Produit scalaire dans le plan : corrigés des exercices de maths en 1ère.

Exercice 11 : calculer des produits scalaires à l’aide de coordonnées
\begin{multicols}{2}
1) \[ \vec{u} \cdot \vec{v} \]

\[ \vec{u} = \begin{pmatrix} 15 \\ -8 \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix} \]

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 15 \times 6 + (-8) \times 9 \]
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 90 – 72 = 18 \]

2) \[ \vec{s} \cdot \vec{t} \]

\[ \vec{s} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{t} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} \]

\[ \vec{s} \cdot \vec{t} = (-1) \times (-3) + 2 \times (-4) \]
\[ \vec{s} \cdot \vec{t} = 3 – 8 = -5 \]

3) \[ \vec{a} \cdot \vec{b} \]

\[ \vec{a} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} – 2 \\ 6 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} + 2 \\ 1 \end{pmatrix} \]

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{3} – 2) \times (\sqrt{3} + 2) + 6 \times 1 \]
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{3})^2 – 4 + 6 \]
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 – 4 + 6 = 5 \]

4) \[ \vec{c} \cdot \vec{UV} \]

\[ \vec{c} = \begin{pmatrix} \sqrt{6} \\ 2 \end{pmatrix}, \quad U(\sqrt{24+5};1) = U( \sqrt{29}; 1), \quad V(5;\sqrt{2}) \]

\[ \vec{UV} = \begin{pmatrix} 5 – \sqrt{29} \\ \sqrt{2} – 1 \end{pmatrix} \]

\[ \vec{c} \cdot \vec{UV} = \sqrt{6} \times (5 – \sqrt{29}) + 2 \times (\sqrt{2} – 1) \]
\[ \vec{c} \cdot \vec{UV} = 5\sqrt{6} – \sqrt{6 \times 29} + 2\sqrt{2} – 2 \]

5) \[ \vec{r} \cdot \vec{AB} \]

\[ \vec{r} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}, \quad A(-1;2), \quad B(-3;6) \]

\[ \vec{AB} = \begin{pmatrix} -3 – (-1) \\ 6 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} \]

\[ \vec{r} \cdot \vec{AB} = 3 \times (-2) + 7 \times 4 \]
\[ \vec{r} \cdot \vec{AB} = -6 + 28 = 22 \]

6) \[\vec{CD} \cdot \vec{MR}\]

\[ C (5;6), \quad D(-1;4), \quad M(3;7), \quad R(8;9) \]

\[ \vec{CD} = \begin{pmatrix} -1 – 5 \\ 4 – 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \end{pmatrix} \]
\[ \vec{MR} = \begin{pmatrix} 8 – 3 \\ 9 – 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \]

\[ \vec{CD} \cdot \vec{MR} = (-6) \times 5 + (-2) \times 2 \]
\[ \vec{CD} \cdot \vec{MR} = -30 – 4 = -34 \]

7) \[\vec{ST} \cdot \vec{EF}\]

\[ S (8;8), \quad T (5;5), \quad E(0;1), \quad F(3;0) \]

\[ \vec{ST} = \begin{pmatrix} 5 – 8 \\ 5 – 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \end{pmatrix} \]
\[ \vec{EF} = \begin{pmatrix} 3 – 0 \\ 0 – 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]

\[ \vec{ST} \cdot \vec{EF} = (-3) \times 3 + (-3) \times (-1) \]
\[ \vec{ST} \cdot \vec{EF} = -9 + 3 = -6 \]

\end{multicols}

Exercice 12 : déterminer les produits scalaires suivants

[1)] \(\vec{u} \cdot \vec{v}\)

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = (-1)\times 2 + 5 \times 4 = -2 + 20 = 18
\]

[2)] \((2\vec{u}) \cdot \vec{v}\)

\[
2\vec{u} = 2 \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 10 \end{pmatrix}
\]

\[
(2\vec{u}) \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = (-2)\times 2 + 10 \times 4 = -4 + 40 = 36
\]

[3)] \((- \vec{u}) \cdot (3 \vec{v})\)

\[
-\vec{u} = – \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}
\]

\[
3\vec{v} = 3 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \end{pmatrix}
\]

\[
(-\vec{u}) \cdot (3 \vec{v}) = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \end{pmatrix} = 1 \times 6 + (-5) \times 12 = 6 – 60 = -54
\]

Exercice 13 : ecrire un algorithme qui donne le produit scalaire
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
\KwData{Coordonnées des vecteurs \[\vec{u}(u_1, u_2, u_3)\] et \[\vec{v}(v_1, v_2, v_3)\]}
\KwResult{Produit scalaire \[\vec{u} \cdot \vec{v}\]}
\BlankLine
\Begin{
\tcp{Demande des coordonnées du premier vecteur \[\vec{u}\]}
Lire \[u_1, u_2, u_3\]\;

\tcp{Demande des coordonnées du second vecteur \[\vec{v}\]}
Lire \[v_1, v_2, v_3\]\;

\tcp{Calcul du produit scalaire des deux vecteurs}
\[produit\_scalaire \gets u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3\]\;

\tcp{Affichage du résultat}
Afficher \[produit\_scalaire\]\;
}
\end{algorithm}

En utilisant LaTeX, les étapes de l’algorithme peuvent être détaillées comme suit :

1. Demander les coordonnées des vecteurs :
\[
\text{Lire } u_1, u_2, u_3 \quad \text{et } v_1, v_2, v_3
\]

2. Calculer le produit scalaire :
\[
produit\_scalaire = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3
\]

3. Afficher le résultat :
\[
\text{Afficher } produit\_scalaire
\]

Ainsi, le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) et \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\) dans un repère orthonormé est donné par :
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3
\]

Exercice 14 : calculs de produits scalaires dans un rectangle

[{Correction}]
Reproduire la figure.
Calcul des produits scalaires en utilisant un repère orthonormé adapté.

[1)] Soit \( E(0,0) \), \( F(4,0) \), \( G(4,7) \) et \( H(0,7) \).
Les points \( I \), \( J \), \( K \), et \( L \) sont les milieux des côtés respectifs :

\( I \) est le milieu de \( [EF] \) : \( I (\frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}) = I(2, 0) \)
\( J \) est le milieu de \( [FG] \) : \( J (\frac{4+4}{2}, \frac{0+7}{2}) = J(4, 3.5) \)
\( K \) est le milieu de \( [GH] \) : \( K (\frac{4+0}{2}, \frac{7+7}{2}) = K(2, 7) \)
\( L \) est le milieu de \( [EH] \) : \( L (\frac{0+0}{2}, \frac{0+7}{2}) = L(0, 3.5) \)

[2)] Calcul des produits scalaires.

[a) \(\vec{EG} \cdot \vec{FH}\)]
\[
\vec{EG} = (4, 7), \quad \vec{FH} = (-4, 7) \\
\vec{EG} \cdot \vec{FH} = 4 \cdot (-4) + 7 \cdot 7 = -16 + 49 = 33
\]

[b) \(\vec{JL} \cdot \vec{EG}\)]
\[
\vec{JL} = (-4, 0), \quad \vec{EG} = (4, 7) \\
\vec{JL} \cdot \vec{EG} = (-4) \cdot 4 + 0 \cdot 7 = -16
\]

[c) \(\vec{EF} \cdot \vec{GH}\)]
\[
\vec{EF} = (4, 0), \quad \vec{GH} = (-4, 0) \\
\vec{EF} \cdot \vec{GH} = 4 \cdot (-4) + 0 \cdot 0 = -16
\]

[d) \(\vec{HI} \cdot \vec{EK}\)]
\[
\vec{HI} = (2, -7), \quad \vec{EK} = (2, 7) \\
\vec{HI} \cdot \vec{EK} = 2 \cdot 2 + (-7) \cdot 7 = 4 – 49 = -45
\]

[e) \(\vec{IL} \cdot \vec{JG}\)]
\[
\vec{IL} = (-2, 3.5), \quad \vec{JG} = (0, 3.5) \\
\vec{IL} \cdot \vec{JG} = (-2) \cdot 0 + 3.5 \cdot 3.5 = 0 + 12.25 = 12.25
\]

[f) \(\vec{HJ} \cdot \vec{JK}\)]
\[
\vec{HJ} = (4, -3.5), \quad \vec{JK} = (-2, 3.5) \\
\vec{HJ} \cdot \vec{JK} = 4 \cdot (-2) + (-3.5) \cdot 3.5 = -8 – 12.25 = -20.25
\]

Exercice 15 : déterminer des produits scalaires
1) Pour déterminer \( x \) tel que \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 11 \):

Le produit scalaire de \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) est donné par :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \cdot x + 7 \cdot 1 = 6x + 7 \]

On souhaite que \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 11 \) :
\[ 6x + 7 = 11 \]
\[ 6x = 11 – 7 \]
\[ 6x = 4 \]
\[ x = \frac{4}{6} \]
\[ x = \frac{2}{3} \]

Donc \( x = \frac{2}{3} \).

