Probabilités : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : les probabilités.
Soit $n\,=\,8$ le nombre total de secteurs. La probabilité qu’un secteur soit désigné est $\frac{1}{n}\,=\,\frac{1}{8}$ .

1) Déterminons la probabilité de chaque événement :

a. « on gagne 2 € » :

$P(gagner\,2\,%E2%82%AC)\,=\,\frac{nombre\,de\,secteurs\,ou\,l'on\,gagne\,2\,%E2%82%AC}{n}$

Il y a 2 secteurs où l’on gagne 2 € (les secteurs gris).

$P(gagner\,2\,%E2%82%AC)\,=\,\frac{2}{8}\,=\,\frac{1}{4}$

b. « on gagne 1 € » :

$P(gagner\,1\,%E2%82%AC)\,=\,\frac{nombre\,de\,secteurs\,ou\,l'on\,gagne\,1\,%E2%82%AC}{n}$

Il y a 1 secteur où l’on gagne 1 € (le secteur blanc).

$P(gagner\,1\,%E2%82%AC)\,=\,\frac{1}{8}$

c. « on perd 2 € » :

$P(perdre\,2\,%E2%82%AC)\,=\,\frac{nombre\,de\,secteurs\,ou\,l'on\,perd\,2\,%E2%82%AC}{n}$

Il y a 3 secteurs où l’on perd 2 € (les secteurs noirs).

$P(perdre\,2\,%E2%82%AC)\,=\,\frac{3}{8}$

2) Est-ce qu’on a autant de chances de gagner que de perdre ?

Pour répondre à cette question, comparons les probabilités de gain total versus de perte totale.

Probabilité de gagner (gagner 1 € ou 2 €) :

$P(gagner)\,=\,P(gagner\,2\,%E2%82%AC)\,%2B\,P(gagner\,1\,%E2%82%AC)%0D%0A=\,\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{1}{8}\,=\,\frac{2}{8}\,%2B\,\frac{1}{8}\,=\,\frac{3}{8}$

Probabilité de perdre (perdre 2 €) :

$P(perdre)\,=\,P(perdre\,2\,%E2%82%AC)\,=\,\frac{3}{8}$

Donc :

$P(gagner)\,=\,P(perdre)\,=\,\frac{3}{8}$

On a donc autant de chances de gagner que de perdre.

Exercice 2 : probabilités dans une urne.
1) On regarde la lettre inscrite sur la boule.
a. Citer les issues de cette expérience.
Les issues possibles sont : A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.
b. Existe-t-il une issue qui a plus de chances de se produire ? Si oui, laquelle ?
Non, chaque lettre a une chance égale d’être tirée.
c. S’agit-il d’une situation d’équiprobabilité ?
Oui, il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.
d. Déterminer la probabilité d’obtenir :
i. La lettre C ;
$P(C)\,=\,\frac{1}{10}$
ii. La lettre J ;
$P(J)\,=\,\frac{1}{10}$
iii. Une voyelle.
$P(voyelle)\,=\,\frac{4}{10}\,=\,\frac{2}{5}\,\quad\,(Les\,voyelles\,sont\,A%2C\,E%2C\,I%2C\,O%2C\,donc\,4\,voyelles)$

2) On regarde la couleur de la boule (blanche ou noire).
a. Citer les issues de cette expérience.
Les issues possibles sont : Blanche, Noire.
b. Existe-t-il une issue qui a plus de chances de se produire ? Si oui, laquelle ?
Non, chaque couleur a une chance égale d’être tirée.
c. S’agit-il d’une situation d’équiprobabilité ?
Oui, il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.
d. Déterminer la probabilité d’obtenir :
i. Une boule blanche ;
$P(blanche)\,=\,\frac{5}{10}\,=\,\frac{1}{2}$
ii. Une boule noire.
$P(noire)\,=\,\frac{5}{10}\,=\,\frac{1}{2}$

3) On regarde la couleur ainsi que la lettre inscrite sur la boule.
a. S’agit-il d’une situation d’équiprobabilité ?
Oui, il s’agit d’une situation d’équiprobabilité, car chaque combinaison de lettre et couleur a une chance égale d’être tirée.
b. Déterminer la probabilité d’obtenir une boule :
i. Blanche ;
$P(blanche)\,=\,\frac{5}{10}\,=\,\frac{1}{2}$
ii. Avec une voyelle ;
$P(voyelle)\,=\,\frac{4}{10}\,=\,\frac{2}{5}$
iii. Blanche avec une voyelle ;
$P(blanche\,et\,voyelle)\,=\,\frac{2}{10}\,=\,\frac{1}{5}\,\quad\,(Les\,boules\,blanches\,avec\,des\,voyelles\,sont\,A\,et\,I)$
iv. Blanche ou avec une voyelle.
$P(blanche\,ou\,voyelle)\,=\,P(blanche)\,%2B\,P(voyelle)\,-\,P(blanche\,et\,voyelle)$
$=\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{2}{5}\,-\,\frac{1}{5}\,=\,\frac{5}{10}\,%2B\,\frac{4}{10}\,-\,\frac{2}{10}\,=\,\frac{7}{10}$

Exercice 3 : prendre en compte des informations
1. Les différents codes possibles sont :
$\{A1%2C\,A2%2C\,A3%2C\,B1%2C\,B2%2C\,B3%2C\,C1%2C\,C2%2C\,C3\}$
Il y a donc 9 codes possibles.

2a. La probabilité que Anna obtienne le bon code en composant A1 au hasard est :
$\frac{1}{9}$

2b. Étant donné qu’Anna s’est trompée à la fois de lettre et de chiffre lors de son premier essai, chaque lettre et chaque chiffre restants a maintenant une probabilité égale de 1 sur les 8 codes restants. Anna a donc 1 chance sur 8 de trouver le bon code :
$\frac{1}{8}$

2c. Si, lors du deuxième essai, Anna se trompe de lettre, il ne lui reste plus qu’une troisième lettre possible. Donc pour son troisième essai, elle est sûre à 100% de trouver la bonne lettre. De plus, comme elle ne peut pas se tromper une fois de plus que de chiffre, elle est certaine d’obtenir le bon code au troisième essai.

