Produit scalaire dans le plan : corrigés des exercices de maths en 1ère.

Exercice 1 : calcul d’un produit scalaire
1)\,\\,%7C%7C\vec{u}%7C%7C\,=\,5%2C\,\\,%7C%7C\vec{v}%7C%7C\,=\,6\,\\,et\,\\,%7C%7C\vec{u}\,%2B\,\vec{v}%7C%7C\,=\,10

Nous avons :

%7C%7C\vec{u}\,%2B\,\vec{v}%7C%7C^2\,=\,%7C%7C\vec{u}%7C%7C^2\,%2B\,%7C%7C\vec{v}%7C%7C^2\,%2B\,2\,\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}

Donc :

10^2\,=\,5^2\,%2B\,6^2\,%2B\,2\,\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}

100\,=\,25\,%2B\,36\,%2B\,2\,\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}

100\,=\,61\,%2B\,2\,\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}

39\,=\,2\,\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}

\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}\,=\,\frac{39}{2}\,=\,19.5

2)\,\\,%7C%7C\vec{u}%7C%7C\,=\,3\,\sqrt{5}\,\\,et\,\\,\vec{v}\,=\,\vec{u}

\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}\,=\,\vec{u}\,\cdot\,\vec{u}\,=\,%7C%7C\vec{u}%7C%7C^2

\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}\,=\,(3\,\sqrt{5})^2

\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}\,=\,9\,\times  \,5\,=\,45

3)\,\\,\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,2\,\end{pmatrix}\,\\,et\,\\,\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,6\,\\\,12\,\end{pmatrix}

\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}\,=\,1\,\times  \,6\,%2B\,2\,\times  \,12

\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}\,=\,6\,%2B\,24\,=\,30

4)\,\\,%7C%7C\vec{u}%7C%7C\,=\,\sqrt{2}%2C\,\\,%7C%7C\vec{v}%7C%7C\,=\,5\,\\,et\,\\,(\vec{u}\,%3B\,\vec{v})\,=\,\frac{3\pi}{4}

\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}\,=\,%7C%7C\vec{u}%7C%7C\,\times  \,%7C%7C\vec{v}%7C%7C\,\times  \,\cos\,(\,\frac{3\pi}{4}\,)

\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}\,=\,\sqrt{2}\,\times  \,5\,\times  \,\cos\,(\,\frac{3\pi}{4}\,)

\cos\,(\,\frac{3\pi}{4}\,)\,=\,-\frac{\sqrt{2}}{2}

\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}\,=\,\sqrt{2}\,\times  \,5\,\times  \,(\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\,)

\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}\,=\,\sqrt{2}\,\times  \,5\,\times  \,(\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\,)

\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}\,=\,-5

5)\,\\,%7C%7C\vec{u}%7C%7C\,=\,8\,\\,et\,\\,\vec{v}\,=\,-2\vec{u}

\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}\,=\,\vec{u}\,\cdot\,(-2\vec{u})

\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}\,=\,-2\,(\vec{u}\,\cdot\,\vec{u})

\vec{u}\,\cdot\,\vec{u}\,=\,%7C%7C\vec{u}%7C%7C^2\,=\,8^2\,=\,64

\vec{u}\,\cdot\,\vec{v}\,=\,-2\,\times  \,64\,=\,-128

-128

Exercice 2 : produit scalaire dans un carré
Correction de l’exercice de mathématiques :

Le vecteur \vec{AB} a pour coordonnées (1%2C0), \vec{BC} a pour coordonnées (0%2C1), \vec{CD} a pour coordonnées (-1%2C0) et \vec{DA} a pour coordonnées (0%2C-1).

