Les puissances en 4ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Sommaire

Voici le corrigé exercices puissances 4ème pour les dix premiers exercices de la fiche. L’essentiel porte sur les puissances de 10 : passer de l’écriture décimale à une puissance et inversement, appliquer les règles \(10^n\times 10^p = 10^{n+p}\), \(\dfrac{10^n}{10^p} = 10^{n-p}\) et \((10^n)^p = 10^{np}\), puis donner l’écriture scientifique d’un nombre. On travaille aussi l’ordre de grandeur, les exposants négatifs et, dans le dernier exercice, les puissances d’un nombre quelconque, y compris négatif.

Plusieurs problèmes montrent à quoi servent ces écritures : secondes dans une année, capacité réelle d’un disque dur en octets, nombre de moustiques pour égaler un éléphant, eau bue chaque jour par l’humanité. Les solutions indiquent à chaque ligne la règle utilisée. Conseil : refaites les calculs d’exposants de tête, puis vérifiez votre résultat avec la correction ; une erreur de signe sur un exposant se repère vite en relisant la règle.

Les énoncés se trouvent sur la fiche Puissances : exercices de maths en 4ème corrigés en PDF. (46 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.

Corrigé des exercices 1 à 10 sur les puissances en 4ème

Exercice 1 : Puissances de 10

Revoir l’énoncé de l’exercice 1

Puissances de 10. On utilise \((10^n)^p = 10^{n\times p}\), \(10^n\times 10^p = 10^{n+p}\) et \(\frac{10^n}{10^p} = 10^{n-p}\).

\[ \begin{aligned} A &= (10^2)^3 = 10^{6} \qquad B = (10^{-2})^3 = 10^{-6} \qquad C = (10^{-5})^{-1} = 10^{5} \\ D &= 10\times\frac{10^3}{10^2} = 10^{1+3-2} = 10^{2} \\ E &= \frac{10^3\times 10^{-4}}{10^{-2}\times 10^5} = \frac{10^{-1}}{10^{3}} = 10^{-4} \\ F &= \left(\frac{10^5}{10^3}\right)^3 = (10^2)^3 = 10^{6} \\ G &= \frac{(10^{-2})^3}{10^{-4}} = \frac{10^{-6}}{10^{-4}} = 10^{-6-(-4)} = 10^{-2} \\ H &= \frac{10^4\times(10^{-1})^3}{10^3} = \frac{10^4\times 10^{-3}}{10^3} = \frac{10^{1}}{10^3} = 10^{-2} \end{aligned} \]

Encadrements.

1) Nombre de secondes dans une année de 365 jours :

\[ 365\times 24\times 3\,600 = 31\,536\,000 \text{ s} \]

Ce nombre a 8 chiffres, donc \(10^7 \leqslant 31\,536\,000 \lt 10^8\).

2) \(31\,536\,000 \approx 3{,}15\times 10^7\). Il est beaucoup plus proche de \(10^7\) (écart d’environ 21,5 millions) que de \(10^8\) (écart d’environ 68,5 millions) : le meilleur ordre de grandeur est \(10^7\) secondes.

Réponse : \(A = 10^6\), \(B = 10^{-6}\), \(C = 10^5\), \(D = 10^2\), \(E = 10^{-4}\), \(F = 10^6\), \(G = 10^{-2}\), \(H = 10^{-2}\) ; \(10^7 \leqslant 31\,536\,000 \lt 10^8\), ordre de grandeur \(10^7\) s.

Exercice 2 : Les puissances

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L’écriture scientifique est de la forme \(a\times 10^n\) avec \(1 \leqslant a \lt 10\) et \(n\) entier relatif. Déplacer la virgule de \(k\) rangs vers la gauche oblige à ajouter \(k\) à l’exposant.

\[ \begin{aligned} A &= 274{,}274\times 10^4 = 2{,}742\,74\times 10^2\times 10^4 = 2{,}742\,74\times 10^6 \\ B &= 52\,000\,000 = 5{,}2\times 10^7 \\ C &= 0{,}0023\times 10^4 = 2{,}3\times 10^{-3}\times 10^4 = 2{,}3\times 10^1 \\ D &= 7\,824\times 10^3 = 7{,}824\times 10^3\times 10^3 = 7{,}824\times 10^6 \end{aligned} \]

Réponse : \(A = 2{,}742\,74\times 10^6\) ; \(B = 5{,}2\times 10^7\) ; \(C = 2{,}3\times 10^1\) ; \(D = 7{,}824\times 10^6\).

