\[. En utilisant les points donnés, on ajuste l’expression pour obtenir \]f(x) = -x^2 – 2x + 15\[.
\]
{La réponse b est correcte.}
\]C_f\[ coupe l’axe des abscisses en \]x = 15\[
\[
Les points d’intersection avec l’axe des abscisses sont où \]f(x)=0\[. En utilisant les points donnés, \]f(x)\[ coupe l’axe des abscisses à \]-5\[ et \]3\[, pas à \]15\[.
\]
{La réponse c est incorrecte.}
\]f\[ a pour expression \]f(x) = 16 – (x + 1)^2\[
\[
Ceci est une réécriture de notre forme \]f(x)\[ dans la forme canonique, \]f(x)=- (x + 1)^2 + 16\[.
\]
{La réponse d est incorrecte.}
Exercice 25 : valeur absolue et calculs
1. \(| -5 |\)
\[
| -5 | = 5
\]
2. \(|1 – \sqrt{3}|\)
Sachant que \(\sqrt{3} \approx 1.732\), alors \(1 – \sqrt{3} < 0\).
\[
| 1 – \sqrt{3} | = -(1 – \sqrt{3}) = \sqrt{3} – 1
\]
3. \(|x – 8|\) en distinguant les cas en fonction de \(x\).
\[
| x – 8 | =
\begin{cases}
x – 8 \text{si } x \geq\, 8 \\
-(x – 8) = 8 – x \text{si } x < 8
\end{cases}
\]
Résoudre les équations et inéquations.
1. \(| x | = -2\)
Aucune solution car la valeur absolue est toujours positive ou nulle.
2. \(| x | \geq\, 3\)
\[
| x | \geq\, 3 \implies x \leq\, -3 \text{ ou } x \geq\, 3
\]
3. \(3(x + 1)^2 – 5 = 1\)
\[
3(x + 1)^2 – 5 = 1
\]
\[
3(x + 1)^2 = 6
\]
\[
(x + 1)^2 = 2
\]
\[
x + 1 = \sqrt{2} \text{ ou } x + 1 = -\sqrt{2}
\]
\[
x = \sqrt{2} – 1 \text{ ou } x = -\sqrt{2} – 1
\]
4. \(3(x + 1)^2 – 1 > 11\)
\[
3(x + 1)^2 – 1 > 11
\]
\[
3(x + 1)^2 > 12
\]
\[
(x + 1)^2 > 4
\]
\[
x + 1 > 2 \text{ ou } x + 1 < -2
\]
\[
x > 1 \text{ ou } x < -3
\]
La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 7(x + 1)^2 – 3\).
\(f\) est une fonction quadratique de la forme \(a(x – h)^2 + k\) où \(a = 7\), \(h = -1\) et \(k = -3\).
– Le sommet de la parabole est en \((-1, -3)\).
– Le coefficient \(a = 7\) est positif, donc la parabole est tournée vers le haut.
– Les valeurs de \(f(x)\) sont toujours supérieures ou égales à -3.
Cela signifie que le minimum de la fonction est -3, atteint lorsque \(x = -1\). La fonction est décroissante pour \(x < -1\) et croissante pour \(x > -1\).
Exercice 26 : associe chaque courbe à sa fonction
1. Pour associer chaque courbe à sa fonction, nous devons analyser la forme des équations données et comparer avec les graphes.
– La fonction \( f(x) = -(x-2)(x+3) \) représente une parabole ouverte vers le bas, car le coefficient directeur de \( x^2 \) est négatif. En \((0, f(0))\), nous trouvons:
\[
f(x) = -(x^2 + x – 6) \Rightarrow f(0) = -(-6) = 6.
\]
La courbe \( C_1 \) (en bleu) représente donc la fonction \( f(x) \).
– La fonction \( g(x) = 3x^2 + 5x – 1 \) représente une parabole ouverte vers le haut, car le coefficient directeur de \( x^2 \) est positif. En \((0, g(0))\), nous trouvons:
\[
g(0) = -1.
\]
La courbe \( C_2 \) (en orange) représente donc la fonction \( g(x) \).
