Second degré et polynômes : corrigés des exercices en 1ère.

Exercice 1 : fonctions du second degré
1. $\mathbf{f_1(x)\,=\,2x^2\,%2B\,3}$

Cette fonction est un polynôme de degré 2.

Les coefficients sont :
$a\,=\,2%2C\,\quad\,b\,=\,0%2C\,\quad\,c\,=\,3$

2. $\mathbf{f_2(x)\,=\,2x^3\,%2B\,3x}$

Cette fonction est un polynôme de degré 3 (et non du second degré).

3. $\mathbf{f_3(x)\,=\,\frac{-x^2\,%2B\,4x\,%2B\,2}{3}}$

Cette fonction est un polynôme de degré 2, car le degré le plus élevé de au numérateur est 2 et il est divisé par une constante.

En réécrivant la fonction sous forme plus simple :
$f_3(x)\,=\,-\frac{1}{3}x^2\,%2B\,\frac{4}{3}x\,%2B\,\frac{2}{3}$

Les coefficients sont :
$a\,=\,-\frac{1}{3}%2C\,\quad\,b\,=\,\frac{4}{3}%2C\,\quad\,c\,=\,\frac{2}{3}$

4. $\mathbf{f_4(x)\,=\,\frac{1}{2}\,%2B\,x^2\,-\,4x}$

Cette fonction est un polynôme de degré 2.

En la réécrivant dans l’ordre des puissances décroissantes de :
$f_4(x)\,=\,x^2\,-\,4x\,%2B\,\frac{1}{2}$

Les coefficients sont :
$a\,=\,1%2C\,\quad\,b\,=\,-4%2C\,\quad\,c\,=\,\frac{1}{2}$

En résumé, les fonctions du second degré sont , et avec leurs coefficients respectifs.

Exercice 2 : courbes et équations de paraboles
Les courbes correspondant aux équations suivantes sont-elles des paraboles ?

1) $y\,=\,2x\,-\,1$

Cette équation est une équation de droite, car elle est de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,c$ où et sont des constantes. Donc, ce n’est pas une parabole.

2) $y\,=\,2x^2\,-\,1$

Cette équation est de la forme générale $y\,=\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ où n’est pas nul. Par conséquent, c’est une parabole.

3) $y\,=\,\frac{1}{x}$

Cette équation est une hyperbole, puisqu’elle décrit une relation inverse entre et . Ce n’est donc pas une parabole.

4) $y^2\,=\,x^2$

Pour simplifier cette équation, nous pouvons écrire $y^2\,-\,x^2\,=\,0$ qui se factorise en $(y\,-\,x)(y\,%2B\,x)\,=\,0$ . Cela donne deux équations linéaires :
$y\,=\,x$
$y\,=\,-x$
Ainsi, les courbes sont des droites et non des paraboles.

Exercice 3 : factorisation de polynômes du second degré
Correction de l’exercice

1) $x^2\,-\,6x\,%2B\,9\,=\,(x\,-\,3)^2$ donc $x^2\,-\,6x\,=\,(x\,-\,3)^2\,-\,9$

2) $x^2\,%2B\,4x\,%2B\,4\,=\,(x\,%2B\,2)^2$ donc $x^2\,%2B\,4x\,=\,(x\,%2B\,2)^2\,-\,4$

3) $x^2\,%2B\,2x\,=\,(x\,%2B\,1)^2\,-\,1$

4) $x^2\,-\,2x\,=\,(x\,-\,1)^2\,-\,1$

Exercice 4 : associer la forme canonique à chacun des trînômes

$1 – 3x^2$ est sous forme canonique $-3x^2 + 1$.

$3x^2 – 6x + 5$ est sous forme canonique $3(x – 1)^2 + 2$.

$-3x^2 + 6x + 8$ est sous forme canonique $-3(x – 1)^2 + 11$.

$3x^2 – 6x + 8$ est sous forme canonique $3(x – 1)^2 + 5$.

$3x^2 + 6x + 8$ est sous forme canonique $3(x + 1)^2 + 5$.

Exercice 5 : forme canonique d’une fonction du second degré
1) $f_1(x)\,=\,x^2\,%2B\,3$

Cette expression n’est pas sous forme canonique directement mais peut être convertie :

$f_1(x)\,=\,x^2\,%2B\,3\,=\,(x\,-\,0)^2\,%2B\,3$

Elle est donc sous la forme canonique $f(x)\,=\,a(x\,-\,\alpha)^2\,%2B\,\beta$ avec $a\,=\,1$ , $\alpha\,=\,0$ et $\beta\,=\,3$ .

—

2) $f_2(x)\,=\,(x\,-\,1)\,%2B\,2$

Cette expression n’est pas une fonction quadratique car elle est de degré 1. Elle ne peut donc pas être mise sous forme canonique d’une fonction du second degré.

—

3) $f_3(x)\,=\,(x\,%2B\,\sqrt{5})^2$

Cette expression est déjà sous la forme canonique $f(x)\,=\,a(x\,-\,\alpha)^2\,%2B\,\beta$ avec $a\,=\,1$ , $\alpha\,=\,-\sqrt{5}$ et $\beta\,=\,0$ .

—

4) $f_4(x)\,=\,(x\,%2B\,1)^2\,-\,(x\,-\,2)^2$

Développons chaque terme :

$(x\,%2B\,1)^2\,=\,x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1$
$(x\,-\,2)^2\,=\,x^2\,-\,4x\,%2B\,4$

En soustrayant les deux :

$f_4(x)\,=\,(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)\,-\,(x^2\,-\,4x\,%2B\,4)$
$f_4(x)\,=\,x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1\,-\,x^2\,%2B\,4x\,-\,4$
$f_4(x)\,=\,6x\,-\,3$

Cette expression n’est pas une fonction quadratique mais linéaire (de degré 1). Elle ne peut donc pas être mise sous forme canonique d’une fonction du second degré.

Exercice 6 : résoudre des équations du second degré
1) Résoudre l’équation $x^2\,-\,3x\,%2B\,2\,=\,0$ .

L’équation quadratique générale est de la forme $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c\,=\,0$ . Ici, nous avons $a\,=\,1$ , $b\,=\,-3$ , et $c\,=\,2$ .

Les solutions d’une équation quadratique peuvent être trouvées en utilisant la formule quadratique :
$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$

Calculons le discriminant $\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac$ :
$\Delta\,=\,(-3)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,2$
$\Delta\,=\,9\,-\,8$
$\Delta\,=\,1$

Les solutions sont donc :
$x\,=\,\frac{3\,\pm\,\sqrt{1}}{2\,\cdot\,1}$
$x\,=\,\frac{3\,\pm\,1}{2}$

Il y a deux solutions :
$x_1\,=\,\frac{3\,%2B\,1}{2}\,=\,2$
$x_2\,=\,\frac{3\,-\,1}{2}\,=\,1$

Donc, les solutions de l’équation $x^2\,-\,3x\,%2B\,2\,=\,0$ sont $x\,=\,1$ et $x\,=\,2$ .

2) Réaliser le tableau de signes du trinôme $x^2\,-\,3x\,%2B\,2$ .

Pour réaliser le tableau de signes, nous devons identifier les racines et les intervalles dans lesquels le trinôme change de signe. Nous utilisons les racines $x\,=\,1$ et $x\,=\,2$ .

| | $-\infty$ | | | $%2B\infty$ |
|:————-|:—————-:|:—————–:|:—————-:|:—————-:|
| $x^2\,-\,3x\,%2B\,2$ | | | | | |

3) Résoudre l’inéquation $x^2\,-\,3x\,%2B\,2\,>\,0$ est positif pour $x\,%3C\,1$ et $x\,>\,2$

Donc, les solutions de l’inéquation $x^2\,-\,3x\,%2B\,2\,>\,0$ .

Exercice 7 : solution d’une équation
1) $a\,=\,1$

$2x\,-\,1\,=\,0$

En remplaçant par :

$2(1)\,-\,1\,=\,0$

$2\,-\,1\,=\,1$

Non, $a\,=\,1$ n’est pas une solution.

2) $a\,=\,2$

$2x^2\,%2B\,2x\,-\,6\,=\,0$

En remplaçant par :

$2(2)^2\,%2B\,2(2)\,-\,6\,=\,0$

$2\,\cdot\,4\,%2B\,4\,-\,6\,=\,0$

$8\,%2B\,4\,-\,6\,=\,6$

Non, $a\,=\,2$ n’est pas une solution.

3) $a\,=\,0$

$x^2\,-\,2x\,=\,0$

En remplaçant par :

$(0)^2\,-\,2(0)\,=\,0$

$0\,-\,0\,=\,0$

Oui, $a\,=\,0$ est une solution.

4) $a\,=\,-1$

$2x^2\,%2B\,x\,-\,1\,=\,0$

En remplaçant par :

$2(-1)^2\,%2B\,(-1)\,-\,1\,=\,0$

$2\,\cdot\,1\,-\,1\,-\,1\,=\,0$

$2\,-\,2\,=\,0$

Oui, $a\,=\,-1$ est une solution.

5) $a\,=\,3$

$(2x\,-\,6)(x\,-\,1)\,=\,0$

En remplaçant par :

$(2(3)\,-\,6)(3\,-\,1)\,=\,0$

$(6\,-\,6)(2)\,=\,0$

$0\,\cdot\,2\,=\,0$

Oui, $a\,=\,3$ est une solution.

6) $a\,=\,-2$

$-2x^2\,-\,1\,=\,0$

En remplaçant par :

$-2(-2)^2\,-\,1\,=\,0$

$-2\,\cdot\,4\,-\,1\,=\,0$

$-8\,-\,1\,=\,-9$

Non, $a\,=\,-2$ n’est pas une solution.

Exercice 8 : nombre de solutions d’une équation
1) $3x^2\,%2B\,x\,-\,2\,=\,0$

Pour déterminer le nombre de solutions de cette équation, nous pouvons calculer son discriminant $\Delta$ :

$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac$

Ici, $a\,=\,3$ , $b\,=\,1$ , et $c\,=\,-2$ . Donc,

$\Delta\,=\,1^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,(-2)\,=\,1\,%2B\,24\,=\,25$

Puisque $\Delta\,>\,0$

Nous réarrangeons l’équation afin de la résoudre :

$3x^2\,=\,-2$

$x^2\,=\,-\frac{2}{3}$

Puisque la valeur est négative, il n’y a pas de solution réelle pour cette équation.

3) $x^2\,-\,x\,=\,0$

Nous factorisons l’équation :

$x(x\,-\,1)\,=\,0$

Les solutions sont obtenues lorsque :

$x\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,1$

Donc, il y a deux solutions pour cette équation.

4) $2(x\,-\,1)^2\,=\,0$

Nous réarrangeons et résolvons l’équation :

$(x\,-\,1)^2\,=\,0$

$x\,-\,1\,=\,0$

$x\,=\,1$

Donc, il y a une solution pour cette équation.

Exercice 9 : fonctions du second degré
1) $f_1(x)\,=\,(x-3)(5-2x)$

Développons l’expression:

$f_1(x)\,=\,x\,\cdot\,5\,-\,x\,\cdot\,2x\,-\,3\,\cdot\,5\,%2B\,3\,\cdot\,2x$
$f_1(x)\,=\,5x\,-\,2x^2\,-\,15\,%2B\,6x$
$f_1(x)\,=\,-2x^2\,%2B\,11x\,-\,15$

Les coefficients sont:

$a\,=\,-2%2C\,\quad\,b\,=\,11%2C\,\quad\,c\,=\,-15$

2) $f_2(x)\,=\,2x^2\,%2B\,3\sqrt{x}\,-\,1$

Cette fonction n’est pas une fonction du second degré car elle contient le terme $3\sqrt{x}$ , qui n’est pas de la forme $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ .

3) $f_3(x)\,=\,\sqrt{7}x^2\,-\,3x\,%2B\,\frac{1}{2}$

Les coefficients sont:

$a\,=\,\sqrt{7}%2C\,\quad\,b\,=\,-3%2C\,\quad\,c\,=\,\frac{1}{2}$

4) $f_4(x)\,=\,3x\,-\,1\,-\,2x^2$

Réarrangeons les termes pour identifier les coefficients:

$f_4(x)\,=\,-2x^2\,%2B\,3x\,-\,1$

Les coefficients sont:

$a\,=\,-2%2C\,\quad\,b\,=\,3%2C\,\quad\,c\,=\,-1$

Exercice 10 : trinômes du second degré
1) $\frac{3}{4}\,(x\,%2B\,4)^2\,%2B\,1$

Développons l’expression :
$\frac{3}{4}\,(x%2B4)^2\,%2B\,1\,=\,\frac{3}{4}\,(x^2\,%2B\,8x\,%2B\,16)\,%2B\,1\,=\,\frac{3}{4}\,x^2\,%2B\,\frac{24}{4}\,x\,%2B\,\frac{48}{4}\,%2B\,1\,=\,\frac{3}{4}\,x^2\,%2B\,6x\,%2B\,12\,%2B\,1\,=\,\frac{3}{4}\,x^2\,%2B\,6x\,%2B\,13$

Cette expression est un trinôme du second degré avec :
$a\,=\,\frac{3}{4}%2C\,\quad\,b\,=\,6%2C\,\quad\,c\,=\,13$

2) $3x^3\,-\,2x^2\,%2B\,x\,%2B\,\frac{3}{2}$

Cette expression contient un terme en , donc ce n’est pas un trinôme du second degré.

3) $\frac{x^2\,%2B\,3x\,%2B\,1}{2}$

Simplifions :
$\frac{x^2\,%2B\,3x\,%2B\,1}{2}\,=\,\frac{1}{2}x^2\,%2B\,\frac{3}{2}x\,%2B\,\frac{1}{2}$

Cette expression est un trinôme du second degré avec :
$a\,=\,\frac{1}{2}%2C\,\quad\,b\,=\,\frac{3}{2}%2C\,\quad\,c\,=\,\frac{1}{2}$

4) $(2x\,-\,1)^2\,%2B\,(2\,-\,3x)^2$

Développons chaque terme :
$(2x\,-\,1)^2\,=\,4x^2\,-\,4x\,%2B\,1$
$(2\,-\,3x)^2\,=\,4\,-\,12x\,%2B\,9x^2$

Additionnons les deux expressions :
$4x^2\,-\,4x\,%2B\,1\,%2B\,4\,-\,12x\,%2B\,9x^2\,=\,13x^2\,-\,16x\,%2B\,5$

Cette expression est un trinôme du second degré avec :
$a\,=\,13%2C\,\quad\,b\,=\,-16%2C\,\quad\,c\,=\,5$

Exercice 11 : mettre sous forme canonique les fonctions polynômes

$f(x) = \frac{1}{2} ( (x-3)^2 + 4 )$

Développons l’expression :
\begin{align*}
f(x) = \frac{1}{2} ( (x-3)^2 + 4 ) \\
= \frac{1}{2} (x-3)^2 + \frac{1}{2} \cdot 4 \\
= \frac{1}{2} (x-3)^2 + 2
\end{align*}

L’expression canonique est donc :
$f(x)\,=\,\frac{1}{2}\,(x-3)^2\,%2B\,2$

$g(x) = (x-3)^2 + (1-2x)^2$

Développons l’expression :
\begin{align*}
g(x) = (x-3)^2 + (1-2x)^2 \\
= (x^2 – 6x + 9) + (4x^2 – 4x + 1) \\
= x^2 – 6x + 9 + 4x^2 – 4x + 1 \\
= 5x^2 – 10x + 10
\end{align*}

Mettons sous forme canonique :
\begin{align*}
g(x) = 5 ( x^2 – 2x + 2 ) \\
= 5 ( (x-1)^2 – 1 + 2 ) \\
= 5 ( (x-1)^2 + 1 ) \\
\end{align*}

L’expression canonique est donc :
$g(x)\,=\,5\,(x-1)^2\,%2B\,5$

$h(x) = 2(x-1)(x+3)$

Développons l’expression :
\begin{align*}
h(x) = 2(x-1)(x+3) \\
= 2(x^2 + 3x – x – 3) \\
= 2(x^2 + 2x – 3) \\
= 2x^2 + 4x – 6
\end{align*}

Mettons sous forme canonique :
\begin{align*}
h(x) = 2(x^2 + 2x – 3) \\
= 2 ( x^2 + 2x + 1 – 1 – 4 ) \\
= 2 ( (x+1)^2 – 4 ) \\
= 2(x+1)^2 – 8
\end{align*}

L’expression canonique est donc :
$h(x)\,=\,2(x%2B1)^2\,-\,8$

$k(t) = 2t^2 + 8t + 8$

Facteurons le coefficient du carré :
\begin{align*}
k(t) = 2(t^2 + 4t + 4) \\
= 2(t^2 + 4t + 4) \\
= 2((t+2)^2)
\end{align*}

L’expression canonique est donc :
$k(t)\,=\,2(t%2B2)^2$

Exercice 12 : minimum d’une fonction
Soit $f(x)\,=\,\frac{1}{2}x^2\,-\,5x\,%2B\,\frac{39}{2}$ .

1) Pour montrer que la forme canonique de est $f(x)\,=\,\frac{1}{2}(x-5)^2\,%2B\,7$ , nous allons compléter le carré.

$f(x)\,=\,\frac{1}{2}x^2\,-\,5x\,%2B\,\frac{39}{2}$

On commence par isoler le terme en x^2 et le terme en :

$f(x)\,=\,\frac{1}{2}\,(x^2\,-\,10x)\,%2B\,\frac{39}{2}$

Pour compléter le carré, on prend la moitié du coefficient de (qui est ), on trouve , puis on élève au carré ce résultat :

$(-5)^2\,=\,25$

On ajoute et soustrait ce terme à l’intérieur de la parenthèse :

$f(x)\,=\,\frac{1}{2}\,(x^2\,-\,10x\,%2B\,25\,-\,25)\,%2B\,\frac{39}{2}$

$f(x)\,=\,\frac{1}{2}\,((x\,-\,5)^2\,-\,25)\,%2B\,\frac{39}{2}$

On distribue $\frac{1}{2}$ :

$f(x)\,=\,\frac{1}{2}(x\,-\,5)^2\,-\,\frac{1}{2}\,\cdot\,25\,%2B\,\frac{39}{2}$

$f(x)\,=\,\frac{1}{2}(x\,-\,5)^2\,-\,\frac{25}{2}\,%2B\,\frac{39}{2}$

$f(x)\,=\,\frac{1}{2}(x\,-\,5)^2\,%2B\,\frac{14}{2}$

$f(x)\,=\,\frac{1}{2}(x\,-\,5)^2\,%2B\,7$

Ce qui montre que la forme canonique de est bien :

$f(x)\,=\,\frac{1}{2}(x\,-\,5)^2\,%2B\,7$

2) Pour en déduire le minimum de sur $\mathbb{R}$ , nous devons observer que la fonction sous la forme canonique $f(x)\,=\,\frac{1}{2}(x\,-\,5)^2\,%2B\,7$ est une parabole ayant un minimum pour $(x-5)^2\,=\,0$ , c’est-à-dire lorsque $x\,=\,5$ .

Ainsi, le minimum de est :

$f(5)\,=\,\frac{1}{2}(5\,-\,5)^2\,%2B\,7$
$f(5)\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,0\,%2B\,7$
$f(5)\,=\,7$

Le minimum de sur $\mathbb{R}$ est donc :

Exercice 13 : formes canoniques de fonctions
Pour corriger cet exercice, nous allons analyser les expressions proposées par les quatre élèves pour la fonction f(x) .

La forme canonique d’une fonction quadratique est :

$f(x)\,=\,a(x-h)^2\,%2B\,k$

où est le coefficient de x^2 , et $(h%2C\,k)$ est le sommet de la parabole.

La fonction donnée est :

$f(x)\,=\,\frac{2}{3}x^2\,%2B\,\frac{16}{3}x\,%2B\,\frac{17}{3}$

1. Coefficient de x^2 :

Le coefficient de x^2 dans la fonction initiale est $\frac{2}{3}$ . Ainsi, toute réécriture correcte de f(x) doit avoir ce coefficient.

– La réponse de Marina a le bon coefficient : $\frac{2}{3}(x-4)^2\,-\,5$ .
– La réponse de Hicham a le bon coefficient : $\frac{2}{3}(x%2B4)^2\,-\,5$ .
– La réponse de Sophie a le bon coefficient : $\frac{2}{3}(x-4)\,-\,5$ .
– La réponse de Joël a un mauvais coefficient : $2(x%2B4)^2\,-\,5$ .

On peut donc éliminer la réponse de Joël sans calcul, car le coefficient de x^2 n’est pas correct.

2. Interprétation des autres termes :

– La réponse de Sophie n’est pas une forme canonique correcte. Elle a (x-4) et non (x-4)^2 . Cela signifie qu’elle manque un terme au carré nécessaire pour une forme quadratique correcte.

Ainsi, la réponse de Sophie peut également être éliminée.

3. Analyse des réponses restantes :

– Marina propose : $\frac{2}{3}(x-4)^2\,-\,5$
– Hicham propose : $\frac{2}{3}(x%2B4)^2\,-\,5$

Le signe à l’intérieur du carré doit correspondre au coefficient du terme après développement. Pour $\frac{2}{3}x^2\,%2B\,\frac{16}{3}x\,%2B\,\frac{17}{3}$ , on peut voir que le terme linéaire est positif ( $\frac{16}{3}x$ ), donc :

$f(x)\,=\,\frac{2}{3}(x%2B4)^2\,-\,5$

n’est pas correct.

Il ne reste que la proposition de Marina qui est correcte, car elle respecte toutes les conditions d’une réécriture correcte de la forme canonique.

En conclusion, les réponses pouvant être éliminées sans calcul sont celles de Hicham, Sophie et Joël. La seule bonne réponse est celle de Marina.

Exercice 14 : associer les courbes des fonctions et leur forme canonique
Pour associer les courbes $C_1%2C\,C_2%2C\,C_3$ et C_4 aux fonctions données, nous devons analyser la forme canonique de chaque fonction et ses caractéristiques (parabole orientée vers le haut ou vers le bas, sommet, et facteur multiplicatif déterminant l’ouverture de la parabole).