Exercice 3 : Puissances de 10 et calculs

Revoir l’énoncé de l’exercice 3

Situation 1. \(10^n\) (\(n\) positif) s’écrit 1 suivi de \(n\) zéros ; \(10^{-n}\) s’écrit avec le chiffre 1 au \(n\)-ième rang après la virgule.

1. a. \(10^8 = 100\,000\,000\) ; b. \(10^3 = 1\,000\) ; c. \(10^0 = 1\) ; d. \(10^6 = 1\,000\,000\).

2. a. \(10^{-4} = 0{,}000\,1\) ; b. \(10^{-2} = 0{,}01\) ; c. \(10^{-8} = 0{,}000\,000\,01\) ; d. \(10^{-1} = 0{,}1\).

Situation 2.

a. \(100\,000 = 10^5\) ; b. \(10 = 10^1\) ; c. \(1 = 10^0\) ; d. \(0{,}000\,001 = 10^{-6}\) ; e. \(-0{,}000\,1 = -10^{-4}\) ; f. \(\dfrac{1}{10\,000} = \dfrac{1}{10^4} = 10^{-4}\).

Situation 3. On écrit les deux termes avec la même puissance de 10 avant d’additionner.

\[ \begin{aligned} a.\ & 3{,}2\times 10^{15}+571\times 10^{13} = 3{,}2\times 10^{15}+5{,}71\times 10^{15} = 8{,}91\times 10^{15} \\ b.\ & 934\times 10^{-17}-6{,}34\times 10^{-15} = 9{,}34\times 10^{-15}-6{,}34\times 10^{-15} = 3\times 10^{-15} \\ c.\ & (0{,}0157\times 10^{-8}):(8\times 10^{-3}) = \frac{0{,}0157}{8}\times 10^{-8-(-3)} = 0{,}001\,962\,5\times 10^{-5} = 1{,}962\,5\times 10^{-8} \end{aligned} \]

Situation 4.

a. \(57 = 5{,}7\times 10^1\) ; b. \(358{,}4 = 3{,}584\times 10^2\) ; c. \(1\,235 = 1{,}235\times 10^3\) ; d. \(0{,}49 = 4{,}9\times 10^{-1}\) ; e. \(0{,}004 = 4\times 10^{-3}\) ; f. \(0{,}000\,018 = 1{,}8\times 10^{-5}\).

Situation 5. On regroupe les nombres décimaux d’un côté et les puissances de 10 de l’autre.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{0{,}25\times 10^9\times 8\times 10^{-3}}{5\times 10^{-5}} = \frac{0{,}25\times 8}{5}\times\frac{10^{9}\times 10^{-3}}{10^{-5}} = 0{,}4\times 10^{11} = 4\times 10^{10} \\ B &= 5{,}7\times 10^{-7}+1\,200\times 10^{-10} = 5{,}7\times 10^{-7}+1{,}2\times 10^{-7} = 6{,}9\times 10^{-7} \end{aligned} \]

Situation 6. \(2 \text{ km} = 2\times 10^3 \text{ m} = 2\times 10^6 \text{ mm}\) et un million \(= 10^6\).

\[ \frac{2\times 10^6}{10^6} = 2 \text{ mm} \]

Une pièce de 1 € a une épaisseur de 2 mm (en réalité 2,33 mm : l’énoncé arrondit).

Réponse : situation 3 : \(8{,}91\times 10^{15}\) ; \(3\times 10^{-15}\) ; \(1{,}962\,5\times 10^{-8}\). Situation 5 : \(A = 4\times 10^{10}\), \(B = 6{,}9\times 10^{-7}\). Situation 6 : 2 mm.

Exercice 4 : Puissances, mathématiques et technologie

Revoir l’énoncé de l’exercice 4

1a. \(1 \text{ Go} = 2^{10} \text{ Mo} = 2^{10}\times 2^{10} \text{ ko} = 2^{10}\times 2^{10}\times 2^{10} \text{ octets} = 2^{30}\) octets.

1b. \(2^{30} = 1\,073\,741\,824\) octets.

2a. \(2^{10} = 1\,024 = 1{,}024\times 10^3\).

