Fonctions usuelles en 1ère : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

On exprime chaque fonction puis on repère le sommet et l’orientation de la parabole.

• \(u(x)=x^2-1\) : sommet \((0\,;\,-1)\), tournée vers le haut, coupe l’axe des abscisses en \(-1\) et \(1\). C’est la parabole de sommet \((0\,;\,-1)\) (en orange sur la fiche).
• \(-u(x)=-x^2+1\) : sommet \((0\,;\,1)\), tournée vers le bas, passe aussi par \((-1\,;\,0)\) et \((1\,;\,0)\). C’est la parabole « en cloche » qui descend rapidement.
• \((u+2)(x)=x^2+1\) : c’est la courbe de \(u\) translatée de 2 unités vers le haut, de sommet \((0\,;\,1)\), tournée vers le haut ; elle ne coupe pas l’axe des abscisses.
• \(-\dfrac{1}{4}u(x)=-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{4}\) : sommet \(\left(0\,;\,\dfrac{1}{4}\right)\), tournée vers le bas et très aplatie ; elle passe par \((\pm1\,;\,0)\) et par \((\pm3\,;\,-2)\). C’est la courbe rouge.

Remarque : \(u\), \(-u\) et \(-\dfrac{1}{4}u\) s’annulent toutes en \(-1\) et \(1\) : multiplier par un réel ne change pas les points où la fonction vaut 0.

1) a) Dans GeoGebra : on saisit f(x)=sqrt(x), on place A=(2,0), puis un point M sur la courbe (« Point sur objet ») et on affiche Distance(A,M).

b) En déplaçant \(M\), la distance \(AM\) passe par une plus petite valeur, environ \(1{,}32\), lorsque l’abscisse de \(M\) est voisine de \(1{,}5\).

2) Avec \(A(2\,;\,0)\) et \(M(x\,;\,\sqrt{x})\), \(x\geqslant 0\), dans un repère orthonormé :

\[ \begin{aligned} AM^2 &= (x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2 \\ &= x^2-4x+4+x \\ &= x^2-3x+4 \end{aligned} \]

Une distance est positive, donc \(AM=\sqrt{x^2-3x+4}\).

3) La fonction racine carrée est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(AM\) est minimale quand \(g(x)=x^2-3x+4\) l’est. Forme canonique :

\[ g(x)=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+4=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4} \]

\(g\) atteint son minimum \(\dfrac{7}{4}\) en \(x=\dfrac{3}{2}\) (qui appartient bien à \([0\,;\,+\infty[\)). Alors \(AM=\sqrt{\dfrac{7}{4}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\approx1{,}32\) et \(M\left(\dfrac{3}{2}\,;\,\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)=\left(\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)\).

D’après le tableau : \(f\) décroît de 3 à \(-2\) sur \([-4\,;\,-1]\), croît de \(-2\) à 1 sur \([-1\,;\,2]\), décroît de 1 à \(-5\) sur \([2\,;\,5]\). On suppose les variations strictes, comme l’indiquent les flèches.

1) \(f(0)\lt f(1)\) : vrai. \(0\) et \(1\) sont dans \([-1\,;\,2]\) où \(f\) est croissante, et \(0\lt 1\).

2) \(f(-3)\lt f(4)\) : on ne peut pas savoir. \(f(-3)\in\,]-2\,;\,3[\) et \(f(4)\in\,]-5\,;\,1[\) : les intervalles se chevauchent, les deux ordres sont possibles.

3) \(f(0)\gt f(5)\) : vrai. Sur \([-1\,;\,2]\), \(f\) croît donc \(f(0)\gt f(-1)=-2\), et \(-2\gt -5=f(5)\).

4) \(f(3)\lt f(5)\) : faux. \(f\) est décroissante sur \([2\,;\,5]\) et \(3\lt 5\), donc \(f(3)\gt f(5)\).

