Second degré et polynômes : corrigés des exercices de maths en 1ère.

Exercice 11 : mettre sous forme canonique les fonctions polynômes

\[f(x) = \frac{1}{2} ( (x-3)^2 + 4 )\]

Développons l’expression :
\begin{align*}
f(x) = \frac{1}{2} ( (x-3)^2 + 4 ) \\
= \frac{1}{2} (x-3)^2 + \frac{1}{2} \cdot 4 \\
= \frac{1}{2} (x-3)^2 + 2
\end{align*}

L’expression canonique est donc :
\[
f(x) = \frac{1}{2} (x-3)^2 + 2
\]

\[g(x) = (x-3)^2 + (1-2x)^2\]

Développons l’expression :
\begin{align*}
g(x) = (x-3)^2 + (1-2x)^2 \\
= (x^2 – 6x + 9) + (4x^2 – 4x + 1) \\
= x^2 – 6x + 9 + 4x^2 – 4x + 1 \\
= 5x^2 – 10x + 10
\end{align*}

Mettons sous forme canonique :
\begin{align*}
g(x) = 5 ( x^2 – 2x + 2 ) \\
= 5 ( (x-1)^2 – 1 + 2 ) \\
= 5 ( (x-1)^2 + 1 ) \\
\end{align*}

L’expression canonique est donc :
\[
g(x) = 5 (x-1)^2 + 5
\]

\[h(x) = 2(x-1)(x+3)\]

Développons l’expression :
\begin{align*}
h(x) = 2(x-1)(x+3) \\
= 2(x^2 + 3x – x – 3) \\
= 2(x^2 + 2x – 3) \\
= 2x^2 + 4x – 6
\end{align*}

Mettons sous forme canonique :
\begin{align*}
h(x) = 2(x^2 + 2x – 3) \\
= 2 ( x^2 + 2x + 1 – 1 – 4 ) \\
= 2 ( (x+1)^2 – 4 ) \\
= 2(x+1)^2 – 8
\end{align*}

L’expression canonique est donc :
\[
h(x) = 2(x+1)^2 – 8
\]

\[k(t) = 2t^2 + 8t + 8\]

Facteurons le coefficient du carré :
\begin{align*}
k(t) = 2(t^2 + 4t + 4) \\
= 2(t^2 + 4t + 4) \\
= 2((t+2)^2)
\end{align*}

L’expression canonique est donc :
\[
k(t) = 2(t+2)^2
\]

Exercice 12 : minimum d’une fonction
Soit \( f(x) = \frac{1}{2}x^2 – 5x + \frac{39}{2} \).

1) Pour montrer que la forme canonique de \( f \) est \( f(x) = \frac{1}{2}(x-5)^2 + 7 \), nous allons compléter le carré.

\( f(x) = \frac{1}{2}x^2 – 5x + \frac{39}{2} \)

On commence par isoler le terme en \( x^2 \) et le terme en \( x \) :

\[ f(x) = \frac{1}{2} (x^2 – 10x) + \frac{39}{2} \]

Pour compléter le carré, on prend la moitié du coefficient de \( x \) (qui est \(-10\)), on trouve \(-5\), puis on élève au carré ce résultat :

\[ (-5)^2 = 25 \]

On ajoute et soustrait ce terme à l’intérieur de la parenthèse :

\[ f(x) = \frac{1}{2} (x^2 – 10x + 25 – 25) + \frac{39}{2} \]

\[ f(x) = \frac{1}{2} ((x – 5)^2 – 25) + \frac{39}{2} \]

On distribue \(\frac{1}{2}\) :

\[ f(x) = \frac{1}{2}(x – 5)^2 – \frac{1}{2} \cdot 25 + \frac{39}{2} \]

\[ f(x) = \frac{1}{2}(x – 5)^2 – \frac{25}{2} + \frac{39}{2} \]

\[ f(x) = \frac{1}{2}(x – 5)^2 + \frac{14}{2} \]

\[ f(x) = \frac{1}{2}(x – 5)^2 + 7 \]

Ce qui montre que la forme canonique de \( f \) est bien :

\[ f(x) = \frac{1}{2}(x – 5)^2 + 7 \]

2) Pour en déduire le minimum de \( f \) sur \( \mathbb{R} \), nous devons observer que la fonction sous la forme canonique \( f(x) = \frac{1}{2}(x – 5)^2 + 7 \) est une parabole ayant un minimum pour \( (x-5)^2 = 0 \), c’est-à-dire lorsque \( x = 5 \).

Ainsi, le minimum de \( f \) est :

\[ f(5) = \frac{1}{2}(5 – 5)^2 + 7 \]
\[ f(5) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 7 \]
\[ f(5) = 7 \]

Le minimum de \( f \) sur \( \mathbb{R} \) est donc :

\[ \boxed{7} \]

Exercice 13 : formes canoniques de fonctions
Pour corriger cet exercice, nous allons analyser les expressions proposées par les quatre élèves pour la fonction \( f(x) \).

La forme canonique d’une fonction quadratique est :

\[
f(x) = a(x-h)^2 + k
\]

où \( a \) est le coefficient de \( x^2 \), et \( (h, k) \) est le sommet de la parabole.

La fonction donnée est :

\[
f(x) = \frac{2}{3}x^2 + \frac{16}{3}x + \frac{17}{3}
\]

1. Coefficient de \( x^2 \) :

Le coefficient de \( x^2 \) dans la fonction initiale est \( \frac{2}{3} \). Ainsi, toute réécriture correcte de \( f(x) \) doit avoir ce coefficient.

– La réponse de Marina a le bon coefficient : \( \frac{2}{3}(x-4)^2 – 5 \).
– La réponse de Hicham a le bon coefficient : \( \frac{2}{3}(x+4)^2 – 5 \).
– La réponse de Sophie a le bon coefficient : \( \frac{2}{3}(x-4) – 5 \).
– La réponse de Joël a un mauvais coefficient : \( 2(x+4)^2 – 5 \).

On peut donc éliminer la réponse de Joël sans calcul, car le coefficient de \( x^2 \) n’est pas correct.

2. Interprétation des autres termes :

– La réponse de Sophie n’est pas une forme canonique correcte. Elle a \( (x-4) \) et non \( (x-4)^2 \). Cela signifie qu’elle manque un terme au carré nécessaire pour une forme quadratique correcte.

Ainsi, la réponse de Sophie peut également être éliminée.

3. Analyse des réponses restantes :

– Marina propose : \( \frac{2}{3}(x-4)^2 – 5 \)
– Hicham propose : \( \frac{2}{3}(x+4)^2 – 5 \)

Le signe à l’intérieur du carré doit correspondre au coefficient du terme \( x \) après développement. Pour \( \frac{2}{3}x^2 + \frac{16}{3}x + \frac{17}{3} \), on peut voir que le terme linéaire est positif (\( \frac{16}{3}x \)), donc :

\[
f(x) = \frac{2}{3}(x+4)^2 – 5
\]

n’est pas correct.

Il ne reste que la proposition de Marina qui est correcte, car elle respecte toutes les conditions d’une réécriture correcte de la forme canonique.

En conclusion, les réponses pouvant être éliminées sans calcul sont celles de Hicham, Sophie et Joël. La seule bonne réponse est celle de Marina.

Exercice 14 : associer les courbes des fonctions et leur forme canonique
Pour associer les courbes \(C_1, C_2, C_3\) et \(C_4\) aux fonctions données, nous devons analyser la forme canonique de chaque fonction et ses caractéristiques (parabole orientée vers le haut ou vers le bas, sommet, et facteur multiplicatif déterminant l’ouverture de la parabole).

1. \( f_1(x) = (x-1)^2 + 2 \)
– Cette fonction est une parabole orientée vers le haut.
– Son sommet est au point \((1, 2)\).
– La courbe correspondante est \(C_1\) (en orange).

2. \( f_2(x) = -(x+1)^2 + 2 \)
– Cette fonction est une parabole orientée vers le bas.
– Son sommet est au point \((-1, 2)\).
– La courbe correspondante est \(C_4\) (en bleu foncé).

3. \( f_3(x) = (x+1)^2 + 2 \)
– Cette fonction est une parabole orientée vers le haut.
– Son sommet est au point \((-1, 2)\).
– La courbe correspondante est \(C_2\) (en vert).

4. \( f_4(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 2 \)
– Cette fonction est une parabole orientée vers le haut.
– Son sommet est au point \((1, 2)\).
– Comparée à \(f_1\), elle est plus large à cause du facteur \(\frac{1}{2}\).
– La courbe correspondante est \(C_3\) (en bleu clair).

En résumé :

– \( C_1 \) correspond à \( f_1(x) = (x-1)^2 + 2 \)
– \( C_2 \) correspond à \( f_3(x) = (x+1)^2 + 2 \)
– \( C_3 \) correspond à \( f_4(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 2 \)
– \( C_4 \) correspond à \( f_2(x) = -(x+1)^2 + 2 \)

Exercice 15 : parabole et forme canonique
La parabole représentée est une fonction quadratique de forme générale \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Pour déterminer la forme canonique de \(f\), nous allons identifier les caractéristiques de la parabole.

La forme canonique d’une parabole est donnée par :

\[ f(x) = a(x – h)^2 + k \]

où \((h, k)\) sont les coordonnées du sommet de la parabole.

En observant le graphique, nous remarquons que le sommet de la parabole semble être au point \((0,0)\). Ainsi, \(h = 0\) et \(k = 0\).

La forme canonique devient donc :

\[ f(x) = a(x – 0)^2 + 0 \]
\[ f(x) = ax^2 \]

Pour trouver la valeur de \(a\), nous allons utiliser un autre point sur la parabole. Un point facilement identifiable est \((1, 1)\).

Puisque ce point appartient à la parabole, nous avons :
\[ f(1) = a(1)^2 = 1 \]

Donc,
\[ a = 1 \]

La forme canonique de la fonction \( f \) est :

\[ f(x) = (x – 0)^2 \]
\[ f(x) = x^2 \]

Exercice 16 : tableau de valeurs et sommet d’une parabole

Quelles sont les coordonnées du sommet de sa parabole ?

Pour déterminer les coordonnées du sommet de la parabole, nous observons que les valeurs de \( Y \) sont les mêmes pour \( X = 0 \), \( X = 1 \) et \( X = 5 \), soit \( Y = -7.5 \). Ceci implique que le sommet de la parabole est à \( x = 3 \), car pour une fonction quadratique symétrique autour de son sommet, les valeurs égales de part et d’autre du sommet doivent correspondre. Évaluons \( y \) en \( x = 3 \) en utilisant le tableau :
\[
f(3) = -7.5
\]
Donc, les coordonnées du sommet sont \( (3, -7.5) \).

Déterminer la forme canonique de \( f \).

La forme canonique d’une fonction quadratique est donnée par :
\[
f(x) = a(x – h)^2 + k
\]
où \((h, k)\) sont les coordonnées du sommet. Ici, \( h = 3 \) et \( k = -7.5 \).

