Probabilités : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : les probabilités.
Soit n\,=\,8 le nombre total de secteurs. La probabilité qu’un secteur soit désigné est \frac{1}{n}\,=\,\frac{1}{8}.

1) Déterminons la probabilité de chaque événement :

a. « on gagne 2 € » :

P(gagner\,2\,%E2%82%AC)\,=\,\frac{nombre\,de\,secteurs\,ou\,l'on\,gagne\,2\,%E2%82%AC}{n}

Il y a 2 secteurs où l’on gagne 2 € (les secteurs gris).

P(gagner\,2\,%E2%82%AC)\,=\,\frac{2}{8}\,=\,\frac{1}{4}

b. « on gagne 1 € » :

P(gagner\,1\,%E2%82%AC)\,=\,\frac{nombre\,de\,secteurs\,ou\,l'on\,gagne\,1\,%E2%82%AC}{n}

Il y a 1 secteur où l’on gagne 1 € (le secteur blanc).

P(gagner\,1\,%E2%82%AC)\,=\,\frac{1}{8}

c. « on perd 2 € » :

P(perdre\,2\,%E2%82%AC)\,=\,\frac{nombre\,de\,secteurs\,ou\,l'on\,perd\,2\,%E2%82%AC}{n}

Il y a 3 secteurs où l’on perd 2 € (les secteurs noirs).

P(perdre\,2\,%E2%82%AC)\,=\,\frac{3}{8}

2) Est-ce qu’on a autant de chances de gagner que de perdre ?

Pour répondre à cette question, comparons les probabilités de gain total versus de perte totale.

Probabilité de gagner (gagner 1 € ou 2 €) :

P(gagner)\,=\,P(gagner\,2\,%E2%82%AC)\,%2B\,P(gagner\,1\,%E2%82%AC)%0D%0A=\,\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{1}{8}\,=\,\frac{2}{8}\,%2B\,\frac{1}{8}\,=\,\frac{3}{8}

Probabilité de perdre (perdre 2 €) :

P(perdre)\,=\,P(perdre\,2\,%E2%82%AC)\,=\,\frac{3}{8}

Donc :

P(gagner)\,=\,P(perdre)\,=\,\frac{3}{8}

On a donc autant de chances de gagner que de perdre.

Exercice 2 : probabilités dans une urne.
1) On regarde la lettre inscrite sur la boule.
a. Citer les issues de cette expérience.
Les issues possibles sont : A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.
b. Existe-t-il une issue qui a plus de chances de se produire ? Si oui, laquelle ?
Non, chaque lettre a une chance égale d’être tirée.
c. S’agit-il d’une situation d’équiprobabilité ?
Oui, il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.
d. Déterminer la probabilité d’obtenir :
i. La lettre C ;
P(C)\,=\,\frac{1}{10}
ii. La lettre J ;
P(J)\,=\,\frac{1}{10}
iii. Une voyelle.
P(voyelle)\,=\,\frac{4}{10}\,=\,\frac{2}{5}\,\quad\,(Les\,voyelles\,sont\,A%2C\,E%2C\,I%2C\,O%2C\,donc\,4\,voyelles)

2) On regarde la couleur de la boule (blanche ou noire).
a. Citer les issues de cette expérience.
Les issues possibles sont : Blanche, Noire.
b. Existe-t-il une issue qui a plus de chances de se produire ? Si oui, laquelle ?
Non, chaque couleur a une chance égale d’être tirée.
c. S’agit-il d’une situation d’équiprobabilité ?
Oui, il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.
d. Déterminer la probabilité d’obtenir :
i. Une boule blanche ;
P(blanche)\,=\,\frac{5}{10}\,=\,\frac{1}{2}
ii. Une boule noire.
P(noire)\,=\,\frac{5}{10}\,=\,\frac{1}{2}

