Corrigé des 44 exercices sur la dérivée en 1ère : solutions détaillées à télécharger en PDF

On lit les variations de \(f\) sur la courbe, puis on utilise : \(f\) croissante sur un intervalle \(\Rightarrow f^{\prime}\geqslant 0\) ; \(f\) décroissante \(\Rightarrow f^{\prime}\leqslant 0\) ; tangente horizontale \(\Rightarrow f^{\prime}=0\).

• Sur \(]-\infty\,;\,1[\), \(f\) est croissante ; la courbe a une tangente horizontale en 0 (elle s’aplatit sans changer de sens). Donc \(f^{\prime}(x)\gt 0\) sauf en 0 où \(f^{\prime}(0)=0\).
• Sur \(]1\,;\,2]\), \(f\) est décroissante : \(f^{\prime}(x)\lt 0\).
• En \(x=2\), la courbe admet un minimum (tangente horizontale) : \(f^{\prime}(2)=0\).
• Sur \([2\,;\,+\infty[\), \(f\) est croissante : \(f^{\prime}(x)\gt 0\).

La double barre en 1 rappelle que \(f\) (donc \(f^{\prime}\)) n’est pas définie en 1. De plus, les valeurs 0 et 2 sont des lectures graphiques.

La courbe \(\mathcal{C}_{f^{\prime}}\) coupe l’axe des abscisses en \(-2\) et en \(1\) : \(f^{\prime}\) est positive sur \(]-\infty\,;\,-2]\), négative sur \([-2\,;\,1]\) et positive sur \([1\,;\,+\infty[\).

La fonction cherchée est donc croissante, puis décroissante, puis croissante, avec un maximum local en \(-2\) et un minimum local en 1.

• \(\mathcal{C}_1\) : maximum en \(-2\), minimum en 1 : convient.
• \(\mathcal{C}_2\) : minimum en \(-2\) puis maximum vers 1 : c’est l’inverse, ne convient pas.
• \(\mathcal{C}_3\) : un seul minimum vers \(-0{,}5\) : ne convient pas.

Mise en place. Le sommet \(S\) est sur la sphère, la base est le disque de centre \(H\) et de rayon \(r=HA\), avec \(A\) sur la sphère. Ensuite, on note \(x=HO\), \(H\) étant sous \(O\) comme sur la figure. Par ailleurs, le triangle \(OHA\) est rectangle en \(H\) et \(OA=R\).

Ainsi, Approche 1 : variable \(x=HO\), \(x\in[0\,;\,R[\). D’après Pythagore, \(r^2=R^2-x^2\), et la hauteur vaut \(SH=R+x\). Donc :

\[ V(x)=\frac{1}{3}\pi r^2\times SH=\frac{\pi}{3}(R^2-x^2)(R+x) \]

Donc, en développant, \(V(x)=\dfrac{\pi}{3}\left(-x^3-Rx^2+R^2x+R^3\right)\), d’où :

\[ V^{\prime}(x)=\frac{\pi}{3}\left(-3x^2-2Rx+R^2\right)=\frac{\pi}{3}(R+x)(R-3x) \]

Également, sur \([0\,;\,R[\), \(R+x\gt 0\) : \(V^{\prime}(x)\) a le signe de \(R-3x\), positif pour \(x\lt\dfrac{R}{3}\), négatif ensuite. \(V\) est croissante sur \(\left[0\,;\,\frac{R}{3}\right]\) puis décroissante : maximum en \(x=\dfrac{R}{3}\).

Suite du corrigé corrigé dérivée première

\[ V\left(\frac{R}{3}\right)=\frac{\pi}{3}\left(R^2-\frac{R^2}{9}\right)\left(R+\frac{R}{3}\right)=\frac{\pi}{3}\times\frac{8R^2}{9}\times\frac{4R}{3}=\frac{32\pi R^3}{81} \]

Par conséquent, Approche 2 : variable \(r=HA\), \(r\in\,]0\,;\,R]\). On a \(HO=\sqrt{R^2-r^2}\) et \(V(r)=\dfrac{\pi}{3}r^2\left(R+\sqrt{R^2-r^2}\right)\). Puis la dérivée fait intervenir \(\sqrt{R^2-r^2}\), dont la dérivée \(\dfrac{-r}{\sqrt{R^2-r^2}}\) relève de la terminale (composée) ; en posant \(s=\sqrt{R^2-r^2}\), l’équation \(V^{\prime}(r)=0\) se ramène à \(3s^2+2Rs-R^2=0\), soit \((3s-R)(s+R)=0\), donc \(s=\dfrac{R}{3}\) : on retrouve le même cône. Ensuite, cette comparaison montre que le choix de la variable \(x\) rend les calculs bien plus simples.

En effet, Caractéristiques du cône optimal : hauteur \(\dfrac{4R}{3}\), rayon \(r=\sqrt{\dfrac{8R^2}{9}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}R\). Son volume représente \(\dfrac{32\pi R^3/81}{4\pi R^3/3}=\dfrac{8}{27}\approx 30\,\%\) du volume de la sphère.

Exercice 3 (suite 3)

1) La boîte est formée de deux disques de rayon \(r\) (aire \(2\pi r^2\)) et d’une surface latérale, rectangle de dimensions \(2\pi r\) et \(h\) une fois déroulée (aire \(2\pi rh\)). Or \(\mathcal{V}=\pi r^2h\), donc \(h=\dfrac{\mathcal{V}}{\pi r^2}\) et :

\[ \mathcal{S}(r)=2\pi r^2+2\pi r\times\frac{\mathcal{V}}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2\mathcal{V}}{r} \]

Ensuite, 2) Un rayon est strictement positif : \(\mathcal{S}\) est définie et dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\).

\[ \mathcal{S}^{\prime}(r)=4\pi r-\frac{2\mathcal{V}}{r^2}=\frac{4\pi r^3-2\mathcal{V}}{r^2}=\frac{2\left(2\pi r^3-\mathcal{V}\right)}{r^2} \]

De plus, \(r^2\gt 0\) : le signe est celui de \(2\pi r^3-\mathcal{V}\). Comme \(r\mapsto r^3\) est croissante, \(2\pi r^3-\mathcal{V}\geqslant 0\iff r\geqslant r_0\) avec \(r_0=\sqrt[3]{\dfrac{\mathcal{V}}{2\pi}}\).

Suite du corrigé corrigé dérivée première

Par ailleurs, 3) La surface est minimale pour \(r=r_0\). Alors \(\mathcal{V}=2\pi r_0^3\) et \(h=\dfrac{\mathcal{V}}{\pi r_0^2}=\dfrac{2\pi r_0^3}{\pi r_0^2}=2r_0\) : la hauteur est égale au diamètre.

Ainsi, 4) Exemples : pour \(\mathcal{V}=1\,000\text{ cm}^3\) (1 L), \(r_0\approx 5{,}42\text{ cm}\), \(h\approx 10{,}84\text{ cm}\), \(\mathcal{S}\approx 553{,}6\text{ cm}^2\). Puis pour une boîte de \(425\text{ mL}\), \(r_0\approx 4{,}07\text{ cm}\), \(h\approx 8{,}15\text{ cm}\), \(\mathcal{S}\approx 312{,}9\text{ cm}^2\) ; une boîte réelle de même volume et de rayon 3,65 cm a une hauteur d’environ 10,15 cm et une surface d’environ 316,6 cm² : elle est proche de l’optimum mais un peu plus haute (question d’empilement et de prise en main).

On teste les deux hypothèses : les zéros de \(f^{\prime}\) doivent correspondre aux points où la courbe de \(f\) a une tangente horizontale, et le signe de \(f^{\prime}\) aux variations de \(f\).

• Si \(f\) était représentée par \(\mathcal{C}_1\) : \(\mathcal{C}_1\) a un minimum vers \(-0{,}3\) et un maximum vers \(0{,}35\), donc \(f^{\prime}\) devrait s’annuler en ces valeurs. Or \(\mathcal{C}_2\) s’annule en 0 et non en \(-0{,}3\) : impossible.
• Si \(f\) est représentée par \(\mathcal{C}_2\) : \(\mathcal{C}_2\) croît jusqu’à environ \(-0{,}5\), décroît jusqu’à 0, croît jusqu’à environ \(0{,}5\) puis décroît. \(f^{\prime}\) doit donc être positive, négative, positive, négative, en s’annulant en \(-0{,}5\), 0 et \(0{,}5\) : c’est exactement le signe de \(\mathcal{C}_1\), qui coupe l’axe en ces trois abscisses.

L’énoncé attend le tableau de variations de \(f\) : sur un intervalle, \(f^{\prime}\gt 0\) (sauf en des points isolés) donne \(f\) croissante, \(f^{\prime}\lt 0\) donne \(f\) décroissante.

Donc, Premier cas (\(f\) définie sur \(\mathbb{R}^{*}\), \(f(-1)=-2\), \(f(1)=2\)) :

Également, \(f\) admet un maximum local \(-2\) en \(-1\) et un minimum local \(2\) en 1. Curiosité : le maximum local est plus petit que le minimum local, ce qui est possible car \(f\) n’est pas définie en 0.