2) Pour déterminer \( y \) tel que \( \vec{u} \cdot \vec{w} = \sqrt{12} \) :

Le produit scalaire de \( \vec{u} \) et \( \vec{w} \) est donné par :
\[ \vec{u} \cdot \vec{w} = 6 \cdot ( -\sqrt{3} ) + 7 \cdot y = -6\sqrt{3} + 7y \]

On souhaite que \( \vec{u} \cdot \vec{w} = \sqrt{12} \). Sachant que \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \), nous avons :
\[ -6\sqrt{3} + 7y = 2\sqrt{3} \]
\[ 7y = 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} \]
\[ 7y = 8\sqrt{3} \]
\[ y = \frac{8\sqrt{3}}{7} \]

Donc \( y = \frac{8\sqrt{3}}{7} \).

Exercice 16 : déterminer la valeur de x
Pour résoudre cet exercice, nous devons calculer le produit scalaire des deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Le produit scalaire est défini comme suit :

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ 2x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ \frac{x}{3} \end{pmatrix}
\]

Calculons ce produit scalaire :

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = x \cdot x + 2x \cdot \frac{x}{3}
\]

\[
= x^2 + 2x \cdot \frac{x}{3}
\]

\[
= x^2 + \frac{2x^2}{3}
\]

\[
= x^2 (1 + \frac{2}{3})
\]

\[
= x^2 (\frac{3}{3} + \frac{2}{3})
\]

\[
= x^2 (\frac{5}{3})
\]

\[
= \frac{5x^2}{3}
\]

Nous devons maintenant trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles ce produit scalaire satisfait les conditions données :

1) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -9\)

\[
\frac{5x^2}{3} = -9
\]

\[
5x^2 = -27
\]

Cette équation n’a pas de solution réelle car \(5x^2\) est toujours positif.

2) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -10\)

\[
\frac{5x^2}{3} = -10
\]

\[
5x^2 = -30
\]

Cette équation n’a également pas de solution réelle car \(5x^2\) est toujours positif.

3) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2\)

\[
\frac{5x^2}{3} = 2
\]

\[
5x^2 = 6
\]

\[
x^2 = \frac{6}{5}
\]

\[
x = \pm \sqrt{\frac{6}{5}} = \pm \frac{\sqrt{30}}{5}
\]

4) \(\vec{u} \cdot \vec{v} > 7\)

\[
\frac{5x^2}{3} > 7
\]

\[
5x^2 > 21
\]

\[
x^2 > \frac{21}{5}
\]

\[
x > \sqrt{\frac{21}{5}} \quad \text{ou} \quad x < -\sqrt{\frac{21}{5}}
\]

\[
x > \frac{\sqrt{105}}{5} \quad \text{ou} \quad x < -\frac{\sqrt{105}}{5}
\]

Ainsi, la correction de l’exercice est :

1) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -9\): Pas de solution.
2) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -10\): Pas de solution.
3) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2\): \( x = \pm \frac{\sqrt{30}}{5} \)
4) \(\vec{u} \cdot \vec{v} > 7\): \( x > \frac{\sqrt{105}}{5} \quad \text{ou} \quad x < -\frac{\sqrt{105}}{5} \)

Exercice 17 : les droites sont-elles perpendiculaires?
1) Les droites \((AC)\) et \((AB)\) sont-elles perpendiculaires ?

Pour déterminer si les droites \((AC)\) et \((AB)\) sont perpendiculaires, on calcule les pentes des droites.

\[
m_{AC} = \frac{y_C – y_A}{x_C – x_A} = \frac{-2 – 3}{-2 – 1} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}
\]

\[
m_{AB} = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{1 – 3}{3 – 1} = \frac{-2}{2} = -1
\]

Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes vaut \(-1\).

\[
m_{AC} \cdot m_{AB} = \frac{5}{3} \cdot (-1) = -\frac{5}{3} \neq -1
\]

Donc, les droites \((AC)\) et \((AB)\) ne sont pas perpendiculaires.

2)

a) Même question pour \((AC)\) et \((BD)\)

Calculons les pentes des droites \((AC)\) et \((BD)\).

\[
m_{BD} = \frac{y_D – y_B}{x_D – x_B} = \frac{-5 – 1}{13 – 3} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}
\]

Produit des pentes:

\[
m_{AC} \cdot m_{BD} = \frac{5}{3} \cdot (-\frac{3}{5}) = -1
\]

Donc, les droites \((AC)\) et \((BD)\) sont perpendiculaires.

b) Même question pour \((BE)\) et \((CD)\)

Calculons les pentes des droites \((BE)\) et \((CD)\).

\[
m_{BE} = \frac{y_E – y_B}{x_E – x_B} = \frac{3 – 1}{4 – 3} = \frac{2}{1} = 2
\]

\[
m_{CD} = \frac{y_D – y_C}{x_D – x_C} = \frac{-5 – (-2)}{13 – (-2)} = \frac{-5 + 2}{13 + 2} = \frac{-3}{15} = -\frac{1}{5}
\]

Produit des pentes:

\[
m_{BE} \cdot m_{CD} = 2 \cdot (-\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5} \neq -1
\]

Donc, les droites \((BE)\) et \((CD)\) ne sont pas perpendiculaires.

Exercice 18 : le triangle est-il rectangle?
Pour déterminer si les triangles \(JKL\) et \(JKM\) sont rectangles, nous allons utiliser le produit scalaire des vecteurs.

1) \[\]Le triangle \(JKL\) est-il rectangle en \(J\)?\[\]

Calculons les vecteurs \(\vec{JK}\) et \(\vec{JL}\) :
\[
\vec{JK} = (K_x – J_x, K_y – J_y) = (2 – 6, 4 – 1) = (-4, 3)
\]
\[
\vec{JL} = (L_x – J_x, L_y – J_y) = (1 – 6, -5 – 1) = (-5, -6)
\]

Calculons le produit scalaire \(\vec{JK} \cdot \vec{JL}\) :
\[
\vec{JK} \cdot \vec{JL} = (-4) \times (-5) + 3 \times (-6) = 20 – 18 = 2
\]

Le produit scalaire \(\vec{JK} \cdot \vec{JL}\) n’étant pas nul, le triangle \(JKL\) n’est pas rectangle en \(J\).

2) \[\]Le triangle \(JKM\) est-il rectangle ?\[\]

Calculons les vecteurs \(\vec{JK}\) et \(\vec{JM}\) :
\[
\vec{JK} = (-4, 3)
\]
\[
\vec{JM} = ( \frac{-5}{2} – 6, -2 – 1 ) = ( \frac{-5 – 12}{2}, -3 ) = ( \frac{-17}{2}, -3 )
\]

Calculons le produit scalaire \(\vec{JK} \cdot \vec{JM}\) :
\[
\vec{JK} \cdot \vec{JM} = (-4) \times ( \frac{-17}{2} ) + 3 \times (-3) = 34 – 9 = 25
\]

Le produit scalaire \(\vec{JK} \cdot \vec{JM}\) n’étant pas nul, le triangle \(JKM\) n’est pas rectangle.

Exercice 19 : déterminer la nature du quadrilatère QRST
Pour montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), nous allons d’abord calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{BC}\), puis vérifier que ces vecteurs sont orthogonaux.

\[
A(\sqrt{6} ; \sqrt{7}), \quad B(\sqrt{2} ; \sqrt{3}), \quad C(-\sqrt{6} ; \sqrt{7} + 2\sqrt{3}).
\]

Les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) sont :
\[
\vec{AB} = B – A = (\sqrt{2} – \sqrt{6} ; \sqrt{3} – \sqrt{7}).
\]

Les coordonnées du vecteur \(\vec{BC}\) sont :
\[
\vec{BC} = C – B = (-\sqrt{6} – \sqrt{2} ; (\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) – \sqrt{3}).
\]
\[
\vec{BC} = (-\sqrt{6} – \sqrt{2} ; \sqrt{7} + \sqrt{3}).
\]

Nous calculons ensuite le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{BC}\) :
\[
\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (\sqrt{2} – \sqrt{6})(-\sqrt{6} – \sqrt{2}) + (\sqrt{3} – \sqrt{7})(\sqrt{7} + \sqrt{3}).
\]

Développons les produits :
\[
(\sqrt{2} – \sqrt{6})(-\sqrt{6} – \sqrt{2}) = \sqrt{2}(-\sqrt{6}) + \sqrt{2}(-\sqrt{2}) – \sqrt{6}(-\sqrt{6}) – \sqrt{6}(-\sqrt{2}) = – \sqrt{12} – 2 + 6 + \sqrt{12} = 4.
\]

\[
(\sqrt{3} – \sqrt{7})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = \sqrt{3}\sqrt{7} + \sqrt{3}\sqrt{3} – \sqrt{7}\sqrt{7} – \sqrt{7}\sqrt{3} = \sqrt{21} + 3 – 7 – \sqrt{21} = -4.
\]

Ainsi :
\[
\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 – 4 = 0.
\]

Le produit scalaire étant nul, les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{BC}\) sont orthogonaux. Donc, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).

Passons maintenant à la détermination de la nature du quadrilatère \(QRST\).

\[
Q(2 ; -2), \quad R(1 ; 1), \quad S(4 ; 2), \quad T(5 ; -1).
\]

Calculons les longueurs des côtés du quadrilatère \(QRST\) :

\[
QR = \sqrt{(1 – 2)^2 + (1 – (-2))^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10},
\]

\[
RS = \sqrt{(4 – 1)^2 + (2 – 1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10},
\]

\[
ST = \sqrt{(5 – 4)^2 + (-1 – 2)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10},
\]

\[
TQ = \sqrt{(5 – 2)^2 + (-1 – (-2))^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}.
\]

Les côtés sont de la même longueur. Vérifions maintenant les diagonales :

\[
QS = \sqrt{(4 – 2)^2 + (2 – (-2))^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20},
\]

\[
RT = \sqrt{(5 – 1)^2 + (-1 – 1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}.
\]

Les diagonales sont également de la même longueur. Par conséquent, le quadrilatère \(QRST\) est un losange.

