La symétrie centrale en 5ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Construire le symétrique d’une figure par rapport au point I, c’est lui faire faire un demi-tour autour de I. On construit l’image de chaque point important, en utilisant le fait que I est le milieu du segment qui relie un point à son image.

1. Centres des cercles : on trace la demi-droite qui part du centre O du corps et passe par I, puis on reporte au compas la longueur OI de l’autre côté de I. On obtient O′. On trace le cercle de centre O′ de même rayon que le corps. On fait de même pour le centre de la tête.
2. Chapeau, bras, sol : ce sont des segments ; il suffit de construire l’image de leurs extrémités puis de les relier (l’image d’un segment est un segment de même longueur).
3. Yeux, nez, bouche : même méthode, point par point.

On remarque que la figure symétrique est retournée tête en bas : le sol se retrouve au-dessus, le chapeau en dessous, et le bras gauche passe à droite. Les longueurs et les angles sont conservés : les deux bonshommes sont superposables.

Pour chaque sommet M du polygone ABCDEFGHI, on construit son image M′ :

1. on trace la demi-droite [MO) ;
2. au compas, on reporte la longueur MO à partir de O, de l’autre côté : on obtient M′ tel que O soit le milieu de [MM′].

On obtient ainsi A′, B′, C′, D′, E′, F′, G′, H′ et I′, puis on relie les points dans le même ordre : A′B′C′D′E′F′G′H′I′.

Vérification : chaque côté de l’image est parallèle au côté correspondant et de même longueur (par exemple [A′B′] est horizontal, comme [AB], et A′B′ = AB). La figure image est la chaussure retournée d’un demi-tour.

1. Construction. On trace un triangle IJK, on place R sur [IK], puis O au milieu de [JR]. On construit S, symétrique de I par rapport à O (O milieu de [IS]), et T, symétrique de K par rapport à O (O milieu de [KT]).

2. Droites (TI) et (KS). Par la symétrie de centre O, K a pour image T et S a pour image I. Donc le segment [KS] a pour image le segment [TI].

• Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle : (TI) // (KS).
• La symétrie centrale conserve les longueurs : TI = KS.

Autre justification : les diagonales [IS] et [KT] du quadrilatère IKST ont le même milieu O, donc IKST est un parallélogramme ; ses côtés opposés [TI] et [KS] sont parallèles et de même longueur.

3. Égalité d’angles. Par la symétrie de centre O : O a pour image O (le centre est son propre symétrique), I a pour image S et R a pour image J (car O est le milieu de [JR]). L’angle \(\widehat{OIR}\) a donc pour image l’angle \(\widehat{OSJ}\). Or la symétrie centrale conserve les angles, donc :

\[ \widehat{OIR} = \widehat{OSJ} \]

(L’énoncé écrit \(\widehat{OSI}\), mais O, S et I sont alignés, cet angle serait plat : il s’agit bien de l’angle \(\widehat{OSJ}\).)

4. Alignement de S, J et T. R appartient au segment [IK]. Par la symétrie de centre O, le segment [IK] a pour image le segment [ST] (I donne S, K donne T) et R a pour image J. Comme la symétrie centrale conserve l’appartenance d’un point à un segment, J appartient au segment [ST].

1. Construction. On place A, B, I, J non alignés. C est tel que I est le milieu de [AC], D tel que I est le milieu de [BD]. Puis F est tel que J est le milieu de [CF] et E tel que J est le milieu de [DE].

2. Par la symétrie de centre I, A a pour image C et B a pour image D. La demi-droite [AB) (origine A, passant par B) a donc pour image la demi-droite [CD).

Par la symétrie de centre J, C a pour image F et D a pour image E : la demi-droite [CD) a pour image la demi-droite [FE).

3. Une symétrie centrale transforme une demi-droite en une demi-droite parallèle et de sens contraire (demi-tour).

• [AB) et [CD) sont parallèles et de sens contraires ;
• [CD) et [FE) sont parallèles et de sens contraires.

Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles : [AB) et [FE) sont parallèles. Et deux changements de sens successifs ramènent au sens de départ : elles sont de même sens. On le voit sur la figure : [AB) et [FE) « montent » toutes les deux vers la droite.

O est le centre de symétrie d’une figure si le symétrique de la figure par rapport à O est la figure elle-même. Pour compléter, on construit donc le symétrique par rapport à O de la partie déjà dessinée qui n’a pas encore son « partenaire ».

a. Les deux cercles et le segment qui les relie sont déjà symétriques par rapport à O (O est au milieu). Il manque l’image du crochet de droite : ce crochet part vers la droite puis descend ; son symétrique part vers la gauche puis monte.

b. La figure part d’un segment horizontal, descend, puis remonte en oblique jusqu’à O. Son symétrique par rapport à O prolonge l’oblique au-delà de O (vers le haut), puis redescend verticalement et se termine par un segment horizontal en bas à droite.