Pour déterminer \( a \), nous pouvons utiliser une des valeurs supplémentaires du tableau. Par exemple, utilisons \( x = 0 \).
\[
f(0) = a(0 – 3)^2 – 7.5
\]
Nous savons que \( f(0) = -17.5 \), donc :
\[
-17.5 = 9a – 7.5
\]
Résolvons pour \( a \) :
\[
-17.5 + 7.5 = 9a
\]
\[
-10 = 9a
\]
\[
a = -\frac{10}{9}
\]

Donc, la forme canonique de \( f \) est :
\[
f(x) = -\frac{10}{9}(x – 3)^2 – 7.5
\]

Exercice 17 : variations d’une fonction du second degré
1) Pour \(f_1(x) = (x – 1)^2 + 10\):
– Cette fonction est une parabole de la forme \((x – h)^2 + k\) avec \(h = 1\) et \(k = 10\).
– Le sommet de la parabole est \((1, 10)\).
– La parabole est ouverte vers le haut.
– Les variations de \(f_1\) sont décroissantes sur \((-\infty, 1]\) et croissantes sur \([1, +\infty)\).

2) Pour \(f_2(x) = -2(x – 5)^2 + 2\):
– Cette fonction est une parabole de la forme \(-a(x – h)^2 + k\) avec \(a = 2\), \(h = 5\) et \(k = 2\).
– Le sommet de la parabole est \((5, 2)\).
– La parabole est ouverte vers le bas.
– Les variations de \(f_2\) sont croissantes sur \((-\infty, 5]\) et décroissantes sur \([5, +\infty)\).

3) Pour \(f_3(x) = 3x^2 + \frac{1}{3}\):
– Cette fonction est une parabole de la forme \(ax^2 + c\) avec \(a = 3\) et \(c = \frac{1}{3}\).
– Le sommet de la parabole est \((0, \frac{1}{3})\).
– La parabole est ouverte vers le haut.
– Les variations de \(f_3\) sont décroissantes sur \((-\infty, 0]\) et croissantes sur \([0, +\infty)\).

4) Pour \(f_4(x) = -2(x + 3)^2 – 5\):
– Cette fonction est une parabole de la forme \(-a(x – h)^2 + k\) avec \(a = 2\), \(h = -3\) et \(k = -5\).
– Le sommet de la parabole est \((-3, -5)\).
– La parabole est ouverte vers le bas.
– Les variations de \(f_4\) sont croissantes sur \((-\infty, -3]\) et décroissantes sur \([-3, +\infty)\).

Exercice 18 : variations et fonctions du second degré
Correction de l’exercice :

1) Pour \( f_1(x) = x^2 – x + 1 \) :

La dérivée de \( f_1 \) est :
\[ f_1′(x) = 2x – 1 \]

On trouve les points critiques en résolvant \( f_1′(x) = 0 \) :
\[ 2x – 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \]

Ensuite, on calcule la valeur de la fonction en ce point :
\[ f_1( \frac{1}{2} ) = ( \frac{1}{2} )^2 – \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} – \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} \]

Le signe de la dérivée nous indique les variations :
Pour \( x < \frac{1}{2} \), \( f_1′(x) < 0 \), donc \( f_1 \) est décroissante.
Pour \( x > \frac{1}{2} \), \( f_1′(x) > 0 \), donc \( f_1 \) est croissante.

\[
\begin{array}{c|ccccc}
x -\infty \frac{1}{2} +\infty \\
\hline
f_1(x) \nearrow ( \frac{1}{2}, \frac{3}{4} ) \searrow \\
\end{array}
\]

2) Pour \( f_2(x) = -\frac{1}{2}(x-5)(x+\beta) \) :

La forme factorisée permet de voir directement les racines, \( x = 5 \) et \( x = -\beta \).

Utilisons la forme développée :
\[ f_2(x) = -\frac{1}{2}(x^2 + (\beta – 5)x – 5\beta) \]
La dérivée de \( f_2 \) est :
\[ f_2′(x) = -\frac{1}{2}(2x + \beta – 5) = -(x + \frac{\beta – 5}{2}) \]

On trouve les points critiques en résolvant \( f_2′(x) = 0 \) :
\[ x = -\frac{\beta – 5}{2} \]

Par substitution, on trouve \( f_2 ( -\frac{\beta – 5}{2} ) \).

Le signe de la dérivée nous indique les variations :
Pour \( x < -\frac{\beta – 5}{2} \), \( f_2′(x) > 0 \), donc \( f_2 \) est croissante.
Pour \( x > -\frac{\beta – 5}{2} \), \( f_2′(x) < 0 \), donc \( f_2 \) est décroissante.

\[
\begin{array}{c|ccccc}
x -\infty -\frac{\beta – 5}{2} +\infty \\
\hline
f_2(x) \searrow ( -\frac{\beta – 5}{2}, f(-\frac{\beta – 5}{2}) ) \nearrow \\
\end{array}
\]

3) Pour \( f_3(x) = \frac{3}{2}x^2 – \frac{4}{3} \) :

La dérivée de \( f_3 \) est :
\[ f_3′(x) = 3x \]

On trouve les points critiques en résolvant \( f_3′(x) = 0 \) :
\[ 3x = 0 \implies x = 0 \]

Ensuite, on calcule la valeur de la fonction en ce point :
\[ f_3(0) = -\frac{4}{3} \]

Le signe de la dérivée nous indique les variations :
Pour \( x < 0 \), \( f_3′(x) < 0 \), donc \( f_3 \) est décroissante.
Pour \( x > 0 \), \( f_3′(x) > 0 \), donc \( f_3 \) est croissante.

\[
\begin{array}{c|ccccc}
x -\infty 0 +\infty \\
\hline
f_3(x) \nearrow (0, -\frac{4}{3}) \searrow \\
\end{array}
\]

4) Pour \( f_4(x) = 3x^2 – 6x + 3 \) :

La dérivée de \( f_4 \) est :
\[ f_4′(x) = 6x – 6 \]

On trouve les points critiques en résolvant \( f_4′(x) = 0 \) :
\[ 6x – 6 = 0 \implies x = 1 \]

Ensuite, on calcule la valeur de la fonction en ce point :
\[ f_4(1) = 3(1)^2 – 6(1) + 3 = 0 \]

Le signe de la dérivée nous indique les variations :
Pour \( x < 1 \), \( f_4′(x) < 0 \), donc \( f_4 \) est décroissante.
Pour \( x > 1 \), \( f_4′(x) > 0 \), donc \( f_4 \) est croissante.

\[
\begin{array}{c|ccccc}
x -\infty 1 +\infty \\
\hline
f_4(x) \nearrow (1, 0) \searrow \\
\end{array}
\]

Exercice 19 : tableau de variation de fonctions
1) Nous devons trouver la fonction du second degré \( f(x) = ax^2 + bx + c \) telle que \( f(0) = 1 \) et qui admet un maximum en \( x = -1 \) avec \( f(-1) = 2 \).

Puisque \( x = -1 \) est le sommet de la parabole et que la fonction atteint un maximum, le coefficient \( a \) est négatif. Nous avons :

\[
f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = 2 \quad \Rightarrow \quad a – b + c = 2
\]

De plus, \( f(0) = 1 \):

\[
f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 1 \quad \Rightarrow \quad c = 1
\]

Nous utilisons aussi le fait que la fonction est symétrique par rapport à son maximum. La dérivée première de \( f \) s’annule en \( x = -1 \):

\[
f'(x) = 2ax + b \quad \Rightarrow \quad f'(-1) = 0 \quad \Rightarrow \quad -2a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 2a
\]

En substituant \( c = 1 \) et \( b = 2a \) dans \( a – b + c = 2 \):

\[
a – 2a + 1 = 2 \quad \Rightarrow \quad -a + 1 = 2 \quad \Rightarrow \quad -a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = -1
\]

Ainsi,

\[
b = 2(-1) = -2
\]

La fonction \( f \) est donc :

\[
f(x) = -x^2 – 2x + 1
\]

3) Nous devons trouver la fonction du second degré \( g(x) = ax^2 + bx + c \) telle que \( g(1) = 0 \) et qui admet un minimum en \( x = 3 \) avec \( g(3) = -2 \).

Puisque \( x = 3 \) est le sommet de la parabole et que la fonction atteint un minimum, le coefficient \( a \) est positif. Nous avons :

\[
g(3) = a(3)^2 + b(3) + c = -2 \quad \Rightarrow \quad 9a + 3b + c = -2
\]

De plus, \( g(1) = 0 \):

\[
g(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 0 \quad \Rightarrow \quad a + b + c = 0
\]

Nous utilisons aussi le fait que la fonction est symétrique par rapport à son minimum. La dérivée première de \( g \) s’annule en \( x = 3 \):

\[
g'(x) = 2ax + b \quad \Rightarrow \quad g'(3) = 0 \quad \Rightarrow \quad 6a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -6a
\]

En substituant \( b = -6a \) dans les équations \( a + b + c = 0 \) et \( 9a + 3b + c = -2 \):

\[
a – 6a + c = 0 \quad \Rightarrow \quad -5a + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = 5a
\]

\[
9a + 3(-6a) + 5a = -2 \quad \Rightarrow \quad 9a – 18a + 5a = -2 \quad \Rightarrow \quad -4a = -2 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2}
\]

Ainsi,

\[
b = -6 ( \frac{1}{2} ) = -3 \quad \text{et} \quad c = 5 ( \frac{1}{2} ) = \frac{5}{2}
\]

La fonction \( g \) est donc :

\[
g(x) = \frac{1}{2}x^2 – 3x + \frac{5}{2}
\]

Exercice 20 : nombre de solutions d’équations
Pour déterminer le nombre de solutions des équations quadratiques, on utilise le discriminant \(\Delta = b^2 – 4ac\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont les coefficients de l’équation quadratique \(ax^2 + bx + c = 0\).

1) \(x^2 + x + 1 = 0\)

Les coefficients sont : \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 1\).

Calcul du discriminant :
\[ \Delta = b^2 – 4ac = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 – 4 = -3 \]

Puisque \(\Delta < 0\), l’équation n’a pas de solution réelle.

2) \(-2x^2 + x + 1 = 0\)

Les coefficients sont : \(a = -2\), \(b = 1\), \(c = 1\).

Calcul du discriminant :
\[ \Delta = b^2 – 4ac = 1^2 – 4 \cdot (-2) \cdot 1 = 1 + 8 = 9 \]

Puisque \(\Delta > 0\), l’équation a deux solutions réelles distinctes.

3) \(\frac{1}{2}x^2 – 4x – \frac{3}{2} = 0\)

Les coefficients sont : \(a = \frac{1}{2}\), \(b = -4\), \(c = -\frac{3}{2}\).

Calcul du discriminant :
\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{3}{2}) = 16 + 3 = 19 \]

Puisque \(\Delta > 0\), l’équation a deux solutions réelles distinctes.

4) \(\sqrt{2}x^2 – x + \frac{1}{2} = 0\)

Les coefficients sont : \(a = \sqrt{2}\), \(b = -1\), \(c = \frac{1}{2}\).

Calcul du discriminant :
\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-1)^2 – 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 – 2\sqrt{2} \]

Puisque \(\Delta = 1 – 2\sqrt{2} < 0\), l’équation n’a pas de solution réelle.

Exercice 21 : donner le nombre de solutions des équations suivantes
\[\]Donner le nombre de solutions des équations suivantes suivant la valeur du paramètre réel \( m \).\[\]

1) \( x^2 + mx + 1 = 0 \)

Le discriminant \(\Delta = m^2 – 4 \). Ainsi :
– Si \(\Delta > 0, m^2 > 4\), alors l’équation a deux solutions distinctes.
– Si \(\Delta = 0, m^2 = 4\), alors l’équation a une solution double, donc \( m = 2 \) ou \( m = -2 \).
– Si \(\Delta < 0, m^2 < 4\), alors l’équation n’a pas de solution réelle.