Les points I, J, K, et L sont les milieux des côtés du carré. Leurs coordonnées sont :
I\,=\,(0%2C\,\frac{1}{2})
J\,=\,(\,\frac{1}{2}%2C\,1\,)
K\,=\,(1%2C\,\frac{1}{2})
L\,=\,(\frac{1}{2}%2C\,0\,)

### Calcul des produits scalaires

1. %3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257BBC%257D%2520%255Ccdot%2520%255Cvec%257BBL%257D%22\,alt=%22\vec{BC}\,\cdot\,\vec{BL} » align= »absmiddle » />

\vec{BC}\,=\,(0%2C1)%2C\,\quad\,\vec{BL}\,=\,L\,-\,B\,=\,(\,\frac{1}{2}\,-\,1%2C\,0\,-\,0\,)\,=\,(\,-\frac{1}{2}%2C\,0\,)

\vec{BC}\,\cdot\,\vec{BL}\,=\,(0%2C1)\,\cdot\,(\,-\frac{1}{2}%2C\,0\,)\,=\,0\,\times  \,-\frac{1}{2}\,%2B\,1\,\times  \,0\,=\,0

2. %3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257BIB%257D%2520%255Ccdot%2520%255Cvec%257BID%257D%22\,alt=%22\vec{IB}\,\cdot\,\vec{ID} » align= »absmiddle » />

\vec{IB}\,=\,B\,-\,I\,=\,(1\,-\,0%2C\,0\,-\,\frac{1}{2}\,)\,=\,(1%2C\,-\frac{1}{2}\,)%2C\,\quad\,\vec{ID}\,=\,D\,-\,I\,=\,(0\,-\,0%2C\,1\,-\,\frac{1}{2}\,)\,=\,(0%2C\,\frac{1}{2}\,)

\vec{IB}\,\cdot\,\vec{ID}\,=\,(1%2C\,-\frac{1}{2}\,)\,\cdot\,(0%2C\,\frac{1}{2}\,)\,=\,1\,\times  \,0\,%2B\,(\,-\frac{1}{2}\,\times  \,\frac{1}{2}\,)\,=\,0\,-\,\frac{1}{4}\,=\,-\frac{1}{4}

3. %3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257BKJ%257D%2520%255Ccdot%2520%255Cvec%257BKL%257D%22\,alt=%22\vec{KJ}\,\cdot\,\vec{KL} » align= »absmiddle » />

\vec{KJ}\,=\,J\,-\,K\,=\,(\,\frac{1}{2}\,-\,1%2C\,1\,-\,\frac{1}{2}\,)\,=\,(\,-\frac{1}{2}%2C\,\frac{1}{2}\,)%2C\,\quad\,\vec{KL}\,=\,L\,-\,K\,=\,(\,\frac{1}{2}\,-\,1%2C\,0\,-\,\frac{1}{2}\,)\,=\,(\,-\frac{1}{2}%2C\,-\frac{1}{2}\,)

\vec{KJ}\,\cdot\,\vec{KL}\,=\,(\,-\frac{1}{2}%2C\,\frac{1}{2}\,)\,\cdot\,(\,-\frac{1}{2}%2C\,-\frac{1}{2}\,)\,=\,(\,-\frac{1}{2}\,\times  \,-\frac{1}{2}\,)\,%2B\,(\,\frac{1}{2}\,\times  \,-\frac{1}{2}\,)\,=\,\frac{1}{4}\,-\,\frac{1}{4}\,=\,0

4. %3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cvec%257BAB%257D%2520%255Ccdot%2520%255Cvec%257BLK%257D%22\,alt=%22\vec{AB}\,\cdot\,\vec{LK} » align= »absmiddle » />

\vec{LK}\,=\,K\,-\,L\,=\,(\,1\,-\,\frac{1}{2}%2C\,\frac{1}{2}\,-\,0\,)\,=\,(\,\frac{1}{2}%2C\,\frac{1}{2}\,)

\vec{AB}\,\cdot\,\vec{LK}\,=\,(1%2C0)\,\cdot\,(\,\frac{1}{2}%2C\,\frac{1}{2}\,)\,=\,1\,\times  \,\frac{1}{2}\,%2B\,0\,\times  \,\frac{1}{2}\,=\,\frac{1}{2}

### Correspondances

\vec{BC}\,\cdot\,\vec{BL}\,=\,0
\vec{IB}\,\cdot\,\vec{ID}\,=\,-IB\,\times  \,IA
\vec{KJ}\,\cdot\,\vec{KL}\,=\,0
\vec{AB}\,\cdot\,\vec{LK}\,=\,AB\,\times  \,AI