Donc, le quadrilatère \(QRST\) est un losange.

Exercice 20 : montrer que ABCD est un trapèze rectangle

On considère trois points \( A(5, 2) \), \( B(6, 3,1) \) et \( C(1, y) \). Déterminer \( y \) tel que \( ABC \) soit rectangle en \( A \).

Pour que \( ABC \) soit rectangle en \( A \), les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \) doivent être orthogonaux, c’est-à-dire que leur produit scalaire doit être nul.

\[
\vec{AB} = B – A = (6 – 5, 3,1 – 2) = (1,1)
\]

\[
\vec{AC} = C – A = (1 – 5, y – 2) = (-4, y – 2)
\]

Le produit scalaire \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \) donne :

\[
1 \cdot (-4) + 1 \cdot (y – 2) = 0
\]

\[
-4 + y – 2 = 0
\]

\[
y – 6 = 0
\]

\[
y = 6
\]

Donc, \( y = 6 \).

On considère quatre points \( A(0, 0) \), \( B(6, 2) \), \( C(-1,5, 4,5) \) et \( D(2,5 ; \frac{35}{6}) \). Montrer que \( ABCD \) est un trapèze rectangle puis calculer son aire.

Pour montrer que \( ABCD \) est un trapèze, il faut vérifier que deux côtés sont parallèles.

Calculons les coefficients directeurs des segments \( AB \) et \( CD \).

Coefficient directeur de \( AB \):
\[
m_{AB} = \frac{2 – 0}{6 – 0} = \frac{1}{3}
\]

Coefficient directeur de \( CD \):
\[
m_{CD} = \frac{\frac{35}{6} – 4,5}{2,5 – (-1,5)} = \frac{\frac{35}{6} – \frac{27}{6}}{4} = \frac{\frac{8}{6}}{4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

Donc, les segments \( AB \) et \( CD \) sont parallèles car ils ont le même coefficient directeur.

Pour montrer que \( ABCD \) est un trapèze rectangle, on doit vérifier que l’un des côtés non parallèles est perpendiculaire aux côtés parallèles \( AB \) et \( CD \).

Calculons les coefficients directeurs des segments \( AD \) et \( BC \).

Coefficient directeur de \( AD \):
\[
m_{AD} = \frac{\frac{35}{6} – 0}{2,5 – 0} = \frac{\frac{35}{6}}{2,5} = \frac{35}{15} = \frac{7}{3}
\]

Coefficient directeur de \( BC \):
\[
m_{BC} = \frac{4,5 – 2}{-1,5 – 6} = \frac{2,5}{-7,5} = -\frac{1}{3}
\]

Les coefficients directeurs \( m_{AB} = \frac{1}{3} \) et \( m_{BC} = -\frac{1}{3} \) montrent que les segments \( AB \) et \( BC \) sont perpendiculaires car leur produit (\(\frac{1}{3} \times -3 = -1 \)) est égal à \( -1 \).

Donc, \( ABCD \) est bien un trapèze rectangle.

Pour calculer l’aire d’un trapèze rectangle, nous utilisons la formule :

\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h
\]

Longueur de \( AB \):
\[
AB = \sqrt{(6 – 0)^2 + (2 – 0)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
\]

Longueur de \( CD \):
\[
CD = \sqrt{(2,5 – (-1,5))^2 + (\frac{35}{6} – 4,5)^2} = \sqrt{(2,5 + 1,5)^2 + (\frac{35}{6} – \frac{27}{6})^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{8}{6})^2} = \sqrt{16 + \frac{64}{36}} = \sqrt{16 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{4\sqrt{10}}{3}
\]

La hauteur \( h \) est la différence en ordonnées entre les points \( B \) et \( C \) :
\[
h = |4,5 – 2| = 2,5
\]

Donc :
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{10} + \frac{4\sqrt{10}}{3}) \times 2,5 = \frac{1}{2} \times \frac{10\sqrt{10}}{3} \times 2,5 = \frac{25\sqrt{10}}{3}
\]

Ainsi, l’aire du trapèze rectangle \( ABCD \) est \(\frac{25\sqrt{10}}{3}\).

Exercice 21 : donner un vecteur directeur

{Donner un vecteur directeur de chacune des deux droites.}

Pour la droite \[y = ax + b\], un vecteur directeur est :
\[
\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix}
\]

Pour la droite \[y = a’x + b’\], un vecteur directeur est :
\[
\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ a’ \end{pmatrix}
\]

{En déduire la propriété suivante : Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à \[-1\].}

Pour que deux droites soient perpendiculaires, le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs doit être nul :
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = 0
\]

Calculons ce produit scalaire:
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a’ \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 + a \cdot a’ = 1 + aa’
\]

Pour que les droites soient perpendiculaires, il faut :
\[
1 + aa’ = 0 \implies aa’ = -1
\]

Ainsi, deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à \[-1\].

{Parmi les droites \[d_1, d_2\] et \[d_3\] d’équations respectives \[y = 2x + 3\], \[y = -2x + 5\] et \[y = -\frac{1}{2}x – 6\], lesquelles sont perpendiculaires ?}

Coefficient directeur de \[d_1\]: \[a_1 = 2\]

Coefficient directeur de \[d_2\]: \[a_2 = -2\]

Coefficient directeur de \[d_3\]: \[a_3 = -\frac{1}{2}\]

Vérifions les produits des coefficients directeurs:
\[
a_1 \cdot a_2 = 2 \cdot (-2) = -4 \quad (\text{pas égal à } -1)
\]
\[
a_1 \cdot a_3 = 2 \cdot (-\frac{1}{2} ) = -1 \quad (\text{égal à } -1)
\]
\[
a_2 \cdot a_3 = (-2) \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 \quad (\text{pas égal à } -1)
\]

Donc, les droites \[d_1\] et \[d_3\] sont perpendiculaires.

Exercice 22 : démonstration d’une propriété algébrique
Pour montrer que \((k\vec{u}) \cdot (k’\vec{v}) = (k \times k’) \vec{u} \cdot \vec{v}\), nous allons utiliser la définition du produit scalaire et les propriétés de la multiplication.

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan, avec \(\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}\).

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = x x’ + y y’
\]

Soient \(k\) et \(k’\) deux réels, examinons \((k\vec{u}) \cdot (k’\vec{v})\).

\[
k\vec{u} = \begin{pmatrix} k x \\ k y \end{pmatrix}
\]
\[
k’\vec{v} = \begin{pmatrix} k’ x’ \\ k’ y’ \end{pmatrix}
\]

Le produit scalaire de \(k\vec{u}\) et \(k’\vec{v}\) est alors:

\[
(k\vec{u}) \cdot (k’\vec{v}) = \begin{pmatrix} k x \\ k y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} k’ x’ \\ k’ y’ \end{pmatrix}
\]

En utilisant la définition du produit scalaire en coordonnées :

\[
(k\vec{u}) \cdot (k’\vec{v}) = (k x) (k’ x’) + (k y) (k’ y’) = k k’ (x x’ + y y’)
\]

D’où :

\[
(k\vec{u}) \cdot (k’\vec{v}) = (k k’) (x x’ + y y’)
\]

Sachant que :

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = x x’ + y y’
\]

Nous avons finalement :

\[
(k\vec{u}) \cdot (k’\vec{v}) = (k k’) \vec{u} \cdot \vec{v}
\]

Ce qui prouve que pour tous réels \(k\) et \(k’\) et tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan, on a :

\[
(k\vec{u}) \cdot (k’\vec{v}) = (k \times k’) \vec{u} \cdot \vec{v}
\]

Exercice 23 : calculs de produits scalaires à l’aide des normes

\(\| \vec{u} \| = 5\), \(\| \vec{v} \| = 2\) et \(\cos(\vec{u}; \vec{v}) = 0,1\)
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \cos(\vec{u}; \vec{v}) = 5 \times 2 \times 0,1 = 1
\]

\(\| \vec{u} \| = 23\), \(\| \vec{v} \| = 11\) et \(\cos(\vec{u}; \vec{v}) = 0,93\)
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \cos(\vec{u}; \vec{v}) = 23 \times 11 \times 0,93 = 235,41
\]

\(\| \vec{u} \| = 5\), \(\| \vec{v} \| = 8\) et \((\vec{u}; \vec{v}) = \frac{\pi}{6}\)
\[
\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \cos(\vec{u}; \vec{v}) = 5 \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}
\]

\(\| \vec{u} \| = 7\), \(\| \vec{v} \| = 2\) et \((\vec{u}; \vec{v}) = \frac{5\pi}{3}\)
\[
\cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi – \frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}
\]
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \cos(\vec{u}; \vec{v}) = 7 \times 2 \times \frac{1}{2} = 7
\]

