Fonctions usuelles : corrigés des exercices de maths en 1ère.

Exercice 1 : tableau de variation et images
1. $f(0)\,%3C\,f(1)$

Selon le tableau, augmente sur l’intervalle $%5B-1%2C\,2%5D$ , ce qui implique que la valeur maximale de sur cet intervalle est atteinte à $x\,=\,2$ . Toutefois, on ne connait pas la valeur exacte de et . Ainsi, $on\,ne\,peut\,pas\,savoir$ si cette affirmation est vraie ou fausse.

2. $f(-3)\,%3C\,f(4)$

Selon le tableau, décroît sur l’intervalle $%5B-4%2C\,-1%5D$ et sur l’intervalle $%5B2%2C\,5%5D$ . On peut donc conclure que la valeur de en est inférieure à la valeur de en et de même pour en est supérieure à celle en . Cependant, sans connaître les valeurs exactes sur chaque intervalle, $on\,ne\,peut\,pas\,savoir$ si cette affirmation est vraie ou fausse.

3. $f(0)\,>\,f(5)$ décroît sur l’intervalle $%5B2%2C\,5%5D$ avec $f(5)\,=\,-5$ et $f(2)\,=\,1$ . La valeur en est inconnue. Puisque est très petit, il est très probable que cette affirmation soit vraie, mais $on\,ne\,peut\,pas\,savoir$ pour sûr sans la valeur exacte de .

4. $f(3)\,%3C\,f(5)$

Selon le tableau, décroît sur l’intervalle $%5B2%2C\,5%5D$ avec $f(5)\,=\,-5$ . La valeur en est inconnue. Comme décroît, cela rend probable que $f(3)\,>\,-5$ .

5. $f(2)\,>\,f(-3)$ . La valeur exacte de n’est pas donnée, mais comme décroît sur l’intervalle $%5B-4%2C\,-1%5D$ , il est possible que soit supérieur à , la valeur en . Par conséquent, cette affirmation est .

6. $f(3)\,%3C\,f(4)$

Selon le tableau, décroît sur l’intervalle $%5B2%2C\,5%5D$ , donc est plus petite que . Par conséquent, cette affirmation est .

Exercice 2 : préciser le sens de variation des fonctions usuelles
Correction de l’exercice :

1. $f\,%3A\,x\,\mapsto \,-2x\,%2B\,5$ sur $\mathbb{R}$ :
La fonction est une fonction affine de la forme $f(x)\,=\,ax\,%2B\,b$ avec $a\,=\,-2$ .
Le coefficient directeur $a\,=\,-2$ étant négatif, la fonction est décroissante sur $\mathbb{R}$ .

2. $g\,%3A\,x\,\mapsto \,x^2$ sur $\mathbb{R}$ :
Pour $x\,\in\,\mathbb{R}$ , la dérivée de est $g'(x)\,=\,2x$ .
– Si $x\,>\,0$ est croissante sur $%5D0%2C\,%2B\infty%5B$ .
– Si $x\,%3C\,0$ , $g'(x)\,=\,2x\,%3C\,0$ , donc est décroissante sur $%5D-\infty%2C\,0%5B$ .
– Si $x\,=\,0$ , $g'(0)\,=\,0$ .

Donc, la fonction est décroissante sur $%5D-\infty%2C\,0%5D$ et croissante sur $%5B0%2C\,%2B\infty%5B$ .

3. $h\,%3A\,x\,\mapsto \,3x\,-\,7$ sur $\mathbb{R}$ :
La fonction est une fonction affine de la forme $h(x)\,=\,ax\,%2B\,b$ avec $a\,=\,3$ .
Le coefficient directeur $a\,=\,3$ étant positif, la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$ .

4. $l\,%3A\,x\,\mapsto \,\frac{1}{x}$ sur $%5D-\infty\,%2C\,0%5B$ et sur $%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B$ :
Pour $x\,\in\,%5D-\infty%2C\,0%5B$ et $x\,\in\,%5D0%2C\,%2B\infty%5B$ , la dérivée de est $l'(x)\,=\,-\frac{1}{x^2}$ .
– Si $x\,%3C\,0$ , $l'(x)\,=\,-\frac{1}{x^2}\,%3C\,0$ , donc est décroissante sur $%5D-\infty%2C\,0%5B$ .
– Si $x\,>\,0$ , donc est décroissante sur $%5D0%2C\,%2B\infty%5B$ .

Donc, la fonction est décroissante sur $%5D-\infty\,%2C\,0%5B$ et sur $%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B$ .

Exercice 3 : comparer des nombres sans les calculer
1) et

$1%2C15\,%3C\,1%2C3\\,\Rightarrow\\,1%2C15^2\,%3C\,1%2C3^2$

2) et

Pour tout nombre réel , $a^2\,\geq\,\,0$ , et la fonction $x\,\mapsto \,x^2$ est croissante pour $x\,>\,0$ et $(-1%2C99)^2\,=\,(1%2C99)^2$ , nous avons donc:
$(-2%2C05)^2\,>\,(-1%2C99)^2$ et $\frac{1}{\sqrt{2}\,%2B\,3}$

Comparons $\sqrt{2}\,%2B\,1$ et $\sqrt{2}\,%2B\,3$ :
$\sqrt{2}\,%2B\,1\,%3C\,\sqrt{2}\,%2B\,3$

La fonction $f(x)\,=\,\frac{1}{x}$ est décroissante pour $x\,>\,0$ alors $\frac{1}{a}\,>\,\frac{1}{b}$ et $-\frac{1}{0%2C7}$

Comparons et :
$0%2C8\,>\,0%2C7$ est décroissante pour $x\,>\,0$

Ainsi:
$\frac{1}{0%2C8}\,%3C\,\frac{1}{0%2C7}$
Donc, $-\frac{1}{0%2C8}\,>\,-\frac{1}{0%2C7}$ Exercice 4 : résoudre des équations et des inéquations
$Correction\,des\,exercices$

1. $Resoudre\,les\,equations\,suivantes.$

1) $\frac{1}{x}\,=\,-2$

Pour résoudre cette équation, multiplions les deux côtés par (en tenant compte que $x\,\neq\,0$ ):

$1\,=\,-2x$

Ensuite, résolvons pour :

$x\,=\,-\frac{1}{2}$

2) $\frac{1}{x}\,=\,\frac{3}{4}$

De la même manière, multiplions les deux côtés par :

$1\,=\,\frac{3}{4}\,x$

Ensuite, résolvons pour :

$x\,=\,\frac{4}{3}$

3) $\frac{-3}{x}\,=\,\frac{1}{5}$

Pour résoudre cette équation, multiplions les deux côtés par :

$-3\,=\,\frac{1}{5}x$

Ensuite, résolvons pour :

$x\,=\,-15$

—

2. $Encadrer\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cfrac%257B1%257D%257Bx%257D%22\,alt=%22\frac{1}{x}$ pour chaque intervalle donne. » align= »absmiddle » />

1) $2\,\leq\,\,x\,\leq\,\,5$

Sachons que $\frac{1}{x}$ est une fonction décroissante. Donc, les bornes de $\frac{1}{x}$ dans cet intervalle sont:

$\frac{1}{5}\,\leq\,\,\frac{1}{x}\,\leq\,\,\frac{1}{2}$

2) $-4\,\leq\,\,x\,%3C\,-\frac{1}{2}$

Encore, $\frac{1}{x}$ est décroissante et les bornes sont:

$-2\,\leq\,\,\frac{1}{x}\,%3C\,-\frac{1}{4}$

3) $10^2\,\leq\,\,x\,\leq\,\,10^4$

$\frac{1}{10^4}\,\leq\,\,\frac{1}{x}\,\leq\,\,\frac{1}{10^2}$

4) $-1\,%3C\,x\,%3C\,-10^{-2}$

$-100\,%3C\,\frac{1}{x}\,%3C\,-1$

—

3. $Resoudre\,les\,inequations\,suivantes\,en\,s%E2%80%99aidant\,du\,graphique.$

1) $x^2\,>\,1$ . Donc, la solution est:

$x\,\in\,(-\infty%2C\,-1)\,\cup\,(1%2C\,\infty)$

2) $x^2\,\leq\,\,4$

D’après le graphique, $x^2\,\leq\,\,4$ lorsque $-2\,\leq\,\,x\,\leq\,\,2$ . Donc, la solution est:

$x\,\in\,%5B-2%2C\,2%5D$

3) $\frac{1}{x}\,>\,2$

4) $\frac{1}{x}\,\leq\,\,\frac{1}{2}$

D’après le graphique, $\frac{1}{x}\,\leq\,\,\frac{1}{2}$ lorsque $x\,\leq\,\,\frac{1}{2}$ ou $x\,>\,2$

Exercice 5 : fonction racine carrée et valeur absolue
$Correction\,de\,l'exercice\,de\,mathematiques$

1. $Dans\,chaque\,cas%2C\,calculer\,l'image\,du\,nombre\,propose\,par\,la\,fonction\,racine\,carree.$

$1)\,\quad\,\sqrt{49}\,=\,7$
$2)\,\quad\,\sqrt{100}\,=\,10$
$3)\,\quad\,\sqrt{\frac{4}{25}}\,=\,\frac{2}{5}$
$4)\,\quad\,\sqrt{10^8}\,=\,10^4$
$5)\,\quad\,\sqrt{4\,\times \,10^{-6}}\,=\,2\,\times \,10^{-3}$

2. $Dans\,chaque\,cas%2C\,donner\,les\,antecedents\,eventuels\,du\,nombre\,propose\,par\,la\,fonction\,racine\,carree.$

$1)\,\quad\,3\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,\pm\,3^2\,=\,9$
$2)\,\quad\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,0\)$
$3)\,\quad\,\sqrt{5}\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,5$
$4)\,\quad\,-1\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,Pas\,d'antecedent\,reel$
$5)\,\quad\,10^{-2}\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,(10^{-2})^2\,=\,10^{-4}$

$1)\,\quad\,%7C8%7C\,=\,8$
$2)\,\quad\,%7C0%7C\,=\,0$
$3)\,\quad\,%7C-2%7C\,=\,2$
$4)\,\quad\,%7C6\,-\,2\pi%7C\,\approx\,%7C6\,-\,6.28%7C\,\approx\,%7C-0.28%7C\,=\,0.28$
$5)\,\quad\,%7C\sqrt{2}\,-\,1%7C\,\approx\,%7C1.414\,-\,1%7C\,=\,0.414$
$6)\,\quad\,%7C1\,-\,\pi%7C\,\approx\,%7C1\,-\,3.14%7C\,=\,2.14$

4. $Donner\,la\,valeur\,absolue\,des\,nombres\,suivants.$

$1)\,\quad\,%7C-4%7C\,=\,4$
$2)\,\quad\,%7C(-3)^2%7C\,=\,9$
$3)\,\quad\,%7C\sqrt{5}\,-\,3%7C\,\approx\,%7C2.236\,-\,3%7C\,=\,0.764$
$4)\,\quad\,1\,-\,\pi\,\approx\,1\,-\,3.14\,=\,-2.14\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,%7C1\,-\,\pi%7C\,=\,2.14$
$5)\,\quad\,2\,-\,\sqrt{2}\,\approx\,2\,-\,1.414\,=\,0.586\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,%7C2\,-\,\sqrt{2}%7C\,=\,0.586$
$6)\,\quad\,(-1)^5\,=\,-1\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,%7C-1%7C\,=\,1$

Exercice 6 : valeur absolue et inverse
1) $%7Cx%7C\,=\,5$

$x\,=\,5\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-5$

2) $%7Cx%7C\,=\,\sqrt{2}$

$x\,=\,\sqrt{2}\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-\sqrt{2}$

3) $%7Cx%7C\,=\,-\pi$

Pas de solution car est toujours positif ou nul.

Soit et deux réels tels que $0\,%3C\,a\,%3C\,b\,%3C\,3$ .

Compléter par ou $>$

$\sqrt{a}\,%3C\,\sqrt{b}$ car $a\,%3C\,b$ .