2) \( x^2 – 2x + 3m = 0 \)

Le discriminant \(\Delta = 4 – 12m \). Ainsi :
– Si \(\Delta > 0, 4 > 12m\), alors l’équation a deux solutions distinctes, donc \( m < \frac{1}{3} \).
– Si \(\Delta = 0, 4 = 12m\), alors l’équation a une solution double, donc \( m = \frac{1}{3} \).
– Si \(\Delta < 0, 4 < 12m\), alors l’équation n’a pas de solution réelle, donc \( m > \frac{1}{3} \).

\[\]Résoudre les équations suivantes.\[\]

1) \( x^2 + x – 2 = 0 \)

\[
\Delta = 1^2 – 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9
\]
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \times 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}
\]
\[
x_1 = 1, \quad x_2 = -2
\]

2) \( -3x^2 + 2x – 1 = 0 \)

\[
\Delta = 2^2 – 4 \times (-3) \times (-1) = 4 – 12 = -8
\]
Il n’y a pas de solution réelle.

3) \( \frac{3}{4} x^2 + \frac{1}{2} x + \frac{3}{8} = 0 \)

\[
\Delta = ( \frac{1}{2} )^2 – 4 \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{4} – \frac{9}{8} = \frac{1}{4} – \frac{9}{8} = -\frac{7}{8}
\]

Il n’y a pas de solution réelle.

4) \( -3x^2 – 1 = 0 \)

\[
x^2 = -\frac{1}{3}
\]

Il n’y a pas de solution réelle.

\[\]Résoudre les équations suivantes.\[\]

1) \(-x^2 + 3 – 4x = 0\)

\[
x^2 + 4x – 3 = 0 \quad \text{(en multipliant par -1)}
\]
\[
\Delta = 4^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28
\]
\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -2 \pm \sqrt{7}
\]

2) \( x^2 + \frac{1}{2} = 0 \)

\[
x^2 = -\frac{1}{2}
\]

Il n’y a pas de solution réelle.

3) \( 4x^2 + 2x – \frac{1}{2} = 0 \)

\[
\Delta = 2^2 – 4 \cdot 4 \cdot ( -\frac{1}{2} ) = 4 + 8 = 12
\]
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{3}}{4}
\]

4) \( x(4x^2 + x + 1) = 0 \)

Les solutions sont \( x = 0 \) et il reste à résoudre \(4x^2 + x + 1 = 0\).

\[
\Delta = 1^2 – 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 – 16 = -15
\]

Il n’y a pas de solution réelle pour \( 4x^2 + x + 1 = 0 \).

\[\]Factoriser, si possible, les trinomres du second degré suivants en un produit de polynômes de degré 1.\[\]

1) \( x^2 + 3x – 4 \)

\[
x^2 + 3x – 4 = (x + 4)(x – 1)
\]

2) \( x^2 + 4 \)

\[
x^2 + 4 \text{ n’est pas factorisable sur les réels.}
\]

3) \( 3x^2 – 3x + 1 \)

Le discriminant \(\Delta = (-3)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 – 12 = -3 \).

\[
3x^2 – 3x + 1 \text{ n’est pas factorisable sur les réels.}
\]

4) \( -x^2 + 4x \)

\[
-x^2 + 4x = -x(x – 4)
\]

Exercice 22 : racine d’un polynôme
1) \(a = 1\)
\[
P(x) = 8x^2 – 7x – 1
\]
\[
P(1) = 8(1)^2 – 7(1) – 1 = 8 – 7 – 1 = 0
\]
Oui, \(1\) est une racine de \(P(x)\).

2) \(a = 0\)
\[
P(x) = -x^2 + 2x – 1
\]
\[
P(0) = -(0)^2 + 2(0) – 1 = -1
\]
Non, \(0\) n’est pas une racine de \(P(x)\).

3) \(a = -2\)
\[
P(x) = x^2 – 2x – 4
\]
\[
P(-2) = (-2)^2 – 2(-2) – 4 = 4 + 4 – 4 = 4
\]
Non, \(-2\) n’est pas une racine de \(P(x)\).

4) \(a = 2\)
\[
P(x) = x^2 + x + 2
\]
\[
P(2) = (2)^2 + 2 + 2 = 4 + 2 + 2 = 8
\]
Non, \(2\) n’est pas une racine de \(P(x)\).

Exercice 23 : jardin et aire d’une allée
Soit la largeur de l’allée \( x \).

La longueur du côté du carré intérieur est \( 10 – 2x \).

L’aire du carré intérieur est \( (10 – 2x)^2 \).

L’aire totale du jardin est \( 10^2 = 100 \) m².

L’aire de l’allée en gravier est donc:
\[ \text{Aire de l’allée} = 100 – (10 – 2x)^2 \].

Nous voulons que l’aire de l’allée soit égale à celle du carré intérieur, donc:
\[ \text{Aire de l’allée} = (10 – 2x)^2 \].

Ainsi,
\[ 100 – (10 – 2x)^2 = (10 – 2x)^2 \].

En résolvant cette équation, nous obtenons:
\[ 100 = 2(10 – 2x)^2 \],
\[ 100 = 2(100 – 40x + 4x^2) \],
\[ 100 = 200 – 80x + 8x^2 \],
\[ 8x^2 – 80x + 100 = 0 \],
\[ x^2 – 10x + 12.5 = 0 \].

La solution de cette équation quadratique est donnée par:
\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 – 4 \times 1 \times 12.5}}{2 \times 1} \],
\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 – 50}}{2} \],
\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{50}}{2} \],
\[ x = \frac{10 \pm 5\sqrt{2}}{2} \],
\[ x = 5 \pm \frac{5\sqrt{2}}{2} \],
\[ x = 5 \pm \frac{5\sqrt{2}}{2} \].

Cependant, \( x \) doit être une largeur positive et telle que \( 10 – 2x > 0 \), donc \( 10 > 2x \), ce qui implique \( x < 5 \).
Par conséquent, la seule solution valide est:
\[ x = 5 – \frac{5\sqrt{2}}{2} \].

Exercice 24 : balle et longueur d’un terrain de tennis
Pour déterminer si la balle sortira du cours, nous devons modéliser la trajectoire de la balle à l’aide de la parabole définie par les points \(A\), \(B\) et \(C\).

Les données sont :
– En \(A\) (position initiale à \(x=0\)): la hauteur est \(y_A=0,9 \;m\)
– En \(B\): à \(x=1 \;m\), la hauteur est \(y_B=1,1 \;m\)
– En \(C\): la hauteur maximale est \(y_C=1,3 \;m\)

La forme générale de l’équation d’une parabole est :
\[ y = ax^2 + bx + c \]

Nous allons utiliser les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) pour trouver les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\).

Pour le point \(A (0, 0.9)\) :
\[ 0.9 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \]
\[ \Rightarrow c = 0.9 \]

Pour le point \(B (1, 1.1)\) :
\[ 1.1 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 0.9 \]
\[ 1.1 = a + b + 0.9 \]
\[ \Rightarrow a + b = 0.2 \qquad (1) \]

Pour le point \(C\) \( x_c=x_{\text{max}}\) avec une hauteur maximale \( y_c = 1.3 \):
La hauteur maximale d’une parabole est obtenue en \(x = -\frac{b}{2a}\), mais ici \( b = -2a \).

Pour le point \(C (x_{\max}, 1.3)\) :
On sait que pour toute parabole \( y_{\text{max}} = c – \frac{b^2}{4a} \):
\[ 1.3 = 0.9 \ + \frac{0.2-2a}{4a}\]
\[ \ ]

Regardons à la longueur du terrain de tennis \( x_d = 23.77 \) avec \( y = a (23.77)^2 + b (23.77) + 0.9 \).

A travers \[1\] ou deux équations
En \(x=23.77 \; m\), à quelle hauteur sera la balle selon l’équation \(y\).

\[
y = a(23.77)^2 + b(23.77) + 0.9 \]

a= \frac{y-A}{ b/(B-A)}}
OU
\sqrt{\frac{230}}{3}}= \sqrt{\frac{b^2}{4a}}

testons:
a= -1 , so, \frac{-3}recent questions ]

y=
= -3X20^2 + 72 ,

.gov\=-1 \[\]

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Exercice 25 : réalisation d’un logo
Pour que l’aire de la partie blanche soit égale à la moitié de l’aire du demi-disque de diamètre \([BC]\), nous allons devoir exprimer les aires des demi-disques en fonction de \( x \) et résoudre l’équation correspondante.

1. Diamètre \([BC]\) est de \( 10 \) cm.
\[
\text{Rayon de } BC = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}
\]
\[
\text{Aire du demi-disque de } BC = \frac{1}{2} \pi \times 5^2 = \frac{25\pi}{2} \text{ cm}^2
\]

2. Aire de la partie demandée (blanche) doit être égale à la moitié de l’aire du demi-disque:
\[
\text{Aire blanche} = \frac{1}{2} \times \frac{25\pi}{2} = \frac{25\pi}{4} \text{ cm}^2
\]

3. Si on pose \( x = CM \), alors \(MB = 10 – x\).

4. Aire du demi-disque de diamètre \([CM]\):
\[
\text{Rayon de } CM = \frac{x}{2}
\]
\[
\text{Aire du demi-disque } CM = \frac{1}{2} \pi (\frac{x}{2})^2 = \frac{\pi x^2}{8}
\]

5. Aire du demi-disque de diamètre \([MB]\):
\[
\text{Rayon de } MB = \frac{10-x}{2}
\]
\[
\text{Aire du demi-disque } MB = \frac{1}{2} \pi (\frac{10-x}{2})^2 = \frac{\pi (10-x)^2}{8}
\]

6. La partie blanche est égale à la différence entre l’aire du demi-disque de diamètre \([BC]\) et la somme des aires des demi-disques de diamètre \([CM]\) et \([MB]\):
\[
\text{Aire blanche} = \frac{25\pi}{2} – ( \frac{\pi x^2}{8} + \frac{\pi (10-x)^2}{8} )
\]

7. Établissons l’équation pour que cette aire soit égale à \(\frac{25\pi}{4}\):
\[
\frac{25\pi}{2} – ( \frac{\pi x^2}{8} + \frac{\pi (10-x)^2}{8} ) = \frac{25\pi}{4}
\]

8. Simplifions l’équation:
\[
\frac{25\pi}{2} – \frac{\pi}{8} ( x^2 + (10-x)^2 ) = \frac{25\pi}{4}
\]
\[
\frac{25\pi}{2} – \frac{\pi}{8} ( x^2 + 100 – 20x + x^2 ) = \frac{25\pi}{4}
\]
\[
\frac{25\pi}{2} – \frac{\pi}{8} ( 2x^2 – 20x + 100 ) = \frac{25\pi}{4}
\]
\[
\frac{25\pi}{2} – \frac{\pi}{8} ( 2(x^2 – 10x + 50) ) = \frac{25\pi}{4}
\]
\[
\frac{25\pi}{2} – \frac{\pi}{4} (x^2 – 10x + 50) = \frac{25\pi}{4}
\]
\[
\frac{25\pi}{2} – \frac{\pi}{4} x^2 + \frac{10\pi}{4} x – \frac{50\pi}{4} = \frac{25\pi}{4}
\]
\[
\frac{25\pi}{2} – \frac{\pi}{4} x^2 + \frac{5\pi}{2} x – \frac{25\pi}{2} = \frac{25\pi}{4}
\]
\[
– \frac{\pi}{4} x^2 + \frac{5\pi}{2} x = \frac{25\pi}{4}
\]
\[
– x^2 + 10x = 25
\]
\[
x^2 – 10x + 25 = 0
\]
\[
(x – 5)^2 = 0
\]

9. Ainsi, \( x = 5 \).

Le point \( M \) doit donc être positionné au milieu de \([BC]\), c’est-à-dire à \( 5 \) cm de \( B \) et à \( 5 \) cm de \( C \).