\(\| \vec{u} \| = 12\), \(\| \vec{v} \| = 6\) et \((\vec{u}; \vec{v}) = -\frac{\pi}{4}\)
\[
\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \cos(\vec{u}; \vec{v}) = 12 \times 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 36\sqrt{2}
\]

\(\| \vec{u} \| = 9\), \(\| \vec{v} \| = 6\) et \(\vec{u} = -1,5 \vec{v}\)
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = -1,5 \| \vec{v} \|^2 = -1,5 \times 6^2 = -54
\]

Exercice 24 : calculs de produits scalaires et normes de vecteurs
1) \[
\|\vec{a}\| = \frac{5}{6}, \|\vec{b}\| = \frac{\sqrt{3}}{8}, \text{ et } (\vec{a}; \vec{b}) = -\frac{5\pi}{6} (2\pi)
\]
Le produit scalaire \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) est donné par:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos(\theta)
\]
Ici, \(\theta = -\frac{5\pi}{6}\), donc:
\[
\cos(-\frac{5\pi}{6}) = -\cos(\frac{5\pi}{6}) = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Ainsi:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 16} = \frac{15}{96} = \frac{5}{32}
\]

2) \[
\|\vec{a}\| = \sqrt{2}, \|\vec{b}\| = 6, \text{ et } (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\pi}{4} (2\pi)
\]
Le produit scalaire \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) est donné par:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos(\theta)
\]
Ici, \(\theta = \frac{\pi}{4}\), donc:
\[
\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Ainsi:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 6
\]

3) \[
\|\vec{a}\| = 2\sqrt{2}, \|\vec{b}\| = \sqrt{8}, \text{ et } (\vec{a}; \vec{b}) = \pi (2\pi)
\]
Le produit scalaire \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) est donné par:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos(\theta)
\]
Ici, \(\theta = \pi\), donc:
\[
\cos(\pi) = -1
\]
Ainsi:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \cdot (-1) = 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot (-1) = 8 \cdot (-1) = -8
\]

4) \[
\|\vec{a}\| = \sqrt{2} + 1 \text{ et } \vec{b} = \sqrt{3}\vec{a}
\]
Le produit scalaire \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) est donné par:
\[
\vec{b} = \sqrt{3}\vec{a}
\]
Donc:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\sqrt{3}\vec{a}) = \sqrt{3} (\vec{a} \cdot \vec{a}) = \sqrt{3} \|\vec{a}\|^2
\]
Ainsi:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3} (\sqrt{2} + 1)^2 = \sqrt{3} (2 + 2\sqrt{2} + 1) = \sqrt{3} (3 + 2\sqrt{2}) = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{6}
\]

Exercice 25 : projection de deux points sur une droite
{Correction de l’exercice}

1) Montrons l’égalité vectorielle :
\[\] \vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AB} \cdot \vec{CC’} + \vec{AB} \cdot \vec{C’D’} + \vec{AB} \cdot \vec{D’D} \[\]

Les vecteurs \[\vec{CC’}\] et \[\vec{D’D}\] sont orthogonaux au vecteur \[\vec{AB}\] puisque ce sont les projectés orthogonaux :
\[\] \vec{AB} \cdot \vec{CC’} = 0 \[\]
\[\] \vec{AB} \cdot \vec{D’D} = 0 \[\]

Il reste donc :
\[\] \vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AB} \cdot \vec{C’D’} \[\]

2) En déduire que :
\[\] \vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{A’B} \cdot \vec{C’D’} \[\]

En remarquant que \[\vec{A’B} = \vec{AB}\], nous avons :
\[\] \vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AB} \cdot \vec{C’D’} \[\]

Puisque \[\vec{A’B} = \vec{AB}\], on a donc prouvé la deuxième égalité.

Exercice 26 : exprimer des produits scalaires dans un carré
1) \(\vec{HO} \cdot \vec{HF}\)

Puisque \(\vec{HO} = ( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2} )\) et \(\vec{HF} = ( a, 0 )\),

\[
\vec{HO} \cdot \vec{HF} = -\frac{a}{2} \cdot a + \frac{a}{2} \cdot 0 = -\frac{a^2}{2}.
\]

2) \(\vec{EF} \cdot \vec{EB}\)

Puisque \(\vec{EF} = ( a, 0 )\) et \(\vec{EB} = ( \frac{a}{2}, -a )\),

\[
\vec{EF} \cdot \vec{EB} = a \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot (-a) = \frac{a^2}{2}.
\]

3) \(\vec{CH} \cdot \vec{GE}\)

Puisque \(\vec{CH} = ( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2} )\) et \(\vec{GE} = ( -a, -a )\),

\[
\vec{CH} \cdot \vec{GE} = -\frac{a}{2} \cdot -a + \frac{a}{2} \cdot -a = \frac{a^2}{2} – \frac{a^2}{2} = 0.
\]

4) \(\vec{EO} \cdot \vec{FE}\)

Puisque \(\vec{EO} = ( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} )\) et \(\vec{FE} = ( -a, 0 )\),

\[
\vec{EO} \cdot \vec{FE} = \frac{a}{2} \cdot (-a) + \frac{a}{2} \cdot 0 = -\frac{a^2}{2}.
\]

5) \(\vec{OG} \cdot \vec{FH}\)

Puisque \(\vec{OG} = ( \frac{a}{2}, -\frac{a}{2} )\) et \(\vec{FH} = ( 0, a )\),

\[
\vec{OG} \cdot \vec{FH} = \frac{a}{2} \cdot 0 + -\frac{a}{2} \cdot a = -\frac{a^2}{2}.
\]

6) \(\vec{CD} \cdot \vec{CA}\)

Puisque \(\vec{CD} = ( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2} )\) et \(\vec{CA} = ( \frac{a}{2}, -a )\),

\[
\vec{CD} \cdot \vec{CA} = -\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \cdot (-a) = -\frac{a^2}{4} – \frac{a^2}{2} = -\frac{3a^2}{4}.
\]

7) \(\vec{OE} \cdot \vec{OB}\)

Puisque \(\vec{OE} = ( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2} )\) et \(\vec{OB} = ( \frac{a}{2}, -a )\),

\[
\vec{OE} \cdot \vec{OB} = -\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \cdot (-a) = -\frac{a^2}{4} – \frac{a^2}{2} = -\frac{3a^2}{4}.
\]

8) \(\vec{CD} \cdot \vec{CO}\)

Puisque \(\vec{CD} = ( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2} )\) et \(\vec{CO} = ( -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2} )\),

\[
\vec{CD} \cdot \vec{CO} = -\frac{a}{2} \cdot -\frac{a}{2} + \frac{a}{2} \cdot -\frac{a}{2} = \frac{a^2}{4} – \frac{a^2}{4} = 0.
\]

9) \(\vec{EB} \cdot \vec{EG}\)

Puisque \(\vec{EB} = ( \frac{a}{2}, -a )\) et \(\vec{EG} = ( a, 0 )\),

\[
\vec{EB} \cdot \vec{EG} = \frac{a}{2} \cdot a + -a \cdot 0 = \frac{a^2}{2}.
\]

Exercice 27 : produits scalaires dans un hexagone régulier
« `
1. \(\vec{OC} \cdot \vec{FO}\)

Les vecteurs \(\vec{OC}\) et \(\vec{FO}\) sont opposés (symétriques par rapport à \(O\)). Par conséquent, leur produit scalaire est négatif et vaut \(-\|\vec{OC}\| \cdot \|\vec{FO}\|\).

Comme \(\|\vec{OC}\| = \|\vec{FO}\| = 1\),
\[
\vec{OC} \cdot \vec{FO} = -1
\]

2. \(\vec{OA} \cdot \vec{OB}\)

Les vecteurs \(\vec{OA}\) et \(\vec{OB}\) forment un angle de \(\frac{\pi}{3}\) radians. Leur produit scalaire vaut donc :
\[
\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \|\vec{OA}\| \cdot \|\vec{OB}\| \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

3. \(\vec{OA} \cdot \vec{OF}\)

Les vecteurs \(\vec{OA}\) et \(\vec{OF}\) forment un angle de \(\frac{2\pi}{3}\) radians. Leur produit scalaire vaut donc :
\[
\vec{OA} \cdot \vec{OF} = \|\vec{OA}\| \cdot \|\vec{OF}\| \cdot \cos(\frac{2\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}
\]

4. \(\vec{CB} \cdot \vec{FA}\)

Les vecteurs \(\vec{CB}\) et \(\vec{FA}\) sont parallèles et opposés. Leur produit scalaire est donc négatif et vaut \(-\|\vec{CB}\| \cdot \|\vec{FA}\|\).

Comme \(\|\vec{CB}\| = \|\vec{FA}\| = 1\),
\[
\vec{CB} \cdot \vec{FA} = -1
\]

5. \(\vec{OF} \cdot \vec{OD}\)

Les vecteurs \(\vec{OF}\) et \(\vec{OD}\) forment un angle de \(\frac{4\pi}{3}\) radians. Leur produit scalaire vaut donc :
\[
\vec{OF} \cdot \vec{OD} = \|\vec{OF}\| \cdot \|\vec{OD}\| \cdot \cos(\frac{4\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}
\]

6. \(\vec{CE} \cdot \vec{FB}\)

Les vecteurs \(\vec{CE}\) et \(\vec{FB}\) sont parallèles et opposés. Leur produit scalaire est donc négatif et vaut \(-\|\vec{CE}\| \cdot \|\vec{FB}\|\).

