Exercice 1 : calcul d’un produit scalaire
Nous avons :
Donc :
Exercice 2 : produit scalaire dans un carré
Correction de l’exercice de mathématiques :
Le vecteur a pour coordonnées
,
a pour coordonnées
,
a pour coordonnées
et
a pour coordonnées
.
Les points ,
,
, et
sont les milieux des côtés du carré. Leurs coordonnées sont :
–
–
–
–
### Calcul des produits scalaires
1. » align= »absmiddle » />
2. » align= »absmiddle » />
3. » align= »absmiddle » />
4. » align= »absmiddle » />
### Correspondances
–
–
–
–
Ainsi, les correspondances correctes sont les suivantes :
– :
– :
– :
– :
Exercice 3 : vecteur normal à une droite
$\mathbf{d_1}$ d’équation $65x – 12y + 6 = 0$
Un vecteur normal à la droite $d_1$ est donné par les coefficients de $x$ et $y$ dans l’équation de la droite. Ainsi, un vecteur normal est :
$\mathbf{d_2}$ d’équation $y = 3x – 2$
On peut réécrire cette équation sous la forme $3x – y – 2 = 0$. Un vecteur normal est donc :
$\mathbf{d_3}$ d’équation $-8x = -y + 2$
On peut réécrire cette équation sous la forme $-8x + y – 2 = 0$. Un vecteur normal est donc :
$(AB) $ avec $A(4, 3)$ et $B(6, 12)$
Le vecteur $\vec{AB}$ est donné par :
Un vecteur normal à $\vec{AB}$ peut être trouvé en prenant un vecteur perpendiculaire. Si $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \end{pmatrix}$, alors un vecteur normal est :
Exercice 4 : résoudre une équation avec des cosinus
1) On effectue un changement de variable. On pose avec
.
a) L’équation (1) devient :
b) Le discriminant de cette équation quadratique est :
Avec ,
, et
, nous obtenons :
c) Les solutions de l’équation quadratique sont données par la formule :
Donc les solutions sont :
2) Pour déduire les solutions de l’équation (1) dans puis dans
:
Les valeurs de trouvées sont
et
.
Pour :
Pour :
Ainsi, les solutions dans l’intervalle sont :
Exercice 5 : droite et vecteur normal
L’équation cartésienne de la droite est
.
Pour que la droite soit caractérisée par le vecteur normal , ses coefficients directeurs doivent être proportionnels aux coordonnées de
.
Vérifions cette proportionalité. Le vecteur normal associé à notre droite est
.
Calculons le rapport de proportionnalité entre et
:
Les rapports sont égaux, donc et
sont bien colinéaires, ce qui signifie que
est effectivement un vecteur normal à la droite
.
Vérifions maintenant si le point appartient à la droite
.
Substituons les coordonnées de dans l’équation de la droite
:
L’équation est satisfaite, donc le point appartient bien à la droite
.
La droite , d’équation
, est donc effectivement caractérisée par le vecteur normal
et passe par le point
.
Exercice 6 : rayon et coordonnées du centre du cercle
1) Pour le cercle d’équation
:
– Les coordonnées du centre sont .
– Le rayon est .
2) Pour le cercle d’équation
:
– Les coordonnées du centre sont .
– Le rayon est .
Exercice 7 : droites perpendiculaires
1) Déterminons les coefficients directeurs des droites et
.
*Pour :*
Les coordonnées des points et
sont respectivement
et
.
Le coefficient directeur est donné par :
*Pour :*
Les coordonnées des points et
sont respectivement
et
.
Le coefficient directeur est donné par :
*Vérifions si les droites sont perpendiculaires :*
Les droites sont perpendiculaires si .
Donc, les droites et
ne sont pas perpendiculaires.
—
2) Déterminons le coefficient directeur de la droite et vérifions si elle est perpendiculaire à la droite
.
*Pour :*
Les coordonnées des points et
sont respectivement
et
.
Le coefficient directeur est donné par :
*Pour :*
L’équation de est
.
Le coefficient directeur est donné par
où l’équation générale est
.
*Vérifions si les droites sont perpendiculaires :*
Les droites sont perpendiculaires si .
