Exercice 1 : les probabilités.
Soit \( n = 8 \) le nombre total de secteurs. La probabilité qu’un secteur soit désigné est \( \frac{1}{n} = \frac{1}{8} \).
1) Déterminons la probabilité de chaque événement :
a. « on gagne 2 € » :
\[
P(\text{gagner 2 €}) = \frac{\text{nombre de secteurs où l’on gagne 2 €}}{n}
\]
Il y a 2 secteurs où l’on gagne 2 € (les secteurs gris).
\[
P(\text{gagner 2 €}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
\]
b. « on gagne 1 € » :
\[
P(\text{gagner 1 €}) = \frac{\text{nombre de secteurs où l’on gagne 1 €}}{n}
\]
Il y a 1 secteur où l’on gagne 1 € (le secteur blanc).
\[
P(\text{gagner 1 €}) = \frac{1}{8}
\]
c. « on perd 2 € » :
\[
P(\text{perdre 2 €}) = \frac{\text{nombre de secteurs où l’on perd 2 €}}{n}
\]
Il y a 3 secteurs où l’on perd 2 € (les secteurs noirs).
\[
P(\text{perdre 2 €}) = \frac{3}{8}
\]
2) Est-ce qu’on a autant de chances de gagner que de perdre ?
Pour répondre à cette question, comparons les probabilités de gain total versus de perte totale.
Probabilité de gagner (gagner 1 € ou 2 €) :
\[
P(\text{gagner}) = P(\text{gagner 2 €}) + P(\text{gagner 1 €})
= \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}
\]
Probabilité de perdre (perdre 2 €) :
\[
P(\text{perdre}) = P(\text{perdre 2 €}) = \frac{3}{8}
\]
Donc :
\[
P(\text{gagner}) = P(\text{perdre}) = \frac{3}{8}
\]
On a donc autant de chances de gagner que de perdre.
Exercice 2 : probabilités dans une urne.
1) On regarde la lettre inscrite sur la boule.
a. Citer les issues de cette expérience.
Les issues possibles sont : A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.
b. Existe-t-il une issue qui a plus de chances de se produire ? Si oui, laquelle ?
Non, chaque lettre a une chance égale d’être tirée.
c. S’agit-il d’une situation d’équiprobabilité ?
Oui, il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.
d. Déterminer la probabilité d’obtenir :
i. La lettre C ;
\[
P(\text{C}) = \frac{1}{10}
\]
ii. La lettre J ;
\[
P(\text{J}) = \frac{1}{10}
\]
iii. Une voyelle.
\[
P(\text{voyelle}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \quad \text{(Les voyelles sont A, E, I, O, donc 4 voyelles)}
\]
2) On regarde la couleur de la boule (blanche ou noire).
a. Citer les issues de cette expérience.
Les issues possibles sont : Blanche, Noire.
b. Existe-t-il une issue qui a plus de chances de se produire ? Si oui, laquelle ?
Non, chaque couleur a une chance égale d’être tirée.
c. S’agit-il d’une situation d’équiprobabilité ?
Oui, il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.
d. Déterminer la probabilité d’obtenir :
i. Une boule blanche ;
\[
P(\text{blanche}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
\]
ii. Une boule noire.
\[
P(\text{noire}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
\]
3) On regarde la couleur ainsi que la lettre inscrite sur la boule.
a. S’agit-il d’une situation d’équiprobabilité ?
Oui, il s’agit d’une situation d’équiprobabilité, car chaque combinaison de lettre et couleur a une chance égale d’être tirée.
b. Déterminer la probabilité d’obtenir une boule :
i. Blanche ;
\[
P(\text{blanche}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
\]
ii. Avec une voyelle ;
\[
P(\text{voyelle}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}
\]
iii. Blanche avec une voyelle ;
\[
P(\text{blanche et voyelle}) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \quad \text{(Les boules blanches avec des voyelles sont A et I)}
\]
iv. Blanche ou avec une voyelle.
\[
P(\text{blanche ou voyelle}) = P(\text{blanche}) + P(\text{voyelle}) – P(\text{blanche et voyelle})
\]
\[
= \frac{1}{2} + \frac{2}{5} – \frac{1}{5} = \frac{5}{10} + \frac{4}{10} – \frac{2}{10} = \frac{7}{10}
\]
Exercice 3 : prendre en compte des informations
1. Les différents codes possibles sont :
\[\]
\{A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3\}
\[\]
Il y a donc 9 codes possibles.
2a. La probabilité que Anna obtienne le bon code en composant A1 au hasard est :
\[\]
\frac{1}{9}
\[\]
2b. Étant donné qu’Anna s’est trompée à la fois de lettre et de chiffre lors de son premier essai, chaque lettre et chaque chiffre restants a maintenant une probabilité égale de 1 sur les 8 codes restants. Anna a donc 1 chance sur 8 de trouver le bon code :
\[\]
\frac{1}{8}
\[\]
2c. Si, lors du deuxième essai, Anna se trompe de lettre, il ne lui reste plus qu’une troisième lettre possible. Donc pour son troisième essai, elle est sûre à 100% de trouver la bonne lettre. De plus, comme elle ne peut pas se tromper une fois de plus que de chiffre, elle est certaine d’obtenir le bon code au troisième essai.