3) On regarde la couleur ainsi que la lettre inscrite sur la boule.
a. S’agit-il d’une situation d’équiprobabilité ?
Oui, il s’agit d’une situation d’équiprobabilité, car chaque combinaison de lettre et couleur a une chance égale d’être tirée.
b. Déterminer la probabilité d’obtenir une boule :
i. Blanche ;
P(blanche)\,=\,\frac{5}{10}\,=\,\frac{1}{2}
ii. Avec une voyelle ;
P(voyelle)\,=\,\frac{4}{10}\,=\,\frac{2}{5}
iii. Blanche avec une voyelle ;
P(blanche\,et\,voyelle)\,=\,\frac{2}{10}\,=\,\frac{1}{5}\,\quad\,(Les\,boules\,blanches\,avec\,des\,voyelles\,sont\,A\,et\,I)
iv. Blanche ou avec une voyelle.
P(blanche\,ou\,voyelle)\,=\,P(blanche)\,%2B\,P(voyelle)\,-\,P(blanche\,et\,voyelle)
=\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{2}{5}\,-\,\frac{1}{5}\,=\,\frac{5}{10}\,%2B\,\frac{4}{10}\,-\,\frac{2}{10}\,=\,\frac{7}{10}

Exercice 3 : prendre en compte des informations
1. Les différents codes possibles sont :
\{A1%2C\,A2%2C\,A3%2C\,B1%2C\,B2%2C\,B3%2C\,C1%2C\,C2%2C\,C3\}
Il y a donc 9 codes possibles.

2a. La probabilité que Anna obtienne le bon code en composant A1 au hasard est :
\frac{1}{9}

2b. Étant donné qu’Anna s’est trompée à la fois de lettre et de chiffre lors de son premier essai, chaque lettre et chaque chiffre restants a maintenant une probabilité égale de 1 sur les 8 codes restants. Anna a donc 1 chance sur 8 de trouver le bon code :
\frac{1}{8}

2c. Si, lors du deuxième essai, Anna se trompe de lettre, il ne lui reste plus qu’une troisième lettre possible. Donc pour son troisième essai, elle est sûre à 100% de trouver la bonne lettre. De plus, comme elle ne peut pas se tromper une fois de plus que de chiffre, elle est certaine d’obtenir le bon code au troisième essai.

Exercice 4 : comparer une fréquence et une probabilité
a. Le nombre de lancers qui donnent la somme 7 est 170.

La fréquence en pourcentage représentée par ces lancers est :
\frac{170}{1000}\,\times  \,100\,=\,17\%25

b. Les différentes possibilités d’obtenir une somme égale à 7 avec deux dés sont :
(1%2C\,6)
(2%2C\,5)
(3%2C\,4)
(4%2C\,3)
(5%2C\,2)
(6%2C\,1)

Il y a 6 possibilités sur un total de 36 (puisqu’il y a 6\,\times  \,6\,=\,36 combinaisons possibles avec deux dés).

La probabilité théorique d’obtenir la somme 7 est donc :
\frac{6}{36}\,=\,\frac{1}{6}\,\approx\,0%2C1667

En pourcentage, cela donne :
0%2C1667\,\times  \,100\,=\,16%2C67\%25

La réponse théorique (environ 16%2C67\%25) est très proche de la fréquence observée dans la simulation (17\%25). Les petites différences peuvent être dues au hasard inhérent à la simulation.

Exercice 5 : comprendre un programme
Correction\,de\,l'exercice\,%3A

a. Quelle\,valeur\,le\,lutin\,enonce-t-il\,a\,la\,fin\,du\,programme\,lorsque\,la\,valeur\,affectee\,a\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fn%22\,alt=%22n est : » align= »absmiddle » />

n\,=\,2 : A\,=\,1 (puisque 2\,%3C\,9)
n\,=\,10 : A\,=\,0 (puisque 10\,\geq\,\,9)
n\,=\,3 : A\,=\,1 (puisque 3\,%3C\,9)
n\,=\,9 : A\,=\,0 (puisque 9\,\geq\,\,9)
n\,=\,15 : A\,=\,0 (puisque 15\,\geq\,\,9)

b. On\,considere\,l'experience\,aleatoire\,qui\,consiste\,a\,lire\,le\,nombre\,enonce\,par\,le\,lutin\,a\,la\,fin\,du\,programme.\,Donner\,les\,issues\,de\,cette\,experience\,et\,determiner\,leurs\,probabilites.