2) $\dfrac{1}{\sqrt{a}}\,\ldots\,\dfrac{1}{\sqrt{b}}$

$\dfrac{1}{\sqrt{a}}\,>\,\dfrac{1}{\sqrt{b}}$ .

3) $%7Ca%7C\,\ldots\,%7Cb%7C$

$%7Ca%7C\,%3C\,%7Cb%7C$ car $a\,%3C\,b$ et ils sont tous les deux positifs.

4) $a^2\,\ldots\,b^2$

$a^2\,%3C\,b^2$ car $a\,%3C\,b$ et ils sont tous les deux positifs.

5) $\dfrac{1}{a^2}\,\ldots\,\dfrac{1}{b^2}$

$\dfrac{1}{a^2}\,>\,\dfrac{1}{b^2}$ .

6) $\dfrac{-4}{a^2}\,\ldots\,\dfrac{-4}{b^2}$

$\dfrac{-4}{a^2}\,%3C\,\dfrac{-4}{b^2}$ car $a^2\,%3C\,b^2$ et les deux fractions sont négatives.

7) $\sqrt{a}\,-\,1\,\ldots\,\sqrt{b}\,-\,1$

$\sqrt{a}\,-\,1\,%3C\,\sqrt{b}\,-\,1$ car $\sqrt{a}\,%3C\,\sqrt{b}$ .

8) $%7Ca\,-\,3%7C\,\ldots\,%7Cb\,-\,3%7C$

$%7Ca\,-\,3%7C\,>\,%7Cb\,-\,3%7C$ et $%7Cb\,-\,3%7C\,=\,3\,-\,b$ , et $a\,%3C\,b$ .

9) $%7C3\,-\,a%7C\,\ldots\,%7C3\,-\,b%7C$

Même raisonnement que pour 8), $%7C3\,-\,a%7C\,>\,%7C3\,-\,b%7C$

Multipliant par les deux côtés de $%7Ca%7C\,%3C\,%7Cb%7C$ , on obtient $-2%7Ca%7C\,>\,-2%7Cb%7C$ Exercice 7 : fonction linéaire, affine et inverse

Soit une fonction croissante sur un intervalle .

1) $u\,-\,2$ : Une fonction affine de conserve le même sens de variation que . Par conséquent, $u\,-\,2$ est croissante sur .

2) $u\,%2B\,3$ : De même, $u\,%2B\,3$ est croissante sur .

3) : Une multiplication par une constante négative inverse le sens de variation. Donc est décroissante sur .

4) : En utilisant le même principe, est décroissante sur .

5) $-2u\,%2B\,8$ : Une constante ajoutée à une fonction multidimensionnée n’affecte pas son sens de variation. Donc $-2u\,%2B\,8$ est décroissante sur .

6) $4u\,-\,1$ : Puisqu’il s’agit d’une addition d’une constante, cela n’affecte pas le sens de variation. $4u\,-\,1$ est croissante sur .

Soit une fonction strictement positive et décroissante sur un intervalle .

1) $\frac{1}{u}$ : Si est décroissante et strictement positive, alors $\frac{1}{u}$ sera croissante sur .

2) $-\frac{2}{u}$ : Une multiplication par une constante négative inverse le sens de variation. $\frac{2}{u}$ est croissante, donc $-\frac{2}{u}$ est décroissante sur .

3) $\sqrt{u}$ : La racine carrée est une fonction croissante pour une fonction strictement positive. Si est décroissante, alors $\sqrt{u}$ est également décroissante sur .

Exercice 8 : encadrement d’un nombre
1) Comparer sans calculatrice:

Pour comparer les nombres donnés :

$\sqrt{0}$, $0,3$, et $0,3^2$
\begin{align*}
\sqrt{0} = 0 \\
0,3^2 = 0,09 \\
\text{Donc, } 0 < 0,09 < 0,3
\end{align*}

$1,2$ ; $\sqrt{1,2}$ et $1,2^2$
\begin{align*}
\sqrt{1,2} \approx 1,095 \\
1,2^2 = 1,44 \\
\text{Donc, } 1,095 < 1,2 < 1,44
\end{align*}

2) Dans chaque cas, déterminer un encadrement de $\sqrt{x}$.

Si $0 < x < 4$
\begin{align*}
\sqrt{0} < \sqrt{x} < \sqrt{4} \\
0 < \sqrt{x} < 2
\end{align*}

Si $0 \leq\, x \leq\, 0,04$
\begin{align*}
\sqrt{0} \leq\, \sqrt{x} \leq\, \sqrt{0,04} \\
0 \leq\, \sqrt{x} \leq\, 0,2
\end{align*}

Si $1 \leq\, x < 9 \times 10^{6}$
\begin{align*}
\sqrt{1} \leq\, \sqrt{x} < \sqrt{9 \times 10^{6}} \\
1 \leq\, \sqrt{x} < 3000
\end{align*}

3) Soit $x$ un réel tel que $0 \leq\, x \leq\, 9$. Dans chacun des cas, déterminer un encadrement de:

$\sqrt{x} – 5$
\begin{align*}
x = 0 \implies \sqrt{0} – 5 = -5 \\
x = 9 \implies \sqrt{9} – 5 = -2 \\
\text{Donc, } -5 \leq\, \sqrt{x} – 5 \leq\, -2
\end{align*}

$\frac{10 – x}{5}$
\begin{align*}
x = 0 \implies \frac{10 – 0}{5} = 2 \\
x = 9 \implies \frac{10 – 9}{5} = 0,2 \\
\text{Donc, } 0,2 \leq\, \frac{10 – x}{5} \leq\, 2
\end{align*}

$\frac{10 – x}{\sqrt{x} + 1}$
\begin{align*}
x = 0 \implies \frac{10 – 0}{\sqrt{0} + 1} = 10 \\
x = 9 \implies \frac{10 – 9}{\sqrt{9} + 1} = \frac{1}{4} = 0,25 \\
\text{Donc, } 0,25 \leq\, \frac{10 – x}{\sqrt{x} + 1} \leq\, 10
\end{align*}

$- \sqrt{x^{2} + 19}$
\begin{align*}
x = 0 \implies – \sqrt{0^2 + 19} = – \sqrt{19} \\
x = 9 \implies – \sqrt{9^2 + 19} = – \sqrt{100} = -10 \\
\text{Donc, } -10 \leq\, – \sqrt{x^{2} + 19} \leq\, – \sqrt{19}
\end{align*}

$-2 \sqrt{x} + 1$
\begin{align*}
x = 0 \implies -2 \sqrt{0} + 1 = 1 \\
x = 9 \implies -2 \sqrt{9} + 1 = -5 \\
\text{Donc, } -5 \leq\, -2 \sqrt{x} + 1 \leq\, 1
\end{align*}

4) Soit et deux réels positifs.

On pose $X\,=\,a^2\,%2B\,b^2$ et $Y\,=\,(a\,%2B\,b)^2$ . Comparer les réels et en étudiant le signe de leur différence.

\begin{align*}
Y – X = (a + b)^2 – (a^2 + b^2) \\
= a^2 + 2ab + b^2 – a^2 – b^2 \\
= 2ab \\
\text{Comme } a \text{ et } b \text{ sont positifs, } 2ab > 0. \\
\text{Donc, } Y – X > 0 \text{ et } Y > X
\end{align*}

En utilisant le sens de variation de la fonction racine carrée, démontrer que $\sqrt{a^2\,%2B\,b^2}\,\leq\,\,a\,%2B\,b$ .

La fonction racine carrée est croissante sur $\mathbb{R}^%2B$ , donc

$\sqrt{X}\,\leq\,\,\sqrt{Y}\,\implies\,\sqrt{a^2\,%2B\,b^2}\,\leq\,\,\sqrt{(a\,%2B\,b)^2}$

$\sqrt{(a\,%2B\,b)^2}\,=\,a\,%2B\,b$ car et sont positifs.

Ainsi, nous obtenons :

$\sqrt{a^2\,%2B\,b^2}\,\leq\,\,a\,%2B\,b$

Exercice 9 : des équations et inéquations avec les racines carrées

\underline{Résoudre les équations.}
\begin{enumerate}

$\sqrt{x}\,=\,4$
En élevant au carré des deux côtés, nous obtenons :
$x\,=\,4^2\,=\,16$

$\sqrt{x}\,=\,-3$
Cette équation n’a pas de solution, car la racine carrée d’un nombre ne peut pas être négative.

$\sqrt{-3x}\,=\,3$
En élevant au carré des deux côtés, nous obtenons :
$-3x\,=\,3^2$
$-3x\,=\,9$
$x\,=\,\frac{9}{-3}\,=\,-3$

$\sqrt{2x\,-\,5}\,=\,9$
En élevant au carré des deux côtés, nous obtenons :
$2x\,-\,5\,=\,9^2$
$2x\,-\,5\,=\,81$
$2x\,=\,86$
$x\,=\,\frac{86}{2}\,=\,43$

\underline{Résoudre les inéquations.}

$\sqrt{x}\,>\,3$
En élevant les deux côtés au carré, nous obtenons :
$x\,\leq\,\,100$

$\sqrt{x}\,\leq\,\,-2$
Cette inéquation n’a pas de solution, car la racine carrée d’un nombre ne peut pas être négative.

\underline{Résoudre les inéquations.}

$\sqrt{x^2}\,%3C\,1$
Élevant au carré des deux côtés, nous obtenons :
$x^2\,%3C\,1$
Les solutions sont donc :
$-1\,%3C\,x\,%3C\,1$

$\sqrt{x\,-\,1}\,\leq\,\,2$
Élevant au carré des deux côtés, nous obtenons :
$x\,-\,1\,\leq\,\,4$
$x\,\leq\,\,5$

$\sqrt{x\,%2B\,2}\,\geq\,\,3$
Élevant au carré des deux côtés, nous obtenons :
$x\,%2B\,2\,\geq\,\,9$
$x\,\geq\,\,7$

\underline{Exprimer sans racine carrée au dénominateur.}

$\frac{1}{\sqrt{3}}$
En multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{3}$ , nous obtenons :
$\frac{1\,\cdot\,\sqrt{3}}{\sqrt{3}\,\cdot\,\sqrt{3}}\,=\,\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\frac{1}{\sqrt{2}\,%2B\,1}$
En multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{2}\,-\,1$ , nous obtenons :
$\frac{1\,\cdot\,(\sqrt{2}\,-\,1)}{(\sqrt{2}\,%2B\,1)(\sqrt{2}\,-\,1)}\,=\,\frac{\sqrt{2}\,-\,1}{2\,-\,1}\,=\,\sqrt{2}\,-\,1$

$\frac{2}{\sqrt{3}\,-\,1}$
En multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{3}\,%2B\,1$ , nous obtenons :
$\frac{2\,\cdot\,(\sqrt{3}\,%2B\,1)}{(\sqrt{3}\,-\,1)(\sqrt{3}\,%2B\,1)}\,=\,\frac{2(\sqrt{3}\,%2B\,1)}{3\,-\,1}\,=\,\frac{2(\sqrt{3}\,%2B\,1)}{2}\,=\,\sqrt{3}\,%2B\,1$

$\frac{1}{\sqrt{5}\,-\,\sqrt{2}}$
En multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{5}\,%2B\,\sqrt{2}$ , nous obtenons :
$\frac{1\,\cdot\,(\sqrt{5}\,%2B\,\sqrt{2})}{(\sqrt{5}\,-\,\sqrt{2})(\sqrt{5}\,%2B\,\sqrt{2})}\,=\,\frac{\sqrt{5}\,%2B\,\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2\,-\,(\sqrt{2})^2}\,=\,\frac{\sqrt{5}\,%2B\,\sqrt{2}}{5\,-\,2}\,=\,\frac{\sqrt{5}\,%2B\,\sqrt{2}}{3}$

\end{enumerate}

Exercice 10 : comparaison de racines carrée et de carrés

On pose $x\,=\,\sqrt{2}\,-\,1$ .