Donc, les droites et
sont perpendiculaires.
—
3) Vérifions si les droites et
sont perpendiculaires.
*Pour :*
L’équation de est
.
Le coefficient directeur est donné par
.
*Pour :*
L’équation de est
.
Le coefficient directeur est donné par
.
*Vérifions si les droites sont perpendiculaires :*
Les droites sont perpendiculaires si .
Donc, les droites et
ne sont pas perpendiculaires.
Exercice 8 : exprimer un produit scalaire en fonction de vecteurs
1) La figure montre un triangle formé par les points ,
et
avec les côtés de longueurs données :
,
et
.
2) Pour exprimer en fonction de
,
, et
(qui sont des longueurs), utilisons la loi des cosinus. Soient les angles du triangle
,
et
. L’angle
est donné par :
Ainsi,
Puisque
nous avons
3) Pour en déduire , nous devons utiliser les relations trigonométriques et la géométrie des points. Sachant que
, calculons:
Utilisez le théorème de la projection:
et sachant que
nous trouvons:
Finalement,
Ainsi,
Exercice 9 : calculs de produits scalaires
Les vecteurs ,
et
peuvent être interprétés à partir des longueurs donnés
,
et
. On va utiliser les produits scalaires pour trouver la réponse aux questions posées. On note que les produits scalaires
,
et
nécessitent les coordonnées des points si on souhaite les calculer directement. Cependant, nous pouvons utiliser les propriétés des produits scalaires pour résoudre ce problème sans les coordonnées précises.
1)
Nous savons que .
Donc, pour le produit scalaire, on a :
Mais , donc
.
Ensuite, comme est orthogonal à
,
Ainsi,
2)
Sachant et
, on peut réécrire
:
Et par la même logique,
Ainsi,
Comme est orthogonal à
,
Et
Donc,
3)
Sachant que et
est l’inverse de
:
D’où,
Et
donc
2)
3)
Exercice 10 : calculer des normes de vecteurs
Calculons les normes des vecteurs :
Calculons maintenant la norme de la somme des vecteurs :
Calculons le produit scalaire des vecteurs :
Exercice 11 : calculer des produits scalaires à l’aide de coordonnées
\begin{multicols}{2}
1) $ \vec{u} \cdot \vec{v} $
2) $ \vec{s} \cdot \vec{t} $
3) $ \vec{a} \cdot \vec{b} $
4) $ \vec{c} \cdot \vec{UV} $
5) $ \vec{r} \cdot \vec{AB} $
6) $\vec{CD} \cdot \vec{MR}$
7) $\vec{ST} \cdot \vec{EF}$
\end{multicols}
Exercice 12 : déterminer les produits scalaires suivants
[1)]
[2)]
[3)]
Exercice 13 : ecrire un algorithme qui donne le produit scalaire
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
\KwData{Coordonnées des vecteurs $\vec{u}(u_1, u_2, u_3)$ et $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$}
\KwResult{Produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$}
\BlankLine
\Begin{
\tcp{Demande des coordonnées du premier vecteur $\vec{u}$}
Lire $u_1, u_2, u_3$\;
\tcp{Demande des coordonnées du second vecteur $\vec{v}$}
Lire $v_1, v_2, v_3$\;
\tcp{Calcul du produit scalaire des deux vecteurs}
$produit\_scalaire \gets u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$\;
\tcp{Affichage du résultat}
Afficher $produit\_scalaire$\;
}
\end{algorithm}
En utilisant LaTeX, les étapes de l’algorithme peuvent être détaillées comme suit :
1. Demander les coordonnées des vecteurs :
2. Calculer le produit scalaire :
3. Afficher le résultat :
Ainsi, le produit scalaire de deux vecteurs et
dans un repère orthonormé est donné par :
Exercice 14 : calculs de produits scalaires dans un rectangle
[Correction]
Reproduire la figure.
Calcul des produits scalaires en utilisant un repère orthonormé adapté.
[1)] Soit ,
,
et
.
