Corrigé des 46 exercices sur les puissances en 4ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Puissances de 10. On utilise \((10^n)^p = 10^{n\times p}\), \(10^n\times 10^p = 10^{n+p}\) et \(\frac{10^n}{10^p} = 10^{n-p}\).

\[ \begin{aligned} A &= (10^2)^3 = 10^{6} \qquad B = (10^{-2})^3 = 10^{-6} \qquad C = (10^{-5})^{-1} = 10^{5} \\ D &= 10\times\frac{10^3}{10^2} = 10^{1+3-2} = 10^{2} \\ E &= \frac{10^3\times 10^{-4}}{10^{-2}\times 10^5} = \frac{10^{-1}}{10^{3}} = 10^{-4} \\ F &= \left(\frac{10^5}{10^3}\right)^3 = (10^2)^3 = 10^{6} \\ G &= \frac{(10^{-2})^3}{10^{-4}} = \frac{10^{-6}}{10^{-4}} = 10^{-6-(-4)} = 10^{-2} \\ H &= \frac{10^4\times(10^{-1})^3}{10^3} = \frac{10^4\times 10^{-3}}{10^3} = \frac{10^{1}}{10^3} = 10^{-2} \end{aligned} \]

Encadrements.

Par conséquent, 1) Nombre de secondes dans une année de 365 jours :

\[ 365\times 24\times 3\,600 = 31\,536\,000 \text{ s} \]

Ce nombre a 8 chiffres, donc \(10^7 \leqslant 31\,536\,000 \lt 10^8\).

Suite du corrigé corrigé puissances 4ème

2) \(31\,536\,000 \approx 3{,}15\times 10^7\). Par ailleurs, il est beaucoup plus proche de \(10^7\) (écart d’environ 21,5 millions) que de \(10^8\) (écart d’environ 68,5 millions) : le meilleur ordre de grandeur est \(10^7\) secondes.

L’écriture scientifique est de la forme \(a\times 10^n\) avec \(1 \leqslant a \lt 10\) et \(n\) entier relatif. Déplacer la virgule de \(k\) rangs vers la gauche oblige à ajouter \(k\) à l’exposant.

\[ \begin{aligned} A &= 274{,}274\times 10^4 = 2{,}742\,74\times 10^2\times 10^4 = 2{,}742\,74\times 10^6 \\ B &= 52\,000\,000 = 5{,}2\times 10^7 \\ C &= 0{,}0023\times 10^4 = 2{,}3\times 10^{-3}\times 10^4 = 2{,}3\times 10^1 \\ D &= 7\,824\times 10^3 = 7{,}824\times 10^3\times 10^3 = 7{,}824\times 10^6 \end{aligned} \]

Situation 1. \(10^n\) (\(n\) positif) s’écrit 1 suivi de \(n\) zéros ; \(10^{-n}\) s’écrit avec le chiffre 1 au \(n\)-ième rang après la virgule.

En effet, 1. a. \(10^8 = 100\,000\,000\) ; b. \(10^3 = 1\,000\) ; c. \(10^0 = 1\) ; d. \(10^6 = 1\,000\,000\).

Ensuite, 2. a. \(10^{-4} = 0{,}000\,1\) ; b. \(10^{-2} = 0{,}01\) ; c. \(10^{-8} = 0{,}000\,000\,01\) ; d. \(10^{-1} = 0{,}1\).

Situation 2.

Par ailleurs, a. \(100\,000 = 10^5\) ; b. \(10 = 10^1\) ; c. \(1 = 10^0\) ; d. \(0{,}000\,001 = 10^{-6}\) ; e. \(-0{,}000\,1 = -10^{-4}\) ; f. \(\dfrac{1}{10\,000} = \dfrac{1}{10^4} = 10^{-4}\).

Situation 3. On écrit les deux termes avec la même puissance de 10 avant d’additionner.

\[ \begin{aligned} a.\ & 3{,}2\times 10^{15}+571\times 10^{13} = 3{,}2\times 10^{15}+5{,}71\times 10^{15} = 8{,}91\times 10^{15} \\ b.\ & 934\times 10^{-17}-6{,}34\times 10^{-15} = 9{,}34\times 10^{-15}-6{,}34\times 10^{-15} = 3\times 10^{-15} \\ c.\ & (0{,}0157\times 10^{-8}):(8\times 10^{-3}) = \frac{0{,}0157}{8}\times 10^{-8-(-3)} = 0{,}001\,962\,5\times 10^{-5} = 1{,}962\,5\times 10^{-8} \end{aligned} \]

Également, Situation 4.

Suite du corrigé corrigé puissances 4ème

Également, a. \(57 = 5{,}7\times 10^1\) ; b. \(358{,}4 = 3{,}584\times 10^2\) ; c. \(1\,235 = 1{,}235\times 10^3\) ; d. \(0{,}49 = 4{,}9\times 10^{-1}\) ; e. \(0{,}004 = 4\times 10^{-3}\) ; f. \(0{,}000\,018 = 1{,}8\times 10^{-5}\).