Comparons et $\sqrt{x}$ :

Calculons :
$x^2\,=\,(\sqrt{2}\,-\,1)^2\,=\,2\,-\,2\sqrt{2}\,%2B\,1\,=\,3\,-\,2\sqrt{2}$

Comme $\sqrt{2}\,\approx\,1.414$ , $2\sqrt{2}\,\approx\,2.828$ .
$x^2\,=\,3\,-\,2.828\,=\,0.172$

Nous avons donc , qui est une valeur comprise entre et .

Puisque $x\,=\,\sqrt{2}\,-\,1\,\approx\,0.414$ est plus grand que $x^2\,\approx\,0.172$ , nous avons $x\,>\,x^2$ :
$\sqrt{x}\,=\,\sqrt{\sqrt{2}\,-\,1}$

Comme $\sqrt{2}\,>\,1$ . Donc $\sqrt{\sqrt{2}\,-\,1}\,%3C\,1$ et comme $\sqrt{2}$ est irrationnelle et plus proche de 1 que de 2, nous en déduisons que :
$x\,%3C\,\sqrt{x}$

Finalement, nous avons :
$x\,%3C\,\sqrt{x}\,%3C\,1$

On pose $y\,=\,\sqrt{5}\,-\,1$ .

Comparons et $\sqrt{y}$ :

Calculons :
$y^2\,=\,(\sqrt{5}\,-\,1)^2\,=\,5\,-\,2\sqrt{5}\,%2B\,1\,=\,6\,-\,2\sqrt{5}$

Comme $\sqrt{5}\,\approx\,2.236$ , $2\sqrt{5}\,\approx\,4.472$ .
$y^2\,=\,6\,-\,4.472\,=\,1.528$

Nous avons donc , qui est une valeur comprise entre et .

Puisque $y\,=\,\sqrt{5}\,-\,1\,\approx\,1.236$ est plus petit que $y^2\,\approx\,1.528$ , nous avons $y\,%3C\,y^2$ .

Calculons $\sqrt{y}$ :
$\sqrt{y}\,=\,\sqrt{\sqrt{5}\,-\,1}$

Comme $\sqrt{5}\,>\,2$ . Donc $\sqrt{\sqrt{5}\,-\,1}\,%3C\,\sqrt{2}\,\approx\,1.414$ , et $\sqrt{2}\,-\,1\,\approx\,0.414$ .
Nous en déduisons que :
$y\,>\,\sqrt{y}$

Soit un réel tel que $1\,\leq\,\,a\,\leq\,\,2$ .
\begin{enumerate}

Comparons $a\,-\,1$ , $\sqrt{a\,-\,1}$ et $(a\,-\,1)^2$ .

Notons que si $1\,\leq\,\,a\,\leq\,\,2$ , alors $0\,\leq\,\,a\,-\,1\,\leq\,\,1$ . Posons $b\,=\,a\,-\,1$ , donc $0\,\leq\,\,b\,\leq\,\,1$ .
$\sqrt{b}\,\leq\,\,b\,\leq\,\,b^2$

En effet, puisque $0\,\leq\,\,b\,\leq\,\,1$ ,
$b\,\geq\,\,b^2$
et
$\sqrt{b}\,\leq\,\,b$
car la fonction racine carré est croissante pour les valeurs positives de .

Donc,
$\sqrt{a\,-\,1}\,\leq\,\,a\,-\,1\,\leq\,\,(a\,-\,1)^2$

Comparons $2a\,-\,1$ , $\sqrt{2a\,-\,1}$ et $(2a\,-\,1)^2$ .

Posons $c\,=\,2a\,-\,1$ . L’intervalle $2\,\leq\,\,2a\,\leq\,\,4$ nous donne $1\,\leq\,\,c\,\leq\,\,3$ .

Notons que pour $1\,\leq\,\,c\,\leq\,\,3$ , $\sqrt{c}\,\leq\,\,c\,\leq\,\,c^2$ .

En effet,
$c^2\,\geq\,\,c\,\geq\,\,\sqrt{c}$

Pour montrer cela, considérons que $c\,\geq\,\,\sqrt{c}$ pour $c\,\geq\,\,1$ et $c^2\,\geq\,\,c$ est une évidence pour $c\,\geq\,\,1$ .

Donc,
$\sqrt{2a\,-\,1}\,\leq\,\,2a\,-\,1\,\leq\,\,(2a\,-\,1)^2$

\end{enumerate}

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Exercice 11 : position relative de courbes
Correction de l’exercice

Les fonctions et sont définies par :
$f(x)\,=\,x^2\,-\,3x\,-\,5$
$g(x)\,=\,-x^2\,%2B\,x\,%2B\,1$

1) Étude du signe de $f(x)\,-\,g(x)$

Calculons $f(x)\,-\,g(x)$ :

$f(x)\,-\,g(x)\,=\,(x^2\,-\,3x\,-\,5)\,-\,(-x^2\,%2B\,x\,%2B\,1)$
$f(x)\,-\,g(x)\,=\,x^2\,-\,3x\,-\,5\,%2B\,x^2\,-\,x\,-\,1$
$f(x)\,-\,g(x)\,=\,2x^2\,-\,4x\,-\,6$

Il s’agit maintenant d’étudier le signe de $2x^2\,-\,4x\,-\,6$ . Nous commençons par chercher les racines de ce polynôme en résolvant l’équation :

$2x^2\,-\,4x\,-\,6\,=\,0$

La résolution de cette équation quadratique utilise la formule du discriminant $\Delta$ :

$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac$
$a\,=\,2%2C\,\%3B\,b\,=\,-4%2C\,\%3B\,c\,=\,-6$
$\Delta\,=\,(-4)^2\,-\,4\,\cdot\,2\,\cdot\,(-6)$
$\Delta\,=\,16\,%2B\,48$
$\Delta\,=\,64$

Les racines sont alors :
$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}$
$x\,=\,\frac{4\,\pm\,\sqrt{64}}{4}$
$x\,=\,\frac{4\,\pm\,8}{4}$

Nous obtenons deux racines :
$x_1\,=\,3$
$x_2\,=\,-1$

Le polynôme $2x^2\,-\,4x\,-\,6$ se factorise donc :
$2x^2\,-\,4x\,-\,6\,=\,2(x\,%2B\,1)(x\,-\,3)$

L’étude du signe de $2(x\,%2B\,1)(x\,-\,3)$ montre que :
– $2(x\,%2B\,1)(x\,-\,3)$ est positif sur les intervalles $(-\infty%2C\,-1)$ et $(3%2C\,%2B\infty)$
– $2(x\,%2B\,1)(x\,-\,3)$ est négatif sur l’intervalle $(-1%2C\,3)$

2) Position relative des courbes C_f et C_g

– C_f est au-dessus de C_g pour $x\,\in\,(-\infty%2C\,-1)\,\cup\,(3%2C\,%2B\infty)$
– C_f est au-dessous de C_g pour $x\,\in\,(-1%2C\,3)$
– C_f et C_g se coupent en $x\,=\,-1$ et $x\,=\,3$

Pour les autres fonctions définies par :

$f(x)\,=\,-3x^2\,%2B\,5x\,%2B\,2$
$g(x)\,=\,-x\,%2B\,2$

Nous étudions de nouveau le signe de $f(x)\,-\,g(x)$ :

$f(x)\,-\,g(x)\,=\,(-3x^2\,%2B\,5x\,%2B\,2)\,-\,(-x\,%2B\,2)$
$f(x)\,-\,g(x)\,=\,-3x^2\,%2B\,5x\,%2B\,2\,%2B\,x\,-\,2$
$f(x)\,-\,g(x)\,=\,-3x^2\,%2B\,6x$

Le facteur commun nous donne :
$-3x^2\,%2B\,6x\,=\,-3x(x\,-\,2)$

L’étude du signe de $-3x(x\,-\,2)$ montre que :
– $-3x(x\,-\,2)$ est positive sur l’intervalle $(0%2C\,2)$
– $-3x(x\,-\,2)$ est négative sur les intervalles $(-\infty%2C\,0)$ et $(2%2C\,%2B\infty)$

Position relative des courbes C_f et C_g pour ces fonctions :

– C_f est au-dessous de C_g pour $x\,\in\,(-\infty%2C\,0)\,\cup\,(2%2C\,%2B\infty)$
– C_f est au-dessus de C_g pour $x\,\in\,(0%2C\,2)$
– C_f et C_g se coupent en $x\,=\,0$ et $x\,=\,2$

Exercice 12 : position relative et tracés de courbes
Pour déterminer la position relative des courbes C_f et C_g représentatives des fonctions et :

1. $Etude\,de\,l'intersection\,des\,courbes\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC_f%22\,alt=%22C_f$ et C_g » align= »absmiddle » />

On cherche les points d’intersection des courbes C_f et C_g , ce qui équivaut à résoudre l’équation $f(x)\,=\,g(x)$ .

$f(x)\,=\,g(x)$
$\frac{1}{3}(2x\,%2B\,1)\,=\,\sqrt{x}$

Posons $y\,=\,\sqrt{x}$ . Alors $x\,=\,y^2$ . Substituons par y^2 dans l’équation :

$\frac{1}{3}(2y^2\,%2B\,1)\,=\,y$
$2y^2\,%2B\,1\,=\,3y$
$2y^2\,-\,3y\,%2B\,1\,=\,0$

Cette équation est une équation quadratique. En utilisant la formule quadratique $y\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$ , où $a\,=\,2$ , $b\,=\,-3$ et $c\,=\,1$ , nous obtenons :

$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac$
$\Delta\,=\,(-3)^2\,-\,4\,\cdot\,2\,\cdot\,1$
$\Delta\,=\,9\,-\,8$
$\Delta\,=\,1$

Les solutions de cette équation sont donc :

$y\,=\,\frac{3\,\pm\,\sqrt{1}}{4}$
$y\,=\,\frac{3\,\pm\,1}{4}$
$y_1\,=\,\frac{4}{4}\,=\,1$
$y_2\,=\,\frac{2}{4}\,=\,\frac{1}{2}$

Revenons à en remplaçant par $\sqrt{x}$ :

Pour $y_1\,=\,1$ , $\sqrt{x}\,=\,1$ donc $x\,=\,1$ .

Pour $y_2\,=\,\frac{1}{2}$ , $\sqrt{x}\,=\,\frac{1}{2}$ donc $x\,=\,(\,\frac{1}{2}\,)^2\,=\,\frac{1}{4}$ .

Donc, les points d’intersection sont $x\,=\,1$ et $x\,=\,\frac{1}{4}$ .

2. $Trace\,des\,courbes\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC_f%22\,alt=%22C_f$ et C_g dans un repere orthonorme » align= »absmiddle » />

Pour tracer les courbes, nous calculons quelques valeurs de f(x) et g(x) sur l’intervalle :

Pour $f(x)\,=\,\frac{1}{3}(2x\,%2B\,1)$ :

$\begin{array}{c%7Cc}%0D%0Ax\,%26\,f(x)\,\\%0D%0A\hline%0D%0A0\,%26\,\frac{1}{3}\,(2\,\cdot\,0\,%2B\,1)\,=\,\frac{1}{3}\,\\%0D%0A0.5\,%26\,\frac{1}{3}\,(2\,\cdot\,0.5\,%2B\,1)\,=\,\frac{1}{3}\,\cdot\,2\,=\,\frac{2}{3}\,\\%0D%0A1\,%26\,\frac{1}{3}\,(2\,\cdot\,1\,%2B\,1)\,=\,1\,\\%0D%0A1.5\,%26\,\frac{1}{3}\,(2\,\cdot\,1.5\,%2B\,1)\,=\,\frac{1}{3}\,\cdot\,4\,=\,\frac{4}{3}\,\\%0D%0A2\,%26\,\frac{1}{3}\,(2\,\cdot\,2\,%2B\,1)\,=\,\frac{5}{3}\,\\%0D%0A\end{array}$

Pour $g(x)\,=\,\sqrt{x}$ :

$\begin{array}{c%7Cc}%0D%0Ax\,%26\,g(x)\,\\%0D%0A\hline%0D%0A0\,%26\,\sqrt{0}\,=\,0\,\\%0D%0A0.5\,%26\,\sqrt{0.5}\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,\approx\,0.71\,\\%0D%0A1\,%26\,\sqrt{1}\,=\,1\,\\%0D%0A1.5\,%26\,\sqrt{1.5}\,\approx\,1.22\,\\%0D%0A2\,%26\,\sqrt{2}\,\approx\,1.41\,\\%0D%0A\end{array}$

En utilisant ces valeurs, nous pouvons tracer les courbes C_f et C_g dans un repère orthonormé d’unité 4 cm.