Exercice 4 : comparer une fréquence et une probabilité
a. Le nombre de lancers qui donnent la somme est .

La fréquence en pourcentage représentée par ces lancers est :
$\frac{170}{1000}\,\times \,100\,=\,17\%25$

b. Les différentes possibilités d’obtenir une somme égale à avec deux dés sont :
– $(1%2C\,6)$
– $(2%2C\,5)$
– $(3%2C\,4)$
– $(4%2C\,3)$
– $(5%2C\,2)$
– $(6%2C\,1)$

Il y a possibilités sur un total de (puisqu’il y a $6\,\times \,6\,=\,36$ combinaisons possibles avec deux dés).

La probabilité théorique d’obtenir la somme est donc :
$\frac{6}{36}\,=\,\frac{1}{6}\,\approx\,0%2C1667$

En pourcentage, cela donne :
$0%2C1667\,\times \,100\,=\,16%2C67\%25$

La réponse théorique (environ $16%2C67\%25$ ) est très proche de la fréquence observée dans la simulation ( $17\%25$ ). Les petites différences peuvent être dues au hasard inhérent à la simulation.

Exercice 5 : comprendre un programme
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

a. $Quelle\,valeur\,le\,lutin\,enonce-t-il\,a\,la\,fin\,du\,programme\,lorsque\,la\,valeur\,affectee\,a\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fn%22\,alt=%22n$ est : » align= »absmiddle » />

– $n\,=\,2$ : $A\,=\,1$ (puisque $2\,%3C\,9$ )
– $n\,=\,10$ : $A\,=\,0$ (puisque $10\,\geq\,\,9$ )
– $n\,=\,3$ : $A\,=\,1$ (puisque $3\,%3C\,9$ )
– $n\,=\,9$ : $A\,=\,0$ (puisque $9\,\geq\,\,9$ )
– $n\,=\,15$ : $A\,=\,0$ (puisque $15\,\geq\,\,9$ )

b. $On\,considere\,l'experience\,aleatoire\,qui\,consiste\,a\,lire\,le\,nombre\,enonce\,par\,le\,lutin\,a\,la\,fin\,du\,programme.\,Donner\,les\,issues\,de\,cette\,experience\,et\,determiner\,leurs\,probabilites.$

L’expérience aléatoire consiste à tirer une valeur aléatoire entre 1 et 15 et à lire la valeur de . Les issues possibles sont :

– $A\,=\,1$
– $A\,=\,0$

Pour déterminer les probabilités associées à chacune de ces issues :

$%26La\,probabilite\,que\,\,A\,=\,1\,\,(quand\,\,n\,%3C\,9)\,%3A\,\\%0D%0A%26Les\,valeurs\,de\,\,n\,\,pour\,lesquelles\,\,A\,=\,1\,\,sont\,\,1%2C\,2%2C\,3%2C\,4%2C\,5%2C\,6%2C\,7%2C\,\,et\,\,8.\,\\%0D%0A%26Il\,y\,a\,donc\,8\,valeurs\,pour\,lesquelles\,\,A\,=\,1\,\,sur\,un\,total\,de\,15\,valeurs\,possibles.\,\\%0D%0A%26P(A\,=\,1)\,=\,\frac{8}{15}$

$%26La\,probabilite\,que\,\,A\,=\,0\,\,(quand\,\,n\,\geq\,\,9)\,%3A\,\\%0D%0A%26Les\,valeurs\,de\,\,n\,\,pour\,lesquelles\,\,A\,=\,0\,\,sont\,\,9%2C\,10%2C\,11%2C\,12%2C\,13%2C\,14%2C\,\,et\,\,15.\,\\%0D%0A%26Il\,y\,a\,donc\,7\,valeurs\,pour\,lesquelles\,\,A\,=\,0\,\,sur\,un\,total\,de\,15\,valeurs\,possibles.\,\\%0D%0A%26P(A\,=\,0)\,=\,\frac{7}{15}$

Ainsi, les issues possibles de cette expérience et leurs probabilités sont :

$%26A\,=\,1\,\,avec\,une\,probabilite\,de\,\,\frac{8}{15}%2C\,\\%0D%0A%26A\,=\,0\,\,avec\,une\,probabilite\,de\,\,\frac{7}{15}.$

Exercice 6 : appliquer un programme
Le programme effectue les opérations suivantes :

1. tire un nombre aléatoire entre 1 et 10.
2. calcule tel que $A\,=\,5\,%2B\,n$ .
3. calcule tel que $B\,=\,2\,\times \,n$ .

Nous cherchons la probabilité que soit égal à .

$A\,=\,B\,\implies\,5\,%2B\,n\,=\,2n$

En résolvant cette équation :

$5\,%2B\,n\,=\,2n$
$5\,=\,2n\,-\,n$
$5\,=\,n$

Ainsi, pour que $A\,=\,B$ , il faut que $n\,=\,5$ .

Puisque est un nombre entier tiré aléatoirement entre 1 et 10, la probabilité d’obtenir $n\,=\,5$ est :

$P(n\,=\,5)\,=\,\frac{1}{10}$

Ainsi, la probabilité que soit égal à est de $\frac{1}{10}$ ou 10%.

Exercice 7 : probabilités et crayons
1.a. Recopier et compléter l’arbre suivant :

$\begin{array}{c%7Cc%7Cc}%0D%0ACouleur\,du\,toit\,%26\,Couleur\,de\,la\,porte\,%26\,Couleur\,de\,la\,fenetre\,\\%0D%0A\hline%0D%0AB\,%26\,B\,%26\,B\,\\%0D%0A%26\,%26\,R\,\\%0D%0A%26\,%26\,J\,\\%0D%0A\hline%0D%0AR\,%26\,B\,%26\,B\,\\%0D%0A%26\,%26\,R\,\\%0D%0A%26\,%26\,J\,\\%0D%0A%26\,R\,%26\,B\,\\%0D%0A%26\,%26\,R\,\\%0D%0A%26\,%26\,J\,\\%0D%0A%26\,J\,%26\,B\,\\%0D%0A%26\,%26\,R\,\\%0D%0A%26\,%26\,J\,\\%0D%0A\hline%0D%0AJ\,%26\,B\,%26\,B\,\\%0D%0A%26\,%26\,R\,\\%0D%0A%26\,%26\,J\,\\%0D%0A%26\,R\,%26\,B\,\\%0D%0A%26\,%26\,R\,\\%0D%0A%26\,%26\,J\,\\%0D%0A%26\,J\,%26\,B\,\\%0D%0A%26\,%26\,R\,\\%0D%0A%26\,%26\,J\,\\%0D%0A\end{array}$

