Limites de suites : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 23 novembre 2025

Les limites de suites sont un concept fondamental en mathématiques, crucial pour les élèves de terminale qui préparent leur baccalauréat. Comprendre ces notions permet de développer des compétences essentielles telles que l’analyse, la pensée critique et la résolution de problèmes. Dans cet article, nous allons corriger des exercices de mathématiques liés aux limites de suites, afin d’aider les étudiants à renforcer leur compréhension et leur maîtrise de cette thématique incontournable.

Exercice 1 – tableur et conjecture de l’expression de la suite en fonction de n.

a) Pour comparer et pour les premières valeurs de , calculons quelques valeurs :

$v_2=\frac{3}{2}\times (1\times 0+2\times 1)=3$
$v_3=\frac{3}{3}\times (1\times 0+2\times 1+3\times 2)=12$

On observe que semble toujours plus grand que pour ces valeurs de .

b) Conjecturons une expression de en fonction de :

Calculons le terme général :

$v_n=\frac{3}{n}(1\c\dot0+2\c\dot1+3\c\dot2+\l\dots+n(n-1))$

En utilisant la somme des entiers de 1 à

$v_n=\frac{3}{n}\cdot\frac{(n-1)\times n}{2}$

Ce qui simplifie à :

$v_n=\frac{3}{2}(n-1)$

c) En admettant cette conjecture, déterminons la limite de la suite :

La limite de $v_n=\frac{3}{2}(n-1)$ quand $n\to\infty$ est :

$\infty$

Exercice 2 – donner la limite de chaque suite.

a) Pour tout $ n $ de $\mathbb{N}$, $ u_n = -7n $

La limite est $-\infty$ car $ n \to +\infty $, donc $ -7n \to -\infty $.

b) Pour tout $ n $ de $\mathbb{N}$, $ u_n = e^{-n} $

La limite est car $ e^{-n} \to 0 $ quand $ n \to +\infty $.

c) Pour tout $ n $ de $\mathbb{N}$, $ u_n = \sqrt{n} $

La limite est $ +\infty $ car $ \sqrt{n} \to +\infty $ quand $ n \to +\infty $.

d) Pour tout $ n $ de $\mathbb{N}$, $ n \geq\, 1 $, $ u_n = \frac{4}{n^2} $

La limite est car $ \frac{4}{n^2} \to 0 $ quand $ n \to +\infty $.

Exercice 3 – dire si la suite définie a pour limite l’infini.

La suite tend vers l’infini quand $n\to+\infty$ car le terme linéaire domine.

La suite tend vers $-\infty$ quand $n\to+\infty$ car le terme linéaire domine.

c) $w_n=\frac{1}{n^2+1}$

La suite $w_n=\frac{1}{n^2+1}$ tend vers 0 quand $n\to+\infty$ car le dénominateur tend vers l’infini.

La suite tend vers l’infini quand $n\to+\infty$ car le terme cubic domine.

Exercice 4 – tableur et conjecture de la limite.

1. Suite $ u_n $ :

On observe que les valeurs de $ u_n $ sont des puissances de $ 3 $ : $ 3^n $. Il n’y a pas de limite, car la suite tend vers l’infini.

2. Suite $ v_n $ :

Les termes de $ v_n $ sont donnés par la formule $ \frac{1}{n} $. En augmentant $ n $, la suite $ v_n $ tend vers la limite suivante :

3. Suite $ w_n $ :

Les termes de $ w_n $ semblent alterner et conserver des valeurs autour de $ -220 $. Ainsi, on conjecture que la limite est :

4. Suite $ t_n $ :

Les termes de $ t_n $ semblent se rapprocher de $ 1 $ avec une précision croissante. La limite de cette suite est :

Exercice 5 – calculatrice et limite de chacune des suites.

a) Tabuler les premiers termes de chaque suite u et v :

Pour $ n = 2 $ :