Exercice 13 : calculs de valeurs absolues et de distances
$1)\,%26\,%7C\,10^{-5}\,-\,10^{-3}\,%7C\,=\,%7C\,\frac{1}{100000}\,-\,\frac{1}{1000}\,%7C%0D%0A=\,%7C\,\frac{1\,-\,100}{100000}\,%7C%0D%0A=\,%7C\,\frac{-99}{100000}\,%7C%0D%0A=\,\frac{99}{100000}%0D%0A=\,9.9\,\times \,10^{-4}%2C\,\\%0D%0A%0D%0A2)\,%26\,%7C\,9\,\times \,10^4\,-\,10^5\,%7C\,=\,%7C\,90000\,-\,100000\,%7C%0D%0A=\,%7C\,-10000\,%7C%0D%0A=\,10000%2C\,\\%0D%0A%0D%0A3)\,%26\,%7C\,-10^{-3}\,%7C\,=\,%7C\,-\frac{1}{1000}\,%7C%0D%0A=\,\frac{1}{1000}%0D%0A=\,10^{-3}%2C\,\\%0D%0A%0D%0A4)\,%26\,%7C\,\pi\,-\,4\,%7C%0D%0A=\,%7C\pi\,-\,4%7C%0D%0A\approx\,%7C3.14\,-\,4%7C%0D%0A=\,%7C-0.86%7C%0D%0A=\,0.86%2C\,\\%0D%0A%0D%0A5)\,%26\,%7C\,-2\,-\,\sqrt{2}\,%7C%0D%0A=\,%7C\,-2\,-\,1.414\,%7C%0D%0A=\,%7C\,-3.414\,%7C%0D%0A=\,3.414%2C\,\\%0D%0A%0D%0A6)\,%26\,%7C\,10\,-\,3\pi\,%7C%0D%0A=\,%7C10\,-\,3\pi%7C%0D%0A\approx\,%7C10\,-\,9.42%7C%0D%0A=\,%7C0.58%7C%0D%0A=\,0.58.$

$1)\,%26\,\quad\,a\,=\,7\,\,et\,\,b\,=\,-5%0D%0A\Rightarrow\,%7Ca\,-\,b%7C%0D%0A=\,%7C7\,-\,(-5)%7C%0D%0A=\,%7C7\,%2B\,5%7C%0D%0A=\,12%2C\,\\%0D%0A%0D%0A2)\,%26\,\quad\,a\,=\,-3\,\,et\,\,b\,=\,-8%0D%0A\Rightarrow\,%7Ca\,-\,b%7C%0D%0A=\,%7C-3\,-\,(-8)%7C%0D%0A=\,%7C-3\,%2B\,8%7C%0D%0A=\,5%2C\,\\%0D%0A%0D%0A3)\,%26\,\quad\,a\,=\,-5.1\,\,et\,\,b\,=\,2.3%0D%0A\Rightarrow\,%7Ca\,-\,b%7C%0D%0A=\,%7C-5.1\,-\,2.3%7C%0D%0A=\,%7C-7.4%7C%0D%0A=\,7.4%2C\,\\%0D%0A%0D%0A4)\,%26\,\quad\,a\,=\,\sqrt{2}\,\,et\,\,b\,=\,-\sqrt{8}%0D%0A\Rightarrow\,%7Ca\,-\,b%7C%0D%0A=\,%7C\,\sqrt{2}\,-\,(-\sqrt{8})\,%7C%0D%0A=\,%7C\,\sqrt{2}\,%2B\,2\sqrt{2}\,%7C%0D%0A=\,%7C\,3\sqrt{2}\,%7C%0D%0A=\,3\sqrt{2}%0D%0A\approx\,4.24%2C\,\\%0D%0A%0D%0A5)\,%26\,\quad\,a\,=\,6\,\,et\,\,b\,=\,2\pi%0D%0A\Rightarrow\,%7Ca\,-\,b%7C%0D%0A=\,%7C6\,-\,2\pi%7C%0D%0A\approx\,%7C6\,-\,6.28%7C%0D%0A=\,%7C-0.28%7C%0D%0A=\,0.28.$

Exercice 14 : valeur absolues et distances
La correction de l’exercice est la suivante:

Pour :
$A\,=\,%7C2%2C4\,-\,0%2C8%7C\,%2B\,%7C7%2C38\,%2B\,0%2C5%7C\,%2B\,%7C1%2C2\,-\,5%2C08%7C$
Effectuons les opérations à l’intérieur des valeurs absolues :
$A\,=\,%7C1%2C6%7C\,%2B\,%7C7%2C88%7C\,%2B\,%7C-3%2C88%7C$
Puis, nous calculons les valeurs absolues :
$A\,=\,1%2C6\,%2B\,7%2C88\,%2B\,3%2C88\,=\,13%2C36$

Pour :
$B\,=\,%7C\,\frac{1}{3}\,-\,\frac{2}{3}\,%7C\,%2B\,%7C\,\frac{2}{3}\,-\,1\,%7C\,-\,%7C\,\frac{4}{3}\,-\,1\,%7C$
Simplifions chaque partie :
$B\,=\,%7C\,-\frac{1}{3}\,%7C\,%2B\,%7C\,-\frac{1}{3}\,%7C\,-\,%7C\,\frac{1}{3}\,%7C$
Calculons les valeurs absolues :
$B\,=\,\frac{1}{3}\,%2B\,\frac{1}{3}\,-\,\frac{1}{3}\,=\,\frac{1}{3}$

Traductions des expressions algébriques avec le mot « distance » :

1. $%7Cx\,-\,8%7C\,=\,2$ :
– La distance entre et 8 est égale à 2.

2. $%7Cx%7C\,>\,1$ et 0 est supérieure à 1.

3. $%7Cx\,%2B\,3%7C\,=\,4$ :
– La distance entre et -3 est égale à 4.

4. $%7Cx\,-\,0%2C8%7C\,\leq\,\,4$ :
– La distance entre et 0,8 est inférieure ou égale à 4.

Exercice 15 : algorithme de calcul
1) Faire fonctionner cet algorithme pour les valeurs de suivantes : ; $\frac{1}{3}$ ; ; $\pi$ et .

Pour chaque valeur de , nous devons déterminer si $x\,-\,3\,\geq\,\,0$ ou non :

– Pour $x\,=\,-8$ :

$x\,-\,3\,=\,-8\,-\,3\,=\,-11\,\leq\,\,0$

Donc, le résultat affiché est $3\,-\,x\,=\,3\,-\,(-8)\,=\,11$ .

– Pour $x\,=\,\frac{1}{3}$ :

$x\,-\,3\,=\,\frac{1}{3}\,-\,3\,=\,\frac{1}{3}\,-\,\frac{9}{3}\,=\,-\frac{8}{3}\,\leq\,\,0$

Donc, le résultat affiché est $3\,-\,x\,=\,3\,-\,\frac{1}{3}\,=\,\frac{9}{3}\,-\,\frac{1}{3}\,=\,\frac{8}{3}$ .

– Pour $x\,=\,0$ :

$x\,-\,3\,=\,0\,-\,3\,=\,-3\,\leq\,\,0$

Donc, le résultat affiché est $3\,-\,x\,=\,3\,-\,0\,=\,3$ .

– Pour $x\,=\,\pi$ :

$x\,-\,3\,=\,\pi\,-\,3\,\approx\,3.14159\,-\,3\,=\,0.14159\,\geq\,\,0$

Donc, le résultat affiché est $x\,-\,3\,=\,\pi\,-\,3\,\approx\,0.14159$ .

– Pour $x\,=\,-3$ :

$x\,-\,3\,=\,-3\,-\,3\,=\,-6\,\leq\,\,0$

Donc, le résultat affiché est $3\,-\,x\,=\,3\,-\,(-3)\,=\,6$ .

2) Pour un nombre réel quelconque, quel est le résultat affiché en sortie ?

Le résultat affiché par l’algorithme dépend de la valeur de . Il est défini par la fonction :

$f(x)\,=%0D%0A\begin{cases}%0D%0Ax\,-\,3\,%26\,si\,\,x\,\geq\,\,3\,\\%0D%0A3\,-\,x\,%26\,si\,\,x\,%3C\,3%0D%0A\end{cases}$

3) Modifier cet algorithme pour qu’il affiche en sortie l’image de par la fonction : $x\,\mapsto \,%7C%E2%88%922x\,%2B\,5%7C$ .

Pour cela, nous devons modifier l’algorithme pour qu’il calcule et affiche $%7C%E2%88%922x\,%2B\,5%7C$ .

\begin{verbatim}
1. Variable : x réel
2. Entrée
3. Saisir x
4. Traitement
5. Afficher | -2x + 5 |
\end{verbatim}

En pseudocode, cela pourrait ressembler à :

\begin{verbatim}
Variable : x réel
Entrée
Saisir x
Traitement
Afficher | -2 * x + 5 |
Fin
\end{verbatim}

Ainsi, quelle que soit la valeur de saisie, l’algorithme affichera $%7C-2x\,%2B\,5%7C$ .

Exercice 16 : tableau de variation de g=u+3
Pour dresser les tableaux de variations des fonctions $f\,=\,u\,-\,2$ et $g\,=\,u\,%2B\,3$ sur l’intervalle $%5B-2%3B\,4%5D$ , nous devons d’abord transformer les valeurs de u(x) selon les fonctions données.

$1.\,Calcul\,du\,tableau\,de\,variations\,pour\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2528x%2529%2520%253D%2520u%2528x%2529%2520-%25202%22\,alt=%22f(x)\,=\,u(x)\,-\,2$ : » align= »absmiddle » />

$\begin{array}{%7Cc%7Cccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-2\,%26\,0\,%26\,4\,\\%0D%0A\hline%0D%0Au(x)\,%26\,0\,%26\,-2\,%26\,3\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,u(x)\,-\,2\,%26\,0\,-\,2\,%26\,3\,-\,2\,\\%0D%0A%26\,=\,-2\,%26\,=\,-4\,%26\,=\,1\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Donc, le tableau de variations de $f(x)\,=\,u(x)\,-\,2$ est :

$\begin{array}{%7Cc%7Cccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-2\,%26\,0\,%26\,4\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,-2\,%26\,-4\,%26\,1\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

*Remarque: f(x) décroît de à puis croît de à .*

$2.\,Calcul\,du\,tableau\,de\,variations\,pour\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fg%2528x%2529%2520%253D%2520u%2528x%2529%2520%252B%25203%22\,alt=%22g(x)\,=\,u(x)\,%2B\,3$ : » align= »absmiddle » />

$\begin{array}{%7Cc%7Cccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-2\,%26\,0\,%26\,4\,\\%0D%0A\hline%0D%0Au(x)\,%26\,0\,%26\,-2\,%26\,3\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ag(x)\,%26\,u(x)\,%2B\,3\,%26\,0\,%2B\,3\,%26\,3\,%2B\,3\,\\%0D%0A%26\,=\,3\,%26\,=\,1\,%26\,=\,6\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Donc, le tableau de variations de $g(x)\,=\,u(x)\,%2B\,3$ est :

$\begin{array}{%7Cc%7Cccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-2\,%26\,0\,%26\,4\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ag(x)\,%26\,3\,%26\,1\,%26\,6\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

*Remarque: g(x) décroît de à puis croît de à .*

Exercice 17 : reproduire le graphique de f+2 et -2f
Correction de l’exercice :

### Représentation graphique de $f\,%2B\,2$ :

L’ajout de la constante 2 à la fonction se traduit par une translation verticale de 2 unités vers le haut. Ainsi, pour chaque point $(x%2C\,y)$ de la courbe de , la nouvelle ordonnée sera $y\,%2B\,2$ .