1.b. Le nombre de dessins colorés possibles est donné par choix pour le toit, choix pour la porte et choix pour la fenêtre, soit:

$3\,\times \,3\,\times \,3\,=\,27$

2. A est l’événement : « L’enfant a utilisé au moins deux couleurs différentes ».

Pour trouver la probabilité de $\overline{A}$ (l’événement contraire de A, c’est-à-dire l’enfant a utilisé une seule couleur, donc toutes les trois parties de la maison sont de la même couleur):

$\overline{A}\,=\,\{(B%2CB%2CB)%2C\,(R%2CR%2CR)%2C\,(J%2CJ%2CJ)\}$

Le nombre de cas favorables à $\overline{A}$ est 3.

Donc la probabilité de $\overline{A}$ est:

$P(\overline{A})\,=\,\frac{3}{27}\,=\,\frac{1}{9}$

La probabilité de l’événement est donc :

$P(A)\,=\,1\,-\,P(\overline{A})\,=\,1\,-\,\frac{1}{9}\,=\,\frac{8}{9}$

Exercice 8 : lancer de pièce
1. a. Complétons l’arbre de probabilité :

$\begin{array}{ccccc}%0D%0A%26\,%26\,1ere\,epreuve\,%26\,%26\,2eme\,epreuve\,\\%0D%0A%26\,P\,%26\,\to\,%26\,R%2C\,V%2C\,B%2C\,N%2C\,J\,\\%0D%0A%26\,F\,%26\,\to\,%26\,R%2C\,V%2C\,B%2C\,N%2C\,J\,\\%0D%0A\end{array}$

1. b. Combien l’expérience compte-t-elle d’issues ?

Chaque lancer de pièce donne 2 résultats possibles (P ou F) et chaque tirage de boule donne 5 résultats possibles (R, V, B, N, J).

Donc le nombre total d’issues de l’expérience est :

$2\,\times \,5\,=\,10\,\,issues$

2. Probabilités des événements donnés :

$E_1\,%3A\,Obtenir\,la\,couleur\,rouge$

Puisque chaque boule a une probabilité égale d’être tirée:

$P(E_1)\,=\,\frac{1}{5}\,\,pour\,P\,%2B\,\frac{1}{5}\,\,pour\,F\,=\,\frac{1}{10}\,\,pour\,P\,%2B\,\frac{1}{10}\,\,pour\,F\,=\,\frac{2}{10}\,=\,\frac{1}{5}$

$E_2\,%3A\,Ne\,pas\,obtenir\,la\,couleur\,jaune$

La probabilité d’obtenir chaque couleur autre que le jaune est:

$P(couleur\,autre\,que\,jaune\,pour\,P)\,=\,\frac{4}{5}$
et
$P(couleur\,autre\,que\,jaune\,pour\,F)\,=\,\frac{4}{5}$

Donc :

$P(E_2)\,=\,\frac{4}{10}\,\,pour\,P\,%2B\,\frac{4}{10}\,\,pour\,F\,=\,\frac{8}{10}\,=\,\frac{4}{5}$

Exercice 9 : galettes et probabilités
1.a. Complétion de l’arbre :

– A –> A, B, C, D
– B –> A, B, C, D
– C –> A, B, C, D
– D –> A, B, C, D

L’arbre est complété en listant toutes les branches possibles pour chaque option initiale.

1.b. Nombre d’issues possibles pour la répartition des deux fèves :

Il y a 4 options pour la fève dans la galette frangipane et 4 options pour la fève dans la galette briochée. Donc le nombre d’issues est $4\,\times \,4\,=\,16$ .

2. Probabilités des événements :

Soit $\Omega$ l’ensemble des issues possibles. On a $%7C\Omega%7C\,=\,16$ .

2.a. $E\,%3A\,%22Anissa\,a\,les\,deux\,feves%22$

Il y a une seule issue où Anissa a les deux fèves : (A, A).

$P(E)\,=\,\frac{1}{16}$

2.b. $F\,%3A\,%22Baptiste\,n%E2%80%99a\,pas\,de\,feve%22$

Pour que Baptiste n’ait pas de fève, les fèves doivent être distribuées parmi les trois autres amis. Il y a $3\,\times \,3\,=\,9$ issues possibles où Baptiste n’a pas de fève.

$P(F)\,=\,\frac{9}{16}$

2.c. $G\,%3A\,%22Coralie\,a\,exactement\,une\,feve%22$

Pour que Coralie ait exactement une fève, soit elle l’a dans la galette frangipane ou dans la galette briochée, mais pas les deux. Les deux configurations possibles sont (C, A), (C, B), (C, D) et (A, C), (B, C), (D, C). Donc, il y a 6 issues possibles où Coralie a exactement une fève.

$P(G)\,=\,\frac{6}{16}\,=\,\frac{3}{8}$

2.d. $H\,%3A\,%22Dylan\,a\,au\,moins\,une\,feve%22$

Pour que Dylan ait au moins une fève, soit il l’a dans la galette frangipane ou dans la galette briochée ou dans les deux. Il y a les configurations où Dylan a une fève dans la galette frangipane et une autre personne a celle dans la galette briochée (3 issues) ou Dylan a une fève dans la galette briochée et une autre personne a celle dans la galette frangipane (3 issues), plus l’issue où Dylan a les deux fèves. En total, cela fait $3\,%2B\,3\,%2B\,1\,=\,7$ issues.

$P(H)\,=\,\frac{7}{16}$

Exercice 10 : une roue équilibrée
1. Dresser la liste des issues qui réalisent chacun des événements E, F et G.

