Vecteurs et droites du plan : corrigés des exercices en 1ère.

Exercice 1 : vecteurs colinéaires
Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ?

1) $\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,-1\,\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,-6\,\\\,2\,\end{pmatrix}$

Pour vérifier si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, nous vérifions s’il existe un réel tel que $\vec{v}\,=\,k\,\vec{u}$ .

$\begin{cases}%0D%0A-6\,=\,3k\,\\%0D%0A2\,=\,-1k%0D%0A\end{cases}$

Résolvons les équations :

$k\,=\,\frac{-6}{3}\,=\,-2$

$k\,=\,\frac{2}{-1}\,=\,-2$

Comme les deux valeurs de sont égales, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

2) $\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,0\,\\\,4\,\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,0\,\\\,-1\,\end{pmatrix}$

Pour vérifier si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, nous vérifions s’il existe un réel tel que $\vec{v}\,=\,k\,\vec{u}$ .

Comme les deux premières coordonnées sont nulles, cela donne immédiatement :

$k\,\cdot\,0\,=\,0\,\implies\,k\,\,indetermine$

Pour les secondes coordonnées :

$-1\,=\,4k$

$k\,=\,\frac{-1}{4}$

Les valeurs déterminées existent et consistent. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

3) $\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,-14\,\\\,28\,\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,-8\,\\\,12\,\end{pmatrix}$

Pour vérifier si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, nous vérifions s’il existe un réel tel que $\vec{v}\,=\,k\,\vec{u}$ .

$\begin{cases}%0D%0A-8\,=\,-14k\,\\%0D%0A12\,=\,28k%0D%0A\end{cases}$

Résolvons les équations :

$k\,=\,\frac{-8}{-14}\,=\,\frac{4}{7}$

$k\,=\,\frac{12}{28}\,=\,\frac{3}{7}$

Comme les deux valeurs de ne sont pas égales, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

Exercice 2 : coordonnées et équation cartésienne d’une droite
1) Pour vérifier si le point $A(-1%2C\,2)$ appartient à la droite d’équation $-2x\,%2B\,3y\,-\,4\,=\,0$ , il suffit de substituer les coordonnées de dans l’équation de la droite et de vérifier si l’égalité est vérifiée.

$-2(-1)\,%2B\,3(2)\,-\,4\,=\,2\,%2B\,6\,-\,4\,=\,4$

L’égalité $4\,=\,0$ n’est pas vérifiée. Donc, le point $A(-1%2C\,2)$ n’appartient pas à la droite .

2) Pour déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite avec l’axe des abscisses, on doit trouver le point où $y\,=\,0$ .

Substituons $y\,=\,0$ dans l’équation de la droite :

$-2x\,%2B\,3(0)\,-\,4\,=\,0$

Cela simplifie à :

$-2x\,-\,4\,=\,0$

Pour résoudre l’équation pour , additionnons 4 des deux côtés :

$-2x\,=\,4$

Ensuite, divisons par :

$x\,=\,-2$

Donc, les coordonnées du point d’intersection de la droite avec l’axe des abscisses sont $(-2%2C\,0)$ .

Exercice 3 : décomposition de vecteurs
Pour décomposer les vecteurs $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$ selon les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , nous devons d’abord identifier les coordonnées de ces vecteurs.

Observons le graphique :

– $\vec{u}$ correspond à une translation de unité vers la droite :
$\vec{u}\,=\,(1%2C\,0)$

– $\vec{v}$ correspond à une translation de unité à gauche et unité vers le haut :
$\vec{v}\,=\,(-1%2C\,1)$

Les coordonnées des points A, B et C sont :

– $A\,(4%2C\,2)$
– $B\,(4%2C\,5)$
– $C\,(2%2C\,2)$

Maintenant, nous déterminons les vecteurs $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$ en termes de leurs coordonnées :

– $\vec{AB}\,=\,B\,-\,A\,=\,(4%2C\,5)\,-\,(4%2C\,2)\,=\,(0%2C\,3)$
– $\vec{AC}\,=\,C\,-\,A\,=\,(2%2C\,2)\,-\,(4%2C\,2)\,=\,(-2%2C\,0)$
– $\vec{BC}\,=\,C\,-\,B\,=\,(2%2C\,2)\,-\,(4%2C\,5)\,=\,(-2%2C\,-3)$

Ensuite, nous exprimons ces vecteurs en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

– Pour $\vec{AB}$ :
$\vec{AB}\,=\,3\,\vec{v}\,=\,3(-1%2C\,1)\,=\,(0%2C\,3)$
Donc, $\vec{AB}\,=\,3\vec{v}$ .

– Pour $\vec{AC}$ :
$\vec{AC}\,=\,-2\,\vec{u}\,=\,-2(1%2C\,0)\,=\,(-2%2C\,0)$
Donc, $\vec{AC}\,=\,-2\vec{u}$ .

– Pour $\vec{BC}$ :
$\vec{BC}\,=\,-2\,\vec{u}\,-\,3\,\vec{v}\,=\,-2(1%2C\,0)\,%2B\,(-3)(-1%2C\,1)\,=\,(-2%2C\,0)\,%2B\,(3%2C\,-3)\,=\,(-2\,%2B\,3%2C\,0\,-\,3)\,=\,(1%2C\,-3)$
Donc, $\vec{BC}\,=\,-2\vec{u}\,%2B\,(-3)\vec{v}$ .

En résumé, les décompositions des vecteurs selon $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont :

$\vec{AB}\,=\,3\vec{v}$

$\vec{AC}\,=\,-2\vec{u}$

$\vec{BC}\,=\,-2\vec{u}\,-\,3\vec{v}$

Exercice 4 : déterminer l’équation réduite d’une droite
1. $Determiner\,une\,equation\,de\,la\,droite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fd%22\,alt=%22d$ passant par $A(0\,%3B\,1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\,(\begin{array}{c}%0D%0A-1\,\\%0D%0A2%0D%0A\end{array})$ » align= »absmiddle » />

L’équation paramétrique de la droite est donnée par :
$d\,%3A\,\lbrace%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0Ax\,=\,-1\,\cdot\,t\,\\%0D%0Ay\,=\,1\,%2B\,2\,\cdot\,t%0D%0A\end{array}%0D%0A.$

Pour éliminer le paramètre , nous pouvons réarranger la première équation pour obtenir :
$t\,=\,-x$

Ensuite, substituons dans la deuxième équation :
$y\,=\,1\,%2B\,2(-x)$
$y\,=\,1\,-\,2x$

Ainsi, l’équation cartésienne de la droite est :
$d\,%3A\,y\,=\,-2x\,%2B\,1$

2. $Determiner\,un\,vecteur\,directeur\,de\,la\,droite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fd%22\,alt=%22d$ d’equation $y\,-\,3x\,=\,4$ » align= »absmiddle » />

Réécrivons l’équation de la droite sous forme explicite :
$y\,=\,3x\,%2B\,4$

La pente de cette droite est . Par conséquent, un vecteur directeur de cette droite peut être $\vec{v}\,(\begin{array}{c}%0D%0A1\,\\%0D%0A3%0D%0A\end{array})$ .

3. $Donner\,l%E2%80%99equation\,reduite\,des\,droites\,suivantes.$

(1) d’équation $x\,-\,y\,%2B\,2\,=\,0$

Réarrangeons l’équation pour obtenir en fonction de :
$x\,-\,y\,%2B\,2\,=\,0$
$-\,y\,=\,-x\,-\,2$
$y\,=\,x\,%2B\,2$

Ainsi, l’équation réduite de la droite est :
$d\,%3A\,y\,=\,x\,%2B\,2$

(2) d’équation $6x\,%2B\,2y\,=\,1$

Réarrangeons l’équation pour obtenir en fonction de :
$6x\,%2B\,2y\,=\,1$
$2y\,=\,-6x\,%2B\,1$
$y\,=\,-3x\,%2B\,\frac{1}{2}$

Ainsi, l’équation réduite de la droite est :
$d'\,%3A\,y\,=\,-3x\,%2B\,\frac{1}{2}$

Exercice 5 : vecteurs colinéaires
Correction de l’exercice :

Pour vérifier si deux vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ sont colinéaires, ils doivent être proportionnels. Autrement dit, il doit exister un scalaire tel que $\vec{b}\,=\,k\,\vec{a}$ .

1) $\vec{u}\,(\,\begin{array}{c}\,3\,\\\,-2\,\end{array}\,)$ et $\vec{v}\,(\,\begin{array}{c}\,-11\,\\\,5\,\end{array}\,)$

$\frac{-11}{3}\,\neq\,\frac{5}{-2}$

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

2) $\vec{a}\,(\,\begin{array}{c}\,5%2F2\,\\\,3\,\end{array}\,)$ et $\vec{b}\,(\,\begin{array}{c}\,15%2F4\,\\\,9%2F2\,\end{array}\,)$

$k\,=\,\frac{15%2F4}{5%2F2}\,=\,\frac{15}{4}\,\cdot\,\frac{2}{5}\,=\,\frac{3}{2}$

$k\,=\,\frac{9%2F2}{3}\,=\,\frac{9}{2}\,\cdot\,\frac{1}{3}\,=\,\frac{3}{2}$

Les vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ sont colinéaires avec $k\,=\,\frac{3}{2}$ .

3) $\vec{r}\,(\,\begin{array}{c}\,-\sqrt{2}\,\\\,-3\,\end{array}\,)$ et $\vec{s}\,(\,\begin{array}{c}\,-2\,\\\,-3\sqrt{2}\,\end{array}\,)$

$k\,=\,\frac{-2}{-\sqrt{2}}\,=\,\sqrt{2}$

$k\,=\,\frac{-3\sqrt{2}}{-3}\,=\,\sqrt{2}$

Les vecteurs $\vec{r}$ et $\vec{s}$ sont colinéaires avec $k\,=\,\sqrt{2}$ .

4) $\vec{a}\,(\,\begin{array}{c}\,3\,\\\,2\,\\\,5\,\end{array}\,)$ et $\vec{u}\,(\,\begin{array}{c}\,14%2F5\,\\\,6%2F7\,\\\,7\,\end{array}\,)$

$\frac{14%2F5}{3}\,=\,\frac{14}{15}$

$\frac{6%2F7}{2}\,=\,\frac{6}{14}\,=\,\frac{3}{7}$

$\frac{7}{5}\,=\,1.4$

Les fractions ne sont pas égales, donc les vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{u}$ ne sont pas colinéaires.

5) $\vec{b}\,(\,\begin{array}{c}\,\sqrt{5}\,\\\,-4\sqrt{3}\,\end{array}\,)$ et $\vec{v}\,(\,\begin{array}{c}\,\sqrt{20}\,\\\,-\sqrt{24}\,\end{array}\,)$

$\sqrt{20}\,=\,2\sqrt{5}$

$\sqrt{24}\,=\,2\sqrt{6}$

$k\,=\,\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\,=\,2$

$k\,=\,\frac{-2\sqrt{6}}{-4\sqrt{3}}\,=\,\frac{2}{\sqrt{2}}\,=\,\sqrt{2}$

Les proportions sont différentes, donc les vecteurs $\vec{b}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

Exercice 6 : déterminer si les droites sont parallèles
Pour déterminer si les droites et sont parallèles, nous devons calculer les coefficients directeurs de ces droites et vérifier s’ils sont égaux.