Exercice 4 : comparer une fréquence et une probabilité
a. Le nombre de lancers qui donnent la somme \(7\) est \(170\).
La fréquence en pourcentage représentée par ces lancers est :
\[ \frac{170}{1000} \times 100 = 17\% \]
b. Les différentes possibilités d’obtenir une somme égale à \(7\) avec deux dés sont :
– \((1, 6)\)
– \((2, 5)\)
– \((3, 4)\)
– \((4, 3)\)
– \((5, 2)\)
– \((6, 1)\)
Il y a \(6\) possibilités sur un total de \(36\) (puisqu’il y a \(6 \times 6 = 36\) combinaisons possibles avec deux dés).
La probabilité théorique d’obtenir la somme \(7\) est donc :
\[ \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0,1667 \]
En pourcentage, cela donne :
\[ 0,1667 \times 100 = 16,67\% \]
La réponse théorique (environ \(16,67\%\)) est très proche de la fréquence observée dans la simulation (\(17\%\)). Les petites différences peuvent être dues au hasard inhérent à la simulation.
Exercice 5 : comprendre un programme
\[\]Correction de l’exercice :\[\]
a. \[\]Quelle valeur le lutin énonce-t-il à la fin du programme lorsque la valeur affectée à \( n \) est :\[\]
– \( n = 2 \) : \( A = 1 \) (puisque \( 2 < 9 \))
– \( n = 10 \) : \( A = 0 \) (puisque \( 10 \geq\, 9 \))
– \( n = 3 \) : \( A = 1 \) (puisque \( 3 < 9 \))
– \( n = 9 \) : \( A = 0 \) (puisque \( 9 \geq\, 9 \))
– \( n = 15 \) : \( A = 0 \) (puisque \( 15 \geq\, 9 \))
b. \[\]On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lire le nombre énoncé par le lutin à la fin du programme. Donner les issues de cette expérience et déterminer leurs probabilités.\[\]
L’expérience aléatoire consiste à tirer une valeur aléatoire \( n \) entre 1 et 15 et à lire la valeur de \( A \). Les issues possibles sont :
– \( A = 1 \)
– \( A = 0 \)
Pour déterminer les probabilités associées à chacune de ces issues :
\[
\begin{aligned}
\text{La probabilité que } A = 1 \text{ (quand } n < 9\text{) :} \\
\text{Les valeurs de } n \text{ pour lesquelles } A = 1 \text{ sont } 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, \text{ et } 8. \\
\text{Il y a donc 8 valeurs pour lesquelles } A = 1 \text{ sur un total de 15 valeurs possibles.} \\
P(A = 1) = \frac{8}{15}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\text{La probabilité que } A = 0 \text{ (quand } n \geq\, 9\text{) :} \\
\text{Les valeurs de } n \text{ pour lesquelles } A = 0 \text{ sont } 9, 10, 11, 12, 13, 14, \text{ et } 15. \\
\text{Il y a donc 7 valeurs pour lesquelles } A = 0 \text{ sur un total de 15 valeurs possibles.} \\
P(A = 0) = \frac{7}{15}
\end{aligned}
\]
Ainsi, les issues possibles de cette expérience et leurs probabilités sont :
\[
\begin{aligned}
A = 1 \text{ avec une probabilité de } \frac{8}{15}, \\
A = 0 \text{ avec une probabilité de } \frac{7}{15}.
\end{aligned}
\]
Exercice 6 : appliquer un programme
Le programme effectue les opérations suivantes :
1. tire un nombre aléatoire \( n \) entre 1 et 10.
2. calcule \( A \) tel que \( A = 5 + n \).
3. calcule \( B \) tel que \( B = 2 \times n \).
Nous cherchons la probabilité que \( A \) soit égal à \( B \).
\[
A = B \implies 5 + n = 2n
\]
En résolvant cette équation :
\[
5 + n = 2n
\]
\[
5 = 2n – n
\]
\[
5 = n
\]
Ainsi, pour que \( A = B \), il faut que \( n = 5 \).
Puisque \( n \) est un nombre entier tiré aléatoirement entre 1 et 10, la probabilité d’obtenir \( n = 5 \) est :
\[
P(n = 5) = \frac{1}{10}
\]
Ainsi, la probabilité que \( A \) soit égal à \( B \) est de \(\frac{1}{10}\) ou 10%.
Exercice 7 : probabilités et crayons
1.a. Recopier et compléter l’arbre suivant :
\[
\begin{array}{c|c|c}
\text{Couleur du toit} \text{Couleur de la porte} \text{Couleur de la fenêtre} \\
\hline
B B B \\
R \\
J \\
\hline
R B B \\
R \\
J \\
R B \\
R \\
J \\
J B \\
R \\
J \\
\hline
J B B \\
R \\
J \\
R B \\
R \\
J \\
J B \\
R \\
J \\
\end{array}
\]
1.b. Le nombre de dessins colorés possibles est donné par \(3\) choix pour le toit, \(3\) choix pour la porte et \(3\) choix pour la fenêtre, soit:
\[
3 \times 3 \times 3 = 27
\]
2. A est l’événement : « L’enfant a utilisé au moins deux couleurs différentes ».
Pour trouver la probabilité de \( \overline{A} \) (l’événement contraire de A, c’est-à-dire l’enfant a utilisé une seule couleur, donc toutes les trois parties de la maison sont de la même couleur):
\[
\overline{A} = \{(B,B,B), (R,R,R), (J,J,J)\}
\]
Le nombre de cas favorables à \(\overline{A}\) est 3.