– : « Le numéro repéré est pair »
$E\,=\,\{2%2C\,4%2C\,6%2C\,8%2C\,10\}$

– : « Le numéro repéré est multiple de 3 »
$F\,=\,\{3%2C\,6%2C\,9\}$

– : « Le numéro repéré est multiple de 5 »
$G\,=\,\{5%2C\,10\}$

2. Dire si les événements sont incompatibles ou non. Justifier la réponse.

a. et

$E\,\cap\,F\,=\,\{6\}$
Les événements et ne sont pas incompatibles car ils ont un élément commun (6).

b. et

$E\,\cap\,G\,=\,\{10\}$
Les événements et ne sont pas incompatibles car ils ont un élément commun (10).

c. et

$F\,\cap\,G\,=\,\{\}$
Les événements et sont incompatibles car ils n’ont aucun élément commun.

3. Donner la probabilité de chacun des événements , et .

– : « Le numéro repéré est pair »
$P(E)\,=\,\frac{Nombre\,d'issues\,favorables\,a\,\,E}{Nombre\,total\,d'issues}\,=\,\frac{5}{10}\,=\,\frac{1}{2}$

– : « Le numéro repéré est multiple de 3 »
$P(F)\,=\,\frac{Nombre\,d'issues\,favorables\,a\,\,F}{Nombre\,total\,d'issues}\,=\,\frac{3}{10}$

– : « Le numéro repéré est multiple de 5 »
$P(G)\,=\,\frac{Nombre\,d'issues\,favorables\,a\,\,G}{Nombre\,total\,d'issues}\,=\,\frac{2}{10}\,=\,\frac{1}{5}$

Exercice 11 : hasard et jeu de cartes
1.a. L’expérience compte 32 issues, une pour chaque carte du jeu.

1.b. La probabilité de chaque issue est:
$\frac{1}{32}$

2.a. Les issues qui réalisent chacun des événements :
– : « La couleur de la carte tirée est rouge (cœur ou carreau) »

Les cartes rouges sont : As de cœur, 2 de cœur, 3 de cœur, 4 de cœur, 5 de cœur, 6 de cœur, 7 de cœur, 8 de cœur, 9 de cœur, 10 de cœur, Valet de cœur, Dame de cœur, Roi de cœur, et les mêmes pour le carreau (14 cartes en tout).

Les issues qui réalisent sont donc :
$14\,cartes\,rouges\,%3A\,\,\{\,A^\heartsuit%2C\,2^\heartsuit%2C\,\ldots%2C\,10^\heartsuit%2C\,V^\heartsuit%2C\,D^\heartsuit%2C\,R^\heartsuit%2C\,A^\diamondsuit%2C\,2^\diamondsuit%2C\,\ldots%2C\,10^\diamondsuit%2C\,V^\diamondsuit%2C\,D^\diamondsuit%2C\,R^\diamondsuit\,\}$

– : « La carte tirée est un As »

Les As sont : As de cœur, As de carreau, As de pique, As de trèfle (4 cartes en tout).

Les issues qui réalisent sont donc :
$4\,As\,%3A\,\,\{\,A^\heartsuit%2C\,A^\diamondsuit%2C\,A^\spadesuit%2C\,A^\clubsuit\,\}$

2.b. La probabilité de chacun des événements est :
– Pour : « La couleur de la carte tirée est rouge »
$P(E)\,=\,\frac{14}{32}\,=\,\frac{7}{16}$

– Pour : « La carte tirée est un as »
$P(F)\,=\,\frac{4}{32}\,=\,\frac{1}{8}$

3. Oui, il existe des issues qui réalisent les deux événements et en même temps.

Les issues sont les As rouges :
$\{\,A^\heartsuit%2C\,A^\diamondsuit\,\}$

La probabilité de tirer une carte qui réalise les deux événements et en même temps est :
$P(E\,\cap\,F)\,=\,\frac{2}{32}\,=\,\frac{1}{16}$

Exercice 12 : sac de jetons numérotés
1. Dans chaque cas, indiquer les issues qui réalisent l’événement :
– E_1 : « Obtenir un multiple de 2 » ;
$\{2%2C\,4%2C\,6%2C\,8\}$
– E_2 : « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 » ;
$\{4%2C\,5%2C\,6%2C\,7%2C\,8\}$
– E_3 : « Obtenir un nombre pair supérieur ou égal à 4 ».
$\{4%2C\,6%2C\,8\}$

2. Donner l’écriture décimale de chaque probabilité.
– P(E_1) :
$P(E_1)\,=\,\frac{Nombre\,d'issues\,favorables\,a\,\,E_1}{Nombre\,total\,d'issues}\,=\,\frac{4}{8}\,=\,0.5$
– P(E_2) :
$P(E_2)\,=\,\frac{Nombre\,d'issues\,favorables\,a\,\,E_2}{Nombre\,total\,d'issues}\,=\,\frac{5}{8}\,=\,0.625$
– P(E_3) :
$P(E_3)\,=\,\frac{Nombre\,d'issues\,favorables\,a\,\,E_3}{Nombre\,total\,d'issues}\,=\,\frac{3}{8}\,=\,0.375$

Exercice 13 : les faces d’un dé équilibré
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

1. a. Les issues de cette expérience sont les lettres qui apparaissent sur chaque face du dé, soit :
$\{A%2C\,R%2C\,M%2C\,U%2C\,R%2C\,E\}.$

1. b. Étant donné que le dé est équilibré, la probabilité d’apparition de chaque lettre est la même. Le dé a 6 faces, donc pour chaque lettre :
$\mathbb{P}(A)\,=\,\mathbb{P}(M)\,=\,\mathbb{P}(U)\,=\,\mathbb{P}(R)\,=\,\mathbb{P}(E)\,=\,\frac{1}{6}.$

Cependant, comme il y a deux lettres ‘R’, la probabilité pour ‘R’ est :
$\mathbb{P}(R)\,=\,\frac{2}{6}\,=\,\frac{1}{3}.$

Les autres probabilités restent inchangées :
$\mathbb{P}(A)\,=\,\mathbb{P}(M)\,=\,\mathbb{P}(U)\,=\,\mathbb{P}(E)\,=\,\frac{1}{6}.$

2. a. Probabilité de l’événement E_1 : « Obtenir une lettre du mot RAMEUR » :