1. $f_1(x)\,=\,(x-1)^2\,%2B\,2$
– Cette fonction est une parabole orientée vers le haut.
– Son sommet est au point $(1%2C\,2)$ .
– La courbe correspondante est C_1 (en orange).

2. $f_2(x)\,=\,-(x%2B1)^2\,%2B\,2$
– Cette fonction est une parabole orientée vers le bas.
– Son sommet est au point $(-1%2C\,2)$ .
– La courbe correspondante est C_4 (en bleu foncé).

3. $f_3(x)\,=\,(x%2B1)^2\,%2B\,2$
– Cette fonction est une parabole orientée vers le haut.
– Son sommet est au point $(-1%2C\,2)$ .
– La courbe correspondante est C_2 (en vert).

4. $f_4(x)\,=\,\frac{1}{2}(x-1)^2\,%2B\,2$
– Cette fonction est une parabole orientée vers le haut.
– Son sommet est au point $(1%2C\,2)$ .
– Comparée à f_1 , elle est plus large à cause du facteur $\frac{1}{2}$ .
– La courbe correspondante est C_3 (en bleu clair).

En résumé :

– C_1 correspond à $f_1(x)\,=\,(x-1)^2\,%2B\,2$
– C_2 correspond à $f_3(x)\,=\,(x%2B1)^2\,%2B\,2$
– C_3 correspond à $f_4(x)\,=\,\frac{1}{2}(x-1)^2\,%2B\,2$
– C_4 correspond à $f_2(x)\,=\,-(x%2B1)^2\,%2B\,2$

Exercice 15 : parabole et forme canonique
La parabole représentée est une fonction quadratique de forme générale $f(x)\,=\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ . Pour déterminer la forme canonique de , nous allons identifier les caractéristiques de la parabole.

La forme canonique d’une parabole est donnée par :

$f(x)\,=\,a(x\,-\,h)^2\,%2B\,k$

où $(h%2C\,k)$ sont les coordonnées du sommet de la parabole.

En observant le graphique, nous remarquons que le sommet de la parabole semble être au point (0%2C0) . Ainsi, $h\,=\,0$ et $k\,=\,0$ .

La forme canonique devient donc :

$f(x)\,=\,a(x\,-\,0)^2\,%2B\,0$
$f(x)\,=\,ax^2$

Pour trouver la valeur de , nous allons utiliser un autre point sur la parabole. Un point facilement identifiable est $(1%2C\,1)$ .

Puisque ce point appartient à la parabole, nous avons :
$f(1)\,=\,a(1)^2\,=\,1$

Donc,
$a\,=\,1$

La forme canonique de la fonction est :

$f(x)\,=\,(x\,-\,0)^2$
$f(x)\,=\,x^2$

Exercice 16 : tableau de valeurs et sommet d’une parabole

Quelles sont les coordonnées du sommet de sa parabole ?

Pour déterminer les coordonnées du sommet de la parabole, nous observons que les valeurs de sont les mêmes pour $X\,=\,0$ , $X\,=\,1$ et $X\,=\,5$ , soit $Y\,=\,-7.5$ . Ceci implique que le sommet de la parabole est à $x\,=\,3$ , car pour une fonction quadratique symétrique autour de son sommet, les valeurs égales de part et d’autre du sommet doivent correspondre. Évaluons en $x\,=\,3$ en utilisant le tableau :
$f(3)\,=\,-7.5$
Donc, les coordonnées du sommet sont $(3%2C\,-7.5)$ .

Déterminer la forme canonique de .

La forme canonique d’une fonction quadratique est donnée par :
$f(x)\,=\,a(x\,-\,h)^2\,%2B\,k$
où $(h%2C\,k)$ sont les coordonnées du sommet. Ici, $h\,=\,3$ et $k\,=\,-7.5$ .

Pour déterminer , nous pouvons utiliser une des valeurs supplémentaires du tableau. Par exemple, utilisons $x\,=\,0$ .
$f(0)\,=\,a(0\,-\,3)^2\,-\,7.5$
Nous savons que $f(0)\,=\,-17.5$ , donc :
$-17.5\,=\,9a\,-\,7.5$
Résolvons pour :
$-17.5\,%2B\,7.5\,=\,9a$
$-10\,=\,9a$
$a\,=\,-\frac{10}{9}$

Donc, la forme canonique de est :
$f(x)\,=\,-\frac{10}{9}(x\,-\,3)^2\,-\,7.5$

Exercice 17 : variations d’une fonction du second degré
1) Pour $f_1(x)\,=\,(x\,-\,1)^2\,%2B\,10$ :
– Cette fonction est une parabole de la forme $(x\,-\,h)^2\,%2B\,k$ avec $h\,=\,1$ et $k\,=\,10$ .
– Le sommet de la parabole est $(1%2C\,10)$ .
– La parabole est ouverte vers le haut.
– Les variations de f_1 sont décroissantes sur $(-\infty%2C\,1%5D$ et croissantes sur $%5B1%2C\,%2B\infty)$ .

2) Pour $f_2(x)\,=\,-2(x\,-\,5)^2\,%2B\,2$ :
– Cette fonction est une parabole de la forme $-a(x\,-\,h)^2\,%2B\,k$ avec $a\,=\,2$ , $h\,=\,5$ et $k\,=\,2$ .
– Le sommet de la parabole est $(5%2C\,2)$ .
– La parabole est ouverte vers le bas.
– Les variations de f_2 sont croissantes sur $(-\infty%2C\,5%5D$ et décroissantes sur $%5B5%2C\,%2B\infty)$ .

3) Pour $f_3(x)\,=\,3x^2\,%2B\,\frac{1}{3}$ :
– Cette fonction est une parabole de la forme $ax^2\,%2B\,c$ avec $a\,=\,3$ et $c\,=\,\frac{1}{3}$ .
– Le sommet de la parabole est $(0%2C\,\frac{1}{3})$ .
– La parabole est ouverte vers le haut.
– Les variations de f_3 sont décroissantes sur $(-\infty%2C\,0%5D$ et croissantes sur $%5B0%2C\,%2B\infty)$ .

4) Pour $f_4(x)\,=\,-2(x\,%2B\,3)^2\,-\,5$ :
– Cette fonction est une parabole de la forme $-a(x\,-\,h)^2\,%2B\,k$ avec $a\,=\,2$ , $h\,=\,-3$ et $k\,=\,-5$ .
– Le sommet de la parabole est $(-3%2C\,-5)$ .
– La parabole est ouverte vers le bas.
– Les variations de f_4 sont croissantes sur $(-\infty%2C\,-3%5D$ et décroissantes sur $%5B-3%2C\,%2B\infty)$ .

Exercice 18 : variations et fonctions du second degré
Correction de l’exercice :

1) Pour $f_1(x)\,=\,x^2\,-\,x\,%2B\,1$ :

La dérivée de f_1 est :
$f_1'(x)\,=\,2x\,-\,1$

On trouve les points critiques en résolvant $f_1'(x)\,=\,0$ :
$2x\,-\,1\,=\,0\,\implies\,x\,=\,\frac{1}{2}$

Ensuite, on calcule la valeur de la fonction en ce point :
$f_1(\,\frac{1}{2}\,)\,=\,(\,\frac{1}{2}\,)^2\,-\,\frac{1}{2}\,%2B\,1\,=\,\frac{1}{4}\,-\,\frac{1}{2}\,%2B\,1\,=\,\frac{3}{4}$

Le signe de la dérivée nous indique les variations :
Pour $x\,%3C\,\frac{1}{2}$ , $f_1'(x)\,%3C\,0$ , donc f_1 est décroissante.
Pour $x\,>\,\frac{1}{2}$ est croissante.

$\begin{array}{c%7Cccccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,\frac{1}{2}\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af_1(x)\,%26\,\nearrow\,%26\,%26\,(\,\frac{1}{2}%2C\,\frac{3}{4}\,)\,%26\,%26\,\searrow\,\\%0D%0A\end{array}$

2) Pour $f_2(x)\,=\,-\frac{1}{2}(x-5)(x%2B\beta)$ :

La forme factorisée permet de voir directement les racines, $x\,=\,5$ et $x\,=\,-\beta$ .

Utilisons la forme développée :
$f_2(x)\,=\,-\frac{1}{2}(x^2\,%2B\,(\beta\,-\,5)x\,-\,5\beta)$
La dérivée de f_2 est :
$f_2'(x)\,=\,-\frac{1}{2}(2x\,%2B\,\beta\,-\,5)\,=\,-(x\,%2B\,\frac{\beta\,-\,5}{2})$

On trouve les points critiques en résolvant $f_2'(x)\,=\,0$ :
$x\,=\,-\frac{\beta\,-\,5}{2}$

Par substitution, on trouve $f_2\,(\,-\frac{\beta\,-\,5}{2}\,)$ .

Le signe de la dérivée nous indique les variations :
Pour $x\,%3C\,-\frac{\beta\,-\,5}{2}$ , $f_2'(x)\,>\,0$ est croissante.
Pour $x\,>\,-\frac{\beta\,-\,5}{2}$ , donc f_2 est décroissante.

$\begin{array}{c%7Cccccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,-\frac{\beta\,-\,5}{2}\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af_2(x)\,%26\,\searrow\,%26\,%26\,(\,-\frac{\beta\,-\,5}{2}%2C\,f(-\frac{\beta\,-\,5}{2})\,)\,%26\,%26\,\nearrow\,\\%0D%0A\end{array}$

3) Pour $f_3(x)\,=\,\frac{3}{2}x^2\,-\,\frac{4}{3}$ :

La dérivée de f_3 est :
$f_3'(x)\,=\,3x$

On trouve les points critiques en résolvant $f_3'(x)\,=\,0$ :
$3x\,=\,0\,\implies\,x\,=\,0$

Ensuite, on calcule la valeur de la fonction en ce point :
$f_3(0)\,=\,-\frac{4}{3}$

Le signe de la dérivée nous indique les variations :
Pour $x\,%3C\,0$ , $f_3'(x)\,%3C\,0$ , donc f_3 est décroissante.
Pour $x\,>\,0$ est croissante.

$\begin{array}{c%7Cccccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,0\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af_3(x)\,%26\,\nearrow\,%26\,%26\,(0%2C\,-\frac{4}{3})\,%26\,%26\,\searrow\,\\%0D%0A\end{array}$

4) Pour $f_4(x)\,=\,3x^2\,-\,6x\,%2B\,3$ :

La dérivée de f_4 est :
$f_4'(x)\,=\,6x\,-\,6$

On trouve les points critiques en résolvant $f_4'(x)\,=\,0$ :
$6x\,-\,6\,=\,0\,\implies\,x\,=\,1$

Ensuite, on calcule la valeur de la fonction en ce point :
$f_4(1)\,=\,3(1)^2\,-\,6(1)\,%2B\,3\,=\,0$

Le signe de la dérivée nous indique les variations :
Pour $x\,%3C\,1$ , $f_4'(x)\,%3C\,0$ , donc f_4 est décroissante.
Pour $x\,>\,1$ est croissante.

$\begin{array}{c%7Cccccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,1\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af_4(x)\,%26\,\nearrow\,%26\,%26\,(1%2C\,0)\,%26\,%26\,\searrow\,\\%0D%0A\end{array}$

Exercice 19 : tableau de variation de fonctions
1) Nous devons trouver la fonction du second degré $f(x)\,=\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ telle que $f(0)\,=\,1$ et qui admet un maximum en $x\,=\,-1$ avec $f(-1)\,=\,2$ .

Puisque $x\,=\,-1$ est le sommet de la parabole et que la fonction atteint un maximum, le coefficient est négatif. Nous avons :

$f(-1)\,=\,a(-1)^2\,%2B\,b(-1)\,%2B\,c\,=\,2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,a\,-\,b\,%2B\,c\,=\,2$

De plus, $f(0)\,=\,1$ :

$f(0)\,=\,a(0)^2\,%2B\,b(0)\,%2B\,c\,=\,1\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,c\,=\,1$

Nous utilisons aussi le fait que la fonction est symétrique par rapport à son maximum. La dérivée première de s’annule en $x\,=\,-1$ :

$f'(x)\,=\,2ax\,%2B\,b\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,f'(-1)\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,-2a\,%2B\,b\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,b\,=\,2a$

En substituant $c\,=\,1$ et $b\,=\,2a$ dans $a\,-\,b\,%2B\,c\,=\,2$ :

$a\,-\,2a\,%2B\,1\,=\,2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,-a\,%2B\,1\,=\,2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,-a\,=\,1\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,a\,=\,-1$

Ainsi,

$b\,=\,2(-1)\,=\,-2$

La fonction est donc :

$f(x)\,=\,-x^2\,-\,2x\,%2B\,1$

3) Nous devons trouver la fonction du second degré $g(x)\,=\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ telle que $g(1)\,=\,0$ et qui admet un minimum en $x\,=\,3$ avec $g(3)\,=\,-2$ .

Puisque $x\,=\,3$ est le sommet de la parabole et que la fonction atteint un minimum, le coefficient est positif. Nous avons :

$g(3)\,=\,a(3)^2\,%2B\,b(3)\,%2B\,c\,=\,-2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,9a\,%2B\,3b\,%2B\,c\,=\,-2$

De plus, $g(1)\,=\,0$ :

$g(1)\,=\,a(1)^2\,%2B\,b(1)\,%2B\,c\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,a\,%2B\,b\,%2B\,c\,=\,0$

Nous utilisons aussi le fait que la fonction est symétrique par rapport à son minimum. La dérivée première de s’annule en $x\,=\,3$ :

$g'(x)\,=\,2ax\,%2B\,b\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,g'(3)\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,6a\,%2B\,b\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,b\,=\,-6a$

En substituant $b\,=\,-6a$ dans les équations $a\,%2B\,b\,%2B\,c\,=\,0$ et $9a\,%2B\,3b\,%2B\,c\,=\,-2$ :

$a\,-\,6a\,%2B\,c\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,-5a\,%2B\,c\,=\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,c\,=\,5a$

$9a\,%2B\,3(-6a)\,%2B\,5a\,=\,-2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,9a\,-\,18a\,%2B\,5a\,=\,-2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,-4a\,=\,-2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,a\,=\,\frac{1}{2}$

Ainsi,

$b\,=\,-6\,(\,\frac{1}{2}\,)\,=\,-3\,\quad\,et\,\quad\,c\,=\,5\,(\,\frac{1}{2}\,)\,=\,\frac{5}{2}$

La fonction est donc :

$g(x)\,=\,\frac{1}{2}x^2\,-\,3x\,%2B\,\frac{5}{2}$

Exercice 20 : nombre de solutions d’équations
Pour déterminer le nombre de solutions des équations quadratiques, on utilise le discriminant $\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac$ où , et sont les coefficients de l’équation quadratique $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c\,=\,0$ .

1) $x^2\,%2B\,x\,%2B\,1\,=\,0$

Les coefficients sont : $a\,=\,1$ , $b\,=\,1$ , $c\,=\,1$ .

Calcul du discriminant :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,1^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,1\,=\,1\,-\,4\,=\,-3$

Puisque $\Delta\,%3C\,0$ , l’équation n’a pas de solution réelle.

2) $-2x^2\,%2B\,x\,%2B\,1\,=\,0$

Les coefficients sont : $a\,=\,-2$ , $b\,=\,1$ , $c\,=\,1$ .

Calcul du discriminant :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,1^2\,-\,4\,\cdot\,(-2)\,\cdot\,1\,=\,1\,%2B\,8\,=\,9$

Puisque $\Delta\,>\,0$

Les coefficients sont : $a\,=\,\frac{1}{2}$ , $b\,=\,-4$ , $c\,=\,-\frac{3}{2}$ .

Calcul du discriminant :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-4)^2\,-\,4\,\cdot\,\frac{1}{2}\,\cdot\,(-\frac{3}{2})\,=\,16\,%2B\,3\,=\,19$

Puisque $\Delta\,>\,0$

Les coefficients sont : $a\,=\,\sqrt{2}$ , $b\,=\,-1$ , $c\,=\,\frac{1}{2}$ .

Calcul du discriminant :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-1)^2\,-\,4\,\cdot\,\sqrt{2}\,\cdot\,\frac{1}{2}\,=\,1\,-\,2\sqrt{2}$

Puisque $\Delta\,=\,1\,-\,2\sqrt{2}\,%3C\,0$ , l’équation n’a pas de solution réelle.

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : donner le nombre de solutions des équations suivantes
$Donner\,le\,nombre\,de\,solutions\,des\,equations\,suivantes\,suivant\,la\,valeur\,du\,parametre\,reel\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fm%22\,alt=%22m$ . » align= »absmiddle » />

1) $x^2\,%2B\,mx\,%2B\,1\,=\,0$

Le discriminant $\Delta\,=\,m^2\,-\,4$ . Ainsi :
– Si $\Delta\,>\,0%2C\,m^2\,>\,4$ , alors l’équation a une solution double, donc $m\,=\,2$ ou $m\,=\,-2$ .
– Si $\Delta\,%3C\,0%2C\,m^2\,%3C\,4$ , alors l’équation n’a pas de solution réelle.

2) $x^2\,-\,2x\,%2B\,3m\,=\,0$

Le discriminant $\Delta\,=\,4\,-\,12m$ . Ainsi :
– Si $\Delta\,>\,0%2C\,4\,>\,12m$ .
– Si $\Delta\,=\,0%2C\,4\,=\,12m$ , alors l’équation a une solution double, donc $m\,=\,\frac{1}{3}$ .
– Si $\Delta\,%3C\,0%2C\,4\,%3C\,12m$ , alors l’équation n’a pas de solution réelle, donc $m\,>\,\frac{1}{3}$

1) $x^2\,%2B\,x\,-\,2\,=\,0$

$\Delta\,=\,1^2\,-\,4\,\times \,1\,\times \,(-2)\,=\,1\,%2B\,8\,=\,9$
$x\,=\,\frac{-1\,\pm\,\sqrt{9}}{2\,\times \,1}\,=\,\frac{-1\,\pm\,3}{2}$
$x_1\,=\,1%2C\,\quad\,x_2\,=\,-2$

2) $-3x^2\,%2B\,2x\,-\,1\,=\,0$

$\Delta\,=\,2^2\,-\,4\,\times \,(-3)\,\times \,(-1)\,=\,4\,-\,12\,=\,-8$
Il n’y a pas de solution réelle.

3) $\frac{3}{4}\,x^2\,%2B\,\frac{1}{2}\,x\,%2B\,\frac{3}{8}\,=\,0$

$\Delta\,=\,(\,\frac{1}{2}\,)^2\,-\,4\,\times \,\frac{3}{4}\,\times \,\frac{3}{8}\,=\,\frac{1}{4}\,-\,\frac{9}{8}\,=\,\frac{1}{4}\,-\,\frac{9}{8}\,=\,-\frac{7}{8}$

Il n’y a pas de solution réelle.

4) $-3x^2\,-\,1\,=\,0$

$x^2\,=\,-\frac{1}{3}$

Il n’y a pas de solution réelle.

$Resoudre\,les\,equations\,suivantes.$

1) $-x^2\,%2B\,3\,-\,4x\,=\,0$

$x^2\,%2B\,4x\,-\,3\,=\,0\,\quad\,(en\,multipliant\,par\,-1)$
$\Delta\,=\,4^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-3)\,=\,16\,%2B\,12\,=\,28$
$x\,=\,\frac{-4\,\pm\,\sqrt{28}}{2\,\cdot\,1}\,=\,\frac{-4\,\pm\,2\sqrt{7}}{2}\,=\,-2\,\pm\,\sqrt{7}$

2) $x^2\,%2B\,\frac{1}{2}\,=\,0$

$x^2\,=\,-\frac{1}{2}$

Il n’y a pas de solution réelle.

3) $4x^2\,%2B\,2x\,-\,\frac{1}{2}\,=\,0$

$\Delta\,=\,2^2\,-\,4\,\cdot\,4\,\cdot\,(\,-\frac{1}{2}\,)\,=\,4\,%2B\,8\,=\,12$
$x\,=\,\frac{-2\,\pm\,\sqrt{12}}{2\,\cdot\,4}\,=\,-\frac{1}{4}\,\pm\,\frac{\sqrt{3}}{4}$

4) $x(4x^2\,%2B\,x\,%2B\,1)\,=\,0$

Les solutions sont $x\,=\,0$ et il reste à résoudre $4x^2\,%2B\,x\,%2B\,1\,=\,0$ .

$\Delta\,=\,1^2\,-\,4\,\cdot\,4\,\cdot\,1\,=\,1\,-\,16\,=\,-15$

Il n’y a pas de solution réelle pour $4x^2\,%2B\,x\,%2B\,1\,=\,0$ .

$Factoriser%2C\,si\,possible%2C\,les\,trinomres\,du\,second\,degre\,suivants\,en\,un\,produit\,de\,polynomes\,de\,degre\,1.$

1) $x^2\,%2B\,3x\,-\,4$

$x^2\,%2B\,3x\,-\,4\,=\,(x\,%2B\,4)(x\,-\,1)$

2) $x^2\,%2B\,4$

$x^2\,%2B\,4\,\,n'est\,pas\,factorisable\,sur\,les\,reels.$

3) $3x^2\,-\,3x\,%2B\,1$

Le discriminant $\Delta\,=\,(-3)^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,1\,=\,9\,-\,12\,=\,-3$ .

$3x^2\,-\,3x\,%2B\,1\,\,n'est\,pas\,factorisable\,sur\,les\,reels.$

4) $-x^2\,%2B\,4x$

$-x^2\,%2B\,4x\,=\,-x(x\,-\,4)$

Exercice 22 : racine d’un polynôme
1) $a\,=\,1$
$P(x)\,=\,8x^2\,-\,7x\,-\,1$
$P(1)\,=\,8(1)^2\,-\,7(1)\,-\,1\,=\,8\,-\,7\,-\,1\,=\,0$
Oui, est une racine de P(x) .