Par ailleurs, Situation 5. On regroupe les nombres décimaux d’un côté et les puissances de 10 de l’autre.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{0{,}25\times 10^9\times 8\times 10^{-3}}{5\times 10^{-5}} = \frac{0{,}25\times 8}{5}\times\frac{10^{9}\times 10^{-3}}{10^{-5}} = 0{,}4\times 10^{11} = 4\times 10^{10} \\ B &= 5{,}7\times 10^{-7}+1\,200\times 10^{-10} = 5{,}7\times 10^{-7}+1{,}2\times 10^{-7} = 6{,}9\times 10^{-7} \end{aligned} \]

Situation 6. \(2 \text{ km} = 2\times 10^3 \text{ m} = 2\times 10^6 \text{ mm}\) et un million \(= 10^6\).

\[ \frac{2\times 10^6}{10^6} = 2 \text{ mm} \]

Ensuite, une pièce de 1 € a une épaisseur de 2 mm (en réalité 2,33 mm : l’énoncé arrondit).

1a. \(1 \text{ Go} = 2^{10} \text{ Mo} = 2^{10}\times 2^{10} \text{ ko} = 2^{10}\times 2^{10}\times 2^{10} \text{ octets} = 2^{30}\) octets.

De plus, 1b. \(2^{30} = 1\,073\,741\,824\) octets.

Par ailleurs, 2a. \(2^{10} = 1\,024 = 1{,}024\times 10^3\).

Ainsi, 2b. \(1\,024\) est très proche de \(1\,000\) : la puissance de 10 la plus proche de \(2^{10}\) est \(10^3\). C’est pourquoi les fabricants comptent 1 Go = \(10^9\) octets.

3a. Puis un disque de 150 Go « commerciaux » contient :

\[ 150\times 10^9 = 1{,}5\times 10^{11} \text{ octets} \]

3b. Ensuite, en vrais gigaoctets (\(2^{30}\) octets), cela représente :

\[ \frac{1{,}5\times 10^{11}}{2^{30}} \approx 139{,}70 \text{ Go} \]

Il manque donc \(150-139{,}70 \approx 10{,}30\) Go.

3c. Puis en pourcentage de la capacité commerciale :

\[ \frac{10{,}30}{150}\times 100 \approx 6{,}9\ \% \]

\[ \begin{aligned} A &= 10^2\times 10^8 = 10^{2+8} = 10^{10} \\ B &= 10\times 10^{17} = 10^{1+17} = 10^{18} \\ C &= 10^{-3}\times 10^8 = 10^{-3+8} = 10^{5} \\ D &= \frac{10^7}{10^3} = 10^{7-3} = 10^{4} \\ E &= \frac{10^4}{10^{12}} = 10^{4-12} = 10^{-8} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} G &= \frac{(10^{-7})^4}{10^4\times 10^2} = \frac{10^{-28}}{10^{6}} = 10^{-28-6} = 10^{-34} \\ H &= \frac{10^4\times 10^{11}}{(10^{-1})^{-8}} = \frac{10^{15}}{10^{8}} = 10^{7} \\ I &= \frac{10^{-12}\times 10^2}{(10^8)^3\times 10^8} = \frac{10^{-10}}{10^{24}\times 10^8} = \frac{10^{-10}}{10^{32}} = 10^{-42} \end{aligned} \]

On divise la masse de l’éléphant par la masse d’un moustique :

\[ \frac{6\times 10^3}{1{,}5\times 10^{-6}} = \frac{6}{1{,}5}\times 10^{3-(-6)} = 4\times 10^{9} \]

6,8 milliards \(= 6{,}8\times 10^9\) personnes boivent chacune 1,5 L par jour :

\[ 6{,}8\times 10^9\times 1{,}5 = 10{,}2\times 10^9 = 1{,}02\times 10^{10} \text{ L} \]

\[ \begin{aligned} A &= 12\times 10^8\times 5\times 10^{-2} = 60\times 10^{6} = 6\times 10^{7} \\ B &= 8\times 10^{-5}\times 4\times(10^8)^2 = 32\times 10^{-5+16} = 32\times 10^{11} = 3{,}2\times 10^{12} \\ C &= 5\times(10^5)^{-3}\times 8\times 10^2 = 40\times 10^{-15+2} = 40\times 10^{-13} = 4\times 10^{-12} \end{aligned} \]

Mêmes règles qu’avec 10 : \(a^n\times a^p = a^{n+p}\), \(\frac{a^n}{a^p} = a^{n-p}\), et \(a^n\times b^n = (a\times b)^n\).