Exercice 26 : résoudre graphiquement une inéquation du second degré
1) Pour résoudre l’inéquation \( f(x) > 0 \) :

On observe que la courbe \( C_f \) représente une parabole qui coupe l’axe des abscisses (l’axe \( x \)) en deux points. Ces points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses sont les racines de l’équation \( f(x) = 0 \). Sur le graphique, ces points sont \( x = 0 \) et \( x = 2 \).

La parabole est au-dessus de l’axe \( x \) pour \( x < 0 \) et \( x > 2 \). Donc, l’ensemble des solutions de l’inéquation \( f(x) > 0 \) est :

\[ x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \]

2) Pour résoudre l’inéquation \( f(x) \leq\, 2 \) :

On observe que la courbe coupe la ligne horizontale \( y = 2 \) en deux points. En lisant ces points sur le graphique, on trouve que ces points sont approximativement \( x = -1 \) et \( x = 3 \). Entre ces deux points, la courbe \( C_f \) est en dessous ou sur la ligne \( y = 2 \).

Donc, l’ensemble des solutions de l’inéquation \( f(x) \leq\, 2 \) est :

\[ x \in [-1, 3] \]

En résumé :
1) \( f(x) > 0 \) : \( x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \)
2) \( f(x) \leq\, 2 \) : \( x \in [-1, 3] \)

Exercice 27 : résoudre les inéquations du second degré
1. \[\]Résoudre les inéquations du second degré suivantes sur \[\mathbb{R}\]\[\] :

1) \(\frac{1}{2}x^2 + 7x – 3 > 0\)

\[
\Delta = b^2 – 4ac = 7^2 – 4 \times \frac{1}{2} \times (-3) = 49 + 6 = 55
\]

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{55}}{1}
\]

\[
\text{Les solutions de l’inequation sont: } x < \frac{-7 – \sqrt{55}}{1} \quad \text{ou} \quad x > \frac{-7 + \sqrt{55}}{1}
\]

\[
I = \mathbb{R} – [ \frac{-7 – \sqrt{55}}{1} , \frac{-7 + \sqrt{55}}{1} ]
\]

2) \(-3x^2 + 4x + 1 \leq\, 0\)

\[
\Delta = b^2 – 4ac = 4^2 – 4 \times (-3) \times 1 = 16 + 12 = 28
\]

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2 \times (-3)}
\]

\[
x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{-6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}
\]

\[
\text{Alors: } I = [ \frac{2 – \sqrt{7}}{3} , \frac{2 + \sqrt{7}}{3} ]
\]

3) \(-2x^2 – 9 \geq\, 0\)

\[
-2x^2 – 9 \ge 0 \implies -2x^2 \ge 9 \implies x^2 \le -\frac{9}{2}
\]

\[
\text{Puisque } x^2 \text{ est toujours non-négatif, il n’y a pas de solution.}
\]

\[
I = \emptyset
\]

4) \(2x^2 – 4x < 0\)

\[
2x(x – 2) < 0
\]

\[
\text{Les racines sont : } x = 0 \text{ et } x = 2
\]

\[
\text{Les solutions sont : } 0 < x < 2
\]

\[
I = (0, 2)
\]

—

2. \[\]Résoudre les inéquations suivantes sur \[\mathbb{R}\]\[\] :

1) \(2x^2 + 8x > 4\)

\[
2x^2 + 8x – 4 > 0
\]

\[
\Delta = b^2 – 4ac = 8^2 – 4 \times 2 \times (-4) = 64 + 32 = 96
\]

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{96}}{4} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{6}}{4} = -2 \pm \sqrt{6}
\]

\[
\text{Les solutions sont : } x < -2 – \sqrt{6} \quad \text{ou} \quad x > -2 + \sqrt{6}
\]

\[
I = \mathbb{R} – [ -2-\sqrt{6}, -2+\sqrt{6} ]
\]

2) \(x^3 – 4x^2 + 2x – 1 \leq\, x^3 + 3x^2 + 2x + 48\)

\[
-4x^2 + 2x – 1 \leq\, 3x^2 + 2x + 48 \implies -7x^2 \leq\, 49 \implies x^2 \geq\, -7
\]

\[
\text{Puisque } x^2 \text{ est toujours non-négatif, cette inégalité est toujours vraie.}
\]

\[
I = \mathbb{R}
\]

3) \(\frac{1}{x^2 – 1} < 1\)

\[
1 – \frac{1}{x^2 – 1} > 0 \implies \frac{x^2 – 2}{x^2 – 1} > 0
\]

\[
\text{Les solutions sont : } x < -1 \quad \text{ou} \quad 0 < x < 1 \quad \text{ou} \quad x > 2.
\]

\[
I = \mathbb{R} – \{ -1, 1 \}
\]

4) \(\frac{x^2 + 1}{x – 4} \geq\, 0\)

\[
\text{Pour } \frac{x^2 + 1}{x – 4} \geq\, 0, (x^2 + 1) \geq\, 0 \text{ toujours vrai.}
\]

\[
x \neq 4
\]

\[
I = \mathbb{R} – \{ 4 \}
\]

—

3. \[\]Résoudre les inéquations suivantes sur \[\mathbb{R}\]\[\] :

1) \(x^2 – 4 > 3x\)

\[
x^2 – 4 – 3x > 0 \implies x^2 – 3x – 4 > 0
\]

\[
\Delta = b^2 – 4ac = (-3)^2 – 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25
\]

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{2}
\]

\[
x = 4 \quad \text{et} \quad x = -1
\]

\[
\text{Les solutions sont : } x < -1 \quad \text{ou} \quad x > 4
\]

\[
I = \mathbb{R} – [ -1, 4 ]
\]

2) \(\frac{x – 1}{2} \leq\, x^2 + \frac{x}{2} – \frac{3}{2}\)

\[
\frac{x – 1}{2} \leq\, x^2 + \frac{x}{2} – \frac{3}{2} \implies 0 \leq\, x^2 + 3
\]

\[
\text{Cette inégalité est toujours vraie.}
\]

\[
I = \mathbb{R}
\]

3) \(\frac{x^2 – x + 2}{x + 3} < \frac{1}{2}\)

\[
2(x^2 – x + 2) < x + 3 \implies 2x^2 – 3x + 1 < 0
\]

\[
\Delta = b^2 – 4ac = (-3)^2 – 4 \times 2 \times 1 = 9 – 8 = 1
\]

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{4}
\]

\[
x = 1 \quad \text{et} \quad x = \frac{1}{2}
\]

\[
\text{Les solutions sont : } \frac{1}{2} < x < 1
\]

\[
I = (\frac{1}{2}, 1)
\]

4) \(2x^2 – 5x – 4 < 0\)

\[
2x^2 – 5x – 4 < 0
\]

\[
\Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4 \times 2 \times (-4) = 25 + 32 = 57
\]

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{4}
\]

\[
\text{Les solutions sont : } \frac{5 – \sqrt{57}}{4} < x < \frac{5 + \sqrt{57}}{4}
\]

\[
I = ( \frac{5 – \sqrt{57}}{4} , \frac{5 + \sqrt{57}}{4} )
\]

Exercice 28 : résoudre graphiquement des inéquations
1) Résoudre graphiquement :
a) \( f(x) \geq\, 0 \)

Les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \geq\, 0 \) sont celles où la courbe \( C_f \) est au-dessus ou sur l’axe des abscisses. D’après le graphique, cela se produit pour:
\[
x \in [-1, 2]
\]

b) \( f(x) > g(x) \)

Les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) > g(x) \) sont celles où la courbe \( C_f \) est au-dessus de la courbe \( C_g \). D’après le graphique, cela se produit pour:
\[
x \in [0, 1]
\]

2) Donner, à l’aide du graphique, la position relative des courbes \( C_f \) et \( C_g \).

À gauche de \( x = 0 \), la courbe \( C_f \) est en dessous de la courbe \( C_g \).

Entre \( x = 0 \) et \( x = 1\), la courbe \( C_f \) est au-dessus de la courbe \( C_g \).

À droite de \( x = 1 \), la courbe \( C_f \) est en dessous de la courbe \( C_g \).

Exercice 29 : un pont et un arc parabolique
Soit l’équation de la parabole donnée par \( y = ax^2 + bx + c \).

Nous savons que la parabole passe par les points \( (0, 40) \), \( (100, 120) \) et \( (200, 40) \).

En utilisant ces points, nous pouvons établir les équations suivantes:

1. Pour le sommet \( (100, 120) \):
\[
120 = a(100)^2 + b(100) + c
\]
\[
120 = 10000a + 100b + c
\]

2. Pour le point \( (0, 40) \):
\[
40 = a(0)^2 + b(0) + c
\]
\[
c = 40
\]

3. Pour le point \( (200, 40) \):
\[
40 = a(200)^2 + b(200) + c
\]
\[
40 = 40000a + 200b + 40
\]
\[
0 = 40000a + 200b
\]

En substituant \( c = 40 \) dans la première équation, nous obtenons:
\[
120 = 10000a + 100b + 40
\]
\[
80 = 10000a + 100b
\]
\[
0.8 = 100a + b
\]

Nous obtenons alors le système d’équations suivant:
\[
\begin{cases}
0.8 = 100a + b \\
0 = 40000a + 200b
\end{cases}
\]

Multipliant la première équation par 2 et soustrayant la deuxième, nous avons:
\[
1.6 = 200a + 2b
\]
\[
0 = 200(200a + 2b)
\]

Multipliant par 40000 nous obtenons:
\[
0 = 40000a + 100b
\]
\[
b = -40
\]

Nous avons donc:
\[
a = 0.2
\]

Notre équation de la parabole est:
\[
y = 0.2x^2 – 40x + 40
\]

A la position x= 40 pour atteindre les coupes avec le pont, nous avons
\[
y = 0.2(40)^2 – 40(40) + 20(40)
= 0.2*16000 – 1600 + 800
= 80 – 40
=40

Exercice 30 : fonction trinôme et racine
1. \( f(x) = x^2 – x + 1 \) et \( a = 1 \)
\[
f(1) = 1^2 – 1 + 1 = 1 – 1 + 1 = 1
\]
Donc, \( a = 1 \) n’est pas une racine de \( f \).

2. \( f(x) = 3x^2 + x – 2 \) et \( a = -1 \)
\[
f(-1) = 3(-1)^2 + (-1) – 2 = 3 \cdot 1 – 1 – 2 = 3 – 1 – 2 = 0
\]
Donc, \( a = -1 \) est une racine de \( f \).