L’expérience aléatoire consiste à tirer une valeur aléatoire n entre 1 et 15 et à lire la valeur de A. Les issues possibles sont :

A\,=\,1
A\,=\,0

Pour déterminer les probabilités associées à chacune de ces issues :

%26La\,probabilite\,que\,\,A\,=\,1\,\,(quand\,\,n\,%3C\,9)\,%3A\,\\%0D%0A%26Les\,valeurs\,de\,\,n\,\,pour\,lesquelles\,\,A\,=\,1\,\,sont\,\,1%2C\,2%2C\,3%2C\,4%2C\,5%2C\,6%2C\,7%2C\,\,et\,\,8.\,\\%0D%0A%26Il\,y\,a\,donc\,8\,valeurs\,pour\,lesquelles\,\,A\,=\,1\,\,sur\,un\,total\,de\,15\,valeurs\,possibles.\,\\%0D%0A%26P(A\,=\,1)\,=\,\frac{8}{15}

%26La\,probabilite\,que\,\,A\,=\,0\,\,(quand\,\,n\,\geq\,\,9)\,%3A\,\\%0D%0A%26Les\,valeurs\,de\,\,n\,\,pour\,lesquelles\,\,A\,=\,0\,\,sont\,\,9%2C\,10%2C\,11%2C\,12%2C\,13%2C\,14%2C\,\,et\,\,15.\,\\%0D%0A%26Il\,y\,a\,donc\,7\,valeurs\,pour\,lesquelles\,\,A\,=\,0\,\,sur\,un\,total\,de\,15\,valeurs\,possibles.\,\\%0D%0A%26P(A\,=\,0)\,=\,\frac{7}{15}

Ainsi, les issues possibles de cette expérience et leurs probabilités sont :

%26A\,=\,1\,\,avec\,une\,probabilite\,de\,\,\frac{8}{15}%2C\,\\%0D%0A%26A\,=\,0\,\,avec\,une\,probabilite\,de\,\,\frac{7}{15}.

Exercice 6 : appliquer un programme
Le programme effectue les opérations suivantes :

1. tire un nombre aléatoire n entre 1 et 10.
2. calcule A tel que A\,=\,5\,%2B\,n.
3. calcule B tel que B\,=\,2\,\times  \,n.

Nous cherchons la probabilité que A soit égal à B.

A\,=\,B\,\implies\,5\,%2B\,n\,=\,2n

En résolvant cette équation :

5\,%2B\,n\,=\,2n
5\,=\,2n\,-\,n
5\,=\,n

Ainsi, pour que A\,=\,B, il faut que n\,=\,5.

Puisque n est un nombre entier tiré aléatoirement entre 1 et 10, la probabilité d’obtenir n\,=\,5 est :

P(n\,=\,5)\,=\,\frac{1}{10}

Ainsi, la probabilité que A soit égal à B est de \frac{1}{10} ou 10%.

Exercice 7 : probabilités et crayons
1.a. Recopier et compléter l’arbre suivant :