2) $a\,=\,0$
$P(x)\,=\,-x^2\,%2B\,2x\,-\,1$
$P(0)\,=\,-(0)^2\,%2B\,2(0)\,-\,1\,=\,-1$
Non, n’est pas une racine de P(x) .

3) $a\,=\,-2$
$P(x)\,=\,x^2\,-\,2x\,-\,4$
$P(-2)\,=\,(-2)^2\,-\,2(-2)\,-\,4\,=\,4\,%2B\,4\,-\,4\,=\,4$
Non, n’est pas une racine de P(x) .

4) $a\,=\,2$
$P(x)\,=\,x^2\,%2B\,x\,%2B\,2$
$P(2)\,=\,(2)^2\,%2B\,2\,%2B\,2\,=\,4\,%2B\,2\,%2B\,2\,=\,8$
Non, n’est pas une racine de P(x) .

Exercice 23 : jardin et aire d’une allée
Soit la largeur de l’allée .

La longueur du côté du carré intérieur est $10\,-\,2x$ .

L’aire du carré intérieur est $(10\,-\,2x)^2$ .

L’aire totale du jardin est $10^2\,=\,100$ m².

L’aire de l’allée en gravier est donc:
$Aire\,de\,l'allee\,=\,100\,-\,(10\,-\,2x)^2$ .

Nous voulons que l’aire de l’allée soit égale à celle du carré intérieur, donc:
$Aire\,de\,l'allee\,=\,(10\,-\,2x)^2$ .

Ainsi,
$100\,-\,(10\,-\,2x)^2\,=\,(10\,-\,2x)^2$ .

En résolvant cette équation, nous obtenons:
$100\,=\,2(10\,-\,2x)^2$ ,
$100\,=\,2(100\,-\,40x\,%2B\,4x^2)$ ,
$100\,=\,200\,-\,80x\,%2B\,8x^2$ ,
$8x^2\,-\,80x\,%2B\,100\,=\,0$ ,
$x^2\,-\,10x\,%2B\,12.5\,=\,0$ .

La solution de cette équation quadratique est donnée par:
$x\,=\,\frac{10\,\pm\,\sqrt{100\,-\,4\,\times \,1\,\times \,12.5}}{2\,\times \,1}$ ,
$x\,=\,\frac{10\,\pm\,\sqrt{100\,-\,50}}{2}$ ,
$x\,=\,\frac{10\,\pm\,\sqrt{50}}{2}$ ,
$x\,=\,\frac{10\,\pm\,5\sqrt{2}}{2}$ ,
$x\,=\,5\,\pm\,\frac{5\sqrt{2}}{2}$ ,
$x\,=\,5\,\pm\,\frac{5\sqrt{2}}{2}$ .

Cependant, doit être une largeur positive et telle que $10\,-\,2x\,>\,0$ .
Par conséquent, la seule solution valide est:
$x\,=\,5\,-\,\frac{5\sqrt{2}}{2}$ .

Exercice 24 : balle et longueur d’un terrain de tennis
Pour déterminer si la balle sortira du cours, nous devons modéliser la trajectoire de la balle à l’aide de la parabole définie par les points , et .

Les données sont :
– En (position initiale à x=0 ): la hauteur est $y_A=0%2C9\,\%3Bm$
– En : à $x=1\,\%3Bm$ , la hauteur est $y_B=1%2C1\,\%3Bm$
– En : la hauteur maximale est $y_C=1%2C3\,\%3Bm$

La forme générale de l’équation d’une parabole est :
$y\,=\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$

Nous allons utiliser les trois points , et pour trouver les coefficients , et .

Pour le point $A\,(0%2C\,0.9)$ :
$0.9\,=\,a\,\cdot\,0^2\,%2B\,b\,\cdot\,0\,%2B\,c$
$\Rightarrow\,c\,=\,0.9$

Pour le point $B\,(1%2C\,1.1)$ :
$1.1\,=\,a\,\cdot\,1^2\,%2B\,b\,\cdot\,1\,%2B\,0.9$
$1.1\,=\,a\,%2B\,b\,%2B\,0.9$
$\Rightarrow\,a\,%2B\,b\,=\,0.2\,\qquad\,(1)$

Pour le point $x_c=x_{max}$ avec une hauteur maximale $y_c\,=\,1.3$ :
La hauteur maximale d’une parabole est obtenue en $x\,=\,-\frac{b}{2a}$ , mais ici $b\,=\,-2a$ .

Pour le point $C\,(x_{\max}%2C\,1.3)$ :
On sait que pour toute parabole $y_{max}\,=\,c\,-\,\frac{b^2}{4a}$ :
$1.3\,=\,0.9\,\\,%2B\,\frac{0.2-2a}{4a}$
$\\,%5D%0D%0A%0D%0ARegardons\,a\,la\,longueur\,du\,terrain\,de\,tennis\,$\,x_d\,=\,23.77\,$\,avec\,$\,y\,=\,a\,(23.77)^2\,%2B\,b\,(23.77)\,%2B\,0.9\,$.%0D%0A%0D%0AA\,travers\,%241%24\,ou\,deux\,equations%0D%0AEn\,$x=23.77\,\%3B\,m$%2C\,a\,quelle\,hauteur\,sera\,la\,balle\,selon\,l'equation\,$y$.%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,=\,a(23.77)^2\,%2B\,b(23.77)\,%2B\,0.9$ avec $y\,=\,a\,(23.77)^2\,%2B\,b\,(23.77)\,%2B\,0.9$ .

A travers $1$ ou deux equations
En $x=23.77\,\%3B\,m$ , a quelle hauteur sera la balle selon l’equation .

\[
y = a(23.77)^2 + b(23.77) + 0.9″ align= »absmiddle » />

a= \frac{y-A}{ b/(B-A)}}
OU
\sqrt{\frac{230}}{3}}= \sqrt{\frac{b^2}{4a}}

testons:
a= -1 , so, \frac{-3}recent questions ]

y=
= -3X20^2 + 72 ,

.gov\=-1 $Pour\,%2B=%0D%0ASign\,sign%0D%0A%0D%0Aserialize\,your\,work.%0D%0A\agraphomap.%0D%0A%0D%0AHTML\,large\,syntax\,for\,web\,latex\,estamos.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-25%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,25\,%3A\,realisation\,d'un\,logo%3C%2Fspan>%0D%0APour\,que\,l'aire\,de\,la\,partie\,blanche\,soit\,egale\,a\,la\,moitie\,de\,l'aire\,du\,demi-disque\,de\,diametre\,$%5BBC%5D$%2C\,nous\,allons\,devoir\,exprimer\,les\,aires\,des\,demi-disques\,en\,fonction\,de\,$\,x\,$\,et\,resoudre\,l'equation\,correspondante.%0D%0A%0D%0A1.\,Diametre\,$%5BBC%5D$\,est\,de\,$\,10\,$\,cm.%0D%0A\%5B%0D%0ARayon\,de\,\,BC\,=\,\frac{10}{2}\,=\,5\,\,cm%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0AAire\,du\,demi-disque\,de\,\,BC\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,\times \,5^2\,=\,\frac{25\pi}{2}\,\,cm^2%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A2.\,Aire\,de\,la\,partie\,demandee\,(blanche)\,doit\,etre\,egale\,a\,la\,moitie\,de\,l'aire\,du\,demi-disque%3A%0D%0A\%5B%0D%0AAire\,blanche\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\frac{25\pi}{2}\,=\,\frac{25\pi}{4}\,\,cm^2%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A3.\,Si\,on\,pose\,$\,x\,=\,CM\,$%2C\,alors\,$MB\,=\,10\,-\,x$.%0D%0A%0D%0A4.\,Aire\,du\,demi-disque\,de\,diametre\,$%5BCM%5D$%3A%0D%0A\%5B%0D%0ARayon\,de\,\,CM\,=\,\frac{x}{2}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0AAire\,du\,demi-disque\,\,CM\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,(\frac{x}{2})^2\,=\,\frac{\pi\,x^2}{8}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A5.\,Aire\,du\,demi-disque\,de\,diametre\,$%5BMB%5D$%3A%0D%0A\%5B%0D%0ARayon\,de\,\,MB\,=\,\frac{10-x}{2}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0AAire\,du\,demi-disque\,\,MB\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,(\frac{10-x}{2})^2\,=\,\frac{\pi\,(10-x)^2}{8}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A6.\,La\,partie\,blanche\,est\,egale\,a\,la\,difference\,entre\,l'aire\,du\,demi-disque\,de\,diametre\,$%5BBC%5D$\,et\,la\,somme\,des\,aires\,des\,demi-disques\,de\,diametre\,$%5BCM%5D$\,et\,$%5BMB%5D$%3A%0D%0A\%5B%0D%0AAire\,blanche\,=\,\frac{25\pi}{2}\,-\,(\,\frac{\pi\,x^2}{8}\,%2B\,\frac{\pi\,(10-x)^2}{8}\,)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A7.\,Etablissons\,l'equation\,pour\,que\,cette\,aire\,soit\,egale\,a\,$\frac{25\pi}{4}$%3A%0D%0A\%5B%0D%0A\frac{25\pi}{2}\,-\,(\,\frac{\pi\,x^2}{8}\,%2B\,\frac{\pi\,(10-x)^2}{8}\,)\,=\,\frac{25\pi}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A8.\,Simplifions\,l'equation%3A%0D%0A\%5B%0D%0A\frac{25\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{8}\,(\,x^2\,%2B\,(10-x)^2\,)\,=\,\frac{25\pi}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\frac{25\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{8}\,(\,x^2\,%2B\,100\,-\,20x\,%2B\,x^2\,)\,=\,\frac{25\pi}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\frac{25\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{8}\,(\,2x^2\,-\,20x\,%2B\,100\,)\,=\,\frac{25\pi}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\frac{25\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{8}\,(\,2(x^2\,-\,10x\,%2B\,50)\,)\,=\,\frac{25\pi}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\frac{25\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{4}\,(x^2\,-\,10x\,%2B\,50)\,=\,\frac{25\pi}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\frac{25\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{4}\,x^2\,%2B\,\frac{10\pi}{4}\,x\,-\,\frac{50\pi}{4}\,=\,\frac{25\pi}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\frac{25\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{4}\,x^2\,%2B\,\frac{5\pi}{2}\,x\,-\,\frac{25\pi}{2}\,=\,\frac{25\pi}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A-\,\frac{\pi}{4}\,x^2\,%2B\,\frac{5\pi}{2}\,x\,=\,\frac{25\pi}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A-\,x^2\,%2B\,10x\,=\,25%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax^2\,-\,10x\,%2B\,25\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A(x\,-\,5)^2\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A9.\,Ainsi%2C\,$\,x\,=\,5\,$.%0D%0A%0D%0ALe\,point\,$\,M\,$\,doit\,donc\,etre\,positionne\,au\,milieu\,de\,$%5BBC%5D$%2C\,c'est-a-dire\,a\,$\,5\,$\,cm\,de\,$\,B\,$\,et\,a\,$\,5\,$\,cm\,de\,$\,C\,$.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-26%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,26\,%3A\,resoudre\,graphiquement\,une\,inequation\,du\,second\,degre%3C%2Fspan>%0D%0A1)\,Pour\,resoudre\,l'inequation\,$\,f(x)\,>\,0\,$\,%3A%0D%0A%0D%0AOn\,observe\,que\,la\,courbe\,$\,C_f\,$\,represente\,une\,parabole\,qui\,coupe\,l'axe\,des\,abscisses\,(l'axe\,$\,x\,$)\,en\,deux\,points.\,Ces\,points\,d'intersection\,de\,la\,courbe\,avec\,l'axe\,des\,abscisses\,sont\,les\,racines\,de\,l'equation\,$\,f(x)\,=\,0\,$.\,Sur\,le\,graphique%2C\,ces\,points\,sont\,$\,x\,=\,0\,$\,et\,$\,x\,=\,2\,$.%0D%0A%0D%0ALa\,parabole\,est\,au-dessus\,de\,l'axe\,$\,x\,$\,pour\,$\,x\,%3C\,0\,$\,et\,$\,x\,>\,2\,$.\,Donc%2C\,l'ensemble\,des\,solutions\,de\,l'inequation\,$\,f(x)\,>\,0\,$\,est\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,\in\,(-\infty%2C\,0)\,\cup\,(2%2C\,%2B\infty)\,\%5D%0D%0A%0D%0A2)\,Pour\,resoudre\,l'inequation\,$\,f(x)\,\leq\,\,2\,$\,%3A%0D%0A%0D%0AOn\,observe\,que\,la\,courbe\,coupe\,la\,ligne\,horizontale\,$\,y\,=\,2\,$\,en\,deux\,points.\,En\,lisant\,ces\,points\,sur\,le\,graphique%2C\,on\,trouve\,que\,ces\,points\,sont\,approximativement\,$\,x\,=\,-1\,$\,et\,$\,x\,=\,3\,$.\,Entre\,ces\,deux\,points%2C\,la\,courbe\,$\,C_f\,$\,est\,en\,dessous\,ou\,sur\,la\,ligne\,$\,y\,=\,2\,$.%0D%0A%0D%0ADonc%2C\,l'ensemble\,des\,solutions\,de\,l'inequation\,$\,f(x)\,\leq\,\,2\,$\,est\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,x\,\in\,%5B-1%2C\,3%5D\,\%5D%0D%0A%0D%0AEn\,resume\,%3A%0D%0A1)\,$\,f(x)\,>\,0\,$\,%3A\,$\,x\,\in\,(-\infty%2C\,0)\,\cup\,(2%2C\,%2B\infty)\,$%0D%0A2)\,$\,f(x)\,\leq\,\,2\,$\,%3A\,$\,x\,\in\,%5B-1%2C\,3%5D\,$%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-27%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,27\,%3A\,resoudre\,les\,inequations\,du\,second\,degre%3C%2Fspan>%0D%0A1.$ Exercice 25 : realisation d’un logo
Pour que l’aire de la partie blanche soit egale a la moitie de l’aire du demi-disque de diametre , nous allons devoir exprimer les aires des demi-disques en fonction de et resoudre l’equation correspondante.

1. Diametre est de cm.
$Rayon\,de\,\,BC\,=\,\frac{10}{2}\,=\,5\,\,cm$
$Aire\,du\,demi-disque\,de\,\,BC\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,\times \,5^2\,=\,\frac{25\pi}{2}\,\,cm^2$

2. Aire de la partie demandee (blanche) doit etre egale a la moitie de l’aire du demi-disque:
$Aire\,blanche\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\frac{25\pi}{2}\,=\,\frac{25\pi}{4}\,\,cm^2$

3. Si on pose $x\,=\,CM$ , alors $MB\,=\,10\,-\,x$ .

4. Aire du demi-disque de diametre :
$Rayon\,de\,\,CM\,=\,\frac{x}{2}$
$Aire\,du\,demi-disque\,\,CM\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,(\frac{x}{2})^2\,=\,\frac{\pi\,x^2}{8}$

5. Aire du demi-disque de diametre :
$Rayon\,de\,\,MB\,=\,\frac{10-x}{2}$
$Aire\,du\,demi-disque\,\,MB\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,(\frac{10-x}{2})^2\,=\,\frac{\pi\,(10-x)^2}{8}$

6. La partie blanche est egale a la difference entre l’aire du demi-disque de diametre et la somme des aires des demi-disques de diametre et :
$Aire\,blanche\,=\,\frac{25\pi}{2}\,-\,(\,\frac{\pi\,x^2}{8}\,%2B\,\frac{\pi\,(10-x)^2}{8}\,)$

7. Etablissons l’equation pour que cette aire soit egale a $\frac{25\pi}{4}$ :
$\frac{25\pi}{2}\,-\,(\,\frac{\pi\,x^2}{8}\,%2B\,\frac{\pi\,(10-x)^2}{8}\,)\,=\,\frac{25\pi}{4}$

8. Simplifions l’equation:
$\frac{25\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{8}\,(\,x^2\,%2B\,(10-x)^2\,)\,=\,\frac{25\pi}{4}$
$\frac{25\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{8}\,(\,x^2\,%2B\,100\,-\,20x\,%2B\,x^2\,)\,=\,\frac{25\pi}{4}$
$\frac{25\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{8}\,(\,2x^2\,-\,20x\,%2B\,100\,)\,=\,\frac{25\pi}{4}$
$\frac{25\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{8}\,(\,2(x^2\,-\,10x\,%2B\,50)\,)\,=\,\frac{25\pi}{4}$
$\frac{25\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{4}\,(x^2\,-\,10x\,%2B\,50)\,=\,\frac{25\pi}{4}$
$\frac{25\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{4}\,x^2\,%2B\,\frac{10\pi}{4}\,x\,-\,\frac{50\pi}{4}\,=\,\frac{25\pi}{4}$
$\frac{25\pi}{2}\,-\,\frac{\pi}{4}\,x^2\,%2B\,\frac{5\pi}{2}\,x\,-\,\frac{25\pi}{2}\,=\,\frac{25\pi}{4}$
$-\,\frac{\pi}{4}\,x^2\,%2B\,\frac{5\pi}{2}\,x\,=\,\frac{25\pi}{4}$
$-\,x^2\,%2B\,10x\,=\,25$
$x^2\,-\,10x\,%2B\,25\,=\,0$
$(x\,-\,5)^2\,=\,0$

9. Ainsi, $x\,=\,5$ .

Le point doit donc etre positionne au milieu de , c’est-a-dire a cm de et a cm de .

Exercice 26 : resoudre graphiquement une inequation du second degre
1) Pour resoudre l’inequation $f(x)\,>\,0$ represente une parabole qui coupe l’axe des abscisses (l’axe ) en deux points. Ces points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses sont les racines de l’equation $f(x)\,=\,0$ . Sur le graphique, ces points sont $x\,=\,0$ et $x\,=\,2$ .

La parabole est au-dessus de l’axe pour $x\,%3C\,0$ et $x\,>\,2$

2) Pour resoudre l’inequation $f(x)\,\leq\,\,2$ :

On observe que la courbe coupe la ligne horizontale $y\,=\,2$ en deux points. En lisant ces points sur le graphique, on trouve que ces points sont approximativement $x\,=\,-1$ et $x\,=\,3$ . Entre ces deux points, la courbe C_f est en dessous ou sur la ligne $y\,=\,2$ .

Donc, l’ensemble des solutions de l’inequation $f(x)\,\leq\,\,2$ est :

$x\,\in\,%5B-1%2C\,3%5D$

En resume :
1) $f(x)\,>\,0$
2) $f(x)\,\leq\,\,2$ : $x\,\in\,%5B-1%2C\,3%5D$

Exercice 27 : resoudre les inequations du second degre
1. » align= »absmiddle » />Résoudre les inéquations du second degré suivantes sur $\mathbb{R} $%24\,%3A%0D%0A%0D%0A1)\,$\frac{1}{2}x^2\,%2B\,7x\,-\,3\,>\,0$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,7^2\,-\,4\,\times \,\frac{1}{2}\,\times \,(-3)\,=\,49\,%2B\,6\,=\,55%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-7\,\pm\,\sqrt{55}}{1}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0ALes\,solutions\,de\,l'inequation\,sont%3A\,\,x\,%3C\,\frac{-7\,-\,\sqrt{55}}{1}\,\quad\,ou\,\quad\,x\,>\,\frac{-7\,%2B\,\sqrt{55}}{1}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AI\,=\,\mathbb{R}\,-\,%5B\,\frac{-7\,-\,\sqrt{55}}{1}\,%2C\,\frac{-7\,%2B\,\sqrt{55}}{1}\,%5D%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A2)\,$-3x^2\,%2B\,4x\,%2B\,1\,\leq\,\,0$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,4^2\,-\,4\,\times \,(-3)\,\times \,1\,=\,16\,%2B\,12\,=\,28%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-4\,\pm\,\sqrt{28}}{2\,\times \,(-3)}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-4\,\pm\,2\sqrt{7}}{-6}\,=\,\frac{2\,\pm\,\sqrt{7}}{3}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AAlors%3A\,\,I\,=\,%5B\,\frac{2\,-\,\sqrt{7}}{3}\,%2C\,\frac{2\,%2B\,\sqrt{7}}{3}\,%5D%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A3)\,$-2x^2\,-\,9\,\geq\,\,0$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A-2x^2\,-\,9\,\ge\,0\,\implies\,-2x^2\,\ge\,9\,\implies\,x^2\,\le\,-\frac{9}{2}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0APuisque\,\,x^2\,\,est\,toujours\,non-negatif%2C\,il\,n'y\,a\,pas\,de\,solution.%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AI\,=\,\emptyset%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A4)\,$2x^2\,-\,4x\,%3C\,0$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A2x(x\,-\,2)\,%3C\,0%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0ALes\,racines\,sont\,%3A\,\,x\,=\,0\,\,et\,\,x\,=\,2%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0ALes\,solutions\,sont\,%3A\,\,0\,%3C\,x\,%3C\,2%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AI\,=\,(0%2C\,2)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A---%0D%0A%0D%0A2.$

$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-7\,\pm\,\sqrt{55}}{1}$

$Les\,solutions\,de\,l'inequation\,sont%3A\,\,x\,%3C\,\frac{-7\,-\,\sqrt{55}}{1}\,\quad\,ou\,\quad\,x\,>\,\frac{-7\,%2B\,\sqrt{55}}{1}$

2) $-3x^2\,%2B\,4x\,%2B\,1\,\leq\,\,0$

$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,4^2\,-\,4\,\times \,(-3)\,\times \,1\,=\,16\,%2B\,12\,=\,28$

$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-4\,\pm\,\sqrt{28}}{2\,\times \,(-3)}$

$x\,=\,\frac{-4\,\pm\,2\sqrt{7}}{-6}\,=\,\frac{2\,\pm\,\sqrt{7}}{3}$

$Alors%3A\,\,I\,=\,%5B\,\frac{2\,-\,\sqrt{7}}{3}\,%2C\,\frac{2\,%2B\,\sqrt{7}}{3}\,%5D$