– La fonction \( h(x) = 7(x-1)^2 + 2 \) représente aussi une parabole ouverte vers le haut avec son sommet à \((1, 2)\). En \((0, h(0))\), nous trouvons:
\[
h(0) = 7(1) + 2 = 9.
\]
La courbe \( C_3 \) (en vert) représente donc la fonction \( h(x) \).
2. Pour déterminer l’ordonnée du point d’intersection entre \( C_2 \) et l’axe des ordonnées, nous devons trouver \( g(0) \):
\[
g(0) = 3(0)^2 + 5(0) – 1 = -1.
\]
Donc, l’ordonnée du point d’intersection entre \( C_2 \) et l’axe des ordonnées est \(-1\).
Exercice 27 : fonctions polynômes du second degré
La fonction \(f(x) = 6(x-1)^2 + 1\) est une parabole qui a son sommet au point (1, 1) et s’ouvre vers le haut. C’est la courbe \(\mathcal{C}_3\) (verte) sur le graphique.
Pour la fonction \(g(x) = 6(x+1)^2 + 1\), le sommet de la parabole est en (-1, 1) et elle s’ouvre également vers le haut. C’est la courbe \(\mathcal{C}_1\) (bleue).
Enfin, la fonction \(h(x) = 6(x+1)^2 – 1\) a son sommet au point (-1, -1) et s’ouvre vers le haut. C’est la courbe \(\mathcal{C}_2\) (orange).
En résumé:
\[\mathcal{C}_1 \to g(x) = 6(x+1)^2 + 1\]
\[\mathcal{C}_2 \to h(x) = 6(x+1)^2 – 1\]
\[\mathcal{C}_3 \to f(x) = 6(x-1)^2 + 1\]
Exercice 28 : inéquations et valeurs absolues
\[ \text{1. } |x| < 2 \]
\[ -2 < x < 2 \]
\[ \text{2. } 3 \leq\, |x| \leq\, 4 \]
\[ \text{Cette inéquation peut être décomposée en deux inéquations:} \]
\[ \begin{cases}
|x| \geq\, 3 \\
|x| \leq\, 4
\end{cases} \]
\[ \text{Pour } |x| \geq\, 3 : x \leq\, -3 \text{ ou } x \geq\, 3 \]
\[ \text{Pour } |x| \leq\, 4 : -4 \leq\, x \leq\, 4 \]
\[ \text{L’ensemble des solutions est donc :} \]
\[ [-4, -3] \cup [3, 4] \]
\[ \text{3. } |x – 3| \leq\, 5 \]
\[ \text{Cette inéquation se décompose en deux inéquations:} \]
\[ -5 \leq\, x – 3 \leq\, 5 \]
\[ \text{En ajoutant 3 aux trois membres de l’inéquation, on obtient:} \]
\[ -2 \leq\, x \leq\, 8 \]
\[ \text{4. } |x + 4| > 5 \]
\[ \text{Cette inéquation se décompose en deux inéquations:} \]
\[ x + 4 > 5 \]
\[ x > 1 \]
\[ x + 4 < -5 \]
\[ x < -9 \]
\[ \text{L’ensemble des solutions est donc :} \]
\[ x < -9 \cup x > 1 \]
Exercice 29 : algorithmes de calculs et fonctions
Correction de l’exercice :
1. Complétion de l’algorithme :
« `plaintext
Définir Solution (k) :
Si k < 0 alors :
Retourner « Pas de solution »
Sinon
Si k = 0 alors :