Les points ,
,
, et
sont les milieux des côtés respectifs :
est le milieu de
:
est le milieu de
:
est le milieu de
:
est le milieu de
:
[2)] Calcul des produits scalaires.
[a) ]
[b) ]
[c) ]
[d) ]
[e) ]
[f) ]
Exercice 15 : déterminer des produits scalaires
1) Pour déterminer tel que
:
Le produit scalaire de et
est donné par :
On souhaite que :
Donc .
2) Pour déterminer tel que
:
Le produit scalaire de et
est donné par :
On souhaite que . Sachant que
, nous avons :
Donc .
Exercice 16 : déterminer la valeur de x
Pour résoudre cet exercice, nous devons calculer le produit scalaire des deux vecteurs et
. Le produit scalaire est défini comme suit :
Calculons ce produit scalaire :
Nous devons maintenant trouver les valeurs de pour lesquelles ce produit scalaire satisfait les conditions données :
1)
Cette équation n’a pas de solution réelle car est toujours positif.
2)
Cette équation n’a également pas de solution réelle car est toujours positif.
3)
4)
Ainsi, la correction de l’exercice est :
1) : Pas de solution.
2) : Pas de solution.
3) :
4)
Exercice 17 : les droites sont-elles perpendiculaires?
1) Les droites et
sont-elles perpendiculaires ?
Pour déterminer si les droites et
sont perpendiculaires, on calcule les pentes des droites.
Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes vaut .
Donc, les droites et
ne sont pas perpendiculaires.
2)
a) Même question pour et
Calculons les pentes des droites et
.
Produit des pentes:
Donc, les droites et
sont perpendiculaires.
b) Même question pour et
Calculons les pentes des droites et
.
Produit des pentes:
Donc, les droites et
ne sont pas perpendiculaires.
Exercice 18 : le triangle est-il rectangle?
Pour déterminer si les triangles et
sont rectangles, nous allons utiliser le produit scalaire des vecteurs.
1) est-il rectangle en
? » align= »absmiddle » />
Calculons les vecteurs et
:
Calculons le produit scalaire :
Le produit scalaire n’étant pas nul, le triangle
n’est pas rectangle en
.
2) est-il rectangle ? » align= »absmiddle » />
Calculons les vecteurs et
:
Calculons le produit scalaire :
Le produit scalaire n’étant pas nul, le triangle
n’est pas rectangle.
Exercice 19 : déterminer la nature du quadrilatère QRST
Pour montrer que le triangle est rectangle en
, nous allons d’abord calculer les coordonnées des vecteurs
et
, puis vérifier que ces vecteurs sont orthogonaux.
Les coordonnées du vecteur sont :
Les coordonnées du vecteur sont :
Nous calculons ensuite le produit scalaire :
Développons les produits :
Ainsi :
Le produit scalaire étant nul, les vecteurs et
sont orthogonaux. Donc, le triangle
est rectangle en
.
Passons maintenant à la détermination de la nature du quadrilatère .
Calculons les longueurs des côtés du quadrilatère :
Les côtés sont de la même longueur. Vérifions maintenant les diagonales :
Les diagonales sont également de la même longueur. Par conséquent, le quadrilatère est un losange.
Donc, le quadrilatère est un losange.
Exercice 20 : montrer que ABCD est un trapèze rectangle
On considère trois points ,
et
. Déterminer
tel que
soit rectangle en
.
Pour que soit rectangle en
, les vecteurs
et
doivent être orthogonaux, c’est-à-dire que leur produit scalaire doit être nul.
Le produit scalaire donne :
Donc, .
On considère quatre points ,
,
et
. Montrer que
est un trapèze rectangle puis calculer son aire.
Pour montrer que est un trapèze, il faut vérifier que deux côtés sont parallèles.
Calculons les coefficients directeurs des segments et
.
Coefficient directeur de :
Coefficient directeur de :
Donc, les segments et
sont parallèles car ils ont le même coefficient directeur.
Pour montrer que est un trapèze rectangle, on doit vérifier que l’un des côtés non parallèles est perpendiculaire aux côtés parallèles
et
.
Calculons les coefficients directeurs des segments et
.