1.
$A(3%2C\,-2)%2C\,\%2C\,B(-1%2C\,-1)%2C\,\%2C\,C(-3%2C\,2)\,\%2C\,et\,\%2C\,D(1%2C\,3)$
$m_{AB}\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}\,=\,\frac{-1\,-\,(-2)}{-1\,-\,3}\,=\,\frac{1}{-4}\,=\,-\frac{1}{4}$
$m_{CD}\,=\,\frac{y_D\,-\,y_C}{x_D\,-\,x_C}\,=\,\frac{3\,-\,2}{1\,-\,(-3)}\,=\,\frac{1}{4}$

Les coefficients directeurs ne sont pas égaux, les droites et ne sont donc pas parallèles.

2.
$A(-9%2C\,-2)%2C\,\%2C\,B(1%2C\,3)%2C\,\%2C\,C(3%2C\,-2)\,\%2C\,et\,\%2C\,D(1%2C\,-3)$
$m_{AB}\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}\,=\,\frac{3\,-\,(-2)}{1\,-\,(-9)}\,=\,\frac{5}{10}\,=\,\frac{1}{2}$
$m_{CD}\,=\,\frac{y_D\,-\,y_C}{x_D\,-\,x_C}\,=\,\frac{-3\,-\,(-2)}{1\,-\,3}\,=\,\frac{-1}{-2}\,=\,\frac{1}{2}$

Les coefficients directeurs sont égaux, les droites et sont donc parallèles.

3.
$A(-1%2C\,2)%2C\,\%2C\,B(-1%2C\,3)%2C\,\%2C\,C(3%2C\,2)\,\%2C\,et\,\%2C\,D(4%2C\,2)$
$m_{AB}\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}\,=\,\frac{3\,-\,2}{-1\,-\,(-1)}\,=\,\frac{1}{0}\,\,(impossible%2C\,droite\,verticale)$
$m_{CD}\,=\,\frac{y_D\,-\,y_C}{x_D\,-\,x_C}\,=\,\frac{2\,-\,2}{4\,-\,3}\,=\,\frac{0}{1}\,=\,0$

Les coefficients directeurs ne sont pas définis de la même manière, les droites et ne sont donc pas parallèles.

4.
$A(-\frac{1}{2}%2C\,\frac{7}{3})%2C\,\%2C\,B(\frac{3}{2}%2C\,3)%2C\,\%2C\,C(\frac{9}{5}%2C\,-1)\,\%2C\,et\,\%2C\,D(-\frac{6}{5}%2C\,-2)$

$m_{AB}\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}\,=\,\frac{3\,-\,\frac{7}{3}}{\frac{3}{2}\,-\,(-\frac{1}{2})}\,=\,\frac{\frac{9}{3}\,-\,\frac{7}{3}}{\frac{3%2B1}{2}}\,=\,\frac{\frac{2}{3}}{2}\,=\,\frac{2}{6}\,=\,\frac{1}{3}$
$m_{CD}\,=\,\frac{y_D\,-\,y_C}{x_D\,-\,x_C}\,=\,\frac{-2\,-\,(-1)}{-\frac{6}{5}\,-\,\frac{9}{5}}\,=\,\frac{-1}{-\frac{15}{5}}\,=\,\frac{-1}{-3}\,=\,\frac{1}{3}$

Les coefficients directeurs sont égaux, les droites et sont donc parallèles.

5.
$A(14%2C\,4)%2C\,\%2C\,B(-18%2C\,-12)%2C\,\%2C\,C(2%2C\,4)\,\%2C\,et\,\%2C\,D(-18%2C\,-4)$
$m_{AB}\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}\,=\,\frac{-12\,-\,4}{-18\,-\,14}\,=\,\frac{-16}{-32}\,=\,\frac{1}{2}$
$m_{CD}\,=\,\frac{y_D\,-\,y_C}{x_D\,-\,x_C}\,=\,\frac{-4\,-\,4}{-18\,-\,2}\,=\,\frac{-8}{-20}\,=\,\frac{2}{5}$

Les coefficients directeurs ne sont pas égaux, les droites et ne sont donc pas parallèles.

Exercice 7 : montrer que des droites sont parallèles
Les points fournis dans chaque cas sont :
(Point , sont sur la droite et , sont sur la droite )

Pour déterminer si les droites et sont parallèles, nous devons vérifier si leurs vecteurs directeurs sont proportionnels (ont la même pente).

1) $E(2%3B\,6)%2C\,H(10%3B\,6)%2C\,C(1%3B\,1)$ et $D(9%3B\,-1)$

La pente de la droite est donnée par :
$\frac{y_H\,-\,y_E}{x_H\,-\,x_E}\,=\,\frac{6\,-\,6}{10\,-\,2}\,=\,\frac{0}{8}\,=\,0$

La pente de la droite est donnée par :
$\frac{y_D\,-\,y_C}{x_D\,-\,x_C}\,=\,\frac{-1\,-\,1}{9\,-\,1}\,=\,\frac{-2}{8}\,=\,-\frac{1}{4}$

Les pentes étant différentes, les droites et ne sont pas parallèles.

2) $E(-3%3B\,10)%2C\,H(-3%3B\,2)%2C\,C(4%3B\,7)$ et $D(4%3B\,8)$

La pente de la droite est donnée par :
$\frac{y_H\,-\,y_E}{x_H\,-\,x_E}\,=\,\frac{2\,-\,10}{-3\,-\,(-3)}\,=\,\frac{-8}{0}$

La pente de la droite est donnée par :
$\frac{y_D\,-\,y_C}{x_D\,-\,x_C}\,=\,\frac{8\,-\,7}{4\,-\,4}\,=\,\frac{1}{0}$

Les deux droites et sont des droites verticales parallèles.

3) $E(2%3B\,3)%2C\,H(3%3B\,\frac{9}{2})%2C\,C(-3%3B\,-2)$ et $D(1%3B\,5)$

La pente de la droite est donnée par :
$\frac{y_H\,-\,y_E}{x_H\,-\,x_E}\,=\,\frac{\frac{9}{2}\,-\,3}{3\,-\,2}\,=\,\frac{\frac{9\,-\,6}{2}}{1}\,=\,\frac{3}{2}$

La pente de la droite est donnée par :
$\frac{y_D\,-\,y_C}{x_D\,-\,x_C}\,=\,\frac{5\,%2B\,2}{1\,%2B\,3}\,=\,\frac{7}{4}$

Les pentes étant différentes, les droites et ne sont pas parallèles.

4) $E(\,-\frac{2}{3}%3B\,-\frac{3}{4}\,)%2C\,H(1%3B\,-2)%2C\,C(1%3B\,-1)$ et $D(9%3B\,-7)$

La pente de la droite est donnée par :
$\frac{y_H\,-\,y_E}{x_H\,-\,x_E}\,=\,\frac{-2\,%2B\,\frac{3}{4}}{1\,%2B\,\frac{2}{3}}\,=\,\frac{-\frac{8}{4}\,%2B\,\frac{3}{4}}{\frac{3}{3}\,%2B\,\frac{2}{3}}\,=\,\frac{-\frac{5}{4}}{\frac{5}{3}}\,=\,\frac{-5}{4}\,\cdot\,\frac{3}{5}\,=\,-\frac{3}{4}$

La pente de la droite est donnée par :
$\frac{y_D\,-\,y_C}{x_D\,-\,x_C}\,=\,\frac{-7\,%2B\,1}{9\,-\,1}\,=\,\frac{-6}{8}\,=\,-\frac{3}{4}$

Les pentes sont égales donc, les droites et sont parallèles.

5) $E(\sqrt{2}%3B\,\frac{1}{\sqrt{3}})%2C\,H(0%3B\,\frac{2}{\sqrt{3}})%2C\,C(\sqrt{3}%3B\,\sqrt{2})$ , et $D(-\sqrt{3}%3B\,0)$

La pente de la droite est donnée par :
$\frac{y_H\,-\,y_E}{x_H\,-\,x_E}\,=\,\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}\,-\,\frac{1}{\sqrt{3}}}{0\,-\,\sqrt{2}}\,=\,\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{-\sqrt{2}}\,=\,-\frac{1}{\sqrt{3}\,\cdot\,\sqrt{2}}\,=\,-\frac{1}{\sqrt{6}}$

La pente de la droite est donnée par :
$\frac{y_D\,-\,y_C}{x_D\,-\,x_C}\,=\,\frac{0\,-\,\sqrt{2}}{-\sqrt{3}\,-\,\sqrt{3}}\,=\,\frac{-\sqrt{2}}{-2\sqrt{3}}\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\,=\,\frac{1}{\sqrt{6}}$

Les pentes étant opposées, les droites et ne sont pas parallèles.

Exercice 8 : déterminer si des points sont alignés
1) Pour les points $A(-9%2C\,4)$ , $B(1%2C\,-1)$ et $C(4%2C\,-2)$ :

Calculons la pente de et de :
$m_{AB}\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}\,=\,\frac{-1\,-\,4}{1\,-\,(-9)}\,=\,\frac{-5}{10}\,=\,-\frac{1}{2}$
$m_{BC}\,=\,\frac{y_C\,-\,y_B}{x_C\,-\,x_B}\,=\,\frac{-2\,-\,(-1)}{4\,-\,1}\,=\,\frac{-1}{3}$

Les pentes ne sont pas égales, donc les points , , et ne sont pas alignés.

—

2) Pour les points $A(-4%2C\,0)$ , $B(-2%2C\,1)$ et $C(3%2C\,\frac{7}{2})$ :

Calculons la pente de et de :
$m_{AB}\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}\,=\,\frac{1\,-\,0}{-2\,-\,(-4)}\,=\,\frac{1}{2}$
$m_{BC}\,=\,\frac{y_C\,-\,y_B}{x_C\,-\,x_B}\,=\,\frac{\frac{7}{2}\,-\,1}{3\,-\,(-2)}\,=\,\frac{\frac{7}{2}\,-\,\frac{2}{2}}{5}\,=\,\frac{\frac{5}{2}}{5}\,=\,\frac{1}{2}$

Les pentes sont égales, donc les points , , et sont alignés.

—

3) Pour les points $A(-4%2C\,4)$ , $B(-4%2C\,6)$ et $C(-3%2C\,2)$ :

Les points et ont la même abscisse $x\,=\,-4$ , ils sont donc sur une ligne verticale. Calculons la pente de :
$m_{BC}\,=\,\frac{y_C\,-\,y_B}{x_C\,-\,x_B}\,=\,\frac{2\,-\,6}{-3\,-\,(-4)}\,=\,\frac{-4}{1}\,=\,-4$

Puisque est vertical (pente indéfinie) et que la pente de est , les points , , et ne sont pas alignés.

Exercice 9 : vérifier si des points sont alignés
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A\,Determiner\,si\,les\,points\,sont\,alignes$

Pour chaque groupe de points, calculons les vecteurs entre deux paires de points et vérifions si ces vecteurs sont colinéaires (vérifions si le déterminant du vecteur est nul).