Retourner 0
Sinon
m ← k
n ← -k
Retourner m et n
Fin Si
Fin Si
« `
2. Tester l’algorithme avec \( k = 4 \), \( k = 0 \) et \( k = -3 \).
Pour \( k = 4 \) :
– \( k \ge 0 \)
– \( k \neq 0 \)
– Donc, retournons \( m = 4 \) et \( n = -4 \)
Pour \( k = 0 \) :
– \( k \ge 0 \)
– \( k = 0 \)
– Donc, retournons \( 0 \)
Pour \( k = -3 \) :
– \( k < 0 \)
– Donc, retournons « Pas de solution »
En résumé, voici la solution sous forme de texte :
« `plaintext
Pour k = 4 :
– Sortie : m = 4, n = -4
Pour k = 0 :
– Sortie : 0
Pour k = -3 :
– Sortie : Pas de solution
« `
En utilisant \(\LaTeX\) pour représenter les étapes de l’algorithme sous forme mathématique :
Pour \( k = 4 \) :
\[
\begin{cases}
m = 4 \\
n = -4 \\
\end{cases}
\]
Pour \( k = 0 \) :
\[
x = 0
\]
Pour \( k = -3 \) :
\[
\text{Pas de solution}
\]
Exercice 30 : valeurs absolues et propriétés
1. Soient \]x\[ et \]y\[ deux réels quelconques.
a. Choisissons par exemple \]x = -3\[ et \]y = 5\[.
b. Calculons \]|x| \times |y|\[ et \]|xy|\[:
\[
|x| = 3, \quad |y| = 5 \\
|x| \times |y| = 3 \times 5 = 15
\]
\[
xy = -3 \times 5 = -15 \quad \text{donc} \quad |xy| = |-15| = 15
\]
c. En répétant cette opération pour d’autres valeurs de \]x\[ et \]y\[:
– Si \]x = 2\[ et \]y = -7\[:
\[
|x| = 2, \quad |y| = 7 \\
|x| \times |y| = 2 \times 7 = 14
\]
\[
xy = 2 \times -7 = -14 \quad \text{donc} \quad |xy| = |-14| = 14
\]
– Si \]x = -4\[ et \]y = -6\[:
\[
|x| = 4, \quad |y| = 6 \\
|x| \times |y| = 4 \times 6 = 24
\]
\[
xy = -4 \times -6 = 24 \quad \text{donc} \quad |xy| = 24
\]
En général, la conjecture est que \]|x| \times |y| = |xy|\[ pour tous réels \]x\[ et \]y\[.
2. Nous allons vérifier cette conjecture dans les quatre cas suivants:
a. \]x = 0\[ ou \]y = 0\[:
\[
\text{Si } x = 0 \text{ alors } |x| = 0 \quad \text{et peu importe la valeur de } y, \quad |0| \times |y| = 0
\]
\[
xy = 0 \quad \text{donc} \quad |xy| = 0
\]
\[
\text{De même, si } y = 0 \text{ alors } |x| \times |0| = 0 \text{ et } |xy| = 0.
\]
\[
\text{Donc, pour } x = 0 \text{ ou } y = 0, \quad |x| \times |y| = |xy|
\]
b. \]x < 0\[ et \]y < 0\[:
\[
\text{Supposons } x = -a \text{ et } y = -b \text{ avec } a, b > 0
\]
\[
|x| = a \quad \text{et} \quad |y| = b
\]
\[
|x| \times |y| = a \times b = |xy| \text{ car } xy = (-a) \times (-b) = ab
\]
c. \]x < 0\[ et \]y > 0\[:
\[
\text{Supposons } x = -a \text{ et } y = b \text{ avec } a, b > 0
\]
\[
|x| = a \quad \text{et} \quad |y| = b
\]
\[
|x| \times |y| = a \times b \quad \text{et} \quad |xy| = |(-a) \times b| = |(-ab)| = ab
\]
d. \]x > 0\[ et \]y > 0\[:
\[
\text{Supposons } x = a \text{ et } y = b \text{ avec } a, b > 0
\]
\[
|x| = a \quad \text{et} \quad |y| = b
\]
\[
|x| \times |y| = a \times b = |xy| \quad \text{car} \quad xy = ab
\]
3. En conclusion, peu importe les signes de \]x\[ et \]y\[, nous avons:
\[
|x| \times |y| = |xy|
\]
Cette relation est vraie pour tous réels \]x\[ et \]y\[.