3) $-2x^2\,-\,9\,\geq\,\,0$

$-2x^2\,-\,9\,\ge\,0\,\implies\,-2x^2\,\ge\,9\,\implies\,x^2\,\le\,-\frac{9}{2}$

$Puisque\,\,x^2\,\,est\,toujours\,non-negatif%2C\,il\,n'y\,a\,pas\,de\,solution.$

$I\,=\,\emptyset$

4) $2x^2\,-\,4x\,%3C\,0$

$2x(x\,-\,2)\,%3C\,0$

$Les\,racines\,sont\,%3A\,\,x\,=\,0\,\,et\,\,x\,=\,2$

$Les\,solutions\,sont\,%3A\,\,0\,%3C\,x\,%3C\,2$

$I\,=\,(0%2C\,2)$

—

2. » align= »absmiddle » />Résoudre les inéquations suivantes sur $\mathbb{R} $%24\,%3A%0D%0A%0D%0A1)\,$2x^2\,%2B\,8x\,>\,4$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A2x^2\,%2B\,8x\,-\,4\,>\,0%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,8^2\,-\,4\,\times \,2\,\times \,(-4)\,=\,64\,%2B\,32\,=\,96%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-8\,\pm\,\sqrt{96}}{4}\,=\,\frac{-8\,\pm\,4\sqrt{6}}{4}\,=\,-2\,\pm\,\sqrt{6}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0ALes\,solutions\,sont\,%3A\,\,x\,%3C\,-2\,-\,\sqrt{6}\,\quad\,ou\,\quad\,x\,>\,-2\,%2B\,\sqrt{6}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AI\,=\,\mathbb{R}\,-\,%5B\,-2-\sqrt{6}%2C\,-2%2B\sqrt{6}\,%5D%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A2)\,$x^3\,-\,4x^2\,%2B\,2x\,-\,1\,\leq\,\,x^3\,%2B\,3x^2\,%2B\,2x\,%2B\,48$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A-4x^2\,%2B\,2x\,-\,1\,\leq\,\,3x^2\,%2B\,2x\,%2B\,48\,\implies\,-7x^2\,\leq\,\,49\,\implies\,x^2\,\geq\,\,-7%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0APuisque\,\,x^2\,\,est\,toujours\,non-negatif%2C\,cette\,inegalite\,est\,toujours\,vraie.%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AI\,=\,\mathbb{R}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A3)\,$\frac{1}{x^2\,-\,1}\,%3C\,1$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A1\,-\,\frac{1}{x^2\,-\,1}\,>\,0\,\implies\,\frac{x^2\,-\,2}{x^2\,-\,1}\,>\,0%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0ALes\,solutions\,sont\,%3A\,\,x\,%3C\,-1\,\quad\,ou\,\quad\,0\,%3C\,x\,%3C\,1\,\quad\,ou\,\quad\,x\,>\,2.%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AI\,=\,\mathbb{R}\,-\,\{\,-1%2C\,1\,\}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A4)\,$\frac{x^2\,%2B\,1}{x\,-\,4}\,\geq\,\,0$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0APour\,\,\frac{x^2\,%2B\,1}{x\,-\,4}\,\geq\,\,0%2C\,(x^2\,%2B\,1)\,\geq\,\,0\,\,toujours\,vrai.%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,\neq\,4%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AI\,=\,\mathbb{R}\,-\,\{\,4\,\}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A---%0D%0A%0D%0A3.$

$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-8\,\pm\,\sqrt{96}}{4}\,=\,\frac{-8\,\pm\,4\sqrt{6}}{4}\,=\,-2\,\pm\,\sqrt{6}$

$Les\,solutions\,sont\,%3A\,\,x\,%3C\,-2\,-\,\sqrt{6}\,\quad\,ou\,\quad\,x\,>\,-2\,%2B\,\sqrt{6}$

2) $x^3\,-\,4x^2\,%2B\,2x\,-\,1\,\leq\,\,x^3\,%2B\,3x^2\,%2B\,2x\,%2B\,48$

$-4x^2\,%2B\,2x\,-\,1\,\leq\,\,3x^2\,%2B\,2x\,%2B\,48\,\implies\,-7x^2\,\leq\,\,49\,\implies\,x^2\,\geq\,\,-7$

$Puisque\,\,x^2\,\,est\,toujours\,non-negatif%2C\,cette\,inegalite\,est\,toujours\,vraie.$

$I\,=\,\mathbb{R}$

3) $\frac{1}{x^2\,-\,1}\,%3C\,1$

$1\,-\,\frac{1}{x^2\,-\,1}\,>\,0\,\implies\,\frac{x^2\,-\,2}{x^2\,-\,1}\,>\,0$

4) $\frac{x^2\,%2B\,1}{x\,-\,4}\,\geq\,\,0$

$Pour\,\,\frac{x^2\,%2B\,1}{x\,-\,4}\,\geq\,\,0%2C\,(x^2\,%2B\,1)\,\geq\,\,0\,\,toujours\,vrai.$