1. $F(\,\frac{2}{3}%2C\,1\,)%2C\,G(\,-2%2C\,\frac{1}{3}\,)$ et $H\,(5\,%3B\,2)$

Calculons les vecteurs $\vec{FG}$ et $\vec{FH}$ :
$\vec{FG}\,=\,(\,-2\,-\,\frac{2}{3}%2C\,\frac{1}{3}\,-\,1\,)\,=\,(\,-\frac{8}{3}%2C\,-\frac{2}{3}\,)$
$\vec{FH}\,=\,(\,5\,-\,\frac{2}{3}%2C\,2\,-\,1\,)\,=\,(\,\frac{13}{3}%2C\,1\,)$

Vérifions la colinéarité :
$\begin{vmatrix}\,-\frac{8}{3}\,%26\,-\frac{2}{3}\,\\\,\frac{13}{3}\,%26\,1\,\end{vmatrix}\,=\,-\frac{8}{3}\,\times \,1\,-\,(\,-\frac{2}{3}\,\times \,\frac{13}{3}\,)\,=\,-\frac{8}{3}\,%2B\,\frac{26}{9}\,=\,-\frac{24}{9}\,%2B\,\frac{26}{9}\,=\,\frac{2}{9}$

Le déterminant n’est pas nul, donc les points ne sont pas alignés.

2. $B(0\,%3B\,0)%2C\,C(\sqrt{2}\,%3B\,\sqrt{6})$ et $D(4\,%3B\,4\sqrt{3})$

Calculons les vecteurs $\vec{BC}$ et $\vec{BD}$ :
$\vec{BC}\,=\,(\,\sqrt{2}\,-\,0%2C\,\sqrt{6}\,-\,0\,)\,=\,(\,\sqrt{2}%2C\,\sqrt{6}\,)$
$\vec{BD}\,=\,(\,4\,-\,0%2C\,4\sqrt{3}\,-\,0\,)\,=\,(\,4%2C\,4\sqrt{3}\,)$

Vérifions la colinéarité :
$\begin{vmatrix}\,\sqrt{2}\,%26\,\sqrt{6}\,\\\,4\,%26\,4\sqrt{3}\,\end{vmatrix}\,=\,\sqrt{2}\,\times \,4\,\sqrt{3}\,-\,\sqrt{6}\,\times \,4\,=\,4\sqrt{6}\,-\,4\sqrt{6}\,=\,0$

Le déterminant est nul, donc les points sont alignés.

3. $E(1\,%3B\,2)%2C\,F(-3\,%3B\,8.28)$ et $G(3\,%3B\,2\,-\,\pi)$

Calculons les vecteurs $\vec{EF}$ et $\vec{EG}$ :
$\vec{EF}\,=\,(\,-3\,-\,1%2C\,8.28\,-\,2\,)\,=\,(\,-4%2C\,6.28\,)$
$\vec{EG}\,=\,(\,3\,-\,1%2C\,(2\,-\,\pi)\,-\,2\,)\,=\,(\,2%2C\,-\pi\,)$

Vérifions la colinéarité :
$\begin{vmatrix}\,-4\,%26\,6.28\,\\\,2\,%26\,-\pi\,\end{vmatrix}\,=\,(-4)\,\times \,(-\pi)\,-\,6.28\,\times \,2\,=\,4\pi\,-\,12.56$

Le déterminant n’est pas nul, donc les points ne sont pas alignés.

4. $A(-6\,%3B\,4)%2C\,B(\sqrt{2}\,-\,2\,%3B\,-\sqrt{2})$ et $D(\sqrt{5}\,-\,2\,%3B\,-\sqrt{5})$

Calculons les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$ :
$\vec{AB}\,=\,(\,(\sqrt{2}\,-\,2)\,-\,(-6)%2C\,-\sqrt{2}\,-\,4\,)\,=\,(\,\sqrt{2}\,%2B\,4%2C\,-\sqrt{2}\,-\,4\,)$
$\vec{AD}\,=\,(\,(\sqrt{5}\,-\,2)\,-\,(-6)%2C\,-\sqrt{5}\,-\,4\,)\,=\,(\,\sqrt{5}\,%2B\,4%2C\,-\sqrt{5}\,-\,4\,)$

Vérifions la colinéarité :
$\begin{vmatrix}\,\sqrt{2}\,%2B\,4\,%26\,-\sqrt{2}\,-\,4\,\\\,\sqrt{5}\,%2B\,4\,%26\,-\sqrt{5}\,-\,4\,\end{vmatrix}$
Approximativement, en simplifiant les déterminants, on trouve que ces termes ne sont pas linéairement dépendants, donc :
Le déterminant n’est pas nul, donc les points ne sont pas alignés.

5. $C(\pi\,%3B\,\pi)%2C\,D(1\,%3B\,2\,-\,\pi)$ et $H(\pi\,-\,4\,%3B\,\pi\,-\,2)$

Calculons les vecteurs $\vec{CD}$ et $\vec{CH}$ :
$\vec{CD}\,=\,(\,1\,-\,\pi%2C\,(2\,-\,\pi)\,-\,\pi\,)\,=\,(\,1\,-\,\pi%2C\,2\,-\,2\pi\,)$
$\vec{CH}\,=\,(\,(\pi\,-\,4)\,-\,\pi%2C\,(\pi\,-\,2)\,-\,\pi\,)\,=\,(\,-4%2C\,-2\,)$

Vérifions la colinéarité :
$\begin{vmatrix}\,1\,-\,\pi\,%26\,2\,-\,2\pi\,\\\,-4\,%26\,-2\,\end{vmatrix}\,=\,(1\,-\,\pi)(-2)\,-\,(2\,-\,2\pi)(-4)\,=\,-2\,%2B\,2\pi\,%2B\,8\,-\,8\pi\,=\,6\,-\,6\pi$

Le déterminant n’est pas nul, donc les points ne sont pas alignés.

Ainsi, après vérification en utilisant les vecteurs et le déterminant, seuls les points de la deuxième série parmis les cinq sont alignés.

Exercice 10 : vecteurs colinéaires et parallélogramme
$Correction\,de\,l'exercice\,de\,mathematiques\,%3A$

1) Les vecteurs $\vec{u}\,(\,\begin{pmatrix}\,0\,\\\,1\,\end{pmatrix}\,)$ et $\vec{v}\,(\,\begin{pmatrix}\,-3\,\\\,0\,\end{pmatrix}\,)$ sont-ils colinéaires ?

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un réel tel que :
$\vec{v}\,=\,k\,\vec{u}$
cela implique:
$\begin{pmatrix}%0D%0A-3\,\\%0D%0A0%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,k\,\begin{pmatrix}%0D%0A0\,\\%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}$
Les équations à résoudre sont donc :
$-3\,=\,0\,\cdot\,k\,\quad\,et\,\quad\,0\,=\,1\,\cdot\,k$

Aucune solution n’existe pour ces équations. Donc, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

$Reponse\,%3A\,Faux$

2) Si $\vec{AB}\,=\,2\,\vec{CD}$ , alors est-il un parallélogramme ?

Pour qu’un quadrilatère soit un parallélogramme, il faut que les vecteurs opposés soient égaux :
$\vec{AB}\,=\,\vec{CD}\,\quad\,et\,\quad\,\vec{BC}\,=\,\vec{DA}$

La condition donnée $\vec{AB}\,=\,2\,\vec{CD}$ ne garantit pas que $\vec{BC}\,=\,\vec{DA}$ . En fait, la relation donnée est insuffisante pour conclure quoi que ce soit sur les autres côtés du quadrilatère.

$Reponse\,%3A\,Faux$

3) Si $\vec{EF}\,=\,\frac{5}{6}\,\vec{FG}$ , alors est-il un point de ?

Si est un point de , il existe un réel $t\,\in\,%5B0%2C\,1%5D$ tel que :
$\vec{EF}\,=\,t\,\vec{FG}$

La relation donnée $\vec{EF}\,=\,\frac{5}{6}\,\vec{FG}$ nous dit que $t\,=\,\frac{5}{6}$ , qui appartient bien à l’intervalle $%5B0%2C\,1%5D$ .

$Reponse\,%3A\,Vrai$

4) Pour tout réel , les vecteurs $\vec{u}\,(\,\begin{pmatrix}\,\sqrt{2}\,\\\,x\,\end{pmatrix}\,)$ et $\vec{v}\,(\,\begin{pmatrix}\,\sqrt{18}\,\\\,3x\,\end{pmatrix}\,)$ sont-ils colinéaires ?

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un réel tel que :
$\vec{v}\,=\,k\,\vec{u}$
cela implique :
$\begin{pmatrix}%0D%0A\sqrt{18}\,\\%0D%0A3x%0D%0A\end{pmatrix}\,=\,k\,\begin{pmatrix}%0D%0A\sqrt{2}\,\\%0D%0Ax%0D%0A\end{pmatrix}$

Nous avons donc les relations :
$\sqrt{18}\,=\,k\,\sqrt{2}\,\quad\,et\,\quad\,3x\,=\,kx$

Pour vérifier la première relation:
$k\,=\,\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\,=\,\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\,=\,3$

et pour la seconde relation:
$3x\,=\,3x$

La seconde relation vérifie toujours la condition donnée. Donc, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

$Reponse\,%3A\,Vrai$

Exercice 11 : déterminer les valeurs de x pour que les vecteurs soient colinéaires
Pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, il doit exister un scalaire $\lambda$ tel que $\vec{u} = \lambda \vec{v}$. Cela signifie que leurs coordonnées doivent vérifier cette relation.

1) $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2x + 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

Nous devons avoir:
$\frac{2x\,%2B\,1}{-1}\,=\,\frac{2}{3}$

$2x\,%2B\,1\,=\,-\frac{2}{3}$

$2x\,=\,-\frac{2}{3}\,-\,1\,=\,-\frac{2}{3}\,-\,\frac{3}{3}$

$2x\,=\,-\frac{5}{3}$

$x\,=\,-\frac{5}{6}$

Donc, $x = -\frac{5}{6}$.

2) $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ x \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ \frac{3}{4} \end{pmatrix}$

Nous devons avoir:
$\frac{3}{x}\,=\,\frac{x}{\frac{3}{4}}$

$3\,\cdot\,\frac{3}{4}\,=\,x^2$

$\frac{9}{4}\,=\,x^2$

$x\,=\,\pm\,\frac{3}{2}$

Donc, $x = \frac{3}{2}$ ou $x = -\frac{3}{2}$.

3) $\vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{1}{x} \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ x \end{pmatrix}$

Nous devons avoir:
$\frac{\frac{1}{x}}{3}\,=\,\frac{2}{x}$

$\frac{1}{3x}\,=\,\frac{2}{x}$

$1\,=\,6x$

$x\,=\,\frac{1}{6}$

Donc, $x = \frac{1}{6}$.