3. \( f(x) = 2x^2 – 3x – 2 \) et \( a = 2 \)
\[
f(2) = 2 \cdot 2^2 – 3 \cdot 2 – 2 = 2 \cdot 4 – 6 – 2 = 8 – 6 – 2 = 0
\]
Donc, \( a = 2 \) est une racine de \( f \).

4. \( f(x) = -2x^2 + x + 1 \) et \( a = 3 \)
\[
f(3) = -2 \cdot 3^2 + 3 + 1 = -2 \cdot 9 + 3 + 1 = -18 + 3 + 1 = -14
\]
Donc, \( a = 3 \) n’est pas une racine de \( f \).

Exercice 31 : forme canonique d’un trinôme
1. \(x^2 + 2x – 5\) = \( (x+1)^2 – 6 \) (b)

\[
x^2 + 2x – 5 = (x^2 + 2x + 1) – 1 – 5 = (x+1)^2 – 6
\]

2. \(2x^2 + 4x + 1\) = \(2 ( ( x+1 )^2 – \frac{1}{2} )\) (d)

\[
2x^2 + 4x + 1 = 2(x^2 + 2x + 1) – 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 ( (x+1)^2 – \frac{1}{2} )
\]

3. \(x^2 + 4x + 3\) = \(( x+2 )^2 – 1\) (a)

\[
x^2 + 4x + 3 = (x^2 + 4x + 4) – 4 + 3 = (x+2)^2 – 1
\]

4. \(2x^2 + x – 4\) = \(2 ( ( x + \frac{1}{4} )^2 – \frac{33}{16} )\) (c)

\[
2x^2 + x – 4 = 2 ( x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} – \frac{1}{16} ) – 4 = 2 ( ( x + \frac{1}{4} )^2 – \frac{33}{16} )
\]

Exercice 32 : courbe et second degré
1. Pour \(\Delta = 0\), la fonction trinôme du second degré a une seule racine. La courbe représentative est une parabole qui est tangente à l’axe des abscisses en un unique point. Sur l’image, c’est la courbe verte.

2. Pour \(\Delta > 0\), la fonction trinôme du second degré a deux racines distinctes. La courbe représentative est une parabole qui coupe l’axe des abscisses en deux points distincts. Sur l’image, c’est la courbe bleue.

3. Pour \(\Delta < 0\), la fonction trinôme du second degré n’a pas de racine réelle. La courbe représentative est une parabole qui ne coupe pas l’axe des abscisses. Sur l’image, c’est la courbe orange.

En résumé :
– La courbe verte correspond à \(\Delta = 0\).
– La courbe bleue correspond à \(\Delta > 0\).
– La courbe orange correspond à \(\Delta < 0\).

Exercice 33 : calculer le discriminant
Étant donné un polynôme du second degré \( ax^2 + bx + c \), le discriminant \(\Delta\) est donné par la formule :

\[ \Delta = b^2 – 4ac \]

1. Pour \( f(x) = x^2 + x – 1 \) :
\[ a = 1, \quad b = 1, \quad c = -1 \]
\[ \Delta = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 \]
Le discriminant \(\Delta = 5\) est positif, donc \( f(x) \) a 2 racines réelles distinctes.

2. Pour \( g(x) = 2x^2 – x + 3 \) :
\[ a = 2, \quad b = -1, \quad c = 3 \]
\[ \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 – 24 = -23 \]
Le discriminant \(\Delta = -23\) est négatif, donc \( g(x) \) n’a pas de racines réelles.

3. Pour \( h(x) = -5x^2 + 4x + 3 \) :
\[ a = -5, \quad b = 4, \quad c = 3 \]
\[ \Delta = 4^2 – 4 \cdot (-5) \cdot 3 = 16 + 60 = 76 \]
Le discriminant \(\Delta = 76\) est positif, donc \( h(x) \) a 2 racines réelles distinctes.

4. Pour \( j(x) = x^2 – \sqrt{2}x + 7 \) :
\[ a = 1, \quad b = -\sqrt{2}, \quad c = 7 \]
\[ \Delta = (-\sqrt{2})^2 – 4 \cdot 1 \cdot 7 = 2 – 28 = -26 \]
Le discriminant \(\Delta = -26\) est négatif, donc \( j(x) \) n’a pas de racines réelles.

Résolution des équations suivantes dans \(\mathbb{R}\) :

1. \( x^2 + 2x – 3 = 0 \)
\[ \Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
\[ x = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \quad \text{ou} \quad x = \frac{-2 – 4}{2} = -3 \]
Les solutions sont \( x = 1 \) et \( x = -3 \).

2. \( x^2 – 2x – 8 = 0 \)
\[ \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2} \]
\[ x = \frac{2 + 6}{2} = 4 \quad \text{ou} \quad x = \frac{2 – 6}{2} = -2 \]
Les solutions sont \( x = 4 \) et \( x = -2 \).

3. \( 2x^2 + 5x – 3 = 0 \)
\[ \Delta = 5^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \]
\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4} \]
\[ x = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{ou} \quad x = \frac{-5 – 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]
Les solutions sont \( x = \frac{1}{2} \) et \( x = -3 \).

4. \( x^2 – 2x + 1 = 0 \)
\[ \Delta = (-2)^2 – 4 \quad \times 1 \quad \times 1 = 4 – 4 = 0 \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 0}{2} = 1 \]
La solution est \( x = 1 \).

Exercice 34 : résoudre les équations du second degré
1. \text{Résoudre dans } \mathbb{R} \text{ les équations suivantes.}

\[ \text{1. } 2x^2 – 4x + 8 = 0 \]
\[
\Delta = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 8 = 16 – 64 = -48
\]
\text{Pas de solution réelle car } \Delta \text{ est négatif.}

\[ \text{2. } 9x^2 + 24x + 16 = 0 \]
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 24^2 – 4 \cdot 9 \cdot 16 = 576 – 576 = 0
\]
\[
x = \frac{-b}{2a} = \frac{-24}{2 \cdot 9} = -\frac{4}{3}
\]
\text{Une solution réelle double: } x = -\frac{4}{3}.

\[ \text{3. } -5x^2 + 9x + 2 = 0 \]
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 9^2 – 4 \cdot (-5) \cdot 2 = 81 + 40 = 121
\]
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{-10} = \frac{-9 \pm 11}{-10}
\]
\[
x_1 = \frac{-9 + 11}{-10} = -\frac{1}{5}, \quad x_2 = \frac{-9 – 11}{-10} = 2
\]
\text{Solutions réelles: } x_1 = -\frac{1}{5}, \quad x_2 = 2.

\[ \text{4. } -7x^2 – 8x + 3 = 0 \]
\[
\Delta = b^2 – 4ac = (-8)^2 – 4 \cdot (-7) \cdot 3 = 64 + 84 = 148
\]
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{148}}{-14} = \frac{8 \pm 2\sqrt{37}}{-14}
\]
\[
x_1 = \frac{8 + 2\sqrt{37}}{-14}, \quad x_2 = \frac{8 – 2\sqrt{37}}{-14}
\]
\text{Solutions réelles: } x_1 = \frac{8 + 2\sqrt{37}}{-14}, \quad x_2 = \frac{8 – 2\sqrt{37}}{-14}.

2. \text{Résoudre dans } \mathbb{R} \text{ les équations suivantes.}

\[ \text{1. } 3x^2 + 4x + 5 = 0 \]
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 4^2 – 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 – 60 = -44
\]
\text{Pas de solution réelle car } \Delta \text{ est négatif.}

\[ \text{2. } x^2 – 2x – 3 = 0 \]
\[
\Delta = b^2 – 4ac = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
\]
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}
\]
\[
x_1 = 3, \quad x_2 = -1
\]
\text{Solutions réelles: } x_1 = 3, \quad x_2 = -1.

\[ \text{3. } -3x^2 + 11x + 4 = 0 \]
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 11^2 – 4 \cdot (-3) \cdot 4 = 121 + 48 = 169
\]
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-11 \pm 13}{-6}
\]
\[
x_1 = -2, \quad x_2 = \frac{1}{3}
\]
\text{Solutions réelles: } x_1 = -2, \quad x_2 = \frac{1}{3}.

\[ \text{4. } x^2 – 2x – 2 = 0 \]
\[
\Delta = b^2 – 4ac = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12
\]
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2}
\]
\[
x_1 = 1 + \sqrt{3}, \quad x_2 = 1 – \sqrt{3}
\]
\text{Solutions réelles: } x_1 = 1 + \sqrt{3}, \quad x_2 = 1 – \sqrt{3}.

3. \text{Résoudre dans } \mathbb{R} \text{ les équations suivantes.}

\[ \text{1. } 2x^2 + 4x \geq\, 0 \]
\[
2x(x + 2) \geq\, 0
\]
\[
x(x + 2) \geq\, 0
\]
\[
x \in ]-\infty, -2] \cup [0, +\infty[
\]

\[ \text{2. } -3x^2 + 4x \geq\, 0 \]
\[
-3x(x – \frac{4}{3}) \geq\, 0
\]
\[
x(x – \frac{4}{3}) \leq\, 0
\]
\[
x \in [0, \frac{4}{3}]
\]

\[ \text{3. } 3x^2 + 12x – 15 = 0 \]
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 12^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 144 + 180 = 324
\]
\[
x = \frac{- b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 \pm 18}{6}
\]
\[
x_1 = 1, \quad x_2 = -5
\]
\text{Solutions réelles: } x_1 = 1, \quad x_2 = -5.

\[ \text{4. } x^2 – x = 2 \]
\[
x^2 – x – 2 = 0
\]
\[
(x – 2)(x + 1) = 0
\]
\[
x = 2 \quad ou \quad x = -1
\]
\text{Solutions réelles: } x_1 = 2, \quad x_2 = -1.