Donc la probabilité de \(\overline{A}\) est:
\[
P(\overline{A}) = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}
\]
La probabilité de l’événement \(A\) est donc :
\[
P(A) = 1 – P(\overline{A}) = 1 – \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
\]
Exercice 8 : lancer de pièce
1. a. Complétons l’arbre de probabilité :
\[
\begin{array}{ccccc}
\text{1ère épreuve} \text{2ème épreuve} \\
P \to R, V, B, N, J \\
F \to R, V, B, N, J \\
\end{array}
\]
1. b. Combien l’expérience compte-t-elle d’issues ?
Chaque lancer de pièce donne 2 résultats possibles (P ou F) et chaque tirage de boule donne 5 résultats possibles (R, V, B, N, J).
Donc le nombre total d’issues de l’expérience est :
\[
2 \times 5 = 10 \text{ issues}
\]
2. Probabilités des événements donnés :
\(E_1 : \text{Obtenir la couleur rouge}\)
Puisque chaque boule a une probabilité égale d’être tirée:
\[
P(E_1) = \frac{1}{5} \text{ pour P} + \frac{1}{5} \text{ pour F} = \frac{1}{10} \text{ pour P} + \frac{1}{10} \text{ pour F} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}
\]
\(E_2 : \text{Ne pas obtenir la couleur jaune}\)
La probabilité d’obtenir chaque couleur autre que le jaune est:
\[
P(\text{couleur autre que jaune pour P}) = \frac{4}{5}
\]
et
\[
P(\text{couleur autre que jaune pour F}) = \frac{4}{5}
\]
Donc :
\[
P(E_2) = \frac{4}{10} \text{ pour P} + \frac{4}{10} \text{ pour F} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}
\]
Exercice 9 : galettes et probabilités
1.a. Complétion de l’arbre :
– A –> A, B, C, D
– B –> A, B, C, D
– C –> A, B, C, D
– D –> A, B, C, D
L’arbre est complété en listant toutes les branches possibles pour chaque option initiale.
1.b. Nombre d’issues possibles pour la répartition des deux fèves :
Il y a 4 options pour la fève dans la galette frangipane et 4 options pour la fève dans la galette briochée. Donc le nombre d’issues est \(4 \times 4 = 16\).
2. Probabilités des événements :
Soit \(\Omega\) l’ensemble des issues possibles. On a \(|\Omega| = 16\).
2.a. \( E : \text{« Anissa a les deux fèves »} \)
Il y a une seule issue où Anissa a les deux fèves : (A, A).
\[ P(E) = \frac{1}{16} \]
2.b. \( F : \text{« Baptiste n’a pas de fève »} \)
Pour que Baptiste n’ait pas de fève, les fèves doivent être distribuées parmi les trois autres amis. Il y a \(3 \times 3 = 9\) issues possibles où Baptiste n’a pas de fève.
\[ P(F) = \frac{9}{16} \]
2.c. \( G : \text{« Coralie a exactement une fève »} \)
Pour que Coralie ait exactement une fève, soit elle l’a dans la galette frangipane ou dans la galette briochée, mais pas les deux. Les deux configurations possibles sont (C, A), (C, B), (C, D) et (A, C), (B, C), (D, C). Donc, il y a 6 issues possibles où Coralie a exactement une fève.
\[ P(G) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \]
2.d. \( H : \text{« Dylan a au moins une fève »} \)
Pour que Dylan ait au moins une fève, soit il l’a dans la galette frangipane ou dans la galette briochée ou dans les deux. Il y a les configurations où Dylan a une fève dans la galette frangipane et une autre personne a celle dans la galette briochée (3 issues) ou Dylan a une fève dans la galette briochée et une autre personne a celle dans la galette frangipane (3 issues), plus l’issue où Dylan a les deux fèves. En total, cela fait \(3 + 3 + 1 = 7\) issues.
\[ P(H) = \frac{7}{16} \]
Exercice 10 : une roue équilibrée
1. Dresser la liste des issues qui réalisent chacun des événements E, F et G.
– \( E \) : « Le numéro repéré est pair »
\[ E = \{2, 4, 6, 8, 10\} \]
– \( F \) : « Le numéro repéré est multiple de 3 »
\[ F = \{3, 6, 9\} \]
– \( G \) : « Le numéro repéré est multiple de 5 »
\[ G = \{5, 10\} \]
2. Dire si les événements sont incompatibles ou non. Justifier la réponse.
a. \( E \) et \( F \)
\[ E \cap F = \{6\} \]
Les événements \( E \) et \( F \) ne sont pas incompatibles car ils ont un élément commun (6).
b. \( E \) et \( G \)
\[ E \cap G = \{10\} \]
Les événements \( E \) et \( G \) ne sont pas incompatibles car ils ont un élément commun (10).
c. \( F \) et \( G \)
\[ F \cap G = \{\} \]
Les événements \( F \) et \( G \) sont incompatibles car ils n’ont aucun élément commun.