Exercice 31 : tracer des courbes de fonctions
1. a. Les courbes représentatives des fonctions \( f \) et \( g \) sont tracées en utilisant une calculatrice ou un logiciel de graphes. Voici les équations à tracer :
\[ f(x) = 3x^2 – x \]
\[ g(x) = \frac{2}{3}x \]
1. b. Conjecture concernant les points d’intersection :
Pour trouver les points d’intersection entre les courbes \( C_f \) et \( C_g \), nous devons résoudre l’équation :
\[ f(x) = g(x) \]
Ce qui donne :
\[ 3x^2 – x = \frac{2}{3}x \]
En égalisant, nous obtenons :
\[ 3x^2 – x – \frac{2}{3}x = 0 \]
Simplifions :
\[ 3x^2 – \frac{5}{3}x = 0 \]
Multiplions par 3 pour éliminer le dénominateur :
\[ 9x^2 – 5x = 0 \]
Factorisons l’équation :
\[ x (9x – 5) = 0 \]
Donc, les solutions sont :
\[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = \frac{5}{9} \]
Les coordonnées des points d’intersection sont donc :
Pour \( x = 0 \):
\[ g(0) = \frac{2}{3} \cdot 0 = 0 \]
Ainsi, le point d’intersection est \((0,0)\).
Pour \( x = \frac{5}{9} \):
\[ g(\frac{5}{9}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9} = \frac{10}{27} \]
Ainsi, le point d’intersection est \(( \frac{5}{9}, \frac{10}{27} ) \).
2. Démonstration algébrique de la conjecture :
Nous souhaitons vérifier que les points \((0,0)\) et \((\frac{5}{9}, \frac{10}{27})\) sont bien les points d’intersection des courbes \( C_f \) et \( C_g \).
Pour \( (0, 0) \):
\( f(0) = 3 \cdot 0^2 – 0 = 0 \)
\( g(0) = \frac{2}{3} \cdot 0 = 0 \)
Donc, le point (0, 0) est bien un point d’intersection.
Pour \( ( \frac{5}{9}, \frac{10}{27} ) \):
Calculons \( f( \frac{5}{9} ) \):
\[ f( \frac{5}{9} ) = 3 ( \frac{5}{9} )^2 – \frac{5}{9} \]
\[ = 3 \cdot \frac{25}{81} – \frac{5}{9} \]
\[ = \frac{75}{81} – \frac{45}{81} \]
\[ = \frac{30}{81} \]
\[ = \frac{10}{27} \]
Nous avons donc :
\[ f( \frac{5}{9} ) = \frac{10}{27} \]
Et
\[ g( \frac{5}{9} ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9} = \frac{10}{27} \]
Ainsi, \(( \frac{5}{9}, \frac{10}{27} )\) est bien un point d’intersection.
La conjecture est confirmée algébriquement. Les points d’intersection des courbes \( C_f \) et \( C_g \) sont \( (0,0) \) et \( ( \frac{5}{9}, \frac{10}{27} ) \).
Exercice 32 : compléter le tableau de valeurs
En sachant que \( f \) est une fonction polynôme du second degré, nous pouvons utiliser la symétrie de la parabole par rapport à son axe de symétrie pour compléter le tableau de valeurs.
Observons les paires de valeurs \( x \) et \( f(x) \) :
– Pour \( x = -5 \), \( f(x) = 66 \)
– Pour \( x = -1 \), \( f(x) = 18 \)
– Pour \( x = 2 \), \( f(x) = 3 \)
Il est pertinent de noter que lorsque \( x = 2 \), \( f(x) \) est au plus bas avec \( f(x) = 3 \); cela suggère que le sommet de la parabole pourrait être autour de \( x = 2 \), puisque nous observons une augmentation des valeurs de \( f(x) \) à gauche et à droite de cette valeur. Cependant, utilisons ensuite le point donné \( x = 4 \) et \( f(x) \) commence à remonter.
Ensuite, pour déterminer d’autres valeurs :
1. En utilisant l’intervalle de symétrie nous savons que :
– Entre -5 et 4,5 (9,5 intervalle total), donc chaque 4.5 la symetrie hors du sommet.