Les lettres du mot « RAMEUR » sont \{R, A, M, E, U\}. Donc les lettres concernées sont toutes les lettres du dé. Ainsi, la probabilité de E_1 est de 1 :
$\mathbb{P}(E_1)\,=\,1.$

2. b. Probabilité de l’événement E_2 : « Obtenir une lettre du mot COTON » :

Aucune lettre du mot « COTON » ne figure parmi les lettres du dé (ARMURE). Donc la probabilité de E_2 est de 0 :
$\mathbb{P}(E_2)\,=\,0.$

2. c. Probabilité de l’événement E_3 : « Obtenir une lettre du mot MALIN » :

Les lettres du mot « MALIN » sont \{M, A, L, I, N\}. Parmi elles, seules les lettres \{A, M\} sont présentes dans ARMURE. Donc, la probabilité de E_3 est la somme des probabilités de ‘A’ et ‘M’ :
$\mathbb{P}(E_3)\,=\,\mathbb{P}(A)\,%2B\,\mathbb{P}(M)\,=\,\frac{1}{6}\,%2B\,\frac{1}{6}\,=\,\frac{1}{3}.$

2. d. Probabilité de l’événement E_4 : « Obtenir une consonne » :

Les consonnes dans le mot ARMURE sont \{R, M, R\}. Donc, en tenant compte de la double occurrence de ‘R’ :
$\mathbb{P}(E_4)\,=\,\mathbb{P}(R)\,%2B\,\mathbb{P}(M)\,=\,\frac{1}{3}\,%2B\,\frac{1}{6}\,=\,\frac{1}{2}.$

Exercice 14 : la roue de loterie
Soit l’événement « Le numéro repéré est divisible par 4 ».

Les numéros disponibles sur la roue sont : $2%2C\,4%2C\,6%2C\,8%2C\,10%2C\,12%2C\,14%2C\,16$ .

Voyons quels numéros sont divisibles par 4:
– $2\,: \,4\,=\,0.5$ n’est pas divisible par 4.
– $4\,: \,4\,=\,1$ est divisible par 4.
– $6\,: \,4\,=\,1.5$ n’est pas divisible par 4.
– $8\,: \,4\,=\,2$ est divisible par 4.
– $10\,: \,4\,=\,2.5$ n’est pas divisible par 4.
– $12\,: \,4\,=\,3$ est divisible par 4.
– $14\,: \,4\,=\,3.5$ n’est pas divisible par 4.
– $16\,: \,4\,=\,4$ est divisible par 4.

Les numéros divisibles par 4 sont donc : $4%2C\,8%2C\,12%2C\,16$ .

Le nombre total de numéros sur la roue est de 8.

La probabilité de l’événement est donnée par le rapport du nombre de numéros favorables à l’événement sur le nombre total de numéros. Donc :
$P(E)\,=\,\frac{Nombre\,de\,numeros\,divisibles\,par\,4}{Nombre\,total\,de\,numeros}\,=\,\frac{4}{8}\,=\,\frac{1}{2}$

L’événement contraire est « Le numéro repéré n’est pas divisible par 4 ».

Les numéros non divisibles par 4, comme nous l’avons vu, sont : $2%2C\,6%2C\,10%2C\,14$ .

Le nombre total de ces numéros est également de 4.

La probabilité de l’événement contraire est donc :
$P(E')\,=\,\frac{Nombre\,de\,numeros\,non\,divisibles\,par\,4}{Nombre\,total\,de\,numeros}\,=\,\frac{4}{8}\,=\,\frac{1}{2}$

On a montré que $P(E)\,=\,P(E')\,=\,\frac{1}{2}$ .

Ainsi, l’événement et son événement contraire ont la même probabilité.

Exercice 15 : probabilités et tableur
Pour déterminer la probabilité que le nombre obtenu soit un multiple de 10, nous devons identifier combien de multiples de 10 se trouvent dans l’intervalle $%5B1%2C\,100%5D$ .

Les multiples de 10 dans cet intervalle sont : $10%2C\,20%2C\,30%2C\,40%2C\,50%2C\,60%2C\,70%2C\,80%2C\,90%2C\,100$ .

Il y en a exactement 10.

Il y a 100 nombres possibles dans l’intervalle $%5B1%2C\,100%5D$ .

La probabilité de l’événement est donc le rapport du nombre de cas favorables (les multiples de 10) au nombre de cas possibles.

$P(F)\,=\,\frac{nombre\,de\,multiples\,de\,10}{nombre\,total\,de\,nombres}\,=\,\frac{10}{100}\,=\,\frac{1}{10}\,=\,0.1$

Donc, la probabilité que le nombre obtenu soit un multiple de 10 est 0.1 ou $10\%25$ .

Exercice 16 : les jetons numérotés d’une urne
Soient l’ensemble des jetons représentés par les nombres de deux chiffres de 00 à 99. On cherche toutes les issues réalisant l’événement : « Le chiffre 9 figure au moins une fois dans le numéro ».

Les nombres compris entre 00 et 99 qui contiennent au moins un chiffre 9 sont les suivants :

– Les nombres où le 9 est en première position : $90%2C\,91%2C\,92%2C\,93%2C\,94%2C\,95%2C\,96%2C\,97%2C\,98%2C\,99$ .
– Les nombres où le 9 est en deuxième position (et où le premier chiffre n’est pas 9) : $09%2C\,19%2C\,29%2C\,39%2C\,49%2C\,59%2C\,69%2C\,79%2C\,89$ .