3. Donner la probabilité de chacun des événements \( E \), \( F \) et \( G \).
– \( E \) : « Le numéro repéré est pair »
\[ P(E) = \frac{\text{Nombre d’issues favorables à } E}{\text{Nombre total d’issues}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]
– \( F \) : « Le numéro repéré est multiple de 3 »
\[ P(F) = \frac{\text{Nombre d’issues favorables à } F}{\text{Nombre total d’issues}} = \frac{3}{10} \]
– \( G \) : « Le numéro repéré est multiple de 5 »
\[ P(G) = \frac{\text{Nombre d’issues favorables à } G}{\text{Nombre total d’issues}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]
Exercice 11 : hasard et jeu de cartes
1.a. L’expérience compte 32 issues, une pour chaque carte du jeu.
1.b. La probabilité de chaque issue est:
\[ \frac{1}{32} \]
2.a. Les issues qui réalisent chacun des événements :
– \( E \) : « La couleur de la carte tirée est rouge (cœur ou carreau) »
Les cartes rouges sont : As de cœur, 2 de cœur, 3 de cœur, 4 de cœur, 5 de cœur, 6 de cœur, 7 de cœur, 8 de cœur, 9 de cœur, 10 de cœur, Valet de cœur, Dame de cœur, Roi de cœur, et les mêmes pour le carreau (14 cartes en tout).
Les issues qui réalisent \( E \) sont donc :
\[ \text{14 cartes rouges : } \{ \text{A}^\heartsuit, 2^\heartsuit, \ldots, 10^\heartsuit, \text{V}^\heartsuit, \text{D}^\heartsuit, \text{R}^\heartsuit, \text{A}^\diamondsuit, 2^\diamondsuit, \ldots, 10^\diamondsuit, \text{V}^\diamondsuit, \text{D}^\diamondsuit, \text{R}^\diamondsuit \} \]
– \( F \) : « La carte tirée est un As »
Les As sont : As de cœur, As de carreau, As de pique, As de trèfle (4 cartes en tout).
Les issues qui réalisent \( F \) sont donc :
\[ \text{4 As : } \{ \text{A}^\heartsuit, \text{A}^\diamondsuit, \text{A}^\spadesuit, \text{A}^\clubsuit \} \]
2.b. La probabilité de chacun des événements est :
– Pour \( E \) : « La couleur de la carte tirée est rouge »
\[ P(E) = \frac{14}{32} = \frac{7}{16} \]
– Pour \( F \) : « La carte tirée est un as »
\[ P(F) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \]
3. Oui, il existe des issues qui réalisent les deux événements \( E \) et \( F \) en même temps.
Les issues sont les As rouges :
\[ \{ \text{A}^\heartsuit, \text{A}^\diamondsuit \} \]
La probabilité de tirer une carte qui réalise les deux événements \( E \) et \( F \) en même temps est :
\[ P(E \cap F) = \frac{2}{32} = \frac{1}{16} \]
Exercice 12 : sac de jetons numérotés
1. Dans chaque cas, indiquer les issues qui réalisent l’événement :
– \( E_1 \) : « Obtenir un multiple de 2 » ;
\[
\{2, 4, 6, 8\}
\]
– \( E_2 \) : « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 » ;
\[
\{4, 5, 6, 7, 8\}
\]
– \( E_3 \) : « Obtenir un nombre pair supérieur ou égal à 4 ».
\[
\{4, 6, 8\}
\]
2. Donner l’écriture décimale de chaque probabilité.
– \( P(E_1) \) :
\[
P(E_1) = \frac{\text{Nombre d’issues favorables à } E_1}{\text{Nombre total d’issues}} = \frac{4}{8} = 0.5
\]
– \( P(E_2) \) :
\[
P(E_2) = \frac{\text{Nombre d’issues favorables à } E_2}{\text{Nombre total d’issues}} = \frac{5}{8} = 0.625
\]
– \( P(E_3) \) :
\[
P(E_3) = \frac{\text{Nombre d’issues favorables à } E_3}{\text{Nombre total d’issues}} = \frac{3}{8} = 0.375
\]
Exercice 13 : les faces d’un dé équilibré
\[\]Correction de l’exercice :\[\]
1. a. Les issues de cette expérience sont les lettres qui apparaissent sur chaque face du dé, soit :
\[
\{A, R, M, U, R, E\}.
\]
1. b. Étant donné que le dé est équilibré, la probabilité d’apparition de chaque lettre est la même. Le dé a 6 faces, donc pour chaque lettre :
\[
\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(M) = \mathbb{P}(U) = \mathbb{P}(R) = \mathbb{P}(E) = \frac{1}{6}.
\]
Cependant, comme il y a deux lettres ‘R’, la probabilité pour ‘R’ est :
\[
\mathbb{P}(R) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.
\]
Les autres probabilités restent inchangées :
\[
\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(M) = \mathbb{P}(U) = \mathbb{P}(E) = \frac{1}{6}.
