La dérivée en 1ère : corrigé détaillé des exercices 1 à 10 de la fiche

On lit les variations de \(f\) sur la courbe, puis on utilise : \(f\) croissante sur un intervalle \(\Rightarrow f^{\prime}\geqslant 0\) ; \(f\) décroissante \(\Rightarrow f^{\prime}\leqslant 0\) ; tangente horizontale \(\Rightarrow f^{\prime}=0\).

• Sur \(]-\infty\,;\,1[\), \(f\) est croissante ; la courbe a une tangente horizontale en 0 (elle s’aplatit sans changer de sens). Donc \(f^{\prime}(x)\gt 0\) sauf en 0 où \(f^{\prime}(0)=0\).
• Sur \(]1\,;\,2]\), \(f\) est décroissante : \(f^{\prime}(x)\lt 0\).
• En \(x=2\), la courbe admet un minimum (tangente horizontale) : \(f^{\prime}(2)=0\).
• Sur \([2\,;\,+\infty[\), \(f\) est croissante : \(f^{\prime}(x)\gt 0\).

La double barre en 1 rappelle que \(f\) (donc \(f^{\prime}\)) n’est pas définie en 1. Les valeurs 0 et 2 sont des lectures graphiques.

La courbe \(\mathcal{C}_{f^{\prime}}\) coupe l’axe des abscisses en \(-2\) et en \(1\) : \(f^{\prime}\) est positive sur \(]-\infty\,;\,-2]\), négative sur \([-2\,;\,1]\) et positive sur \([1\,;\,+\infty[\).

La fonction cherchée est donc croissante, puis décroissante, puis croissante, avec un maximum local en \(-2\) et un minimum local en 1.

• \(\mathcal{C}_1\) : maximum en \(-2\), minimum en 1 : convient.
• \(\mathcal{C}_2\) : minimum en \(-2\) puis maximum vers 1 : c’est l’inverse, ne convient pas.
• \(\mathcal{C}_3\) : un seul minimum vers \(-0{,}5\) : ne convient pas.

Mise en place. Le sommet \(S\) est sur la sphère, la base est le disque de centre \(H\) et de rayon \(r=HA\), avec \(A\) sur la sphère. On note \(x=HO\), \(H\) étant sous \(O\) comme sur la figure. Le triangle \(OHA\) est rectangle en \(H\) et \(OA=R\).

Approche 1 : variable \(x=HO\), \(x\in[0\,;\,R[\). D’après Pythagore, \(r^2=R^2-x^2\), et la hauteur vaut \(SH=R+x\). Donc :

\[ V(x)=\frac{1}{3}\pi r^2\times SH=\frac{\pi}{3}(R^2-x^2)(R+x) \]

En développant, \(V(x)=\dfrac{\pi}{3}\left(-x^3-Rx^2+R^2x+R^3\right)\), d’où :

\[ V^{\prime}(x)=\frac{\pi}{3}\left(-3x^2-2Rx+R^2\right)=\frac{\pi}{3}(R+x)(R-3x) \]

Sur \([0\,;\,R[\), \(R+x\gt 0\) : \(V^{\prime}(x)\) a le signe de \(R-3x\), positif pour \(x\lt\dfrac{R}{3}\), négatif ensuite. \(V\) est croissante sur \(\left[0\,;\,\frac{R}{3}\right]\) puis décroissante : maximum en \(x=\dfrac{R}{3}\).

\[ V\left(\frac{R}{3}\right)=\frac{\pi}{3}\left(R^2-\frac{R^2}{9}\right)\left(R+\frac{R}{3}\right)=\frac{\pi}{3}\times\frac{8R^2}{9}\times\frac{4R}{3}=\frac{32\pi R^3}{81} \]

Approche 2 : variable \(r=HA\), \(r\in\,]0\,;\,R]\). On a \(HO=\sqrt{R^2-r^2}\) et \(V(r)=\dfrac{\pi}{3}r^2\left(R+\sqrt{R^2-r^2}\right)\). La dérivée fait intervenir \(\sqrt{R^2-r^2}\), dont la dérivée \(\dfrac{-r}{\sqrt{R^2-r^2}}\) relève de la terminale (composée) ; en posant \(s=\sqrt{R^2-r^2}\), l’équation \(V^{\prime}(r)=0\) se ramène à \(3s^2+2Rs-R^2=0\), soit \((3s-R)(s+R)=0\), donc \(s=\dfrac{R}{3}\) : on retrouve le même cône. Cette comparaison montre que le choix de la variable \(x\) rend les calculs bien plus simples.