\[ \begin{aligned} A &= 3^5\times 3^3 = 3^{8} \\ B &= 4^{-5}\times 4^{-3} = 4^{-8} \\ C &= (-2)^{-5}\times 2^{-1} = -2^{-5}\times 2^{-1} = -2^{-6} \\ D &= 3^5\times 4^5 = (3\times 4)^5 = 12^{5} \\ E &= 9^{-6}\times(-7)^{-6} = (9\times(-7))^{-6} = (-63)^{-6} = 63^{-6} \\ F &= (-7)^2\times 6^2 = (-42)^2 = 42^{2} \\ G &= \frac{11^7}{11^2} = 11^{5} \\ H &= \frac{7^6}{7^{-2}} = 7^{6-(-2)} = 7^{8} \\ I &= \frac{(-2)^{-4}}{(-2)^5} = (-2)^{-4-5} = (-2)^{-9} \end{aligned} \]

Donc, Pour \(C\) : \((-2)^{-5}\) est négatif (exposant impair), donc \((-2)^{-5} = -2^{-5}\) ; le produit vaut \(-2^{-6} = -\frac{1}{64}\).

1. \(5^8\) est le produit de 8 facteurs égaux à 5. De plus, on peut aller plus vite en passant par \(5^4\) :

\[ 5^4 = 625 \qquad 5^8 = 5^4 \times 5^4 = 625 \times 625 = 390\,625 \]

Également, 2. Dans l’écriture scientifique \(a \times 10^n\), le nombre \(a\) a un seul chiffre non nul avant la virgule. Ensuite, on décale la virgule de 4 rangs vers la droite pour obtenir 5,484 ; le nombre de départ est plus petit que 1, donc l’exposant est négatif :

\[ 0{,}000\,548\,4 = 5{,}484 \times 10^{-4} \]

Par conséquent, 3. Pour additionner, on écrit les deux termes avec la même puissance de 10 : \(124 \times 10^{17} = 1{,}24 \times 10^{2} \times 10^{17} = 1{,}24 \times 10^{19}\).

\[ \begin{aligned} A &= 1{,}24 \times 10^{19} + 0{,}89 \times 10^{19} \\ &= (1{,}24 + 0{,}89) \times 10^{19} \\ &= 2{,}13 \times 10^{19} \end{aligned} \]

1. On calcule par étapes :

\[ 54^2 = 2\,916 \qquad 54^4 = 2\,916^2 = 8\,503\,056 \qquad 54^5 = 8\,503\,056 \times 54 = 459\,165\,024 \]

En effet, 2. On place la virgule après le premier chiffre : 5,874 02. Par ailleurs, on a décalé la virgule de 8 rangs vers la gauche, donc :

\[ 587\,402\,000 = 5{,}874\,02 \times 10^{8} \]

Ensuite, 3. Au numérateur, on écrit les deux termes avec la même puissance de 10 : \(87 \times 10^5 = 8{,}7 \times 10^6\).

\[ \begin{aligned} B &= \frac{8{,}7 \times 10^6 + 7{,}7 \times 10^6}{8 \times 10^{-9}} = \frac{16{,}4 \times 10^6}{8 \times 10^{-9}} \\ &= \frac{16{,}4}{8} \times 10^{6-(-9)} = 2{,}05 \times 10^{15} \end{aligned} \]

Situation 1. On applique les règles \(10^n \times 10^p = 10^{n+p}\), \(\frac{10^n}{10^p} = 10^{n-p}\) et \((10^n)^p = 10^{n \times p}\).

\[ \begin{aligned} A &= 10^3 \times 10^{-7} = 10^{3+(-7)} = 10^{-4} \\ B &= (10^4)^{-2} = 10^{4 \times (-2)} = 10^{-8} \\ C &= \frac{10^{-5}}{10^{-2}} = 10^{-5-(-2)} = 10^{-3} \\ D &= \frac{10^3 \times 10^{-5}}{(10^2)^{-1}} = \frac{10^{-2}}{10^{-2}} = 10^{0} \\ E &= 10^3 \times (10^{-2})^3 = 10^3 \times 10^{-6} = 10^{-3} \end{aligned} \]

Pour D, on peut aussi écrire \(10^0 = 1\).

Situation 2. On regroupe d’un côté les nombres ordinaires, de l’autre les puissances de 10.

\[ \begin{aligned} F &= 5 \times 2 \times 10^4 \times 10^2 = 10 \times 10^6 = 10^7 \\ G &= 3 \times 4 \times 10^{-1} \times 10^{-6} = 12 \times 10^{-7} \end{aligned} \]

De plus, on peut donner F sous la forme \(1 \times 10^7\) et G en écriture scientifique : \(12 \times 10^{-7} = 1{,}2 \times 10^{-6}\).