Comme \(\|\vec{CE}\| = \|\vec{FB}\| = 1\),
\[
\vec{CE} \cdot \vec{FB} = -1
\]

7. \(\vec{EB} \cdot \vec{DF}\)

Les vecteurs \(\vec{EB}\) et \(\vec{DF}\) forment un angle de \(\frac{\pi}{3}\) radians. Leur produit scalaire vaut donc :
\[
\vec{EB} \cdot \vec{DF} = \|\vec{EB}\| \cdot \|\vec{DF}\| \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

8. \(\vec{CE} \cdot \vec{CA}\)

Les vecteurs \(\vec{CE}\) et \(\vec{CA}\) forment un angle de \(\frac{2\pi}{3}\) radians. Leur produit scalaire vaut donc :
\[
\vec{CE} \cdot \vec{CA} = \|\vec{CE}\| \cdot \|\vec{CA}\| \cdot \cos(\frac{2\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}
\]

9. \(\vec{BE} \cdot \vec{CO}\)

Les vecteurs \(\vec{BE}\) et \(\vec{CO}\) forment un angle de \(\pi\) radians. Leur produit scalaire est négatif et vaut \(-\|\vec{BE}\| \cdot \|\vec{CO}\|\).

Comme \(\|\vec{BE}\| = \|\vec{CO}\| = 1\),
\[
\vec{BE} \cdot \vec{CO} = -1
\]
Exercice 28 : produits scalaires égaux
Pour déterminer quels produits scalaires \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) sont égaux à \(-2\), nous procédons à la vérification pour chaque cas.

\[\]a.\[\] \( AB = 2 \), \( AC = 3 \) et \((\vec{AB}, \vec{AC}) = \pi \)

Le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) est donné par :
\[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos (\pi) = 2 \times 3 \times \cos (\pi)
\]
Sachant que \(\cos (\pi) = -1\), on obtient :
\[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \times 3 \times (-1) = -6
\]
Donc, ce produit n’est pas égal à \(-2\).

\[\]b.\[\] \( AB = 4 \), \( \vec{HB} = \frac{33}{8} \vec{AB} \) où \( H \) est le pied de la hauteur issue de \( C \) dans le triangle \( ABC \).

On calcule d’abord \( \overline{AC} \), sachant que \( H \) est le pied de la hauteur, donc \( CH \perp AB \), et \( H \) se trouve sur \( AB \).

Comme \( \vec{HB} = \frac{33}{8} \vec{AB} \), il faut que soit \( H \) soit à l’extérieur du segment \( AB \) parce que \(\frac{33}{8} > 1\).

Cependant, comme ce n’est pas spécifiquement donné dans l’énoncé, nous passons à la vérification suivante.
On suppose \(\vec{AC} = AC\) car aucune information supplémentaire n’est donnée sur la direction perpendiculaire.

Si \( \cos \theta = – \frac{2}{3} \):

\[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos \theta = 4 \cdot 3 \cdot (-2/3) = -8.
\]
Donc ce cas aussi n’est pas égal à -2.

\[\]c.\[\] \( AB = 5 \), \( AC = 4 \) et \(BC = 6\).

Utilisons le théorème de la cosinus :
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2 – 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\theta)
5^2 = 4^2 + 6^2 – 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(\theta)
25 = 16 + 36 – 48 \cos(\theta)
25 = 52 – 48 \cos(\theta)
48 \cos(\theta) = 27
\]
\[
cos(\theta) = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}
\]
\[
AB \cdot AC = 5 \cdot 4 = 20
Donc,\vec { AB } \cdot \vec { AC } = 20 \times \frac{9}{16} = 11.25
\]

Donc ce cas aussi n’est pas égal à -2.

\[\]d.\[\] \(\vec{AB}(\begin{matrix}1 \\ -1\end{matrix})\) et \(\vec{BC}(\begin{matrix}2 \\ 6\end{matrix})\).

Pour ce cas, nous utilisons le produit scalaire pour les vecteurs donnés par :
\[
\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 \\ 6\end{pmatrix}
= 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 6
= 2 – 6
= -4
\]

Donc ce cas aussi n’est pas égal à -2.

Conclusion: Après avoir vérifié tous les cas, aucun des produits scalaires fournis n’est égal à -2.

Exercice 29 : qCM sur le produit scalaire
Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs tels que \(\|\vec{u}\| = 4\), \(\|\vec{v}\| = 5\) et \(\|\vec{u} – \vec{v}\| = 1\).

Nous cherchons à vérifier les affirmations suivantes :

(a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 20\)

(b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4\)

(c) \((\vec{u}, \vec{v}) = 0\)

(d) \(\|\vec{u} + \vec{v}\| = 9\)

Utilisons d’abord la norme de \(\vec{u} – \vec{v}\) :
\[
\|\vec{u} – \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 – 2\vec{u} \cdot \vec{v}
\]
\[
1^2 = 4^2 + 5^2 – 2\vec{u} \cdot \vec{v}
\]
\[
1 = 16 + 25 – 2\vec{u} \cdot \vec{v}
\]
\[
1 = 41 – 2\vec{u} \cdot \vec{v}
\]
\[
2\vec{u} \cdot \vec{v} = 40
\]
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = 20
\]

Ainsi, l’affirmation (a) est correcte.

Ensuite, vérifions la norme de \(\vec{u} + \vec{v}\):
\[
\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}
\]
\[
\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = 16 + 25 + 2 \times 20
\]
\[
\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = 61 + 40
\]
\[
\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = 81
\]
\[
\|\vec{u} + \vec{v}\| = \sqrt{81}
\]
\[
\|\vec{u} + \vec{v}\| = 9
\]

L’affirmation (d) est donc correcte.

Passons à l’affirmation (b):
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = 4
\]
mais nous avons trouvé que \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 20\). L’affirmation (b) est donc incorrecte.

Enfin, vérifions l’orthogonalité \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\):
\[
(\vec{u}, \vec{v}) = 0
\]
Cela signifie que \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). Or, nous avons trouvé que \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 20\). L’affirmation (c) est donc incorrecte.

En conclusion, les affirmations correctes sont (a) et (d).

Exercice 30 : qCM sur la norme et le produit scalaire
Correction de l’exercice:

On considère les vecteurs \(\vec{u}(\begin{array}{c} 2 \\ \frac{1}{2} \end{array})\) et \(\vec{v}(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array})\).

a) Calculons la norme de \(\vec{u}\) :

\[
\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{4 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{16}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}
\]

b) Calculons le carré de la norme de \(\vec{v}\) :

\[
\|\vec{v}\|^2 = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25
\]

c) Calculons le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) :

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot (-4) = 6 – 2 = 4
\]

d) Calculons le produit scalaire \(\vec{v} \cdot \vec{u}\) (notons que le produit scalaire est commutatif, donc) :

\[
\vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v} = 4
\]

Validons les assertions :

a) \(\|\vec{u}\| = \frac{\sqrt{17}}{2}\) : Vrai

b) \(\|\vec{v}\|^2 = 5\) : Faux (Nous avons trouvé 25)

c) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 8\) : Faux (Nous avons calculé 4)

d) \(\vec{v} \cdot \vec{u} = 4\) : Vrai

Exercice 31 : QCM sur le vecteur normal à une droite
Nous cherchons l’équation de la droite dont le vecteur normal est donné par \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \).

Le vecteur normal d’une droite \({ax + by + c = 0}\) est \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\).

Ainsi, le vecteur \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à l’une des droites proposées si et seulement si :
\[ a = 2 \quad \text{et} \quad b = -1 \]

Examinons les équations des droites proposées :
1. \(4x – 2y + 10 = 0\)
2. \(-2x – 4y + 5 = 0\)
3. \(8x + 4y = 0\)
4. \(\frac{1}{2} y – x – 7 = 0\)

En comparant chaque équation avec \({ax + by + c = 0}\):

1. Pour \(4x – 2y + 10 = 0\), on a \(a = 4\) et \(b = -2\). \( (4 \neq 2\) et \(-2 \neq -1)\), ce n’est donc pas la bonne équation.

2. Pour \(-2x – 4y + 5 = 0\), on a \(a = -2\) et \(b = -4\). \( (-2 \neq 2\ et -4 \neq -1)\), ce n’est donc pas la bonne équation.

3. Pour \(8x + 4y = 0\), on a \(a = 8\) et \(b = 4\). \( (8 \neq 2\ et 4 \neq -1)\), ce n’est donc pas la bonne équation.