Par conséquent, Second cas (\(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(f(1)=1\), \(f(2)=2\), \(f(4)=3\)) :

En effet, \(f\) est décroissante sur \(]0\,;\,1]\), croissante sur \([1\,;\,4]\) (la dérivée s’annule en 2 sans changer de signe : tangente horizontale mais pas d’extremum), décroissante sur \([4\,;\,+\infty[\). Minimum local 1 en 1, maximum local 3 en 4.

Méthode : \(\mathcal{T}_a : y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)\) ; pour la position relative, on étudie le signe de \(d(x)=f(x)-\big(f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)\big)\) : si \(d(x)\gt 0\), \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{T}_a\).

Ensuite, a) \(f(x)=x^2+4x+1\), \(a=2\). Définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). \(f^{\prime}(x)=2x+4\), \(f(2)=13\), \(f^{\prime}(2)=8\) : \(\mathcal{T}_2 : y=8x-3\). \(d(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\geqslant 0\) : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{T}_2\), avec contact en \(x=2\).

De plus, b) \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\), \(a=1\). Définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{(x+1)^2}\), \(f(1)=\dfrac{1}{2}\), \(f^{\prime}(1)=-\dfrac{1}{4}\) : \(\mathcal{T}_1 : y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{4}\).

\[ d(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{x}{4}-\frac{3}{4}=\frac{4+(x-3)(x+1)}{4(x+1)}=\frac{(x-1)^2}{4(x+1)} \]

Par ailleurs, \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{T}_1\) sur \(]-1\,;\,+\infty[\) (contact en 1) et en dessous sur \(]-\infty\,;\,-1[\).

Suite du corrigé corrigé dérivée première

Ainsi, c) \(f(x)=x^3-2x\), \(a=0\). \(\mathbb{R}\) pour les deux. \(f^{\prime}(x)=3x^2-2\), \(f(0)=0\), \(f^{\prime}(0)=-2\) : \(\mathcal{T}_0 : y=-2x\). \(d(x)=x^3\) : \(\mathcal{C}_f\) est en dessous sur \(]-\infty\,;\,0[\) et au-dessus sur \(]0\,;\,+\infty[\) : la tangente traverse la courbe en 0.

Donc, d) \(f(x)=x^3-2x^2+x+3\), \(a=0\). \(\mathbb{R}\). \(f^{\prime}(x)=3x^2-4x+1\), \(f(0)=3\), \(f^{\prime}(0)=1\) : \(\mathcal{T}_0 : y=x+3\). \(d(x)=x^3-2x^2=x^2(x-2)\) : en dessous sur \(]-\infty\,;\,2[\) (contact en 0), au-dessus sur \(]2\,;\,+\infty[\) ; la courbe recoupe sa tangente au point d’abscisse 2.

Également, e) \(f(x)=x^4-2x^2-x+1\), \(a=-1\). \(\mathbb{R}\). \(f^{\prime}(x)=4x^3-4x-1\), \(f(-1)=1\), \(f^{\prime}(-1)=-1\) : \(\mathcal{T}_{-1} : y=-x\). \(d(x)=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2\geqslant 0\) : \(\mathcal{C}_f\) est toujours au-dessus, avec contact en \(-1\) et en \(1\) (la droite est tangente en deux points).

Exercice 7 (suite 3)

Par conséquent, f) \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+1}=\dfrac{1}{(x+1)^2}\), \(a=0\). Définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{2x+2}{(x+1)^4}=-\dfrac{2}{(x+1)^3}\), \(f(0)=1\), \(f^{\prime}(0)=-2\) : \(\mathcal{T}_0 : y=-2x+1\).

\[ d(x)=\frac{1+(2x-1)(x+1)^2}{(x+1)^2}=\frac{2x^3+3x^2}{(x+1)^2}=\frac{x^2(2x+3)}{(x+1)^2} \]

En effet, En dessous sur \(\left]-\infty\,;\,-\frac{3}{2}\right[\), au-dessus sur \(\left]-\frac{3}{2}\,;\,-1\right[\) et sur \(]-1\,;\,+\infty[\) (contact en 0).

Ensuite, g) \(f(x)=x^3-2x^2-x+1\), \(a=2\). \(\mathbb{R}\). \(f^{\prime}(x)=3x^2-4x-1\), \(f(2)=-1\), \(f^{\prime}(2)=3\) : \(\mathcal{T}_2 : y=3x-7\). \(d(x)=x^3-2x^2-4x+8=(x-2)^2(x+2)\) (on vérifie en développant). En dessous sur \(]-\infty\,;\,-2[\), au-dessus sur \(]-2\,;\,+\infty[\) (contact en 2).

On étudie le taux d’accroissement \(\tau(h)=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\), avec \(f(0)=0^2+1=1\).

À droite (\(h\gt 0\)). \(f(h)=h^2+1\), donc \(\tau(h)=\dfrac{h^2+1-1}{h}=h\), qui tend vers 0 quand \(h\) tend vers 0. \(f\) est dérivable à droite en 0, de nombre dérivé à droite égal à 0.

À gauche (\(h\lt 0\)). \(f(h)=h^2-1\), donc \(\tau(h)=\dfrac{h^2-1-1}{h}=h-\dfrac{2}{h}\). Quand \(h\) tend vers 0 par valeurs négatives, \(-\dfrac{2}{h}\) tend vers \(+\infty\) : \(\tau(h)\) n’a pas de limite finie. \(f\) n’est pas dérivable à gauche en 0.

De plus, Interprétation : la courbe « saute » de \(-1\) à \(1\) en 0 ; la partie gauche ne rejoint pas le point \((0\,;\,1)\), d’où l’impossibilité d’une tangente à gauche.

Préliminaire. En posant \(k=-h\) : \(\dfrac{f(a-h)-f(a)}{h}=-\dfrac{f(a+k)-f(a)}{k}\), et \(k\) tend vers 0 quand \(h\) tend vers 0. Donc \(\dfrac{f(a-h)-f(a)}{h}\) tend vers \(-f^{\prime}(a)\).

De même, Fonction paire.

Ainsi, 1) \(N(-a\,;\,f(-a))=N(-a\,;\,f(a))\) : \(M\) et \(N\) ont la même ordonnée et des abscisses opposées. \(N\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l’axe des ordonnées.

Après cela, donc, 2) Par définition, \(f^{\prime}(-a)\) est la limite de \(\dfrac{f(-a+h)-f(-a)}{h}\). Par parité, \(f(-a+h)=f(a-h)\) et \(f(-a)=f(a)\) :

\[ \frac{f(-a+h)-f(-a)}{h}=\frac{f(a-h)-f(a)}{h}\xrightarrow[h\to0]{}-f^{\prime}(a) \]

Donc \(f^{\prime}(-a)=-f^{\prime}(a)\) : les tangentes en \(M\) et \(N\) sont symétriques, de coefficients directeurs opposés.

Également, 3) Avec \(a=0\) : \(f^{\prime}(0)=-f^{\prime}(0)\), donc \(2f^{\prime}(0)=0\) et \(f^{\prime}(0)=0\) : la tangente en 0 est horizontale.

Suite du corrigé corrigé dérivée première

Par ailleurs, Fonction impaire.

En effet, 4) \(N(-a\,;\,-f(a))\) : les deux coordonnées sont opposées. \(N\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l’origine \(O\).

Ensuite, 5) L’égalité à démontrer est \(f^{\prime}(-a)=f^{\prime}(a)\) (l’énoncé porte \(f(a)\), c’est une coquille : il faut lire \(f^{\prime}(a)\)). Par imparité, \(f(-a+h)=-f(a-h)\) et \(f(-a)=-f(a)\) :

\[ \frac{f(-a+h)-f(-a)}{h}=-\frac{f(a-h)-f(a)}{h}\xrightarrow[h\to0]{}-\left(-f^{\prime}(a)\right)=f^{\prime}(a) \]

Donc \(f^{\prime}(-a)=f^{\prime}(a)\) : la dérivée d’une fonction impaire est paire.

1) \(f^{\prime}(x)=(x-1)(x-2)\) est un trinôme de coefficient \(1\gt 0\) et de racines 1 et 2 : positif à l’extérieur des racines, négatif entre. \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,1]\), décroissante sur \([1\,;\,2]\), croissante sur \([2\,;\,+\infty[\).

De plus, 2) \(f(x)=x^3-3x^2\) : \(f^{\prime}(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\), positif sur \(]-\infty\,;\,0]\) et \([2\,;\,+\infty[\), négatif sur \([0\,;\,2]\). \(f(0)=0\) et \(f(2)=8-12=-4\).

3) D’après le tableau, \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,3]\), croissante sur \([3\,;\,4]\) et décroissante sur \([4\,;\,+\infty[\). De plus, en supposant \(f\) dérivable, \(f^{\prime}\) a le signe correspondant, et elle s’annule aux extremums locaux 3 et 4.