### Représentation graphique de $\frac{1}{2}f$ :

La fonction $\frac{1}{2}f$ est une compression verticale de avec un facteur $\frac{1}{2}$ . Pour chaque point $(x%2C\,y)$ de la courbe de , la nouvelle ordonnée sera $\frac{y}{2}$ .

### Représentation graphique de -2f :

La fonction -2f est une réflexion de par rapport à l’axe des abscisses suivie d’une dilatation verticale par un facteur 2. Pour chaque point $(x%2C\,y)$ de la courbe de , la nouvelle ordonnée sera -2y .

### Graphiques :
Ci-dessous sont les étapes de transformation et les représentations graphiques correspondantes.

#### 1. $f\,%2B\,2$

Pour $f\,%2B\,2$ , on a :
$f(-1)\,=\,1\,\Rightarrow\,f(-1)\,%2B\,2\,=\,3$
$f(0)\,=\,1\,\Rightarrow\,f(0)\,%2B\,2\,=\,3$
$f(1)\,=\,0\,\Rightarrow\,f(1)\,%2B\,2\,=\,2$
$f(2)\,=\,-1\,\Rightarrow\,f(2)\,%2B\,2\,=\,1$
$f(3)\,=\,0\,\Rightarrow\,f(3)\,%2B\,2\,=\,2$
$f(5)\,=\,4\,\Rightarrow\,f(5)\,%2B\,2\,=\,6$

#### 2. $\frac{1}{2}f$

Pour $\frac{1}{2}f$ , on a :
$f(-1)\,=\,1\,\Rightarrow\,\frac{1}{2}f(-1)\,=\,\frac{1}{2}$
$f(0)\,=\,1\,\Rightarrow\,\frac{1}{2}f(0)\,=\,\frac{1}{2}$
$f(1)\,=\,0\,\Rightarrow\,\frac{1}{2}f(1)\,=\,0$
$f(2)\,=\,-1\,\Rightarrow\,\frac{1}{2}f(2)\,=\,-\frac{1}{2}$
$f(3)\,=\,0\,\Rightarrow\,\frac{1}{2}f(3)\,=\,0$
$f(5)\,=\,4\,\Rightarrow\,\frac{1}{2}f(5)\,=\,2$

#### 3. -2f

Pour -2f , on a :
$f(-1)\,=\,1\,\Rightarrow\,-2f(-1)\,=\,-2$
$f(0)\,=\,1\,\Rightarrow\,-2f(0)\,=\,-2$
$f(1)\,=\,0\,\Rightarrow\,-2f(1)\,=\,0$
$f(2)\,=\,-1\,\Rightarrow\,-2f(2)\,=\,2$
$f(3)\,=\,0\,\Rightarrow\,-2f(3)\,=\,0$
$f(5)\,=\,4\,\Rightarrow\,-2f(5)\,=\,-8$

### Conclusion :

La transformation des fonctions est réalisée par les opérations suivantes sur leurs images respectives :

– $f\,%2B\,2$ : Translation verticale vers le haut de 2 unités.
– $\frac{1}{2}f$ : Compression verticale par un facteur $\frac{1}{2}$ .
– -2f : Réflexion par rapport à l’axe des abscisses et dilatation verticale par un facteur 2.

Les graphiques doivent être redessinés en fonction des transformations expliquées ci-dessus pour chaque fonction.

Exercice 18 : associer à chaque courbe la bonne fonction
Pour déterminer les fonctions associées à chaque courbe, observons comment chaque graphe se positionne par rapport à la courbe représentant la fonction .

1. $Courbe\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC_1%22\,alt=%22C_1$ » align= »absmiddle » /> :
– La courbe C_1 semble être une translation verticale de la courbe vers le haut de 1 unité. Cela signifie que C_1 représente la fonction $u\,%2B\,1$ .

2. $Courbe\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC_2%22\,alt=%22C_2$ » align= »absmiddle » /> :
– La courbe C_2 est plus compressée par rapport à mais inversée en dessous de l’axe horizontal, ce qui suggère une multiplication par un coefficient négatif. Il semble que l’étirement soit le double. Donc, C_2 représente la fonction -2u .

3. $Courbe\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC_3%22\,alt=%22C_3$ » align= »absmiddle » /> :
– La courbe C_3 est étirée par rapport à vers le bas également en dessous de l’axe horizontal, ce qui indique une multiplication par une valeur positive plus petite que 1. La compression indique un rétrécissement de moitié, donc C_3 représente la fonction $-\frac{1}{2}u$ .

4. $Courbe\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC_4%22\,alt=%22C_4$ » align= »absmiddle » /> :
– La courbe C_4 est une translation verticale de la courbe vers le bas de 1 unité. Cela signifie que C_4 représente la fonction $u\,-\,1$ .

En résumé, les fonctions associées aux courbes sont :

– C_1 : $u\,%2B\,1$
– C_2 : -2u
– C_3 : $-\frac{1}{2}u$
– C_4 : $u\,-\,1$

Exercice 19 : fonctions carré et inverse
La fonction est définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)\,=\,x^2\,-\,1$ .

La courbe représentative de est une parabole dont le sommet est au point $(0%2C\,-1)$ , ouverte vers le haut.

– Pour la fonction :
$-u(x)\,=\,-(x^2\,-\,1)\,=\,-x^2\,%2B\,1$
La courbe de est une parabole dont le sommet est au point $(0%2C\,1)$ , ouverte vers le bas.

– Pour la fonction $u\,%2B\,2$ :
$u(x)\,%2B\,2\,=\,(x^2\,-\,1)\,%2B\,2\,=\,x^2\,%2B\,1$
La courbe de $u\,%2B\,2$ est une parabole dont le sommet est au point $(0%2C\,1)$ , ouverte vers le haut.

– Pour la fonction $\frac{1}{4}u$ :
$\frac{1}{4}u(x)\,=\,\frac{1}{4}(x^2\,-\,1)\,=\,\frac{1}{4}x^2\,-\,\frac{1}{4}$
La courbe de $\frac{1}{4}u$ est une parabole dont le sommet est au point $(0%2C\,-\frac{1}{4})$ , ouverte vers le haut, et plus « aplatie » que celle de .

En observant le graphe fourni:
– La courbe orange représente $u(x)\,=\,x^2\,-\,1$ .
– La courbe turquoise (ouverte vers le haut et décalée vers $y\,=\,1$ ) représente $u\,%2B\,2$ .
– La courbe rouge (ouverte vers le bas) représente .
– La courbe bleue (plus aplatie que ) représente $\frac{1}{4}u$ .

Exercice 20 : logiciel de géométrie et distance minimale
1. a) Réaliser la figure avec un logiciel de géométrie dynamique comme GeoGebra.

b) En déplaçant le point le long de la courbe, la distance semble minimale lorsque est proche de l’abscisse .

2) Vérification que $AM\,=\,\sqrt{x^2\,-\,3x\,%2B\,4}$ :

Soit $A(2%2C\,0)$ et $M(x%2C\,\sqrt{x})$ . La distance est donnée par:
$AM\,=\,\sqrt{(x-2)^2\,%2B\,(\sqrt{x}-0)^2}$
$AM\,=\,\sqrt{(x-2)^2\,%2B\,x}$
Développons (x-2)^2 :
$AM\,=\,\sqrt{x^2\,-\,4x\,%2B\,4\,%2B\,x}$
$AM\,=\,\sqrt{x^2\,-\,3x\,%2B\,4}$

La formule est donc vérifiée.

3) Pour trouver la position de telle que soit minimale, on doit minimiser la fonction :
$f(x)\,=\,\sqrt{x^2\,-\,3x\,%2B\,4}$

Minimiser f(x) revient à minimiser f(x)^2 car la racine carrée est une fonction croissante. Soit :
$g(x)\,=\,x^2\,-\,3x\,%2B\,4$

On dérive g(x) pour trouver son minimum :
$g'(x)\,=\,2x\,-\,3$
On résout $g'(x)\,=\,0$ :
$2x\,-\,3\,=\,0$
$x\,=\,\frac{3}{2}$

On vérifie que g''(x) est positif en $x\,=\,\frac{3}{2}$ pour s’assurer qu’il s’agit bien d’un minimum :
$g''(x)\,=\,2$

Donc, g(x) a un minimum en $x\,=\,\frac{3}{2}$ .

La position de telle que la distance soit minimale est donc $x\,=\,\frac{3}{2}$ . Pour cette valeur, $M\,(\,\frac{3}{2}%2C\,\sqrt{\frac{3}{2}}\,)$ .

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : QCM sur les fonctions de référence
Pour résoudre l’inéquation $%7Cx\,%2B\,2%7C\,%3C\,5$ , nous devons considérer les deux inégalités suivantes :
$-5\,%3C\,x\,%2B\,2\,%3C\,5$

En résolvant ces inégalités, nous avons :
$-5\,-\,2\,%3C\,x\,%3C\,5\,-\,2$
$-7\,%3C\,x\,%3C\,3$

Ainsi, l’ensemble des solutions est :
$b)\,\,%5D-7%3B\,3%5B$

Pour factoriser la fonction définie par $f(x)\,=\,12\,-\,3(x%2B1)^2$ , nous devons d’abord développer l’expression :
$f(x)\,=\,12\,-\,3(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)$
$f(x)\,=\,12\,-\,3x^2\,-\,6x\,-\,3$
$f(x)\,=\,-3x^2\,-\,6x\,%2B\,9$
$f(x)\,=\,-3(x^2\,%2B\,2x\,-\,3)$

Ensuite, nous devons factoriser le polynôme $x^2\,%2B\,2x\,-\,3$ :
$x^2\,%2B\,2x\,-\,3\,=\,(x\,%2B\,3)(x\,-\,1)$

Ainsi, la forme factorisée de la fonction est :
$f(x)\,=\,-3(x\,%2B\,3)(x\,-\,1)$

Donc, la bonne réponse est :
$d)\,\,-3(x-1)(x%2B3)$

Exercice 22 : qCM sur les fonctions carrées
La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)\,=\,-5\,-\,(x-1)^2$ est :

1. Étude de la monotonie de f(x) :
– f(x) est une parabole tournée vers le bas (car le coefficient de (x-1)^2 est négatif).
– Le sommet de la parabole $y\,=\,-5\,-\,(x-1)^2$ se situe en $x\,=\,1$ .

– La fonction est décroissante sur $%5D-\infty\,%3B\,1%5D$ .

La réponse correcte est donc : $b)\,decroissante\,sur\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255D-%255Cinfty%2520%253B%25201%255D%22\,alt=%22%5D-\infty\,%3B\,1%5D$ » align= »absmiddle » />.

—

La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par est positive sur :

1. Recherche des zéros de f(x) :
$f(x)\,=\,2(5-x)(-x-1)\,=\,0$
– Les solutions de cette équation sont : $x\,=\,5$ et $x\,=\,-1$ .

2. Détermination du signe de f(x) :
– En $x\,=\,5$ , f(x) change de signe.
– En $x\,=\,-1$ , f(x) change de signe également.

– Étudions le signe sur les intervalles :
– Pour $x\,\in\,%5D-\infty%2C\,-1%5B$ , (5-x) est positif et (-x-1) est négatif, donc f(x) est négatif.
– Pour $x\,\in\,%5D-1%2C\,5%5B$ , (-x-1) est positif et (5-x) est également positif, donc f(x) est positif.
– Pour $x\,\in\,%5D5%2C\,%2B\infty%5B$ , (5-x) est négatif et (-x-1) est négatif aussi, donc f(x) est positif.

La réponse correcte est donc : $b)\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255D-%255Cinfty%2520%253B%2520-1%255D%2520%255Ccup%2520%255B5%2520%253B%2520%252B%255Cinfty%255B%22\,alt=%22%5D-\infty\,%3B\,-1%5D\,\cup\,%5B5\,%3B\,%2B\infty%5B$ » align= »absmiddle » />.