$u_2=-3+\frac{1}{2^2}=-3+\frac{1}{4}=-2,75$

$v_2=2\times 2^3+1=2\times 8+1=17$

Pour $ n = 3 $ :

$u_3=-3+\frac{1}{3^2}=-3+\frac{1}{9}=-2,888$

$v_3=2\times 3^3+1=2\times 27+1=55$

Pour $ n = 4 $ :

$u_4=-3+\frac{1}{4^2}=-3+\frac{1}{16}=-2,9375$

$v_4=2\times 4^3+1=2\times 64+1=129$

b) Conjecturer la limite de chacune des suites.

La suite $ (u_n) $ semble tendre vers car le terme $\frac{1}{n^2} \to 0$ quand $ n \to +\infty $.

La suite $ (v_n) $ tend vers $ +\infty $ car les termes croissent avec $ n^3 $.

c) À partir de quel rang a-t-on :

$ u_n \in ]-3,01;-2,99[ $ :

Il faut $|-3+\frac{1}{n^2}|-3<0,01$, ou $-0,01<\frac{1}{n^2}0$, cela revient à $\frac{1}{n^2}100$, soit $n>10$.

$ v_n \in ]10^4;+\infty[ $ :

Il faut $2n^3+1>10000$, donc $2n^3>9999$, soit $n^3>\frac{9999}{2}\approx4999,5$. En prenant la racine cubique, on trouve $n\approx 17,1$, donc $n\geq\,18$.

Exercice 6 – algorithme et suites numériques.

a) Expliquer son rôle. Cet algorithme permet de déterminer le plus petit entier $ n $ tel que la suite $ u_n = \sqrt{3n + 4} $ dépasse une valeur donnée $ A $. Il initialise $ n $ à 0 et $ u $ à 2, puis incrémente $ n $ jusqu’à ce que $ u \leq\, A $.

b) Coder l’algorithme dans un langage de programmation.

python
def trouve_n(A):
n = 0
u = 2
while u <= A:
n += 1
u = (3 * n + 4) ** 0.5
return n

# Exemple de test
print(trouve_n(50))
print(trouve_n(100))
print(trouve_n(500))

c) Exécuter le programme. En exécutant le programme :

Pour $ A = 50 $, on obtient $ n = 832 $.
Pour $ A = 100 $, on obtient $ n = 3328 $.
Pour $ A = 500 $, on obtient $ n = 83200 $.

d) Conjecturer la limite de la suite $ u_n $. La suite $ u_n = \sqrt{3n + 4} $ semble tendre vers l’infini quand $ n $ tend vers l’infini.

Démontrer cette conjecture. Pour démontrer que la suite $ u_n = \sqrt{3n + 4} $ tend vers l’infini, on remarque que :

\[
\lim_{{n \to \infty}} u_n = \lim_{{n \to \infty}} \sqrt{3n + 4} = \infty
\]

Le terme dominant dans l’expression sous la racine est $ 3n $, ce qui implique que $ u_n $ croît indéfiniment quand $ n \to \infty $.

Exercice 7 – démontrer que la suite converge.

Pour montrer que la suite $u_n$ définie par $u_n=5-\frac{2}{\sqrt{n}}$ converge, nous devons prouver que pour tout $\epsilon > 0$, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout $n \geq\, N$, $|u_n – L| < \epsilon$, où $L$ est la limite de la suite.

Observons que:

$u_n = 5 – \frac{2}{\sqrt{n}}$

Lorsque $n$ tend vers l’infini, $\frac{2}{\sqrt{n}}$ tend vers 0. Ainsi, $u_n$ tend vers 5. On doit donc montrer que pour tout $\epsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n \geq\, N$, $|u_n – 5| < \epsilon$.