\begin{array}{c%7Cc%7Cc}%0D%0ACouleur\,du\,toit\,%26\,Couleur\,de\,la\,porte\,%26\,Couleur\,de\,la\,fenetre\,\\%0D%0A\hline%0D%0AB\,%26\,B\,%26\,B\,\\%0D%0A%26\,%26\,R\,\\%0D%0A%26\,%26\,J\,\\%0D%0A\hline%0D%0AR\,%26\,B\,%26\,B\,\\%0D%0A%26\,%26\,R\,\\%0D%0A%26\,%26\,J\,\\%0D%0A%26\,R\,%26\,B\,\\%0D%0A%26\,%26\,R\,\\%0D%0A%26\,%26\,J\,\\%0D%0A%26\,J\,%26\,B\,\\%0D%0A%26\,%26\,R\,\\%0D%0A%26\,%26\,J\,\\%0D%0A\hline%0D%0AJ\,%26\,B\,%26\,B\,\\%0D%0A%26\,%26\,R\,\\%0D%0A%26\,%26\,J\,\\%0D%0A%26\,R\,%26\,B\,\\%0D%0A%26\,%26\,R\,\\%0D%0A%26\,%26\,J\,\\%0D%0A%26\,J\,%26\,B\,\\%0D%0A%26\,%26\,R\,\\%0D%0A%26\,%26\,J\,\\%0D%0A\end{array}

1.b. Le nombre de dessins colorés possibles est donné par 3 choix pour le toit, 3 choix pour la porte et 3 choix pour la fenêtre, soit:

3\,\times  \,3\,\times  \,3\,=\,27

2. A est l’événement : « L’enfant a utilisé au moins deux couleurs différentes ».

Pour trouver la probabilité de \overline{A} (l’événement contraire de A, c’est-à-dire l’enfant a utilisé une seule couleur, donc toutes les trois parties de la maison sont de la même couleur):

\overline{A}\,=\,\{(B%2CB%2CB)%2C\,(R%2CR%2CR)%2C\,(J%2CJ%2CJ)\}

Le nombre de cas favorables à \overline{A} est 3.

Donc la probabilité de \overline{A} est:

P(\overline{A})\,=\,\frac{3}{27}\,=\,\frac{1}{9}

La probabilité de l’événement A est donc :

P(A)\,=\,1\,-\,P(\overline{A})\,=\,1\,-\,\frac{1}{9}\,=\,\frac{8}{9}

Exercice 8 : lancer de pièce
1. a. Complétons l’arbre de probabilité :

\begin{array}{ccccc}%0D%0A%26\,%26\,1ere\,epreuve\,%26\,%26\,2eme\,epreuve\,\\%0D%0A%26\,P\,%26\,\to\,%26\,R%2C\,V%2C\,B%2C\,N%2C\,J\,\\%0D%0A%26\,F\,%26\,\to\,%26\,R%2C\,V%2C\,B%2C\,N%2C\,J\,\\%0D%0A\end{array}

1. b. Combien l’expérience compte-t-elle d’issues ?

Chaque lancer de pièce donne 2 résultats possibles (P ou F) et chaque tirage de boule donne 5 résultats possibles (R, V, B, N, J).

Donc le nombre total d’issues de l’expérience est :

2\,\times  \,5\,=\,10\,\,issues

2. Probabilités des événements donnés :

E_1\,%3A\,Obtenir\,la\,couleur\,rouge

Puisque chaque boule a une probabilité égale d’être tirée:

P(E_1)\,=\,\frac{1}{5}\,\,pour\,P\,%2B\,\frac{1}{5}\,\,pour\,F\,=\,\frac{1}{10}\,\,pour\,P\,%2B\,\frac{1}{10}\,\,pour\,F\,=\,\frac{2}{10}\,=\,\frac{1}{5}

E_2\,%3A\,Ne\,pas\,obtenir\,la\,couleur\,jaune

La probabilité d’obtenir chaque couleur autre que le jaune est:

P(couleur\,autre\,que\,jaune\,pour\,P)\,=\,\frac{4}{5}
et
P(couleur\,autre\,que\,jaune\,pour\,F)\,=\,\frac{4}{5}

Donc :

P(E_2)\,=\,\frac{4}{10}\,\,pour\,P\,%2B\,\frac{4}{10}\,\,pour\,F\,=\,\frac{8}{10}\,=\,\frac{4}{5}

Exercice 9 : galettes et probabilités
1.a. Complétion de l’arbre :

– A –> A, B, C, D
– B –> A, B, C, D
– C –> A, B, C, D
– D –> A, B, C, D

L’arbre est complété en listant toutes les branches possibles pour chaque option initiale.