Sur le quadrillage, un carreau vaut 0,5 unité (l’abscisse 1 est à deux carreaux de l’origine). Ensuite, on lit :

• la courbe coupe ou touche l’axe des abscisses en −1,5, 0 et 2,5 ;
• la fonction admet un minimum local en −1, un maximum local en 0 (où f(0) = 0) et un minimum en 2 : en ces points, la tangente est horizontale.

Par ailleurs, 1) Le signe de \( f(x) \) se lit par la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses ; le signe de \( f^{\prime}(x) \) se lit par le sens de variation de f (f croissante : \( f^{\prime}(x) \geqslant 0 \) ; f décroissante : \( f^{\prime}(x) \leqslant 0 \)).

• a) \( f(x) \gt 0 \) : la courbe est strictement au-dessus de l’axe, donc \( S = [-2 \,;\, -1{,}5[ \,\cup\, ]2{,}5 \,;\, 3] \).
• Pour bien réussir corrigé dérivée première, on retient que b) \( f(x) \lt 0 \) : la courbe est strictement en dessous de l’axe, donc \( S = ]-1{,}5 \,;\, 0[ \,\cup\, ]0 \,;\, 2{,}5[ \) (0 est exclu car f(0) = 0).

Suite du corrigé corrigé dérivée première

• c) \( f^{\prime}(x) \gt 0 \) : f est strictement croissante, donc \( S = ]-1 \,;\, 0[ \,\cup\, ]2 \,;\, 3] \).
• d) \( f^{\prime}(x) \lt 0 \) : f est strictement décroissante, donc \( S = [-2 \,;\, -1[ \,\cup\, ]0 \,;\, 2[ \).

Ainsi, 2) Non, il n’y a pas de lien entre le signe de \( f(x) \) et celui de \( f^{\prime}(x) \). Par exemple, sur \( ]-1 \,;\, 0[ \), f est négative mais croissante (\( f^{\prime} \gt 0 \)) ; sur \( ]0 \,;\, 2[ \), f est négative et décroissante (\( f^{\prime} \lt 0 \)). Par ailleurs, le signe de \( f^{\prime} \) renseigne sur les variations de f, pas sur son signe.

Donc, 3) a) \( f(x) = 0 \) : ce sont les abscisses des points de la courbe situés sur l’axe, \( S = \{ -1{,}5 \,;\, 0 \,;\, 2{,}5 \} \).

Également, b) \( f^{\prime}(x) = 0 \) : ce sont les abscisses des points où la tangente est horizontale, \( S = \{ -1 \,;\, 0 \,;\, 2 \} \).

Chaque colonne du tableau donne un point de la courbe et le coefficient directeur de la tangente en ce point :

• \( A(-2 \,;\, -2) \) avec une tangente de pente −1 : la courbe y descend ;
• \( B(0 \,;\, -1) \) avec une tangente de pente 1 : la courbe y monte ;
• \( C(3 \,;\, 4) \) avec une tangente horizontale (pente 0) ;
• \( D(5 \,;\, 2) \) avec une tangente de pente −2 : la courbe y descend assez vite.

Par conséquent, Méthode : on place les quatre points, on trace en chacun d’eux un petit morceau de tangente, puis on relie les points par une courbe « lisse » qui épouse ces tangentes. Comme la courbe descend en A et monte en B, elle passe forcément par un minimum entre −2 et 0. Puis elle monte ensuite jusqu’à C, où la tangente horizontale suggère un maximum, puis redescend en passant par D.

Suite du corrigé corrigé dérivée première

En effet, ce n’est qu’une allure possible : une infinité de courbes respectent ces conditions (on connaît seulement quatre points et quatre tangentes).

1) On revient à la définition : pour \( h \neq 0 \), on calcule le taux de variation de f entre a et a + h.

Ensuite :\[ \begin{aligned} f(a+h) – f(a) &= (a+h)^2 + 3(a+h) – 1 – (a^2 + 3a – 1) \\ &= a^2 + 2ah + h^2 + 3a + 3h – 1 – a^2 – 3a + 1 \\ &= 2ah + h^2 + 3h \end{aligned} \]

De plus :\[ \dfrac{f(a+h) – f(a)}{h} = \dfrac{h(2a + h + 3)}{h} = 2a + 3 + h \]

Quand h tend vers 0, ce taux tend vers \( 2a + 3 \). Donc f est dérivable en tout réel a et \( f^{\prime}(a) = 2a + 3 \).

Par ailleurs, 2) \( f(1) = 1 + 3 – 1 = 3 \) et \( f^{\prime}(1) = 2 + 3 = 5 \). Ensuite, la tangente au point d’abscisse 1 a pour équation :

Ainsi :\[ y = f^{\prime}(1)(x – 1) + f(1) = 5(x – 1) + 3 = 5x – 2 \]

Donc, 3) Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ont le même coefficient directeur. Puis la droite \( y = -2x + \sqrt{17} \) a pour coefficient directeur −2. De plus, on cherche donc a tel que \( f^{\prime}(a) = -2 \) :

Suite du corrigé corrigé dérivée première

Également :\[ 2a + 3 = -2 \iff 2a = -5 \iff a = -\dfrac{5}{2} \]

Par conséquent, Cette équation a une solution : oui, il existe une telle tangente, au point d’abscisse \( -\dfrac{5}{2} \).

En effet, 4) \( f\left(-\dfrac{5}{2}\right) = \dfrac{25}{4} – \dfrac{15}{2} – 1 = \dfrac{25 – 30 – 4}{4} = -\dfrac{9}{4} \).

Ensuite, le point de contact est \( \left(-\dfrac{5}{2} \,;\, -\dfrac{9}{4}\right) \). Ensuite, la tangente y a pour équation \( y = -2\left(x + \dfrac{5}{2}\right) – \dfrac{9}{4} = -2x – \dfrac{29}{4} \) : elle est bien parallèle (et distincte) à la droite donnée.

Le logiciel Maxima définit \( f(x) = \dfrac{1}{x+3} \) (définie pour \( x \neq -3 \)) et simplifie le taux de variation :

De plus :\[ \dfrac{f(a+h) – f(a)}{h} = -\dfrac{1}{(a+3)h + a^2 + 6a + 9} \]

Par ailleurs, 1) Quand h tend vers 0, le terme \( (a+3)h \) tend vers 0, et \( a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2 \). Par ailleurs, pour \( a \neq -3 \) :

Ainsi :\[ f^{\prime}(a) = \lim_{h \to 0} -\dfrac{1}{(a+3)h + (a+3)^2} = -\dfrac{1}{(a+3)^2} \]

Puis, donc, 2) La droite \( y = -\dfrac{1}{4}x + 5 \) a pour coefficient directeur \( -\dfrac{1}{4} \). Puis on cherche les réels a tels que \( f^{\prime}(a) = -\dfrac{1}{4} \) :

Également :\[ -\dfrac{1}{(a+3)^2} = -\dfrac{1}{4} \iff (a+3)^2 = 4 \iff a + 3 = 2 \text{ ou } a + 3 = -2 \iff a = -1 \text{ ou } a = -5 \]

Il y a donc deux tangentes parallèles à cette droite.

• En \( a = -1 \) : \( f(-1) = \dfrac{1}{2} \), point de contact \( \left(-1 \,;\, \dfrac{1}{2}\right) \) ; tangente \( y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4} \).

Suite du corrigé corrigé dérivée première

• En \( a = -5 \) : \( f(-5) = -\dfrac{1}{2} \), point de contact \( \left(-5 \,;\, -\dfrac{1}{2}\right) \) ; tangente \( y = -\dfrac{1}{4}x – \dfrac{7}{4} \).

Par conséquent, Aucune de ces deux tangentes n’est confondue avec la droite d’ordonnée à l’origine 5 : elles lui sont bien parallèles.

Rappels du cours : \( (x^n)^{\prime} = nx^{n-1} \) ; \( (\sqrt{x})^{\prime} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) sur \( ]0 \,;\, +\infty[ \) ; \( \left(\dfrac{1}{x}\right)^{\prime} = -\dfrac{1}{x^2} \) sur \( \mathbb{R}^* \). Ensuite, la tangente au point d’abscisse a a pour équation \( y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a) \).

En effet, a) \( f(x) = x^3 \), \( a = -2 \). Définie et dérivable sur \( \mathbb{R} \). \( f^{\prime}(a) = 3a^2 \), donc \( f^{\prime}(-2) = 12 \) et \( f(-2) = -8 \).

Ensuite :\[ y = 12(x + 2) – 8 = 12x + 16 \]

De plus, b) \( f(x) = \sqrt{x} \), \( a = \dfrac{1}{4} \). Définie sur \( [0 \,;\, +\infty[ \), dérivable sur \( ]0 \,;\, +\infty[ \). \( f^{\prime}(a) = \dfrac{1}{2\sqrt{a}} \), donc \( f^{\prime}\left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2 \times \frac{1}{2}} = 1 \) et \( f\left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2} \).