4) $\vec{u} = \begin{pmatrix} x + 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ x \end{pmatrix}$

Nous devons avoir:
$\frac{x\,%2B\,1}{2}\,=\,\frac{3}{x}$

$x(x\,%2B\,1)\,=\,6$

$x^2\,%2B\,x\,-\,6\,=\,0$

Les solutions de cette équation quadratique sont:
$x\,=\,\frac{-1\,\pm\,\sqrt{1\,%2B\,24}}{2}$

$x\,=\,\frac{-1\,\pm\,5}{2}$

$x\,=\,2\,\quad\,ou\,\quad\,x\,=\,-3$

Donc, $x = 2$ ou $x = -3$.

Exercice 12 : déterminer les coordonnées des points d’intersection
Pour déterminer les coordonnées des points d’intersection de la droite (AB) avec les axes du repère, nous devons d’abord trouver l’équation de la droite passant par les points $A(7%2C\,-1)$ et $B(-7%2C\,4)$ .

1. Calcul de la pente de la droite (AB) :
$m\,=\,\frac{y_B\,-\,y_A}{x_B\,-\,x_A}\,=\,\frac{4\,-\,(-1)}{-7\,-\,7}\,=\,\frac{5}{-14}\,=\,-\frac{5}{14}$

2. Utilisation de la formule de la droite $y\,=\,mx\,%2B\,c$ . Nous utilisons le point $A(7%2C\,-1)$ pour trouver l’ordonnée à l’origine :
$-1\,=\,-\frac{5}{14}(7)\,%2B\,c$
$-1\,=\,-\frac{35}{14}\,%2B\,c$
$-1\,=\,-2.5\,%2B\,c$
$c\,=\,-1\,%2B\,2.5\,=\,1.5$

Donc, l’équation de la droite est :
$y\,=\,-\frac{5}{14}x\,%2B\,1.5$

3. Intersection avec l’axe des ordonnées (où $x\,=\,0$ ) :
$y\,=\,1.5$
Donc le point d’intersection est $(0%2C\,1.5)$ .

4. Intersection avec l’axe des abscisses (où $y\,=\,0$ ) :
$0\,=\,-\frac{5}{14}x\,%2B\,1.5$
$\frac{5}{14}x\,=\,1.5$
$x\,=\,1.5\,\times \,\frac{14}{5}\,=\,4.2$
Donc le point d’intersection est $(4.2%2C\,0)$ .

En résumé, les coordonnées des points d’intersection de la droite (AB) avec les axes du repère sont :
– Avec l’axe des ordonnées : $(0%2C\,1.5)$
– Avec l’axe des abscisses : $(4.2%2C\,0)$

Exercice 13 : montrer que les vecteurs sont colinéaires avec la relation de Chasles
1) $\vec{u} = 4\vec{AB} – \frac{1}{3}\vec{AC}$ et $\vec{v} = -12\vec{AB} + \vec{AC}$

Pour tester si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, on cherche un scalaire $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$.
$u_1\,=\,k\,v_1$
$4\vec{AB}\,-\,\frac{1}{3}\vec{AC}\,=\,k(-12\vec{AB}\,%2B\,\vec{AC})$
En identifiant les coefficients des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ des deux côtés de l’égalité :
$4\,=\,-12k\,\quad\,et\,\quad\,-\frac{1}{3}\,=\,k$
En résolvant $4 = -12k$, on trouve $k = -\frac{1}{3}$.
En vérifiant pour l’autre équation $-\frac{1}{3} = k$, cela est également vrai.

Donc, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

2) $\vec{u} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{5}{6} \vec{AC}$ et $\vec{v} = 3\vec{AB} + \frac{15}{4} \vec{AC}$

Nous devons également tester si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. Cherchons un scalaire $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$.
$u_1\,=\,k\,v_1$
$\frac{2}{3}\,\vec{AB}\,%2B\,\frac{5}{6}\,\vec{AC}\,=\,k\,(\,3\vec{AB}\,%2B\,\frac{15}{4}\vec{AC}\,)$
En identifiant les coefficients des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ des deux côtés de l’égalité :
$\frac{2}{3}\,=\,3k\,\quad\,et\,\quad\,\frac{5}{6}\,=\,\frac{15}{4}\,k$
En résolvant pour $k$ :
$\frac{2}{3}\,=\,3k\,\implies\,k\,=\,\frac{2}{9}$
$\frac{5}{6}\,=\,\frac{15}{4}k\,\implies\,k\,=\,\frac{5}{6}\,\cdot\,\frac{4}{15}\,=\,\frac{5\,\times \,4}{6\,\times \,15}\,=\,\frac{20}{90}\,=\,\frac{2}{9}$
Les deux valeurs de $k$ sont égales. Donc, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

3) $\vec{u} = \frac{5}{4} \vec{CA} + \frac{15}{2}\vec{AB}$ et $\vec{v} = -6\vec{AB} + \vec{AC}$

Pour tester si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, cherchons un scalaire $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ :
$u_1\,=\,k\,v_1$
$\frac{5}{4}\,\vec{CA}\,%2B\,\frac{15}{2}\,\vec{AB}\,=\,k\,(\,-6\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{AC}\,)$

Notez que $\vec{CA} = -\vec{AC}$, alors nous pouvons réécrire l’équation :
$\frac{5}{4}\,(-\vec{AC})\,%2B\,\frac{15}{2}\,\vec{AB}\,=\,k\,(-6\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{AC})$

Ensuite, en identifiant les coefficients des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ des deux côtés de l’égalité :
$\frac{15}{2}\,=\,-6k\,\quad\,et\,\quad\,-\frac{5}{4}\,=\,k$
En résolvant $-\frac{5}{4} = k$, on trouve :
$\frac{15}{2}\,=\,-6k\,\implies\,k\,=\,-\frac{15}{2\,\times \,6}\,=\,-\frac{15}{12}\,=\,-\frac{5}{4}$
Les deux valeurs de $k$ sont égales. Donc, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Exercice 14 : relation de Chasles et colinéarité
On considère deux points et et un point tel que
$\vec{AM}\,=\,k\,\vec{AB}$
où est un réel. Déterminons les valeurs de sous les conditions suivantes :

1) soit le milieu de :

Le milieu de est le point , ce qu’on écrit en termes de vecteurs :
$\vec{MA}\,=\,\vec{AB}$
En utilisant l’expression donnée, nous pouvons écrire :
$\vec{MA}\,=\,-\vec{AM}\,=\,-k\,\vec{AB}$
Puis, pour que soit le milieu, il doit exister un scalaire tel que :
$\vec{MA}\,=\,m\,\vec{AB}$
Ainsi,
$-k\,=\,m$
Pour que $\vec{A}$ soit le milieu de $\vec{MB}$ , il faut :
$m\,=\,1%2C\,\quad\,donc\,\quad\,-k\,=\,1\,\implies\,k\,=\,-1$

2) soit sur le cercle de centre et de rayon 2AB :

La distance entre et est notée , et doit être égale à $2\,\times \,%7CAB%7C$ . En termes de vecteurs, la distance est :
$%7C\vec{BM}%7C\,=\,2\,%7C\vec{AB}%7C$

Comme $\vec{BM}\,=\,\vec{BA}\,%2B\,\vec{AM}$ :
$\vec{BM}\,=\,-\vec{AB}\,%2B\,k\,\vec{AB}\,=\,(k-1)\,\vec{AB}$

La norme de ce vecteur doit être deux fois celle de $\vec{AB}$ :
$%7C(k-1)\,\vec{AB}%7C\,=\,2\,%7C\vec{AB}%7C$
Soit :
$%7Ck-1%7C\,%7C\vec{AB}%7C\,=\,2\,%7C\vec{AB}%7C$
En simplifiant (si $\vec{AB}\,\neq\,0$ ), nous obtenons :
$%7Ck-1%7C\,=\,2$
Ce qui donne deux solutions :
$k-1\,=\,2\,\implies\,k\,=\,3$
$k-1\,=\,-2\,\implies\,k\,=\,-1$
Donc, $k\,=\,3$ ou $k\,=\,-1$

3) appartienne à :

Pour que soit sur le segment , il faut que soit un point de la droite passant par et . Cela signifie que le vecteur $\vec{AM}$ est colinéaire au vecteur $\vec{AB}$ et que doit être compris entre et (non-inclus aux extrémités):
$0\,%3C\,k\,%3C\,1$

Donc, les valeurs possibles de sont :
$0\,%3C\,k\,%3C\,1$

Exercice 15 : relation de Chasles et placement de points

\setcounter{enumi}{1}
On considère le point tel que :
$\vec{AM}\,-\,\vec{BM}\,%2B\,2\vec{MC}\,=\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{AC}.$

\begin{enumerate}
En utilisant la relation de Chasles, nous avons :
$\vec{AM}\,=\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{BM}%2C$
donc
$\vec{BM}\,=\,\vec{BA}\,%2B\,\vec{AM}%2C$
avec
$\vec{BA}\,=\,-\,\vec{AB}.$

Remplaçons $\vec{BM}$ dans l’équation initiale :
$\vec{AM}\,-\,(\vec{BA}\,%2B\,\vec{AM})\,%2B\,2\vec{MC}\,=\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{AC}.$

Simplifions :
$\vec{AM}\,-\,\vec{BA}\,-\,\vec{AM}\,%2B\,2\vec{MC}\,=\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{AC}.$

Regroupons les termes :
$-\,\vec{BA}\,%2B\,2\vec{MC}\,=\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{AC}.$

Sachant que $\vec{BA}\,=\,-\vec{AB}$ , nous avons :
$-\,(-\vec{AB})\,%2B\,2\vec{MC}\,=\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{AC}.$

Finalement :
$\vec{AB}\,%2B\,2\vec{MC}\,=\,\vec{AB}\,%2B\,\vec{AC}.$

En soustrayant $\vec{AB}$ des deux côtés, nous trouvons :
$2\vec{MC}\,=\,\vec{AC}.$

Il s’ensuit que :
$\vec{MC}\,=\,\frac{1}{2}\,\vec{AC}.$

Ainsi, le point est le milieu de $\vec{AC}$ .

Puisque est le milieu de $\vec{AC}$ , cela signifie que les points , , et sont alignés, et partage le segment $\vec{AC}$ en deux segments égaux.

Puisque est le milieu de $\vec{AC}$ , pour le placer sur la figure, il suffit de prendre le point tel que $AM\,=\,MC$ sur le segment $\vec{AC}$ .

\end{enumerate}

Exercice 16 : droites et points d’intersection
Correction de l’exercice :

On considère les droites et d’équation respective $x\,-\,4y\,-\,5\,=\,0$ et $-2x\,%2B\,3y\,=\,4$ .

### 1. a) Le point $A(1%3B\,-1)$ appartient-il à la droite ?
Nous devons vérifier si les coordonnées du point $A(1%3B\,-1)$ satisfont l’équation de la droite .

Substituons $x\,=\,1$ et $y\,=\,-1$ dans l’équation de :
$1\,-\,4(-1)\,-\,5\,=\,1\,%2B\,4\,-\,5\,=\,0$

Donc, $A(1%3B\,-1)$ appartient à la droite .

### b) Déterminer les coordonnées du point d’abscisse 5 appartenant à la droite .
Si $E(5%3B\,y)$ appartient à , alors ses coordonnées doivent satisfaire l’équation de .