5) \(f(2)\gt f(-3)\) : on ne peut pas savoir. \(f(2)=1\), mais \(f(-3)\) est seulement compris entre \(-2\) et \(3\) : il peut être plus petit ou plus grand que 1.

6) \(f(3)\lt f(4)\) : faux. Même raison qu’au 4) : \(f(3)\gt f(4)\).

1) \(f(x)=-2x+5\) est affine de coefficient directeur \(-2\lt 0\) : \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).

2) \(g(x)=x^2\) est la fonction carré : décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Justification : si \(0\leqslant a\lt b\), \(b^2-a^2=(b-a)(b+a)\gt 0\) ; si \(a\lt b\leqslant 0\), \(b-a\gt 0\) et \(b+a\lt 0\) donc \(b^2-a^2\lt 0\).

3) \(h(x)=3x-7\) est affine de coefficient directeur \(3\gt 0\) : \(h\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

4) \(l(x)=\dfrac{1}{x}\) est la fonction inverse. Pour \(a\) et \(b\) non nuls de même signe, \(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}=\dfrac{a-b}{ab}\) ; si \(a\lt b\), le numérateur est négatif et \(ab\gt 0\), donc \(\dfrac{1}{b}\lt\dfrac{1}{a}\). \(l\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et sur \(]0\,;\,+\infty[\) (mais pas sur leur réunion).

1) \(0\lt 1{,}15\lt 1{,}3\) et la fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(1{,}15^2\lt 1{,}3^2\).

2) \(-2{,}05\lt -1{,}99\lt 0\) et la fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) : l’ordre est inversé, \((-2{,}05)^2\gt(-1{,}99)^2\).

3) \(0\lt\sqrt{2}+1\lt\sqrt{2}+3\) et la fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) : \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\gt\dfrac{1}{\sqrt{2}+3}\).

4) \(0\lt 0{,}7\lt 0{,}8\), donc par décroissance de la fonction inverse \(\dfrac{1}{0{,}7}\gt\dfrac{1}{0{,}8}\). En multipliant par \(-1\), l’ordre change encore : \(-\dfrac{1}{0{,}8}\gt-\dfrac{1}{0{,}7}\).

A. Équations (avec \(x\neq 0\)).

1) \(\dfrac{1}{x}=-2\iff x=-\dfrac{1}{2}\). 2) \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{4}\iff x=\dfrac{4}{3}\). 3) \(\dfrac{-3}{x}=\dfrac{1}{5}\iff x=-15\).

B. Encadrements de \(\dfrac{1}{x}\). La fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) et sur \(]-\infty\,;\,0[\) : sur chacun, elle renverse l’ordre.

1) \(2\leqslant x\leqslant 5\Rightarrow \dfrac{1}{5}\leqslant\dfrac{1}{x}\leqslant\dfrac{1}{2}\).

2) \(-4\lt x\lt-\dfrac{1}{2}\Rightarrow -2\lt\dfrac{1}{x}\lt-\dfrac{1}{4}\).

3) \(10^2\leqslant x\leqslant10^4\Rightarrow 10^{-4}\leqslant\dfrac{1}{x}\leqslant10^{-2}\).

4) \(-1\lt x\lt-10^{-2}\Rightarrow -10^{2}\lt\dfrac{1}{x}\lt-1\), soit \(-100\lt\dfrac{1}{x}\lt-1\).

C. Inéquations graphiques.

1) \(x^2\gt 1\) : la parabole est strictement au-dessus de la droite \(y=1\) à l’extérieur de ses points d’intersection \((-1\,;\,1)\) et \((1\,;\,1)\) : \(S=\,]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[\).

2) \(x^2\leqslant 4\) : la parabole est sous la droite \(y=4\) entre \(-2\) et \(2\) : \(S=[-2\,;\,2]\).

3) \(\dfrac{1}{x}\gt 2\) : l’hyperbole est au-dessus de \(y=2\) seulement pour \(0\lt x\lt\dfrac{1}{2}\) (pour \(x\lt 0\), \(\frac{1}{x}\) est négatif) : \(S=\left]0\,;\,\dfrac{1}{2}\right[\).