Ainsi, les correspondances correctes sont les suivantes :

\vec{BC}\,\cdot\,\vec{BL} : 0
\vec{IB}\,\cdot\,\vec{ID} : -IB\,\times  \,IA
\vec{KJ}\,\cdot\,\vec{KL} : 0
\vec{AB}\,\cdot\,\vec{LK} : AB\,\times  \,AI

Exercice 3 : vecteur normal à une droite

$\mathbf{d_1}$ d’équation $65x – 12y + 6 = 0$

Un vecteur normal à la droite $d_1$ est donné par les coefficients de $x$ et $y$ dans l’équation de la droite. Ainsi, un vecteur normal est :
\vec{n_1}\,=\,\begin{pmatrix}\,65\,\\\,-12\,\end{pmatrix}

$\mathbf{d_2}$ d’équation $y = 3x – 2$

On peut réécrire cette équation sous la forme $3x – y – 2 = 0$. Un vecteur normal est donc :
\vec{n_2}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,-1\,\end{pmatrix}

$\mathbf{d_3}$ d’équation $-8x = -y + 2$

On peut réécrire cette équation sous la forme $-8x + y – 2 = 0$. Un vecteur normal est donc :
\vec{n_3}\,=\,\begin{pmatrix}\,-8\,\\\,1\,\end{pmatrix}

$(AB) $ avec $A(4, 3)$ et $B(6, 12)$

Le vecteur $\vec{AB}$ est donné par :
\vec{AB}\,=\,\begin{pmatrix}\,6\,-\,4\,\\\,12\,-\,3\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,9\,\end{pmatrix}

Un vecteur normal à $\vec{AB}$ peut être trouvé en prenant un vecteur perpendiculaire. Si $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \end{pmatrix}$, alors un vecteur normal est :
\vec{n_4}\,=\,\begin{pmatrix}\,9\,\\\,-2\,\end{pmatrix}

Exercice 4 : résoudre une équation avec des cosinus
1) On effectue un changement de variable. On pose X\,=\,\cos\,x avec x\,\in\,%5B-1%3B\,1%5D.

a) L’équation (1) devient :
4\,X^2\,-\,2(1\,%2B\,\sqrt{3})X\,%2B\,\sqrt{3}\,=\,0

b) Le discriminant de cette équation quadratique est :
\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac
Avec a\,=\,4, b\,=\,-2(1\,%2B\,\sqrt{3}), et c\,=\,\sqrt{3}, nous obtenons :
\Delta\,=\,%5B-2(1\,%2B\,\sqrt{3})%5D^2\,-\,4\,\cdot\,4\,\cdot\,\sqrt{3}
\Delta\,=\,4(1\,%2B\,2\sqrt{3}\,%2B\,3)\,-\,16\sqrt{3}
\Delta\,=\,4(4\,%2B\,2\sqrt{3})\,-\,16\sqrt{3}
\Delta\,=\,16\,%2B\,8\sqrt{3}\,-\,16\sqrt{3}
\Delta\,=\,16\,-\,8\sqrt{3}\,=\,4(1\,-\,\sqrt{3})^2

c) Les solutions de l’équation quadratique sont données par la formule :
X\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}
Donc les solutions sont :
X\,=\,\frac{2(1\,%2B\,\sqrt{3})\,\pm\,2(1\,-\,\sqrt{3})}{8}
X_1\,=\,\frac{2(1\,%2B\,\sqrt{3})\,%2B\,2(1\,-\,\sqrt{3})}{8}\,=\,\frac{4}{8}\,=\,\frac{1}{2}
X_2\,=\,\frac{2(1\,%2B\,\sqrt{3})\,-\,2(1\,-\,\sqrt{3})}{8}\,=\,\frac{2(1\,%2B\,\sqrt{3}\,-\,1\,%2B\,\sqrt{3})}{8}\,=\,\frac{2\,\cdot\,2\sqrt{3}}{8}\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}

2) Pour déduire les solutions de l’équation (1) dans %5D\,-\pi\,%3B\,\pi%5D puis dans \mathbb{R}:

Les valeurs de X trouvées sont X_1\,=\,\frac{1}{2} et X_2\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}.