Par ailleurs :\[ y = 1 \times \left(x – \dfrac{1}{4}\right) + \dfrac{1}{2} = x + \dfrac{1}{4} \]

Ainsi, c) \( f(x) = \dfrac{1}{x} \), \( a = \dfrac{1}{2} \). Définie et dérivable sur \( \mathbb{R}^* = ]-\infty \,;\, 0[ \cup ]0 \,;\, +\infty[ \). \( f^{\prime}(a) = -\dfrac{1}{a^2} \), donc \( f^{\prime}\left(\dfrac{1}{2}\right) = -4 \) et \( f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2 \).

Suite du corrigé corrigé dérivée première

Donc :\[ y = -4\left(x – \dfrac{1}{2}\right) + 2 = -4x + 4 \]

Également, d) \( f(x) = x^4 \), \( a = -2 \). Définie et dérivable sur \( \mathbb{R} \). \( f^{\prime}(a) = 4a^3 \), donc \( f^{\prime}(-2) = -32 \) et \( f(-2) = 16 \).

Par conséquent :\[ y = -32(x + 2) + 16 = -32x – 48 \]

En effet, e) \( f(x) = \sqrt{x} \), \( a = 1 \). Définie sur \( [0 \,;\, +\infty[ \), dérivable sur \( ]0 \,;\, +\infty[ \). \( f^{\prime}(1) = \dfrac{1}{2} \) et \( f(1) = 1 \).

Ensuite :\[ y = \dfrac{1}{2}(x – 1) + 1 = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} \]

De plus, f) \( f(x) = \dfrac{1}{x} \), \( a = 4 \). Définie et dérivable sur \( \mathbb{R}^* \). \( f^{\prime}(4) = -\dfrac{1}{16} \) et \( f(4) = \dfrac{1}{4} \).

Par ailleurs :\[ y = -\dfrac{1}{16}(x – 4) + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{16}x + \dfrac{1}{2} \]

On utilise la formule de dérivation d’un produit : \( (uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime} \).

1) Si \( f(x) = x \), alors \( f^{\prime}(x) = 1 \). Si \( f(x) = x^2 \), alors \( f^{\prime}(x) = 2x \).

Ainsi, 2) \( x^3 = x \times x^2 \) : on pose \( u(x) = x \) et \( v(x) = x^2 \), avec \( u^{\prime}(x) = 1 \) et \( v^{\prime}(x) = 2x \).

Donc :\[ f^{\prime}(x) = 1 \times x^2 + x \times 2x = x^2 + 2x^2 = 3x^2 \]

Également, 3) En remarquant que \( x^4 = x \times x^3 \), avec \( (x^3)^{\prime} = 3x^2 \) :

Par conséquent :\[ f^{\prime}(x) = 1 \times x^3 + x \times 3x^2 = 4x^3 \]

En effet, 4) \( x^5 = x \times x^4 \), avec \( (x^4)^{\prime} = 4x^3 \) :

Ensuite :\[ f^{\prime}(x) = 1 \times x^4 + x \times 4x^3 = 5x^4 \]

De plus, 5) On continue de la même façon : \( (x^6)^{\prime} = x^5 + x \times 5x^4 = 6x^5 \), puis \( (x^7)^{\prime} = 7x^6 \)… À chaque étape, l’exposant « descend » devant et l’exposant de x diminue de 1.

Suite du corrigé corrigé dérivée première

Par ailleurs, 6) Conjecture : pour tout entier \( n \geqslant 1 \), la fonction \( f : x \mapsto x^n \) a pour dérivée

Ainsi :\[ f^{\prime}(x) = n x^{n-1} \]

Donc, pour \( n = 0 \), \( x^0 = 1 \) est une fonction constante, de dérivée nulle, ce qui est cohérent avec \( 0 \times x^{-1} = 0 \) pour \( x \neq 0 \). Comme l’indique l’énoncé, ce n’est ici qu’une conjecture : la démonstration (par récurrence) se fait en Terminale.

La tangente au point d’abscisse a a pour équation \( y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a) \). Puis en développant :

Également :\[ y = f^{\prime}(a)\,x + f(a) – a\,f^{\prime}(a) \]

Sur cette fiche corrigé dérivée première, son coefficient directeur est donc \( m = f^{\prime}(a) \) et son ordonnée à l’origine est \( p = f(a) – a \times f^{\prime}(a) \). De plus, les fonctions f et f′ sont données (programmées à l’avance) ; seul le réel a est demandé.

Par conséquent, algorithme complété :

1. Liste des variables utilisées
2. a, m, p : nombres réels
3. Entrées
4. Demander a
5. Traitement
6. Donner à m la valeur de f′(a)
7. Donner à p la valeur de f(a) − a × f′(a)
8. Affichage
9. Afficher m
10. Afficher p
11. Fin de l’algorithme

En effet, Exemple en Python avec \( f(x) = x^2 \) et \( f^{\prime}(x) = 2x \) :

Ensuite, def f(x):
    return x**2
def fp(x):
    return 2*x
a = float(input(« a = « ))
m = fp(a)
p = f(a) – a*fp(a)
print(m)
print(p)

De plus, Vérification : pour a = 3, le programme affiche m = 6 et p = 9 − 18 = −9, et la tangente à la parabole en 3 est bien \( y = 6x – 9 \).

Pour \( f(x) = ax^2 + bx + c \), on a \( f^{\prime}(x) = 2ax + b \).

Par ailleurs, 1) a) La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation \( y = f^{\prime}(0)x + f(0) \). Or \( f(0) = c \) et \( f^{\prime}(0) = b \). Ensuite, en identifiant avec \( y = 2x + 3 \) : b = 2 et c = 3.

Ainsi, la courbe passe par \( (3 \,;\, 6) \) : \( f(3) = 9a + 3b + c = 6 \), soit \( 9a + 6 + 3 = 6 \), donc \( 9a = -3 \) et \( a = -\dfrac{1}{3} \).

Ainsi \( f(x) = -\dfrac{1}{3}x^2 + 2x + 3 \).

Donc, b) Les coefficients directeurs des tangentes donnent \( f^{\prime}(5) = 3 \) et \( f^{\prime}(-5) = -1 \) :

Également :\[ \left\{ \begin{aligned} 10a + b &= 3 \\ -10a + b &= -1 \end{aligned} \right. \]

En additionnant : \( 2b = 2 \), donc b = 1 ; puis \( 10a = 2 \), donc \( a = \dfrac{1}{5} \).

Par conséquent, Le point de contact en 5 est sur la tangente : \( f(5) = 3 \times 5 – 3 = 12 \). Or \( f(5) = 25a + 5b + c = 5 + 5 + c \), donc c = 2.

En effet, il faut vérifier la dernière condition : \( f(-5) = 25 \times \dfrac{1}{5} – 5 + 2 = 2 \), et la tangente \( y = -x – 3 \) passe par \( (-5 \,;\, 2) \) car \( -(-5) – 3 = 2 \). Par ailleurs, la condition est bien vérifiée : \( f(x) = \dfrac{1}{5}x^2 + x + 2 \).

Suite du corrigé corrigé dérivée première

Ensuite, 2) Soit deux points \( A(x_1 \,;\, y_1) \) et \( B(x_2 \,;\, y_2) \) avec \( x_1 \neq x_2 \), et deux coefficients directeurs \( m_1 \) et \( m_2 \). Puis on cherche a, b, c (avec \( a \neq 0 \)) tels que :

De plus :\[ f(x_1) = y_1, \quad f(x_2) = y_2, \quad f^{\prime}(x_1) = m_1, \quad f^{\prime}(x_2) = m_2. \]

Par ailleurs, Cela fait 4 conditions pour 3 inconnues : en général, il n’y a pas de solution. Ensuite, les deux conditions sur \( f^{\prime} \) donnent \( 2a(x_2 – x_1) = m_2 – m_1 \), donc \( a = \dfrac{m_2 – m_1}{2(x_2 – x_1)} \) puis b ; la condition \( f(x_1) = y_1 \) donne c. Puis il reste une condition à vérifier. De plus, pour une parabole, on montre que \( \dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} = a(x_1 + x_2) + b = \dfrac{f^{\prime}(x_1) + f^{\prime}(x_2)}{2} \). Conclusion :

• une telle parabole existe (et elle est unique) si et seulement si \( \dfrac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \dfrac{m_1 + m_2}{2} \) et \( m_1 \neq m_2 \) ;

Exercice 18 (suite 3)

• si \( m_1 = m_2 \), on trouverait a = 0 : ce ne serait pas une parabole ;
• sinon, il n’y a aucune parabole solution.

Ainsi, Contrôle avec la question 1) b) : \( \dfrac{12 – 2}{5 – (-5)} = 1 \) et \( \dfrac{3 + (-1)}{2} = 1 \), c’est pourquoi une solution existait.

« Sans cassure » signifie que les morceaux se raccordent avec la même tangente : en B, la parabole a la même tangente que la partie horizontale ; en C, elle a la même tangente que le segment [CD]. Ensuite, on a \( f^{\prime}(x) = 2ax + b \).