Caractéristiques du cône optimal : hauteur \(\dfrac{4R}{3}\), rayon \(r=\sqrt{\dfrac{8R^2}{9}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}R\). Son volume représente \(\dfrac{32\pi R^3/81}{4\pi R^3/3}=\dfrac{8}{27}\approx 30\,\%\) du volume de la sphère.

1) La boîte est formée de deux disques de rayon \(r\) (aire \(2\pi r^2\)) et d’une surface latérale, rectangle de dimensions \(2\pi r\) et \(h\) une fois déroulée (aire \(2\pi rh\)). Or \(\mathcal{V}=\pi r^2h\), donc \(h=\dfrac{\mathcal{V}}{\pi r^2}\) et :

\[ \mathcal{S}(r)=2\pi r^2+2\pi r\times\frac{\mathcal{V}}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2\mathcal{V}}{r} \]

2) Un rayon est strictement positif : \(\mathcal{S}\) est définie et dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\).

\[ \mathcal{S}^{\prime}(r)=4\pi r-\frac{2\mathcal{V}}{r^2}=\frac{4\pi r^3-2\mathcal{V}}{r^2}=\frac{2\left(2\pi r^3-\mathcal{V}\right)}{r^2} \]

\(r^2\gt 0\) : le signe est celui de \(2\pi r^3-\mathcal{V}\). Comme \(r\mapsto r^3\) est croissante, \(2\pi r^3-\mathcal{V}\geqslant 0\iff r\geqslant r_0\) avec \(r_0=\sqrt[3]{\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi}}\).

3) La surface est minimale pour \(r=r_0\). Alors \(\mathcal{V}=2\pi r_0^3\) et \(h=\dfrac{\mathcal{V}}{\pi r_0^2}=\dfrac{2\pi r_0^3}{\pi r_0^2}=2r_0\) : la hauteur est égale au diamètre.

4) Exemples : pour \(\mathcal{V}=1\,000\text{ cm}^3\) (1 L), \(r_0\approx 5{,}42\text{ cm}\), \(h\approx 10{,}84\text{ cm}\), \(\mathcal{S}\approx 553{,}6\text{ cm}^2\). Pour une boîte de \(425\text{ mL}\), \(r_0\approx 4{,}07\text{ cm}\), \(h\approx 8{,}15\text{ cm}\), \(\mathcal{S}\approx 312{,}9\text{ cm}^2\) ; une boîte réelle de même volume et de rayon 3,65 cm a une hauteur d’environ 10,15 cm et une surface d’environ 316,6 cm² : elle est proche de l’optimum mais un peu plus haute (question d’empilement et de prise en main).

On teste les deux hypothèses : les zéros de \(f^{\prime}\) doivent correspondre aux points où la courbe de \(f\) a une tangente horizontale, et le signe de \(f^{\prime}\) aux variations de \(f\).

• Si \(f\) était représentée par \(\mathcal{C}_1\) : \(\mathcal{C}_1\) a un minimum vers \(-0{,}3\) et un maximum vers \(0{,}35\), donc \(f^{\prime}\) devrait s’annuler en ces valeurs. Or \(\mathcal{C}_2\) s’annule en 0 et non en \(-0{,}3\) : impossible.
• Si \(f\) est représentée par \(\mathcal{C}_2\) : \(\mathcal{C}_2\) croît jusqu’à environ \(-0{,}5\), décroît jusqu’à 0, croît jusqu’à environ \(0{,}5\) puis décroît. \(f^{\prime}\) doit donc être positive, négative, positive, négative, en s’annulant en \(-0{,}5\), 0 et \(0{,}5\) : c’est exactement le signe de \(\mathcal{C}_1\), qui coupe l’axe en ces trois abscisses.

L’énoncé attend le tableau de variations de \(f\) : sur un intervalle, \(f^{\prime}\gt 0\) (sauf en des points isolés) donne \(f\) croissante, \(f^{\prime}\lt 0\) donne \(f\) décroissante.

Premier cas (\(f\) définie sur \(\mathbb{R}^{*}\), \(f(-1)=-2\), \(f(1)=2\)) :

\(f\) admet un maximum local \(-2\) en \(-1\) et un minimum local \(2\) en 1. Curiosité : le maximum local est plus petit que le minimum local, ce qui est possible car \(f\) n’est pas définie en 0.