Pour X_1\,=\,\cos\,x\,=\,\frac{1}{2}:
x\,=\,\pm\,\frac{\pi}{3}\,%2B\,2k\pi%2C\,\quad\,k\,\in\,\mathbb{Z}

Pour X_2\,=\,\cos\,x\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}:
x\,=\,\pm\,\frac{\pi}{6}\,%2B\,2k\pi%2C\,\quad\,k\,\in\,\mathbb{Z}

Ainsi, les solutions dans l’intervalle %5D-\pi\,%3B\,\pi%5D sont :
x\,=\,-\frac{\pi}{3}%2C\,\%2C\,\frac{\pi}{3}%2C\,\%2C\,-\frac{\pi}{6}%2C\,\%2C\,\frac{\pi}{6}

Exercice 5 : droite et vecteur normal
L’équation cartésienne de la droite d est 2x\,-\,8y\,%2B\,28\,=\,0.

Pour que la droite soit caractérisée par le vecteur normal \vec{n}\,=\,\begin{pmatrix}\,-1\,\\\,4\,\end{pmatrix}, ses coefficients directeurs doivent être proportionnels aux coordonnées de \vec{n}.

Vérifions cette proportionalité. Le vecteur normal associé à notre droite d est \vec{n_d}\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,-8\,\end{pmatrix}.

Calculons le rapport de proportionnalité entre \vec{n_d} et \vec{n}:

\frac{2}{-1}\,=\,-2\,\quad\,et\,\quad\,\frac{-8}{4}\,=\,-2

Les rapports sont égaux, donc \vec{n_d} et \vec{n} sont bien colinéaires, ce qui signifie que \vec{n} est effectivement un vecteur normal à la droite d.

Vérifions maintenant si le point T(14%3B\,7) appartient à la droite d.

Substituons les coordonnées de T dans l’équation de la droite d:

2(14)\,-\,8(7)\,%2B\,28\,=\,28\,-\,56\,%2B\,28\,=\,0

L’équation est satisfaite, donc le point T appartient bien à la droite d.

La droite d, d’équation 2x\,-\,8y\,%2B\,28\,=\,0, est donc effectivement caractérisée par le vecteur normal \vec{n}\,=\,\begin{pmatrix}\,-1\,\\\,4\,\end{pmatrix} et passe par le point T(14%3B7).

Exercice 6 : rayon et coordonnées du centre du cercle
1) Pour le cercle \mathcal{C}_1 d’équation (x\,-\,2)^2\,%2B\,(y\,-\,5)^2\,=\,9 :
– Les coordonnées du centre sont (2%2C\,5).
– Le rayon est r\,=\,\sqrt{9}\,=\,3.

2) Pour le cercle \mathcal{C}_2 d’équation (x\,%2B\,3)^2\,%2B\,(y\,-\,7)^2\,=\,5 :
– Les coordonnées du centre sont (-3%2C\,7).
– Le rayon est r\,=\,\sqrt{5}.

Exercice 7 : droites perpendiculaires
1) Déterminons les coefficients directeurs des droites (AB) et (CD).

*Pour (AB) :*

Les coordonnées des points A et B sont respectivement A(1%2C\,-3) et B(-1%2C\,5).

Le coefficient directeur m_{AB} est donné par :

m_{AB}\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}\,=\,\frac{5\,-\,(-3)}{-1\,-\,1}\,=\,\frac{8}{-2}\,=\,-4

*Pour (CD) :*

Les coordonnées des points C et D sont respectivement C(-8%2C\,3) et D(7%2C\,7).

Le coefficient directeur m_{CD} est donné par :

m_{CD}\,=\,\frac{y_D\,-\,y_C}{x_D\,-\,x_C}\,=\,\frac{7\,-\,3}{7\,-\,(-8)}\,=\,\frac{4}{15}

*Vérifions si les droites sont perpendiculaires :*

Les droites sont perpendiculaires si m_{AB}\,\cdot\,m_{CD}\,=\,-1.

m_{AB}\,\cdot\,m_{CD}\,=\,-4\,\cdot\,\frac{4}{15}\,=\,-\frac{16}{15}\,\neq\,-1

Donc, les droites (AB) et (CD) ne sont pas perpendiculaires.