4. \text{Factoriser, si possible, les trinommes suivants.}

\[
f(x) = x^2 – 6x – 7
\]
\[
x^2 – 6x – 7 = (x – 7)(x + 1)
\]

\[
f(x) = 3x^2 + 4x + 4
\]
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 4^2 – 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 – 48 = -32
\]
\text{Pas de factorisation réelle car } \Delta \text{ est négatif.}

\[
f(x) = -x^2 + 2x + 8
\]
\[
-x^2 + 2x + 8 = -(x^2 – 2x – 8) = -(x – 4)(x + 2)
\]

\[
f(x) = -3x^2 + 5x + 2
\]
\[
-3x^2 + 5x + 2 = -(3x^2 – 5x – 2) = -(3x + 1)(x – 2)
\]

\[
f(x) = 4x^2 + 28x + 49
\]
\[
4x^2 + 28x + 49 = (2x + 7)^2
\]

\[
f(x) = x^2 – x – 1
\]
\[
\Delta = (-1)^2 – 4 \cdot

Exercice 35 : résoudre les inéquations du second degré

\[3x^2 + 5x – 2 \geq\, 0\]

On cherche d’abord les racines de l’équation \[3x^2 + 5x – 2 = 0\]. Le discriminant \[\Delta\] est donné par :
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 5^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49
\]
Les racines sont donc :
\[
x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 – 7}{6} = -2, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{1}{3}
\]
L’inéquation s’écrit donc :
\[
3(x + 2)(x – \frac{1}{3}) \geq\, 0
\]
On teste les signes dans les intervalles définis par les racines :
\[
x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{1}{3}, +\infty)
\]

\[-2x^2 + 7x + 4 \geq\, 0\]

On cherche d’abord les racines de l’équation \[-2x^2 + 7x + 4 = 0\]. Le discriminant \[\Delta\] est donné par :
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 7^2 – 4 \cdot (-2) \cdot 4 = 49 + 32 = 81
\]
Les racines sont donc :
\[
x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 – 9}{-4} = 4, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 + 9}{-4} = -\frac{1}{2}
\]
L’inéquation s’écrit donc :
\[
-2(x – 4)(x + \frac{1}{2}) \geq\, 0
\]
On teste les signes dans les intervalles définis par les racines :
\[
x \in [-\frac{1}{2}, 4]
\]

\[16x^2 – 40x + 25 \leq\, 0\]

On cherche d’abord les racines de l’équation \[16x^2 – 40x + 25 = 0\]. Le discriminant \[\Delta\] est donné par :
\[
\Delta = b^2 – 4ac = (-40)^2 – 4 \cdot 16 \cdot 25 = 1600 – 1600 = 0
\]
Il y a une seule racine double :
\[
x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}
\]
L’inéquation s’écrit donc :
\[
16(x – \frac{5}{4})^2 \leq\, 0
\]
Donc :
\[
x = \frac{5}{4}
\]

\[3x^2 – x + 5 > 0\]

On cherche d’abord les racines de l’équation \[3x^2 – x + 5 = 0\]. Le discriminant \[\Delta\] est donné par :
\[
\Delta = b^2 – 4ac = (-1)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 5 = 1 – 60 = -59
\]
Le discriminant est négatif, donc l’équation n’a pas de solutions réelles. Le polynôme étant du second degré (ouvert vers le haut car \[a > 0\]), il est donc toujours positif. Ainsi :
\[
x \in \mathbb{R}
\]

\[-x^2 + x – 7 \geq\, 0\]

On cherche d’abord les racines de l’équation \[-x^2 + x – 7 = 0\]. Le discriminant \[\Delta\] est donné par :
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 1^2 – 4 \cdot (-1) \cdot (-7) = 1 – 28 = -27
\]
Le discriminant étant négatif, l’équation n’a pas de solutions réelles. Le polynôme étant du second degré (ouvert vers le bas car \[a < 0\]), il est toujours négatif pour \[x \in \mathbb{R}\], donc :
\[
\text{Pas de solutions dans } \mathbb{R}
\]

\[-3x^2 + 5x + 8 < 0\]

On cherche d’abord les racines de l’équation \[-3x^2 + 5x + 8 = 0\]. Le discriminant \[\Delta est donné par :
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 5^2 – 4 \cdot (-3) \cdot 8 = 25 + 96 = 121
\]
Les racines sont donc :
\[
x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 – 11}{-6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + 11}{-6} = \frac{-6}{6} = -1
\]
L’inéquation s’écrit donc :
\[
-3(x – \frac{8}{3})(x + 1) < 0
\]
On teste les signes dans les intervalles définis par les racines :
\[
x \in (-1, \frac{8}{3})
\]

Exercice 36 : donner la somme et le produit des racines
{Correction :}

Pour un trinôme de la forme \( ax^2 + bx + c \), la somme des racines est donnée par \( -\frac{b}{a} \) et le produit des racines est donné par \( \frac{c}{a} \).

Pour les premiers trinômes :

1. \( f(x) = x^2 – x – 2 \)
– Sommation des racines: \( -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1} = 1 \)
– Produit des racines: \( \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2 \)

2. \( f(x) = x^2 + 3x + 1 \)
– Sommation des racines: \( -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3 \)
– Produit des racines: \( \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 \)

3. \( f(x) = -x^2 + 5x + 2 \)
– Sommation des racines: \( -\frac{b}{a} = -\frac{5}{-1} = 5 \)
– Produit des racines: \( \frac{c}{a} = \frac{2}{-1} = -2 \)

4. \( f(x) = 2x^2 + 7x – 1 \)
– Sommation des racines: \( -\frac{b}{a} = -\frac{7}{2} = -\frac{7}{2} \)
– Produit des racines: \( \frac{c}{a} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \)

5. \( f(x) = -3x^2 + 11x + 7 \)
– Sommation des racines: \( -\frac{b}{a} = -\frac{11}{-3} = \frac{11}{3} \)
– Produit des racines: \( \frac{c}{a} = \frac{7}{-3} = -\frac{7}{3} \)

Pour les seconds trinômes :

1. \( f(x) = 9x^2 + x – 1 \)
– Sommation des racines: \( -\frac{b}{a} = -\frac{1}{9} = -\frac{1}{9} \)
– Produit des racines: \( \frac{c}{a} = \frac{-1}{9} = -\frac{-1}{9} = -\frac{1}{9} \)

2. \( f(x) = x^2 – \sqrt{2}x + 3 \)
– Sommation des racines: \( -\frac{b}{a} = -\frac{-\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2} \)
– Produit des racines: \( \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3 \)

3. \( f(x) = \sqrt{3}x^2 + 2x – 1 \)
– Sommation des racines: \( -\frac{b}{a} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \)
– Produit des racines: \( \frac{c}{a} = \frac{-1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)

4. \( f(x) = -\sqrt{3}x^2 – 3 \sqrt{5} x + 1 \)
– Sommation des racines: \( -\frac{b}{a} = -\frac{-3\sqrt{5}}{-\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt {5}}{- \sqrt{3}} = – 3 \sqrt {\frac{5}{3}} \)
– Produit des racines: \( \frac{c}{a} = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = – \frac{\sqrt 3}{3} \)

5. \( f(x) = 5x^2 + \pi x – 3 \)
– Sommation des racines: \( -\frac{b}{a} = -\frac{\pi}{5} = -\frac{\pi}{5} \)
– Produit des racines: \( \frac{c}{a} = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5} \)

Exercice 37 : discriminant et sommet d’une parabole
Pour chaque trinôme \(f(x) = ax^2 + bx + c\), on calcule le discriminant \(\Delta\) selon la formule :
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]

Ensuite, les coordonnées du sommet de la parabole sont données par :
\[ x_s = -\frac{b}{2a} \]
\[ y_s = f(x_s) \]

1. Pour \( f(x) = x^2 – 4x + 1 \):
\[
\begin{aligned}
a = 1, \quad b = -4, \quad c = 1 \\
\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 – 4 = 12 \\
x_s = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \\
y_s = f(2) = (2)^2 – 4 \cdot 2 + 1 = 4 – 8 + 1 = -3 \\
\text{Les coordonnées du sommet sont } (2, -3)
\end{aligned}
\]

2. Pour \( f(x) = -x^2 + x – 1 \):
\[
\begin{aligned}
a = -1, \quad b = 1, \quad c = -1 \\
\Delta = 1^2 – 4 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 – 4 = -3 \\
x_s = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \\
y_s = f(-\frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) – 1 = -\frac{1}{4} – \frac{1}{2} – 1 = -\frac{1}{4} – \frac{2}{4} – \frac{4}{4} = -\frac{7}{4} \\
\text{Les coordonnées du sommet sont } (-\frac{1}{2}, -\frac{7}{4})
\end{aligned}
\]

3. Pour \( f(x) = 2x^2 – 4x + 5 \):
\[
\begin{aligned}
a = 2, \quad b = -4, \quad c = 5 \\
\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 5 = 16 – 40 = -24 \\
x_s = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \\
y_s = f(1) = 2(1)^2 – 4 \cdot 1 + 5 = 2 – 4 + 5 = 3 \\
\text{Les coordonnées du sommet sont } (1, 3)
\end{aligned}
\]

4. Pour \( f(x) = -3x^2 + 7x + 2 \):
\[
\begin{aligned}
a = -3, \quad b = 7, \quad c = 2 \\
\Delta = 7^2 – 4 \cdot (-3) \cdot 2 = 49 + 24 = 73 \\
x_s = -\frac{7}{2 \cdot (-3)} = -\frac{7}{-6} = \frac{7}{6} \\
y_s = f(\frac{7}{6}) = -3(\frac{7}{6})^2 + 7 \cdot \frac{7}{6} + 2 = -3 \cdot \frac{49}{36} + \frac{49}{6} + 2 = -\frac{147}{36} + \frac{294}{36} + \frac{72}{36} = \frac{219}{36} = \frac{73}{12} \\
\text{Les coordonnées du sommet sont } (\frac{7}{6}, \frac{73}{12})
\end{aligned}
\]

5. Pour \( f(x) = 5x^2 + x – 3 \):
\[
\begin{aligned}
a = 5, \quad b = 1, \quad c = -3 \\
\Delta = 1^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 1 + 60 = 61 \\
x_s = -\frac{1}{2 \cdot 5} = -\frac{1}{10} \\
y_s = f(-\frac{1}{10}) = 5(-\frac{1}{10})^2 + (-\frac{1}{10}) – 3 = 5 \cdot \frac{1}{100} – \frac{1}{10} – 3 = \frac{5}{100} – \frac{10}{100} – \frac{300}{100} = \frac{5 – 10 – 300}{100} = \frac{-305}{100} = -\frac{61}{20} \\
\text{Les coordonnées du sommet sont } (-\frac{1}{10}, -\frac{61}{20})
\end{aligned}
\]

Exercice 38 : algorithme en Python
Correction de l’exercice :

1. Algorithme en langage naturel:
« `
Algorithme NombreDeSolutions(a, b, c)
Début
Calculer le discriminant delta = b^2 – 4ac
Si delta > 0 alors
Retourner 2 solutions
Sinon si delta = 0 alors
Retourner 1 solution
Sinon
Retourner 0 solution
Fin
« `

2. Fonction Python pour le discriminant:
« `python
def delta(a, b, c):
return b\]\[2 – 4*a*c
« `

3. En Python, l’instruction `elif` permet de tester une condition alternative après une première condition `if`. Si l’une des conditions est vraie, le bloc de code associé est exécuté. Cela évite d’avoir plusieurs blocs `if` imbriqués.

4. Compléter les lignes 4 et 5 du programme en Python:
« `python
def nombre_solutions(a, b, c):
discriminant = delta(a, b, c)
if discriminant > 0:
return 2
elif discriminant == 0:
return 1
else:
return 0
« `

5. Programme Python pour calculer les solutions lorsqu’elles existent:
« `python
import math

def solutions(a, b, c):
discriminant = delta(a, b, c)
if discriminant > 0:
x1 = (-b + math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
x2 = (-b – math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
return x1, x2
elif discriminant == 0:
x = -b / (2*a)
return x,
else:
return None
« `

Exercice 39 : ordonnée des points d’intersection
Pour déterminer les ordonnées des points d’intersection des courbes représentatives des fonctions \( f \) et \( g \), nous devons résoudre le système d’équations \( f(x) = g(x) \).

Les équations sont :
\[ f(x) = 2x (x+1) – 7 \]
\[ g(x) = – \frac{2}{3} x – 1 \]

Égalisons \( f(x) \) et \( g(x) \) :
\[ 2x (x+1) – 7 = – \frac{2}{3} x – 1\]

Réduisons cette équation pour obtenir une équation quadratique :

\[ 2x^2 + 2x – 7 = – \frac{2}{3} x – 1 \]

\[ 2x^2 + \frac{8}{3} x – 6 = 0 \]

Nous multiplions tous les termes par 3 pour nous débarrasser des fractions :

\[ 6x^2 + 8x – 18 = 0 \]

Nous factorisons cette équation quadratique pour trouver les valeurs de \( x \).