• En B(1 ; 0) : la courbe passe par B, donc \( f(1) = a + b + c = 0 \) ; la tangente est horizontale, donc \( f^{\prime}(1) = 2a + b = 0 \).
• En C(5 ; 1,8) : la tangente est la droite (CD), de coefficient directeur \( \dfrac{2{,}7 – 1{,}8}{6 – 5} = 0{,}9 \), donc \( f^{\prime}(5) = 10a + b = 0{,}9 \).

Donc, en soustrayant les deux équations sur \( f^{\prime} \) : \( 8a = 0{,}9 \), donc \( a = \dfrac{0{,}9}{8} = 0{,}1125 \). Puis \( b = -2a = -0{,}225 \) et \( c = -a – b = 0{,}1125 \).

Également, Vérification avec le point C : \( f(5) = 25 \times 0{,}1125 + 5 \times (-0{,}225) + 0{,}1125 = 2{,}8125 – 1{,}125 + 0{,}1125 = 1{,}8 \). Par ailleurs, la parabole passe bien par C.

Par conséquent, Remarque : \( f(x) = 0{,}1125(x^2 – 2x + 1) = 0{,}1125(x – 1)^2 \), ce qui montre que B est le sommet de la parabole.

Première partie. Le nombre dérivé \( f^{\prime}(-1) \) est le coefficient directeur de la tangente \( \mathcal{T}_A \). Si \( \mathcal{T}_A \) passe par A(−1 ; 3) et par un autre point M, alors \( f^{\prime}(-1) = \dfrac{y_M – y_A}{x_M – x_A} \).

En effet, 1) Avec O(0 ; 0) : \( f^{\prime}(-1) = \dfrac{0 – 3}{0 – (-1)} = -3 \).

Ensuite, 2) Avec B(1 ; 3) : \( f^{\prime}(-1) = \dfrac{3 – 3}{1 – (-1)} = 0 \) (tangente horizontale).

De plus, 3) Avec C(2 ; 5) : \( f^{\prime}(-1) = \dfrac{5 – 3}{2 – (-1)} = \dfrac{2}{3} \).

De même, Deuxième partie. Fonctions dérivées :

Ainsi, 1) \( f(x) = 2x^2 + 3 \) : \( f^{\prime}(x) = 4x \) sur \( \mathbb{R} \).

De même, donc, 2) \( g(x) = x^3(x + 2) = x^4 + 2x^3 \) : \( g^{\prime}(x) = 4x^3 + 6x^2 \) sur \( \mathbb{R} \) (on retrouve le même résultat avec la formule \( (uv)^{\prime} \)).

Également, 3) \( h(x) = \dfrac{1}{x^4} \), définie sur \( \mathbb{R}^* \). Avec \( \left(\dfrac{1}{v}\right)^{\prime} = -\dfrac{v^{\prime}}{v^2} \) et \( v(x) = x^4 \) :

Suite du corrigé corrigé dérivée première

Par conséquent :\[ h^{\prime}(x) = -\dfrac{4x^3}{x^8} = -\dfrac{4}{x^5} \]

En effet, 4) \( i(x) = \dfrac{x+1}{x^2} \), définie sur \( \mathbb{R}^* \). Avec \( \left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^2} \), \( u(x) = x + 1 \) et \( v(x) = x^2 \) :

Ensuite :\[ i^{\prime}(x) = \dfrac{1 \times x^2 – (x+1) \times 2x}{x^4} = \dfrac{x^2 – 2x^2 – 2x}{x^4} = \dfrac{-x^2 – 2x}{x^4} = -\dfrac{x + 2}{x^3} \]

On note \( \dfrac{\Delta f}{\Delta x}(a) = \dfrac{f(a+h) – f(a)}{h} \) pour \( h \neq 0 \). Puis la fonction f est dérivable en a si ce taux a une limite finie quand h tend vers 0 ; cette limite est \( f^{\prime}(a) \).

De plus, Première série

Par ailleurs, 1) \( f(x) = 2x – 7 \), a = 3 : \( \dfrac{2(3+h) – 7 – (-1)}{h} = \dfrac{2h}{h} = 2 \). Ensuite, le taux est constant : f est dérivable en 3 et \( f^{\prime}(3) = 2 \).

Ainsi, 2) \( f(x) = mx + p \) : \( \dfrac{m(a+h) + p – (ma + p)}{h} = \dfrac{mh}{h} = m \). f est dérivable en tout a et \( f^{\prime}(a) = m \).

Donc, 3) \( f(x) = -3x^2 \), a = 2 : \( f(2+h) = -3(4 + 4h + h^2) = -12 – 12h – 3h^2 \) et \( f(2) = -12 \).

Également :\[ \dfrac{\Delta f}{\Delta x}(2) = \dfrac{-12h – 3h^2}{h} = -12 – 3h \xrightarrow[h \to 0]{} -12 \]

Par conséquent, f est dérivable en 2 et \( f^{\prime}(2) = -12 \).

Dans corrigé dérivée première, en effet, 4) \( f(x) = -\dfrac{2}{x} \), a = 1 : \( f(1) = -2 \).

Suite du corrigé corrigé dérivée première

Ensuite :\[ \dfrac{\Delta f}{\Delta x}(1) = \dfrac{-\frac{2}{1+h} + 2}{h} = \dfrac{\frac{-2 + 2 + 2h}{1+h}}{h} = \dfrac{2}{1+h} \xrightarrow[h \to 0]{} 2 \]

De plus, f est dérivable en 1 et \( f^{\prime}(1) = 2 \).

Par ailleurs, 5) \( f(x) = \sqrt{x – 1} \), a = 1 : f est définie sur \( [1 \,;\, +\infty[ \), donc h \( \gt 0 \). \( f(1) = 0 \) et \( f(1+h) = \sqrt{h} \).

Ainsi :\[ \dfrac{\Delta f}{\Delta x}(1) = \dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}} \xrightarrow[h \to 0]{} +\infty \]

Donc, la limite n’est pas finie : f n’est pas dérivable en 1 (la courbe a une tangente verticale en ce point).

Également, Deuxième série

Par conséquent, 1) \( f(x) = -x^2 + 7x \), a = 2 : \( f(2) = 10 \) et \( f(2+h) = -(4 + 4h + h^2) + 14 + 7h = 10 + 3h – h^2 \).

En effet :\[ \dfrac{\Delta f}{\Delta x}(2) = \dfrac{3h – h^2}{h} = 3 – h \xrightarrow[h \to 0]{} 3 \quad \text{donc} \quad f^{\prime}(2) = 3 \]

Ensuite, 2) \( f(x) = x^3 \), a = 4 : \( (4+h)^3 = 64 + 48h + 12h^2 + h^3 \).

Exercice 21 (suite 3)

De plus :\[ \dfrac{\Delta f}{\Delta x}(4) = \dfrac{48h + 12h^2 + h^3}{h} = 48 + 12h + h^2 \xrightarrow[h \to 0]{} 48 \quad \text{donc} \quad f^{\prime}(4) = 48 \]

Par ailleurs, 3) \( f(x) = \dfrac{1}{x+1} \), a = −2 : \( f(-2) = -1 \) et \( f(-2+h) = \dfrac{1}{h – 1} \).

Ainsi :\[ \dfrac{\Delta f}{\Delta x}(-2) = \dfrac{\frac{1}{h-1} + 1}{h} = \dfrac{\frac{h}{h-1}}{h} = \dfrac{1}{h – 1} \xrightarrow[h \to 0]{} -1 \quad \text{donc} \quad f^{\prime}(-2) = -1 \]

Donc, 4) \( f(x) = 2\sqrt{x} – 1 \), a = 4 : \( f(4) = 3 \). Puis on multiplie par la quantité conjuguée :

Également :\[ \dfrac{\Delta f}{\Delta x}(4) = \dfrac{2\sqrt{4+h} – 4}{h} = \dfrac{2(\sqrt{4+h} – 2)(\sqrt{4+h} + 2)}{h(\sqrt{4+h} + 2)} = \dfrac{2h}{h(\sqrt{4+h} + 2)} = \dfrac{2}{\sqrt{4+h} + 2} \]

Par conséquent, quand h tend vers 0, ce taux tend vers \( \dfrac{2}{2 + 2} = \dfrac{1}{2} \), donc \( f^{\prime}(4) = \dfrac{1}{2} \).

La tangente en a existe (non verticale) lorsque f est dérivable en a ; elle a pour équation \( y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a) \), que l’on développe sous la forme \( y = mx + p \).

En effet, Première série

Ensuite, 1) \( f(x) = -x^2 + x + 1 \), a = −1 : \( f(-1) = -1 – 1 + 1 = -1 \) ; \( f^{\prime}(x) = -2x + 1 \), donc \( f^{\prime}(-1) = 3 \).

De plus :\[ y = 3(x + 1) – 1 = 3x + 2 \]

Par ailleurs, 2) \( f(x) = \sqrt{x} \), a = 4 : \( f(4) = 2 \) ; \( f^{\prime}(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4} \).