2. Les coefficients changent en présumant la régularité des valeurs sur des segments.
Pour simplifier, nous allons utiliser l’équation parabolique générique \( ax^2 + bx + c \) pour facilité démontrer le calcul, de les suites logiques devrait donner tous:
\[
f(4.6) = \text{ approx} 4.56 \, (symétrie, proche sommet)
\]
À 7, f(x) remontront équivaut à l’approximation initiale (précédemment calcul symétrique).
– Pour points intermédiaires de 11, dépendant maximum xx.
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x f(x) \\
\hline
4 3 \\
4.6 4,56 \\
7 11 \, compréhension fits \\
11 reexplore approx\to or can extend \text{find; repeated }
\hline
\end{array}
\]
Ce sont des exemples réitératifs approximatifs.
Ainsi, en utilisant les points donnés et les intervalles de parabole :
1. Nous pouvons estimer les valeurs, suivant :
– les simples paraboliques généralités de symétrie (second degrés coefficients linéaire).
Vérife calcul par coefs, multiples substitutions… pour autre perfection validant.
Exercice 33 : etude d’une parabole
1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
a. Quel est le signe de \(a\) ?
Le coefficient \(a\) détermine la concavité de la parabole. Comme la parabole est tournée vers le bas, le signe de \(a\) est négatif.
b. Donner les valeurs de \(c\), \(x_1\), \(x_2\), \(\alpha\) et \(\beta\).
– \(c\) est l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire l’ordonnée du point où la courbe coupe l’axe des ordonnées. Ici, ce point est \((0,1)\), donc \(c = 1\).
– \(x_1\) et \(x_2\) sont les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses. D’après la courbe, ces points sont \((0,0)\) et \((2,0)\), donc \(x_1 = 0\) et \(x_2 = 2\).
– \(\alpha\) est l’abscisse du sommet de la parabole. Le sommet de la parabole se situe à \(x = 1\), donc \(\alpha = 1\).
– \(\beta\) est l’ordonnée du sommet de la parabole. D’après la courbe, cette ordonnée est \(5\), donc \(\beta = 5\).
c. En déduire la valeur de \(a\).
En utilisant la forme canonique de la fonction \(f(x) = a(x – \alpha)^2 + \beta\), nous savons que lorsque \(x = \alpha = 1\), \(f(1) = \beta = 5\).
Nous savons aussi que \(f(0) = 1\). En remplaçant dans l’équation canonique \(f(x) = a(x – 1)^2 + 5\),
\[
f(0) = a(0 – 1)^2 + 5
\]
donne
\[
1 = a(1)^2 + 5 \Rightarrow 1 = a + 5 \Rightarrow a = -4.
\]
Ainsi, la valeur de \(a\) est \(a = -4\).
Exercice 34 : affirmations vraies ou fausses
1. \( f(-10) < 0 \)
D’après le tableau de signes, \( f(x) < 0 \) pour \( x \in ]-\infty, -8[ \cup ]2, +\infty[ \). Comme \(-10 < -8\), \( f(-10) < 0\) est vrai.
Donc, l’affirmation est vraie.
2. \( f(-9) \geq\, f(1) \)
D’après le tableau de signes, \( f(x) > 0 \) pour \( x \in ]-8, 2[ \). Comme \(-9 < -8\) et \( 1 \in ]-8, 2[\), \( f(-9) < 0 \) et \( f(1) > 0 \), donc \( f(-9) \geq\, f(1) \) est faux.
La correction est : \( f(-9) < f(1) \).
3. \( f(0) = 2 \)
D’après le tableau de signes, on a aucune indication que \( f(0) = 2 \). Donc, l’affirmation peut être soit juste soit fausse. Comme on n’a pas assez d’informations pour confirmer, on ne peut ni dire vrai ni corriger directement sans plus d’informations.
4. \( a < 0 \)
Puisque \( f \) est un polynôme de degré 2 et \( f(x) \) change de signe de \( + \) à \( – \) avant de redevenir \( + \), cela signifie que parabole est ouverte vers le bas (le sommet est en bas), donc \( a < 0 \).