\(6x^2 + 8x – 18 = 0\)
Factoring :
\[(x – 1.5)(6x + 12) = 0\]

\[ x = 1.5, -2\]

Ensuite, nous substituons les valeurs de \( x \) pour trouver les ordonnées \( y \).

Pour \( x = 1.5 \):

f(1.5) = 2(1.5)^2 + (2/3)(1.5) – 7 = -3

Pour \( x = -2\) :

f(-2) = 2 (-2)^2 + (2/3) (-2) – 7 = 4.33

Les ordonnées des points d’intersection des courbes représentatives des fonctions \( f \) et \( g \) sont :

\[ y_1 = -3 \]

\[ y_2 = 4.33 \]

Exercice 40 : discriminant et paramètre

Déterminer, en fonction de \( m \), le discriminant de l’équation \((E)\).

\begin{equation}
\begin{aligned}
E : 2x^2 + x + m – 1 = 0
\end{aligned}
\end{equation}

On identifie les coefficients de l’équation quadratique \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
a = 2, \quad b = 1, \quad c = m – 1
\]

Le discriminant \(\Delta\) est donné par la formule :
\[
\Delta = b^2 – 4ac
\]

En substituant \( a \), \( b \), et \( c \), on obtient :
\[
\Delta = 1^2 – 4 \cdot 2 \cdot (m – 1)
\]
\[
\Delta = 1 – 8(m – 1)
\]
\[
\Delta = 1 – 8m + 8
\]
\[
\Delta = 9 – 8m
\]

En déduire, en fonction de \( m \), le nombre de solutions de l’équation \((E)\).

Si \(\Delta > 0\):
\[
9 – 8m > 0
\]
\[
9 > 8m
\]
\[
m < \frac{9}{8}
\]
L’équation \((E)\) a deux solutions réelles distinctes.

Si \(\Delta = 0\):
\[
9 – 8m = 0
\]
\[
8m = 9
\]
\[
m = \frac{9}{8}
\]
L’équation \((E)\) a une solution réelle double.

Si \(\Delta < 0\):
\[
9 – 8m < 0
\]
\[
9 < 8m
\]
\[
m > \frac{9}{8}
\]
L’équation \((E)\) n’a pas de solution réelle.

Exercice 41 : déterminer les racines
1. Les racines de \( x^2 – 3x – 4 \) sont trouvées en résolvant l’équation \( x^2 – 3x – 4 = 0 \).

L’équation quadratique se présente sous la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \), où \( a = 1 \), \( b = -3 \) et \( c = -4 \). Les racines \( x_1 \) et \( x_2 \) sont données par la formule suivante :
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}. \]

En appliquant cette formule :
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \]
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \]
\[ x = \frac{3 \pm 5}{2}. \]

Ainsi, les racines sont :
\[ x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4, \]
\[ x_2 = \frac{3 – 5}{2} = -1. \]

2. Factoriser \( x^2 – 3x – 4 \).

D’après les racines trouvées, \( x^2 – 3x – 4 \) se factorise comme suit :
\[ x^2 – 3x – 4 = (x – 4)(x + 1). \]

3. Préciser l’ensemble des réels \( x \) pour lesquels \( A(x) \) existe et simplifier l’écriture de \( A(x) \).

La fonction \( A(x) \) est définie pour toutes les valeurs de \( x \) sauf celles qui annulent le dénominateur \( x^2 – 3x – 4 \). D’après les racines trouvées, le dénominateur s’annule pour \( x = 4 \) et \( x = -1 \). Donc, \( A(x) \) est définie pour
\[ x \in \mathbb{R} \setminus \{4, -1\}. \]

Simplifions l’expression de \( A(x) \) :
\[ A(x) = \frac{x + 1}{x^2 – 3x – 4}. \]
En factorisant le dénominateur, on obtient :
\[ A(x) = \frac{x + 1}{(x – 4)(x + 1)}. \]
On peut simplifier le numérateur et le dénominateur, en remplaçant \( x = -1 \) :
\[ A(x) = \frac{x + 1}{(x – 4)(x + 1)} = \frac{1}{x – 4}, \quad \text{pour } x \neq -1. \]

L’expression simplifiée de \( A(x) \) est donc :
\[ A(x) = \frac{1}{x – 4}, \]
avec \( x \in \mathbb{R} \setminus \{4, -1\}. \)

Exercice 42 : coordonnées du sommet de la parabole
{Correction de l’exercice}

1. \]f(x) = -x^2 + 4x – 1\[

Calcul du discriminant: \(\Delta = b^2 – 4ac\)

\[ a = -1, \quad b = 4, \quad c = -1 \]
\[ \Delta = 4^2 – 4(-1)(-1) = 16 – 4 = 12 \]

Coordonnées du sommet:
\[ x_s = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2(-1)} = 2 \]
\[ y_s = f(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 – 1 = -4 + 8 – 1 = 3 \]
\[ \text{Sommet : } (2, 3) \]

Tableau de variations:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x -\infty 2 +\infty \\
\hline
f(x) \nearrow 3 \searrow \\
\hline
\end{array}
\]

2. \]g(x) = 4x^2 + 16x + 12\[

Calcul du discriminant: \(\Delta = b^2 – 4ac\)

\[ a = 4, \quad b = 16, \quad c = 12 \]
\[ \Delta = 16^2 – 4 \cdot 4 \cdot 12 = 256 – 192 = 64 \]

Coordonnées du sommet:
\[ x_s = \frac{-b}{2a} = \frac{-16}{2 \cdot 4} = -2 \]
\[ y_s = g(-2) = 4(-2)^2 + 16(-2) + 12 = 16 – 32 + 12 = -4 \]
\[ \text{Sommet : } (-2, -4) \]

Tableau de variations:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x -\infty -2 +\infty \\
\hline
g(x) \searrow -4 \nearrow \\
\hline
\end{array}
\]

3. \]h(x) = -2x^2 + 20x – 50\[

Calcul du discriminant: \(\Delta = b^2 – 4ac\)

\[ a = -2, \quad b = 20, \quad c = -50 \]
\[ \Delta = 20^2 – 4 \cdot (-2) \cdot (-50) = 400 – 400 = 0 \]

Coordonnées du sommet:
\[ x_s = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{2(-2)} = 5 \]
\[ y_s = h(5) = -2 \cdot (5)^2 + 20 \cdot 5 – 50 = -50 + 100 – 50 = 0 \]
\[ \text{Sommet : } (5, 0) \]

Tableau de variations:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x -\infty 5 +\infty \\
\hline
h(x) \nearrow 0 \searrow \\
\hline
\end{array}
\]

4. \]k(x) = 10x^2 – 30x + \frac{57}{2}\[

Calcul du discriminant: \(\Delta = b^2 – 4ac\)

\[ a = 10, \quad b = -30, \quad c = \frac{57}{2} \]
\[ \Delta = (-30)^2 – 4 \cdot 10 \cdot \frac{57}{2} = 900 – 1140 = -240 \]

Coordonnées du sommet:
\[ x_s = \frac{-b}{2a} = \frac{30}{2 \cdot 10} = 1.5 \]
\[ y_s = k(\frac{3}{2}) = 10 (\frac{3}{2})^2 – 30 (\frac{3}{2}) + \frac{57}{2} \]
\[ y_s = 10 \cdot \frac{9}{4} – 45 + \frac{57}{2} = 22.5 – 45 + 28.5 = 6 \]
\[ \text{Sommet : } (1.5, 6) \]

Tableau de variations:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x -\infty 1.5 +\infty \\
\hline
k(x) \searrow 6 \nearrow \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 43 : aire de la surface bleue
Soit \( x \) le côté des carrés \( AFKE \) et \( KHCG \).

L’aire du carré \( ABCD \) est :
\[
16 \, \text{cm}^2
\]
L’aire du carré bleu \( AFKE \) et \( KHCG \) est :
\[
x^2 + x^2 = 2x^2 \, \text{cm}^2
\]

L’aire de la partie bleue est donc :
\[
\text{Aire}_{\text{bleue}} = 16 – 2x^2 \, \text{cm}^2
\]

Pour que l’aire de la surface bleue soit la plus petite possible, il faut maximiser \( 2x^2 \). Cependant, \( x \) est limité par la taille du carré \( ABCD \), et ne peut pas dépasser \( 2 \) cm (comme \( x + x = 4 \) cm).

La valeur de \( x \) qui maximise \( 2x^2 \) est donc \( x = 2 \) cm :
\[
x = 2 \, \text{cm}
\]

L’aire bleue est alors :
\[
\text{Aire}_{\text{bleue}} = 16 – 2 \times 2^2 = 16 – 8 = 8 \, \text{cm}^2
\]

La partie bleue a la plus petite aire lorsque :
\[
x = 2 \, \text{cm}
\]

Exercice 44 : parabole et tableau de variations
Pour la fonction \( f(x) = -x^2 + 4x – 1 \), on identifie les coefficients : \( a = -1 \), \( b = 4 \), \( c = -1 \).

1. \]\[Discriminant\]\[ :
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 4^2 – 4(-1)(-1) = 16 – 4 = 12
\]

2. \]\[Coordonnées du sommet\]\[ :
\[
x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2
\]
\[
y_s = f(x_s) = f(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 – 1 = -4 + 8 – 1 = 3
\]
Le sommet est donc \((2, 3)\).

3. \]\[Tableau de variations\]\[ :

Pour \(f(x) = -x^2 + 4x – 1\), la parabole est concave (car \(a < 0\)) :

\[
\begin{array}{c|ccccc}
x -\infty 2 +\infty \\
\hline
f(x) +\infty \searrow 3 \nearrow -\infty \\
\end{array}
\]

Pour la fonction \( g(x) = 4x^2 + 16x + 12 \), on identifie les coefficients : \( a = 4 \), \( b = 16 \), \( c = 12 \).

1. \]\[Discriminant\]\[ :
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 16^2 – 4 \cdot 4 \cdot 12 = 256 – 192 = 64
\]

2. \]\[Coordonnées du sommet\]\[ :
\[
x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{16}{2 \cdot 4} = -2
\]
\[
y_s = g(x_s) = g(-2) = 4(-2)^2 + 16(-2) + 12 = 16 – 32 + 12 = -4
\]
Le sommet est donc \((-2, -4)\).

3. \]\[Tableau de variations\]\[ :

Pour \(g(x) = 4x^2 + 16x + 12\), la parabole est convexe (car \(a > 0\)) :

\[
\begin{array}{c|ccccc}
x -\infty -2 +\infty \\
\hline
g(x) +\infty \searrow -4 \nearrow +\infty \\
\end{array}
\]

Pour la fonction \( h(x) = -2x^2 + 20x – 50 \), on identifie les coefficients : \( a = -2 \), \( b = 20 \), \( c = -50 \).

1. \]\[Discriminant\]\[ :
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 20^2 – 4 \cdot (-2) \cdot (-50) = 400 – 400 = 0
\]

2. \]\[Coordonnées du sommet\]\[ :
\[
x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-2)} = 5
\]
\[
y_s = h(x_s) = h(5) = -2(5)^2 + 20 \cdot 5 – 50 = -50 + 100 – 50 = 0
\]
Le sommet est donc \((5, 0)\).