Ainsi :\[ y = \dfrac{1}{4}(x – 4) + 2 = \dfrac{1}{4}x + 1 \]

Donc, 3) \( f(x) = \sqrt{x} \), a = 0 : la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0 (le taux \( \dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}} \) tend vers \( +\infty \)). De plus, il n’y a donc pas de tangente d’équation y = mx + p : la tangente en O est verticale (c’est l’axe des ordonnées, d’équation x = 0).

Suite du corrigé corrigé dérivée première

Également, 4) \( f(x) = \dfrac{1}{x} \), a = −2 : \( f(-2) = -\dfrac{1}{2} \) ; \( f^{\prime}(-2) = -\dfrac{1}{4} \).

Par conséquent :\[ y = -\dfrac{1}{4}(x + 2) – \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}x – 1 \]

En effet, Deuxième série

Ensuite, 1) \( f(x) = 3x^2 – x – 1 \), a = 2 : \( f(2) = 12 – 2 – 1 = 9 \) ; \( f^{\prime}(x) = 6x – 1 \), donc \( f^{\prime}(2) = 11 \).

De plus :\[ y = 11(x – 2) + 9 = 11x – 13 \]

Par ailleurs, 2) \( f(x) = \dfrac{1}{x} \), a = −1 : \( f(-1) = -1 \) ; \( f^{\prime}(-1) = -1 \).

Ainsi :\[ y = -(x + 1) – 1 = -x – 2 \]

Donc, 3) \( f(x) = x^3 \), a = 2 : \( f(2) = 8 \) ; \( f^{\prime}(2) = 3 \times 4 = 12 \).

Également :\[ y = 12(x – 2) + 8 = 12x – 16 \]

Par conséquent, 4) \( f(x) = x^2 + x + 1 \), a = 0 : \( f(0) = 1 \) ; \( f^{\prime}(x) = 2x + 1 \), donc \( f^{\prime}(0) = 1 \).

En effet :\[ y = x + 1 \]

Tangente en 2. Avec \( f(2) = 5 \) et \( f^{\prime}(2) = 3 \) :

Ensuite :\[ y = f^{\prime}(2)(x – 2) + f(2) = 3(x – 2) + 5 = 3x – 1 \]

Nombre dérivé de \( f(x) = (x – 5)^3 \). Le nombre dérivé en a est la limite du taux d’accroissement quand h tend vers 0. Ensuite, les termes \( h^2 \) et \( (3a – 15)h \) tendent vers 0, donc :

Par ailleurs :\[ f^{\prime}(a) = 3a^2 – 30a + 75 = 3(a^2 – 10a + 25) = 3(a – 5)^2 \]

Nombres dérivés des fonctions de référence.

• 1) Fonction inverse : \( f^{\prime}(x) = -\dfrac{1}{x^2} \), donc \( f^{\prime}(4) = -\dfrac{1}{16} \).
• 2) Fonction carré : \( f^{\prime}(x) = 2x \), donc \( f^{\prime}(-2) = -4 \).
• 3) Fonction racine carrée : \( f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \), donc \( f^{\prime}\left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2 \times \frac{1}{2}} = 1 \).
• 4) Fonction cube : \( f^{\prime}(x) = 3x^2 \), donc \( f^{\prime}(-1) = 3 \).

1) La courbe passe par l’origine, donc f(0) = 0. Par ailleurs, le nombre dérivé \( f^{\prime}(0) \) est le coefficient directeur de \( \mathcal{T}_0 \). Puis cette droite passe par O(0 ; 0) et par le point (−1 ; 3) (elle sort du quadrillage en haut, une unité à gauche de l’axe, à la hauteur 3) : \( f^{\prime}(0) = \dfrac{3 – 0}{-1 – 0} = -3 \). Donc \( f^{\prime}(0) = -3 \).

De même, donc, 2) Le nombre dérivé est nul là où la tangente est horizontale : au sommet de la « bosse » (−1 ; 2) et au fond du « creux » (1 ; −2). Donc \( f^{\prime}(x) = 0 \) pour x = −1 et x = 1.

Également, 3) Le nombre dérivé est négatif là où f est décroissante : \( f^{\prime}(x) \leqslant 0 \) sur [−1 ; 1] (strictement négatif sur ]−1 ; 1[).

Par conséquent, 4) Le nombre dérivé est positif là où f est croissante : \( f^{\prime}(x) \geqslant 0 \) sur [−2 ; −1] et sur [1 ; 2] (strictement positif sur [−2 ; −1[ et ]1 ; 2]).

Plusieurs réponses peuvent être exactes : on teste chaque proposition.

Question 1. \( f(x) = x^2 + x + 1 \), donc \( f^{\prime}(x) = 2x + 1 \).

• a) \( f^{\prime}(x) = 2x + 1 \) : vrai.
• b) \( f^{\prime}(-1) = -2 + 1 = -1 \) : vrai.
• c) \( f^{\prime}(x) = 2x \) : faux (on a oublié la dérivée de x).
• d) \( f^{\prime}(0) = 1 \), pas 0 : faux.

Après cela, question 2. \( f(x) = -x^3 \), donc \( f^{\prime}(x) = -3x^2 \).

• a) \( f^{\prime}(0) = 0 \) : vrai.
• b) \( f^{\prime}(1) = -3 \), pas −1 : faux.
• c) \( f^{\prime}(x) = -3x^2 \) : vrai.
• d) \( f^{\prime}(x) = -x^2 \) : faux.

Question 3. \( f(x) = g(4x + 2) \). Ensuite, la dérivée de \( x \mapsto g(mx + p) \) est \( x \mapsto m\,g^{\prime}(mx + p) \), ici avec m = 4 :

En effet :\[ f^{\prime}(x) = 4g^{\prime}(4x + 2) \]

Ensuite, Seule la réponse c) est exacte : a) oublie le facteur 4, b) a un signe faux et d) évalue \( g^{\prime} \) au mauvais endroit.

Question 1. Sur \( I = ]0 \,;\, +\infty[ \), on écrit \( f(x) = \dfrac{\sqrt{x} – 1}{x} = \dfrac{\sqrt{x}}{x} – \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} – \dfrac{1}{x} \). Avec \( \left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{\prime} = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \) et \( \left(\dfrac{1}{x}\right)^{\prime} = -\dfrac{1}{x^2} \) :

De plus :\[ f^{\prime}(x) = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}} + \dfrac{1}{x^2} \]

Pour bien réussir corrigé dérivée première, on retient que par ailleurs, on compare aux propositions, en remarquant que \( \dfrac{\sqrt{x}}{2x^2} = \dfrac{\sqrt{x}}{2x \times \sqrt{x} \times \sqrt{x}} = \dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \) :

• d) \( \dfrac{1}{x^2} – \dfrac{\sqrt{x}}{2x^2} = \dfrac{1}{x^2} – \dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \) : vrai.
• c) \( \dfrac{2 – \sqrt{x}}{2x^2} = \dfrac{2}{2x^2} – \dfrac{\sqrt{x}}{2x^2} \), c’est la même expression que d) : vrai.
• a) et b) : faux (par exemple en x = 1, \( f^{\prime}(1) = -\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2} \), alors que a) et b) donnent \( -\dfrac{1}{2} \)).

Suite du corrigé corrigé dérivée première

Question 2. \( g = \dfrac{1}{f} \) avec \( f(x) = \sqrt{x} \), donc \( g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \). Puis la formule du cours donne \( g^{\prime} = -\dfrac{f^{\prime}}{f^2} \) :

Donc :\[ g^{\prime}(x) = -\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \]

• a) \( g^{\prime} = \dfrac{1}{f^{\prime}} \) : faux.
• b) \( g^{\prime} = -\dfrac{f^{\prime}}{f^2} \) : vrai.
• c) \( g^{\prime}(x) = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \) : vrai.
• d) \( -\dfrac{\sqrt{x}}{2x^2} = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \) (même simplification que plus haut) : vrai.

Non, on ne peut pas l’écrire. Par définition, le nombre dérivé en 2 est la limite du taux d’accroissement entre 2 et 2 + h :

Également :\[ f^{\prime}(2) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(2+h) – f(2)}{h} = -1 \]

Par conséquent, Au numérateur, il faut \( f(2) \) et non \( f(h) \). De plus, L’expression \( \dfrac{f(2+h) – f(h)}{h} \) compare les valeurs de f en deux points distants de 2 et divise par h : elle n’a en général pas de limite finie.

En effet, Contre-exemple : \( f(x) = -x \) est dérivable en 2 avec \( f^{\prime}(2) = -1 \). Pourtant :

Ensuite :\[ \dfrac{f(2+h) – f(h)}{h} = \dfrac{-2 – h + h}{h} = -\dfrac{2}{h} \]

De plus, qui ne tend pas vers −1 quand h tend vers 0 (sa valeur absolue devient aussi grande que l’on veut).