L’affirmation est vraie.
5. L’ensemble des solutions de l’équation \( f(x) = 0 \) est \( S = \{-8 ; 2\} \).
D’après le tableau de signes, \( f(x) = 0 \) pour \( x = -8 \) et \( x = 2 \).
L’affirmation est vraie.
6. L’ensemble des solutions de l’inéquation \( f(x) < 0 \) est \( S = ]-8 ; 2[ \).
D’après le tableau de signes, \( f(x) < 0 \) pour \( x \in ]-8, 2[ \).
Donc, l’affirmation est vraie.
Exercice 35 : etude d’une fonction
1. Montrer que, pour tout réel \( x \), on a :
a. \( f(x) = 3x^2 – 10x + 7 \).
\begin{align*}
f(x) = 3(x-1)(x – \frac{7}{3}) \\
= 3(x-1)(\frac{3x – 7}{3}) \\
= \frac{3}{3}(x-1)(3x – 7) \\
= (x-1)(3x – 7) \\
= x \cdot 3x – x \cdot 7 – 1 \cdot 3x + 1 \cdot 7 \\
= 3x^2 – 7x – 3x + 7 \\
= 3x^2 – 10x + 7
\end{align*}
b. \( f(x) = 3(x – \frac{5}{3})^2 – \frac{4}{3} \).
\begin{align*}
f(x) = 3 ( x-1 ) ( x-\frac{7}{3} ) \\
= 3 [ x^2 – ( 1+ \frac{7}{3} )x + 1 \cdot \frac{7}{3} ] \\
= 3 ( x^2 – \frac{10}{3}x + \frac{7}{3} ) \\
= 3 ( x^2 – \frac{10}{3}x + (\frac{5}{3})^2 – (\frac{5}{3})^2 + \frac{7}{3} ) \\
= 3 [ ( x – \frac{5}{3} )^2 – \frac{25}{9} + \frac{7}{3} ] \\
= 3 [ ( x – \frac{5}{3} )^2 – \frac{25}{9} + \frac{21}{9} ] \\
= 3 ( x – \frac{5}{3} )^2 + 3 \cdot ( – \frac{4}{9} ) \\
= 3 ( x – \frac{5}{3} )^2 – \frac{12}{9} \\
= 3 ( x – \frac{5}{3} )^2 – \frac{4}{3}
\end{align*}
2. Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et résoudre les inéquations :
a. \( f(x) \leq\, 0 \)
\[
f(x) = 3(x-1)(x – \frac{7}{3}) \leq\, 0
\]
Les racines de l’équation sont \(1\) et \(\frac{7}{3}\). On peut étudier le signe de \(f(x)\) en fonction de ces racines :
– \(f(x)\) est positif ou nul dans \(3(x-1)(x-\frac{7}{3}) \leq\, 0\) (<= symétrie avec une parabole homogène) lorsque \( x \in [1, \frac{7}{3}] \).
b. \( f(x) > 7 \)
On utilise la forme développée pour résoudre cette inéquation :
\[
f(x) = 3x^2 – 10x + 7 > 7
\]
On résout \(3x^2 – 10x + 7 > 7\) :
\[
3x^2 – 10x > 0 \\
x(3x – 10) > 0
\]
Les racines sont \(0\) et \(\frac{10}{3}\), le signe de l’inéquation dépend de l’intervalle entre ces valeurs:
– \( x < 0 \)
– \( x > \frac{10}{3} \) (car valeurs interdites par 3x-10 < 0)
c. \( f(x) \leq\, 6 \)
On utilise à nouveau la forme développée pour résoudre cette inéquation :
\[
f(x) = 3x^2 – 10x + 7 \leq\, 6
\]
On résout \(3x^2 – 10x + 7 \leq\, 6\) :
\[
3x^2 – 10x + 1 \leq\, 0 \\
\]
Pour déterminer les intervalles pour \(x\), en trouvant les racines de cette équation quadratique :
Les racines sont obtenues par le discriminant \(\Delta\) :
\[
\Delta = 10^2 – 4 \cdot 3 \cdot 1 = 100 – 12 = 88
\]
\[
x = \frac{10 \pm \sqrt{88}}{6}
\]
Les intervalles de \(x\) qui satisfont l’équation quadratique (compris entre ses racines) :
\[
x \in [ \frac{10 – \sqrt{88}}{6}, . \frac{10 + \sqrt{88}}{6} ]
\]
Exercice 36 : positions relatives de deux courbes
1. \]\[a. En remarquant que \( x^2 – 2x \) est le début d’une identité remarquable, compléter les pointillés comme suit :\]\[
Pour tous les réels \( x \), on a :
\[ g(x) = (x – 1)^2 + 3. \]
\[ g(x) = (x – 1)^2 + 3 = \dots \]
1. \]\[b. Déterminer les antécédents de 19 par \( g \).\]\[
On cherche \( x \) tel que \( g(x) = 19 \).
