Variations et limites de suites en 1ère : corrigé des exercices 1 à 10

Si \(u_n=f(n)\) et si \(f\) est croissante (resp. décroissante) sur \([a\,;\,+\infty[\), alors \((u_n)\) est croissante (resp. décroissante) à partir du rang \(a\).

1) \(f(x)=4x-7\) sur \([1\,;\,+\infty[\) : fonction affine de coefficient \(4\gt 0\), donc croissante. La suite est croissante (c’est même vrai dès \(n=0\) : \(u_{n+1}-u_n=4\)).

2) \(f(x)=\sqrt{x}\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) : \((u_n)\) est croissante.

3) \(f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1\) est croissante sur \([2\,;\,+\infty[\) : \((u_n)\) est croissante à partir du rang 2. Elle n’est pas croissante dès le départ : \(u_0=5\), \(u_1=2\), \(u_2=1\), \(u_3=2\).

4) \(f(x)=\dfrac{1}{4x}\) sur \([1\,;\,+\infty[\) : la fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) et on multiplie par \(\frac{1}{4}\gt 0\), donc \(f\) est décroissante. La suite (définie pour \(n\geqslant 1\)) est décroissante.

1) \(f(x)=x^2-13x+36\) : parabole tournée vers le haut, de sommet d’abscisse \(\dfrac{13}{2}=6{,}5\). \(f\) est croissante sur \([6{,}5\,;\,+\infty[\), donc \((u_n)\) est croissante à partir du rang 7. On peut préciser avec la différence :

\[ u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-13(n+1)+36-(n^2-13n+36)=2n-12 \]

\(2n-12\geqslant 0\iff n\geqslant 6\) : \(u_6=u_7=-6\) et la suite est croissante à partir du rang 6 (décroissante de \(u_0\) à \(u_6\)).

2) \(f(x)=\dfrac{x+2}{3x+2}\) sur \([1\,;\,+\infty[\). Avec la formule \(\left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\) :

\[ f^{\prime}(x)=\frac{1\times(3x+2)-3(x+2)}{(3x+2)^2}=\frac{-4}{(3x+2)^2}\lt 0 \]

\(f\) est décroissante, donc \((u_n)\) est décroissante (et même dès \(n=0\) : \(u_0=1\gt u_1=\frac{3}{5}\)).

Pour montrer qu’une suite n’est pas monotone, un contre-exemple suffit : trois termes consécutifs qui montent puis descendent (ou l’inverse).

1) \(u_n=3n^2-3^n\) (l’énoncé porte une barre parasite après l’exposant) : \(u_0=0-1=-1\), \(u_1=3-3=0\), \(u_2=12-9=3\), \(u_3=27-27=0\). On a \(u_1\lt u_2\) mais \(u_2\gt u_3\) : pas monotone.

2) \(u_0=1\), \(u_1=(1-1)^2=0\), \(u_2=(0-1)^2=1\). \(u_0\gt u_1\) mais \(u_1\lt u_2\) : pas monotone (la suite alterne entre 1 et 0).

3) \(u_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\) : \(u_0=1\), \(u_1=-\dfrac{1}{2}\), \(u_2=\dfrac{1}{4}\). Les termes changent de signe à chaque rang : \(u_0\gt u_1\) et \(u_1\lt u_2\), pas monotone.

A. Trois méthodes.

1) \(u_n=\sqrt{n}+2\).

• Différence : \(u_{n+1}-u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\gt 0\) car la racine carrée est strictement croissante.
• Fonction : \(f(x)=\sqrt{x}+2\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
• Quotient (termes positifs) : \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\sqrt{n+1}+2}{\sqrt{n}+2}\gt 1\) car le numérateur est plus grand que le dénominateur.

La suite est croissante.

2) \(u_n=\dfrac{1}{n+1}\).

• Différence : \(\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{(n+1)-(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}\lt 0\).
• Fonction : \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\) est décroissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
• Quotient : \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+1}{n+2}\lt 1\), termes positifs.