Exercice 23 : qCM sur la valeur absolue et la fonction carrée
Correction de l’exercice :

1. La réunion d’intervalles $%5D-\infty\,%3B\,-3%5D\,\cup\,%5B5\,%3B\,%2B\infty%5B$ est l’ensemble des solutions de :
Pour retrouver les intervalles $%5D-\infty\,%3B\,-3%5D\,\cup\,%5B5\,%3B\,%2B\infty%5B$ , cherchons l’inéquation corrrespondante. Nous avons :

$x\,\leq\,\,-3\,\quad\,ou\,\quad\,x\,\geq\,\,5$

Cela correspond en effet à $%7Cx\,-\,1%7C\,\geq\,\,4$ . Vérification :

$%7Cx\,-\,1%7C\,\geq\,\,4\,\implies\,x\,-\,1\,\leq\,\,-4\,\quad\,ou\,\quad\,x\,-\,1\,\geq\,\,4$
$x\,\leq\,\,-3\,\quad\,ou\,\quad\,x\,\geq\,\,5$

Donc, la réponse correcte est l’option a $%7Cx-1%7C\,\geq\,\,4$ .

2. La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)\,=\,-2x^2\,-\,4x\,%2B\,6$ admet pour expression :

Nous devons factoriser l’expression donnée :

$f(x)\,=\,-2x^2\,-\,4x\,%2B\,6$

Voyons les différentes options proposées :

Option a: $-2(x\,%2B\,3)(x\,-\,1)$ :
$-2(x\,%2B\,3)(x\,-\,1)\,=\,-2(x^2\,-\,x\,%2B\,3x\,-\,3)\,=\,-2(x^2\,%2B\,2x\,-\,3)$
Ce n’est donc pas cette option.

Option b: $2(x\,%2B\,3)(1\,-\,x)$ :
$2(x\,%2B\,3)(1\,-\,x)\,=\,2((x\,%2B\,3)(1\,-\,x))\,=\,2(1\,-\,x^2\,-\,3x\,%2B\,x)$
Ce n’est donc pas cette option.

Option c: $-2(x\,%2B\,1)^2\,%2B\,8$
$-2(x\,%2B\,1)^2\,%2B\,8\,=\,-2(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)\,%2B\,8\,=\,-2x^2\,-\,4x\,-\,2\,%2B\,8\,=\,-2x^2\,-\,4x\,%2B\,6$
Cela est correct. Donc la réponse est l’option c.

3. La courbe d’une fonction $f\,%3A\,x\,\mapsto \,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ est au-dessus de l’axe des abscisses. Donc :

Si la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses, cela signifie que le polynôme $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ n’a pas de racines réelles et est positif pour tout $x\,\in\,\mathbb{R}$ , ce qui implique que :
– $a\,>\,0$

Pour $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ , nous pouvons affirmer que $a\,>\,0$ Exercice 24 : qCM sur les courbes représentatives

Première partie: Comparaison des fonctions $f$ et $g$

Soient $f$ et $g$ définies par $f(x) = 4x – 1$ et $g(x) = (x + 5)^2 – 17$.

\begin{itemize}
$C_f$ est en dessous de $C_g$ sur $[-3 ; +\infty[$
$Comparons\,\,f(x)\,\,et\,\,g(x)\,\,sur\,cet\,intervalle%3A$
Posons $h(x) = g(x) – f(x) = (x + 5)^2 – 17 – (4x – 1) = x^2 + 10x + 25 – 17 – 4x + 1 = x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$

$\begin{cases}
(x + 3)^2 \geq\, 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} \\
(x + 3)^2 = 0 \text{ si et seulement si } x = -3
\end{cases}$

Donc $h(x) \geq\, 0$ pour tout $x \in [-3, +\infty[$, c’est-à-dire $g(x) \geq\, f(x)$ sur cet intervalle. \\
La réponse a est correcte.

$C_f$ est en dessous de $C_g$ sur $[-3 ; +\infty[$
$La\,meme\,demonstration\,que\,pour\,l'item\,a\,s'applique\,ici.$
La réponse b est correcte.

$C_f$ est en dessous de $C_g$ sur $[-\infty ; -3]$
$Posons\,%24h(x)\,=\,g(x)\,-\,f(x)\,=\,(x\,%2B\,5)^2\,-\,17\,-\,(4x\,-\,1)\,=\,x^2\,%2B\,10x\,%2B\,25\,-\,17\,-\,4x\,%2B\,1\,=\,x^2\,%2B\,6x\,%2B\,9\,=\,(x%2B3)^2$
Pour $x \leq\, -3$, $(x + 3)^2 \geq\, 0$ donc $h(x) \geq\, 0$, c’est-à-dire $g(x) \geq\, f(x)$ sur cet intervalle. \\
La réponse c est incorrecte.

$C_f$ est au-dessus de $C_g$ sur $[-\infty ; -3]$
$Nous\,avons\,deja\,prouve\,que\,%24g(x)\,\geq\,\,f(x)%24\,sur\,%24%5B-\infty\,%3B\,-3%5D%24.$
La réponse d est correcte.

Deuxième partie: étude de la fonction $f$

La fonction $f$ est définie par les points $(-5; 0)$, $(0; 15)$, $(3; 0)$ et le sommet $S(-1 ; 16)$.

$f$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$
$Puisque\,\,S\,\,est\,le\,sommet\,de\,la\,parabole%2C\,le\,minimum\,de\,\,f\,\,est\,atteint\,en\,\,x\,=\,-1.$
La réponse a est correcte.

$f$ admet pour expression $f(x) = -x^2-2x+15$
$La\,forme\,canonique\,d'un\,tel\,polynome\,est\,%24f(x)\,=\,a(x%2B1)^2\,%2B\,16%24.\,En\,utilisant\,les\,points\,donnes%2C\,on\,ajuste\,l'expression\,pour\,obtenir\,%24f(x)\,=\,-x^2\,-\,2x\,%2B\,15%24.$
La réponse b est correcte.

$C_f$ coupe l’axe des abscisses en $x = 15$
$Les\,points\,d'intersection\,avec\,l'axe\,des\,abscisses\,sont\,ou\,%24f(x)=0%24.\,En\,utilisant\,les\,points\,donnes%2C\,%24f(x)%24\,coupe\,l'axe\,des\,abscisses\,a\,%24-5%24\,et\,%243%24%2C\,pas\,a\,%2415%24.$
La réponse c est incorrecte.

$f$ a pour expression $f(x) = 16 – (x + 1)^2$
$Ceci\,est\,une\,reecriture\,de\,notre\,forme\,%24f(x)%24\,dans\,la\,forme\,canonique%2C\,%24f(x)=-\,(x\,%2B\,1)^2\,%2B\,16%24.$
La réponse d est incorrecte.

\end{itemize}

Exercice 25 : valeur absolue et calculs
1. $%7C\,-5\,%7C$

$%7C\,-5\,%7C\,=\,5$

2. $%7C1\,-\,\sqrt{3}%7C$

Sachant que $\sqrt{3}\,\approx\,1.732$ , alors $1\,-\,\sqrt{3}\,%3C\,0$ .

$%7C\,1\,-\,\sqrt{3}\,%7C\,=\,-(1\,-\,\sqrt{3})\,=\,\sqrt{3}\,-\,1$

3. $%7Cx\,-\,8%7C$ en distinguant les cas en fonction de .

$%7C\,x\,-\,8\,%7C\,=%0D%0A\begin{cases}%0D%0Ax\,-\,8\,%26\,si\,\,x\,\geq\,\,8\,\\%0D%0A-(x\,-\,8)\,=\,8\,-\,x\,%26\,si\,\,x\,%3C\,8%0D%0A\end{cases}$

Résoudre les équations et inéquations.

1. $%7C\,x\,%7C\,=\,-2$

Aucune solution car la valeur absolue est toujours positive ou nulle.

2. $%7C\,x\,%7C\,\geq\,\,3$

$%7C\,x\,%7C\,\geq\,\,3\,\implies\,x\,\leq\,\,-3\,\,ou\,\,x\,\geq\,\,3$

3. $3(x\,%2B\,1)^2\,-\,5\,=\,1$

$3(x\,%2B\,1)^2\,-\,5\,=\,1$

$3(x\,%2B\,1)^2\,=\,6$

$(x\,%2B\,1)^2\,=\,2$

$x\,%2B\,1\,=\,\sqrt{2}\,\,ou\,\,x\,%2B\,1\,=\,-\sqrt{2}$

$x\,=\,\sqrt{2}\,-\,1\,\,ou\,\,x\,=\,-\sqrt{2}\,-\,1$

4. $3(x\,%2B\,1)^2\,-\,1\,>\,11$

$x\,>\,1\,\,ou\,\,x\,%3C\,-3$

La fonction est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)\,=\,7(x\,%2B\,1)^2\,-\,3$ .

est une fonction quadratique de la forme $a(x\,-\,h)^2\,%2B\,k$ où $a\,=\,7$ , $h\,=\,-1$ et $k\,=\,-3$ .

– Le sommet de la parabole est en $(-1%2C\,-3)$ .
– Le coefficient $a\,=\,7$ est positif, donc la parabole est tournée vers le haut.
– Les valeurs de f(x) sont toujours supérieures ou égales à -3.

Cela signifie que le minimum de la fonction est -3, atteint lorsque $x\,=\,-1$ . La fonction est décroissante pour $x\,%3C\,-1$ et croissante pour $x\,>\,-1$ Exercice 26 : associe chaque courbe à sa fonction
1. Pour associer chaque courbe à sa fonction, nous devons analyser la forme des équations données et comparer avec les graphes.

– La fonction $f(x)\,=\,-(x-2)(x%2B3)$ représente une parabole ouverte vers le bas, car le coefficient directeur de x^2 est négatif. En $(0%2C\,f(0))$ , nous trouvons:
$f(x)\,=\,-(x^2\,%2B\,x\,-\,6)\,\Rightarrow\,f(0)\,=\,-(-6)\,=\,6.$
La courbe C_1 (en bleu) représente donc la fonction f(x) .

– La fonction $g(x)\,=\,3x^2\,%2B\,5x\,-\,1$ représente une parabole ouverte vers le haut, car le coefficient directeur de x^2 est positif. En $(0%2C\,g(0))$ , nous trouvons:
$g(0)\,=\,-1.$
La courbe C_2 (en orange) représente donc la fonction g(x) .

– La fonction $h(x)\,=\,7(x-1)^2\,%2B\,2$ représente aussi une parabole ouverte vers le haut avec son sommet à $(1%2C\,2)$ . En $(0%2C\,h(0))$ , nous trouvons:
$h(0)\,=\,7(1)\,%2B\,2\,=\,9.$
La courbe C_3 (en vert) représente donc la fonction h(x) .

2. Pour déterminer l’ordonnée du point d’intersection entre C_2 et l’axe des ordonnées, nous devons trouver g(0) :
$g(0)\,=\,3(0)^2\,%2B\,5(0)\,-\,1\,=\,-1.$
Donc, l’ordonnée du point d’intersection entre C_2 et l’axe des ordonnées est .

Exercice 27 : fonctions polynômes du second degré
La fonction $f(x)\,=\,6(x-1)^2\,%2B\,1$ est une parabole qui a son sommet au point (1, 1) et s’ouvre vers le haut. C’est la courbe $\mathcal{C}_3$ (verte) sur le graphique.

Pour la fonction $g(x)\,=\,6(x%2B1)^2\,%2B\,1$ , le sommet de la parabole est en (-1, 1) et elle s’ouvre également vers le haut. C’est la courbe $\mathcal{C}_1$ (bleue).

Enfin, la fonction $h(x)\,=\,6(x%2B1)^2\,-\,1$ a son sommet au point (-1, -1) et s’ouvre vers le haut. C’est la courbe $\mathcal{C}_2$ (orange).