\]
2. a. Probabilité de l’événement \(E_1\) : « Obtenir une lettre du mot RAMEUR » :
Les lettres du mot « RAMEUR » sont \{R, A, M, E, U\}. Donc les lettres concernées sont toutes les lettres du dé. Ainsi, la probabilité de \(E_1\) est de 1 :
\[
\mathbb{P}(E_1) = 1.
\]
2. b. Probabilité de l’événement \(E_2\) : « Obtenir une lettre du mot COTON » :
Aucune lettre du mot « COTON » ne figure parmi les lettres du dé (ARMURE). Donc la probabilité de \(E_2\) est de 0 :
\[
\mathbb{P}(E_2) = 0.
\]
2. c. Probabilité de l’événement \(E_3\) : « Obtenir une lettre du mot MALIN » :
Les lettres du mot « MALIN » sont \{M, A, L, I, N\}. Parmi elles, seules les lettres \{A, M\} sont présentes dans ARMURE. Donc, la probabilité de \(E_3\) est la somme des probabilités de ‘A’ et ‘M’ :
\[
\mathbb{P}(E_3) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(M) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}.
\]
2. d. Probabilité de l’événement \(E_4\) : « Obtenir une consonne » :
Les consonnes dans le mot ARMURE sont \{R, M, R\}. Donc, en tenant compte de la double occurrence de ‘R’ :
\[
\mathbb{P}(E_4) = \mathbb{P}(R) + \mathbb{P}(M) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}.
\]
Exercice 14 : la roue de loterie
Soit \( E \) l’événement « Le numéro repéré est divisible par 4 ».
Les numéros disponibles sur la roue sont : \(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\).
Voyons quels numéros sont divisibles par 4:
– \(2 : 4 = 0.5\) n’est pas divisible par 4.
– \(4 : 4 = 1\) est divisible par 4.
– \(6 : 4 = 1.5\) n’est pas divisible par 4.
– \(8 : 4 = 2\) est divisible par 4.
– \(10 : 4 = 2.5\) n’est pas divisible par 4.
– \(12 : 4 = 3\) est divisible par 4.
– \(14 : 4 = 3.5\) n’est pas divisible par 4.
– \(16 : 4 = 4\) est divisible par 4.
Les numéros divisibles par 4 sont donc : \(4, 8, 12, 16\).
Le nombre total de numéros sur la roue est de 8.
La probabilité de l’événement \( E \) est donnée par le rapport du nombre de numéros favorables à l’événement sur le nombre total de numéros. Donc :
\[
P(E) = \frac{\text{Nombre de numéros divisibles par 4}}{\text{Nombre total de numéros}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]
L’événement contraire \( E’ \) est « Le numéro repéré n’est pas divisible par 4 ».
Les numéros non divisibles par 4, comme nous l’avons vu, sont : \(2, 6, 10, 14\).
Le nombre total de ces numéros est également de 4.
La probabilité de l’événement contraire \( E’ \) est donc :
\[
P(E’) = \frac{\text{Nombre de numéros non divisibles par 4}}{\text{Nombre total de numéros}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]
On a montré que \( P(E) = P(E’) = \frac{1}{2} \).
Ainsi, l’événement \( E \) et son événement contraire ont la même probabilité.
Exercice 15 : probabilités et tableur
Pour déterminer la probabilité que le nombre obtenu soit un multiple de 10, nous devons identifier combien de multiples de 10 se trouvent dans l’intervalle \([1, 100]\).
Les multiples de 10 dans cet intervalle sont : \(10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100\).
Il y en a exactement 10.
Il y a 100 nombres possibles dans l’intervalle \([1, 100]\).
La probabilité de l’événement \(F\) est donc le rapport du nombre de cas favorables (les multiples de 10) au nombre de cas possibles.
\[ P(F) = \frac{\text{nombre de multiples de 10}}{\text{nombre total de nombres}} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} = 0.1 \]
Donc, la probabilité que le nombre obtenu soit un multiple de 10 est \(\boxed{0.1}\) ou \(10\%\).
Exercice 16 : les jetons numérotés d’une urne
Soient l’ensemble des jetons représentés par les nombres de deux chiffres de 00 à 99. On cherche toutes les issues réalisant l’événement \(E\) : « Le chiffre 9 figure au moins une fois dans le numéro ».
Les nombres compris entre 00 et 99 qui contiennent au moins un chiffre 9 sont les suivants :
– Les nombres où le 9 est en première position : \(90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99\).
– Les nombres où le 9 est en deuxième position (et où le premier chiffre n’est pas 9) : \(09, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89\).