$x\,\neq\,4$

$I\,=\,\mathbb{R}\,-\,\{\,4\,\}$

—

3. » align= »absmiddle » />Résoudre les inéquations suivantes sur $\mathbb{R} $%24\,%3A%0D%0A%0D%0A1)\,$x^2\,-\,4\,>\,3x$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax^2\,-\,4\,-\,3x\,>\,0\,\implies\,x^2\,-\,3x\,-\,4\,>\,0%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-3)^2\,-\,4\,\times \,1\,\times \,(-4)\,=\,9\,%2B\,16\,=\,25%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{3\,\pm\,5}{2}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,4\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,-1%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0ALes\,solutions\,sont\,%3A\,\,x\,%3C\,-1\,\quad\,ou\,\quad\,x\,>\,4%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AI\,=\,\mathbb{R}\,-\,%5B\,-1%2C\,4\,%5D%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A2)\,$\frac{x\,-\,1}{2}\,\leq\,\,x^2\,%2B\,\frac{x}{2}\,-\,\frac{3}{2}$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A\frac{x\,-\,1}{2}\,\leq\,\,x^2\,%2B\,\frac{x}{2}\,-\,\frac{3}{2}\,\implies\,0\,\leq\,\,x^2\,%2B\,3%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0ACette\,inegalite\,est\,toujours\,vraie.%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AI\,=\,\mathbb{R}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A3)\,$\frac{x^2\,-\,x\,%2B\,2}{x\,%2B\,3}\,%3C\,\frac{1}{2}$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A2(x^2\,-\,x\,%2B\,2)\,%3C\,x\,%2B\,3\,\implies\,2x^2\,-\,3x\,%2B\,1\,%3C\,0%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-3)^2\,-\,4\,\times \,2\,\times \,1\,=\,9\,-\,8\,=\,1%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{3\,\pm\,1}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,1\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,\frac{1}{2}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0ALes\,solutions\,sont\,%3A\,\,\frac{1}{2}\,%3C\,x\,%3C\,1%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AI\,=\,(\frac{1}{2}%2C\,1)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A4)\,$2x^2\,-\,5x\,-\,4\,%3C\,0$%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A2x^2\,-\,5x\,-\,4\,%3C\,0%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-5)^2\,-\,4\,\times \,2\,\times \,(-4)\,=\,25\,%2B\,32\,=\,57%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{5\,\pm\,\sqrt{57}}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0ALes\,solutions\,sont\,%3A\,\,\frac{5\,-\,\sqrt{57}}{4}\,%3C\,x\,%3C\,\frac{5\,%2B\,\sqrt{57}}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0AI\,=\,(\,\frac{5\,-\,\sqrt{57}}{4}\,%2C\,\frac{5\,%2B\,\sqrt{57}}{4}\,)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-28%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,28\,%3A\,resoudre\,graphiquement\,des\,inequations%3C%2Fspan>%0D%0A1)\,Resoudre\,graphiquement\,%3A%0D%0Aa)\,$\,f(x)\,\geq\,\,0\,$%0D%0A%0D%0ALes\,valeurs\,de\,$\,x\,$\,pour\,lesquelles\,$\,f(x)\,\geq\,\,0\,$\,sont\,celles\,ou\,la\,courbe\,$\,C_f\,$\,est\,au-dessus\,ou\,sur\,l'axe\,des\,abscisses.\,D'apres\,le\,graphique%2C\,cela\,se\,produit\,pour%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,\in\,%5B-1%2C\,2%5D%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0Ab)\,$\,f(x)\,>\,g(x)\,$%0D%0A%0D%0ALes\,valeurs\,de\,$\,x\,$\,pour\,lesquelles\,$\,f(x)\,>\,g(x)\,$\,sont\,celles\,ou\,la\,courbe\,$\,C_f\,$\,est\,au-dessus\,de\,la\,courbe\,$\,C_g\,$.\,D'apres\,le\,graphique%2C\,cela\,se\,produit\,pour%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,\in\,%5B0%2C\,1%5D%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A2)\,Donner%2C\,a\,l'aide\,du\,graphique%2C\,la\,position\,relative\,des\,courbes\,$\,C_f\,$\,et\,$\,C_g\,$.%0D%0A%0D%0AA\,gauche\,de\,$\,x\,=\,0\,$%2C\,la\,courbe\,$\,C_f\,$\,est\,en\,dessous\,de\,la\,courbe\,$\,C_g\,$.%0D%0A%0D%0AEntre\,$\,x\,=\,0\,$\,et\,$\,x\,=\,1$%2C\,la\,courbe\,$\,C_f\,$\,est\,au-dessus\,de\,la\,courbe\,$\,C_g\,$.%0D%0A%0D%0AA\,droite\,de\,$\,x\,=\,1\,$%2C\,la\,courbe\,$\,C_f\,$\,est\,en\,dessous\,de\,la\,courbe\,$\,C_g\,$.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-29%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,29\,%3A\,un\,pont\,et\,un\,arc\,parabolique%3C%2Fspan>%0D%0ASoit\,l'equation\,de\,la\,parabole\,donnee\,par\,$\,y\,=\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c\,$.%0D%0A%0D%0ANous\,savons\,que\,la\,parabole\,passe\,par\,les\,points\,$\,(0%2C\,40)\,$%2C\,$\,(100%2C\,120)\,$\,et\,$\,(200%2C\,40)\,$.%0D%0A%0D%0AEn\,utilisant\,ces\,points%2C\,nous\,pouvons\,etablir\,les\,equations\,suivantes%3A%0D%0A%0D%0A1.\,Pour\,le\,sommet\,$\,(100%2C\,120)\,$%3A%0D%0A\%5B%0D%0A120\,=\,a(100)^2\,%2B\,b(100)\,%2B\,c%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A120\,=\,10000a\,%2B\,100b\,%2B\,c%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A2.\,Pour\,le\,point\,$\,(0%2C\,40)\,$%3A%0D%0A\%5B%0D%0A40\,=\,a(0)^2\,%2B\,b(0)\,%2B\,c%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ac\,=\,40%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A3.\,Pour\,le\,point\,$\,(200%2C\,40)\,$%3A%0D%0A\%5B%0D%0A40\,=\,a(200)^2\,%2B\,b(200)\,%2B\,c%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A40\,=\,40000a\,%2B\,200b\,%2B\,40%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A0\,=\,40000a\,%2B\,200b%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AEn\,substituant\,$\,c\,=\,40\,$\,dans\,la\,premiere\,equation%2C\,nous\,obtenons%3A%0D%0A\%5B%0D%0A120\,=\,10000a\,%2B\,100b\,%2B\,40%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A80\,=\,10000a\,%2B\,100b%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A0.8\,=\,100a\,%2B\,b%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ANous\,obtenons\,alors\,le\,systeme\,d'equations\,suivant%3A%0D%0A\%5B%0D%0A\begin{cases}%0D%0A0.8\,=\,100a\,%2B\,b\,\\%0D%0A0\,=\,40000a\,%2B\,200b%0D%0A\end{cases}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AMultipliant\,la\,premiere\,equation\,par\,2\,et\,soustrayant\,la\,deuxieme%2C\,nous\,avons%3A%0D%0A\%5B%0D%0A1.6\,=\,200a\,%2B\,2b%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A0\,=\,200(200a\,%2B\,2b)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AMultipliant\,par\,40000\,nous\,obtenons%3A%0D%0A\%5B%0D%0A0\,=\,40000a\,%2B\,100b%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ab\,=\,-40%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ANous\,avons\,donc%3A%0D%0A\%5B%0D%0Aa\,=\,0.2%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0ANotre\,equation\,de\,la\,parabole\,est%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,=\,0.2x^2\,-\,40x\,%2B\,40%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0AA\,la\,position\,x=\,40\,pour\,atteindre\,les\,coupes\,avec\,le\,pont%2C\,nous\,avons%0D%0A\%5B%0D%0Ay\,=\,0.2(40)^2\,-\,40(40)\,%2B\,20(40)%0D%0A=\,0.2%2A16000\,-\,1600\,%2B\,800%0D%0A=\,80\,-\,40%0D%0A=40%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-30%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,30\,%3A\,fonction\,trinome\,et\,racine%3C%2Fspan>%0D%0A1.\,$\,f(x)\,=\,x^2\,-\,x\,%2B\,1\,$\,et\,$\,a\,=\,1\,$%0D%0A\%5B%0D%0Af(1)\,=\,1^2\,-\,1\,%2B\,1\,=\,1\,-\,1\,%2B\,1\,=\,1%0D%0A\%5D%0D%0ADonc%2C\,$\,a\,=\,1\,$\,n'est\,pas\,une\,racine\,de\,$\,f\,$.%0D%0A%0D%0A2.\,$\,f(x)\,=\,3x^2\,%2B\,x\,-\,2\,$\,et\,$\,a\,=\,-1\,$%0D%0A\%5B%0D%0Af(-1)\,=\,3(-1)^2\,%2B\,(-1)\,-\,2\,=\,3\,\cdot\,1\,-\,1\,-\,2\,=\,3\,-\,1\,-\,2\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0ADonc%2C\,$\,a\,=\,-1\,$\,est\,une\,racine\,de\,$\,f\,$.%0D%0A%0D%0A3.\,$\,f(x)\,=\,2x^2\,-\,3x\,-\,2\,$\,et\,$\,a\,=\,2\,$%0D%0A\%5B%0D%0Af(2)\,=\,2\,\cdot\,2^2\,-\,3\,\cdot\,2\,-\,2\,=\,2\,\cdot\,4\,-\,6\,-\,2\,=\,8\,-\,6\,-\,2\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0ADonc%2C\,$\,a\,=\,2\,$\,est\,une\,racine\,de\,$\,f\,$.%0D%0A%0D%0A4.\,$\,f(x)\,=\,-2x^2\,%2B\,x\,%2B\,1\,$\,et\,$\,a\,=\,3\,$%0D%0A\%5B%0D%0Af(3)\,=\,-2\,\cdot\,3^2\,%2B\,3\,%2B\,1\,=\,-2\,\cdot\,9\,%2B\,3\,%2B\,1\,=\,-18\,%2B\,3\,%2B\,1\,=\,-14%0D%0A\%5D%0D%0ADonc%2C\,$\,a\,=\,3\,$\,n'est\,pas\,une\,racine\,de\,$\,f\,$.%0D%0A%0D%0A%5B%2Fexpander_maker%5D%0D%0A%0D%0A%5Bexpander_maker\,id=%221%22\,more=%22Voir\,Corriges\,31\,a\,40\,...%22%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-31%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,31\,%3A\,forme\,canonique\,d'un\,trinome%3C%2Fspan>%0D%0A1.\,$x^2\,%2B\,2x\,-\,5$\,=\,$\,(x%2B1)^2\,-\,6\,$\,(b)%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax^2\,%2B\,2x\,-\,5\,=\,(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)\,-\,1\,-\,5\,=\,(x%2B1)^2\,-\,6%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A2.\,$2x^2\,%2B\,4x\,%2B\,1$\,=\,$2\,(\,(\,x%2B1\,)^2\,-\,\frac{1}{2}\,)$\,(d)%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A2x^2\,%2B\,4x\,%2B\,1\,=\,2(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)\,-\,2\,\cdot\,\frac{1}{2}\,=\,2\,(\,(x%2B1)^2\,-\,\frac{1}{2}\,)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A3.\,$x^2\,%2B\,4x\,%2B\,3$\,=\,$(\,x%2B2\,)^2\,-\,1$\,(a)%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Ax^2\,%2B\,4x\,%2B\,3\,=\,(x^2\,%2B\,4x\,%2B\,4)\,-\,4\,%2B\,3\,=\,(x%2B2)^2\,-\,1%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A4.\,$2x^2\,%2B\,x\,-\,4$\,=\,$2\,(\,(\,x\,%2B\,\frac{1}{4}\,)^2\,-\,\frac{33}{16}\,)$\,(c)%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A2x^2\,%2B\,x\,-\,4\,=\,2\,(\,x^2\,%2B\,\frac{1}{2}x\,%2B\,\frac{1}{16}\,-\,\frac{1}{16}\,)\,-\,4\,=\,2\,(\,(\,x\,%2B\,\frac{1}{4}\,)^2\,-\,\frac{33}{16}\,)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-32%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,32\,%3A\,courbe\,et\,second\,degre%3C%2Fspan>%0D%0A1.\,Pour\,$\Delta\,=\,0$%2C\,la\,fonction\,trinome\,du\,second\,degre\,a\,une\,seule\,racine.\,La\,courbe\,representative\,est\,une\,parabole\,qui\,est\,tangente\,a\,l'axe\,des\,abscisses\,en\,un\,unique\,point.\,Sur\,l'image%2C\,c'est\,la\,courbe\,verte.%0D%0A%0D%0A2.\,Pour\,$\Delta\,>\,0$%2C\,la\,fonction\,trinome\,du\,second\,degre\,a\,deux\,racines\,distinctes.\,La\,courbe\,representative\,est\,une\,parabole\,qui\,coupe\,l'axe\,des\,abscisses\,en\,deux\,points\,distincts.\,Sur\,l'image%2C\,c'est\,la\,courbe\,bleue.%0D%0A%0D%0A3.\,Pour\,$\Delta\,%3C\,0$%2C\,la\,fonction\,trinome\,du\,second\,degre\,n'a\,pas\,de\,racine\,reelle.\,La\,courbe\,representative\,est\,une\,parabole\,qui\,ne\,coupe\,pas\,l'axe\,des\,abscisses.\,Sur\,l'image%2C\,c'est\,la\,courbe\,orange.%0D%0A%0D%0AEn\,resume\,%3A%0D%0A-\,La\,courbe\,verte\,correspond\,a\,$\Delta\,=\,0$.%0D%0A-\,La\,courbe\,bleue\,correspond\,a\,$\Delta\,>\,0$.%0D%0A-\,La\,courbe\,orange\,correspond\,a\,$\Delta\,%3C\,0$.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-33%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,33\,%3A\,calculer\,le\,discriminant%3C%2Fspan>%0D%0AEtant\,donne\,un\,polynome\,du\,second\,degre\,$\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c\,$%2C\,le\,discriminant\,$\Delta$\,est\,donne\,par\,la\,formule\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B\,\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,\%5D%0D%0A%0D%0A1.\,Pour\,$\,f(x)\,=\,x^2\,%2B\,x\,-\,1\,$\,%3A%0D%0A\%5B\,a\,=\,1%2C\,\quad\,b\,=\,1%2C\,\quad\,c\,=\,-1\,\%5D%0D%0A\%5B\,\Delta\,=\,1^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-1)\,=\,1\,%2B\,4\,=\,5\,\%5D%0D%0ALe\,discriminant\,$\Delta\,=\,5$\,est\,positif%2C\,donc\,$\,f(x)\,$\,a\,2\,racines\,reelles\,distinctes.%0D%0A%0D%0A2.\,Pour\,$\,g(x)\,=\,2x^2\,-\,x\,%2B\,3\,$\,%3A%0D%0A\%5B\,a\,=\,2%2C\,\quad\,b\,=\,-1%2C\,\quad\,c\,=\,3\,\%5D%0D%0A\%5B\,\Delta\,=\,(-1)^2\,-\,4\,\cdot\,2\,\cdot\,3\,=\,1\,-\,24\,=\,-23\,\%5D%0D%0ALe\,discriminant\,$\Delta\,=\,-23$\,est\,negatif%2C\,donc\,$\,g(x)\,$\,n'a\,pas\,de\,racines\,reelles.%0D%0A%0D%0A3.\,Pour\,$\,h(x)\,=\,-5x^2\,%2B\,4x\,%2B\,3\,$\,%3A%0D%0A\%5B\,a\,=\,-5%2C\,\quad\,b\,=\,4%2C\,\quad\,c\,=\,3\,\%5D%0D%0A\%5B\,\Delta\,=\,4^2\,-\,4\,\cdot\,(-5)\,\cdot\,3\,=\,16\,%2B\,60\,=\,76\,\%5D%0D%0ALe\,discriminant\,$\Delta\,=\,76$\,est\,positif%2C\,donc\,$\,h(x)\,$\,a\,2\,racines\,reelles\,distinctes.%0D%0A%0D%0A4.\,Pour\,$\,j(x)\,=\,x^2\,-\,\sqrt{2}x\,%2B\,7\,$\,%3A%0D%0A\%5B\,a\,=\,1%2C\,\quad\,b\,=\,-\sqrt{2}%2C\,\quad\,c\,=\,7\,\%5D%0D%0A\%5B\,\Delta\,=\,(-\sqrt{2})^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,7\,=\,2\,-\,28\,=\,-26\,\%5D%0D%0ALe\,discriminant\,$\Delta\,=\,-26$\,est\,negatif%2C\,donc\,$\,j(x)\,$\,n'a\,pas\,de\,racines\,reelles.%0D%0A%0D%0AResolution\,des\,equations\,suivantes\,dans\,$\mathbb{R}$\,%3A%0D%0A%0D%0A1.\,$\,x^2\,%2B\,2x\,-\,3\,=\,0\,$%0D%0A\%5B\,\Delta\,=\,2^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-3)\,=\,4\,%2B\,12\,=\,16\,\%5D%0D%0A\%5B\,x\,=\,\frac{-2\,\pm\,\sqrt{16}}{2\,\cdot\,1}\,=\,\frac{-2\,\pm\,4}{2}\,\%5D%0D%0A\%5B\,x\,=\,\frac{-2\,%2B\,4}{2}\,=\,1\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,\frac{-2\,-\,4}{2}\,=\,-3\,\%5D%0D%0ALes\,solutions\,sont\,$\,x\,=\,1\,$\,et\,$\,x\,=\,-3\,$.%0D%0A%0D%0A2.\,$\,x^2\,-\,2x\,-\,8\,=\,0\,$%0D%0A\%5B\,\Delta\,=\,(-2)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-8)\,=\,4\,%2B\,32\,=\,36\,\%5D%0D%0A\%5B\,x\,=\,\frac{2\,\pm\,\sqrt{36}}{2\,\cdot\,1}\,=\,\frac{2\,\pm\,6}{2}\,\%5D%0D%0A\%5B\,x\,=\,\frac{2\,%2B\,6}{2}\,=\,4\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,\frac{2\,-\,6}{2}\,=\,-2\,\%5D%0D%0ALes\,solutions\,sont\,$\,x\,=\,4\,$\,et\,$\,x\,=\,-2\,$.%0D%0A%0D%0A3.\,$\,2x^2\,%2B\,5x\,-\,3\,=\,0\,$%0D%0A\%5B\,\Delta\,=\,5^2\,-\,4\,\cdot\,2\,\cdot\,(-3)\,=\,25\,%2B\,24\,=\,49\,\%5D%0D%0A\%5B\,x\,=\,\frac{-5\,\pm\,\sqrt{49}}{2\,\cdot\,2}\,=\,\frac{-5\,\pm\,7}{4}\,\%5D%0D%0A\%5B\,x\,=\,\frac{-5\,%2B\,7}{4}\,=\,\frac{2}{4}\,=\,\frac{1}{2}\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,\frac{-5\,-\,7}{4}\,=\,\frac{-12}{4}\,=\,-3\,\%5D%0D%0ALes\,solutions\,sont\,$\,x\,=\,\frac{1}{2}\,$\,et\,$\,x\,=\,-3\,$.%0D%0A%0D%0A4.\,$\,x^2\,-\,2x\,%2B\,1\,=\,0\,$%0D%0A\%5B\,\Delta\,=\,(-2)^2\,-\,4\,\quad\,\times \,1\,\quad\,\times \,1\,=\,4\,-\,4\,=\,0\,\%5D%0D%0A\%5B\,x\,=\,\frac{2\,\pm\,\sqrt{0}}{2\,\cdot\,1}\,=\,\frac{2\,\pm\,0}{2}\,=\,1\,\%5D%0D%0ALa\,solution\,est\,$\,x\,=\,1\,$.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-34%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,34\,%3A\,resoudre\,les\,equations\,du\,second\,degre%3C%2Fspan>%0D%0A1.\,Resoudre\,dans\,\,\mathbb{R}\,\,les\,equations\,suivantes.%0D%0A%0D%0A\%5B\,1.\,\,2x^2\,-\,4x\,%2B\,8\,=\,0\,\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-4)^2\,-\,4\,\cdot\,2\,\cdot\,8\,=\,16\,-\,64\,=\,-48%0D%0A\%5D%0D%0APas\,de\,solution\,reelle\,car\,\,\Delta\,\,est\,negatif.%0D%0A%0D%0A\%5B\,2.\,\,9x^2\,%2B\,24x\,%2B\,16\,=\,0\,\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,24^2\,-\,4\,\cdot\,9\,\cdot\,16\,=\,576\,-\,576\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-b}{2a}\,=\,\frac{-24}{2\,\cdot\,9}\,=\,-\frac{4}{3}%0D%0A\%5D%0D%0AUne\,solution\,reelle\,double%3A\,\,x\,=\,-\frac{4}{3}.%0D%0A%0D%0A\%5B\,3.\,\,-5x^2\,%2B\,9x\,%2B\,2\,=\,0\,\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,9^2\,-\,4\,\cdot\,(-5)\,\cdot\,2\,=\,81\,%2B\,40\,=\,121%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-9\,\pm\,\sqrt{121}}{-10}\,=\,\frac{-9\,\pm\,11}{-10}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax_1\,=\,\frac{-9\,%2B\,11}{-10}\,=\,-\frac{1}{5}%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{-9\,-\,11}{-10}\,=\,2%0D%0A\%5D%0D%0ASolutions\,reelles%3A\,\,x_1\,=\,-\frac{1}{5}%2C\,\quad\,x_2\,=\,2.%0D%0A%0D%0A\%5B\,4.\,\,-7x^2\,-\,8x\,%2B\,3\,=\,0\,\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-8)^2\,-\,4\,\cdot\,(-7)\,\cdot\,3\,=\,64\,%2B\,84\,=\,148%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{8\,\pm\,\sqrt{148}}{-14}\,=\,\frac{8\,\pm\,2\sqrt{37}}{-14}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax_1\,=\,\frac{8\,%2B\,2\sqrt{37}}{-14}%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{8\,-\,2\sqrt{37}}{-14}%0D%0A\%5D%0D%0ASolutions\,reelles%3A\,\,x_1\,=\,\frac{8\,%2B\,2\sqrt{37}}{-14}%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{8\,-\,2\sqrt{37}}{-14}.%0D%0A%0D%0A2.\,Resoudre\,dans\,\,\mathbb{R}\,\,les\,equations\,suivantes.%0D%0A%0D%0A\%5B\,1.\,\,3x^2\,%2B\,4x\,%2B\,5\,=\,0\,\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,4^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,5\,=\,16\,-\,60\,=\,-44%0D%0A\%5D%0D%0APas\,de\,solution\,reelle\,car\,\,\Delta\,\,est\,negatif.%0D%0A%0D%0A\%5B\,2.\,\,x^2\,-\,2x\,-\,3\,=\,0\,\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-2)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-3)\,=\,4\,%2B\,12\,=\,16%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{2\,\pm\,4}{2\,\cdot\,1}\,=\,\frac{2\,\pm\,4}{2}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax_1\,=\,3%2C\,\quad\,x_2\,=\,-1%0D%0A\%5D%0D%0ASolutions\,reelles%3A\,\,x_1\,=\,3%2C\,\quad\,x_2\,=\,-1.%0D%0A%0D%0A\%5B\,3.\,\,-3x^2\,%2B\,11x\,%2B\,4\,=\,0\,\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,11^2\,-\,4\,\cdot\,(-3)\,\cdot\,4\,=\,121\,%2B\,48\,=\,169%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-11\,\pm\,13}{-6}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax_1\,=\,-2%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{1}{3}%0D%0A\%5D%0D%0ASolutions\,reelles%3A\,\,x_1\,=\,-2%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{1}{3}.%0D%0A%0D%0A\%5B\,4.\,\,x^2\,-\,2x\,-\,2\,=\,0\,\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-2)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-2)\,=\,4\,%2B\,8\,=\,12%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{2\,\pm\,2\sqrt{3}}{2}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax_1\,=\,1\,%2B\,\sqrt{3}%2C\,\quad\,x_2\,=\,1\,-\,\sqrt{3}%0D%0A\%5D%0D%0ASolutions\,reelles%3A\,\,x_1\,=\,1\,%2B\,\sqrt{3}%2C\,\quad\,x_2\,=\,1\,-\,\sqrt{3}.%0D%0A%0D%0A3.\,Resoudre\,dans\,\,\mathbb{R}\,\,les\,equations\,suivantes.%0D%0A%0D%0A\%5B\,1.\,\,2x^2\,%2B\,4x\,\geq\,\,0\,\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A2x(x\,%2B\,2)\,\geq\,\,0%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax(x\,%2B\,2)\,\geq\,\,0%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,\in\,%5D-\infty%2C\,-2%5D\,\cup\,%5B0%2C\,%2B\infty%5B%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,2.\,\,-3x^2\,%2B\,4x\,\geq\,\,0\,\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A-3x(x\,-\,\frac{4}{3})\,\geq\,\,0%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax(x\,-\,\frac{4}{3})\,\leq\,\,0%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,\in\,%5B0%2C\,\frac{4}{3}%5D%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B\,3.\,\,3x^2\,%2B\,12x\,-\,15\,=\,0\,\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,12^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,(-15)\,=\,144\,%2B\,180\,=\,324%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{-\,b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-12\,\pm\,18}{6}%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax_1\,=\,1%2C\,\quad\,x_2\,=\,-5%0D%0A\%5D%0D%0ASolutions\,reelles%3A\,\,x_1\,=\,1%2C\,\quad\,x_2\,=\,-5.%0D%0A%0D%0A\%5B\,4.\,\,x^2\,-\,x\,=\,2\,\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax^2\,-\,x\,-\,2\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A(x\,-\,2)(x\,%2B\,1)\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,2\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-1%0D%0A\%5D%0D%0ASolutions\,reelles%3A\,\,x_1\,=\,2%2C\,\quad\,x_2\,=\,-1.%0D%0A%0D%0A4.\,Factoriser%2C\,si\,possible%2C\,les\,trinommes\,suivants.%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Af(x)\,=\,x^2\,-\,6x\,-\,7%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0Ax^2\,-\,6x\,-\,7\,=\,(x\,-\,7)(x\,%2B\,1)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Af(x)\,=\,3x^2\,%2B\,4x\,%2B\,4%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,4^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,4\,=\,16\,-\,48\,=\,-32%0D%0A\%5D%0D%0APas\,de\,factorisation\,reelle\,car\,\,\Delta\,\,est\,negatif.%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Af(x)\,=\,-x^2\,%2B\,2x\,%2B\,8%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A-x^2\,%2B\,2x\,%2B\,8\,=\,-(x^2\,-\,2x\,-\,8)\,=\,-(x\,-\,4)(x\,%2B\,2)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Af(x)\,=\,-3x^2\,%2B\,5x\,%2B\,2%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A-3x^2\,%2B\,5x\,%2B\,2\,=\,-(3x^2\,-\,5x\,-\,2)\,=\,-(3x\,%2B\,1)(x\,-\,2)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Af(x)\,=\,4x^2\,%2B\,28x\,%2B\,49%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A4x^2\,%2B\,28x\,%2B\,49\,=\,(2x\,%2B\,7)^2%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0Af(x)\,=\,x^2\,-\,x\,-\,1%0D%0A\%5D%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,(-1)^2\,-\,4\,\cdot%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-35%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,35\,%3A\,resoudre\,les\,inequations\,du\,second\,degre%3C%2Fspan>%0D%0A%0D%0A\,%243x^2\,%2B\,5x\,-\,2\,\geq\,\,0%24%0D%0A%0D%0AOn\,cherche\,d'abord\,les\,racines\,de\,l'equation\,%243x^2\,%2B\,5x\,-\,2\,=\,0%24.\,Le\,discriminant\,%24\Delta%24\,est\,donne\,par\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,5^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,(-2)\,=\,25\,%2B\,24\,=\,49%0D%0A\%5D%0D%0ALes\,racines\,sont\,donc\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax_1\,=\,\frac{-b\,-\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-5\,-\,7}{6}\,=\,-2%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{-b\,%2B\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-5\,%2B\,7}{6}\,=\,\frac{1}{3}%0D%0A\%5D%0D%0AL'inequation\,s'ecrit\,donc\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A3(x\,%2B\,2)(x\,-\,\frac{1}{3})\,\geq\,\,0%0D%0A\%5D%0D%0AOn\,teste\,les\,signes\,dans\,les\,intervalles\,definis\,par\,les\,racines\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,\in\,(-\infty%2C\,-2%5D\,\cup\,%5B\frac{1}{3}%2C\,%2B\infty)%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\,%24-2x^2\,%2B\,7x\,%2B\,4\,\geq\,\,0%24%0D%0A%0D%0AOn\,cherche\,d'abord\,les\,racines\,de\,l'equation\,%24-2x^2\,%2B\,7x\,%2B\,4\,=\,0%24.\,Le\,discriminant\,%24\Delta%24\,est\,donne\,par\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,7^2\,-\,4\,\cdot\,(-2)\,\cdot\,4\,=\,49\,%2B\,32\,=\,81%0D%0A\%5D%0D%0ALes\,racines\,sont\,donc\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax_1\,=\,\frac{-b\,-\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-7\,-\,9}{-4}\,=\,4%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{-b\,%2B\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-7\,%2B\,9}{-4}\,=\,-\frac{1}{2}%0D%0A\%5D%0D%0AL'inequation\,s'ecrit\,donc\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A-2(x\,-\,4)(x\,%2B\,\frac{1}{2})\,\geq\,\,0%0D%0A\%5D%0D%0AOn\,teste\,les\,signes\,dans\,les\,intervalles\,definis\,par\,les\,racines\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,\in\,%5B-\frac{1}{2}%2C\,4%5D%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\,%2416x^2\,-\,40x\,%2B\,25\,\leq\,\,0%24%0D%0A%0D%0AOn\,cherche\,d'abord\,les\,racines\,de\,l'equation\,%2416x^2\,-\,40x\,%2B\,25\,=\,0%24.\,Le\,discriminant\,%24\Delta%24\,est\,donne\,par\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-40)^2\,-\,4\,\cdot\,16\,\cdot\,25\,=\,1600\,-\,1600\,=\,0%0D%0A\%5D%0D%0AIl\,y\,a\,une\,seule\,racine\,double\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax_1\,=\,x_2\,=\,\frac{-b}{2a}\,=\,\frac{40}{32}\,=\,\frac{5}{4}%0D%0A\%5D%0D%0AL'inequation\,s'ecrit\,donc\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A16(x\,-\,\frac{5}{4})^2\,\leq\,\,0%0D%0A\%5D%0D%0ADonc\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,=\,\frac{5}{4}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\,%243x^2\,-\,x\,%2B\,5\,>\,0%24%0D%0A%0D%0AOn\,cherche\,d'abord\,les\,racines\,de\,l'equation\,%243x^2\,-\,x\,%2B\,5\,=\,0%24.\,Le\,discriminant\,%24\Delta%24\,est\,donne\,par\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-1)^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,5\,=\,1\,-\,60\,=\,-59%0D%0A\%5D%0D%0ALe\,discriminant\,est\,negatif%2C\,donc\,l'equation\,n'a\,pas\,de\,solutions\,reelles.\,Le\,polynome\,etant\,du\,second\,degre\,(ouvert\,vers\,le\,haut\,car\,%24a\,>\,0%24)%2C\,il\,est\,donc\,toujours\,positif.\,Ainsi\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,\in\,\mathbb{R}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\,%24-x^2\,%2B\,x\,-\,7\,\geq\,\,0%24%0D%0A%0D%0AOn\,cherche\,d'abord\,les\,racines\,de\,l'equation\,%24-x^2\,%2B\,x\,-\,7\,=\,0%24.\,Le\,discriminant\,%24\Delta%24\,est\,donne\,par\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,1^2\,-\,4\,\cdot\,(-1)\,\cdot\,(-7)\,=\,1\,-\,28\,=\,-27%0D%0A\%5D%0D%0ALe\,discriminant\,etant\,negatif%2C\,l'equation\,n'a\,pas\,de\,solutions\,reelles.\,Le\,polynome\,etant\,du\,second\,degre\,(ouvert\,vers\,le\,bas\,car\,%24a\,%3C\,0%24)%2C\,il\,est\,toujours\,negatif\,pour\,%24x\,\in\,\mathbb{R}%24%2C\,donc\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0APas\,de\,solutions\,dans\,\,\mathbb{R}%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A\,%24-3x^2\,%2B\,5x\,%2B\,8\,%3C\,0%24%0D%0A%0D%0AOn\,cherche\,d'abord\,les\,racines\,de\,l'equation\,%24-3x^2\,%2B\,5x\,%2B\,8\,=\,0%24.\,Le\,discriminant\,%24\Delta\,est\,donne\,par\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,5^2\,-\,4\,\cdot\,(-3)\,\cdot\,8\,=\,25\,%2B\,96\,=\,121%0D%0A\%5D%0D%0ALes\,racines\,sont\,donc\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax_1\,=\,\frac{-b\,-\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-5\,-\,11}{-6}\,=\,\frac{16}{6}\,=\,\frac{8}{3}%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{-b\,%2B\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-5\,%2B\,11}{-6}\,=\,\frac{-6}{6}\,=\,-1%0D%0A\%5D%0D%0AL'inequation\,s'ecrit\,donc\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A-3(x\,-\,\frac{8}{3})(x\,%2B\,1)\,%3C\,0%0D%0A\%5D%0D%0AOn\,teste\,les\,signes\,dans\,les\,intervalles\,definis\,par\,les\,racines\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Ax\,\in\,(-1%2C\,\frac{8}{3})%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-36%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,36\,%3A\,donner\,la\,somme\,et\,le\,produit\,des\,racines%3C%2Fspan>%0D%0ACorrection\,%3A%0D%0A%0D%0APour\,un\,trinome\,de\,la\,forme\,$\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c\,$%2C\,la\,somme\,des\,racines\,est\,donnee\,par\,$\,-\frac{b}{a}\,$\,et\,le\,produit\,des\,racines\,est\,donne\,par\,$\,\frac{c}{a}\,$.%0D%0A%0D%0APour\,les\,premiers\,trinomes\,%3A%0D%0A%0D%0A1.\,$\,f(x)\,=\,x^2\,-\,x\,-\,2\,$%0D%0A-\,Sommation\,des\,racines%3A\,$\,-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{-1}{1}\,=\,1\,$%0D%0A-\,Produit\,des\,racines%3A\,$\,\frac{c}{a}\,=\,\frac{-2}{1}\,=\,-2\,$%0D%0A%0D%0A2.\,$\,f(x)\,=\,x^2\,%2B\,3x\,%2B\,1\,$%0D%0A-\,Sommation\,des\,racines%3A\,$\,-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{3}{1}\,=\,-3\,$%0D%0A-\,Produit\,des\,racines%3A\,$\,\frac{c}{a}\,=\,\frac{1}{1}\,=\,1\,$%0D%0A%0D%0A3.\,$\,f(x)\,=\,-x^2\,%2B\,5x\,%2B\,2\,$%0D%0A-\,Sommation\,des\,racines%3A\,$\,-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{5}{-1}\,=\,5\,$%0D%0A-\,Produit\,des\,racines%3A\,$\,\frac{c}{a}\,=\,\frac{2}{-1}\,=\,-2\,$%0D%0A%0D%0A4.\,$\,f(x)\,=\,2x^2\,%2B\,7x\,-\,1\,$%0D%0A-\,Sommation\,des\,racines%3A\,$\,-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{7}{2}\,=\,-\frac{7}{2}\,$%0D%0A-\,Produit\,des\,racines%3A\,$\,\frac{c}{a}\,=\,\frac{-1}{2}\,=\,-\frac{1}{2}\,$%0D%0A%0D%0A5.\,$\,f(x)\,=\,-3x^2\,%2B\,11x\,%2B\,7\,$%0D%0A-\,Sommation\,des\,racines%3A\,$\,-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{11}{-3}\,=\,\frac{11}{3}\,$%0D%0A-\,Produit\,des\,racines%3A\,$\,\frac{c}{a}\,=\,\frac{7}{-3}\,=\,-\frac{7}{3}\,$%0D%0A%0D%0APour\,les\,seconds\,trinomes\,%3A%0D%0A%0D%0A1.\,$\,f(x)\,=\,9x^2\,%2B\,x\,-\,1\,$%0D%0A-\,Sommation\,des\,racines%3A\,$\,-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{1}{9}\,=\,-\frac{1}{9}\,$%0D%0A-\,Produit\,des\,racines%3A\,$\,\frac{c}{a}\,=\,\frac{-1}{9}\,=\,-\frac{-1}{9}\,=\,-\frac{1}{9}\,$%0D%0A%0D%0A2.\,$\,f(x)\,=\,x^2\,-\,\sqrt{2}x\,%2B\,3\,$%0D%0A-\,Sommation\,des\,racines%3A\,$\,-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{-\sqrt{2}}{1}\,=\,\sqrt{2}\,$%0D%0A-\,Produit\,des\,racines%3A\,$\,\frac{c}{a}\,=\,\frac{3}{1}\,=\,3\,$%0D%0A%0D%0A3.\,$\,f(x)\,=\,\sqrt{3}x^2\,%2B\,2x\,-\,1\,$%0D%0A-\,Sommation\,des\,racines%3A\,$\,-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{2}{\sqrt{3}}\,=\,-\frac{2}{\sqrt{3}}\,$%0D%0A-\,Produit\,des\,racines%3A\,$\,\frac{c}{a}\,=\,\frac{-1}{\sqrt{3}}\,=\,-\frac{1}{\sqrt{3}}\,$%0D%0A%0D%0A4.\,$\,f(x)\,=\,-\sqrt{3}x^2\,-\,3\,\sqrt{5}\,x\,%2B\,1\,$%0D%0A-\,Sommation\,des\,racines%3A\,$\,-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{-3\sqrt{5}}{-\sqrt{3}}\,=\,\frac{3\,\sqrt\,{5}}{-\,\sqrt{3}}\,=\,-\,3\,\sqrt\,{\frac{5}{3}}\,$%0D%0A-\,Produit\,des\,racines%3A\,$\,\frac{c}{a}\,=\,\frac{1}{-\sqrt{3}}\,=\,-\frac{1}{\sqrt{3}}\,=\,-\,\frac{\sqrt\,3}{3}\,$%0D%0A%0D%0A5.\,$\,f(x)\,=\,5x^2\,%2B\,\pi\,x\,-\,3\,$%0D%0A-\,Sommation\,des\,racines%3A\,$\,-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{\pi}{5}\,=\,-\frac{\pi}{5}\,$%0D%0A-\,Produit\,des\,racines%3A\,$\,\frac{c}{a}\,=\,\frac{-3}{5}\,=\,-\frac{3}{5}\,$%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-37%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,37\,%3A\,discriminant\,et\,sommet\,d'une\,parabole%3C%2Fspan>%0D%0APour\,chaque\,trinome\,$f(x)\,=\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$%2C\,on\,calcule\,le\,discriminant\,$\Delta$\,selon\,la\,formule\,%3A%0D%0A\%5B\,\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,\%5D%0D%0A%0D%0AEnsuite%2C\,les\,coordonnees\,du\,sommet\,de\,la\,parabole\,sont\,donnees\,par\,%3A%0D%0A\%5B\,x_s\,=\,-\frac{b}{2a}\,\%5D%0D%0A\%5B\,y_s\,=\,f(x_s)\,\%5D%0D%0A%0D%0A1.\,Pour\,$\,f(x)\,=\,x^2\,-\,4x\,%2B\,1\,$%3A%0D%0A\%5B%0D%0A%0D%0A%26a\,=\,1%2C\,\quad\,b\,=\,-4%2C\,\quad\,c\,=\,1\,\\%0D%0A%26\Delta\,=\,(-4)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,1\,=\,16\,-\,4\,=\,12\,\\%0D%0A%26x_s\,=\,-\frac{-4}{2\,\cdot\,1}\,=\,\frac{4}{2}\,=\,2\,\\%0D%0A%26y_s\,=\,f(2)\,=\,(2)^2\,-\,4\,\cdot\,2\,%2B\,1\,=\,4\,-\,8\,%2B\,1\,=\,-3\,\\%0D%0A%26Les\,coordonnees\,du\,sommet\,sont\,\,(2%2C\,-3)%0D%0A%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A2.\,Pour\,$\,f(x)\,=\,-x^2\,%2B\,x\,-\,1\,$%3A%0D%0A\%5B%0D%0A%0D%0A%26a\,=\,-1%2C\,\quad\,b\,=\,1%2C\,\quad\,c\,=\,-1\,\\%0D%0A%26\Delta\,=\,1^2\,-\,4\,\cdot\,(-1)\,\cdot\,(-1)\,=\,1\,-\,4\,=\,-3\,\\%0D%0A%26x_s\,=\,-\frac{1}{2\,\cdot\,(-1)}\,=\,\frac{1}{-2}\,=\,-\frac{1}{2}\,\\%0D%0A%26y_s\,=\,f(-\frac{1}{2})\,=\,-(-\frac{1}{2})^2\,%2B\,(-\frac{1}{2})\,-\,1\,=\,-\frac{1}{4}\,-\,\frac{1}{2}\,-\,1\,=\,-\frac{1}{4}\,-\,\frac{2}{4}\,-\,\frac{4}{4}\,=\,-\frac{7}{4}\,\\%0D%0A%26Les\,coordonnees\,du\,sommet\,sont\,\,(-\frac{1}{2}%2C\,-\frac{7}{4})%0D%0A%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A3.\,Pour\,$\,f(x)\,=\,2x^2\,-\,4x\,%2B\,5\,$%3A%0D%0A\%5B%0D%0A%0D%0A%26a\,=\,2%2C\,\quad\,b\,=\,-4%2C\,\quad\,c\,=\,5\,\\%0D%0A%26\Delta\,=\,(-4)^2\,-\,4\,\cdot\,2\,\cdot\,5\,=\,16\,-\,40\,=\,-24\,\\%0D%0A%26x_s\,=\,-\frac{-4}{2\,\cdot\,2}\,=\,\frac{4}{4}\,=\,1\,\\%0D%0A%26y_s\,=\,f(1)\,=\,2(1)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,%2B\,5\,=\,2\,-\,4\,%2B\,5\,=\,3\,\\%0D%0A%26Les\,coordonnees\,du\,sommet\,sont\,\,(1%2C\,3)%0D%0A%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A4.\,Pour\,$\,f(x)\,=\,-3x^2\,%2B\,7x\,%2B\,2\,$%3A%0D%0A\%5B%0D%0A%0D%0A%26a\,=\,-3%2C\,\quad\,b\,=\,7%2C\,\quad\,c\,=\,2\,\\%0D%0A%26\Delta\,=\,7^2\,-\,4\,\cdot\,(-3)\,\cdot\,2\,=\,49\,%2B\,24\,=\,73\,\\%0D%0A%26x_s\,=\,-\frac{7}{2\,\cdot\,(-3)}\,=\,-\frac{7}{-6}\,=\,\frac{7}{6}\,\\%0D%0A%26y_s\,=\,f(\frac{7}{6})\,=\,-3(\frac{7}{6})^2\,%2B\,7\,\cdot\,\frac{7}{6}\,%2B\,2\,=\,-3\,\cdot\,\frac{49}{36}\,%2B\,\frac{49}{6}\,%2B\,2\,=\,-\frac{147}{36}\,%2B\,\frac{294}{36}\,%2B\,\frac{72}{36}\,=\,\frac{219}{36}\,=\,\frac{73}{12}\,\\%0D%0A%26Les\,coordonnees\,du\,sommet\,sont\,\,(\frac{7}{6}%2C\,\frac{73}{12})%0D%0A%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A5.\,Pour\,$\,f(x)\,=\,5x^2\,%2B\,x\,-\,3\,$%3A%0D%0A\%5B%0D%0A%0D%0A%26a\,=\,5%2C\,\quad\,b\,=\,1%2C\,\quad\,c\,=\,-3\,\\%0D%0A%26\Delta\,=\,1^2\,-\,4\,\cdot\,5\,\cdot\,(-3)\,=\,1\,%2B\,60\,=\,61\,\\%0D%0A%26x_s\,=\,-\frac{1}{2\,\cdot\,5}\,=\,-\frac{1}{10}\,\\%0D%0A%26y_s\,=\,f(-\frac{1}{10})\,=\,5(-\frac{1}{10})^2\,%2B\,(-\frac{1}{10})\,-\,3\,=\,5\,\cdot\,\frac{1}{100}\,-\,\frac{1}{10}\,-\,3\,=\,\frac{5}{100}\,-\,\frac{10}{100}\,-\,\frac{300}{100}\,=\,\frac{5\,-\,10\,-\,300}{100}\,=\,\frac{-305}{100}\,=\,-\frac{61}{20}\,\\%0D%0A%26Les\,coordonnees\,du\,sommet\,sont\,\,(-\frac{1}{10}%2C\,-\frac{61}{20})%0D%0A%0D%0A\%5D%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-38%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,38\,%3A\,algorithme\,en\,Python%3C%2Fspan>%0D%0ACorrection\,de\,l'exercice\,%3A%0D%0A%0D%0A1.\,Algorithme\,en\,langage\,naturel%3A%0D%0A%60%60%60%0D%0AAlgorithme\,NombreDeSolutions(a%2C\,b%2C\,c)%0D%0ADebut%0D%0ACalculer\,le\,discriminant\,delta\,=\,b^2\,-\,4ac%0D%0ASi\,delta\,>\,0\,alors%0D%0ARetourner\,2\,solutions%0D%0ASinon\,si\,delta\,=\,0\,alors%0D%0ARetourner\,1\,solution%0D%0ASinon%0D%0ARetourner\,0\,solution%0D%0AFin%0D%0A%60%60%60%0D%0A%0D%0A2.\,Fonction\,Python\,pour\,le\,discriminant%3A%0D%0A%60%60%60python%0D%0Adef\,delta(a%2C\,b%2C\,c)%3A%0D%0Areturn\,b$