La suite est décroissante.

3) \(u_n=3n^2+n\).

• Différence : \(3(n+1)^2+(n+1)-3n^2-n=6n+4\gt 0\).
• Fonction : \(f(x)=3x^2+x\), parabole de sommet d’abscisse \(-\frac{1}{6}\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
• Opérations : \((3n^2)\) et \((n)\) sont croissantes, leur somme l’est aussi. (Le quotient n’est pas utilisable dès \(n=0\) car \(u_0=0\).)

La suite est croissante.

B. Méthode adaptée.

1) \(u_n=3n^2\) : \(u_{n+1}-u_n=3(2n+1)\gt 0\), croissante.

2) \(u_n=\dfrac{2n+5}{n+1}=\dfrac{2(n+1)+3}{n+1}=2+\dfrac{3}{n+1}\) ; \(\dfrac{3}{n+1}\) diminue quand \(n\) augmente : décroissante.

3) \(u_n=\sqrt{n+1}\) : fonction \(x\mapsto\sqrt{x+1}\) croissante, croissante.

4) \(u_n=\dfrac{0{,}5^n}{n}\), \(n\geqslant 1\), termes strictement positifs : \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{0{,}5^{n+1}}{n+1}\times\dfrac{n}{0{,}5^n}=0{,}5\times\dfrac{n}{n+1}\lt 1\), décroissante.

A.

1) \(u_n=n-n^2\) : \(u_{n+1}-u_n=(n+1)-(n+1)^2-n+n^2=-2n\leqslant 0\). La suite est décroissante (\(u_0=u_1=0\), puis strictement décroissante).

2) \(u_n=1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}\) : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}\gt 0\), croissante.

3) \(u_n=3n\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\), \(n\geqslant 1\), termes positifs :

\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3(n+1)}{3n}\times\frac{1}{3}=\frac{n+1}{3n} \]

Or \(n+1\lt 3n\iff n\gt\frac{1}{2}\), vrai pour \(n\geqslant 1\) : le quotient est inférieur à 1, décroissante (\(u_1=1\), \(u_2=\frac{2}{3}\), \(u_3=\frac{1}{3}\)…).

B.

1) \(u_{n+1}=(u_n+1)^2\) : \(u_{n+1}-u_n=u_n^2+u_n+1=\left(u_n+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\gt 0\), croissante.

2) \(u_0=3\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{n+2}\). Par récurrence immédiate, tous les termes sont strictement positifs. Alors \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{n+2}\leqslant\dfrac{1}{2}\lt 1\) : décroissante.

3) \(u_n=\dfrac{2^{2n+2}}{3^n}=\dfrac{4\times4^n}{3^n}=4\times\left(\dfrac{4}{3}\right)^n\) : suite géométrique de premier terme \(4\gt 0\) et de raison \(\dfrac{4}{3}\gt 1\), croissante.

1) \(u_n=\dfrac{\sqrt{n}}{2^n}\) : \(u_0=0\), \(u_1=\frac{1}{2}\), \(u_2=\frac{\sqrt{2}}{4}\approx0{,}35\). Pour \(n\geqslant 1\), les termes sont positifs et :

\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n+1}{n}}\leqslant\frac{1}{2}\sqrt{2}\lt 1 \]

car \(\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}\leqslant 2\). La suite est décroissante à partir du rang 1 (elle monte seulement de \(u_0\) à \(u_1\)).

2) Il faut lire \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n^2}\) avec \(u_0=4\). Si \(u_n\gt 0\), alors \(u_{n+1}\gt 0\) : tous les termes sont positifs. Puis :

\[ u_{n+1}-u_n=\frac{u_n-u_n(1+u_n^2)}{1+u_n^2}=\frac{-u_n^3}{1+u_n^2}\lt 0 \]

La suite est décroissante.