1.b. Nombre d’issues possibles pour la répartition des deux fèves :

Il y a 4 options pour la fève dans la galette frangipane et 4 options pour la fève dans la galette briochée. Donc le nombre d’issues est 4\,\times  \,4\,=\,16.

2. Probabilités des événements :

Soit \Omega l’ensemble des issues possibles. On a %7C\Omega%7C\,=\,16.

2.a. E\,%3A\,%22Anissa\,a\,les\,deux\,feves%22

Il y a une seule issue où Anissa a les deux fèves : (A, A).

P(E)\,=\,\frac{1}{16}

2.b. F\,%3A\,%22Baptiste\,n%E2%80%99a\,pas\,de\,feve%22

Pour que Baptiste n’ait pas de fève, les fèves doivent être distribuées parmi les trois autres amis. Il y a 3\,\times  \,3\,=\,9 issues possibles où Baptiste n’a pas de fève.

P(F)\,=\,\frac{9}{16}

2.c. G\,%3A\,%22Coralie\,a\,exactement\,une\,feve%22

Pour que Coralie ait exactement une fève, soit elle l’a dans la galette frangipane ou dans la galette briochée, mais pas les deux. Les deux configurations possibles sont (C, A), (C, B), (C, D) et (A, C), (B, C), (D, C). Donc, il y a 6 issues possibles où Coralie a exactement une fève.

P(G)\,=\,\frac{6}{16}\,=\,\frac{3}{8}

2.d. H\,%3A\,%22Dylan\,a\,au\,moins\,une\,feve%22

Pour que Dylan ait au moins une fève, soit il l’a dans la galette frangipane ou dans la galette briochée ou dans les deux. Il y a les configurations où Dylan a une fève dans la galette frangipane et une autre personne a celle dans la galette briochée (3 issues) ou Dylan a une fève dans la galette briochée et une autre personne a celle dans la galette frangipane (3 issues), plus l’issue où Dylan a les deux fèves. En total, cela fait 3\,%2B\,3\,%2B\,1\,=\,7 issues.

P(H)\,=\,\frac{7}{16}

Exercice 10 : une roue équilibrée
1. Dresser la liste des issues qui réalisent chacun des événements E, F et G.

E : « Le numéro repéré est pair »
E\,=\,\{2%2C\,4%2C\,6%2C\,8%2C\,10\}

F : « Le numéro repéré est multiple de 3 »
F\,=\,\{3%2C\,6%2C\,9\}

G : « Le numéro repéré est multiple de 5 »
G\,=\,\{5%2C\,10\}

2. Dire si les événements sont incompatibles ou non. Justifier la réponse.

a. E et F

E\,\cap\,F\,=\,\{6\}
Les événements E et F ne sont pas incompatibles car ils ont un élément commun (6).

b. E et G

E\,\cap\,G\,=\,\{10\}
Les événements E et G ne sont pas incompatibles car ils ont un élément commun (10).

c. F et G

F\,\cap\,G\,=\,\{\}
Les événements F et G sont incompatibles car ils n’ont aucun élément commun.

3. Donner la probabilité de chacun des événements E, F et G.

E : « Le numéro repéré est pair »
P(E)\,=\,\frac{Nombre\,d'issues\,favorables\,a\,\,E}{Nombre\,total\,d'issues}\,=\,\frac{5}{10}\,=\,\frac{1}{2}

F : « Le numéro repéré est multiple de 3 »
P(F)\,=\,\frac{Nombre\,d'issues\,favorables\,a\,\,F}{Nombre\,total\,d'issues}\,=\,\frac{3}{10}

G : « Le numéro repéré est multiple de 5 »
P(G)\,=\,\frac{Nombre\,d'issues\,favorables\,a\,\,G}{Nombre\,total\,d'issues}\,=\,\frac{2}{10}\,=\,\frac{1}{5}

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