2b. \(1\,024\) est très proche de \(1\,000\) : la puissance de 10 la plus proche de \(2^{10}\) est \(10^3\). C’est pourquoi les fabricants comptent 1 Go = \(10^9\) octets.

3a. Un disque de 150 Go « commerciaux » contient :

\[ 150\times 10^9 = 1{,}5\times 10^{11} \text{ octets} \]

3b. En vrais gigaoctets (\(2^{30}\) octets), cela représente :

\[ \frac{1{,}5\times 10^{11}}{2^{30}} \approx 139{,}70 \text{ Go} \]

Il manque donc \(150-139{,}70 \approx 10{,}30\) Go.

3c. En pourcentage de la capacité commerciale :

\[ \frac{10{,}30}{150}\times 100 \approx 6{,}9\ \% \]

Réponse : 1 Go = \(2^{30}\) = 1 073 741 824 octets ; \(2^{10} = 1{,}024\times 10^3 \approx 10^3\) ; le disque contient \(1{,}5\times 10^{11}\) octets, soit environ 139,7 Go réels : environ 10,3 Go « manquent », soit environ 6,9 %.

Exercice 5 : Calculs simples et puissances de 10

Revoir l’énoncé de l’exercice 5

\[ \begin{aligned} A &= 10^2\times 10^8 = 10^{2+8} = 10^{10} \\ B &= 10\times 10^{17} = 10^{1+17} = 10^{18} \\ C &= 10^{-3}\times 10^8 = 10^{-3+8} = 10^{5} \\ D &= \frac{10^7}{10^3} = 10^{7-3} = 10^{4} \\ E &= \frac{10^4}{10^{12}} = 10^{4-12} = 10^{-8} \end{aligned} \]

Réponse : \(A = 10^{10}\), \(B = 10^{18}\), \(C = 10^5\), \(D = 10^4\), \(E = 10^{-8}\).

Exercice 6 : Calculs complexes sur les puissances de 10

Revoir l’énoncé de l’exercice 6

\[ \begin{aligned} G &= \frac{(10^{-7})^4}{10^4\times 10^2} = \frac{10^{-28}}{10^{6}} = 10^{-28-6} = 10^{-34} \\ H &= \frac{10^4\times 10^{11}}{(10^{-1})^{-8}} = \frac{10^{15}}{10^{8}} = 10^{7} \\ I &= \frac{10^{-12}\times 10^2}{(10^8)^3\times 10^8} = \frac{10^{-10}}{10^{24}\times 10^8} = \frac{10^{-10}}{10^{32}} = 10^{-42} \end{aligned} \]

Réponse : \(G = 10^{-34}\), \(H = 10^{7}\), \(I = 10^{-42}\).

Exercice 7 : Problème sur les puissances de 10 : les moustiques et l'éléphant

Revoir l’énoncé de l’exercice 7

On divise la masse de l’éléphant par la masse d’un moustique :

\[ \frac{6\times 10^3}{1{,}5\times 10^{-6}} = \frac{6}{1{,}5}\times 10^{3-(-6)} = 4\times 10^{9} \]

Réponse : il faut \(4\times 10^9\) moustiques, soit 4 milliards, pour égaler la masse de l’éléphant.

Exercice 8 : Problème sur les puissances et la consommation d'eau

Revoir l’énoncé de l’exercice 8

6,8 milliards \(= 6{,}8\times 10^9\) personnes boivent chacune 1,5 L par jour :

\[ 6{,}8\times 10^9\times 1{,}5 = 10{,}2\times 10^9 = 1{,}02\times 10^{10} \text{ L} \]

Réponse : l’humanité boit environ \(1{,}02\times 10^{10}\) litres d’eau par jour.

Exercice 9 : Écriture scientifique

Revoir l’énoncé de l’exercice 9

\[ \begin{aligned} A &= 12\times 10^8\times 5\times 10^{-2} = 60\times 10^{6} = 6\times 10^{7} \\ B &= 8\times 10^{-5}\times 4\times(10^8)^2 = 32\times 10^{-5+16} = 32\times 10^{11} = 3{,}2\times 10^{12} \\ C &= 5\times(10^5)^{-3}\times 8\times 10^2 = 40\times 10^{-15+2} = 40\times 10^{-13} = 4\times 10^{-12} \end{aligned} \]

Réponse : \(A = 6\times 10^7\), \(B = 3{,}2\times 10^{12}\), \(C = 4\times 10^{-12}\).