2) Déterminons le coefficient directeur de la droite (EF) et vérifions si elle est perpendiculaire à la droite d_1.

*Pour (EF) :*

Les coordonnées des points E et F sont respectivement E(1%2C\,7) et F(3%2C\,11).

Le coefficient directeur m_{EF} est donné par :

m_{EF}\,=\,\frac{y_F\,-\,y_E}{x_F\,-\,x_E}\,=\,\frac{11\,-\,7}{3\,-\,1}\,=\,\frac{4}{2}\,=\,2

*Pour d_1 :*

L’équation de d_1 est x\,%2B\,2y\,-\,7\,=\,0.

Le coefficient directeur m_{d_1} est donné par -\frac{a}{b} où l’équation générale est ax\,%2B\,by\,%2B\,c\,=\,0.

m_{d_1}\,=\,-\frac{1}{2}

*Vérifions si les droites sont perpendiculaires :*

Les droites sont perpendiculaires si m_{EF}\,\cdot\,m_{d_1}\,=\,-1.

m_{EF}\,\cdot\,m_{d_1}\,=\,2\,\cdot\,(\,-\frac{1}{2}\,)\,=\,-1

Donc, les droites (EF) et d_1 sont perpendiculaires.

3) Vérifions si les droites d_2 et d_3 sont perpendiculaires.

*Pour d_2 :*

L’équation de d_2 est 4x\,-\,8y\,-\,11\,=\,0.

Le coefficient directeur m_{d_2} est donné par -\frac{a}{b}.

m_{d_2}\,=\,-\frac{4}{-8}\,=\,\frac{1}{2}

*Pour d_3 :*

L’équation de d_3 est -2x\,-\,y\,-\,5\,=\,0.

Le coefficient directeur m_{d_3} est donné par -\frac{a}{b}.

m_{d_3}\,=\,-\frac{-2}{-1}\,=\,2

*Vérifions si les droites sont perpendiculaires :*

Les droites sont perpendiculaires si m_{d_2}\,\cdot\,m_{d_3}\,=\,-1.

m_{d_2}\,\cdot\,m_{d_3}\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,(2)\,=\,1\,\neq\,-1

Donc, les droites d_2 et d_3 ne sont pas perpendiculaires.

Exercice 8 : exprimer un produit scalaire en fonction de vecteurs
1) La figure montre un triangle formé par les points A, B et C avec les côtés de longueurs données : AB\,=\,3\,\%2C\,cm, AC\,=\,5\,\%2C\,cm et BC\,=\,6\,\%2C\,cm.
\begin{tikzpicture}%0D%0A\coordinate\,%5Blabel=above\,left%3A\,%24A%24%5D\,(A)\,at\,(0%2C\,0)%3B%0D%0A\coordinate\,%5Blabel=above\,right%3A\,%24B%24%5D\,(B)\,at\,(3%2C\,0)%3B%0D%0A\coordinate\,%5Blabel=right%3A\,%24C%24%5D\,(C)\,at\,(1.2%2C\,4.8)%3B%0D%0A%0D%0A\draw\,(A)\,--\,(B)\,--\,(C)\,--\,cycle%3B%0D%0A%0D%0A\path\,%5Bbelow%5D\,(A)\,--\,node%5Bbelow%5D\,{%243\,\%2C\,cm%24}\,(B)%3B%0D%0A\path\,%5Babove\,right%5D\,(A)\,--\,node%5Babove%5D\,{%245\,\%2C\,cm%24}\,(C)%3B%0D%0A\path\,%5Bright%5D\,(B)\,--\,node%5Bright%5D\,{%246\,\%2C\,cm%24}\,(C)%3B%0D%0A\end{tikzpicture}