Second cas (\(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(f(1)=1\), \(f(2)=2\), \(f(4)=3\)) :

\(f\) est décroissante sur \(]0\,;\,1]\), croissante sur \([1\,;\,4]\) (la dérivée s’annule en 2 sans changer de signe : tangente horizontale mais pas d’extremum), décroissante sur \([4\,;\,+\infty[\). Minimum local 1 en 1, maximum local 3 en 4.

Méthode : \(\mathcal{T}_a : y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)\) ; pour la position relative, on étudie le signe de \(d(x)=f(x)-\big(f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)\big)\) : si \(d(x)\gt 0\), \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{T}_a\).

a) \(f(x)=x^2+4x+1\), \(a=2\). Définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). \(f^{\prime}(x)=2x+4\), \(f(2)=13\), \(f^{\prime}(2)=8\) : \(\mathcal{T}_2 : y=8x-3\). \(d(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\geqslant 0\) : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{T}_2\), avec contact en \(x=2\).

b) \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\), \(a=1\). Définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{(x+1)^2}\), \(f(1)=\dfrac{1}{2}\), \(f^{\prime}(1)=-\dfrac{1}{4}\) : \(\mathcal{T}_1 : y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{4}\).

\[ d(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{x}{4}-\frac{3}{4}=\frac{4+(x-3)(x+1)}{4(x+1)}=\frac{(x-1)^2}{4(x+1)} \]

\(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{T}_1\) sur \(]-1\,;\,+\infty[\) (contact en 1) et en dessous sur \(]-\infty\,;\,-1[\).

c) \(f(x)=x^3-2x\), \(a=0\). \(\mathbb{R}\) pour les deux. \(f^{\prime}(x)=3x^2-2\), \(f(0)=0\), \(f^{\prime}(0)=-2\) : \(\mathcal{T}_0 : y=-2x\). \(d(x)=x^3\) : \(\mathcal{C}_f\) est en dessous sur \(]-\infty\,;\,0[\) et au-dessus sur \(]0\,;\,+\infty[\) : la tangente traverse la courbe en 0.

d) \(f(x)=x^3-2x^2+x+3\), \(a=0\). \(\mathbb{R}\). \(f^{\prime}(x)=3x^2-4x+1\), \(f(0)=3\), \(f^{\prime}(0)=1\) : \(\mathcal{T}_0 : y=x+3\). \(d(x)=x^3-2x^2=x^2(x-2)\) : en dessous sur \(]-\infty\,;\,2[\) (contact en 0), au-dessus sur \(]2\,;\,+\infty[\) ; la courbe recoupe sa tangente au point d’abscisse 2.

e) \(f(x)=x^4-2x^2-x+1\), \(a=-1\). \(\mathbb{R}\). \(f^{\prime}(x)=4x^3-4x-1\), \(f(-1)=1\), \(f^{\prime}(-1)=-1\) : \(\mathcal{T}_{-1} : y=-x\). \(d(x)=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2\geqslant 0\) : \(\mathcal{C}_f\) est toujours au-dessus, avec contact en \(-1\) et en \(1\) (la droite est tangente en deux points).

f) \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+1}=\dfrac{1}{(x+1)^2}\), \(a=0\). Définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{2x+2}{(x+1)^4}=-\dfrac{2}{(x+1)^3}\), \(f(0)=1\), \(f^{\prime}(0)=-2\) : \(\mathcal{T}_0 : y=-2x+1\).

\[ d(x)=\frac{1+(2x-1)(x+1)^2}{(x+1)^2}=\frac{2x^3+3x^2}{(x+1)^2}=\frac{x^2(2x+3)}{(x+1)^2} \]

En dessous sur \(\left]-\infty\,;\,-\frac{3}{2}\right[\), au-dessus sur \(\left]-\frac{3}{2}\,;\,-1\right[\) et sur \(]-1\,;\,+\infty[\) (contact en 0).

g) \(f(x)=x^3-2x^2-x+1\), \(a=2\). \(\mathbb{R}\). \(f^{\prime}(x)=3x^2-4x-1\), \(f(2)=-1\), \(f^{\prime}(2)=3\) : \(\mathcal{T}_2 : y=3x-7\). \(d(x)=x^3-2x^2-4x+8=(x-2)^2(x+2)\) (on vérifie en développant). En dessous sur \(]-\infty\,;\,-2[\), au-dessus sur \(]-2\,;\,+\infty[\) (contact en 2).