Substituons $x\,=\,5$ dans l’équation de :
$5\,-\,4y\,-\,5\,=\,0\,\Rightarrow\,-4y\,=\,-5\,%2B\,5\,\Rightarrow\,-4y\,=\,0\,\Rightarrow\,y\,=\,0$

Donc, a pour coordonnées $(5%3B\,0)$ .

### c) Tracer la droite dans un repère.
Pour tracer la droite , déterminons deux points distincts. Nous avons déjà $A(1%3B\,-1)$ et $E(5%3B\,0)$ .

### 2) Tracer dans le même repère la droite .
Pour tracer la droite , déterminons deux points distincts en résolvant l’équation $-2x\,%2B\,3y\,=\,4$ .

#### Cas 1: $x\,=\,0$ :
$-2(0)\,%2B\,3y\,=\,4\,\Rightarrow\,3y\,=\,4\,\Rightarrow\,y\,=\,\frac{4}{3}$

Donc, $(0%3B\,\frac{4}{3})$ est un point de .

#### Cas 2: $y\,=\,0$ :
$-2x\,%2B\,3(0)\,=\,4\,\Rightarrow\,-2x\,=\,4\,\Rightarrow\,x\,=\,-2$

Donc, $(-2%3B\,0)$ est un point de .

Tracer les droites en utilisant les points trouvés pour chaque droite.

On considère les droites et d’équation respective $2x\,%2B\,y\,%2B\,3\,=\,0$ et $3x\,-\,y\,%2B\,1\,=\,0$ .

### 1. a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de avec les axes du repère.

#### Intersection avec l’axe des :
Pour $y\,=\,0$ :
$2x\,%2B\,0\,%2B\,3\,=\,0\,\Rightarrow\,2x\,=\,-3\,\Rightarrow\,x\,=\,-\frac{3}{2}$

Donc, l’intersection est $(-\frac{3}{2}%3B\,0)$ .

#### Intersection avec l’axe des :
Pour $x\,=\,0$ :
$2(0)\,%2B\,y\,%2B\,3\,=\,0\,\Rightarrow\,y\,%2B\,3\,=\,0\,\Rightarrow\,y\,=\,-3$

Donc, l’intersection est $(0%3B\,-3)$ .

### b) Tracer la droite .
Utilisez les points d’intersection $(-\frac{3}{2}%3B\,0)$ et $(0%3B\,-3)$ pour tracer la droite .

### 2 a) Trouver deux points à coordonnées entières qui appartiennent à .
Pour cela, utilisons des valeurs entières de pour trouver .

#### Cas 1: $x\,=\,0$ :
$3(0)\,-\,y\,%2B\,1\,=\,0\,\Rightarrow\,-y\,%2B\,1\,=\,0\,\Rightarrow\,y\,=\,1$

Donc, $(0%3B\,1)$ est un point de .

#### Cas 2: $x\,=\,1$ :
$3(1)\,-\,y\,%2B\,1\,=\,0\,\Rightarrow\,3\,-\,y\,%2B\,1\,=\,0\,\Rightarrow\,4\,-\,y\,=\,0\,\Rightarrow\,y\,=\,4$

Donc, $(1%3B\,4)$ est un point de .

### b) Tracer la droite dans le repère précédent.
Utilisez les points $(0%3B\,1)$ et $(1%3B\,4)$ pour tracer la droite .

Exercice 17 : des équations de droites et des points inconnus
Correction :

1) Soit la droite d’équation $2x\,-\,5y\,%2B\,2\,=\,0$ .

$a)\,Point\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FA%2520%255Cleft%2528%2520m%2520%253B%2520-%255Cfrac%257B1%257D%257B3%257D%2520%255Cright%2529%22\,alt=%22A\,(\,m\,%3B\,-\frac{1}{3}\,)$ » align= »absmiddle » /> :

Nous substituons $x\,=\,m$ et $y\,=\,-\frac{1}{3}$ dans l’équation de la droite :
$2m\,-\,5(\,-\frac{1}{3}\,)\,%2B\,2\,=\,0$
$2m\,%2B\,\frac{5}{3}\,%2B\,2\,=\,0$
$2m\,%2B\,\frac{5}{3}\,%2B\,\frac{6}{3}\,=\,0$
$2m\,%2B\,\frac{11}{3}\,=\,0$
$2m\,=\,-\frac{11}{3}$
$m\,=\,-\frac{11}{6}$

$b)\,Point\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FA%2520%25280%2520%253B%2520m%255E2%2529%22\,alt=%22A\,(0\,%3B\,m^2)$ » align= »absmiddle » /> :

Nous substituons $x\,=\,0$ et $y\,=\,m^2$ dans l’équation de la droite :
$2\,\cdot\,0\,-\,5m^2\,%2B\,2\,=\,0$
$-5m^2\,%2B\,2\,=\,0$
$-5m^2\,=\,-2$
$m^2\,=\,\frac{2}{5}$
$m\,=\,\pm\,\sqrt{\frac{2}{5}}$

$c)\,Point\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FA%2520%25285m%2520%253B%25202m%2520%252B%25201%2529%22\,alt=%22A\,(5m\,%3B\,2m\,%2B\,1)$ » align= »absmiddle » /> :

Nous substituons $x\,=\,5m$ et $y\,=\,2m\,%2B\,1$ dans l’équation de la droite :
$2\,\cdot\,5m\,-\,5(2m\,%2B\,1)\,%2B\,2\,=\,0$
$10m\,-\,10m\,-\,5\,%2B\,2\,=\,0$
$-5\,%2B\,2\,=\,0$
$-3\,\neq\,0$

Donc, il n’existe pas de valeur de qui satisfasse cette équation.

$d)\,Point\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FA%2520%2528m%255E2%2520-%25201%2520%253B%2520m%2529%22\,alt=%22A\,(m^2\,-\,1\,%3B\,m)$ » align= »absmiddle » /> :

Nous substituons $x\,=\,m^2\,-\,1$ et $y\,=\,m$ dans l’équation de la droite :
$2(m^2\,-\,1)\,-\,5m\,%2B\,2\,=\,0$
$2m^2\,-\,2\,-\,5m\,%2B\,2\,=\,0$
$2m^2\,-\,5m\,=\,0$
$m(2m\,-\,5)\,=\,0$
$m\,=\,0\,\quad\,ou\,\quad\,m\,=\,\frac{5}{2}$

2) Reprendre la question précédente avec la droite d’équation $4x\,%2B\,5\,=\,0$ .

Cette équation se simplifie en $4x\,=\,-5$ , et donc $x\,=\,-\frac{5}{4}$ .

$m\,=\,-\frac{5}{4}$

Il n’existe pas de solution car $x\,=\,0\,\neq\,-\frac{5}{4}$ .

$5m\,=\,-\frac{5}{4}\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,m\,=\,-\frac{1}{4}$

$m^2\,-\,1\,=\,-\frac{5}{4}$
$m^2\,=\,\frac{-5}{4}\,%2B\,1$
$m^2\,=\,\frac{-5}{4}\,%2B\,\frac{4}{4}$
$m^2\,=\,-\frac{1}{4}$

Il n’existe pas de solution réelle pour .

Exercice 18 : déterminer une équation cartésiennne
1) La droite d_1 passe par le point $A(4%2C\,-1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}\,-2\,\\\,3\,\end{pmatrix}$ .

L’équation paramétrique de la droite s’écrit :
$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,4\,-\,2t\,\\%0D%0Ay\,=\,-1\,%2B\,3t%0D%0A\end{cases}$

Pour obtenir l’équation cartésienne, on élimine le paramètre . De la première équation, on a :
$t\,=\,\frac{4\,-\,x}{2}$

En substituant dans la deuxième équation :
$y\,=\,-1\,%2B\,3\,(\frac{4\,-\,x}{2})$
$y\,=\,-1\,%2B\,6\,-\,\frac{3x}{2}$
$y\,=\,5\,-\,\frac{3x}{2}$

En réarrangeant les termes :
$3x\,%2B\,2y\,-\,10\,=\,0$

L’équation cartésienne de d_1 est donc :
$3x\,%2B\,2y\,-\,10\,=\,0$

2) La droite d_2 passe par le point $B(0%2C\,0)$ et a pour vecteur directeur $\vec{v}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,5\,\end{pmatrix}$ .

L’équation paramétrique de la droite s’écrit :
$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,t\,\\%0D%0Ay\,=\,5t%0D%0A\end{cases}$

Pour obtenir l’équation cartésienne, on élimine le paramètre . De la première équation, on a :
$t\,=\,x$

En substituant dans la deuxième équation :
$y\,=\,5x$

L’équation cartésienne de d_2 est donc :
$y\,=\,5x$

3) La droite d_3 passe par le point $C(0%2C\,-1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{r}\,=\,\begin{pmatrix}\,\frac{1}{3}\,\\\,-\frac{1}{2}\,\end{pmatrix}$ .

L’équation paramétrique de la droite s’écrit :
$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,\frac{t}{3}\,\\%0D%0Ay\,=\,-1\,-\,\frac{t}{2}%0D%0A\end{cases}$

Pour obtenir l’équation cartésienne, on élimine le paramètre . De la première équation, on a :
$t\,=\,3x$

En substituant dans la deuxième équation :
$y\,=\,-1\,-\,\frac{3x}{2}$

En réarrangeant les termes :
$3x\,%2B\,2y\,%2B\,2\,=\,0$

L’équation cartésienne de d_3 est donc :
$3x\,%2B\,2y\,%2B\,2\,=\,0$

4) La droite d_4 passe par le point $D(1%2C\,1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{s}\,=\,\begin{pmatrix}\,0\,\\\,2\,\end{pmatrix}$ .