En combinant les deux, on obtient la liste suivante :
$09%2C\,19%2C\,29%2C\,39%2C\,49%2C\,59%2C\,69%2C\,79%2C\,89%2C\,90%2C\,91%2C\,92%2C\,93%2C\,94%2C\,95%2C\,96%2C\,97%2C\,98%2C\,99$

Ainsi, les issues réalisant l’événement sont :
$\{09%2C\,19%2C\,29%2C\,39%2C\,49%2C\,59%2C\,69%2C\,79%2C\,89%2C\,90%2C\,91%2C\,92%2C\,93%2C\,94%2C\,95%2C\,96%2C\,97%2C\,98%2C\,99\}$

Exercice 17 : une urne de dix boules
a. L’arbre des issues avec les probabilités :

$\begin{array}{c}%0D%0A\begin{tikzpicture}%5Bgrow=right%2C\,sloped%5D%0D%0A\node%5Bbag%5D\,{%0D%0Achild\,{%0D%0Anode%5Bbag%5D\,{P}%0D%0Aedge\,from\,parent%0D%0Anode%5Babove%5D\,{%24\frac{1}{10}%24}%0D%0Anode%5Bbelow%5D\,{P}%0D%0A}%0D%0Achild\,{%0D%0Anode%5Bbag%5D\,{M}%0D%0Aedge\,from\,parent%0D%0Anode%5Babove%5D\,{%24\frac{1}{10}%24}%0D%0Anode%5Bbelow%5D\,{M}%0D%0A}%0D%0Achild\,{%0D%0Anode%5Bbag%5D\,{I}%0D%0Achild\,{%0D%0Anode%5Bbag%5D\,{%24I_1%24}%0D%0Aedge\,from\,parent%0D%0Anode%5Babove%5D\,{%0D%0Anode%5Bbelow%5D\,{%0D%0A}%0D%0Achild\,{%0D%0Anode%5Bbag%5D\,{%24I_2%24}%0D%0Aedge\,from\,parent%0D%0Anode%5Bbelow%5D\,{%0D%0A}%0D%0Achild\,{%0D%0Anode%5Bbag%5D\,{%24I_3%24}%0D%0Aedge\,from\,parent%0D%0Anode%5Bbelow%5D\,{%0D%0A}%0D%0Aedge\,from\,parent%0D%0Anode%5Babove%5D\,{%24\frac{3}{10}%24}%0D%0Anode%5Bbelow%5D\,{I}%0D%0A}%0D%0Achild\,{%0D%0Anode%5Bbag%5D\,{S}%0D%0Achild\,{%0D%0Anode%5Bbag%5D\,{%24S_1%24}%0D%0Aedge\,from\,parent%0D%0Anode%5Babove%5D\,{%0D%0Anode%5Bbelow%5D\,{%0D%0A}%0D%0Achild\,{%0D%0Anode%5Bbag%5D\,{%24S_2%24}%0D%0Aedge\,from\,parent%0D%0Anode%5Bbelow%5D\,{%0D%0A}%0D%0Achild\,{%0D%0Anode%5Bbag%5D\,{%24S_3%24}%0D%0Aedge\,from\,parent%0D%0Anode%5Bbelow%5D\,{%0D%0A}%0D%0Achild\,{%0D%0Anode%5Bbag%5D\,{%24S_4%24}%0D%0Aedge\,from\,parent%0D%0Anode%5Bbelow%5D\,{%0D%0A}%0D%0Achild\,{%0D%0Anode%5Bbag%5D\,{%24S_5%24}%0D%0Aedge\,from\,parent%0D%0Anode%5Bbelow%5D\,{%0D%0A}%0D%0Aedge\,from\,parent%0D%0Anode%5Babove%5D\,{%24\frac{5}{10}%24}%0D%0Anode%5Bbelow%5D\,{S}%0D%0A}%3B%0D%0A\end{tikzpicture}%0D%0A\end{array}$

b. Calculer la probabilité de l’événement : « La lettre obtenue n’est pas une voyelle ».
Note: Les voyelles dans le mot « MISSISSIPI » sont les ‘I’ et il y en a 3.

Ainsi, la probabilité de choisir une lettre qui n’est pas une voyelle (i.e., une consonne) :

Il y a 7 consonnes (5 ‘S’, 1 ‘M’, 1 ‘P’) dans total de 10 lettres.

$\mathbb{P}(E)\,=\,\frac{nombre\,de\,consonnes}{nombre\,total\,de\,lettres}\,=\,\frac{7}{10}$

Exercice 18 : probabilités et fiche de renseignements
### Correction de l’exercice

#### 1. Probabilité que la fiche soit :

$a.\,Celle\,d'une\,fille\,qui\,porte\,des\,lunettes\,%3A$

Le nombre total de fiches est :
$3\,%2B\,15\,%2B\,7\,%2B\,5\,=\,30$

Le nombre de fiches correspondant à des filles qui portent des lunettes est :

La probabilité est donc :
$P(fille\,qui\,porte\,des\,lunettes)\,=\,\frac{3}{30}\,=\,\frac{1}{10}\,=\,0.1$

$b.\,Celle\,d'un\,garcon\,%3A$

Le nombre total de fiches correspondant à des garçons est :
$7\,%2B\,5\,=\,12$

Donc la probabilité est :
$P(garcon)\,=\,\frac{12}{30}\,=\,\frac{2}{5}\,=\,0.4$

#### 2. Nombre d’élèves qui portent des lunettes dans le collège :

Le nombre total d’élèves dans la classe est :

Le nombre d’élèves portant des lunettes dans la classe est :
$3\,%2B\,7\,=\,10$

Selon l’énoncé, ces élèves représentent 12,5% de ceux qui en portent dans tout le collège. On note le nombre d’élèves qui portent des lunettes dans tout le collège par . Nous avons donc l’équation :
$10\,=\,0.125x$

Pour trouver , on résout l’équation :
$x\,=\,\frac{10}{0.125}\,=\,80$

Il y a donc élèves qui portent des lunettes dans le collège.

Exercice 19 : station de ski et probabilités
\subsection*{Correction de l’exercice de mathématiques}

\noindent
1.

\textit{a. Quelle est la probabilité que la piste empruntée soit une piste rouge ?}

Il y a un total de 5 pistes au sommet de la station : 2 pistes noires, 2 pistes rouges et 1 piste bleue.

La probabilité que Guilhem emprunte une piste rouge est donnée par :
$P(piste\,rouge)\,=\,\frac{nombre\,de\,pistes\,rouges}{nombre\,total\,de\,pistes}\,=\,\frac{2}{5}$

\textit{b. Quelle est la probabilité qu’il emprunte alors une piste bleue ?}

À partir du restaurant, il y a 7 pistes : 3 pistes noires, 1 piste rouge, 1 piste bleue et 2 pistes vertes.

La probabilité que Guilhem emprunte une piste bleue à partir du restaurant est donnée par :
$P(piste\,bleue)\,=\,\frac{nombre\,de\,pistes\,bleues}{nombre\,total\,de\,pistes}\,=\,\frac{1}{7}$

\noindent
2.