En combinant les deux, on obtient la liste suivante :
\[ 09, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 \]
Ainsi, les issues réalisant l’événement \(E\) sont :
\[ \{09, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99\} \]
Exercice 17 : une urne de dix boules
a. L’arbre des issues avec les probabilités :
\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}[grow=right, sloped]
\node[bag] {
child {
node[bag] {P}
edge from parent
node[above] {\[\frac{1}{10}\]}
node[below] {P}
}
child {
node[bag] {M}
edge from parent
node[above] {\[\frac{1}{10}\]}
node[below] {M}
}
child {
node[bag] {I}
child {
node[bag] {\[I_1\]}
edge from parent
node[above] {
node[below] {
}
child {
node[bag] {\[I_2\]}
edge from parent
node[below] {
}
child {
node[bag] {\[I_3\]}
edge from parent
node[below] {
}
edge from parent
node[above] {\[\frac{3}{10}\]}
node[below] {I}
}
child {
node[bag] {S}
child {
node[bag] {\[S_1\]}
edge from parent
node[above] {
node[below] {
}
child {
node[bag] {\[S_2\]}
edge from parent
node[below] {
}
child {
node[bag] {\[S_3\]}
edge from parent
node[below] {
}
child {
node[bag] {\[S_4\]}
edge from parent
node[below] {
}
child {
node[bag] {\[S_5\]}
edge from parent
node[below] {
}
edge from parent
node[above] {\[\frac{5}{10}\]}
node[below] {S}
};
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]
b. Calculer la probabilité de l’événement \(E\) : « La lettre obtenue n’est pas une voyelle ».
Note: Les voyelles dans le mot « MISSISSIPI » sont les ‘I’ et il y en a 3.
Ainsi, la probabilité de choisir une lettre qui n’est pas une voyelle (i.e., une consonne) :
Il y a 7 consonnes (5 ‘S’, 1 ‘M’, 1 ‘P’) dans total de 10 lettres.
\[
\mathbb{P}(E) = \frac{\text{nombre de consonnes}}{\text{nombre total de lettres}} = \frac{7}{10}
\]
Exercice 18 : probabilités et fiche de renseignements
### Correction de l’exercice
#### 1. Probabilité que la fiche soit :
\[\]a. Celle d’une fille qui porte des lunettes :\[\]
Le nombre total de fiches est :
\[ 3 + 15 + 7 + 5 = 30 \]
Le nombre de fiches correspondant à des filles qui portent des lunettes est :
\[ 3 \]
La probabilité est donc :
\[ P(\text{fille qui porte des lunettes}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} = 0.1 \]
\[\]b. Celle d’un garçon :\[\]
Le nombre total de fiches correspondant à des garçons est :
\[ 7 + 5 = 12 \]
Donc la probabilité est :
\[ P(\text{garçon}) = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0.4 \]
#### 2. Nombre d’élèves qui portent des lunettes dans le collège :
Le nombre total d’élèves dans la classe est :
\[ 30 \]
Le nombre d’élèves portant des lunettes dans la classe est :
\[ 3 + 7 = 10 \]
Selon l’énoncé, ces élèves représentent 12,5% de ceux qui en portent dans tout le collège. On note le nombre d’élèves qui portent des lunettes dans tout le collège par \( x \). Nous avons donc l’équation :
\[ 10 = 0.125x \]
Pour trouver \( x \), on résout l’équation :
\[ x = \frac{10}{0.125} = 80 \]
Il y a donc \( \boxed{80} \) élèves qui portent des lunettes dans le collège.
Exercice 19 : station de ski et probabilités
\subsection*{Correction de l’exercice de mathématiques}
\noindent
{1.}
\textit{a. Quelle est la probabilité que la piste empruntée soit une piste rouge ?}
Il y a un total de 5 pistes au sommet de la station : 2 pistes noires, 2 pistes rouges et 1 piste bleue.
La probabilité que Guilhem emprunte une piste rouge est donnée par :
\[
P(\text{piste rouge}) = \frac{\text{nombre de pistes rouges}}{\text{nombre total de pistes}} = \frac{2}{5}
\]
\textit{b. Quelle est la probabilité qu’il emprunte alors une piste bleue ?}
À partir du restaurant, il y a 7 pistes : 3 pistes noires, 1 piste rouge, 1 piste bleue et 2 pistes vertes.
La probabilité que Guilhem emprunte une piste bleue à partir du restaurant est donnée par :
\[
P(\text{piste bleue}) = \frac{\text{nombre de pistes bleues}}{\text{nombre total de pistes}} = \frac{1}{7}
\]
\noindent
{2.}
\textit{Quelle est la probabilité qu’il enchaîne cette fois-ci deux pistes noires ?}
Depuis le haut de la station, Guilhem peut emprunter une des 2 pistes noires parmi les 5 pistes disponibles :
\[
P(\text{piste noire 1}) = \frac{2}{5}
\]
Ensuite, à partir du restaurant, il peut emprunter une des 3 pistes noires parmi les 7 pistes disponibles :
\[
P(\text{piste noire 2}) = \frac{3}{7}
\]
La probabilité qu’il enchaîne deux pistes noires est donc :
\[
P(\text{deux pistes noires}) = P(\text{piste noire 1}) \times P(\text{piste noire 2}) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{6}{35}
\]
Exercice 20 : macarons et probabilité
1. Pour la boîte numéro 1, il y a 12 macarons en tout :
\[ 4 \text{ (chocolat)} + 3 \text{ (café)} + 2 \text{ (vanille)} + 3 \text{ (caramel)} = 12 \text{ macarons} \]
La probabilité de choisir un macaron au café est :
\[ P(\text{café}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0,25 \]
2. Après une heure, il reste les macarons suivants :
– Boîte numéro 1 : 3 (chocolat) + 2 (café) = 5 macarons.