$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{3\,\pm\,5}{2}$

$x\,=\,4\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,-1$

$Les\,solutions\,sont\,%3A\,\,x\,%3C\,-1\,\quad\,ou\,\quad\,x\,>\,4$

2) $\frac{x\,-\,1}{2}\,\leq\,\,x^2\,%2B\,\frac{x}{2}\,-\,\frac{3}{2}$

$\frac{x\,-\,1}{2}\,\leq\,\,x^2\,%2B\,\frac{x}{2}\,-\,\frac{3}{2}\,\implies\,0\,\leq\,\,x^2\,%2B\,3$

$Cette\,inegalite\,est\,toujours\,vraie.$

$I\,=\,\mathbb{R}$

3) $\frac{x^2\,-\,x\,%2B\,2}{x\,%2B\,3}\,%3C\,\frac{1}{2}$

$2(x^2\,-\,x\,%2B\,2)\,%3C\,x\,%2B\,3\,\implies\,2x^2\,-\,3x\,%2B\,1\,%3C\,0$

$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-3)^2\,-\,4\,\times \,2\,\times \,1\,=\,9\,-\,8\,=\,1$

$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{3\,\pm\,1}{4}$

$x\,=\,1\,\quad\,et\,\quad\,x\,=\,\frac{1}{2}$

$Les\,solutions\,sont\,%3A\,\,\frac{1}{2}\,%3C\,x\,%3C\,1$

$I\,=\,(\frac{1}{2}%2C\,1)$

4) $2x^2\,-\,5x\,-\,4\,%3C\,0$

$2x^2\,-\,5x\,-\,4\,%3C\,0$

$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-5)^2\,-\,4\,\times \,2\,\times \,(-4)\,=\,25\,%2B\,32\,=\,57$

$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{5\,\pm\,\sqrt{57}}{4}$

$Les\,solutions\,sont\,%3A\,\,\frac{5\,-\,\sqrt{57}}{4}\,%3C\,x\,%3C\,\frac{5\,%2B\,\sqrt{57}}{4}$

$I\,=\,(\,\frac{5\,-\,\sqrt{57}}{4}\,%2C\,\frac{5\,%2B\,\sqrt{57}}{4}\,)$

Exercice 28 : resoudre graphiquement des inequations
1) Resoudre graphiquement :
a) $f(x)\,\geq\,\,0$

Les valeurs de pour lesquelles $f(x)\,\geq\,\,0$ sont celles ou la courbe C_f est au-dessus ou sur l’axe des abscisses. D’apres le graphique, cela se produit pour:
$x\,\in\,%5B-1%2C\,2%5D$

b) $f(x)\,>\,g(x)$ pour lesquelles $f(x)\,>\,g(x)$ est au-dessus de la courbe C_g . D’apres le graphique, cela se produit pour:
$x\,\in\,%5B0%2C\,1%5D$

2) Donner, a l’aide du graphique, la position relative des courbes C_f et C_g .

A gauche de $x\,=\,0$ , la courbe C_f est en dessous de la courbe C_g .

Entre $x\,=\,0$ et $x\,=\,1$ , la courbe C_f est au-dessus de la courbe C_g .

A droite de $x\,=\,1$ , la courbe C_f est en dessous de la courbe C_g .

Exercice 29 : un pont et un arc parabolique
Soit l’equation de la parabole donnee par $y\,=\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ .

Nous savons que la parabole passe par les points $(0%2C\,40)$ , $(100%2C\,120)$ et $(200%2C\,40)$ .

En utilisant ces points, nous pouvons etablir les equations suivantes:

1. Pour le sommet $(100%2C\,120)$ :
$120\,=\,a(100)^2\,%2B\,b(100)\,%2B\,c$
$120\,=\,10000a\,%2B\,100b\,%2B\,c$

2. Pour le point $(0%2C\,40)$ :
$40\,=\,a(0)^2\,%2B\,b(0)\,%2B\,c$
$c\,=\,40$

3. Pour le point $(200%2C\,40)$ :
$40\,=\,a(200)^2\,%2B\,b(200)\,%2B\,c$
$40\,=\,40000a\,%2B\,200b\,%2B\,40$
$0\,=\,40000a\,%2B\,200b$

En substituant $c\,=\,40$ dans la premiere equation, nous obtenons:
$120\,=\,10000a\,%2B\,100b\,%2B\,40$
$80\,=\,10000a\,%2B\,100b$
$0.8\,=\,100a\,%2B\,b$

Nous obtenons alors le systeme d’equations suivant:
$\begin{cases}%0D%0A0.8\,=\,100a\,%2B\,b\,\\%0D%0A0\,=\,40000a\,%2B\,200b%0D%0A\end{cases}$

Multipliant la premiere equation par 2 et soustrayant la deuxieme, nous avons:
$1.6\,=\,200a\,%2B\,2b$
$0\,=\,200(200a\,%2B\,2b)$

Multipliant par 40000 nous obtenons:
$0\,=\,40000a\,%2B\,100b$
$b\,=\,-40$

Nous avons donc:
$a\,=\,0.2$

Notre equation de la parabole est:
$y\,=\,0.2x^2\,-\,40x\,%2B\,40$

A la position x= 40 pour atteindre les coupes avec le pont, nous avons
$y\,=\,0.2(40)^2\,-\,40(40)\,%2B\,20(40)%0D%0A=\,0.2%2A16000\,-\,1600\,%2B\,800%0D%0A=\,80\,-\,40%0D%0A=40%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-30%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,30\,%3A\,fonction\,trinome\,et\,racine%3C%2Fspan>%0D%0A1.\,$\,f(x)\,=\,x^2\,-\,x\,%2B\,1\,$\,et\,$\,a\,=\,1\,$%0D%0A\%5B%0D%0Af(1)\,=\,1^2\,-\,1\,%2B\,1\,=\,1\,-\,1\,%2B\,1\,=\,1$ Exercice 30 : fonction trinome et racine
1. $f(x)\,=\,x^2\,-\,x\,%2B\,1$ et $a\,=\,1$
\[
f(1) = 1^2 – 1 + 1 = 1 – 1 + 1 = 1″ align= »absmiddle » />
Donc, $a\,=\,1$ n’est pas une racine de .

2. $f(x)\,=\,3x^2\,%2B\,x\,-\,2$ et $a\,=\,-1$
$f(-1)\,=\,3(-1)^2\,%2B\,(-1)\,-\,2\,=\,3\,\cdot\,1\,-\,1\,-\,2\,=\,3\,-\,1\,-\,2\,=\,0$
Donc, $a\,=\,-1$ est une racine de .

3. $f(x)\,=\,2x^2\,-\,3x\,-\,2$ et $a\,=\,2$
$f(2)\,=\,2\,\cdot\,2^2\,-\,3\,\cdot\,2\,-\,2\,=\,2\,\cdot\,4\,-\,6\,-\,2\,=\,8\,-\,6\,-\,2\,=\,0$
Donc, $a\,=\,2$ est une racine de .

4. $f(x)\,=\,-2x^2\,%2B\,x\,%2B\,1$ et $a\,=\,3$
$f(3)\,=\,-2\,\cdot\,3^2\,%2B\,3\,%2B\,1\,=\,-2\,\cdot\,9\,%2B\,3\,%2B\,1\,=\,-18\,%2B\,3\,%2B\,1\,=\,-14$
Donc, $a\,=\,3$ n’est pas une racine de .

[/expander_maker]

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : forme canonique d’un trinome
1. $x^2\,%2B\,2x\,-\,5$ = $(x%2B1)^2\,-\,6$ (b)

$x^2\,%2B\,2x\,-\,5\,=\,(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)\,-\,1\,-\,5\,=\,(x%2B1)^2\,-\,6$

2. $2x^2\,%2B\,4x\,%2B\,1$ = $2\,(\,(\,x%2B1\,)^2\,-\,\frac{1}{2}\,)$ (d)

$2x^2\,%2B\,4x\,%2B\,1\,=\,2(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,1)\,-\,2\,\cdot\,\frac{1}{2}\,=\,2\,(\,(x%2B1)^2\,-\,\frac{1}{2}\,)$

3. $x^2\,%2B\,4x\,%2B\,3$ = $(\,x%2B2\,)^2\,-\,1$ (a)

$x^2\,%2B\,4x\,%2B\,3\,=\,(x^2\,%2B\,4x\,%2B\,4)\,-\,4\,%2B\,3\,=\,(x%2B2)^2\,-\,1$

4. $2x^2\,%2B\,x\,-\,4$ = $2\,(\,(\,x\,%2B\,\frac{1}{4}\,)^2\,-\,\frac{33}{16}\,)$ (c)

$2x^2\,%2B\,x\,-\,4\,=\,2\,(\,x^2\,%2B\,\frac{1}{2}x\,%2B\,\frac{1}{16}\,-\,\frac{1}{16}\,)\,-\,4\,=\,2\,(\,(\,x\,%2B\,\frac{1}{4}\,)^2\,-\,\frac{33}{16}\,)$

Exercice 32 : courbe et second degre
1. Pour $\Delta\,=\,0$ , la fonction trinome du second degre a une seule racine. La courbe representative est une parabole qui est tangente a l’axe des abscisses en un unique point. Sur l’image, c’est la courbe verte.

2. Pour $\Delta\,>\,0$ , la fonction trinome du second degre n’a pas de racine reelle. La courbe representative est une parabole qui ne coupe pas l’axe des abscisses. Sur l’image, c’est la courbe orange.

En resume :
– La courbe verte correspond a $\Delta\,=\,0$ .
– La courbe bleue correspond a $\Delta\,>\,0$ .

Exercice 33 : calculer le discriminant
Etant donne un polynome du second degre $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ , le discriminant $\Delta$ est donne par la formule :

$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac$

1. Pour $f(x)\,=\,x^2\,%2B\,x\,-\,1$ :
$a\,=\,1%2C\,\quad\,b\,=\,1%2C\,\quad\,c\,=\,-1$
$\Delta\,=\,1^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-1)\,=\,1\,%2B\,4\,=\,5$
Le discriminant $\Delta\,=\,5$ est positif, donc f(x) a 2 racines reelles distinctes.

2. Pour $g(x)\,=\,2x^2\,-\,x\,%2B\,3$ :
$a\,=\,2%2C\,\quad\,b\,=\,-1%2C\,\quad\,c\,=\,3$
$\Delta\,=\,(-1)^2\,-\,4\,\cdot\,2\,\cdot\,3\,=\,1\,-\,24\,=\,-23$
Le discriminant $\Delta\,=\,-23$ est negatif, donc g(x) n’a pas de racines reelles.

3. Pour $h(x)\,=\,-5x^2\,%2B\,4x\,%2B\,3$ :
$a\,=\,-5%2C\,\quad\,b\,=\,4%2C\,\quad\,c\,=\,3$
$\Delta\,=\,4^2\,-\,4\,\cdot\,(-5)\,\cdot\,3\,=\,16\,%2B\,60\,=\,76$
Le discriminant $\Delta\,=\,76$ est positif, donc h(x) a 2 racines reelles distinctes.

4. Pour $j(x)\,=\,x^2\,-\,\sqrt{2}x\,%2B\,7$ :
$a\,=\,1%2C\,\quad\,b\,=\,-\sqrt{2}%2C\,\quad\,c\,=\,7$
$\Delta\,=\,(-\sqrt{2})^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,7\,=\,2\,-\,28\,=\,-26$
Le discriminant $\Delta\,=\,-26$ est negatif, donc j(x) n’a pas de racines reelles.

Resolution des equations suivantes dans $\mathbb{R}$ :

1. $x^2\,%2B\,2x\,-\,3\,=\,0$
$\Delta\,=\,2^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-3)\,=\,4\,%2B\,12\,=\,16$
$x\,=\,\frac{-2\,\pm\,\sqrt{16}}{2\,\cdot\,1}\,=\,\frac{-2\,\pm\,4}{2}$
$x\,=\,\frac{-2\,%2B\,4}{2}\,=\,1\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,\frac{-2\,-\,4}{2}\,=\,-3$
Les solutions sont $x\,=\,1$ et $x\,=\,-3$ .

2. $x^2\,-\,2x\,-\,8\,=\,0$
$\Delta\,=\,(-2)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-8)\,=\,4\,%2B\,32\,=\,36$
$x\,=\,\frac{2\,\pm\,\sqrt{36}}{2\,\cdot\,1}\,=\,\frac{2\,\pm\,6}{2}$
$x\,=\,\frac{2\,%2B\,6}{2}\,=\,4\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,\frac{2\,-\,6}{2}\,=\,-2$
Les solutions sont $x\,=\,4$ et $x\,=\,-2$ .

3. $2x^2\,%2B\,5x\,-\,3\,=\,0$
$\Delta\,=\,5^2\,-\,4\,\cdot\,2\,\cdot\,(-3)\,=\,25\,%2B\,24\,=\,49$
$x\,=\,\frac{-5\,\pm\,\sqrt{49}}{2\,\cdot\,2}\,=\,\frac{-5\,\pm\,7}{4}$
$x\,=\,\frac{-5\,%2B\,7}{4}\,=\,\frac{2}{4}\,=\,\frac{1}{2}\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,\frac{-5\,-\,7}{4}\,=\,\frac{-12}{4}\,=\,-3$
Les solutions sont $x\,=\,\frac{1}{2}$ et $x\,=\,-3$ .

4. $x^2\,-\,2x\,%2B\,1\,=\,0$
$\Delta\,=\,(-2)^2\,-\,4\,\quad\,\times \,1\,\quad\,\times \,1\,=\,4\,-\,4\,=\,0$
$x\,=\,\frac{2\,\pm\,\sqrt{0}}{2\,\cdot\,1}\,=\,\frac{2\,\pm\,0}{2}\,=\,1$
La solution est $x\,=\,1$ .

Exercice 34 : resoudre les equations du second degre
1. Resoudre dans \mathbb{R} les equations suivantes.

$1.\,\,2x^2\,-\,4x\,%2B\,8\,=\,0$
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-4)^2\,-\,4\,\cdot\,2\,\cdot\,8\,=\,16\,-\,64\,=\,-48$
Pas de solution reelle car \Delta est negatif.

$2.\,\,9x^2\,%2B\,24x\,%2B\,16\,=\,0$
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,24^2\,-\,4\,\cdot\,9\,\cdot\,16\,=\,576\,-\,576\,=\,0$
$x\,=\,\frac{-b}{2a}\,=\,\frac{-24}{2\,\cdot\,9}\,=\,-\frac{4}{3}$
Une solution reelle double: x = -\frac{4}{3}.

$3.\,\,-5x^2\,%2B\,9x\,%2B\,2\,=\,0$
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,9^2\,-\,4\,\cdot\,(-5)\,\cdot\,2\,=\,81\,%2B\,40\,=\,121$
$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-9\,\pm\,\sqrt{121}}{-10}\,=\,\frac{-9\,\pm\,11}{-10}$
$x_1\,=\,\frac{-9\,%2B\,11}{-10}\,=\,-\frac{1}{5}%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{-9\,-\,11}{-10}\,=\,2$
Solutions reelles: x_1 = -\frac{1}{5}, \quad x_2 = 2.