\textit{Quelle est la probabilité qu’il enchaîne cette fois-ci deux pistes noires ?}

Depuis le haut de la station, Guilhem peut emprunter une des 2 pistes noires parmi les 5 pistes disponibles :
$P(piste\,noire\,1)\,=\,\frac{2}{5}$

Ensuite, à partir du restaurant, il peut emprunter une des 3 pistes noires parmi les 7 pistes disponibles :
$P(piste\,noire\,2)\,=\,\frac{3}{7}$

La probabilité qu’il enchaîne deux pistes noires est donc :
$P(deux\,pistes\,noires)\,=\,P(piste\,noire\,1)\,\times \,P(piste\,noire\,2)\,=\,\frac{2}{5}\,\times \,\frac{3}{7}\,=\,\frac{6}{35}$

Exercice 20 : macarons et probabilité
1. Pour la boîte numéro 1, il y a 12 macarons en tout :
$4\,\,(chocolat)\,%2B\,3\,\,(cafe)\,%2B\,2\,\,(vanille)\,%2B\,3\,\,(caramel)\,=\,12\,\,macarons$

La probabilité de choisir un macaron au café est :
$P(cafe)\,=\,\frac{3}{12}\,=\,\frac{1}{4}\,=\,0%2C25$

2. Après une heure, il reste les macarons suivants :
– Boîte numéro 1 : 3 (chocolat) + 2 (café) = 5 macarons.
– Boîte numéro 2 : 2 (chocolat) + 1 (fraise) = 3 macarons.

Carole ne veut pas de chocolat. Donc, dans la boîte 1, il reste 2 macarons au café, et dans la boîte 2, il reste 1 macaron à la fraise :
$2\,\,(cafe)\,%2B\,1\,\,(fraise)\,=\,3\,\,macarons\,sans\,chocolat$

La probabilité que Carole choisisse un macaron de boîte 1 qu’elle aime (café) est :
$P(aime_1)\,=\,\frac{2}{5}$
et pour la boîte numéro 2 (fraise) :
$P(aime_2)\,=\,\frac{1}{3}$

La probabilité qu’elle obtienne deux macarons qu’elle aime est le produit des deux probabilités :
$P(aime)\,=\,P(aime_1)\,\times \,P(aime_2)\,=\,\frac{2}{5}\,\times \,\frac{1}{3}\,=\,\frac{2}{15}$

Donc, la probabilité qu’elle obtienne deux macarons qui lui plaisent est de :
$\frac{2}{15}\,\approx\,0%2C1333$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : un plateau tournant
1. Probabilité que la boule s’arrête sur la case numérotée 8 :

Il y a 13 cases numérotées de 0 à 12. Chaque case a une probabilité égale d’être atteinte.

La probabilité que la boule s’arrête sur la case numérotée 8 est donc :
$P(case\,8)\,=\,\frac{1}{13}$

2. Probabilité que le numéro de la case soit un nombre impair :

Les nombres impairs de 0 à 12 sont : 1, 3, 5, 7, 9 et 11. Il y a donc 6 nombres impairs.

La probabilité que la boule s’arrête sur une case numérotée par un nombre impair est donc :
$P(impair)\,=\,\frac{6}{13}$

3. Probabilité que le numéro de la case soit un nombre premier :

Les nombres premiers entre 0 et 12 sont : 2, 3, 5, 7 et 11. Il y a donc 5 nombres premiers.

La probabilité que la boule s’arrête sur une case numérotée par un nombre premier est donc :
$P(nombre\,premier)\,=\,\frac{5}{13}$

4. Probabilité que la boule s’arrête à nouveau sur la case 9 au prochain lancer :

Le fait que la boule se soit arrêtée sur la case 9 lors des deux lancers précédents n’influence pas le prochain lancer, puisqu’il s’agit d’un événement indépendant.

La probabilité que la boule s’arrête sur la case numérotée 9 au prochain lancer est donc :
$P(case\,9)\,=\,\frac{1}{13}$

Qu’elle que soit la fréquence observée précédemment, la probabilité que la boule s’arrête sur la case numérotée 7 ou 9 reste identique au prochain lancer, soit $\frac{1}{13}$ .

En conclusion, il n’y a pas plus de chance que la boule s’arrête sur la case numérotée 9 que sur la case numérotée 7 ou toute autre case. C’est une propriété fondamentale des événements indépendants en probabilité.

Exercice 22 : un sac et des boules indiscernables
1. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ? Écrire le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

Le sac contient 120 boules, dont 30 sont bleues. La probabilité P(B) de tirer une boule bleue est donnée par le rapport du nombre de boules bleues au nombre total de boules :
$P(B)\,=\,\frac{30}{120}\,=\,\frac{1}{4}$

2. Cécile a effectué 20 fois cette expérience aléatoire et elle a obtenu 8 fois une boule verte. Choisir, parmi les réponses suivantes, le nombre de boules vertes contenues dans le sac (aucune justification n’est demandée) :

Pour résoudre ce problème, nous utilisons le fait que la proportion de boules vertes tirées dans l’expérience devrait être approximativement égale à la proportion de boules vertes dans le sac. Ainsi, nous pouvons écrire :
$\frac{8}{20}\,=\,\frac{x}{120}$
où représente le nombre de boules vertes. En résolvant pour , nous obtenons :
$\frac{8}{20}\,=\,\frac{x}{120}$
$x\,=\,\frac{8\,\times \,120}{20}\,=\,48$

Ainsi, il y a $b.\,70$ boules vertes dans le sac.

3. La probabilité de tirer une boule rouge est égale à 0,4.

a. Quel est le nombre de boules rouges dans le sac ?

La probabilité de tirer une boule rouge P(R) est de 0,4. Étant donné que le nombre total de boules est 120, nous avons :
$P(R)\,=\,\frac{nombre\,de\,boules\,rouges}{nombre\,total\,de\,boules}$
$0.4\,=\,\frac{nombre\,de\,boules\,rouges}{120}$
Nombre de boules rouges $=\,0.4\,\times \,120\,=\,48$

b. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?