Coefficient directeur de :
Coefficient directeur de :
Les coefficients directeurs et
montrent que les segments
et
sont perpendiculaires car leur produit (
) est égal à
.
Donc, est bien un trapèze rectangle.
Pour calculer l’aire d’un trapèze rectangle, nous utilisons la formule :
Longueur de :
Longueur de :
La hauteur est la différence en ordonnées entre les points
et
:
Donc :
Ainsi, l’aire du trapèze rectangle est
.
Exercice 21 : donner un vecteur directeur
Donner un vecteur directeur de chacune des deux droites.
Pour la droite $y = ax + b$, un vecteur directeur est :
Pour la droite $y = a’x + b’$, un vecteur directeur est :
En déduire la propriété suivante : Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.
Pour que deux droites soient perpendiculaires, le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs doit être nul :
Calculons ce produit scalaire:
Pour que les droites soient perpendiculaires, il faut :
Ainsi, deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.
Parmi les droites $d_1, d_2$ et $d_3$ d’équations respectives $y = 2x + 3$, $y = -2x + 5$ et $y = -\frac{1{2}x – 6$, lesquelles sont perpendiculaires ?}
Coefficient directeur de $d_1$: $a_1 = 2$
Coefficient directeur de $d_2$: $a_2 = -2$
Coefficient directeur de $d_3$: $a_3 = -\frac{1}{2}$
Vérifions les produits des coefficients directeurs:
Donc, les droites $d_1$ et $d_3$ sont perpendiculaires.
Exercice 22 : démonstration d’une propriété algébrique
Pour montrer que , nous allons utiliser la définition du produit scalaire et les propriétés de la multiplication.
Soient et
deux vecteurs du plan, avec
et
.
Soient et
deux réels, examinons
.
Le produit scalaire de et
est alors:
En utilisant la définition du produit scalaire en coordonnées :
D’où :
Sachant que :
Nous avons finalement :
Ce qui prouve que pour tous réels et
et tous vecteurs
et
du plan, on a :
Exercice 23 : calculs de produits scalaires à l’aide des normes
,
et
,
et
,
et
,
et
,
et
,
et
Exercice 24 : calculs de produits scalaires et normes de vecteurs
1)
Le produit scalaire est donné par:
Ici, , donc:
Ainsi:
2)
Le produit scalaire est donné par:
Ici, , donc:
Ainsi:
3)
Le produit scalaire est donné par:
Ici, , donc:
Ainsi:
4)
Le produit scalaire est donné par:
Donc:
Ainsi:
Exercice 25 : projection de deux points sur une droite
Correction de l’exercice
1) Montrons l’égalité vectorielle :
Les vecteurs $\vec{CC’}$ et $\vec{D’D}$ sont orthogonaux au vecteur $\vec{AB}$ puisque ce sont les projectés orthogonaux :
Il reste donc :
2) En déduire que :
En remarquant que $\vec{A’B} = \vec{AB}$, nous avons :
Puisque $\vec{A’B} = \vec{AB}$, on a donc prouvé la deuxième égalité.
Exercice 26 : exprimer des produits scalaires dans un carré
1)
Puisque et
,
2)
Puisque et
,
3)
Puisque et
,
4)
Puisque et
,
5)
Puisque et
,
6)
Puisque et
,
7)
Puisque et
,
8)
Puisque et
,
9)
Puisque et
,
Exercice 27 : produits scalaires dans un hexagone régulier
« `
1.
Les vecteurs et
sont opposés (symétriques par rapport à
). Par conséquent, leur produit scalaire est négatif et vaut
.
Comme ,
2.
Les vecteurs et
forment un angle de
radians. Leur produit scalaire vaut donc :
3.
Les vecteurs et
forment un angle de
radians. Leur produit scalaire vaut donc :
4.
Les vecteurs et
sont parallèles et opposés. Leur produit scalaire est donc négatif et vaut
.
Comme ,
5.
Les vecteurs et
forment un angle de
radians. Leur produit scalaire vaut donc :
6.
Les vecteurs et
sont parallèles et opposés. Leur produit scalaire est donc négatif et vaut
.
Comme ,
7.