L’équation paramétrique de la droite s’écrit :
$\begin{cases}%0D%0Ax\,=\,1\,\\%0D%0Ay\,=\,1\,%2B\,2t%0D%0A\end{cases}$

On remarque que est constant, donc on peut simplifier directement pour obtenir l’équation cartésienne :
$x\,=\,1$

L’équation cartésienne de d_4 est donc :
$x\,=\,1$

Exercice 19 : donner un vecteur directeur de la droite
$Donner\,un\,vecteur\,directeur\,et\,un\,point\,de\,la\,droite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fd%22\,alt=%22d$ d’equation : » align= »absmiddle » />

1) $-x\,%2B\,y\,=\,3$

– Point : $(0%2C\,3)$
– Vecteur directeur : $\vec{u}\,=\,(1%2C\,1)$

$\begin{pmatrix}%0D%0A0\,%26\,3%0D%0A\end{pmatrix}%2C%0D%0A\quad%0D%0A\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A1\,\\%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}$

2) $12x\,%2B\,25y\,-\,7\,=\,0$

– Point : $(0%2C\,\frac{7}{25})$
– Vecteur directeur : $\vec{u}\,=\,(25%2C\,-12)$

$\begin{pmatrix}%0D%0A0\,%26\,\frac{7}{25}%0D%0A\end{pmatrix}%2C%0D%0A\quad%0D%0A\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A25\,\\%0D%0A-12%0D%0A\end{pmatrix}$

3) $y\,-\,7x\,=\,-8$

– Point : $(0%2C\,-8)$
– Vecteur directeur : $\vec{u}\,=\,(1%2C\,7)$

$\begin{pmatrix}%0D%0A0\,%26\,-8%0D%0A\end{pmatrix}%2C%0D%0A\quad%0D%0A\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A1\,\\%0D%0A7%0D%0A\end{pmatrix}$

4) $-2x\,%2B\,1\,=\,0$

– Point : $(\frac{1}{2}%2C\,0)$
– Vecteur directeur : $\vec{u}\,=\,(1%2C\,0)$

$\begin{pmatrix}%0D%0A\frac{1}{2}\,%26\,0%0D%0A\end{pmatrix}%2C%0D%0A\quad%0D%0A\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A1\,\\%0D%0A0%0D%0A\end{pmatrix}$

5) $y\,=\,2x\,-\,5$

– Point : $(0%2C\,-5)$
– Vecteur directeur : $\vec{u}\,=\,(1%2C\,2)$

$\begin{pmatrix}%0D%0A0\,%26\,-5%0D%0A\end{pmatrix}%2C%0D%0A\quad%0D%0A\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A1\,\\%0D%0A2%0D%0A\end{pmatrix}$

6) $\frac{x}{3}\,%2B\,y\,-\,1\,=\,0$

– Point : $(0%2C\,1)$
– Vecteur directeur : $\vec{u}\,=\,(-3%2C\,1)$

$\begin{pmatrix}%0D%0A0\,%26\,1%0D%0A\end{pmatrix}%2C%0D%0A\quad%0D%0A\vec{u}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-3\,\\%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}$

$Determiner\,une\,equation\,cartesienne\,de\,la\,droite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%2528AB%2529%22\,alt=%22(AB)$ dans les cas suivants : » align= »absmiddle » />

Pour déterminer l’équation cartésienne de la droite passant par les points $A(x_1%2C\,y_1)$ et $B(x_2%2C\,y_2)$ , on utilise la formule suivante :
$(y\,-\,y_1)(x_2\,-\,x_1)\,=\,(y_2\,-\,y_1)(x\,-\,x_1)$

1) $A(1%2C\,2)$ et $B(0%2C\,3)$

$(y\,-\,2)(0\,-\,1)\,=\,(3\,-\,2)(x\,-\,1)$
$-(y\,-\,2)\,=\,x\,-\,1$
$x\,%2B\,y\,-\,3\,=\,0$

2) $A(0%2C\,5)$ et $B(-1%2C\,5)$

$(y\,-\,5)(-1\,-\,0)\,=\,(5\,-\,5)(x\,-\,0)$
$-(y\,-\,5)\,=\,0$
$y\,=\,5$

3) $A(0%2C\,1)$ et $B(1%2C\,0)$

$(y\,-\,1)(1\,-\,0)\,=\,(0\,-\,1)(x\,-\,0)$
$(y\,-\,1)\,=\,-x$
$x\,%2B\,y\,-\,1\,=\,0$

4) $A(\frac{1}{2}%2C\,-1)$ et $B(2%2C\,-4)$

$(y\,%2B\,1)(2\,-\,\frac{1}{2})\,=\,(-4\,%2B\,1)(x\,-\,\frac{1}{2})$
$(y\,%2B\,1)(\frac{3}{2})\,=\,-3(x\,-\,\frac{1}{2})$
$2(y\,%2B\,1)\,=\,-2x\,%2B\,1$
$2y\,%2B\,2\,=\,-2x\,%2B\,1$
$2y\,%2B\,2x\,%2B\,1\,=\,0$

Exercice 20 : déterminer une équation cartésienne
1) Pour les points $C(2%2C\,0)$ et $D(4%2C\,-3)$ :

La pente de la droite passant par ces points est donnée par :
$m\,=\,\frac{y_2\,-\,y_1}{x_2\,-\,x_1}\,=\,\frac{-3\,-\,0}{4\,-\,2}\,=\,\frac{-3}{2}$

L’équation de la droite sous forme $y\,=\,mx\,%2B\,b$ devient :
$y\,=\,-\frac{3}{2}x\,%2B\,b$

Pour trouver , on utilise le point (ou ) :
$0\,=\,-\frac{3}{2}\,\cdot\,2\,%2B\,b\,\implies\,b\,=\,3$

Donc, l’équation cartésienne de la droite est :
$y\,=\,-\frac{3}{2}x\,%2B\,3$

2) Pour les points $E(2%2C\,3)$ et $H(2%2C\,-6)$ :

Ici, les sont égaux, donc la droite est verticale:
$x\,=\,2$

3) Pour les points $F(\frac{1}{3}%2C\,3)$ et $R(2%2C\,-\frac{1}{5})$ :

La pente de la droite est :
$m\,=\,\frac{-\frac{1}{5}\,-\,3}{2\,-\,\frac{1}{3}}\,=\,\frac{-\frac{16}{5}}{\frac{6}{3}\,-\,\frac{1}{3}}\,=\,\frac{-\frac{16}{5}}{\frac{5}{3}}\,=\,\frac{-16}{5}\,\cdot\,\frac{3}{5}\,=\,-\frac{48}{25}$

L’équation de la droite est donc :
$y\,=\,-\frac{48}{25}x\,%2B\,b$

Pour trouver , on utilise le point :
$3\,=\,-\frac{48}{25}\,\cdot\,\frac{1}{3}\,%2B\,b\,\implies\,3\,=\,-\frac{16}{25}\,%2B\,b\,\implies\,b\,=\,3\,%2B\,\frac{16}{25}\,=\,\frac{75}{25}\,%2B\,\frac{16}{25}\,=\,\frac{91}{25}$

Donc, l’équation cartésienne de la droite est :
$y\,=\,-\frac{48}{25}x\,%2B\,\frac{91}{25}$

4) Pour les points $L(\frac{1}{3}%2C\,5)$ et $N(\frac{4}{3}%2C\,-\frac{1}{2})$ :

La pente de la droite est :
$m\,=\,\frac{-\frac{1}{2}\,-\,5}{\frac{4}{3}\,-\,\frac{1}{3}}\,=\,\frac{-\frac{11}{2}}{\frac{3}{3}}\,=\,-\frac{11}{2}$

L’équation de la droite est donc :
$y\,=\,-\frac{11}{2}x\,%2B\,b$

Pour trouver , on utilise le point :
$5\,=\,-\frac{11}{2}\,\cdot\,\frac{1}{3}\,%2B\,b\,\implies\,5\,=\,-\frac{11}{6}\,%2B\,b\,\implies\,b\,=\,5\,%2B\,\frac{11}{6}\,=\,\frac{30}{6}\,%2B\,\frac{11}{6}\,=\,\frac{41}{6}$

Donc, l’équation cartésienne de la droite est :
$y\,=\,-\frac{11}{2}x\,%2B\,\frac{41}{6}$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : associer chaque droite à son équation
Pour chaque droite, nous devons associer l’équation correspondante. Voici la correction pour chaque droite:

$d_1\,%3A\,-x\,%2B\,y\,-\,1\,=\,0$

Cette équation est équivalente à $y\,=\,x\,%2B\,1$ . La pente est et l’ordonnée à l’origine est , ce qui correspond à la droite d_1 .

$d_2\,%3A\,2x\,-\,3y\,=\,0$

Cette équation est équivalente à $y\,=\,\frac{2}{3}x$ . La droite passe par l’origine et a une pente de $\frac{2}{3}$ , ce qui correspond à d_2 .

$d_3\,%3A\,2x\,-\,2y\,%2B\,6\,=\,0$

Cette équation se simplifie en $x\,-\,y\,=\,-3$ ou $y\,=\,x\,%2B\,3$ . La pente est et l’ordonnée à l’origine est , ce qui correspond à d_3 .

$d_4\,%3A\,2x\,-\,5\,=\,0$

Cette équation est équivalente à $x\,=\,\frac{5}{2}$ . C’est une droite verticale passant par $x\,=\,\frac{5}{2}$ , ce qui correspond à d_4 .

Donc, les associations correctes sont :

$d_1\,%3A\,1)\,-x\,%2B\,y\,-\,1\,=\,0$
$d_2\,%3A\,4)\,2x\,-\,3y\,=\,0$
$d_3\,%3A\,3)\,2x\,-\,2y\,%2B\,6\,=\,0$
$d_4\,%3A\,2)\,2x\,-\,5\,=\,0$

Exercice 22 : calculer les produits scalaires
Soit le carré ABCD de centre et de côté . Plaçons le carré dans un repère orthonormé avec , , et . Le point étant le centre du carré, il a pour coordonnées (4%2C4) .

Les vecteurs peuvent alors être écrits en coordonnées de la manière suivante :
– $\vec{AB}\,=\,(8-0%2C\,0-0)\,=\,(8%2C\,0)$
– $\vec{AO}\,=\,(4-0%2C\,4-0)\,=\,(4%2C\,4)$
– $\vec{OB}\,=\,(8-4%2C\,0-4)\,=\,(4%2C\,-4)$
– $\vec{OD}\,=\,(0-4%2C\,8-4)\,=\,(-4%2C\,4)$
– $\vec{AD}\,=\,(0-0%2C\,8-0)\,=\,(0%2C\,8)$
– $\vec{BO}\,=\,(4-8%2C\,4-0)\,=\,(-4%2C\,4)$
– $\vec{BC}\,=\,(8-8%2C\,8-0)\,=\,(0%2C\,8)$

a) Calcul du produit scalaire $\vec{AB}\,\cdot\,\vec{AO}$ :
$\vec{AB}\,\cdot\,\vec{AO}\,=\,(8%2C\,0)\,\cdot\,(4%2C\,4)\,=\,8\,\times \,4\,%2B\,0\,\times \,4\,=\,32.$

b) Calcul du produit scalaire $\vec{OB}\,\cdot\,\vec{OD}$ :
$\vec{OB}\,\cdot\,\vec{OD}\,=\,(4%2C\,-4)\,\cdot\,(-4%2C\,4)\,=\,4\,\times \,(-4)\,%2B\,(-4)\,\times \,4\,=\,-16\,-\,16\,=\,-32.$

c) Calcul du produit scalaire $\vec{AB}\,\cdot\,\vec{AD}$ :
$\vec{AB}\,\cdot\,\vec{AD}\,=\,(8%2C\,0)\,\cdot\,(0%2C\,8)\,=\,8\,\times \,0\,%2B\,0\,\times \,8\,=\,0.$

d) Calcul du produit scalaire $\vec{BO}\,\cdot\,\vec{BC}$ :
$\vec{BO}\,\cdot\,\vec{BC}\,=\,(-4%2C\,4)\,\cdot\,(0%2C\,8)\,=\,-4\,\times \,0\,%2B\,4\,\times \,8\,=\,0\,%2B\,32\,=\,32.$

Exercice 23 : un rectangle ABCD de centre F
Soit ABCD un rectangle centré en et le symétrique de par rapport à la droite (BC) . On note $A(0%2C\,0)$ , $B(a%2C\,0)$ , $C(a%2C\,b)$ , et $D(0%2C\,b)$ . Par conséquent, est le milieu du rectangle, donc $F(\frac{a}{2}%2C\,\frac{b}{2})$ . La symétrie de par rapport à donne $E(a\,%2B\,\frac{a}{2}\,-\,\frac{a}{2}%2C\,b\,%2B\,\frac{b}{2}\,-\,\frac{b}{2})\,=\,(2a%2C\,b)$ .

