Les nombres relatifs en 4ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Situation 1. Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé.

1. \((+2)-(+8)-(-4)-(-3) = 2-8+4+3\). La bonne forme simplifiée est la réponse c (et le résultat vaut \(1\)).

2. \((-7)-(-3)+(+5)-(+4) = -7+3+5-4\). La bonne forme simplifiée est la réponse a (et le résultat vaut \(-3\)).

Situation 2.

a. \((+2)+(-5) = 2-5 = \mathbf{-3}\)
b. \((-3)+(+7)+(+3) = -3+7+3 = \mathbf{7}\)
c. \((-7)+(-2)+(+4)+(-1) = -7-2+4-1 = -10+4 = \mathbf{-6}\)
d. \((-3)-(-4) = -3+4 = \mathbf{1}\)
e. \((+7)-(-2)+(+4) = 7+2+4 = \mathbf{13}\)
f. \((+5)+(-4)-(+7) = 5-4-7 = \mathbf{-6}\)

Situation 3. Deux facteurs de même signe donnent un produit positif, de signes contraires un produit négatif.

a. \((-2)\times 3 = \mathbf{-6}\)
b. \((-4)\times(-3) = \mathbf{12}\)
c. \((+2{,}5)\times(-5) = \mathbf{-12{,}5}\)
d. \((-2{,}4)\times(-1{,}5) = \mathbf{3{,}6}\)
e. \(2\times(-1)\times(-3) = \mathbf{6}\)

Situation 4. Un produit est positif s’il contient un nombre pair de facteurs négatifs, négatif sinon.

• \(A\) contient 3 facteurs \((-1)\) : 3 est impair, donc \(A\) est négatif (\(A=-1\)).
• \(B\) contient 6 facteurs \((-1)\) (les 2e, 5e, 6e, 8e, 9e et 12e) : 6 est pair, donc \(B\) est positif (\(B=1\)).
• \(C\) contient 303 facteurs \((-1)\) : 303 est impair, donc \(C\) est négatif (\(C=-1\)).

Situation 5. On calcule d’abord l’intérieur des parenthèses et des crochets.

\[ \begin{aligned} A &= (-3)\times[3-(+5)] = (-3)\times(-2) = 6 \\ B &= 4-[5\times(-2)+(-2)] = 4-[-10-2] = 4-(-12) = 16 \\ C &= -4\times[(3+(-4))\times(-2-(-3))] = -4\times[(-1)\times 1] = -4\times(-1) = 4 \end{aligned} \]

On effectue en priorité les calculs entre crochets, et dans les crochets les multiplications avant les additions.

\[ \begin{aligned} A &= (-5)+[(-4)\times(-2)+(+7)] \\ &= (-5)+[8+7] \\ &= -5+15 \\ &= 10 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= (-4)\times(-2)\times(-3)-(-3)\times(-2) \\ &= (-24)-(+6) \\ &= -24-6 \\ &= -30 \end{aligned} \]

Pour \(B\) : le premier produit contient trois facteurs négatifs, il est donc négatif ; le second en contient deux, il est positif.

\[ \begin{aligned} C &= (+6)-(-9)+(-3)\times[(-5)\times(-2)-3] \\ &= 6+9+(-3)\times[10-3] \\ &= 15+(-3)\times 7 \\ &= 15-21 \\ &= -6 \end{aligned} \]

Pour un produit, on détermine d’abord le signe (nombre de facteurs négatifs), puis on multiplie les distances à zéro.

\(A=(+3)\times(-2)\times(+4)\times(-1)\times(-2)\) : trois facteurs négatifs, donc \(A\) est négatif. \(3\times2\times4\times1\times2=48\), d’où \(A=-48\).