Les vecteurs et
forment un angle de
radians. Leur produit scalaire vaut donc :
8.
Les vecteurs et
forment un angle de
radians. Leur produit scalaire vaut donc :
9.
Les vecteurs et
forment un angle de
radians. Leur produit scalaire est négatif et vaut
.
Comme ,
Exercice 28 : produits scalaires égaux
Pour déterminer quels produits scalaires sont égaux à
, nous procédons à la vérification pour chaque cas.
,
et
Le produit scalaire est donné par :
Sachant que , on obtient :
Donc, ce produit n’est pas égal à .
,
où
est le pied de la hauteur issue de
dans le triangle
.
On calcule d’abord , sachant que
est le pied de la hauteur, donc
, et
se trouve sur
.
Comme , il faut que soit
soit à l’extérieur du segment
parce que
car aucune information supplémentaire n’est donnée sur la direction perpendiculaire.
Si :
Donc ce cas aussi n’est pas égal à -2.
,
et
.
Utilisons le théorème de la cosinus :
Donc ce cas aussi n’est pas égal à -2.
et
.
Pour ce cas, nous utilisons le produit scalaire pour les vecteurs donnés par :
Donc ce cas aussi n’est pas égal à -2.
Conclusion: Après avoir vérifié tous les cas, aucun des produits scalaires fournis n’est égal à -2.
Exercice 29 : qCM sur le produit scalaire
Soit et
deux vecteurs tels que
,
et
.
Nous cherchons à vérifier les affirmations suivantes :
(a)
(b)
(c)
(d)
Utilisons d’abord la norme de :
Ainsi, l’affirmation (a) est correcte.
Ensuite, vérifions la norme de :
L’affirmation (d) est donc correcte.
Passons à l’affirmation (b):
mais nous avons trouvé que . L’affirmation (b) est donc incorrecte.
Enfin, vérifions l’orthogonalité et
:
Cela signifie que . Or, nous avons trouvé que
. L’affirmation (c) est donc incorrecte.
En conclusion, les affirmations correctes sont (a) et (d).
Exercice 30 : qCM sur la norme et le produit scalaire
Correction de l’exercice:
On considère les vecteurs et
.
a) Calculons la norme de :
b) Calculons le carré de la norme de :
c) Calculons le produit scalaire :
d) Calculons le produit scalaire (notons que le produit scalaire est commutatif, donc) :
Validons les assertions :
a) : Vrai
b) : Faux (Nous avons trouvé 25)
c) : Faux (Nous avons calculé 4)
d) : Vrai
Exercice 31 : QCM sur le vecteur normal à une droite
Nous cherchons l’équation de la droite dont le vecteur normal est donné par .
Le vecteur normal d’une droite est
.
Ainsi, le vecteur est un vecteur normal à l’une des droites proposées si et seulement si :
Examinons les équations des droites proposées :
1.
2.
3.
4.
En comparant chaque équation avec :
1. Pour , on a
et
.
et
, ce n’est donc pas la bonne équation.
2. Pour , on a
et
.
, ce n’est donc pas la bonne équation.
3. Pour , on a
et
.
, ce n’est donc pas la bonne équation.
4. Pour , on la réécrit en forme
:
Ce qui est équivalent à :
Et si on réarrange de manière à identifier et
:
Nous avons donc et
.
Donc la bonne équation est:
Exercice 32 : affirmation vraie ou fausse ?
Soient et
deux vecteurs. Déterminons si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. Si , alors
ou
.
2. Si les normes des deux vecteurs sont des nombres entiers, alors leur produit scalaire est aussi un nombre entier.
Soient les vecteurs ,
,
et
,
1. Si , alors
.
2. Si alors
.
3. Si , alors les points
et
sont confondus.
Exercice 33 : que peut-on dire des points A, B et C ?
1.
Cela signifie que les vecteurs et
sont orthogonaux (perpendiculaires).
2.
Cela signifie que le point est commun ainsi que le point
, et que le point
est tel que la projection orthogonale du point
sur la droite passant par
et
est exactement
. En d’autres termes, le point
est aligné avec
et
et
se trouve du même côté que
à une distance
.