4. Pour \(\frac{1}{2} y – x – 7 = 0\), on la réécrit en forme \(ax + by + c = 0\):

\[ -x + \frac{1}{2} y – 7 = 0 \]
Ce qui est équivalent à :
\[ x – \frac{1}{2} y + 7 = 0\]
Et si on réarrange de manière à identifier \(a\) et \(b\):
\[ x – \frac{1}{2} y + 7 = 0\]

Nous avons donc \(a = -1\) et \(b = \frac{1}{2}\). \( (-1 = 2\ et \frac{1}{2} = -1)\, on utilise la multiplicité par \(k=2\)
\[ 2x – y -14 =0\]

Donc la bonne équation est:

\[4x + 2y + 10 =0\]

Exercice 32 : affirmation vraie ou fausse ?
Soient \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) deux vecteurs. Déterminons si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Si \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \), alors \( \vec{u} = \vec{0} \) ou \( \vec{v} = \vec{0} \).

\[
\text{FAUX.} \quad \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \text{ signifie que les vecteurs } \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont orthogonaux. Il n’est pas nécessaire que } \vec{u} \text{ ou } \vec{v} \text{ soit nul.}
\]

2. Si les normes des deux vecteurs sont des nombres entiers, alors leur produit scalaire est aussi un nombre entier.

\[
\text{FAUX.} \quad \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta). \text{ Si } \|\vec{u}\| \text{ et } \|\vec{v}\| \text{ sont des entiers, } \cos(\theta) \text{ n’est pas nécessairement un nombre rationnel, donc le produit scalaire n’est pas nécessairement entier.}
\]

Soient les vecteurs \(\vec{AB} \), \(\vec{CD} \), \(\vec{BA} \) et \(\vec{CD} \),

1. Si \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0 \), alors \( \vec{BA} \cdot \vec{CD} = 0 \).

\[
\text{FAUX.} \quad \vec{BA} = -\vec{AB}, \text{ donc } \vec{BA} \cdot \vec{CD} = (-\vec{AB}) \cdot \vec{CD} = -(\vec{AB} \cdot \vec{CD}) \text{ et non pas 0}.
\]

2. Si \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} < 0 \) alors \( \vec{AB} = – \vec{CD} \).

\[
\text{FAUX.} \quad \vec{AB} \cdot \vec{CD} < 0 \text{ signifie simplement que les vecteurs } \vec{AB} \text{ et } \vec{CD} \text{ forment un angle obtus, mais cela ne signifie pas nécessairement que } \vec{AB} \text{ est l’opposé de } \vec{CD}.
\]

3. Si \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AD} \), alors les points \( C \) et \( D \) sont confondus.

\[
\text{FAUX.} \quad \vec{AB} \cdot (\vec{AC} – \vec{AD}) = 0 \text{ signifie que le vecteur } \vec{AC} – \vec{AD} \text{ (qui est parallèle à } \vec{CD}) \text{ est orthogonal à } \vec{AB}, \text{ mais cela n’implique pas nécessairement que } C = D.
\]

Exercice 33 : que peut-on dire des points A, B et C ?
1. \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\)

Cela signifie que les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont orthogonaux (perpendiculaires).

2. \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AC^2\)

Cela signifie que le point \(A\) est commun ainsi que le point \(C\), et que le point \(B\) est tel que la projection orthogonale du point \(B\) sur la droite passant par \(A\) et \(C\) est exactement \(C\). En d’autres termes, le point \(B\) est aligné avec \(A\) et \(C\) et \(B\) se trouve du même côté que \(C\) à une distance \(AC\).

3. \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC\)

Cela signifie que les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont parallèles (c’est-à-dire que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont colinéaires).

4. \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -AB \times AC\)

Cela signifie que les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont parallèles, mais dans des directions opposées (les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont colinéaires, avec \(B\) et \(C\) de part et d’autre de \(A\)).

5. \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -AB^2\)

Cela signifie que les points \(A\), \(B\) et \(C\) forment un triangle rectangle en \(B\), avec \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) perpendiculaires, et que le point \(C\) est symétrique à \(B\) par rapport à \(A\). En d’autres termes, si le point \(B\) est le sommet de cet angle droit, alors \(A\) et \(C\) sont situés sur le cercle dont le diamètre passe par \(A\) et \(B\).

Exercice 34 : déterminer les coordonnées des vecteurs normaux.
Pour déterminer les coordonnées de deux vecteurs normaux, nous allons utiliser les coefficients des équations des droites données. Si l’équation d’une droite est de la forme \(ax + by + c = 0\), alors un vecteur normal à cette droite est \((a, b)\). Voici donc les vecteurs normaux pour chaque droite :

1. Pour la droite \(4x – 5y + 10 = 0\), les coefficients sont \(a = 4\) et \(b = -5\). Les coordonnées de deux vecteurs normaux sont donc :
\[
\mathbf{n_1} = (4, -5) \quad \text{et} \quad \mathbf{n_2} = (-4, 5)
\]

2. Pour la droite \(x + 3y – 5 = 0\), les coefficients sont \(a = 1\) et \(b = 3\). Les coordonnées de deux vecteurs normaux sont donc :
\[
\mathbf{n_1} = (1, 3) \quad \text{et} \quad \mathbf{n_2} = (-1, -3)
\]

3. Pour la droite \(\frac{1}{2}x – 8y = 0\), les coefficients sont \(a = \frac{1}{2}\) et \(b = -8\). Les coordonnées de deux vecteurs normaux sont donc :
\[
\mathbf{n_1} = (\frac{1}{2}, -8) \quad \text{et} \quad \mathbf{n_2} = (-\frac{1}{2}, 8)
\]

4. Pour la droite \(\frac{4}{3}y – 6x = 12\), nous réarrangeons l’équation pour trouver les coefficients \(a\) et \(b\). En réécrivant, nous obtenons \( -6x + \frac{4}{3}y – 12 = 0 \). Les coefficients sont donc \(a = -6\) et \(b = \frac{4}{3}\). Les coordonnées de deux vecteurs normaux sont donc :
\[
\mathbf{n_1} = (-6, \frac{4}{3}) \quad \text{et} \quad \mathbf{n_2} = (6, -\frac{4}{3})
\]

Ainsi, pour chaque droite donnée, nous avons déterminé les deux vecteurs normaux décrits par leurs coefficients respectifs.

Exercice 35 : calculer le produit scalaire de deux vecteurs.
1. Utilisons la formule du produit scalaire pour trouver \( BC \):
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos ( \widehat{\vec{AB}, \vec{AC}} ) \]

Pour le premier cas:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos ( \frac{\pi}{4} ) \]

Sachant que \(AB = 2\), \(AC = 6\), et \(\cos ( \frac{\pi}{4} ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\),

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \times 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \]

2. Pour le deuxième cas:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos ( -\frac{\pi}{6} ) \]

Sachant que \(AB = \sqrt{3}\), \(AC = 1\), et \(\cos ( -\frac{\pi}{6} ) = \cos ( \frac{\pi}{6} ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\),

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \sqrt{3} \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \]

3. Pour le troisième cas:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos ( \frac{2\pi}{3} ) \]

Sachant que \(AB = 5\), \(AC = \frac{3}{4}\), et \(\cos ( \frac{2\pi}{3} ) = -\frac{1}{2}\),

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 5 \times \frac{3}{4} \times ( -\frac{1}{2} ) = \frac{15}{4} \times ( -\frac{1}{2} ) = -\frac{15}{8} \]

Exercice 36 : simplifier les expressions.

\( (3 \vec{u}) \cdot (2 \vec{v}) \)
\begin{align*}
= 3 \cdot 2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) \\
= 6 (\vec{u} \cdot \vec{v})
\end{align*}

\( (\frac{7}{3} \vec{u}) \cdot (-6 \vec{v}) \)
\begin{align*}
= \frac{7}{3} \cdot (-6) \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) \\
= -\frac{42}{3} (\vec{u} \cdot \vec{v}) \\
= -14 (\vec{u} \cdot \vec{v})
\end{align*}

\( \vec{u} \cdot (\vec{u} – \vec{v}) \)
\begin{align*}
= \vec{u} \cdot \vec{u} – \vec{u} \cdot \vec{v} \\
= |\vec{u}|^2 – \vec{u} \cdot \vec{v}
\end{align*}

\( (\vec{u} + \vec{v})^2 \)
\begin{align*}
= (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \\
= \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} \\
= |\vec{u}|^2 + 2 (\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2
\end{align*}

Exercice 37 : produits scalaires dans un carré
1. \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\)

Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont orthogonaux dans un carré. Donc :
\[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0
\]

2. \(\vec{AB} \cdot \vec{AO}\)

Le vecteur \(\vec{AO}\) est une somme de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\). Comme \(\vec{AB} \perp \vec{AD}\):
\[
\vec{AB} = c \vec{i}, \quad \vec{AO} = \frac{c}{2} \sqrt{2} (\vec{i} + \vec{j})
\]
\[
\vec{AB} \cdot \vec{AO} = c \cdot \frac{c}{2} \sqrt{2} = \frac{c^2}{\sqrt{2}}
\]

3. \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\)

Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont opposés, donc :
\[
\vec{AB} = -\vec{CD}
\]
\[
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = c \cdot (-c) = -c^2
\]

4. \(\vec{BC} \cdot \vec{AD}\)

Les vecteurs \(\vec{BC}\) et \(\vec{AD}\) sont opposes, donc :
\[
\vec{BC} = -\vec{AD}
\]
\[
\vec{BC} \cdot \vec{AD} = c \cdot (-c) = -c^2
\]

5. \(\vec{DB} \cdot \vec{AB}\)

Le vecteur \(\vec{DB}\) forma un angle \(\theta = 135^\circ\) avec \(\vec{AB}\), donc :
\[
\vec{DB} = -c \cos(45^\circ)\vec{i} + c \sin(45^\circ)\vec{j}
\]
\[
\vec{DB} = -\frac{c}{\sqrt{2}}\vec{i} + \frac{c}{\sqrt{2}}\vec{j}
\]
Où
\[
\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
\[
\vec{DB} \cdot \vec{AB} = ( -\frac{c}{\sqrt{2}}\vec{i} + \frac{c}{\sqrt{2}}\vec{j} ) \cdot c \vec{i}
\]
\[
= c \cdot -\frac{c}{\sqrt{2}} = -\frac{c^2}{\sqrt{2}}
\]