2) Pour exprimer \vec{AB}\,\cdot\,\vec{BC} en fonction de AB, BC, et AC (qui sont des longueurs), utilisons la loi des cosinus. Soient les angles du triangle \angle\,BAC, \angle\,ABC et \angle\,BCA. L’angle \angle\,BAC est donné par :
\cos(\angle\,BAC)\,=\,\frac{AB^2\,%2B\,AC^2\,-\,BC^2}{2\,\cdot\,AB\,\cdot\,AC}.
Ainsi,
\cos(\angle\,BAC)\,=\,\frac{3^2\,%2B\,5^2\,-\,6^2}{2\,\cdot\,3\,\cdot\,5}\,=\,\frac{9\,%2B\,25\,-\,36}{30}\,=\,\frac{-2}{30}\,=\,-\frac{1}{15}.

Puisque
\vec{AB}\,\cdot\,\vec{AC}\,=\,AB\,\cdot\,AC\,\cdot\,\cos(\angle\,BAC)%2C
nous avons
\vec{AB}\,\cdot\,\vec{AC}\,=\,3\,\cdot\,5\,\cdot\,(-\frac{1}{15})\,=\,-1.

3) Pour en déduire \vec{AB}\,\cdot\,\vec{BC}, nous devons utiliser les relations trigonométriques et la géométrie des points. Sachant que \cos(\theta)\,=\,a\,\cdot\,b\,%2F\,(\%7C\,a\,\%7C\,\cdot\,\%7C\,b\,\%7C), calculons:
Utilisez le théorème de la projection:
\vec{AB}\,\cdot\,\vec{BC}\,=\,AB\,\cdot\,BC\,\cdot\,\cos(\theta)%2C
et sachant que
\cos(\theta)\,=\,\frac{AB^2\,%2B\,BC^2\,-\,AC^2}{2\,\cdot\,AB\,\cdot\,BC}%2C
nous trouvons:
\cos(\theta)\,=\,\frac{3^2\,%2B\,6^2\,-\,5^2}{2\,\cdot\,3\,\cdot\,6}\,=\,\frac{9\,%2B\,36\,-\,25}{36}\,=\,\frac{20}{36}\,=\,\frac{5}{9}.

Finalement,
\vec{AB}\,\cdot\,\vec{BC}\,=\,3\,\cdot\,6\,\cdot\,(\frac{5}{9})\,=\,10.

Ainsi,
\vec{AB}\,\cdot\,\vec{BC}\,=\,10.

Exercice 9 : calculs de produits scalaires
Les vecteurs \vec{EF}, \vec{EG} et \vec{FG} peuvent être interprétés à partir des longueurs donnés EF\,=\,8, EG\,=\,6 et FG\,=\,11. On va utiliser les produits scalaires pour trouver la réponse aux questions posées. On note que les produits scalaires \vec{EF}\,\cdot\,\vec{FG}, \vec{FG}\,\cdot\,\vec{GE} et \vec{GF}\,\cdot\,\vec{FE} nécessitent les coordonnées des points si on souhaite les calculer directement. Cependant, nous pouvons utiliser les propriétés des produits scalaires pour résoudre ce problème sans les coordonnées précises.

1) \vec{EF}\,\cdot\,\vec{FG}

Nous savons que \vec{FG}\,=\,\vec{FE}\,%2B\,\vec{EG}.
Donc, pour le produit scalaire, on a :
\vec{EF}\,\cdot\,\vec{FG}\,=\,\vec{EF}\,\cdot\,(\vec{FE}\,%2B\,\vec{EG})\,=\,\vec{EF}\,\cdot\,\vec{FE}\,%2B\,\vec{EF}\,\cdot\,\vec{EG}

Mais \vec{EF}\,=\,-\vec{FE}, donc \vec{EF}\,\cdot\,\vec{FE}\,=\,-\%7C\vec{FE}\%7C^2\,=\,-EF^2\,=\,-8^2\,=\,-64.

Ensuite, comme \vec{EG} est orthogonal à \vec{EF},
\vec{EF}\,\cdot\,\vec{EG}\,=\,0

Ainsi,
\vec{EF}\,\cdot\,\vec{FG}\,=\,-64\,%2B\,0\,=\,-64.