3.
Cela signifie que les vecteurs et
sont parallèles (c’est-à-dire que les points
,
et
sont colinéaires).
4.
Cela signifie que les vecteurs et
sont parallèles, mais dans des directions opposées (les points
,
et
sont colinéaires, avec
et
de part et d’autre de
).
5.
Cela signifie que les points ,
et
forment un triangle rectangle en
, avec
et
perpendiculaires, et que le point
est symétrique à
par rapport à
. En d’autres termes, si le point
est le sommet de cet angle droit, alors
et
sont situés sur le cercle dont le diamètre passe par
et
.
Exercice 34 : déterminer les coordonnées des vecteurs normaux.
Pour déterminer les coordonnées de deux vecteurs normaux, nous allons utiliser les coefficients des équations des droites données. Si l’équation d’une droite est de la forme , alors un vecteur normal à cette droite est
. Voici donc les vecteurs normaux pour chaque droite :
1. Pour la droite , les coefficients sont
et
. Les coordonnées de deux vecteurs normaux sont donc :
2. Pour la droite , les coefficients sont
et
. Les coordonnées de deux vecteurs normaux sont donc :
3. Pour la droite , les coefficients sont
et
. Les coordonnées de deux vecteurs normaux sont donc :
4. Pour la droite , nous réarrangeons l’équation pour trouver les coefficients
et
. En réécrivant, nous obtenons
. Les coefficients sont donc
et
. Les coordonnées de deux vecteurs normaux sont donc :
Ainsi, pour chaque droite donnée, nous avons déterminé les deux vecteurs normaux décrits par leurs coefficients respectifs.
Exercice 35 : calculer le produit scalaire de deux vecteurs.
1. Utilisons la formule du produit scalaire pour trouver :
Pour le premier cas:
Sachant que ,
, et
,
2. Pour le deuxième cas:
Sachant que ,
, et
,
3. Pour le troisième cas:
Sachant que ,
, et
,
Exercice 36 : simplifier les expressions.
\begin{align*}
= 3 \cdot 2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) \\
= 6 (\vec{u} \cdot \vec{v})
\end{align*}
\begin{align*}
= \frac{7}{3} \cdot (-6) \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) \\
= -\frac{42}{3} (\vec{u} \cdot \vec{v}) \\
= -14 (\vec{u} \cdot \vec{v})
\end{align*}
\begin{align*}
= \vec{u} \cdot \vec{u} – \vec{u} \cdot \vec{v} \\
= |\vec{u}|^2 – \vec{u} \cdot \vec{v}
\end{align*}
\begin{align*}
= (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \\
= \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} \\
= |\vec{u}|^2 + 2 (\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2
\end{align*}
Exercice 37 : produits scalaires dans un carré
1.
Les vecteurs et
sont orthogonaux dans un carré. Donc :
2.
Le vecteur est une somme de
et
. Comme
:
3.
Les vecteurs et
sont opposés, donc :
4.
Les vecteurs et
sont opposes, donc :
5.
Le vecteur forma un angle
avec
, donc :
Où
6.
Le vecteur est égale à
, donc:
7.
Souvenons que:
donc:
Exercice 38 : déterminer l’équation cartésienne d’une droite
1. Soit et
.
L’équation cartésienne de la droite passant par
et de vecteur normal
est donnée par :
En substituant les valeurs, on obtient :
2. Soit et
.
3. Soit et
.
4. Soit et
.
Exercice 39 : calculer la norme de ces vecteurs
1. Pour le vecteur :
La norme est donnée par:
2. Pour le vecteur :
La norme est donnée par:
3. Pour le vecteur :
La norme est donnée par:
Exercice 40 : produits scalaires dans un hexagone régulier
Pour un hexagone régulier de centre et de côté
, nous allons calculer les produits scalaires suivants.
1.
Dans un hexagone régulier, l’angle entre et
est de
.
2.
L’angle entre et
est de
.
3.
L’angle entre et
est de
.
4.
L’angle entre et
est de
.
Exercice 41 : apparier chaque expression avec sa simplifiée
Voici la correction de l’exercice en utilisant LaTeX :
1.