4) \(\dfrac{1}{x}\leqslant\dfrac{1}{2}\) : vrai pour tout \(x\lt 0\) (\(\frac{1}{x}\) négatif) et pour \(x\geqslant 2\) : \(S=\,]-\infty\,;\,0[\,\cup\,[2\,;\,+\infty[\).

A. Images par la fonction racine carrée.

\(\sqrt{49}=7\) ; \(\sqrt{100}=10\) ; \(\sqrt{\dfrac{4}{25}}=\dfrac{2}{5}\) ; \(\sqrt{10^8}=10^4\) ; \(\sqrt{4\times10^{-6}}=2\times10^{-3}\).

B. Antécédents. \(\sqrt{x}=k\) a une solution si et seulement si \(k\geqslant 0\), et c’est \(x=k^2\).

3 a pour antécédent 9 ; 0 a pour antécédent 0 ; \(\sqrt{5}\) a pour antécédent 5 ; \(-1\) n’a aucun antécédent (une racine carrée est positive) ; \(10^{-2}\) a pour antécédent \(10^{-4}\).

C. Calculs de valeurs absolues. \(|a|=a\) si \(a\geqslant 0\) et \(|a|=-a\) si \(a\lt 0\).

\(|8|=8\) ; \(|0|=0\) ; \(|-2^2|=|-4|=4\) (attention : \(-2^2=-4\)) ; \(|6-2\pi|=2\pi-6\) car \(2\pi\approx6{,}28\gt 6\) ; \(|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1\) car \(\sqrt{2}\gt 1\).

D. Valeurs absolues.

\(|-4|=4\) ; \(|(-3)^2|=|9|=9\) ; \(|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5}\) car \(\sqrt{5}\lt\sqrt{9}=3\) ; \(|1-\pi|=\pi-1\) ; \(|2-\sqrt{2}|=2-\sqrt{2}\) car \(\sqrt{2}\lt 2\) ; \(|(-1)^5|=|-1|=1\).

A. Équations. \(|x|\) est la distance de \(x\) à 0.

1) \(|x|=5\iff x=-5\) ou \(x=5\). 2) \(|x|=\sqrt{2}\iff x=-\sqrt{2}\) ou \(x=\sqrt{2}\). 3) \(|x|=-\pi\) : aucune solution, une valeur absolue est positive.

B. Comparaisons avec \(0\lt a\lt b\lt 3\).

1. La racine carrée est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(\sqrt{a}\lt\sqrt{b}\).
2. Puis l’inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) : \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\gt\dfrac{1}{\sqrt{b}}\).
3. \(a\) et \(b\) sont positifs : \(|a|=a\), \(|b|=b\), donc \(|a|\lt|b|\).
4. Le carré est croissant sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(a^2\lt b^2\).
5. Puis l’inverse décroît : \(\dfrac{1}{a^2}\gt\dfrac{1}{b^2}\).
6. En multipliant par \(-4\lt 0\), l’ordre s’inverse : \(\dfrac{-4}{a^2}\lt\dfrac{-4}{b^2}\).
7. Ajouter \(-1\) conserve l’ordre : \(\sqrt{a}-1\lt\sqrt{b}-1\).
8. \(a-3\lt 0\) et \(b-3\lt 0\), donc \(|a-3|=3-a\) et \(|b-3|=3-b\) ; comme \(a\lt b\), \(3-a\gt 3-b\) : \(|a-3|\gt|b-3|\).
9. \(|3-a|=|a-3|\) : même résultat, \(|3-a|\gt|3-b|\).
10. \(|a|\lt|b|\) et on multiplie par \(-2\lt 0\) : \(-2|a|\gt-2|b|\).