3) \(u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{-1}{n(n+1)}\), \(n\geqslant 1\). Quand \(n\) augmente, \(n(n+1)\) augmente, donc \(\dfrac{1}{n(n+1)}\) diminue et son opposé augmente. Par le calcul : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{2}{n(n+1)(n+2)}\gt 0\). Croissante.

Factorielle. \(u_n=n!\gt 0\) et \(u_{n+1}=(n+1)\times u_n\), donc \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=n+1\geqslant 2\gt 1\) : la suite est strictement croissante (1, 2, 6, 24, 120…).

1) Diminuer de \(0{,}003\,\%\), c’est multiplier par \(1-\dfrac{0{,}003}{100}=0{,}99997\) : \(m_{t+1}=0{,}99997\,m_t\).

2) On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre : \((m_t)\) est une suite géométrique de raison \(q=0{,}99997\) et de premier terme \(m_0=1\). Donc \(m_t=0{,}99997^t\) (en g).

3) \(m_{t+1}-m_t=m_t(0{,}99997-1)=-0{,}00003\,m_t\lt 0\) car \(m_t\gt 0\) : la suite est décroissante (premier terme positif et raison comprise entre 0 et 1).

4) Au tableur : en A2 l’année 0, en B2 la masse 1 ; en A3 =A2+1 et en B3 =B2*0,99997, puis on recopie vers le bas (sur plus de 23 000 lignes) et on cherche la première masse inférieure à 0,5. On trouve :

\[ m_{23\,104}\approx 0{,}500\,008\gt 0{,}5 \qquad m_{23\,105}\approx 0{,}499\,993\lt 0{,}5 \]

La masse est divisée par deux au bout de 23 105 ans environ (avec ce modèle ; la valeur mesurée pour le plutonium 239 est d’environ 24 000 ans).

Pour une suite arithmétique, \(u_{n+1}-u_n=r\) : elle est croissante si \(r\gt 0\), décroissante si \(r\lt 0\), constante si \(r=0\). Le premier terme ne joue aucun rôle.

1) \(r=0{,}4\gt 0\) : croissante.

2) \(r=-2\lt 0\) : décroissante.

3) \(r=-2\lt 0\) : décroissante (le premier terme négatif ne change rien).

4) \(r=\dfrac{1}{4}\gt 0\) : croissante.

Pour \(v_n=v_0q^n\) : \(v_{n+1}-v_n=v_0q^n(q-1)\). Le sens dépend du signe de \(v_0\) et de la position de \(q\) par rapport à 0 et 1.

1) \(v_0=-5\), \(q=\dfrac{1}{4}\) : \(v_{n+1}-v_n=-5\times\left(\frac{1}{4}\right)^n\times\left(-\frac{3}{4}\right)\gt 0\) : croissante (\(-5\), \(-1{,}25\), \(-0{,}3125\)… les termes remontent vers 0).

2) \(v_0=\dfrac{1}{5}\gt 0\), \(q=6\gt 1\) : \(v_{n+1}-v_n=\frac{1}{5}\times6^n\times5\gt 0\) : croissante.

3) \(v_0=5\), \(q=-\dfrac{1}{5}\lt 0\) : les termes changent de signe (\(5\), \(-1\), \(\frac{1}{5}\)…) : pas monotone.

4) \(v_0=-\dfrac{1}{2}\), \(q=-\dfrac{1}{2}\lt 0\) : \(-\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(-\frac{1}{8}\)… : pas monotone.

1) Les points montent et descendent : 1 ; environ 0,7 ; 0 ; environ \(-0{,}7\) ; \(-1\) ; \(-0{,}7\) ; 0 ; 0,7 ; 1 ; puis le motif recommence tous les 8 rangs (ces valeurs sont celles de \(\cos\frac{n\pi}{4}\)). La suite n’est pas monotone et, comme elle repasse indéfiniment par 1 et par \(-1\), elle n’a pas de limite.

2) Les points montent à chaque rang, de plus en plus lentement : la suite semble croissante. Ses termes s’approchent de la droite d’équation \(y=3\) sans la dépasser : on conjecture que la suite converge vers 3.