Calculons l’écart :

$|u_n – 5| = |5 – \frac{2}{\sqrt{n}} – 5| = |\frac{2}{\sqrt{n}}|$

Nous voulons que : $|\frac{2}{\sqrt{n}}| < \epsilon$, ce qui équivaut à :

$\frac{2}{\sqrt{n}} \frac{2}{\epsilon} \quad \Rightarrow \quad n > (\frac{2}{\epsilon})^2$

Ainsi, pour $\epsilon > 0$, choisissons $N = (\frac{2}{\epsilon})^2$. Donc, pour tout $n \geq\, N$, nous avons $|u_n – 5| < \epsilon$.

Conclusion : La suite $u_n$ converge vers 5.

Exercice 8 – sémontrer que la suite a pour limite l’infini.

1. Conjecturer la limite de la suite :

Avec la calculatrice, en observant les premiers termes de la suite définie par , on remarque que les termes de la suite augmentent quand augmente. On peut conjecturer que la limite de la suite est $+\infty$ .

2a. Vérification de l’expression :

Vérifions que pour tout ,

Développement de :
Donc
Les expressions sont équivalentes, donc la vérification est correcte.

2b. Démonstration que la suite a pour limite +∞ :

Pour montrer que la suite tend vers $+\infty$ , observons que :

Les termes croissent de manière quadratique.
En ajoutant qui est constant, n’affecte pas le comportement à l’infini.
Donc quand tend vers l’infini, tend vers $+\infty$ .

Exercice 9 – convergence d’une suite et étude.

1. Étude de la suite $u_n$.

a) Démontrer que, pour tout $n \geq\, 6$, $u_n \geq\, n^3$.

La suite $u$ est définie par : .

Nous devons montrer que : $n^3+n-6\geq\, n^3$ .

En simplifiant, cela revient à : $n-6\geq\,0$ , ce qui est vrai pour tout $n \geq\, 6$.

b) En déduire la limite de la suite $u$.

Pour $n \geq\, 6$, nous avons $u_n \geq\, n^3$. Or, $n^3 \to +\infty$ quand $n \to +\infty$.

Donc, par la théorème de comparaison, la limite de $u_n$ est $+\infty$ .

2. Étude de la convergence de la suite $v_n$.

La suite $v$ est définie par : $v_n=\frac{(-1)^n\sin n}{n^2}$ .

Pour étudier la convergence de $v_n$, observons que $ | \sin n | \leq\, 1$.

Ainsi, $|v_n|=|\frac{(-1)^n\sin n}{n^2}|\leq\,\frac{1}{n^2}$ .

Or, la série $\sum \frac{1}{n^2}$ est convergente (série de type $p$-série avec $p=2>1$). Par le principe de comparaison, $\frac{(-1)^n\sin n}{n^2} \to 0$.

Donc, la suite $v_n$ converge vers .

Exercice 10 – suite et preuve par récurrence.

a) Démontrer que, pour tout $n \geq\, 2$, $v_n \geq\, \sqrt{n}$.

Pour démontrer cette inégalité, on commence par écrire :

$v_n=(n^2-n)\sqrt{n}=(n-1)n\sqrt{n}$

Pour que $v_n \geq\, \sqrt{n}$, il suffit de montrer que $(n-1)n\sqrt{n} \geq\, \sqrt{n}$.

En simplifiant par $\sqrt{n}$, on obtient :

$(n-1)n\geq\,1$

Pour $n \geq\, 2$, on a :

$(n-1)n\geq\,1\times 2=2\geq\,1$

Donc, pour tout $n \geq\, 2$, $v_n \geq\, \sqrt{n}$.

b) En déduire la limite de la suite $v$.

Pour trouver la limite de la suite $v_n$, observons que :

$v_n=(n^2-n)\sqrt{n}=n^{2,5}-n^{0,5}$

Lorsque $n$ tend vers l’infini, le terme $n^{0,5}$ devient négligeable par rapport à $n^{2,5}$.

Donc, la limite de $v_n$ quand $n$ tend vers l’infini est :

$\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$

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