Exercice 10 : Calculs avec des puissances quelconques

Revoir l’énoncé de l’exercice 10

Mêmes règles qu’avec 10 : \(a^n\times a^p = a^{n+p}\), \(\frac{a^n}{a^p} = a^{n-p}\), et \(a^n\times b^n = (a\times b)^n\).

\[ \begin{aligned} A &= 3^5\times 3^3 = 3^{8} \\ B &= 4^{-5}\times 4^{-3} = 4^{-8} \\ C &= (-2)^{-5}\times 2^{-1} = -2^{-5}\times 2^{-1} = -2^{-6} \\ D &= 3^5\times 4^5 = (3\times 4)^5 = 12^{5} \\ E &= 9^{-6}\times(-7)^{-6} = (9\times(-7))^{-6} = (-63)^{-6} = 63^{-6} \\ F &= (-7)^2\times 6^2 = (-42)^2 = 42^{2} \\ G &= \frac{11^7}{11^2} = 11^{5} \\ H &= \frac{7^6}{7^{-2}} = 7^{6-(-2)} = 7^{8} \\ I &= \frac{(-2)^{-4}}{(-2)^5} = (-2)^{-4-5} = (-2)^{-9} \end{aligned} \]

Pour \(C\) : \((-2)^{-5}\) est négatif (exposant impair), donc \((-2)^{-5} = -2^{-5}\) ; le produit vaut \(-2^{-6} = -\frac{1}{64}\).

Réponse : \(3^8\) ; \(4^{-8}\) ; \(-2^{-6}\) ; \(12^5\) ; \(63^{-6}\) ; \(42^2\) ; \(11^5\) ; \(7^8\) ; \((-2)^{-9}\).

La méthode à retenir sur les puissances

Produit : on additionne les exposants, \(10^n\times 10^p = 10^{n+p}\).
Quotient : on soustrait les exposants, \(\frac{10^n}{10^p} = 10^{n-p}\) (attention aux exposants négatifs).
Puissance de puissance : on multiplie les exposants, \((10^n)^p = 10^{n\times p}\).
Écriture scientifique : \(a\times 10^n\) avec \(1 \leqslant a \lt 10\) ; virgule déplacée de \(k\) rangs vers la gauche, exposant augmenté de \(k\).
Pour un calcul mixte, on regroupe les nombres décimaux d’un côté et les puissances de 10 de l’autre.
Pour additionner, on écrit d’abord les deux termes avec la même puissance de 10.

Les erreurs fréquentes

Multiplier les exposants au lieu de les additionner : \(10^2\times 10^8 = 10^{10}\), pas \(10^{16}\).
Mal soustraire un exposant négatif : \(\frac{10^{-6}}{10^{-4}} = 10^{-2}\), pas \(10^{-10}\).
Laisser \(a\) hors de l’intervalle : \(60\times 10^6\) ou \(0{,}4\times 10^{11}\) ne sont pas des écritures scientifiques.
Additionner les exposants dans une somme : \(3{,}2\times 10^{15}+5{,}71\times 10^{15}\) donne \(8{,}91\times 10^{15}\), pas \(10^{30}\).
Oublier le signe d’une puissance de nombre négatif : un exposant impair garde le signe « moins ».

Les exercices 11 à 46 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.

Questions fréquentes

À quoi sert l’écriture scientifique ?

Elle permet d’écrire et de comparer rapidement des nombres très grands ou très petits, comme la masse d’un moustique ou la distance Terre-Soleil. L’exposant donne tout de suite l’ordre de grandeur. C’est aussi l’affichage utilisé par les calculatrices.

Que vaut 10 puissance 0 ?

\(10^0 = 1\), comme toute puissance d’exposant 0 d’un nombre non nul. On le retrouve avec la règle du quotient : \(\frac{10^3}{10^3} = 10^{3-3} = 10^0\), et ce quotient vaut évidemment 1.

Pourquoi un disque dur affiche-t-il moins de gigaoctets qu’annoncé ?

Le fabricant compte 1 Go = \(10^9\) octets, alors que l’ordinateur compte 1 Go = \(2^{30}\) octets, un peu plus. La même quantité d’octets donne donc un nombre de « gigaoctets » plus petit à l’écran, environ 7 % de moins, comme dans l’exercice 4.

Pour aller plus loin :

Les énoncés : Puissances : exercices de maths en 4ème corrigés en PDF.
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