A. \(u\) est croissante sur \(I\) : si \(a\lt b\) dans \(I\), alors \(u(a)\leqslant u(b)\).

• Ajouter une constante ne change pas le sens : \(u-2\) et \(u+3\) sont croissantes.
• Multiplier par un réel négatif inverse le sens : \(-3u\) et \(-7u\) sont décroissantes.
• \(-2u+8\) : on multiplie par \(-2\) (le sens s’inverse) puis on ajoute 8 : décroissante.
• \(4u-1\) : on multiplie par \(4\gt 0\) puis on ajoute \(-1\) : croissante.

B. \(u\) est strictement positive et décroissante sur \(I\) : si \(a\lt b\), alors \(u(a)\geqslant u(b)\gt 0\).

• La fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) : \(\dfrac{1}{u(a)}\leqslant\dfrac{1}{u(b)}\), donc \(\dfrac{1}{u}\) est croissante.
• \(-\dfrac{2}{u}=-2\times\dfrac{1}{u}\) : on multiplie une fonction croissante par \(-2\), donc \(-\dfrac{2}{u}\) est décroissante.
• La racine carrée est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(\sqrt{u(a)}\geqslant\sqrt{u(b)}\), donc \(\sqrt{u}\) est décroissante (même sens que \(u\)).

A. Comparer sans calculatrice. Si \(0\lt x\lt 1\), alors \(x^2\lt x\lt\sqrt{x}\) ; si \(x\gt 1\), alors \(\sqrt{x}\lt x\lt x^2\).

1) \(0\lt 0{,}3\lt 1\) : \(0{,}3^2\lt 0{,}3\lt\sqrt{0{,}3}\). 2) \(1{,}2\gt 1\) : \(\sqrt{1{,}2}\lt 1{,}2\lt 1{,}2^2\).

Justification pour \(0\lt x\lt 1\) : \(x-x^2=x(1-x)\gt 0\), et en appliquant ce résultat à \(\sqrt{x}\) : \(\sqrt{x}\gt(\sqrt{x})^2=x\).

B. Encadrer \(\sqrt{x}\) (la racine carrée est croissante, elle conserve l’ordre).

1) \(0\lt x\lt 4\Rightarrow 0\lt\sqrt{x}\lt 2\). 2) \(0\leqslant x\leqslant 0{,}04\Rightarrow 0\leqslant\sqrt{x}\leqslant 0{,}2\). 3) \(1\leqslant x\lt 9\times10^6\Rightarrow 1\leqslant\sqrt{x}\lt 3\times10^3=3\,000\).

C. Avec \(0\leqslant x\leqslant 9\), donc \(0\leqslant\sqrt{x}\leqslant 3\) :

1) \(-5\leqslant\sqrt{x}-5\leqslant-2\).

2) \(-6\leqslant-2\sqrt{x}\leqslant 0\) (ordre inversé), donc \(-5\leqslant-2\sqrt{x}+1\leqslant 1\).

3) \(-9\leqslant-x\leqslant 0\), donc \(1\leqslant 10-x\leqslant 10\) et \(1\leqslant\sqrt{10-x}\leqslant\sqrt{10}\).

4) \(1\leqslant\sqrt{x}+1\leqslant 4\), donc \(1\leqslant\sqrt{\sqrt{x}+1}\leqslant 2\).

5) \(0\leqslant x^2\leqslant 81\) (carré croissant sur \([0\,;\,+\infty[\)), \(19\leqslant x^2+19\leqslant 100\), \(\sqrt{19}\leqslant\sqrt{x^2+19}\leqslant 10\), donc \(-10\leqslant-\sqrt{x^2+19}\leqslant-\sqrt{19}\).

D. 1) \(Y-X=(a+b)^2-(a^2+b^2)=2ab\). Comme \(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\), \(2ab\geqslant 0\), donc \(X\leqslant Y\).

2) \(0\leqslant X\leqslant Y\) et la fonction racine carrée est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc \(\sqrt{X}\leqslant\sqrt{Y}\), c’est-à-dire \(\sqrt{a^2+b^2}\leqslant\sqrt{(a+b)^2}=a+b\) (car \(a+b\geqslant 0\)).