Sachant que le nombre total de boules est 120, et que le nombre de boules rouges est 48 et le nombre de boules bleues est 30, le nombre de boules vertes est :
$nombre\,de\,boules\,vertes\,=\,120\,-\,48\,-\,30\,=\,42$

La probabilité P(V) de tirer une boule verte est donc :
$P(V)\,=\,\frac{42}{120}\,=\,\frac{7}{20}$

Exercice 23 : gâteau et probabilités
1) Quelles sont les issues de cette expérience ?

Les issues de cette expérience sont les lettres $\{\,B%2C\,A1%2C\,K%2C\,L%2C\,A2%2C\,V%2C\,A3\,\}$ .
(Note : les lettres « A » sont différentes puisqu’elles apparaissent plusieurs fois, donc on les différencie comme $A1%2C\,A2%2C\,A3$ ).

2) Déterminer les probabilités suivantes :

a) La lettre tirée est un L

La probabilité de tirer la lettre L est donnée par :
$P(L)\,=\,\frac{Nombre\,de\,L}{Nombre\,total\,de\,lettres}\,=\,\frac{1}{7}$

b) La lettre tirée n’est pas un A

La probabilité de tirer une lettre qui n’est pas A est donnée par :
$P(Non\,\,A)\,=\,\frac{Nombre\,de\,lettres\,qui\,ne\,sont\,pas\,A}{Nombre\,total\,de\,lettres}\,=\,\frac{4}{7}$

3) Enzo achète un sachet contenant 10 baklavas tous indiscernables au toucher. Ce sachet contient 2 baklavas à base de pistaches, 4 baklavas à base de noisettes et les autres baklavas sont à base de noix. Enzo pioche au hasard un gâteau et le mange ; c’est un gâteau à base de noix. Il souhaite en manger un autre. Son amie Laura affirme que, s’il veut maintenant prendre un nouveau gâteau, il aura plus de chances de piocher un gâteau à base de noix. A-t-elle raison ? Justifier la réponse.

Sachant qu’Enzo a déjà mangé un baklava à base de noix, il reste 9 baklavas dans le sachet : 2 à base de pistaches, 4 à base de noisettes, et 3 à base de noix.

La probabilité de piocher un autre baklava à base de noix est donc :
$P(Noix)\,=\,\frac{Nombre\,de\,baklavas\,a\,base\,de\,noix\,restants}{Nombre\,total\,de\,baklavas\,restants}\,=\,\frac{3}{9}\,=\,\frac{1}{3}$

Avant de manger le premier baklava, la probabilité de choisir un baklava à base de noix était :
$P'(Noix)\,=\,\frac{Nombre\,de\,baklavas\,a\,base\,de\,noix}{Nombre\,total\,de\,baklavas}\,=\,\frac{4}{10}\,=\,\frac{2}{5}$

Comparons les deux probabilités :
$\frac{1}{3}\,\approx\,0.33\,\quad\,et\,\quad\,\frac{2}{5}\,=\,0.4$

Puisque $\frac{1}{3}\,%3C\,\frac{2}{5}$ , la probabilité de piocher un baklava à base de noix après avoir mangé un premier baklava à base de noix est en fait plus faible qu’avant.

Laura n’a donc pas raison. Enzo a moins de chances de piocher un autre baklava à base de noix maintenant.

Exercice 24 : des urnes et des boules numérotées
1. $A-t-on\,plus\,de\,chance\,de\,former\,un\,nombre\,pair\,que\,de\,former\,un\,nombre\,impair\,%3F$

On forme un nombre entier à deux chiffres en tirant au hasard une boule dans chaque urne :
– Le chiffre des dizaines est le numéro de la boule issue de l’urne D.
– Le chiffre des unités est le numéro de la boule issue de l’urne U.

Les boules dans l’urne D sont $\{2%2C\,3%2C\,1\}$ et celles dans l’urne U $\{6%2C\,5%2C\,3\}$ .

Les nombres pouvant être formés sont :
– Avec de l’urne D : $26%2C\,25%2C\,23$
– Avec de l’urne D : $36%2C\,35%2C\,33$
– Avec de l’urne D : $16%2C\,15%2C\,13$

Nombre de nombres pairs : $26%2C\,36%2C\,16$ soit 3 nombres.
Nombre de nombres impairs : $25%2C\,23%2C\,35%2C\,33%2C\,15%2C\,13$ soit 6 nombres.

On a donc moins de chance de former un nombre pair ( ) que de former un nombre impair ().

Conclusion : On n’a pas plus de chance de former un nombre pair qu’un nombre impair.

2. $a.\,Sans\,justifier%2C\,indiquer\,les\,nombres\,premiers\,qu%E2%80%99on\,peut\,former\,lors\,de\,cette\,experience.$

Les nombres premiers pouvant être formés sont : $23%2C\,13%2C\,31$ .

$b.\,Montrer\,que\,la\,probabilite\,de\,former\,un\,nombre\,premier\,est\,egale\,a\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cfrac%257B1%257D%257B6%257D%22\,alt=%22\frac{1}{6}$ . » align= »absmiddle » />

Nombre total de combinaisons possibles = $3\,\times \,3\,=\,9$ .

Les nombres premiers formés sont $23%2C\,13%2C\,31$ , donc il y a 3 combinaisons qui forment des nombres premiers.

Probabilité de former un nombre premier:
$P(nombre\,premier)\,=\,\frac{nombre\,de\,nombres\,premiers}{nombre\,total\,de\,combinaisons}\,=\,\frac{3}{9}\,=\,\frac{1}{3}.$
Or, il devait être $\frac{1}{6}$ selon la question.

3. $Definir\,un\,evenement\,dont\,la\,probabilite\,de\,realisation\,est\,egale\,a\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cfrac%257B1%257D%257B3%257D%22\,alt=%22\frac{1}{3}$ . » align= »absmiddle » />

Un exemple d’événement avec une probabilité de $\frac{1}{3}$ pourrait être de former un nombre qui commence par le chiffre .

Nombre de combinaisons possibles où le nombre commence par :
$36%2C\,35%2C\,33$ soit .

Probabilité :
\[
P(\text{commence par 3}) = \frac{\text{3 nombres}}{\text{9 combinaisons}} = \frac{1}{3}.

Voir Corrigés 21 à 24 ...

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