Attention : les deux dessins du bas de l’énoncé (crochets tous deux vers le bas en a, forme en « W » en b) correspondent à une symétrie axiale par rapport à une droite verticale, pas à une symétrie centrale : ils ne conviennent pas.

La figure comprend une droite, un cercle et un triangle dont S est un sommet. On construit leurs images à la règle et au compas.

1. Le triangle : S est son propre symétrique. Pour les deux autres sommets P et Q, on trace les demi-droites [PS) et [QS), et on reporte au compas les longueurs PS et QS au-delà de S. On obtient P′ et Q′, et le triangle image est SP′Q′.
2. Le cercle : on construit le symétrique Ω′ du centre Ω, puis on trace le cercle de centre Ω′ de même rayon (on prend le rayon au compas sur le cercle de départ).
3. La droite : on choisit deux points de la droite, on construit leurs symétriques et on trace la droite qui passe par ces deux images. Elle est parallèle à la droite de départ.

1. Construction de la figure.

• On trace le segment [AB] de 5 cm.
• Au rapporteur, on trace en A un angle de 30° et en B un angle de 45°, du même côté de (AB) ; les deux côtés se coupent en C. On peut vérifier que \(\widehat{ACB} = 180^\circ – 30^\circ – 45^\circ = 105^\circ\).
• On place le milieu de [AB] (à 2,5 cm de A) et on trace au compas le demi-cercle de diamètre [AB] (rayon 2,5 cm), de l’autre côté de (AB) par rapport à C.

2. Symétrique par rapport à O. On construit A′, B′ et C′, symétriques de A, B et C (O milieu de [AA′], [BB′], [CC′]). Le triangle A′B′C′ a les mêmes angles (30° en A′, 45° en B′) et A′B′ = 5 cm. Le demi-cercle image a pour diamètre [A′B′] : son centre est le milieu de [A′B′] et son rayon 2,5 cm, et il est tourné de l’autre côté (vers le bas).

Le chat est un polygone à 16 sommets A, B, C, …, P. Pour chacun, on construit son symétrique par rapport à Q : on trace la demi-droite issue du sommet passant par Q, et on reporte la même longueur au-delà de Q (Q est le milieu de [AA′], [BB′], etc.). On relie ensuite A′, B′, …, P′ dans le même ordre.

Comme Q est à droite et en bas du chat, le chat image se trouve encore plus à droite et plus bas, tête en bas : les oreilles A′ et D′ sont en bas, les pattes L′ et M′ en haut. Contrôle rapide : [LM] étant horizontal, [L′M′] l’est aussi, et L′M′ = LM.

1. Construction de la figure.

• On trace [AB] de 6 cm et on place C, milieu de [AB] : AC = CB = 3 cm.
• Le triangle ACD est rectangle isocèle en D : on trace en A et en C deux angles de 45° au rapporteur ; les côtés se coupent en D. (D est à 1,5 cm au-dessus du milieu de [AC], et AD = CD ≈ 2,1 cm.)
• Du côté opposé à D, on trace le demi-cercle de diamètre [AB] (centre C, rayon 3 cm) et le demi-cercle de diamètre [CB] (centre au milieu de [CB], rayon 1,5 cm).

2. Symétrique par rapport à O. On construit A′, B′, C′ et D′, symétriques de A, B, C et D par rapport à O. Le triangle A′C′D′ est lui aussi rectangle isocèle en D′. Les demi-cercles images ont pour diamètres [A′B′] (centre C′, rayon 3 cm) et [C′B′] (rayon 1,5 cm) ; ils sont tournés vers le haut puisque la figure fait un demi-tour.

Sur quadrillage, pas besoin de compas : on compte les carreaux. Si un sommet est à 3 carreaux à gauche et 2 carreaux en haut de O, son image est à 3 carreaux à droite et 2 carreaux en bas de O. Sur le réseau triangulaire, on fait pareil en suivant les lignes du réseau : on compte les pas de O jusqu’au point et on refait les mêmes pas dans le sens opposé.

Partie 1 : symétriques par rapport à O (images en rouge).

Quand O est un sommet de la figure (figures 3 et 4), O reste à sa place : la figure et son image se touchent en O.

Partie 2 : réseaux triangulaires (images en rouge).

Partie 3 : symétrique par rapport à O (en rouge) et par rapport à la droite d (en bleu), chacun construit à partir de la figure de départ.

On compare les deux images : par la symétrie axiale (bleu), la figure est retournée comme dans un miroir ; par la symétrie centrale (rouge), elle fait un demi-tour et se retrouve tête en bas. Pour la droite diagonale, on compte les carreaux perpendiculairement à d : un point situé à 2 diagonales de carreau d’un côté de d se retrouve à 2 diagonales de l’autre côté.