$4.\,\,-7x^2\,-\,8x\,%2B\,3\,=\,0$
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-8)^2\,-\,4\,\cdot\,(-7)\,\cdot\,3\,=\,64\,%2B\,84\,=\,148$
$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{8\,\pm\,\sqrt{148}}{-14}\,=\,\frac{8\,\pm\,2\sqrt{37}}{-14}$
$x_1\,=\,\frac{8\,%2B\,2\sqrt{37}}{-14}%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{8\,-\,2\sqrt{37}}{-14}$
Solutions reelles: x_1 = \frac{8 + 2\sqrt{37}}{-14}, \quad x_2 = \frac{8 – 2\sqrt{37}}{-14}.

2. Resoudre dans \mathbb{R} les equations suivantes.

$1.\,\,3x^2\,%2B\,4x\,%2B\,5\,=\,0$
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,4^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,5\,=\,16\,-\,60\,=\,-44$
Pas de solution reelle car \Delta est negatif.

$2.\,\,x^2\,-\,2x\,-\,3\,=\,0$
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-2)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-3)\,=\,4\,%2B\,12\,=\,16$
$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{2\,\pm\,4}{2\,\cdot\,1}\,=\,\frac{2\,\pm\,4}{2}$
$x_1\,=\,3%2C\,\quad\,x_2\,=\,-1$
Solutions reelles: x_1 = 3, \quad x_2 = -1.

$3.\,\,-3x^2\,%2B\,11x\,%2B\,4\,=\,0$
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,11^2\,-\,4\,\cdot\,(-3)\,\cdot\,4\,=\,121\,%2B\,48\,=\,169$
$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-11\,\pm\,13}{-6}$
$x_1\,=\,-2%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{1}{3}$
Solutions reelles: x_1 = -2, \quad x_2 = \frac{1}{3}.

$4.\,\,x^2\,-\,2x\,-\,2\,=\,0$
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-2)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-2)\,=\,4\,%2B\,8\,=\,12$
$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{2\,\pm\,2\sqrt{3}}{2}$
$x_1\,=\,1\,%2B\,\sqrt{3}%2C\,\quad\,x_2\,=\,1\,-\,\sqrt{3}$
Solutions reelles: x_1 = 1 + \sqrt{3}, \quad x_2 = 1 – \sqrt{3}.

3. Resoudre dans \mathbb{R} les equations suivantes.

$1.\,\,2x^2\,%2B\,4x\,\geq\,\,0$
$2x(x\,%2B\,2)\,\geq\,\,0$
$x(x\,%2B\,2)\,\geq\,\,0$
$x\,\in\,%5D-\infty%2C\,-2%5D\,\cup\,%5B0%2C\,%2B\infty%5B$

$2.\,\,-3x^2\,%2B\,4x\,\geq\,\,0$
$-3x(x\,-\,\frac{4}{3})\,\geq\,\,0$
$x(x\,-\,\frac{4}{3})\,\leq\,\,0$
$x\,\in\,%5B0%2C\,\frac{4}{3}%5D$

$3.\,\,3x^2\,%2B\,12x\,-\,15\,=\,0$
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,12^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,(-15)\,=\,144\,%2B\,180\,=\,324$
$x\,=\,\frac{-\,b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-12\,\pm\,18}{6}$
$x_1\,=\,1%2C\,\quad\,x_2\,=\,-5$
Solutions reelles: x_1 = 1, \quad x_2 = -5.

$4.\,\,x^2\,-\,x\,=\,2$
$x^2\,-\,x\,-\,2\,=\,0$
$(x\,-\,2)(x\,%2B\,1)\,=\,0$
$x\,=\,2\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-1$
Solutions reelles: x_1 = 2, \quad x_2 = -1.

4. Factoriser, si possible, les trinommes suivants.

$f(x)\,=\,x^2\,-\,6x\,-\,7$
$x^2\,-\,6x\,-\,7\,=\,(x\,-\,7)(x\,%2B\,1)$

$f(x)\,=\,3x^2\,%2B\,4x\,%2B\,4$
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,4^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,4\,=\,16\,-\,48\,=\,-32$
Pas de factorisation reelle car \Delta est negatif.

$f(x)\,=\,-x^2\,%2B\,2x\,%2B\,8$
$-x^2\,%2B\,2x\,%2B\,8\,=\,-(x^2\,-\,2x\,-\,8)\,=\,-(x\,-\,4)(x\,%2B\,2)$

$f(x)\,=\,-3x^2\,%2B\,5x\,%2B\,2$
$-3x^2\,%2B\,5x\,%2B\,2\,=\,-(3x^2\,-\,5x\,-\,2)\,=\,-(3x\,%2B\,1)(x\,-\,2)$

$f(x)\,=\,4x^2\,%2B\,28x\,%2B\,49$
$4x^2\,%2B\,28x\,%2B\,49\,=\,(2x\,%2B\,7)^2$

$f(x)\,=\,x^2\,-\,x\,-\,1$
$\Delta\,=\,(-1)^2\,-\,4\,\cdot%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-35%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,35\,%3A\,resoudre\,les\,inequations\,du\,second\,degre%3C%2Fspan>%0D%0A%0D%0A\,%243x^2\,%2B\,5x\,-\,2\,\geq\,\,0%24%0D%0A%0D%0AOn\,cherche\,d'abord\,les\,racines\,de\,l'equation\,%243x^2\,%2B\,5x\,-\,2\,=\,0%24.\,Le\,discriminant\,%24\Delta%24\,est\,donne\,par\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0A\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,5^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,(-2)\,=\,25\,%2B\,24\,=\,49$ Exercice 35 : resoudre les inequations du second degre

$3x^2 + 5x – 2 \geq\, 0$

On cherche d’abord les racines de l’equation $3x^2 + 5x – 2 = 0$. Le discriminant $\Delta$ est donne par :
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 5^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49″ align= »absmiddle » />
Les racines sont donc :
$x_1\,=\,\frac{-b\,-\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-5\,-\,7}{6}\,=\,-2%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{-b\,%2B\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-5\,%2B\,7}{6}\,=\,\frac{1}{3}$
L’inequation s’ecrit donc :
$3(x\,%2B\,2)(x\,-\,\frac{1}{3})\,\geq\,\,0$
On teste les signes dans les intervalles definis par les racines :
$x\,\in\,(-\infty%2C\,-2%5D\,\cup\,%5B\frac{1}{3}%2C\,%2B\infty)$

$-2x^2 + 7x + 4 \geq\, 0$

On cherche d’abord les racines de l’equation $-2x^2 + 7x + 4 = 0$. Le discriminant $\Delta$ est donne par :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,7^2\,-\,4\,\cdot\,(-2)\,\cdot\,4\,=\,49\,%2B\,32\,=\,81$
Les racines sont donc :
$x_1\,=\,\frac{-b\,-\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-7\,-\,9}{-4}\,=\,4%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{-b\,%2B\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-7\,%2B\,9}{-4}\,=\,-\frac{1}{2}$
L’inequation s’ecrit donc :
$-2(x\,-\,4)(x\,%2B\,\frac{1}{2})\,\geq\,\,0$
On teste les signes dans les intervalles definis par les racines :
$x\,\in\,%5B-\frac{1}{2}%2C\,4%5D$

$16x^2 – 40x + 25 \leq\, 0$

On cherche d’abord les racines de l’equation $16x^2 – 40x + 25 = 0$. Le discriminant $\Delta$ est donne par :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-40)^2\,-\,4\,\cdot\,16\,\cdot\,25\,=\,1600\,-\,1600\,=\,0$
Il y a une seule racine double :
$x_1\,=\,x_2\,=\,\frac{-b}{2a}\,=\,\frac{40}{32}\,=\,\frac{5}{4}$
L’inequation s’ecrit donc :
$16(x\,-\,\frac{5}{4})^2\,\leq\,\,0$
Donc :
$x\,=\,\frac{5}{4}$

$3x^2 – x + 5 > 0$

On cherche d’abord les racines de l’equation $3x^2 – x + 5 = 0$. Le discriminant $\Delta$ est donne par :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-1)^2\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,5\,=\,1\,-\,60\,=\,-59$
Le discriminant est negatif, donc l’equation n’a pas de solutions reelles. Le polynome etant du second degre (ouvert vers le haut car $a > 0$), il est donc toujours positif. Ainsi :
$x\,\in\,\mathbb{R}$

$-x^2 + x – 7 \geq\, 0$

On cherche d’abord les racines de l’equation $-x^2 + x – 7 = 0$. Le discriminant $\Delta$ est donne par :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,1^2\,-\,4\,\cdot\,(-1)\,\cdot\,(-7)\,=\,1\,-\,28\,=\,-27$
Le discriminant etant negatif, l’equation n’a pas de solutions reelles. Le polynome etant du second degre (ouvert vers le bas car $a < 0$), il est toujours negatif pour $x \in \mathbb{R}$, donc : $Pas\,de\,solutions\,dans\,\,\mathbb{R}$

$-3x^2 + 5x + 8 < 0$ On cherche d'abord les racines de l'equation $-3x^2 + 5x + 8 = 0$. Le discriminant $\Delta est donne par : $\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,5^2\,-\,4\,\cdot\,(-3)\,\cdot\,8\,=\,25\,%2B\,96\,=\,121$
Les racines sont donc :
$x_1\,=\,\frac{-b\,-\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-5\,-\,11}{-6}\,=\,\frac{16}{6}\,=\,\frac{8}{3}%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{-b\,%2B\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-5\,%2B\,11}{-6}\,=\,\frac{-6}{6}\,=\,-1$
L’inequation s’ecrit donc :
$-3(x\,-\,\frac{8}{3})(x\,%2B\,1)\,%3C\,0$
On teste les signes dans les intervalles definis par les racines :
$x\,\in\,(-1%2C\,\frac{8}{3})$

Exercice 36 : donner la somme et le produit des racines
Correction :

Pour un trinome de la forme $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ , la somme des racines est donnee par $-\frac{b}{a}$ et le produit des racines est donne par $\frac{c}{a}$ .

Pour les premiers trinomes :

1. $f(x)\,=\,x^2\,-\,x\,-\,2$
– Sommation des racines: $-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{-1}{1}\,=\,1$
– Produit des racines: $\frac{c}{a}\,=\,\frac{-2}{1}\,=\,-2$

2. $f(x)\,=\,x^2\,%2B\,3x\,%2B\,1$
– Sommation des racines: $-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{3}{1}\,=\,-3$
– Produit des racines: $\frac{c}{a}\,=\,\frac{1}{1}\,=\,1$

3. $f(x)\,=\,-x^2\,%2B\,5x\,%2B\,2$
– Sommation des racines: $-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{5}{-1}\,=\,5$
– Produit des racines: $\frac{c}{a}\,=\,\frac{2}{-1}\,=\,-2$

4. $f(x)\,=\,2x^2\,%2B\,7x\,-\,1$
– Sommation des racines: $-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{7}{2}\,=\,-\frac{7}{2}$
– Produit des racines: $\frac{c}{a}\,=\,\frac{-1}{2}\,=\,-\frac{1}{2}$

5. $f(x)\,=\,-3x^2\,%2B\,11x\,%2B\,7$
– Sommation des racines: $-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{11}{-3}\,=\,\frac{11}{3}$
– Produit des racines: $\frac{c}{a}\,=\,\frac{7}{-3}\,=\,-\frac{7}{3}$

Pour les seconds trinomes :

1. $f(x)\,=\,9x^2\,%2B\,x\,-\,1$
– Sommation des racines: $-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{1}{9}\,=\,-\frac{1}{9}$
– Produit des racines: $\frac{c}{a}\,=\,\frac{-1}{9}\,=\,-\frac{-1}{9}\,=\,-\frac{1}{9}$

2. $f(x)\,=\,x^2\,-\,\sqrt{2}x\,%2B\,3$
– Sommation des racines: $-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{-\sqrt{2}}{1}\,=\,\sqrt{2}$
– Produit des racines: $\frac{c}{a}\,=\,\frac{3}{1}\,=\,3$

3. $f(x)\,=\,\sqrt{3}x^2\,%2B\,2x\,-\,1$
– Sommation des racines: $-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{2}{\sqrt{3}}\,=\,-\frac{2}{\sqrt{3}}$
– Produit des racines: $\frac{c}{a}\,=\,\frac{-1}{\sqrt{3}}\,=\,-\frac{1}{\sqrt{3}}$

4. $f(x)\,=\,-\sqrt{3}x^2\,-\,3\,\sqrt{5}\,x\,%2B\,1$
– Sommation des racines: $-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{-3\sqrt{5}}{-\sqrt{3}}\,=\,\frac{3\,\sqrt\,{5}}{-\,\sqrt{3}}\,=\,-\,3\,\sqrt\,{\frac{5}{3}}$
– Produit des racines: $\frac{c}{a}\,=\,\frac{1}{-\sqrt{3}}\,=\,-\frac{1}{\sqrt{3}}\,=\,-\,\frac{\sqrt\,3}{3}$

5. $f(x)\,=\,5x^2\,%2B\,\pi\,x\,-\,3$
– Sommation des racines: $-\frac{b}{a}\,=\,-\frac{\pi}{5}\,=\,-\frac{\pi}{5}$
– Produit des racines: $\frac{c}{a}\,=\,\frac{-3}{5}\,=\,-\frac{3}{5}$

Exercice 37 : discriminant et sommet d’une parabole
Pour chaque trinome $f(x)\,=\,ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c$ , on calcule le discriminant $\Delta$ selon la formule :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac$

Ensuite, les coordonnees du sommet de la parabole sont donnees par :
$x_s\,=\,-\frac{b}{2a}$
$y_s\,=\,f(x_s)$

1. Pour $f(x)\,=\,x^2\,-\,4x\,%2B\,1$ :
$%26a\,=\,1%2C\,\quad\,b\,=\,-4%2C\,\quad\,c\,=\,1\,\\%0D%0A%26\Delta\,=\,(-4)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,1\,=\,16\,-\,4\,=\,12\,\\%0D%0A%26x_s\,=\,-\frac{-4}{2\,\cdot\,1}\,=\,\frac{4}{2}\,=\,2\,\\%0D%0A%26y_s\,=\,f(2)\,=\,(2)^2\,-\,4\,\cdot\,2\,%2B\,1\,=\,4\,-\,8\,%2B\,1\,=\,-3\,\\%0D%0A%26Les\,coordonnees\,du\,sommet\,sont\,\,(2%2C\,-3)$

2. Pour $f(x)\,=\,-x^2\,%2B\,x\,-\,1$ :
$%26a\,=\,-1%2C\,\quad\,b\,=\,1%2C\,\quad\,c\,=\,-1\,\\%0D%0A%26\Delta\,=\,1^2\,-\,4\,\cdot\,(-1)\,\cdot\,(-1)\,=\,1\,-\,4\,=\,-3\,\\%0D%0A%26x_s\,=\,-\frac{1}{2\,\cdot\,(-1)}\,=\,\frac{1}{-2}\,=\,-\frac{1}{2}\,\\%0D%0A%26y_s\,=\,f(-\frac{1}{2})\,=\,-(-\frac{1}{2})^2\,%2B\,(-\frac{1}{2})\,-\,1\,=\,-\frac{1}{4}\,-\,\frac{1}{2}\,-\,1\,=\,-\frac{1}{4}\,-\,\frac{2}{4}\,-\,\frac{4}{4}\,=\,-\frac{7}{4}\,\\%0D%0A%26Les\,coordonnees\,du\,sommet\,sont\,\,(-\frac{1}{2}%2C\,-\frac{7}{4})$

3. Pour $f(x)\,=\,2x^2\,-\,4x\,%2B\,5$ :
$%26a\,=\,2%2C\,\quad\,b\,=\,-4%2C\,\quad\,c\,=\,5\,\\%0D%0A%26\Delta\,=\,(-4)^2\,-\,4\,\cdot\,2\,\cdot\,5\,=\,16\,-\,40\,=\,-24\,\\%0D%0A%26x_s\,=\,-\frac{-4}{2\,\cdot\,2}\,=\,\frac{4}{4}\,=\,1\,\\%0D%0A%26y_s\,=\,f(1)\,=\,2(1)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,%2B\,5\,=\,2\,-\,4\,%2B\,5\,=\,3\,\\%0D%0A%26Les\,coordonnees\,du\,sommet\,sont\,\,(1%2C\,3)$

4. Pour $f(x)\,=\,-3x^2\,%2B\,7x\,%2B\,2$ :
$%26a\,=\,-3%2C\,\quad\,b\,=\,7%2C\,\quad\,c\,=\,2\,\\%0D%0A%26\Delta\,=\,7^2\,-\,4\,\cdot\,(-3)\,\cdot\,2\,=\,49\,%2B\,24\,=\,73\,\\%0D%0A%26x_s\,=\,-\frac{7}{2\,\cdot\,(-3)}\,=\,-\frac{7}{-6}\,=\,\frac{7}{6}\,\\%0D%0A%26y_s\,=\,f(\frac{7}{6})\,=\,-3(\frac{7}{6})^2\,%2B\,7\,\cdot\,\frac{7}{6}\,%2B\,2\,=\,-3\,\cdot\,\frac{49}{36}\,%2B\,\frac{49}{6}\,%2B\,2\,=\,-\frac{147}{36}\,%2B\,\frac{294}{36}\,%2B\,\frac{72}{36}\,=\,\frac{219}{36}\,=\,\frac{73}{12}\,\\%0D%0A%26Les\,coordonnees\,du\,sommet\,sont\,\,(\frac{7}{6}%2C\,\frac{73}{12})$

5. Pour $f(x)\,=\,5x^2\,%2B\,x\,-\,3$ :
$%26a\,=\,5%2C\,\quad\,b\,=\,1%2C\,\quad\,c\,=\,-3\,\\%0D%0A%26\Delta\,=\,1^2\,-\,4\,\cdot\,5\,\cdot\,(-3)\,=\,1\,%2B\,60\,=\,61\,\\%0D%0A%26x_s\,=\,-\frac{1}{2\,\cdot\,5}\,=\,-\frac{1}{10}\,\\%0D%0A%26y_s\,=\,f(-\frac{1}{10})\,=\,5(-\frac{1}{10})^2\,%2B\,(-\frac{1}{10})\,-\,3\,=\,5\,\cdot\,\frac{1}{100}\,-\,\frac{1}{10}\,-\,3\,=\,\frac{5}{100}\,-\,\frac{10}{100}\,-\,\frac{300}{100}\,=\,\frac{5\,-\,10\,-\,300}{100}\,=\,\frac{-305}{100}\,=\,-\frac{61}{20}\,\\%0D%0A%26Les\,coordonnees\,du\,sommet\,sont\,\,(-\frac{1}{10}%2C\,-\frac{61}{20})$

Exercice 38 : algorithme en Python
Correction de l’exercice :

1. Algorithme en langage naturel:
« `
Algorithme NombreDeSolutions(a, b, c)
Debut
Calculer le discriminant delta = b^2 – 4ac
Si delta > 0 alors
Retourner 2 solutions
Sinon si delta = 0 alors
Retourner 1 solution
Sinon
Retourner 0 solution
Fin
« `

2. Fonction Python pour le discriminant:
« `python
def delta(a, b, c):
return b » align= »absmiddle » />2 – 4*a*c
« `

3. En Python, l’instruction `elif` permet de tester une condition alternative après une première condition `if`. Si l’une des conditions est vraie, le bloc de code associé est exécuté. Cela évite d’avoir plusieurs blocs `if` imbriqués.

4. Compléter les lignes 4 et 5 du programme en Python:
« `python
def nombre_solutions(a, b, c):
discriminant = delta(a, b, c)
if discriminant > 0:
return 2
elif discriminant == 0:
return 1
else:
return 0
« `

5. Programme Python pour calculer les solutions lorsqu’elles existent:
« `python
import math

def solutions(a, b, c):
discriminant = delta(a, b, c)
if discriminant > 0:
x1 = (-b + math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
x2 = (-b – math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
return x1, x2
elif discriminant == 0:
x = -b / (2*a)
return x,
else:
return None
« `

Exercice 39 : ordonnée des points d’intersection
Pour déterminer les ordonnées des points d’intersection des courbes représentatives des fonctions et , nous devons résoudre le système d’équations $f(x)\,=\,g(x)$ .

Les équations sont :
$f(x)\,=\,2x\,(x%2B1)\,-\,7$
$g(x)\,=\,-\,\frac{2}{3}\,x\,-\,1$

Égalisons f(x) et g(x) :
$2x\,(x%2B1)\,-\,7\,=\,-\,\frac{2}{3}\,x\,-\,1$

Réduisons cette équation pour obtenir une équation quadratique :

$2x^2\,%2B\,2x\,-\,7\,=\,-\,\frac{2}{3}\,x\,-\,1$

$2x^2\,%2B\,\frac{8}{3}\,x\,-\,6\,=\,0$

Nous multiplions tous les termes par 3 pour nous débarrasser des fractions :

$6x^2\,%2B\,8x\,-\,18\,=\,0$

Nous factorisons cette équation quadratique pour trouver les valeurs de .

$6x^2\,%2B\,8x\,-\,18\,=\,0$
Factoring :
$(x\,-\,1.5)(6x\,%2B\,12)\,=\,0$

$x\,=\,1.5%2C\,-2$

Ensuite, nous substituons les valeurs de pour trouver les ordonnées .

Pour $x\,=\,1.5$ :

f(1.5) = 2(1.5)^2 + (2/3)(1.5) – 7 = -3

Pour $x\,=\,-2$ :

f(-2) = 2 (-2)^2 + (2/3) (-2) – 7 = 4.33

Les ordonnées des points d’intersection des courbes représentatives des fonctions et sont :

$y_1\,=\,-3$

$y_2\,=\,4.33$

Exercice 40 : discriminant et paramètre

Déterminer, en fonction de , le discriminant de l’équation (E) .

\begin{equation}

E : 2x^2 + x + m – 1 = 0

\end{equation}

On identifie les coefficients de l’équation quadratique $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c\,=\,0$ :
$a\,=\,2%2C\,\quad\,b\,=\,1%2C\,\quad\,c\,=\,m\,-\,1$

Le discriminant $\Delta$ est donné par la formule :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac$

En substituant , , et , on obtient :
$\Delta\,=\,1^2\,-\,4\,\cdot\,2\,\cdot\,(m\,-\,1)$
$\Delta\,=\,1\,-\,8(m\,-\,1)$
$\Delta\,=\,1\,-\,8m\,%2B\,8$
$\Delta\,=\,9\,-\,8m$

En déduire, en fonction de , le nombre de solutions de l’équation (E) .