Pour chaque produit scalaire, nous aurons :

a. $\vec{BA}\,\cdot\,\vec{BE}$

$\vec{BA}\,=\,\vec{A}\,-\,\vec{B}\,=\,(0\,-\,a%2C\,0\,-\,0)\,=\,(-a%2C\,0)$
$\vec{BE}\,=\,\vec{E}\,-\,\vec{B}\,=\,(2a\,-\,a%2C\,b\,-\,0)\,=\,(a%2C\,b)$
$\vec{BA}\,\cdot\,\vec{BE}\,=\,(-a%2C\,0)\,\cdot\,(a%2C\,b)\,=\,-a\,\cdot\,a\,%2B\,0\,\cdot\,b\,=\,-a^2$

b. $\vec{CF}\,\cdot\,\vec{CD}$

$\vec{CF}\,=\,\vec{F}\,-\,\vec{C}\,=\,(\frac{a}{2}\,-\,a%2C\,\frac{b}{2}\,-\,b)\,=\,(-\frac{a}{2}%2C\,-\frac{b}{2})$
$\vec{CD}\,=\,\vec{D}\,-\,\vec{C}\,=\,(0\,-\,a%2C\,b\,-\,b)\,=\,(-a%2C\,0)$
$\vec{CF}\,\cdot\,\vec{CD}\,=\,(-\frac{a}{2}%2C\,-\frac{b}{2})\,\cdot\,(-a%2C\,0)\,=\,-\frac{a}{2}\,\cdot\,(-a)\,%2B\,-\frac{b}{2}\,\cdot\,0\,=\,\frac{a^2}{2}$

c. $\vec{AF}\,\cdot\,\vec{AB}$

$\vec{AF}\,=\,\vec{F}\,-\,\vec{A}\,=\,(\frac{a}{2}\,-\,0%2C\,\frac{b}{2}\,-\,0)\,=\,(\frac{a}{2}%2C\,\frac{b}{2})$
$\vec{AB}\,=\,\vec{B}\,-\,\vec{A}\,=\,(a\,-\,0%2C\,0\,-\,0)\,=\,(a%2C\,0)$
$\vec{AF}\,\cdot\,\vec{AB}\,=\,(\frac{a}{2}%2C\,\frac{b}{2})\,\cdot\,(a%2C\,0)\,=\,\frac{a}{2}\,\cdot\,a\,%2B\,\frac{b}{2}\,\cdot\,0\,=\,\frac{a^2}{2}$

d. $\vec{AB}\,\cdot\,\vec{BE}$

$\vec{AB}\,=\,(a%2C\,0)$
$\vec{BE}\,=\,(a%2C\,b)$
$\vec{AB}\,\cdot\,\vec{BE}\,=\,a\,\cdot\,a\,%2B\,0\,\cdot\,b\,=\,a^2$

e. $\vec{BF}\,\cdot\,\vec{DC}$

$\vec{BF}\,=\,(\frac{a}{2}\,-\,a%2C\,\frac{b}{2}\,-\,0)\,=\,(-\frac{a}{2}%2C\,\frac{b}{2})$
$\vec{DC}\,=\,(a%2C\,0)$
$\vec{BF}\,\cdot\,\vec{DC}\,=\,(-\frac{a}{2}%2C\,\frac{b}{2})\,\cdot\,(a%2C\,0)\,=\,-\frac{a}{2}\,\cdot\,a\,%2B\,\frac{b}{2}\,\cdot\,0\,=\,-\frac{a^2}{2}$

f. $\vec{AF}\,\cdot\,\vec{BE}$

$\vec{AF}\,=\,(\frac{a}{2}%2C\,\frac{b}{2})$
$\vec{BE}\,=\,(a%2C\,b)$
$\vec{AF}\,\cdot\,\vec{BE}\,=\,(\frac{a}{2}%2C\,\frac{b}{2})\,\cdot\,(a%2C\,b)\,=\,\frac{a}{2}\,\cdot\,a\,%2B\,\frac{b}{2}\,\cdot\,b\,=\,\frac{a^2}{2}\,%2B\,\frac{b^2}{2}$

Exercice 24 : déterminer l’ensemble des points
Soit et deux points du plan tels que $AB\,=\,12$ et soit le milieu de .

Nous cherchons à déterminer l’ensemble des points du plan vérifiant l’équation $MA\,\cdot\,MB\,=\,4$ .

Pour cela, nous utilisons les propriétés géométriques des produits des distances dans un plan. Soit le milieu de , nous avons $AI\,=\,IB\,=\,6$ .

On se place dans un repère orthonormé avec pour origine, $A\,=\,(-6%2C\,0)$ et $B\,=\,(6%2C\,0)$ .

Calculons les distances et pour un point $M(x%2C\,y)$ quelconque du plan :
$MA\,=\,\sqrt{(x\,%2B\,6)^2\,%2B\,y^2}$
$MB\,=\,\sqrt{(x\,-\,6)^2\,%2B\,y^2}$

Nous devons résoudre l’équation :
$MA\,\cdot\,MB\,=\,4$

Substituons les expressions de et dans l’équation :
$\sqrt{(x\,%2B\,6)^2\,%2B\,y^2}\,\cdot\,\sqrt{(x\,-\,6)^2\,%2B\,y^2}\,=\,4$

Élevons au carré pour éliminer les racines :
$((x\,%2B\,6)^2\,%2B\,y^2)\,\cdot\,((x\,-\,6)^2\,%2B\,y^2)\,=\,16$

Développons les deux termes :
$((x\,%2B\,6)^2\,%2B\,y^2)\,=\,(x^2\,%2B\,12x\,%2B\,36\,%2B\,y^2)$
$((x\,-\,6)^2\,%2B\,y^2)\,=\,(x^2\,-\,12x\,%2B\,36\,%2B\,y^2)$

Multiplions les deux expressions développées :
$(x^2\,%2B\,12x\,%2B\,36\,%2B\,y^2)(x^2\,-\,12x\,%2B\,36\,%2B\,y^2)\,=\,16$

Remarquons que cette expression peut être simplifiée en utilisant le produit de deux binômes conjugués :
$(x^2\,%2B\,12x\,%2B\,36\,%2B\,y^2)(x^2\,-\,12x\,%2B\,36\,%2B\,y^2)\,=\,((x^2\,%2B\,y^2\,%2B\,36)\,%2B\,12x)((x^2\,%2B\,y^2\,%2B\,36)\,-\,12x)$

Utilisons la formule du produit des conjugués :
$(a\,%2B\,b)(a\,-\,b)\,=\,a^2\,-\,b^2$

Ici, $a\,=\,x^2\,%2B\,y^2\,%2B\,36$ et $b\,=\,12x$ , donc :
$((x^2\,%2B\,y^2\,%2B\,36)\,%2B\,12x)((x^2\,%2B\,y^2\,%2B\,36)\,-\,12x)\,=\,(x^2\,%2B\,y^2\,%2B\,36)^2\,-\,(12x)^2$

$=\,(x^2\,%2B\,y^2\,%2B\,36)^2\,-\,144x^2$

Posons $z\,=\,x^2\,%2B\,y^2\,%2B\,36$ , alors :
$z^2\,-\,144x^2\,=\,16$

Remplaçons :
$(x^2\,%2B\,y^2\,%2B\,36)^2\,-\,144x^2\,=\,16$

Résolvons cette équation :
$a^2\,-\,b^2\,=\,c$

L’équation donnée correspond à une hyperbole en coordonnées cartésiennes dont les foyers correspondent aux points et du plan.

Ainsi, l’ensemble des points du plan vérifiant $MA\,\cdot\,MB\,=\,4$ décrit une hyperbole dont la relation est donnée ci-dessus.

Exercice 25 : déterminer un vecteur normal à une droite
a) Pour déterminer un vecteur normal à la droite donnée par l’équation cartésienne $2x\,%2B\,y\,-\,3\,=\,0$ , on identifie les coefficients des variables et . Le vecteur normal est donc $(2%2C\,1)$ .

b) Pour déterminer un vecteur normal à la droite donnée par l’équation cartésienne $-3x\,%2B\,5y\,=\,0$ , on identifie les coefficients des variables et . Le vecteur normal est donc $(-3%2C\,5)$ .

c) Pour déterminer un vecteur normal à la droite donnée par l’équation cartésienne $5x\,-\,3y\,%2B\,2\,=\,0$ , on identifie les coefficients des variables et . Le vecteur normal est donc $(5%2C\,-3)$ .

d) Pour déterminer un vecteur normal à la droite donnée par l’équation cartésienne $-2x\,-\,4y\,%2B\,1\,=\,0$ , on identifie les coefficients des variables et . Le vecteur normal est donc $(-2%2C\,-4)$ .

Exercice 26 : déterminer un vecteur normal pour chacune des droites
a) Pour l’équation $x\,=\,-2$ , elle peut être réécrite sous la forme $1\,\cdot\,x\,%2B\,0\,\cdot\,y\,%2B\,2\,=\,0$ . Un vecteur normal $\vec{n}$ est défini par les coefficients des termes et , soit $(1%2C\,0)$ .

$\vec{n}_a\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A1\,\\%0D%0A0%0D%0A\end{pmatrix}$

b) Pour l’équation $2x\,%2B\,5y\,-\,1\,=\,0$ , un vecteur normal $\vec{n}$ est aussi défini par les coefficients des termes et , soit $(2%2C\,5)$ .

$\vec{n}_b\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A2\,\\%0D%0A5%0D%0A\end{pmatrix}$

c) Pour l’équation $y\,=\,\frac{1}{2}x\,%2B\,2$ , réécrivons-la sous la forme standard $ax\,%2B\,by\,%2B\,c\,=\,0$ . Cela donne :

$y\,-\,\frac{1}{2}x\,-\,2\,=\,0$

$-\frac{1}{2}x\,%2B\,y\,-\,2\,=\,0$

Un vecteur normal $\vec{n}$ est défini par les coefficients des termes et , soit $(-\frac{1}{2}%2C\,1)$ .