– Boîte numéro 2 : 2 (chocolat) + 1 (fraise) = 3 macarons.
Carole ne veut pas de chocolat. Donc, dans la boîte 1, il reste 2 macarons au café, et dans la boîte 2, il reste 1 macaron à la fraise :
\[ 2 \text{ (café)} + 1 \text{ (fraise)} = 3 \text{ macarons sans chocolat} \]
La probabilité que Carole choisisse un macaron de boîte 1 qu’elle aime (café) est :
\[ P(\text{aime}_1) = \frac{2}{5} \]
et pour la boîte numéro 2 (fraise) :
\[ P(\text{aime}_2) = \frac{1}{3} \]
La probabilité qu’elle obtienne deux macarons qu’elle aime est le produit des deux probabilités :
\[ P(\text{aime}) = P(\text{aime}_1) \times P(\text{aime}_2) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15} \]
Donc, la probabilité qu’elle obtienne deux macarons qui lui plaisent est de :
\[ \frac{2}{15} \approx 0,1333 \]
Exercice 21 : un plateau tournant
1. Probabilité que la boule s’arrête sur la case numérotée 8 :
Il y a 13 cases numérotées de 0 à 12. Chaque case a une probabilité égale d’être atteinte.
La probabilité \( P \) que la boule s’arrête sur la case numérotée 8 est donc :
\[ P(\text{case 8}) = \frac{1}{13} \]
2. Probabilité que le numéro de la case soit un nombre impair :
Les nombres impairs de 0 à 12 sont : 1, 3, 5, 7, 9 et 11. Il y a donc 6 nombres impairs.
La probabilité \( P \) que la boule s’arrête sur une case numérotée par un nombre impair est donc :
\[ P(\text{impair}) = \frac{6}{13} \]
3. Probabilité que le numéro de la case soit un nombre premier :
Les nombres premiers entre 0 et 12 sont : 2, 3, 5, 7 et 11. Il y a donc 5 nombres premiers.
La probabilité \( P \) que la boule s’arrête sur une case numérotée par un nombre premier est donc :
\[ P(\text{nombre premier}) = \frac{5}{13} \]
4. Probabilité que la boule s’arrête à nouveau sur la case 9 au prochain lancer :
Le fait que la boule se soit arrêtée sur la case 9 lors des deux lancers précédents n’influence pas le prochain lancer, puisqu’il s’agit d’un événement indépendant.
La probabilité \( P \) que la boule s’arrête sur la case numérotée 9 au prochain lancer est donc :
\[ P(\text{case 9}) = \frac{1}{13} \]
Qu’elle que soit la fréquence observée précédemment, la probabilité que la boule s’arrête sur la case numérotée 7 ou 9 reste identique au prochain lancer, soit \( \frac{1}{13} \).
En conclusion, il n’y a pas plus de chance que la boule s’arrête sur la case numérotée 9 que sur la case numérotée 7 ou toute autre case. C’est une propriété fondamentale des événements indépendants en probabilité.
Exercice 22 : un sac et des boules indiscernables
1. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ? Écrire le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
Le sac contient 120 boules, dont 30 sont bleues. La probabilité \( P(B) \) de tirer une boule bleue est donnée par le rapport du nombre de boules bleues au nombre total de boules :
\[
P(B) = \frac{30}{120} = \frac{1}{4}
\]
2. Cécile a effectué 20 fois cette expérience aléatoire et elle a obtenu 8 fois une boule verte. Choisir, parmi les réponses suivantes, le nombre de boules vertes contenues dans le sac (aucune justification n’est demandée) :
Pour résoudre ce problème, nous utilisons le fait que la proportion de boules vertes tirées dans l’expérience devrait être approximativement égale à la proportion de boules vertes dans le sac. Ainsi, nous pouvons écrire :
\[ \frac{8}{20} = \frac{x}{120} \]
où \( x \) représente le nombre de boules vertes. En résolvant pour \( x \), nous obtenons :
\[ \frac{8}{20} = \frac{x}{120} \]
\[ x = \frac{8 \times 120}{20} = 48 \]
Ainsi, il y a \( b. 70 \) boules vertes dans le sac.
3. La probabilité de tirer une boule rouge est égale à 0,4.
a. Quel est le nombre de boules rouges dans le sac ?
La probabilité de tirer une boule rouge \( P(R) \) est de 0,4. Étant donné que le nombre total de boules est 120, nous avons :
\[ P(R) = \frac{\text{nombre de boules rouges}}{\text{nombre total de boules}} \]
\[ 0.4 = \frac{\text{nombre de boules rouges}}{120} \]
Nombre de boules rouges \( = 0.4 \times 120 = 48 \)
b. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?
Sachant que le nombre total de boules est 120, et que le nombre de boules rouges est 48 et le nombre de boules bleues est 30, le nombre de boules vertes est :
\[ \text{nombre de boules vertes} = 120 – 48 – 30 = 42 \]
La probabilité \( P(V) \) de tirer une boule verte est donc :
\[ P(V) = \frac{42}{120} = \frac{7}{20} \]
Exercice 23 : gâteau et probabilités
1) Quelles sont les issues de cette expérience ?