Dans un rectangle, et
sont perpendiculaires, donc
et
.
2.
est la moitié de la diagonale
, donc :
alors
3.
est la moitié de la diagonale
et
est la diagonale de
à
, ces vecteurs ne sont pas perpendiculaires ni parallèles, il n’y a donc pas de simplification évidente :
4.
, donc :
5.
et
sont perpendiculaires, donc :
6.
est la moitié de la diagonale
, donc :
alors
7.
, donc :
Ainsi, les appariements corrects sont:
Exercice 42 : apparier chaque expression avec sa simplifiée
Exercice 43 : norme et produit scalaire dans un repère
Les coordonnées des vecteurs et
dans le repère orthonormé sont :
Calcul de la norme des vecteurs et
:
Calcul du produit scalaire :
Ainsi, la norme des vecteurs et
sont respectivement
et
et leur produit scalaire est
.
Exercice 44 : problème de la caravane en sciences physiques
On définit le travail , exprimé en joules, d’une force
, en newtons, sur un déplacement rectiligne
, en mètres, par le produit scalaire
.
La famille Sardin part en vacances. Elle a une caravane accrochée derrière sa voiture et elle roule sur une route de montagne de 10 km, inclinée d’un angle de par rapport à l’horizontale.
La traction de la caravane est modélisée par une force d’intensité 15 000 newtons, inclinée d’un angle de
par rapport à l’horizontale. Calculer le travail de la force
le long de cette route. Donner l’écriture scientifique du résultat en faisant attention aux chiffres significatifs.
Le travail est donné par:
où:
– N (intensité de la force),
– km =
m (distance parcourue),
– (angle effectif entre la force et le déplacement).
En substituant les valeurs, on obtient:
Calculons maintenant :
Donc,
Convertissons ce résultat en notation scientifique et faisons attention aux chiffres significatifs. L’intensité de la force est donnée avec 2 chiffres significatifs et la distance avec 1 chiffre significatif. Le résultat doit donc être donné avec 1 chiffre significatif:
Exercice 45 : déterminer la valeur de x
1.
Nous devons résoudre l’équation :
2.
Nous devons résoudre l’équation :
3.
Nous devons résoudre l’équation :
4.
Nous devons résoudre l’équation :
Exercice 46 : déterminer l’intensité de la force résultante
1. Le lien entre les vecteurs et
est donné par la loi de la composition des vecteurs :
2. Pour déterminer l’intensité de la résultante , utilisons la formule du cosinus pour la somme de deux vecteurs :
avec ,
et
.
Calculons chaque terme séparément :
Nous devons maintenant calculer (nous pouvons utiliser une calculatrice pour ce faire) :
Substituons cette valeur dans l’équation :
Maintenant, substituons tous les termes :
Donc, est :
Arrondissons le résultat au dixième :
Exercice 47 : pour quelle(s) valeur(s) de x les vecteurs sont orthogonaux ?
Les vecteurs et
sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est égal à zéro, c’est-à-dire si
.
1. et
2. et
3. et
4. et
Les valeurs de pour lesquelles les vecteurs
et
sont orthogonaux sont :
1.
2.
3.
4. ou
Exercice 48 : démonstration avec normes et vecteurs
Soit et
deux vecteurs quelconques, on rappelle que:
1. a. Démonstration de }:
Calculons le produit scalaire:
En utilisant la commutativité du produit scalaire ():
Puisque et
, nous obtenons:
Ainsi:
1. b. Déduction de la formule: :
Partons de l’équation démontrée en 1. a.:
Isoler le terme :
Divisons par 2:
2. a. Démonstration de }:
Nous partons de l’expression pour :
Calculons le produit scalaire:
En utilisant la commutativité du produit scalaire:
Puisque et
, nous avons:
Égalité réarrangée:
Divisons par 2:
2. b. Démonstration de }:
Utilisons les expressions précédentes de la norme des vecteurs:
Soustrayons les deux équations:
Cela simplifie à:
Divisons par 4:
Réviser les cours et exercices de maths avec nos Q.C.M :
D'autres outils pour progresser en autonomie :