6. \(\vec{OA} \cdot \vec{AC}\)

Le vecteur \(\vec{OA}\) est égale à \(\vec{AO}\), donc:
\[
\vec{OA} = -\vec{AO}
\]
\[
OA = -\frac{c}{2} \vec{i}- \frac{c}{2} \vec{j}
\]
\[
OA \cdot AC = c ( -\frac{c}{2} \vec{i} + \frac{c}{2} \vec{j} )
\]
\[
= c ( -\frac{c}{2} ) = – \frac{c^2}{2}
\]

7. \(\vec{DB} \cdot \vec{OC}\)
Souvenons que:
\[
\vec{DB} = \sqrt{2 c} ( -\frac{c}{2} \vec{i}+ \frac{c}{2} \vec{j} )
\]
donc:
\[
\vec{OC} = ( c \vec{j} )
\]
\[
= \sqrt{2c}( -\frac{c}{2} \vec{i}+ \frac{c}{2} \vec{j} ) \cdot ( c \vec{j}) =( -\sqrt{2c} \cdot \frac{-2}{1} c ) = c^2
=0
\]

Exercice 38 : déterminer l’équation cartésienne d’une droite
1. Soit \( A(2 ; -1) \) et \( \vec{n} ( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \end{array} ) \).

L’équation cartésienne de la droite \(\mathcal{D}\) passant par \( A(x_A, y_A) \) et de vecteur normal \(\vec{n} ( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} ) \) est donnée par :

\[ a(x – x_A) + b(y – y_A) = 0 \]

En substituant les valeurs, on obtient :

\[ 3(x – 2) – 2(y + 1) = 0 \]
\[ 3x – 6 – 2y – 2 = 0 \]
\[ 3x – 2y – 8 = 0 \]

2. Soit \( A(0 ; -5) \) et \( \vec{n} ( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} ) \).

\[ 1(x – 0) + 2(y + 5) = 0 \]
\[ x + 2y + 10 = 0 \]

3. Soit \( A(\sqrt{2} ; -3) \) et \( \vec{n} ( \begin{array}{c} -4 \\ 0 \end{array} ) \).

\[ -4(x – \sqrt{2}) + 0(y + 3) = 0 \]
\[ -4x + 4\sqrt{2} = 0 \]
\[ x = \sqrt{2} \]

4. Soit \( A(-1 ; -3) \) et \( \vec{n} ( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} ) \).

\[ 0(x + 1) + 1(y + 3) = 0 \]
\[ y + 3 = 0 \]
\[ y = -3 \]

Exercice 39 : calculer la norme de ces vecteurs
1. Pour le vecteur \(\vec{u} ( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array} ) \):

La norme est donnée par:
\[
\| \vec{u} \| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

2. Pour le vecteur \(\vec{v} ( \begin{array}{c} -4 \\ 0 \end{array} ) \):

La norme est donnée par:
\[
\| \vec{v} \| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 0} = \sqrt{16} = 4
\]

3. Pour le vecteur \(\vec{w} ( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} ) \):

La norme est donnée par:
\[
\| \vec{w} \| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} = \sqrt{2}
\]

Exercice 40 : produits scalaires dans un hexagone régulier
Pour un hexagone régulier de centre \( O \) et de côté \( OA = 2 \, \text{cm} \), nous allons calculer les produits scalaires suivants.

1. \( \vec{OA} \cdot \vec{OB} \)

\[
\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \| \vec{OA} \| \cdot \| \vec{OB} \| \cdot \cos(\theta)
\]

Dans un hexagone régulier, l’angle entre \( \vec{OA} \) et \( \vec{OB} \) est de \( 60^\circ \).

\[
\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2
\]

2. \( \vec{OF} \cdot \vec{OE} \)

L’angle entre \( \vec{OF} \) et \( \vec{OE} \) est de \( 60^\circ \).

\[
\vec{OF} \cdot \vec{OE} = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2
\]

3. \( \vec{OD} \cdot \vec{OA} \)

L’angle entre \( \vec{OD} \) et \( \vec{OA} \) est de \( 120^\circ \).

\[
\vec{OD} \cdot \vec{OA} = 2 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ) = 4 \cdot ( -\frac{1}{2} ) = -2
\]

4. \( \vec{OE} \cdot \vec{OC} \)

L’angle entre \( \vec{OE} \) et \( \vec{OC} \) est de \( 120^\circ \).

\[
\vec{OE} \cdot \vec{OC} = 2 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ) = 4 \cdot ( -\frac{1}{2} ) = -2
\]

Exercice 41 : apparier chaque expression avec sa simplifiée
Voici la correction de l’exercice en utilisant LaTeX :

\[ \text{Les différentes expressions de produit scalaire et leurs simplifications sont les suivantes :} \]

1. \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times \cos(\theta) \times AC \]
Dans un rectangle, \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \) sont perpendiculaires, donc \(\theta = 90^\circ\) et \(\cos(90^\circ) = 0 \).
\[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0
\]

2. \[ \vec{AB} \cdot \vec{AE} \]
\(\vec{AE}\) est la moitié de la diagonale \( \vec{AC} \), donc :
\[
\vec{AE} = \frac{1}{2} \vec{AC}, \text{ et comme } \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0,
\]
alors
\[
\vec{AB} \cdot \vec{AE} = \frac{1}{2} (\vec{AB} \cdot \vec{AC}) = 0
\]

3. \[ \vec{AG} \cdot \vec{AC} \]
\(\vec{AG}\) est la moitié de la diagonale \( \vec{AD} \) et \( \vec{AC} \) est la diagonale de \(A\) à \(C\), ces vecteurs ne sont pas perpendiculaires ni parallèles, il n’y a donc pas de simplification évidente :
\[
\vec{AG} \cdot \vec{AC} = \text{expression complexe non simplifiable directement}
\]

4. \[ \vec{AG} \cdot \vec{AD} \]
\(\vec{AG} = \frac{1}{2} \vec{AD}\), donc :
\[
\vec{AG} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2} (\vec{AD} \cdot \vec{AD}) = \frac{1}{2} AD^2
\]

5. \[ \vec{AD} \cdot \vec{AB} \]
\(\vec{AD}\) et \(\vec{AB}\) sont perpendiculaires, donc :
\[
\vec{AD} \cdot \vec{AB} = 0
\]

6. \[ \vec{AD} \cdot \vec{AF} \]
\(\vec{AF}\) est la moitié de la diagonale \( \vec{AD} \), donc :
\[
\vec{AF} = \frac{1}{2} \vec{AD} \text{ et } \vec{AD} \cdot \vec{AD} = AD^2,
\]
alors
\[
\vec{AD} \cdot \vec{AF} = \frac{1}{2} AD^2
\]

7. \[ \vec{CI} \cdot \vec{AB} \]
\(\vec{CI} = \vec{DE} = \vec{CF} = -\vec{AB}\), donc :
\[
\vec{CI} \cdot \vec{AB} = – AB^2
\]

Ainsi, les appariements corrects sont:
\[
\begin{array}{rl}
\vec{AB} \cdot \vec{AC} \longrightarrow 0\\
\vec{AB} \cdot \vec{AE} \longrightarrow 0 \\
\vec{AG} \cdot \vec{AC} \text{expression complexe non simplifiable directement} \\
\vec{AG} \cdot \vec{AD} \longrightarrow \frac{1}{2} AD^2 \\
\vec{AD} \cdot \vec{AB} \longrightarrow 0\\
\vec{AD} \cdot \vec{AF} \longrightarrow \frac{1}{2} AD^2\\
\vec{CI} \cdot \vec{AB} \longrightarrow – AB^2 \\
\end{array}
\]

Exercice 42 : apparier chaque expression avec sa simplifiée
\[
\begin{align*}
\text{1. } \quad AD \cdot AF = AD \cdot (AO + OF) \\
= AD \cdot AO + AD \cdot OF \\
= AD \cdot AO + AD \cdot ( \frac{1}{2} AD ) \\
= \frac{1}{2} | AD |^2
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\text{2. } \quad AG \cdot AE = AG \cdot (AO + OE) \\
= AG \cdot AO + AG \cdot OE \\
= \frac{1}{2} AG \cdot OE \\
= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} | AD |^2 \\
= \frac{1}{4} | AD |^2
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\text{3. } \quad AH \cdot AB = AH \cdot (AO + OB) \\
= AH \cdot AO + AH \cdot OB \\
= \frac{1}{2} AH \cdot OB \\
= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OB \\
= \frac{1}{2} | AB |^2
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\text{4. } \quad AB \cdot AC = AB \cdot (AO + OC) \\
= AB \cdot AO + AB \cdot OC \\
= \frac{1}{2} AB \cdot OC \\
= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot ( \frac{1}{2} AB ) \\
= \frac{1}{2} | AB |^2
\end{align*}
\]

Exercice 43 : norme et produit scalaire dans un repère
Les coordonnées des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dans le repère orthonormé sont :
\[ \vec{u} = (-2,2) \]
\[ \vec{v} = (2,1) \]

Calcul de la norme des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) :

\[ \|\vec{u}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

\[ \|\vec{v}\| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]

Calcul du produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = (-2) \times 2 + 2 \times 1 = -4 + 2 = -2 \]

Ainsi, la norme des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont respectivement \(2\sqrt{2}\) et \(\sqrt{5}\) et leur produit scalaire est \(-2\).