2) \vec{FG}\,\cdot\,\vec{GE}

Sachant \vec{FG}\,=\,-\vec{GF} et \vec{GE}\,=\,-\vec{EG}, on peut réécrire (\vec{FG}\,\cdot\,\vec{GE}) :
\vec{FG}\,\cdot\,\vec{GE}\,=\,(-\vec{GF})\,\cdot\,(-\vec{EG})\,=\,\vec{GF}\,\cdot\,\vec{EG}.

Et par la même logique,
\vec{FG}\,=\,\vec{FE}\,%2B\,\vec{EG}%2C

Ainsi,
\vec{FG}\,\cdot\,\vec{GE}\,=\,(\vec{FE}\,%2B\,\vec{EG})\,\cdot\,\vec{GE}\,=\,\vec{FE}\,\cdot\,\vec{GE}\,%2B\,\vec{EG}\,\cdot\,\vec{GE}

Comme \vec{GE} est orthogonal à \vec{FE},
\vec{FE}\,\cdot\,\vec{GE}\,=\,0

Et
\vec{EG}\,\cdot\,\vec{EG}\,=\,\%7C\vec{EG}\%7C^2\,=\,EG^2\,=\,6^2\,=\,36

Donc,
\vec{FG}\,\cdot\,\vec{GE}\,=\,0\,%2B\,36\,=\,36.

3) \vec{GF}\,\cdot\,\vec{FE}

Sachant que \vec{GF}\,=\,-\vec{FG} et \vec{FE} est l’inverse de \vec{EF} :

\vec{GF}\,\cdot\,\vec{FE}\,=\,-\vec{FG}\,\cdot\,(-\vec{EF})\,=\,\vec{FG}\,\cdot\,\vec{EF}

D’où,
\vec{GF}\,\cdot\,\vec{FE}\,=\,\vec{FG}\,\cdot\,(-\vec{FE})
\vec{GF}\,\cdot\,\vec{FE}\,=\,-\,(\vec{FG}\,\cdot\,\vec{FE})

Et

\vec{FG}\,\cdot\,\vec{FE}\,=\,-\,11\,%2A\,8\,=\,-\,88

donc \vec{GF}\,\cdot\,\vec{FE}\,=\,-\,(-\,88)\,=\,88.\,\%5D%0D%0A%0D%0AResultats\,finaux\,%3A%0D%0A1)\,\(\vec{EF}\,\cdot\,\vec{FG}\,=\,-64
2) \vec{FG}\,\cdot\,\vec{GE}\,=\,36
3) \vec{GF}\,\cdot\,\vec{FE}\,=\,88

Exercice 10 : calculer des normes de vecteurs

Calculons les normes des vecteurs :

\%7C\vec{a}\%7C\,=\,\sqrt{2^2\,%2B\,6^2}\,=\,\sqrt{4\,%2B\,36}\,=\,\sqrt{40}\,=\,2\sqrt{10}

\%7C\vec{b}\%7C\,=\,\sqrt{(-3)^2\,%2B\,5^2}\,=\,\sqrt{9\,%2B\,25}\,=\,\sqrt{34}

Calculons maintenant la norme de la somme des vecteurs :

\vec{a}\,%2B\,\vec{b}\,=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A2\,\\%0D%0A6%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A%2B%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-3\,\\%0D%0A5%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A2\,%2B\,(-3)\,\\%0D%0A6\,%2B\,5%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-1\,\\%0D%0A11%0D%0A\end{pmatrix}

\%7C\vec{a}\,%2B\,\vec{b}\%7C\,=\,\sqrt{(-1)^2\,%2B\,11^2}\,=\,\sqrt{1\,%2B\,121}\,=\,\sqrt{122}\,=\,\sqrt{122}\,=\,\sqrt{122}\,=\,\sqrt{122}

Calculons le produit scalaire des vecteurs :

\vec{a}\,\cdot\,\vec{b}\,=\,2\,\cdot\,(-3)\,%2B\,6\,\cdot\,5\,=\,-6\,%2B\,30\,=\,24

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