\(B=(-2)\times(+5)\times(-1)\times(-5)\times(-2)\) : quatre facteurs négatifs, donc \(B\) est positif. \(2\times5\times1\times5\times2=100\), d’où \(B=100\).

\[ \begin{aligned} C &= (-8)-4\times(+5) \\ &= -8-20 \\ &= -28 \end{aligned} \qquad \begin{aligned} D &= 5\times(-7+10)-12 \\ &= 5\times 3-12 \\ &= 15-12 = 3 \end{aligned} \]

Le quotient de deux nombres de même signe est positif, de signes contraires il est négatif. Les divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions.

\[ \begin{aligned} A &= (+3)-(-7)+(+24):(-6) \\ &= 3+7+(-4) \\ &= 6 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= (-3)+(-4)\times(-6)+(-21):(-7) \\ &= -3+24+3 \\ &= 24 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= (-36):(-9)-[(-4)\times(-3)+(-21):(-3)] \\ &= 4-[12+7] \\ &= 4-19 \\ &= -15 \end{aligned} \]

On regroupe les facteurs pour calculer plus facilement.

\[ \begin{aligned} A &= 2\times 3\times(-4)\times 0{,}5 = (2\times 0{,}5)\times 3\times(-4) = 1\times(-12) = -12 \\ B &= 2\times(-1)\times 5\times(-5) = (-2)\times(-25) = 50 \\ C &= (-3)\times(-5)\times(-2)\times 5 = 15\times(-10) = -150 \\ D &= (-1)\times(-8)\times(-6)\times(-5) = 8\times 30 = 240 \end{aligned} \]

Contrôle des signes : \(A\) a un facteur négatif (négatif), \(B\) deux (positif), \(C\) trois (négatif), \(D\) quatre (positif).

\[ \begin{aligned} A &= 5\times 6-16\div(-4)-(15-8{,}1) \\ &= 30-(-4)-6{,}9 \\ &= 30+4-6{,}9 \\ &= 27{,}1 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= (23-37)\times(14{,}2-16{,}7) \\ &= (-14)\times(-2{,}5) \\ &= 35 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= -11{,}6-4{,}2\div(-3)-(7{,}6-14{,}1) \\ &= -11{,}6-(-1{,}4)-(-6{,}5) \\ &= -11{,}6+1{,}4+6{,}5 \\ &= -3{,}7 \end{aligned} \]

Le trait de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule séparément le numérateur et le dénominateur.

\[ \begin{aligned} A &= 6+\frac{24-66}{3-9} = 6+\frac{-42}{-6} = 6+7 = 13 \\ B &= \frac{(-7)\times 8+6}{-21-(-2)\times 13} = \frac{-56+6}{-21-(-26)} = \frac{-50}{5} = -10 \\ C &= \frac{12\times(1-5)}{-3-3} = \frac{12\times(-4)}{-6} = \frac{-48}{-6} = 8 \end{aligned} \]

On représente une perte par un nombre négatif : il y a deux ans le résultat était \(-80\,000\) €, l’année dernière \(-15\,000\) €.

1. L’amélioration est la différence entre le résultat le plus récent et le plus ancien :

\[ (-15\,000)-(-80\,000) = -15\,000+80\,000 = 65\,000 \text{ €} \]

L’entreprise a amélioré ses résultats de 65 000 €.

2. Si le résultat augmente encore de 65 000 € :

\[ -15\,000+65\,000 = 50\,000 \text{ €} \]

Le résultat devient positif : l’entreprise fera un profit de 50 000 € l’année prochaine.

On repère les altitudes par rapport au niveau de la mer (altitude 0) : le cormoran part de \(+11\) m et arrive à \(-10\) m.

La distance parcourue vers le bas est la différence entre l’altitude de départ et l’altitude d’arrivée :

\[ 11-(-10) = 11+10 = 21 \text{ m} \]

Pour prouver qu’une phrase générale est fausse, un seul exemple qui ne la vérifie pas suffit : c’est un contre-exemple.

a) \(2\div 0{,}1 = 20\) et \(20 \gt 2\) : le résultat est plus grand que le nombre de départ. La phrase est fausse.

b) L’inverse de \(0{,}5\) est \(\dfrac{1}{0{,}5} = 2\) et \(0{,}5 \lt 2\) : le nombre est plus petit que son inverse. La phrase est fausse.

c) \((-3)\times(-1) = 3\) et \(3 \gt -3\) : le résultat est plus grand que le nombre de départ. La phrase est fausse.

d) \((-1)\times 4 = -4\) et \(-4 \lt -1\) : le résultat est plus petit que le nombre de départ. La phrase est fausse.