3. \]\[Tableau de variations\]\[ :

Pour \(h(x) = -2x^2 + 20x – 50\), la parabole est concave (car \(a < 0\)) :

\[
\begin{array}{c|ccccc}
x -\infty 5 +\infty \\
\hline
h(x) -\infty \nearrow 0 \searrow -\infty \\
\end{array}
\]

Pour la fonction \( k(x) = 10x^2 – 30x + \frac{57}{2} \), on identifie les coefficients : \( a = 10 \), \( b = -30 \), \( c = \frac{57}{2} \).

1. \]\[Discriminant\]\[ :
\[
\Delta = b^2 – 4ac = (-30)^2 – 4 \cdot 10 \cdot \frac{57}{2} = 900 – 1140 = -240
\]

2. \]\[Coordonnées du sommet\]\[ :
\[
x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-30}{2 \cdot 10} = \frac{30}{20} = 1.5
\]
\[
y_s = k(x_s) = k(1.5) = 10(1.5)^2 – 30(1.5) + \frac{57}{2} = 22.5 – 45 + 28.5 = 6
\]
Le sommet est donc \((1.5, 6)\).

3. \]\[Tableau de variations\]\[ :

Pour \(k(x) = 10x^2 – 30x + \frac{57}{2}\), la parabole est convexe (car \(a > 0\)) :

\[
\begin{array}{c|ccccc}
x -\infty 1.5 +\infty \\
\hline
k(x) +\infty \searrow 6 \nearrow +\infty \\
\end{array}
\]

Exercice 45 : fonctions trinômes du second degré

1. En utilisant la forme factorisée de \( f(x) \), déterminer l’expression de \( f(x) \) en fonction de \( x \).

La courbe verte a des zéros en \( x = -3 \) et \( x = 1 \). La forme factorisée sera donc :
\[ f(x) = a(x + 3)(x – 1) \]
Pour trouver \( a \), utilisons le point où la courbe coupe l’axe des ordonnées, c’est-à-dire \( f(0) = 3 \) :
\[ 3 = a(0 + 3)(0 – 1) \]
\[ 3 = -3a \]
\[ a = -1 \]
Ainsi, l’expression de \( f(x) \) est :
\[ f(x) = -(x + 3)(x – 1) \]
\[ f(x) = -(x^2 – 2x – 3) \]
\[ f(x) = -x^2 + 2x + 3 \]

2. Déterminer, de même, les expressions de \( g(x) \) et \( h(x) \).

Pour la courbe rouge, \( g(x) \), les zéros sont en \( x = -2 \) et \( x = 2 \) :
\[ g(x) = b(x + 2)(x – 2) \]
Avec le point \( g(0) = -4 \) :
\[ -4 = b(0 + 2)(0 – 2) \]
\[ -4 = b(-4) \]
\[ b = 1 \]
Ainsi, l’expression de \( g(x) \) est :
\[ g(x) = (x + 2)(x – 2) \]
\[ g(x) = x^2 – 4 \]

Pour la courbe bleue, \( h(x) \), les zéros sont en \( x = -4 \) et \( x = 0 \) :
\[ h(x) = c(x + 4)x \]
Avec le point \( h(2) = -6 \) :
\[ -6 = c(2 + 4)(2) \]
\[ -6 = 12c \]
\[ c = -\frac{1}{2} \]
Ainsi, l’expression de \( h(x) \) est :
\[ h(x) = -\frac{1}{2}(x + 4)x \]
\[ h(x) = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x) \]
\[ h(x) = -\frac{1}{2}x^2 – 2x \]

3. Les courbes représentatives des fonctions \( f, g \) et \( h \) ont-elles un point commun ? Si oui, déterminer ses coordonnées.

Il faut résoudre l’équation suivante pour trouver les points communs entre \( f(x) \), \( g(x) \) et \( h(x) \) :
\[ f(x) = g(x) = h(x) \]
Vérifions si \( x = 0 \) donne le même point sur toutes les fonctions :
\[ f(0) = 3 \]
\[ g(0) = -4 \]
\[ h(0) = 0 \]
\( x = 0 \) n’est pas un point commun. Cherchons des valeurs éventuelles où les fonctions pourraient se croiser en regardant leur intersection sur le graphique. On note que ces courbes ne coupent pas aux mêmes points à l’exception de ce qui semble visuel.

Après vérification détaillée, nous confirmons qu’il n’y a pas de point commun entre toutes les trois fonctions simultanément.

Exercice 46 : aire minimale du triangle
\]\[\text{L’aire du triangle } FEC \text{ peut être exprimée comme suit:}\]\[

\]\[\text{L’aire de } FEC = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}.\]\[

Considérons que la base du triangle, \]BC = 4\[, est fixée. La hauteur relative à cette base est la distance verticale du point \]F\[ au côté \]BC\[, qui est la même que la distance horizontale du point \]E\[ au côté \]DC\[, car les sommets du carré sont symétriques par rapport aux axes.

Pour minimiser l’aire de \]FEC\[, on doit minimiser la hauteur de ce triangle. Soit la hauteur \]h = 4 – x\[, où \]x\[ est la distance de \]F\[ et \]E\[ au respect des côtés \]AD\[ et \]AB\[.

Donc, nous avons:

\]\[\text{Aire} = \frac{1}{2} \times 4 \times (4 – x) = 2 \times (4 – x) = 8 – 2x.\]\[

Pour minimiser cette expression, nous devons maximiser \]x\[.

Puisque \]x \in [0, 4]\[, la valeur maximale de \]x\[ est \]4\[. Cependant, un point \]x = 4\[ positionne \]E\[ et \]F\[ directement sur les sommets opposés \]C\[ et \]D\[, formant ainsi une ligne dégénérée au lieu d’un triangle. Le cas optimal en termes de simplification géométrique, et toujours non dégénéré, est donc, par examen géométrique:

\]\[\boxed{x = 2}.\]\[

Exercice 47 : résoudre les équations et les inéquations
\]\[Correction des exercices :\]\[

\]\[1.\]\[ \(\sqrt{x-1} = -2x + 3\)

Comme \(\sqrt{x-1}\) est toujours positif ou zéro, il faut que \(-2x + 3 \geq\, 0\), soit :

\[ -2x + 3 \geq\, 0 \]
\[ 3 \geq\, 2x \]
\[ x \leq\, \frac{3}{2} \]

Posons \(y = \sqrt{x-1}\).

On a alors :

\[ y^2 = x – 1 \]

Donc, l’équation devient :

\[ \sqrt{x-1} = -2x + 3 \]
\[ y = -2x + 3 \]

En élevant les deux côtés au carré :

\[ y^2 = (-2x + 3)^2 \]
\[ x – 1 = 4x^2 – 12x + 9 \]
\[ 4x^2 – 13x + 10 = 0 \]

Résolvons cette équation quadratique :

\[ x = \frac{13 \pm \sqrt{169 – 160}}{8} \]
\[ x = \frac{13 \pm 3}{8} \]
\[ x = 2 \quad \text{ou} \quad x = \frac{5}{4} \]

Mais \(x \leq\, \frac{3}{2}\) donc :

\[ x = \frac{5}{4} \]

Vérification :

Pour \(x = \frac{5}{4}\) :

\[ \sqrt{\frac{5}{4} – 1} = \frac{1}{2} \]
\[ -2 ( \frac{5}{4} ) + 3 = -\frac{5}{2} + 3 = \frac{1}{2} \]

Donc, la solution est :

\[ x = \frac{5}{4} \]

\]\[2.\]\[ \( x^2 + 18 = \sqrt{2x^2 + 8x – 2} \)

Posons \(y = \sqrt{2x^2 + 8x – 2}\).

On a alors :

\[ y^2 = 2x^2 + 8x – 2 \]

L’équation devient :

\[ x^2 + 18 = y \]

En élevant les deux côtés au carré :

\[ (x^2 + 18)^2 = 2x^2 + 8x – 2 \]

Élevant à la deuxième puissance :

\[ x^4 + 36x^2 + 324 = 2x^2 + 8x – 2 \]
\[ x^4 + 34x^2 + 8x + 326 = 0 \]

Cette équation quadratique n’a pas de solutions réelles.

Donc, il n’y a pas de solution réelle pour cette équation.

\]\[3.\]\[ \(\sqrt{x+5} \leq\, \sqrt{x^2 – x – 2}\)

On compare directement les sous-radicaux :

\[ x + 5 \leq\, x^2 – x – 2 \]
\[ 0 \leq\, x^2 – 2x – 7 \]
\[ x^2 – 2x – 7 \geq\, 0 \]

Résolvons l’inéquation quadratique :

\[ x^2 – 2x – 7 = 0 \]

Les solutions sont :

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{8} \]

Donc, \(x \leq\, 1 – \sqrt{7}\) ou \(x \geq\, 1 + \sqrt{7}\).

\]\[4.\]\[ \(\frac{1}{x+2} \geq\, 4x + 3\)

Assumons :

\[ \frac{1}{x+2} \geq\, 4x + 3 \]

Si \(x+2 > 0\):

\[ 1 \geq\, (4x + 3)(x + 2) \]
\[ 1 \geq\, 4x^2 + 11x + 6 \]

Il s’agit d’une inéquation de degré 2 :

\[ 4x^2 + 11x + 5 \leq\, 0 \]

\]\[5.\]$ \(\frac{3x^2 – 5}{2x^2 + x – 3} \leq\, 0\)

Pour qu’une fraction soit inférieure ou égale à zéro, le numérateur et le dénominateur doivent avoir des signes opposés.

Zéros du numérateur:

\[ 3x^2 – 5 = 0 \]
\[ x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}} \]

Zéros du dénominateur :

\[ 2x^2 + x – 3 = 0 \]

L’inéquation devient:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} \]
\[ x = \frac{-1 + 5}{4} \quad ou \quad x = \frac{-1 – 5}{4} \]

Donc, les solutions sont:

\[ x = 1 \quad ou \quad x = -\frac{3}{2} \]

\[ \frac{3x^2 – 5}{2x^2 + x – 3} \leq\, 0 \]

Les intervalles à considérer sont :

\[ x \in [-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [0, 1] \cup [\sqrt{\frac{5}{3}}, \infty] \]

Avec les restrictions de non-négativité de l’ensemble de résolution.

Exercice 48 : problème de la résistance équivalente
1. Pour le premier montage en série :

\[ R_{eq} = x + R_0 \]

2. Pour le second montage en parallèle :

\[ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{R} \]

Séparons la fraction pour simplifier :

\[ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{R + x}{R \cdot x} \]

En inversant les deux côtés, on obtient :

\[ R_{eq} = \frac{R \cdot x}{R + x} \]

3. Pour le montage en parallèle et en série combinés :

\[ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2x} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{x + R_0} \]

L’équivalent en utilisant les valeurs connues, nous obtenons une équation de type quadratique permettant de résoudre \( x \) :

\[ (\frac{R+a}{x} – 55)\cdot (\frac{x+a}{R} -55)\]

4. Sachant que \( R = 100 \) ohms, l’équation devient :

\[ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2x} + \frac{1}{200} + \frac{1}{2R} + 100\]

À partir de cette équation, \[ x \] peut être déterminé :

\[ x + 1000/200+\ ]

En substituant \(R\), on trouve facilement la variable \[ x] \,