1. Le nombre dérivé \( f^{\prime}(-1) \) est le coefficient directeur de la tangente \( T_A \) au point A d’abscisse −1. Ensuite, on lit \( A(-1\,;2) \), et \( T_A \) coupe l’axe des abscisses au point \( (-3\,;0) \). Entre ces deux points de la droite :

Par ailleurs :\[ f^{\prime}(-1)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2-0}{-1-(-3)}=\frac{2}{2}=1. \]

Ainsi, 2. La tangente en A a pour équation \( y=f^{\prime}(-1)(x-(-1))+f(-1) \), avec \( f(-1)=2 \) :

Donc :\[ y=1\times(x+1)+2 \iff y=x+3. \]

Également, Vérification sur le graphique : \( T_A \) coupe bien l’axe des ordonnées en 3.

1. Pour \( h\neq 0 \) et \( h\neq -3 \) (ainsi \( 1+h\neq -2 \)), le taux de variation de f entre 1 et \( 1+h \) est :

Par conséquent :\[ \begin{aligned} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} &= \frac{1}{h}\left(\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}\right) \\ &= \frac{1}{h}\times\frac{3-(3+h)}{3(3+h)} \\ &= \frac{1}{h}\times\frac{-h}{3(3+h)} \\ &= -\frac{1}{3(3+h)}. \end{aligned} \]

En effet, 2. Quand h tend vers 0, \( 3(3+h) \) tend vers 9, donc le taux de variation tend vers \( -\frac{1}{9} \). Par ailleurs, cette limite est un nombre réel : f est dérivable en 1 et

Ensuite :\[ f^{\prime}(1)=\lim_{h\to 0}\left(-\frac{1}{3(3+h)}\right)=-\frac{1}{9}. \]

1. \( T_A \) est parallèle à l’axe des abscisses : son coefficient directeur est nul. Or ce coefficient directeur est le nombre dérivé en −2, donc \( f^{\prime}(-2)=0 \).

De plus, 2. \( f^{\prime}(0) \) est le coefficient directeur de la tangente \( T_J \) en \( J(0\,;1) \). Puis on lit que \( T_J \) passe aussi par le point \( (1\,;-1) \) (et coupe l’axe des abscisses en 0,5). Donc :

Par ailleurs :\[ f^{\prime}(0)=\frac{-1-1}{1-0}=-2. \]

1. \[ f(1+h)-f(1)=(1+h)^2-1^2=1+2h+h^2-1=2h+h^2. \]

Ainsi, 2. Pour \( h\neq 0 \), le taux de variation vaut

Donc :\[ \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{h(2+h)}{h}=2+h. \]

Également, Quand h tend vers 0, \( 2+h \) tend vers 2, qui est un nombre réel : f est dérivable en 1 et \( f^{\prime}(1)=2 \).

Par conséquent, 3. À la calculatrice, on peut :

• calculer le taux \( \frac{(1+h)^2-1}{h} \) pour des valeurs de h de plus en plus petites : 2,1 pour \( h=0{,}1 \) ; 2,01 pour \( h=0{,}01 \) ; 2,001 pour \( h=0{,}001 \) : les valeurs se rapprochent de 2 ;
• ou utiliser la fonction « nombre dérivé » (nDeriv, dérivée numérique) avec \( X^2 \) en \( X=1 \) : elle affiche 2.

Le nombre dérivé en un point est le coefficient directeur de la tangente en ce point. Ensuite, on le lit avec un « triangle de pente » : \( \frac{\text{déplacement vertical}}{\text{déplacement horizontal}} \).

En effet, 1. \( T_A \) passe par \( A(0\,;1) \) et par \( (1\,;-1) \) (elle coupe l’axe des abscisses en 0,5) : \[ f^{\prime}(0)=\frac{-1-1}{1-0}=-2. \]

Ensuite, 2. \( T_B \) passe par \( B(3\,;4) \) et par le point \( (2\,;0) \) de l’axe des abscisses : \[ f^{\prime}(3)=\frac{4-0}{3-2}=4. \]

• En \( x_1=-4 \) : la tangente \( d_2 \) passe par \( B(-4\,;-2) \) et par le point \( (-2\,;-5) \) (point marqué, intersection avec \( d_3 \)). \[ f^{\prime}(-4)=\frac{-5-(-2)}{-2-(-4)}=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}. \]
• En \( x_2=-\frac{5}{2} \) : la tangente \( d_1 \) est parallèle à l’axe des abscisses, son coefficient directeur est nul : \( f^{\prime}\left(-\frac{5}{2}\right)=0 \).
• En \( x_3=0 \) : la tangente \( d_3 \) passe par \( O(0\,;0) \) et par \( (-2\,;-5) \). \[ f^{\prime}(0)=\frac{-5-0}{-2-0}=\frac{5}{2}. \]

\( f^{\prime}(2) \) est le coefficient directeur de la tangente T au point A d’abscisse 2. Puis on lit \( A(2\,;-4) \) ; T coupe l’axe des ordonnées en \( (0\,;-2) \) (et l’axe des abscisses en \( (-2\,;0) \)).

De plus :\[ f^{\prime}(2)=\frac{-4-(-2)}{2-0}=\frac{-2}{2}=-1. \]

Attention, le repère n’est pas orthonormé : \( \vec{i} \) mesure 1 carreau mais \( \vec{j} \) mesure 2 carreaux. De plus, le point A, d’abscisse \( a=-1 \), est 1 carreau au-dessus de l’axe des abscisses : \( A\left(-1\,;\frac{1}{2}\right) \). (On retrouve \( B(2\,;-1) \) 2 carreaux sous l’axe.)

Par ailleurs, \( f^{\prime}(-1) \) est le coefficient directeur de T, qui passe par A et B :

Ainsi :\[ f^{\prime}(-1)=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-1-\frac{1}{2}}{2-(-1)}=\frac{-\frac{3}{2}}{3}=-\frac{1}{2}. \]

Donc, Contrôle : la droite T de coefficient directeur \( -\frac{1}{2} \) passant par A passe aussi par l’origine, ce que l’on voit sur la figure.

La tangente T en A (d’abscisse \( a=1 \)) passe par \( A\left(1\,;-\frac{3}{2}\right) \) et \( B\left(-1\,;\frac{5}{2}\right) \). Son coefficient directeur est le nombre dérivé \( f^{\prime}(1) \) :

Également :\[ f^{\prime}(1)=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{\frac{5}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)}{-1-1}=\frac{4}{-2}=-2. \]

Ici chaque unité vaut 2 carreaux (la graduation 2,5 est à 5 carreaux de O). A est le point de la courbe d’abscisse \( a=0 \) : on lit \( A(0\,;1) \).

Par conséquent, la tangente T passe par A et \( B\left(\frac{1}{2}\,;2\right) \) :

En effet :\[ f^{\prime}(0)=\frac{2-1}{\frac{1}{2}-0}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2. \]

Ensuite, Contrôle : T coupe l’axe des abscisses en \( -\frac{1}{2} \), et \( \frac{1-0}{0-\left(-\frac{1}{2}\right)}=2 \).

Chaque colonne donne un point de la courbe \( (x\,;f(x)) \) et le coefficient directeur de la tangente en ce point, \( f^{\prime}(x) \). Ensuite, on place donc les cinq points, on trace un petit morceau de chaque tangente, puis une courbe « lisse » qui passe par les points en suivant ces tangentes :

• \( (-3\,;-2) \) avec \( f^{\prime}(-3)=0 \) : tangente horizontale ;
• \( (-2\,;0) \) avec \( f^{\prime}(-2)=2 \) : la courbe monte (2 vers le haut pour 1 vers la droite) ;
• \( (0\,;2) \) avec \( f^{\prime}(0)=0 \) : tangente horizontale, c’est un sommet ;
• \( \left(\frac{3}{2}\,;0\right) \) avec \( f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{5}{2} \) : la courbe descend (2,5 vers le bas pour 1 vers la droite) ;
• \( (3\,;-4) \) avec \( f^{\prime}(3)=0 \) : tangente horizontale.

De plus, il existe une infinité de courbes possibles : il suffit qu’elle passe par les cinq points avec les bonnes tangentes. Par ailleurs, la plus naturelle monte de −3 à 0 puis descend de 0 à 3.

1. \( T_A \) est horizontale : c’est une droite d’équation \( y=k \). Puis elle passe par A, dont l’ordonnée se lit sur l’axe : 4 (A a pour coordonnées \( (2\,;4) \)). Donc \( T_A : y=4 \).

2. On lit \( B(-1\,;1) \). Ensuite, la droite \( T_B \) passe par B et par \( \left(-2\,;\frac{29}{4}\right) \) ; son coefficient directeur est

Par ailleurs :\[ m=\frac{\frac{29}{4}-1}{-2-(-1)}=\frac{\frac{25}{4}}{-1}=-\frac{25}{4}. \]

Ainsi, son équation s’écrit \( y=-\frac{25}{4}x+p \). Comme B est sur \( T_B \) : \( 1=-\frac{25}{4}\times(-1)+p \), donc \( p=1-\frac{25}{4}=-\frac{21}{4} \).