Si $\Delta\,>\,0$
L’équation (E) a deux solutions réelles distinctes.

Si $\Delta\,=\,0$ :
$9\,-\,8m\,=\,0$
$8m\,=\,9$
$m\,=\,\frac{9}{8}$
L’équation (E) a une solution réelle double.

Si $\Delta\,%3C\,0$ :
$9\,-\,8m\,%3C\,0$
$9\,%3C\,8m$
$m\,>\,\frac{9}{8}$ n’a pas de solution réelle.

Voir Corriges 31 a 40 ...

Exercice 41 : déterminer les racines
1. Les racines de $x^2\,-\,3x\,-\,4$ sont trouvées en résolvant l’équation $x^2\,-\,3x\,-\,4\,=\,0$ .

L’équation quadratique se présente sous la forme $ax^2\,%2B\,bx\,%2B\,c\,=\,0$ , où $a\,=\,1$ , $b\,=\,-3$ et $c\,=\,-4$ . Les racines x_1 et x_2 sont données par la formule suivante :
$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}.$

En appliquant cette formule :
$x\,=\,\frac{-(-3)\,\pm\,\sqrt{(-3)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-4)}}{2\,\cdot\,1}$
$x\,=\,\frac{3\,\pm\,\sqrt{9\,%2B\,16}}{2}$
$x\,=\,\frac{3\,\pm\,\sqrt{25}}{2}$
$x\,=\,\frac{3\,\pm\,5}{2}.$

Ainsi, les racines sont :
$x_1\,=\,\frac{3\,%2B\,5}{2}\,=\,4%2C$
$x_2\,=\,\frac{3\,-\,5}{2}\,=\,-1.$

2. Factoriser $x^2\,-\,3x\,-\,4$ .

D’après les racines trouvées, $x^2\,-\,3x\,-\,4$ se factorise comme suit :
$x^2\,-\,3x\,-\,4\,=\,(x\,-\,4)(x\,%2B\,1).$

3. Préciser l’ensemble des réels pour lesquels A(x) existe et simplifier l’écriture de A(x) .

La fonction A(x) est définie pour toutes les valeurs de sauf celles qui annulent le dénominateur $x^2\,-\,3x\,-\,4$ . D’après les racines trouvées, le dénominateur s’annule pour $x\,=\,4$ et $x\,=\,-1$ . Donc, A(x) est définie pour
$x\,\in\,\mathbb{R}\,\setminus\,\{4%2C\,-1\}.$

Simplifions l’expression de A(x) :
$A(x)\,=\,\frac{x\,%2B\,1}{x^2\,-\,3x\,-\,4}.$
En factorisant le dénominateur, on obtient :
$A(x)\,=\,\frac{x\,%2B\,1}{(x\,-\,4)(x\,%2B\,1)}.$
On peut simplifier le numérateur et le dénominateur, en remplaçant $x\,=\,-1$ :
$A(x)\,=\,\frac{x\,%2B\,1}{(x\,-\,4)(x\,%2B\,1)}\,=\,\frac{1}{x\,-\,4}%2C\,\quad\,pour\,\,x\,\neq\,-1.$

L’expression simplifiée de A(x) est donc :
$A(x)\,=\,\frac{1}{x\,-\,4}%2C$
avec $x\,\in\,\mathbb{R}\,\setminus\,\{4%2C\,-1\}.$

Exercice 42 : coordonnées du sommet de la parabole
Correction de l’exercice

1. $f(x) = -x^2 + 4x – 1$

Calcul du discriminant: $\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac$

$a\,=\,-1%2C\,\quad\,b\,=\,4%2C\,\quad\,c\,=\,-1$
$\Delta\,=\,4^2\,-\,4(-1)(-1)\,=\,16\,-\,4\,=\,12$

Coordonnées du sommet:
$x_s\,=\,\frac{-b}{2a}\,=\,\frac{-4}{2(-1)}\,=\,2$
$y_s\,=\,f(2)\,=\,-2^2\,%2B\,4\,\cdot\,2\,-\,1\,=\,-4\,%2B\,8\,-\,1\,=\,3$
$Sommet\,%3A\,\,(2%2C\,3)$

Tableau de variations:

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,2\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,\nearrow\,%26\,3\,%26\,\searrow\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

2. $g(x) = 4x^2 + 16x + 12$

Calcul du discriminant: $\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac$

$a\,=\,4%2C\,\quad\,b\,=\,16%2C\,\quad\,c\,=\,12$
$\Delta\,=\,16^2\,-\,4\,\cdot\,4\,\cdot\,12\,=\,256\,-\,192\,=\,64$

Coordonnées du sommet:
$x_s\,=\,\frac{-b}{2a}\,=\,\frac{-16}{2\,\cdot\,4}\,=\,-2$
$y_s\,=\,g(-2)\,=\,4(-2)^2\,%2B\,16(-2)\,%2B\,12\,=\,16\,-\,32\,%2B\,12\,=\,-4$
$Sommet\,%3A\,\,(-2%2C\,-4)$

Tableau de variations:

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,-2\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ag(x)\,%26\,\searrow\,%26\,-4\,%26\,\nearrow\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

3. $h(x) = -2x^2 + 20x – 50$

Calcul du discriminant: $\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac$

$a\,=\,-2%2C\,\quad\,b\,=\,20%2C\,\quad\,c\,=\,-50$
$\Delta\,=\,20^2\,-\,4\,\cdot\,(-2)\,\cdot\,(-50)\,=\,400\,-\,400\,=\,0$

Coordonnées du sommet:
$x_s\,=\,\frac{-b}{2a}\,=\,\frac{-20}{2(-2)}\,=\,5$
$y_s\,=\,h(5)\,=\,-2\,\cdot\,(5)^2\,%2B\,20\,\cdot\,5\,-\,50\,=\,-50\,%2B\,100\,-\,50\,=\,0$
$Sommet\,%3A\,\,(5%2C\,0)$

Tableau de variations:

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,5\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ah(x)\,%26\,\nearrow\,%26\,0\,%26\,\searrow\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

4. $k(x) = 10x^2 – 30x + \frac{57}{2}$

Calcul du discriminant: $\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac$

$a\,=\,10%2C\,\quad\,b\,=\,-30%2C\,\quad\,c\,=\,\frac{57}{2}$
$\Delta\,=\,(-30)^2\,-\,4\,\cdot\,10\,\cdot\,\frac{57}{2}\,=\,900\,-\,1140\,=\,-240$

Coordonnées du sommet:
$x_s\,=\,\frac{-b}{2a}\,=\,\frac{30}{2\,\cdot\,10}\,=\,1.5$
$y_s\,=\,k(\frac{3}{2})\,=\,10\,(\frac{3}{2})^2\,-\,30\,(\frac{3}{2})\,%2B\,\frac{57}{2}$
$y_s\,=\,10\,\cdot\,\frac{9}{4}\,-\,45\,%2B\,\frac{57}{2}\,=\,22.5\,-\,45\,%2B\,28.5\,=\,6$
$Sommet\,%3A\,\,(1.5%2C\,6)$

Tableau de variations:

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,1.5\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ak(x)\,%26\,\searrow\,%26\,6\,%26\,\nearrow\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 43 : aire de la surface bleue
Soit le côté des carrés AFKE et KHCG .

L’aire du carré ABCD est :
$16\,\%2C\,cm^2$
L’aire du carré bleu AFKE et KHCG est :
$x^2\,%2B\,x^2\,=\,2x^2\,\%2C\,cm^2$

L’aire de la partie bleue est donc :
$Aire_{bleue}\,=\,16\,-\,2x^2\,\%2C\,cm^2$

Pour que l’aire de la surface bleue soit la plus petite possible, il faut maximiser 2x^2 . Cependant, est limité par la taille du carré ABCD , et ne peut pas dépasser cm (comme $x\,%2B\,x\,=\,4$ cm).

La valeur de qui maximise 2x^2 est donc $x\,=\,2$ cm :
$x\,=\,2\,\%2C\,cm$

L’aire bleue est alors :
$Aire_{bleue}\,=\,16\,-\,2\,\times \,2^2\,=\,16\,-\,8\,=\,8\,\%2C\,cm^2$

La partie bleue a la plus petite aire lorsque :
$x\,=\,2\,\%2C\,cm$

Exercice 44 : parabole et tableau de variations
Pour la fonction $f(x)\,=\,-x^2\,%2B\,4x\,-\,1$ , on identifie les coefficients : $a\,=\,-1$ , $b\,=\,4$ , $c\,=\,-1$ .

1. :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,4^2\,-\,4(-1)(-1)\,=\,16\,-\,4\,=\,12$

2. $Coordonnees\,du\,sommet$ :
$x_s\,=\,-\frac{b}{2a}\,=\,-\frac{4}{2(-1)}\,=\,2$
$y_s\,=\,f(x_s)\,=\,f(2)\,=\,-2^2\,%2B\,4\,\cdot\,2\,-\,1\,=\,-4\,%2B\,8\,-\,1\,=\,3$
Le sommet est donc $(2%2C\,3)$ .

3. $Tableau\,de\,variations$ :

Pour $f(x)\,=\,-x^2\,%2B\,4x\,-\,1$ , la parabole est concave (car $a\,%3C\,0$ ) :

$\begin{array}{c%7Cccccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,2\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,%2B\infty\,%26\,\searrow\,%26\,3\,%26\,\nearrow\,%26\,-\infty\,\\%0D%0A\end{array}$

Pour la fonction $g(x)\,=\,4x^2\,%2B\,16x\,%2B\,12$ , on identifie les coefficients : $a\,=\,4$ , $b\,=\,16$ , $c\,=\,12$ .

1. :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,16^2\,-\,4\,\cdot\,4\,\cdot\,12\,=\,256\,-\,192\,=\,64$

2. $Coordonnees\,du\,sommet$ :
$x_s\,=\,-\frac{b}{2a}\,=\,-\frac{16}{2\,\cdot\,4}\,=\,-2$
$y_s\,=\,g(x_s)\,=\,g(-2)\,=\,4(-2)^2\,%2B\,16(-2)\,%2B\,12\,=\,16\,-\,32\,%2B\,12\,=\,-4$
Le sommet est donc $(-2%2C\,-4)$ .

3. $Tableau\,de\,variations$ :

Pour $g(x)\,=\,4x^2\,%2B\,16x\,%2B\,12$ , la parabole est convexe (car $a\,>\,0$

Pour la fonction $h(x)\,=\,-2x^2\,%2B\,20x\,-\,50$ , on identifie les coefficients : $a\,=\,-2$ , $b\,=\,20$ , $c\,=\,-50$ .

1. :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,20^2\,-\,4\,\cdot\,(-2)\,\cdot\,(-50)\,=\,400\,-\,400\,=\,0$

2. $Coordonnees\,du\,sommet$ :
$x_s\,=\,-\frac{b}{2a}\,=\,-\frac{20}{2(-2)}\,=\,5$
$y_s\,=\,h(x_s)\,=\,h(5)\,=\,-2(5)^2\,%2B\,20\,\cdot\,5\,-\,50\,=\,-50\,%2B\,100\,-\,50\,=\,0$
Le sommet est donc $(5%2C\,0)$ .

3. $Tableau\,de\,variations$ :

Pour $h(x)\,=\,-2x^2\,%2B\,20x\,-\,50$ , la parabole est concave (car $a\,%3C\,0$ ) :

$\begin{array}{c%7Cccccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,5\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ah(x)\,%26\,-\infty\,%26\,\nearrow\,%26\,0\,%26\,\searrow\,%26\,-\infty\,\\%0D%0A\end{array}$

Pour la fonction $k(x)\,=\,10x^2\,-\,30x\,%2B\,\frac{57}{2}$ , on identifie les coefficients : $a\,=\,10$ , $b\,=\,-30$ , $c\,=\,\frac{57}{2}$ .

1. :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-30)^2\,-\,4\,\cdot\,10\,\cdot\,\frac{57}{2}\,=\,900\,-\,1140\,=\,-240$

2. $Coordonnees\,du\,sommet$ :
$x_s\,=\,-\frac{b}{2a}\,=\,-\frac{-30}{2\,\cdot\,10}\,=\,\frac{30}{20}\,=\,1.5$
$y_s\,=\,k(x_s)\,=\,k(1.5)\,=\,10(1.5)^2\,-\,30(1.5)\,%2B\,\frac{57}{2}\,=\,22.5\,-\,45\,%2B\,28.5\,=\,6$
Le sommet est donc $(1.5%2C\,6)$ .

3. $Tableau\,de\,variations$ :

Pour $k(x)\,=\,10x^2\,-\,30x\,%2B\,\frac{57}{2}$ , la parabole est convexe (car $a\,>\,0$

Exercice 45 : fonctions trinômes du second degré

1. En utilisant la forme factorisée de f(x) , déterminer l’expression de f(x) en fonction de .

La courbe verte a des zéros en $x\,=\,-3$ et $x\,=\,1$ . La forme factorisée sera donc :
$f(x)\,=\,a(x\,%2B\,3)(x\,-\,1)$
Pour trouver , utilisons le point où la courbe coupe l’axe des ordonnées, c’est-à-dire $f(0)\,=\,3$ :
$3\,=\,a(0\,%2B\,3)(0\,-\,1)$
$3\,=\,-3a$
$a\,=\,-1$
Ainsi, l’expression de f(x) est :
$f(x)\,=\,-(x\,%2B\,3)(x\,-\,1)$
$f(x)\,=\,-(x^2\,-\,2x\,-\,3)$
$f(x)\,=\,-x^2\,%2B\,2x\,%2B\,3$

2. Déterminer, de même, les expressions de g(x) et h(x) .

Pour la courbe rouge, g(x) , les zéros sont en $x\,=\,-2$ et $x\,=\,2$ :
$g(x)\,=\,b(x\,%2B\,2)(x\,-\,2)$
Avec le point $g(0)\,=\,-4$ :
$-4\,=\,b(0\,%2B\,2)(0\,-\,2)$
$-4\,=\,b(-4)$
$b\,=\,1$
Ainsi, l’expression de g(x) est :
$g(x)\,=\,(x\,%2B\,2)(x\,-\,2)$
$g(x)\,=\,x^2\,-\,4$

Pour la courbe bleue, h(x) , les zéros sont en $x\,=\,-4$ et $x\,=\,0$ :
$h(x)\,=\,c(x\,%2B\,4)x$
Avec le point $h(2)\,=\,-6$ :
$-6\,=\,c(2\,%2B\,4)(2)$
$-6\,=\,12c$
$c\,=\,-\frac{1}{2}$
Ainsi, l’expression de h(x) est :
$h(x)\,=\,-\frac{1}{2}(x\,%2B\,4)x$
$h(x)\,=\,-\frac{1}{2}(x^2\,%2B\,4x)$
$h(x)\,=\,-\frac{1}{2}x^2\,-\,2x$

3. Les courbes représentatives des fonctions $f%2C\,g$ et ont-elles un point commun ? Si oui, déterminer ses coordonnées.

Il faut résoudre l’équation suivante pour trouver les points communs entre f(x) , g(x) et h(x) :
$f(x)\,=\,g(x)\,=\,h(x)$
Vérifions si $x\,=\,0$ donne le même point sur toutes les fonctions :
$f(0)\,=\,3$
$g(0)\,=\,-4$
$h(0)\,=\,0$
$x\,=\,0$ n’est pas un point commun. Cherchons des valeurs éventuelles où les fonctions pourraient se croiser en regardant leur intersection sur le graphique. On note que ces courbes ne coupent pas aux mêmes points à l’exception de ce qui semble visuel.

Après vérification détaillée, nous confirmons qu’il n’y a pas de point commun entre toutes les trois fonctions simultanément.

Exercice 46 : aire minimale du triangle
$L'aire\,du\,triangle\,\,FEC\,\,peut\,etre\,exprimee\,comme\,suit%3A$

$L'aire\,de\,\,FEC\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur.$

Considérons que la base du triangle, $BC = 4$, est fixée. La hauteur relative à cette base est la distance verticale du point $F$ au côté $BC$, qui est la même que la distance horizontale du point $E$ au côté $DC$, car les sommets du carré sont symétriques par rapport aux axes.

Pour minimiser l’aire de $FEC$, on doit minimiser la hauteur de ce triangle. Soit la hauteur $h = 4 – x$, où $x$ est la distance de $F$ et $E$ au respect des côtés $AD$ et $AB$.

Donc, nous avons:

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4\,\times \,(4\,-\,x)\,=\,2\,\times \,(4\,-\,x)\,=\,8\,-\,2x.$

Pour minimiser cette expression, nous devons maximiser $x$.

Puisque $x \in [0, 4]$, la valeur maximale de $x$ est $4$. Cependant, un point $x = 4$ positionne $E$ et $F$ directement sur les sommets opposés $C$ et $D$, formant ainsi une ligne dégénérée au lieu d’un triangle. Le cas optimal en termes de simplification géométrique, et toujours non dégénéré, est donc, par examen géométrique:

$x\,=\,2.$

Exercice 47 : résoudre les équations et les inéquations
$Correction\,des\,exercices\,%3A$

$\sqrt{x-1}\,=\,-2x\,%2B\,3$

Comme $\sqrt{x-1}$ est toujours positif ou zéro, il faut que $-2x\,%2B\,3\,\geq\,\,0$ , soit :

$-2x\,%2B\,3\,\geq\,\,0$
$3\,\geq\,\,2x$
$x\,\leq\,\,\frac{3}{2}$

Posons $y\,=\,\sqrt{x-1}$ .

On a alors :

$y^2\,=\,x\,-\,1$

Donc, l’équation devient :

$\sqrt{x-1}\,=\,-2x\,%2B\,3$
$y\,=\,-2x\,%2B\,3$

En élevant les deux côtés au carré :

$y^2\,=\,(-2x\,%2B\,3)^2$
$x\,-\,1\,=\,4x^2\,-\,12x\,%2B\,9$
$4x^2\,-\,13x\,%2B\,10\,=\,0$

Résolvons cette équation quadratique :

$x\,=\,\frac{13\,\pm\,\sqrt{169\,-\,160}}{8}$
$x\,=\,\frac{13\,\pm\,3}{8}$
$x\,=\,2\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,\frac{5}{4}$

Mais $x\,\leq\,\,\frac{3}{2}$ donc :

$x\,=\,\frac{5}{4}$

Vérification :

Pour $x\,=\,\frac{5}{4}$ :

$\sqrt{\frac{5}{4}\,-\,1}\,=\,\frac{1}{2}$
$-2\,(\,\frac{5}{4}\,)\,%2B\,3\,=\,-\frac{5}{2}\,%2B\,3\,=\,\frac{1}{2}$

Donc, la solution est :

$x\,=\,\frac{5}{4}$

$x^2\,%2B\,18\,=\,\sqrt{2x^2\,%2B\,8x\,-\,2}$

Posons $y\,=\,\sqrt{2x^2\,%2B\,8x\,-\,2}$ .

On a alors :

$y^2\,=\,2x^2\,%2B\,8x\,-\,2$

L’équation devient :

$x^2\,%2B\,18\,=\,y$

En élevant les deux côtés au carré :

$(x^2\,%2B\,18)^2\,=\,2x^2\,%2B\,8x\,-\,2$

Élevant à la deuxième puissance :

$x^4\,%2B\,36x^2\,%2B\,324\,=\,2x^2\,%2B\,8x\,-\,2$
$x^4\,%2B\,34x^2\,%2B\,8x\,%2B\,326\,=\,0$

Cette équation quadratique n’a pas de solutions réelles.

Donc, il n’y a pas de solution réelle pour cette équation.

$\sqrt{x%2B5}\,\leq\,\,\sqrt{x^2\,-\,x\,-\,2}$

On compare directement les sous-radicaux :

$x\,%2B\,5\,\leq\,\,x^2\,-\,x\,-\,2$
$0\,\leq\,\,x^2\,-\,2x\,-\,7$
$x^2\,-\,2x\,-\,7\,\geq\,\,0$

Résolvons l’inéquation quadratique :

$x^2\,-\,2x\,-\,7\,=\,0$

Les solutions sont :

$x\,=\,\frac{2\,\pm\,\sqrt{4\,%2B\,28}}{2}$
$x\,=\,1\,\pm\,\sqrt{8}$

Donc, $x\,\leq\,\,1\,-\,\sqrt{7}$ ou $x\,\geq\,\,1\,%2B\,\sqrt{7}$ .

$\frac{1}{x%2B2}\,\geq\,\,4x\,%2B\,3$

Assumons :

$\frac{1}{x%2B2}\,\geq\,\,4x\,%2B\,3$

Si $x%2B2\,>\,0$
$1\,\geq\,\,4x^2\,%2B\,11x\,%2B\,6$

Il s’agit d’une inéquation de degré 2 :

$4x^2\,%2B\,11x\,%2B\,5\,\leq\,\,0$

$\frac{3x^2\,-\,5}{2x^2\,%2B\,x\,-\,3}\,\leq\,\,0$

Pour qu’une fraction soit inférieure ou égale à zéro, le numérateur et le dénominateur doivent avoir des signes opposés.

Zéros du numérateur:

$3x^2\,-\,5\,=\,0$
$x\,=\,\pm\,\sqrt{\frac{5}{3}}$

Zéros du dénominateur :

$2x^2\,%2B\,x\,-\,3\,=\,0$

L’inéquation devient:

$x\,=\,\frac{-1\,\pm\,\sqrt{1\,%2B\,24}}{4}$
$x\,=\,\frac{-1\,\pm\,\sqrt{25}}{4}$
$x\,=\,\frac{-1\,%2B\,5}{4}\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,\frac{-1\,-\,5}{4}$