En résumé:

$\mathcal{C}_1\,\to\,g(x)\,=\,6(x%2B1)^2\,%2B\,1$
$\mathcal{C}_2\,\to\,h(x)\,=\,6(x%2B1)^2\,-\,1$
$\mathcal{C}_3\,\to\,f(x)\,=\,6(x-1)^2\,%2B\,1$

Exercice 28 : inéquations et valeurs absolues
$1.\,\,%7Cx%7C\,%3C\,2$
$-2\,%3C\,x\,%3C\,2$

$2.\,\,3\,\leq\,\,%7Cx%7C\,\leq\,\,4$
$Cette\,inequation\,peut\,etre\,decomposee\,en\,deux\,inequations%3A$
$\begin{cases}%0D%0A%7Cx%7C\,\geq\,\,3\,\\%0D%0A%7Cx%7C\,\leq\,\,4%0D%0A\end{cases}$
$Pour\,\,%7Cx%7C\,\geq\,\,3\,%3A\,x\,\leq\,\,-3\,\,ou\,\,x\,\geq\,\,3$
$Pour\,\,%7Cx%7C\,\leq\,\,4\,%3A\,-4\,\leq\,\,x\,\leq\,\,4$
$L'ensemble\,des\,solutions\,est\,donc\,%3A$
$%5B-4%2C\,-3%5D\,\cup\,%5B3%2C\,4%5D$

$3.\,\,%7Cx\,-\,3%7C\,\leq\,\,5$
$Cette\,inequation\,se\,decompose\,en\,deux\,inequations%3A$
$-5\,\leq\,\,x\,-\,3\,\leq\,\,5$
$En\,ajoutant\,3\,aux\,trois\,membres\,de\,l'inequation%2C\,on\,obtient%3A$
$-2\,\leq\,\,x\,\leq\,\,8$

$4.\,\,%7Cx\,%2B\,4%7C\,>\,5$
$x\,%2B\,4\,>\,5$
$x\,%3C\,-9$
$L'ensemble\,des\,solutions\,est\,donc\,%3A$
$x\,%3C\,-9\,\cup\,x\,>\,1$ Exercice 29 : algorithmes de calculs et fonctions
Correction de l’exercice :

1. Complétion de l’algorithme :

« `plaintext
Définir Solution (k) :
Si k < 0 alors :
Retourner « Pas de solution »
Sinon
Si k = 0 alors :
Retourner 0
Sinon
m ← k
n ← -k
Retourner m et n
Fin Si
Fin Si
« `

2. Tester l’algorithme avec $k\,=\,4$ , $k\,=\,0$ et $k\,=\,-3$ .

Pour $k\,=\,4$ :
– $k\,\ge\,0$
– $k\,\neq\,0$
– Donc, retournons $m\,=\,4$ et $n\,=\,-4$

Pour $k\,=\,0$ :
– $k\,\ge\,0$
– $k\,=\,0$
– Donc, retournons

Pour $k\,=\,-3$ :
– $k\,%3C\,0$
– Donc, retournons « Pas de solution »

En résumé, voici la solution sous forme de texte :

« `plaintext
Pour k = 4 :
– Sortie : m = 4, n = -4

Pour k = 0 :
– Sortie : 0

Pour k = -3 :
– Sortie : Pas de solution
« `

En utilisant $\LaTeX$ pour représenter les étapes de l’algorithme sous forme mathématique :

Pour $k\,=\,4$ :
$\begin{cases}%0D%0Am\,=\,4\,\\%0D%0An\,=\,-4\,\\%0D%0A\end{cases}$

Pour $k\,=\,0$ :
$x\,=\,0$

Pour $k\,=\,-3$ :
$Pas\,de\,solution$

Exercice 30 : valeurs absolues et propriétés
1. Soient $x$ et $y$ deux réels quelconques.

a. Choisissons par exemple $x = -3$ et $y = 5$.

b. Calculons $|x| \times |y|$ et $|xy|$:
$%7Cx%7C\,=\,3%2C\,\quad\,%7Cy%7C\,=\,5\,\\%0D%0A%7Cx%7C\,\times \,%7Cy%7C\,=\,3\,\times \,5\,=\,15$
$xy\,=\,-3\,\times \,5\,=\,-15\,\quad\,donc\,\quad\,%7Cxy%7C\,=\,%7C-15%7C\,=\,15$

c. En répétant cette opération pour d’autres valeurs de $x$ et $y$:

– Si $x = 2$ et $y = -7$:
$%7Cx%7C\,=\,2%2C\,\quad\,%7Cy%7C\,=\,7\,\\%0D%0A%7Cx%7C\,\times \,%7Cy%7C\,=\,2\,\times \,7\,=\,14$
$xy\,=\,2\,\times \,-7\,=\,-14\,\quad\,donc\,\quad\,%7Cxy%7C\,=\,%7C-14%7C\,=\,14$

– Si $x = -4$ et $y = -6$:
$%7Cx%7C\,=\,4%2C\,\quad\,%7Cy%7C\,=\,6\,\\%0D%0A%7Cx%7C\,\times \,%7Cy%7C\,=\,4\,\times \,6\,=\,24$
$xy\,=\,-4\,\times \,-6\,=\,24\,\quad\,donc\,\quad\,%7Cxy%7C\,=\,24$

En général, la conjecture est que $|x| \times |y| = |xy|$ pour tous réels $x$ et $y$.

2. Nous allons vérifier cette conjecture dans les quatre cas suivants:

a. $x = 0$ ou $y = 0$:
$Si\,\,x\,=\,0\,\,alors\,\,%7Cx%7C\,=\,0\,\quad\,et\,peu\,importe\,la\,valeur\,de\,\,y%2C\,\quad\,%7C0%7C\,\times \,%7Cy%7C\,=\,0$
$xy\,=\,0\,\quad\,donc\,\quad\,%7Cxy%7C\,=\,0$
$De\,meme%2C\,si\,\,y\,=\,0\,\,alors\,\,%7Cx%7C\,\times \,%7C0%7C\,=\,0\,\,et\,\,%7Cxy%7C\,=\,0.$
$Donc%2C\,pour\,\,x\,=\,0\,\,ou\,\,y\,=\,0%2C\,\quad\,%7Cx%7C\,\times \,%7Cy%7C\,=\,%7Cxy%7C$

b. $x < 0$ et $y < 0$:
$Supposons\,\,x\,=\,-a\,\,et\,\,y\,=\,-b\,\,avec\,\,a%2C\,b\,>\,0$
$%7Cx%7C\,\times \,%7Cy%7C\,=\,a\,\times \,b\,=\,%7Cxy%7C\,\,car\,\,xy\,=\,(-a)\,\times \,(-b)\,=\,ab$

c. $x < 0$ et $y > 0$:
$Supposons\,\,x\,=\,-a\,\,et\,\,y\,=\,b\,\,avec\,\,a%2C\,b\,>\,0$
$%7Cx%7C\,\times \,%7Cy%7C\,=\,a\,\times \,b\,\quad\,et\,\quad\,%7Cxy%7C\,=\,%7C(-a)\,\times \,b%7C\,=\,%7C(-ab)%7C\,=\,ab$

d. $x > 0$ et $y > 0$:
$Supposons\,\,x\,=\,a\,\,et\,\,y\,=\,b\,\,avec\,\,a%2C\,b\,>\,0$
$%7Cx%7C\,\times \,%7Cy%7C\,=\,a\,\times \,b\,=\,%7Cxy%7C\,\quad\,car\,\quad\,xy\,=\,ab$

3. En conclusion, peu importe les signes de $x$ et $y$, nous avons:
$%7Cx%7C\,\times \,%7Cy%7C\,=\,%7Cxy%7C$
Cette relation est vraie pour tous réels $x$ et $y$.

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : tracer des courbes de fonctions

1. a. Les courbes représentatives des fonctions et sont tracées en utilisant une calculatrice ou un logiciel de graphes. Voici les équations à tracer :

$f(x)\,=\,3x^2\,-\,x$
$g(x)\,=\,\frac{2}{3}x$

1. b. Conjecture concernant les points d’intersection :

Pour trouver les points d’intersection entre les courbes C_f et C_g , nous devons résoudre l’équation :

$f(x)\,=\,g(x)$

Ce qui donne :

$3x^2\,-\,x\,=\,\frac{2}{3}x$

En égalisant, nous obtenons :

$3x^2\,-\,x\,-\,\frac{2}{3}x\,=\,0$

Simplifions :

$3x^2\,-\,\frac{5}{3}x\,=\,0$

Multiplions par 3 pour éliminer le dénominateur :

$9x^2\,-\,5x\,=\,0$

Factorisons l’équation :

$x\,(9x\,-\,5)\,=\,0$

Donc, les solutions sont :

$x\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,\frac{5}{9}$

Les coordonnées des points d’intersection sont donc :

Pour $x\,=\,0$ :

$g(0)\,=\,\frac{2}{3}\,\cdot\,0\,=\,0$

Ainsi, le point d’intersection est (0%2C0) .

Pour $x\,=\,\frac{5}{9}$ :

$g(\frac{5}{9})\,=\,\frac{2}{3}\,\cdot\,\frac{5}{9}\,=\,\frac{10}{27}$

Ainsi, le point d’intersection est $(\,\frac{5}{9}%2C\,\frac{10}{27}\,)$ .

2. Démonstration algébrique de la conjecture :

Nous souhaitons vérifier que les points (0%2C0) et $(\frac{5}{9}%2C\,\frac{10}{27})$ sont bien les points d’intersection des courbes C_f et C_g .

Pour $(0%2C\,0)$ :

$f(0)\,=\,3\,\cdot\,0^2\,-\,0\,=\,0$

$g(0)\,=\,\frac{2}{3}\,\cdot\,0\,=\,0$

Donc, le point (0, 0) est bien un point d’intersection.

Pour $(\,\frac{5}{9}%2C\,\frac{10}{27}\,)$ :

Calculons $f(\,\frac{5}{9}\,)$ :

$f(\,\frac{5}{9}\,)\,=\,3\,(\,\frac{5}{9}\,)^2\,-\,\frac{5}{9}$
$=\,3\,\cdot\,\frac{25}{81}\,-\,\frac{5}{9}$
$=\,\frac{75}{81}\,-\,\frac{45}{81}$
$=\,\frac{30}{81}$
$=\,\frac{10}{27}$

Nous avons donc :

$f(\,\frac{5}{9}\,)\,=\,\frac{10}{27}$

$g(\,\frac{5}{9}\,)\,=\,\frac{2}{3}\,\cdot\,\frac{5}{9}\,=\,\frac{10}{27}$

Ainsi, $(\,\frac{5}{9}%2C\,\frac{10}{27}\,)$ est bien un point d’intersection.

La conjecture est confirmée algébriquement. Les points d’intersection des courbes C_f et C_g sont (0%2C0) et $(\,\frac{5}{9}%2C\,\frac{10}{27}\,)$ .

Exercice 32 : compléter le tableau de valeurs
En sachant que est une fonction polynôme du second degré, nous pouvons utiliser la symétrie de la parabole par rapport à son axe de symétrie pour compléter le tableau de valeurs.

Observons les paires de valeurs et f(x) :

– Pour $x\,=\,-5$ , $f(x)\,=\,66$
– Pour $x\,=\,-1$ , $f(x)\,=\,18$
– Pour $x\,=\,2$ , $f(x)\,=\,3$

Il est pertinent de noter que lorsque $x\,=\,2$ , f(x) est au plus bas avec $f(x)\,=\,3$ ; cela suggère que le sommet de la parabole pourrait être autour de $x\,=\,2$ , puisque nous observons une augmentation des valeurs de f(x) à gauche et à droite de cette valeur. Cependant, utilisons ensuite le point donné $x\,=\,4$ et f(x) commence à remonter.

Ensuite, pour déterminer d’autres valeurs :

1. En utilisant l’intervalle de symétrie nous savons que :
– Entre -5 et 4,5 (9,5 intervalle total), donc chaque 4.5 la symetrie hors du sommet.
2. Les coefficients changent en présumant la régularité des valeurs sur des segments.

Pour simplifier, nous allons utiliser l’équation parabolique générique $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ pour facilité démontrer le calcul, de les suites logiques devrait donner tous:
$f(4.6)\,=\,\,approx\,4.56\,\%2C\,(symetrie%2C\,proche\,sommet)$
À 7, f(x) remontront équivaut à l’approximation initiale (précédemment calcul symétrique).
– Pour points intermédiaires de 11, dépendant maximum xx.