Exercice 44 : problème de la caravane en sciences physiques
On définit le travail \( W \), exprimé en joules, d’une force \( \vec{F} \), en newtons, sur un déplacement rectiligne \( \vec{AB} \), en mètres, par le produit scalaire \( \vec{F} \cdot \vec{AB} \).

La famille Sardin part en vacances. Elle a une caravane accrochée derrière sa voiture et elle roule sur une route de montagne de 10 km, inclinée d’un angle de \( 5^\circ \) par rapport à l’horizontale.

La traction de la caravane est modélisée par une force \( \vec{F} \) d’intensité 15 000 newtons, inclinée d’un angle de \( 9^\circ \) par rapport à l’horizontale. Calculer le travail de la force \( \vec{F} \) le long de cette route. Donner l’écriture scientifique du résultat en faisant attention aux chiffres significatifs.

Le travail \( W \) est donné par:

\[
W = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot d \cdot \cos(\theta)
\]

où:
– \( F = 15{ }000 \) N (intensité de la force),
– \( d = 10 \) km = \( 10{ }000 \) m (distance parcourue),
– \( \theta = 9^\circ – 5^\circ = 4^\circ \) (angle effectif entre la force et le déplacement).

En substituant les valeurs, on obtient:

\[
W = 15{ }000 \times 10{ }000 \times \cos(4^\circ)
\]

Calculons maintenant \(\cos(4^\circ)\):

\[
\cos(4^\circ) \approx 0,99756
\]

Donc,

\[
W \approx 15{ }000 \times 10{ }000 \times 0,99756 = 149{ }634{ }000 \text{ J}
\]

Convertissons ce résultat en notation scientifique et faisons attention aux chiffres significatifs. L’intensité de la force est donnée avec 2 chiffres significatifs et la distance avec 1 chiffre significatif. Le résultat doit donc être donné avec 1 chiffre significatif:

\[
W \approx 1{,}5 \times 10^8 \text{ J}
\]

Exercice 45 : déterminer la valeur de x
1. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2\)

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times (-1) + x \times 4 = -2 + 4x \)

Nous devons résoudre l’équation :

\[ -2 + 4x = 2 \]

\[ 4x = 4 \]

\[ x = 1 \]

2. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -5\)

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times (-1) + x \times 4 = -2 + 4x \]

Nous devons résoudre l’équation :

\[ -2 + 4x = -5 \]

\[ 4x = -3 \]

\[ x = -\frac{3}{4} \]

3. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{7}{3}\)

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times (-1) + x \times 4 = -2 + 4x \]

Nous devons résoudre l’équation :

\[ -2 + 4x = \frac{7}{3} \]

\[ 4x = \frac{7}{3} + 2 \]

\[ 4x = \frac{7}{3} + \frac{6}{3} \]

\[ 4x = \frac{13}{3} \]

\[ x = \frac{13}{12} \]

4. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{8}\)

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times (-1) + x \times 4 = -2 + 4x \]

Nous devons résoudre l’équation :

\[ -2 + 4x = \sqrt{8} \]

\[ 4x = \sqrt{8} + 2 \]

\[ 4x = 2\sqrt{2} + 2 \]

\[ x = \frac{2\sqrt{2} + 2}{4} \]

\[ x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \]

Exercice 46 : déterminer l’intensité de la force résultante
1. Le lien entre les vecteurs \(\vec{F}, \vec{F}_1\) et \(\vec{F}_2\) est donné par la loi de la composition des vecteurs :
\[ \vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 \]

2. Pour déterminer l’intensité de la résultante \(\|\vec{F}\|\), utilisons la formule du cosinus pour la somme de deux vecteurs :
\[ \|\vec{F}\|^2 = \|\vec{F}_1\|^2 + \|\vec{F}_2\|^2 + 2 \|\vec{F}_1\| \|\vec{F}_2\| \cos(\theta) \]
avec \(\|\vec{F}_1\| = 15 \, \text{N}\), \(\|\vec{F}_2\| = 13 \, \text{N}\) et \(\theta = 40^\circ\).

Calculons chaque terme séparément :
\[ \|\vec{F}_1\|^2 = 15^2 = 225 \]
\[ \|\vec{F}_2\|^2 = 13^2 = 169 \]
\[ 2 \|\vec{F}_1\| \|\vec{F}_2\| \cos(40^\circ) = 2 \times 15 \times 13 \times \cos(40^\circ) \]

Nous devons maintenant calculer \(\cos(40^\circ)\) (nous pouvons utiliser une calculatrice pour ce faire) :
\[ \cos(40^\circ) \approx 0.766 \]

Substituons cette valeur dans l’équation :
\[ 2 \times 15 \times 13 \times 0.766 = 298.26 \]

Maintenant, substituons tous les termes :
\[ \|\vec{F}\|^2 = 225 + 169 + 298.26 = 692.26 \]

Donc, \(\|\vec{F}\|\) est :
\[ \|\vec{F}\| = \sqrt{692.26} \approx 26.309 \]

Arrondissons le résultat au dixième :
\[ \|\vec{F}\| \approx 26.3 \, \text{N} \]

Exercice 47 : pour quelle(s) valeur(s) de x les vecteurs sont orthogonaux ?
Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est égal à zéro, c’est-à-dire si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).

1. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ x \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}\)
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \times (-3) + x \times 2 = -18 + 2x = 0 \]
\[ 2x = 18 \]
\[ x = 9 \]

2. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -3 \\ x \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} x – 1 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = -3 \times (x – 1) + x \times 4 = -3x + 3 + 4x = x + 3 = 0 \]
\[ x = -3 \]

3. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ -2 \end{pmatrix}\)
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times x + 8 \times (-2) = 3x – 16 = 0 \]
\[ 3x = 16 \]
\[ x = \frac{16}{3} \]

4. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ -2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ 8 \end{pmatrix}\)
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = x \times x + (-2) \times 8 = x^2 – 16 = 0 \]
\[ x^2 = 16 \]
\[ x = \pm 4 \]

Les valeurs de \(x\) pour lesquelles les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux sont :

1. \( x = 9 \)
2. \( x = -3 \)
3. \( x = \frac{16}{3} \)
4. \( x = 4\) ou \( x = -4 \)

Exercice 48 : démonstration avec normes et vecteurs
Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs quelconques, on rappelle que:
\[
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})
\]

{1. a. Démonstration de \(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2\)}:

Calculons le produit scalaire:
\[
(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v}
\]

En utilisant la commutativité du produit scalaire (\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)):
\[
= \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v}
\]

Puisque \(\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2\) et \(\vec{v} \cdot \vec{v} = \|\vec{v}\|^2\), nous obtenons:
\[
(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2
\]

Ainsi:
\[
\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2
\]

{1. b. Déduction de la formule:} \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} (\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 – \|\vec{u}\|^2 – \|\vec{v}\|^2)\):

Partons de l’équation démontrée en 1. a.:
\[
\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2
\]

Isoler le terme \(2\vec{u} \cdot \vec{v}\):
\[
2 \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 – \|\vec{u}\|^2 – \|\vec{v}\|^2
\]

Divisons par 2:
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} (\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 – \|\vec{u}\|^2 – \|\vec{v}\|^2)
\]

{2. a. Démonstration de \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} (\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 – \|\vec{u} – \vec{v}\|^2)\)}:

Nous partons de l’expression pour \(\|\vec{u} – \vec{v}\|^2\):
\[
\|\vec{u} – \vec{v}\|^2 = (\vec{u} – \vec{v}) \cdot (\vec{u} – \vec{v})
\]

Calculons le produit scalaire:
\[
(\vec{u} – \vec{v}) \cdot (\vec{u} – \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} – \vec{u} \cdot \vec{v} – \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v}
\]

En utilisant la commutativité du produit scalaire:
\[
= \vec{u} \cdot \vec{u} – 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v}
\]

Puisque \(\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2\) et \(\vec{v} \cdot \vec{v} = \|\vec{v}\|^2\), nous avons:
\[
\|\vec{u} – \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 – 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2
\]

Égalité réarrangée:
\[
2 \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 – \|\vec{u} – \vec{v}\|^2
\]

Divisons par 2:
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} (\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 – \|\vec{u} – \vec{v}\|^2)
\]

{2. b. Démonstration de \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{4} (\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 – \|\vec{u} – \vec{v}\|^2)\)}:

Utilisons les expressions précédentes de la norme des vecteurs:
\[
\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2
\]
\[
\|\vec{u} – \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 – 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2
\]

Soustrayons les deux équations:
\[
\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 – \|\vec{u} – \vec{v}\|^2 = (\|\vec{u}\|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2) – (\|\vec{u}\|^2 – 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2)
\]

Cela simplifie à:
\[
\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 – \|\vec{u} – \vec{v}\|^2 = 4 \vec{u} \cdot \vec{v}
\]

Divisons par 4:
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{4} (\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 – \|\vec{u} – \vec{v}\|^2)
\]