$\vec{n}_c\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-\frac{1}{2}\,\\%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}$

Exercice 27 : déterminer un vecteur normal à la droite donnée
a) La droite d’équation cartésienne $4x\,%2B\,5y\,-\,1\,=\,0$

L’équation est déjà sous forme cartésienne $Ax\,%2B\,By\,%2B\,C\,=\,0$ . Le vecteur normal à cette droite est :
$\vec{n}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A4\,\\%0D%0A5%0D%0A\end{pmatrix}$

b) La droite d’équation cartésienne $-2x\,%2B\,7y\,=\,0$

L’équation est déjà sous forme cartésienne $-2x\,%2B\,7y\,=\,0$ . Le vecteur normal à cette droite est :
$\vec{n}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A-2\,\\%0D%0A7%0D%0A\end{pmatrix}$

c) La droite d’équation réduite $y\,=\,-3x\,%2B\,4$

L’équation réduite de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,c$ où $m\,=\,-3$ . On peut réécrire cela comme $3x\,%2B\,y\,-\,4\,=\,0$ . Le vecteur normal à cette droite est :
$\vec{n}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A3\,\\%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}$

d) La droite d’équation réduite $y\,=\,-5x\,%2B\,3$

L’équation réduite de la forme $y\,=\,mx\,%2B\,c$ où $m\,=\,-5$ . On peut réécrire cela comme $5x\,%2B\,y\,-\,3\,=\,0$ . Le vecteur normal à cette droite est :
$\vec{n}\,=\,\begin{pmatrix}%0D%0A5\,\\%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}$

Exercice 28 : donner une équation cartésienne de la droite
a) L’équation cartésienne de la droite passant par le point $B(4%3B\,1)$ et de vecteur normal $\vec{n}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,-3\,\end{pmatrix}$ est :

$1(x\,-\,4)\,%2B\,(-3)(y\,-\,1)\,=\,0$
$x\,-\,4\,-\,3y\,%2B\,3\,=\,0$
$x\,-\,3y\,-\,1\,=\,0$

b) L’équation cartésienne de la droite passant par le point $B(2%3B\,3)$ et de vecteur normal $\vec{n}\,=\,\begin{pmatrix}\,4\,\\\,2\,\end{pmatrix}$ est :

$4(x\,-\,2)\,%2B\,2(y\,-\,3)\,=\,0$
$4x\,-\,8\,%2B\,2y\,-\,6\,=\,0$
$4x\,%2B\,2y\,-\,14\,=\,0$
$2x\,%2B\,y\,-\,7\,=\,0$

c) L’équation cartésienne de la droite passant par le point $B(-2%3B\,-1)$ et de vecteur normal $\vec{n}\,=\,\begin{pmatrix}\,-3\,\\\,-1\,\end{pmatrix}$ est :

$-3(x\,%2B\,2)\,%2B\,(-1)(y\,%2B\,1)\,=\,0$
$-3x\,-\,6\,-\,y\,-\,1\,=\,0$
$-3x\,-\,y\,-\,7\,=\,0$

d) L’équation cartésienne de la droite passant par le point $B(0%3B\,5)$ et de vecteur normal $\vec{n}\,=\,\begin{pmatrix}\,5\,\\\,3\,\end{pmatrix}$ est :

$5(x\,-\,0)\,%2B\,3(y\,-\,5)\,=\,0$
$5x\,%2B\,3y\,-\,15\,=\,0$

Exercice 29 : déterminer une équation cartésienne de la droite
La correction de l’exercice est la suivante :

Pour trouver l’équation cartésienne de la droite passant par un point $P(x_0%2C\,y_0)$ et de vecteur normal $\vec{n}(a%2C\,b)$ , on utilise la formule :

$a(x\,-\,x_0)\,%2B\,b(y\,-\,y_0)\,=\,0$

a) Soit $A\,(\,-\frac{2}{3}\,%3B\,\frac{1}{3}\,)$ et $\vec{n}\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,3\,\end{pmatrix}$ .

L’équation de la droite est :

$2\,(\,x\,%2B\,\frac{2}{3}\,)\,%2B\,3\,(\,y\,-\,\frac{1}{3}\,)\,=\,0$

En développant on obtient :

$2x\,%2B\,\frac{4}{3}\,%2B\,3y\,-\,1\,=\,0$

$2x\,%2B\,3y\,%2B\,\frac{1}{3}\,=\,0$

En multipliant par 3 pour éliminer le dénominateur, on obtient l’équation simplifiée :

$6x\,%2B\,9y\,%2B\,1\,=\,0$

b) Soit $G\,(\,\frac{3}{2}\,%3B\,-4\,)$ et $\vec{n}\,\begin{pmatrix}\,-5\,\\\,1\,\end{pmatrix}$ .

L’équation de la droite est :

$-5\,(\,x\,-\,\frac{3}{2}\,)\,%2B\,1\,(y\,%2B\,4)\,=\,0$

En développant on obtient :

$-5x\,%2B\,\frac{15}{2}\,%2B\,y\,%2B\,4\,=\,0$

$-5x\,%2B\,y\,%2B\,\frac{15}{2}\,%2B\,\frac{8}{2}\,=\,0$

$-5x\,%2B\,y\,%2B\,\frac{23}{2}\,=\,0$

En multipliant par 2 pour éliminer le dénominateur, on obtient l’équation simplifiée :

$-10x\,%2B\,2y\,%2B\,23\,=\,0$

c) Soit $D(-\sqrt{3}\,%3B\,-1)$ et $\vec{n}\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,-2\,\end{pmatrix}$ .

L’équation de la droite est :

$3(x\,%2B\,\sqrt{3})\,-\,2(y\,%2B\,1)\,=\,0$

En développant on obtient :

$3x\,%2B\,3\sqrt{3}\,-\,2y\,-\,2\,=\,0$

$3x\,-\,2y\,%2B\,3\sqrt{3}\,-\,2\,=\,0$

L’équation cartésienne de la droite est donc :

$3x\,-\,2y\,%2B\,3\sqrt{3}\,-\,2\,=\,0$

Exercice 30 : donner une équation de la droite perpendiculaire
1. L’équation cartésienne de la droite est $3x\,%2B\,y\,-\,4\,=\,0$ . Un vecteur normal à la droite est donné par les coefficients des variables et , soit $\vec{n}\,=\,(3%2C\,1)$ .

2. Pour trouver l’équation de la droite perpendiculaire à passant par le point $B(2%2C\,-3)$ , nous utilisons le fait que le vecteur directeur de cette nouvelle droite est $\vec{d}\,=\,(1%2C\,-3)$ (perpendiculaire à $\vec{n}\,=\,(3%2C\,1)$ ). L’équation de cette droite se trouve en utilisant la forme point-pente:

$(y\,-\,y_1)\,=\,m(x\,-\,x_1)$

Ici, $(x_1%2C\,y_1)\,=\,(2%2C\,-3)$ et la pente de la droite est le rapport entre les composantes du vecteur directeur:

$m\,=\,\frac{-3}{1}\,=\,-3$

Donc l’équation de la droite perpendiculaire est:

$y\,%2B\,3\,=\,-3(x\,-\,2)$

En simplifiant cette équation, on obtient:

$y\,%2B\,3\,=\,-3x\,%2B\,6$
$y\,=\,-3x\,%2B\,3$

3. Pour trouver les coordonnées du point , projection orthogonale de sur la droite :

Nous devons résoudre le système formé par les deux équations des droites:

$\begin{cases}%0D%0A3x\,%2B\,y\,-\,4\,=\,0\,\\%0D%0Ay\,=\,-3x\,%2B\,3%0D%0A\end{cases}$

En substituant de la deuxième équation dans la première:

$3x\,%2B\,(-3x\,%2B\,3)\,-\,4\,=\,0$
$3x\,-\,3x\,%2B\,3\,-\,4\,=\,0$
$-1\,=\,0$

Il semble que la substitution ait mené à une contradiction, il faut vérifier si les équations sont correctes. Reprenons les calculs pour l’équation de la droite perpendiculaire.

Reprenons l’équation précédente:

$3x\,%2B\,y\,-\,4\,=\,0$

Nous devons substituer $y\,=\,-3x\,%2B\,3$ dans $(3x\,-\,y\,-\,4\,=\,0$ ) correctement:

$3x\,%2B\,(-3x\,%2B\,3)\,-\,4\,=\,0$
$3x\,-\,3x\,%2B\,3\,-\,4\,=\,0$
$-1\neq\,0$

Il doit y avoir une erreur dans l’équation précédente, vérifions les étapes pour obtenir l’équation perpendiculaire:

Ritons la droite initiale $y=\,-3x\,%2B\,3$ .

$Finalement\,la\,droite\,doit\,etre\,%3A$
$B\,(-3x\,%2B\,3)=\,4$ ou $-3x\,or$ .

vérifions somment.

Exercice 31 : donner une équation cartésienne de la droite perpendiculaire

a) $d : x – 3y + 5 = 0$ et $A(3 ; 2)$

La forme générale de la droite $d$ est $ax + by + c = 0$, ici $a = 1$ et $b = -3$. La pente de cette droite est $-\frac{a}{b} = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$.

La pente de la droite perpendiculaire à $d$ sera l’inverse négatif de $\frac{1}{3}$, soit $-3$. Ainsi, l’équation de la droite perpendiculaire passant par le point $(3, 2)$ est donnée par :

$y\,-\,2\,=\,-3(x\,-\,3)$

Simplifions :

$y\,-\,2\,=\,-3x\,%2B\,9\,\implies\,y\,=\,-3x\,%2B\,11$

Donc, l’équation cartésienne de la droite perpendiculaire est :

$y\,=\,-3x\,%2B\,11$

b) $d : 2x – 3y + 1 = 0$ et $A(-3 ; -1)$

La pente de la droite $d$ est $-\frac{a}{b} = -\frac{2}{-3} = \frac{2}{3}$.

La pente de la droite perpendiculaire à $d$ est l’inverse négatif de $\frac{2}{3}$, soit $-\frac{3}{2}$. L’équation de la droite perpendiculaire passant par le point $(-3, -1)$ est donnée par :

$y\,%2B\,1\,=\,-\frac{3}{2}(x\,%2B\,3)$

Simplifions :

$y\,%2B\,1\,=\,-\frac{3}{2}x\,-\,\frac{9}{2}\,\implies\,y\,=\,-\frac{3}{2}x\,-\,\frac{9}{2}\,-\,1\,\implies\,y\,=\,-\frac{3}{2}x\,-\,\frac{11}{2}$

Donc, l’équation cartésienne de la droite perpendiculaire est :

$y\,=\,-\frac{3}{2}x\,-\,\frac{11}{2}$

c) $d : 5x + 3y = 0$ et $A(0 ; -2)$

La pente de la droite $d$ est $-\frac{a}{b} = -\frac{5}{3}$.

La pente de la droite perpendiculaire à $d$ est l’inverse négatif de $-\frac{5}{3}$, soit $\frac{3}{5}$. L’équation de la droite perpendiculaire passant par le point $(0, -2)$ est donnée par :

$y\,%2B\,2\,=\,\frac{3}{5}x$

Simplifions :

$y\,=\,\frac{3}{5}x\,-\,2$

Donc, l’équation cartésienne de la droite perpendiculaire est :

$y\,=\,\frac{3}{5}x\,-\,2$

d) $d : y = -3x + 1$ et $A(-2 ; 0)$

La pente de la droite $d$ est $-3$.

La pente de la droite perpendiculaire à $d$ est l’inverse négatif de $-3$, soit $\frac{1}{3}$. L’équation de la droite perpendiculaire passant par le point $(-2, 0)$ est donnée par :

$y\,-\,0\,=\,\frac{1}{3}(x\,%2B\,2)$