On étudie le taux d’accroissement \(\tau(h)=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\), avec \(f(0)=0^2+1=1\).

À droite (\(h\gt 0\)). \(f(h)=h^2+1\), donc \(\tau(h)=\dfrac{h^2+1-1}{h}=h\), qui tend vers 0 quand \(h\) tend vers 0. \(f\) est dérivable à droite en 0, de nombre dérivé à droite égal à 0.

À gauche (\(h\lt 0\)). \(f(h)=h^2-1\), donc \(\tau(h)=\dfrac{h^2-1-1}{h}=h-\dfrac{2}{h}\). Quand \(h\) tend vers 0 par valeurs négatives, \(-\dfrac{2}{h}\) tend vers \(+\infty\) : \(\tau(h)\) n’a pas de limite finie. \(f\) n’est pas dérivable à gauche en 0.

Interprétation : la courbe « saute » de \(-1\) à \(1\) en 0 ; la partie gauche ne rejoint pas le point \((0\,;\,1)\), d’où l’impossibilité d’une tangente à gauche.

Préliminaire. En posant \(k=-h\) : \(\dfrac{f(a-h)-f(a)}{h}=-\dfrac{f(a+k)-f(a)}{k}\), et \(k\) tend vers 0 quand \(h\) tend vers 0. Donc \(\dfrac{f(a-h)-f(a)}{h}\) tend vers \(-f^{\prime}(a)\).

Fonction paire.

1) \(N(-a\,;\,f(-a))=N(-a\,;\,f(a))\) : \(M\) et \(N\) ont la même ordonnée et des abscisses opposées. \(N\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l’axe des ordonnées.

2) Par définition, \(f^{\prime}(-a)\) est la limite de \(\dfrac{f(-a+h)-f(-a)}{h}\). Par parité, \(f(-a+h)=f(a-h)\) et \(f(-a)=f(a)\) :

\[ \frac{f(-a+h)-f(-a)}{h}=\frac{f(a-h)-f(a)}{h}\xrightarrow[h\to0]{}-f^{\prime}(a) \]

Donc \(f^{\prime}(-a)=-f^{\prime}(a)\) : les tangentes en \(M\) et \(N\) sont symétriques, de coefficients directeurs opposés.

3) Avec \(a=0\) : \(f^{\prime}(0)=-f^{\prime}(0)\), donc \(2f^{\prime}(0)=0\) et \(f^{\prime}(0)=0\) : la tangente en 0 est horizontale.

Fonction impaire.

4) \(N(-a\,;\,-f(a))\) : les deux coordonnées sont opposées. \(N\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l’origine \(O\).

5) L’égalité à démontrer est \(f^{\prime}(-a)=f^{\prime}(a)\) (l’énoncé porte \(f(a)\), c’est une coquille : il faut lire \(f^{\prime}(a)\)). Par imparité, \(f(-a+h)=-f(a-h)\) et \(f(-a)=-f(a)\) :

\[ \frac{f(-a+h)-f(-a)}{h}=-\frac{f(a-h)-f(a)}{h}\xrightarrow[h\to0]{}-\left(-f^{\prime}(a)\right)=f^{\prime}(a) \]

Donc \(f^{\prime}(-a)=f^{\prime}(a)\) : la dérivée d’une fonction impaire est paire.

1) \(f^{\prime}(x)=(x-1)(x-2)\) est un trinôme de coefficient \(1\gt 0\) et de racines 1 et 2 : positif à l’extérieur des racines, négatif entre. \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,1]\), décroissante sur \([1\,;\,2]\), croissante sur \([2\,;\,+\infty[\).

2) \(f(x)=x^3-3x^2\) : \(f^{\prime}(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\), positif sur \(]-\infty\,;\,0]\) et \([2\,;\,+\infty[\), négatif sur \([0\,;\,2]\). \(f(0)=0\) et \(f(2)=8-12=-4\).

3) D’après le tableau, \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,3]\), croissante sur \([3\,;\,4]\) et décroissante sur \([4\,;\,+\infty[\). En supposant \(f\) dérivable, \(f^{\prime}\) a le signe correspondant, et elle s’annule aux extremums locaux 3 et 4.