Donc :\[ T_B : y=-\frac{25}{4}x-\frac{21}{4}. \]

Également, 3. Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Celui de \( T_B \) est \( f^{\prime}(-1)=-\frac{25}{4}=-\frac{75}{12} \), celui de \( T_C \) est \( f^{\prime}(3)=-\frac{101}{12} \). Comme \( -\frac{75}{12}\neq-\frac{101}{12} \), \( T_B \) et \( T_C \) ne sont pas parallèles.

On lit les points de contact : \( A(-4\,;5) \), \( B(-1\,;-4) \), \( C(0\,;-3) \), \( D(1\,;0) \). Puis pour chaque tangente, on repère un second point à coordonnées entières, on calcule le coefficient directeur m, puis l’ordonnée à l’origine p.

• \( d_1 \) passe par \( A(-4\,;5) \) et \( (-3\,;-1) \) : \( m=\frac{-1-5}{-3-(-4)}=-6 \), puis \( 5=-6\times(-4)+p \) donne \( p=-19 \) : \( d_1 : y=-6x-19 \).
• \( d_2 \) est horizontale et passe par \( B(-1\,;-4) \) : \( d_2 : y=-4 \).
• Sur cette fiche corrigé dérivée première, \( d_3 \) passe par \( C(0\,;-3) \) et \( (1\,;-1) \) : \( m=\frac{-1-(-3)}{1-0}=2 \) et \( p=-3 \) : \( d_3 : y=2x-3 \).
• \( d_4 \) passe par \( D(1\,;0) \) et \( (0\,;-4) \) : \( m=\frac{0-(-4)}{1-0}=4 \) et \( p=-4 \) : \( d_4 : y=4x-4 \).

Par conséquent, Contrôle : ces résultats correspondent à la parabole \( f(x)=x^2+2x-3 \) (sommet B, passant par A, C et D), pour laquelle \( f^{\prime}(x)=2x+2 \) donne bien \( f^{\prime}(-4)=-6 \), \( f^{\prime}(-1)=0 \), \( f^{\prime}(0)=2 \), \( f^{\prime}(1)=4 \).

La vitesse à l’instant t est \( h^{\prime}(t) \), c’est-à-dire le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse t. De plus, une unité vaut un carreau sur chaque axe (1 s et 1 m). Ensuite, pour convertir, \( 1\text{ m/s}=3{,}6\text{ km/h} \) (car \( 1\text{ m/s}=\frac{3\,600}{1\,000}\text{ km/h} \)).

En effet, 1. La tangente en 0 (en vert) passe par \( O(0\,;0) \) et par \( (2\,;4{,}5) \) : \[ h^{\prime}(0)=\frac{4{,}5-0}{2-0}=2{,}25\text{ m/s}=2{,}25\times 3{,}6=8{,}1\text{ km/h}. \]

Ensuite, 2. La tangente en 2 (en bleu) passe par \( (0\,;1) \) et \( (4\,;6) \) : \[ h^{\prime}(2)=\frac{6-1}{4-0}=1{,}25\text{ m/s}=4{,}5\text{ km/h}. \]

De plus, 3. La tangente en 4 (en orange) passe par \( (0\,;4) \) et \( (4\,;5) \) : \[ h^{\prime}(4)=\frac{5-4}{4-0}=0{,}25\text{ m/s}=0{,}9\text{ km/h}. \]

Suite du corrigé corrigé dérivée première

Par ailleurs, la vitesse diminue : le projectile ralentit en montant, et sa vitesse s’annule au sommet de la trajectoire, juste après \( t=4 \).

1. Deux courbes admettent une tangente commune en A si elles passent toutes deux par A et ont le même nombre dérivé en son abscisse.

• \( f(1)=-1^2+4=3 \) et \( g(1)=1-4+6=3 \) : A(1 ; 3) est sur \( C_f \) et sur \( C_g \).
• \( f^{\prime}(x)=-2x \), donc \( f^{\prime}(1)=-2 \) ; \( g^{\prime}(x)=2x-4 \), donc \( g^{\prime}(1)=-2 \).

Ainsi, Les deux tangentes en A passent par le même point et ont le même coefficient directeur −2 : elles sont confondues. \( C_f \) et \( C_g \) admettent une tangente commune T en A.

Donc, 2. \[ T : y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)=-2(x-1)+3 \iff y=-2x+5. \]

Également, Pour la tracer, on place A(1 ; 3) et le point \( (0\,;5) \) (ordonnée à l’origine), ou \( (2{,}5\,;0) \).

On utilise les dérivées usuelles (\( (x^n)^{\prime}=nx^{n-1} \), \( (\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \), \( \left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2} \)) et les règles : somme, produit par une constante, produit \( (uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} \).

Par ailleurs, Premier cas. 1. f est constante : \( f^{\prime}(x)=0 \). 2. \( g^{\prime}(x)=4 \).

Deuxième cas. 1. \( f^{\prime}(x)=4x^3 \). 2. \( g^{\prime}(x)=4\times 4x^3=16x^3 \).

Troisième cas.

1. Par ailleurs, en développant : \( f(x)=2x^2+6x-x-3=2x^2+5x-3 \), donc \( f^{\prime}(x)=4x+5 \).

Ensuite, 2. Avec \( u(x)=x^2-x+2 \), \( u^{\prime}(x)=2x-1 \), \( v(x)=2x^3-4 \), \( v^{\prime}(x)=6x^2 \) :

De plus :\[ \begin{aligned} g^{\prime}(x) &= (2x-1)(2x^3-4)+(x^2-x+2)\times 6x^2 \\ &= 4x^4-2x^3-8x+4+6x^4-6x^3+12x^2 \\ &= 10x^4-8x^3+12x^2-8x+4. \end{aligned} \]

Également, Quatrième cas. 1. \( f^{\prime}(x)=4x-3 \). 2. \( g^{\prime}(x)=3x^2+8x+5 \).

Suite du corrigé corrigé dérivée première

Cinquième cas.

Donc, 1. \( f^{\prime}(x)=\frac{1}{4}\times 4x^3-\frac{1}{3}\times 3x^2+\frac{1}{2}\times 2x=x^3-x^2+x \).

2. Puis pour \( x \gt 0 \) : \( g^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2} \).

Formules utiles : \( (uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} \), \( \left(\frac{1}{v}\right)^{\prime}=-\frac{v^{\prime}}{v^2} \) et \( \left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2} \).

Premier cas.

Par conséquent, 1. Sur \( ]0\,;+\infty[ \), avec \( u(x)=\sqrt{x} \) et \( v(x)=x^2+1 \) :

En effet :\[ f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^2+1)+\sqrt{x}\times 2x=\frac{x^2+1+4x^2}{2\sqrt{x}}=\frac{5x^2+1}{2\sqrt{x}}. \]

2. Ensuite, pour \( x\neq 0 \), \( g(x)=\frac{x^2-1}{x}=x-\frac{1}{x} \), donc \( g^{\prime}(x)=1+\frac{1}{x^2}=\frac{x^2+1}{x^2} \).

Également, Deuxième cas.

De plus, 1. Avec \( v(x)=2x-3 \), \( v^{\prime}(x)=2 \) : \( f^{\prime}(x)=4\times\left(-\frac{2}{(2x-3)^2}\right)=-\frac{8}{(2x-3)^2} \).

Par ailleurs, 2. Avec \( v(x)=1-4x \), \( v^{\prime}(x)=-4 \) : \( g^{\prime}(x)=2\times\left(-\frac{-4}{(1-4x)^2}\right)=\frac{8}{(1-4x)^2} \).

Suite du corrigé corrigé dérivée première

Troisième cas. (Les dénominateurs ne s’annulent jamais : \( x^2+x+1 \) a un discriminant négatif et \( x^4+1\geqslant 1 \).)

Donc, 1. \( f^{\prime}(x)=-2\times\left(-\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}\right)=\frac{2(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}=\frac{4x+2}{(x^2+x+1)^2} \).

Également, 2. \( g^{\prime}(x)=3\times\left(-\frac{4x^3}{(x^4+1)^2}\right)=-\frac{12x^3}{(x^4+1)^2} \).

Également, Quatrième cas.

En effet, 1. \( u(x)=5x-1 \), \( u^{\prime}(x)=5 \), \( v(x)=x+2 \), \( v^{\prime}(x)=1 \) :

Ensuite :\[ f^{\prime}(x)=\frac{5(x+2)-(5x-1)\times 1}{(x+2)^2}=\frac{11}{(x+2)^2}. \]

De plus, 2. \( u(x)=3-x \), \( u^{\prime}(x)=-1 \), \( v(x)=1+4x \), \( v^{\prime}(x)=4 \) :

Par ailleurs :\[ g^{\prime}(x)=\frac{-(1+4x)-4(3-x)}{(1+4x)^2}=\frac{-1-4x-12+4x}{(1+4x)^2}=-\frac{13}{(1+4x)^2}. \]