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,f(x)\,\\%0D%0A\hline%0D%0A4\,%26\,3\,\\%0D%0A4.6\,%26\,4%2C56\,\\%0D%0A7\,%26\,11\,\%2C\,comprehension\,fits\,\\%0D%0A11\,%26\,reexplore\,approx\to\,or\,can\,extend\,find%3B\,repeated\,%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Ce sont des exemples réitératifs approximatifs.

Ainsi, en utilisant les points donnés et les intervalles de parabole :
1. Nous pouvons estimer les valeurs, suivant :
– les simples paraboliques généralités de symétrie (second degrés coefficients linéaire).

Vérife calcul par coefs, multiples substitutions… pour autre perfection validant.

Exercice 33 : etude d’une parabole
1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

a. Quel est le signe de ?

Le coefficient détermine la concavité de la parabole. Comme la parabole est tournée vers le bas, le signe de est négatif.

b. Donner les valeurs de , x_1 , x_2 , $\alpha$ et $\beta$ .

– est l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire l’ordonnée du point où la courbe coupe l’axe des ordonnées. Ici, ce point est (0%2C1) , donc $c\,=\,1$ .
– x_1 et x_2 sont les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses. D’après la courbe, ces points sont (0%2C0) et (2%2C0) , donc $x_1\,=\,0$ et $x_2\,=\,2$ .
– $\alpha$ est l’abscisse du sommet de la parabole. Le sommet de la parabole se situe à $x\,=\,1$ , donc $\alpha\,=\,1$ .
– $\beta$ est l’ordonnée du sommet de la parabole. D’après la courbe, cette ordonnée est , donc $\beta\,=\,5$ .

c. En déduire la valeur de .

En utilisant la forme canonique de la fonction $f(x)\,=\,a(x\,-\,\alpha)^2\,%2B\,\beta$ , nous savons que lorsque $x\,=\,\alpha\,=\,1$ , $f(1)\,=\,\beta\,=\,5$ .

Nous savons aussi que $f(0)\,=\,1$ . En remplaçant dans l’équation canonique $f(x)\,=\,a(x\,-\,1)^2\,%2B\,5$ ,
$f(0)\,=\,a(0\,-\,1)^2\,%2B\,5$
donne
$1\,=\,a(1)^2\,%2B\,5\,\Rightarrow\,1\,=\,a\,%2B\,5\,\Rightarrow\,a\,=\,-4.$

Ainsi, la valeur de est $a\,=\,-4$ .

Exercice 34 : affirmations vraies ou fausses
1. $f(-10)\,%3C\,0$

D’après le tableau de signes, $f(x)\,%3C\,0$ pour $x\,\in\,%5D-\infty%2C\,-8%5B\,\cup\,%5D2%2C\,%2B\infty%5B$ . Comme $-10\,%3C\,-8$ , $f(-10)\,%3C\,0$ est vrai.
Donc, l’affirmation est vraie.

2. $f(-9)\,\geq\,\,f(1)$

D’après le tableau de signes, $f(x)\,>\,0$ . Comme $-9\,%3C\,-8$ et $1\,\in\,%5D-8%2C\,2%5B$ , $f(-9)\,%3C\,0$ et $f(1)\,>\,0$ est faux.
La correction est : $f(-9)\,%3C\,f(1)$ .

3. $f(0)\,=\,2$

D’après le tableau de signes, on a aucune indication que $f(0)\,=\,2$ . Donc, l’affirmation peut être soit juste soit fausse. Comme on n’a pas assez d’informations pour confirmer, on ne peut ni dire vrai ni corriger directement sans plus d’informations.

4. $a\,%3C\,0$

Puisque est un polynôme de degré 2 et f(x) change de signe de %2B à avant de redevenir %2B , cela signifie que parabole est ouverte vers le bas (le sommet est en bas), donc $a\,%3C\,0$ .
L’affirmation est vraie.

5. L’ensemble des solutions de l’équation $f(x)\,=\,0$ est $S\,=\,\{-8\,%3B\,2\}$ .

D’après le tableau de signes, $f(x)\,=\,0$ pour $x\,=\,-8$ et $x\,=\,2$ .
L’affirmation est vraie.

6. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\,%3C\,0$ est $S\,=\,%5D-8\,%3B\,2%5B$ .

D’après le tableau de signes, $f(x)\,%3C\,0$ pour $x\,\in\,%5D-8%2C\,2%5B$ .
Donc, l’affirmation est vraie.

Exercice 35 : etude d’une fonction
1. Montrer que, pour tout réel , on a :
a. $f(x)\,=\,3x^2\,-\,10x\,%2B\,7$ .

\begin{align*}
f(x) = 3(x-1)(x – \frac{7}{3}) \\
= 3(x-1)(\frac{3x – 7}{3}) \\
= \frac{3}{3}(x-1)(3x – 7) \\
= (x-1)(3x – 7) \\
= x \cdot 3x – x \cdot 7 – 1 \cdot 3x + 1 \cdot 7 \\
= 3x^2 – 7x – 3x + 7 \\
= 3x^2 – 10x + 7
\end{align*}

b. $f(x)\,=\,3(x\,-\,\frac{5}{3})^2\,-\,\frac{4}{3}$ .

\begin{align*}
f(x) = 3 ( x-1 ) ( x-\frac{7}{3} ) \\
= 3 [ x^2 – ( 1+ \frac{7}{3} )x + 1 \cdot \frac{7}{3} ] \\
= 3 ( x^2 – \frac{10}{3}x + \frac{7}{3} ) \\
= 3 ( x^2 – \frac{10}{3}x + (\frac{5}{3})^2 – (\frac{5}{3})^2 + \frac{7}{3} ) \\
= 3 [ ( x – \frac{5}{3} )^2 – \frac{25}{9} + \frac{7}{3} ] \\
= 3 [ ( x – \frac{5}{3} )^2 – \frac{25}{9} + \frac{21}{9} ] \\
= 3 ( x – \frac{5}{3} )^2 + 3 \cdot ( – \frac{4}{9} ) \\
= 3 ( x – \frac{5}{3} )^2 – \frac{12}{9} \\
= 3 ( x – \frac{5}{3} )^2 – \frac{4}{3}
\end{align*}

2. Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et résoudre les inéquations :

a. $f(x)\,\leq\,\,0$

$f(x)\,=\,3(x-1)(x\,-\,\frac{7}{3})\,\leq\,\,0$

Les racines de l’équation sont et $\frac{7}{3}$ . On peut étudier le signe de f(x) en fonction de ces racines :
– f(x) est positif ou nul dans $3(x-1)(x-\frac{7}{3})\,\leq\,\,0$ (<= symétrie avec une parabole homogène) lorsque $x\,\in\,%5B1%2C\,\frac{7}{3}%5D$ .

b. $f(x)\,>\,7$ et $\frac{10}{3}$ , le signe de l’inéquation dépend de l’intervalle entre ces valeurs:

– $x\,%3C\,0$
– $x\,>\,\frac{10}{3}$

On utilise à nouveau la forme développée pour résoudre cette inéquation :
$f(x)\,=\,3x^2\,-\,10x\,%2B\,7\,\leq\,\,6$

On résout $3x^2\,-\,10x\,%2B\,7\,\leq\,\,6$ :
$3x^2\,-\,10x\,%2B\,1\,\leq\,\,0\,\\$

Pour déterminer les intervalles pour , en trouvant les racines de cette équation quadratique :
Les racines sont obtenues par le discriminant $\Delta$ :

$\Delta\,=\,10^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,1\,=\,100\,-\,12\,=\,88$

$x\,=\,\frac{10\,\pm\,\sqrt{88}}{6}$

Les intervalles de qui satisfont l’équation quadratique (compris entre ses racines) :
$x\,\in\,%5B\,\frac{10\,-\,\sqrt{88}}{6}%2C\,.\,\frac{10\,%2B\,\sqrt{88}}{6}\,%5D$

Exercice 36 : positions relatives de deux courbes
1. $a.\,En\,remarquant\,que\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%255E2%2520-%25202x%22\,alt=%22x^2\,-\,2x$ est le debut d’une identite remarquable, completer les pointilles comme suit : » align= »absmiddle » />

Pour tous les réels , on a :
$g(x)\,=\,(x\,-\,1)^2\,%2B\,3.$
$g(x)\,=\,(x\,-\,1)^2\,%2B\,3\,=\,\dots$

1. $b.\,Determiner\,les\,antecedents\,de\,19\,par\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fg%22\,alt=%22g$ . » align= »absmiddle » />

On cherche tel que $g(x)\,=\,19$ .

$(x\,-\,1)^2\,%2B\,3\,=\,19$
$(x\,-\,1)^2\,=\,16$
$x\,-\,1\,=\,\pm\,4$
$x\,=\,5\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-3$

Les antécédents de 19 par sont $x\,=\,5$ et $x\,=\,-3$ .

2. $a.\,Completer\,les\,pointilles\,suivants.\,Pour\,tous\,les\,reels\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%22\,alt=%22x$ , on a : » align= »absmiddle » />

$-3x^2\,%2B\,6x\,%2B\,45\,=\,-3(\,\dots\,-\,\dots\,%2B\,\dots\,)$

Factorisons l’expression :

$-3x^2\,%2B\,6x\,%2B\,45\,=\,-3(x^2\,-\,2x\,-\,15)$

Complétons le carré pour l’expression dans les parenthèses :

$x^2\,-\,2x\,-\,15\,=\,(x^2\,-\,2x\,%2B\,1)\,-\,1\,-\,15$
$=\,(x\,-\,1)^2\,-\,16$

Donc :

$-3x^2\,%2B\,6x\,%2B\,45\,=\,-3((x\,-\,1)^2\,-\,16)$
$=\,-3(x\,-\,1)^2\,%2B\,48$

Ainsi :

$-3x^2\,%2B\,6x\,%2B\,45\,=\,48\,-\,3(x\,-\,1)^2$

2. $b.\,En\,utilisant\,une\,identite\,remarquable%2C\,on\,obtient\,%3A$

$-3x^2\,%2B\,6x\,%2B\,45\,=\,-3(x^2\,-\,2x\,%2B\,1\,-\,1\,-\,16)$
$=\,-3(x\,-\,1)^2\,%2B\,48$

3. $Etudier\,la\,position\,relative\,des\,courbes\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC_f%22\,alt=%22C_f$ et C_g . » align= »absmiddle » />

Pour étudier la position de C_f et C_g , observons les équations :

$f(x)\,=\,-2x^2\,%2B\,4x\,%2B\,49$
$g(x)\,=\,x^2\,-\,2x\,%2B\,4$

Pour les points de rencontre, résolvons $f(x)\,=\,g(x)$ :

$-2x^2\,%2B\,4x\,%2B\,49\,=\,x^2\,-\,2x\,%2B\,4$
$-3x^2\,%2B\,6x\,%2B\,45\,=\,0$
$-3(x^2\,-\,2x\,-\,15)\,=\,0$
$x^2\,-\,2x\,-\,15\,=\,0$
$(x\,-\,5)(x\,%2B\,3)\,=\,0$

Les solutions sont $x\,=\,5$ et $x\,=\,-3$ .

Calculons les images de ces -valeurs :

Pour $x\,=\,5$ , $y\,=\,f(5)\,=\,-2(5)^2\,%2B\,4(5)\,%2B\,49\,=\,-50\,%2B\,20\,%2B\,49\,=\,19$
Pour $x\,=\,-3$ , $y\,=\,f(-3)\,=\,-2(-3)^2\,%2B\,4(-3)\,%2B\,49\,=\,-18\,-\,12\,%2B\,49\,=\,19$

C_f et C_g se rencontrent en $(5%2C\,19)$ et $(-3%2C\,19)$ .

$Application\,%3A\,un\,jardinier\,doit\,faire\,le\,parterre\,suivant\,qui\,correspond\,aux\,courbes\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FC_f%22\,alt=%22C_f$ et C_g . L’unite est le metre. » align= »absmiddle » />

– Les dimensions et dépendent des intersections des courbes avec l’axe des abscisses.
– et sont les points où f(x) ou g(x) égale zéro.
– De même, les dimensions dépendent des points où les courbes se rencontrent ou atteignent la même -valeur.