Les issues de cette expérience sont les lettres \( \{ B, A1, K, L, A2, V, A3 \} \).
(Note : les lettres « A » sont différentes puisqu’elles apparaissent plusieurs fois, donc on les différencie comme \( A1, A2, A3 \)).
2) Déterminer les probabilités suivantes :
a) La lettre tirée est un L
La probabilité de tirer la lettre L est donnée par :
\[
P(L) = \frac{\text{Nombre de L}}{\text{Nombre total de lettres}} = \frac{1}{7}
\]
b) La lettre tirée n’est pas un A
La probabilité de tirer une lettre qui n’est pas A est donnée par :
\[
P(\text{Non } A) = \frac{\text{Nombre de lettres qui ne sont pas A}}{\text{Nombre total de lettres}} = \frac{4}{7}
\]
3) Enzo achète un sachet contenant 10 baklavas tous indiscernables au toucher. Ce sachet contient 2 baklavas à base de pistaches, 4 baklavas à base de noisettes et les autres baklavas sont à base de noix. Enzo pioche au hasard un gâteau et le mange ; c’est un gâteau à base de noix. Il souhaite en manger un autre. Son amie Laura affirme que, s’il veut maintenant prendre un nouveau gâteau, il aura plus de chances de piocher un gâteau à base de noix. A-t-elle raison ? Justifier la réponse.
Sachant qu’Enzo a déjà mangé un baklava à base de noix, il reste 9 baklavas dans le sachet : 2 à base de pistaches, 4 à base de noisettes, et 3 à base de noix.
La probabilité de piocher un autre baklava à base de noix est donc :
\[
P(\text{Noix}) = \frac{\text{Nombre de baklavas à base de noix restants}}{\text{Nombre total de baklavas restants}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
\]
Avant de manger le premier baklava, la probabilité de choisir un baklava à base de noix était :
\[
P'(\text{Noix}) = \frac{\text{Nombre de baklavas à base de noix}}{\text{Nombre total de baklavas}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}
\]
Comparons les deux probabilités :
\[
\frac{1}{3} \approx 0.33 \quad \text{et} \quad \frac{2}{5} = 0.4
\]
Puisque \( \frac{1}{3} < \frac{2}{5} \), la probabilité de piocher un baklava à base de noix après avoir mangé un premier baklava à base de noix est en fait plus faible qu’avant.
Laura n’a donc pas raison. Enzo a moins de chances de piocher un autre baklava à base de noix maintenant.
Exercice 24 : des urnes et des boules numérotées
1. \[\]A-t-on plus de chance de former un nombre pair que de former un nombre impair ?\[\]
On forme un nombre entier à deux chiffres en tirant au hasard une boule dans chaque urne :
– Le chiffre des dizaines est le numéro de la boule issue de l’urne D.
– Le chiffre des unités est le numéro de la boule issue de l’urne U.
Les boules dans l’urne D sont \( \{2, 3, 1\} \) et celles dans l’urne U \( \{6, 5, 3\} \).
Les nombres pouvant être formés sont :
– Avec \( 2 \) de l’urne D : \( 26, 25, 23 \)
– Avec \( 3 \) de l’urne D : \( 36, 35, 33 \)
– Avec \( 1 \) de l’urne D : \( 16, 15, 13 \)
Nombre de nombres pairs : \( 26, 36, 16 \) soit 3 nombres.
Nombre de nombres impairs : \( 25, 23, 35, 33, 15, 13 \) soit 6 nombres.
On a donc moins de chance de former un nombre pair (\(3\) ) que de former un nombre impair (\(6\)).
{Conclusion :} On n’a pas plus de chance de former un nombre pair qu’un nombre impair.
2. \[\]a. Sans justifier, indiquer les nombres premiers qu’on peut former lors de cette expérience.\[\]
Les nombres premiers pouvant être formés sont : \(23, 13, 31\).
\[\]b. Montrer que la probabilité de former un nombre premier est égale à \(\frac{1}{6}\).\[\]
Nombre total de combinaisons possibles = \(3 \times 3 = 9\).
Les nombres premiers formés sont \(23, 13, 31\), donc il y a 3 combinaisons qui forment des nombres premiers.
Probabilité de former un nombre premier:
\[
P(\text{nombre premier}) = \frac{\text{nombre de nombres premiers}}{\text{nombre total de combinaisons}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.
\]
Or, il devait être \(\frac{1}{6}\) selon la question.
3. \[\]Définir un évènement dont la probabilité de réalisation est égale à \(\frac{1}{3}\).\[\]
Un exemple d’événement avec une probabilité de \(\frac{1}{3}\) pourrait être de former un nombre qui commence par le chiffre \(3\).
Nombre de combinaisons possibles où le nombre commence par \(3\):
\[36, 35, 33\] soit \(3\).
Probabilité :
\[
P(\text{commence par 3}) = \frac{\text{3 nombres}}{\text{9 combinaisons}} = \frac{1}{3}.
Réviser les cours et exercices de maths avec nos Q.C.M :
D'autres outils pour progresser en autonomie :