\[ (x – 1)^2 + 3 = 19 \]
\[ (x – 1)^2 = 16 \]
\[ x – 1 = \pm 4 \]
\[ x = 5 \quad \text{ou} \quad x = -3 \]
Les antécédents de 19 par \( g \) sont \( x = 5 \) et \( x = -3 \).
2. \]\[a. Compléter les pointillés suivants. Pour tous les réels \( x \), on a :\]\[
\[ -3x^2 + 6x + 45 = -3( \dots – \dots + \dots ) \]
Factorisons l’expression :
\[ -3x^2 + 6x + 45 = -3(x^2 – 2x – 15) \]
Complétons le carré pour l’expression dans les parenthèses :
\[ x^2 – 2x – 15 = (x^2 – 2x + 1) – 1 – 15 \]
\[ = (x – 1)^2 – 16 \]
Donc :
\[ -3x^2 + 6x + 45 = -3((x – 1)^2 – 16) \]
\[ = -3(x – 1)^2 + 48 \]
Ainsi :
\[ -3x^2 + 6x + 45 = 48 – 3(x – 1)^2 \]
2. \]\[b. En utilisant une identité remarquable, on obtient :\]\[
\[ -3x^2 + 6x + 45 = -3(x^2 – 2x + 1 – 1 – 16) \]
\[ = -3(x – 1)^2 + 48 \]
3. \]\[Étudier la position relative des courbes \( C_f \) et \( C_g \).\]\[
Pour étudier la position de \( C_f \) et \( C_g \), observons les équations :
\[ f(x) = -2x^2 + 4x + 49 \]
\[ g(x) = x^2 – 2x + 4 \]
Pour les points de rencontre, résolvons \( f(x) = g(x) \) :
\[ -2x^2 + 4x + 49 = x^2 – 2x + 4 \]
\[ -3x^2 + 6x + 45 = 0 \]
\[ -3(x^2 – 2x – 15) = 0 \]
\[ x^2 – 2x – 15 = 0 \]
\[ (x – 5)(x + 3) = 0 \]
Les solutions sont \( x = 5 \) et \( x = -3 \).
Calculons les images de ces \( x \)-valeurs :
Pour \( x = 5 \), \( y = f(5) = -2(5)^2 + 4(5) + 49 = -50 + 20 + 49 = 19 \)
Pour \( x = -3 \), \( y = f(-3) = -2(-3)^2 + 4(-3) + 49 = -18 – 12 + 49 = 19 \)
\( C_f \) et \( C_g \) se rencontrent en \( (5, 19) \) et \( (-3, 19) \).
\]\[Application : un jardinier doit faire le parterre suivant qui correspond aux courbes \( C_f \) et \( C_g \). L’unité est le mètre.\]$
– Les dimensions \( AB \) et \( CD \) dépendent des intersections des courbes avec l’axe des abscisses.
– \( A \) et \( B \) sont les points où \( f(x) \) ou \( g(x) \) égale zéro.
– De même, les dimensions \( CD \) dépendent des points où les courbes se rencontrent ou atteignent la même \( y \)-valeur.
Naturellement, le jardinier utilisera ces points clés pour aménager le parterre.
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