Le 1er mars, Laura prévient 3 personnes : \(3 = 3^1\). Chaque jour, chaque personne prévenue la veille prévient 3 nouvelles personnes : le nombre de personnes qui apprennent la rumeur est donc multiplié par 3 chaque jour.

Par ailleurs, 1)

• a) Le 2 mars : \(3 \times 3 = 3^2 = 9\) personnes.
• b) Le 3 mars : \(9 \times 3 = 3^3 = 27\) personnes.
• c) Le 4 mars : \(3^4 = 81\) personnes.
• d) Le 10 mars : l’exposant est égal au numéro du jour, donc \(3^{10} = 59\,049\) personnes.

Ainsi, 2) a) Le 15 mars : \(3^{15} = 14\,348\,907\) personnes apprennent la rumeur ce jour-là.

Donc, b) En seulement deux semaines, plus de 14 millions de personnes apprendraient la rumeur en une seule journée, soit environ un cinquième de la population française (près de 68 millions d’habitants). Avec une multiplication par 3 chaque jour, la croissance est extrêmement rapide : quelques jours de plus et le nombre dépasserait la population de la France. Puis en réalité, la propagation ralentit, car beaucoup de gens contactés connaissent déjà la rumeur.

Une mole de carbone contient \(6{,}022 \times 10^{23}\) atomes, et chaque atome pèse environ \(1{,}99 \times 10^{-23}\) g. Ensuite, on multiplie :

\[ \begin{aligned} m &= 6{,}022 \times 10^{23} \times 1{,}99 \times 10^{-23} \\ &= (6{,}022 \times 1{,}99) \times 10^{23+(-23)} \\ &= 11{,}983\,78 \times 10^{0} \\ &\approx 12 \text{ g} \end{aligned} \]

Également, Les puissances de 10 s’annulent : on obtient une masse à notre échelle, que l’on peut peser sur une balance.

On cherche d’abord le signe : une puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair, négative s’il est impair. Attention : \(-3^5\) signifie \(-(3^5)\), alors que \((-3)^5\) est la puissance de \(-3\).

\[ \begin{aligned} a. &\quad (-2)^6 = 2^6 = 64 \\ b. &\quad (-4)^{-3} \times 4^5 = -4^{-3} \times 4^5 = -4^{2} = -16 \\ c. &\quad -3^5 \times 3^{-2} \times (-3)^{-7} = -3^5 \times 3^{-2} \times (-3^{-7}) = 3^{5-2-7} = 3^{-4} = \frac{1}{81} \\ d. &\quad \frac{(-3)^7}{-3^5} = \frac{-3^7}{-3^5} = 3^{7-5} = 3^2 = 9 \\ e. &\quad \frac{(-5)^{-7}}{-5^4 \times (-5)^{-4}} = \frac{-5^{-7}}{-5^4 \times 5^{-4}} = \frac{-5^{-7}}{-1} = 5^{-7} \\ f. &\quad (-2)^5 \times (-6)^5 = \big((-2) \times (-6)\big)^5 = 12^5 = 248\,832 \end{aligned} \]

Par conséquent, Au c, il y a deux signes « moins » (devant \(3^5\) et dans \((-3)^{-7}\), exposant impair) : le produit est positif. Au f, on utilise \(a^n \times b^n = (a \times b)^n\).

On détermine le signe, puis on applique \(a^n \times a^p = a^{n+p}\), \(\frac{a^n}{a^p} = a^{n-p}\) et \(a^n \times b^n = (a \times b)^n\).

\[ \begin{aligned} a. &\quad (-5)^4 \times 5^{-8} = 5^4 \times 5^{-8} = 5^{-4} = \frac{1}{625} \\ b. &\quad 3^{-3} \times (-3)^{-3} = 3^{-3} \times (-3^{-3}) = -3^{-6} = -\frac{1}{729} \\ c. &\quad (-5)^2 \times (-5)^7 = (-5)^{9} = -5^9 \\ d. &\quad \frac{(-7)^7}{7^5 \times (-7)^2} = \frac{-7^7}{7^5 \times 7^2} = -\frac{7^7}{7^7} = -1 \\ e. &\quad -\frac{(-11)^4}{55^4} = -\frac{11^4}{55^4} = -\left(\frac{11}{55}\right)^4 = -\left(\frac{1}{5}\right)^4 = -5^{-4} = -\frac{1}{625} \\ f. &\quad \frac{(-2)^5 \times 6^5}{(-12)^{-3}} = \frac{(-12)^5}{(-12)^{-3}} = (-12)^{5-(-3)} = (-12)^8 = 12^8 \end{aligned} \]

En effet, Au c, \(-5^9 = -1\,953\,125\). Au f, l’exposant 8 est pair : le résultat est positif, \(12^8 = 429\,981\,696\).

Une puissance d’un nombre positif est toujours positive (même avec un exposant négatif). Puis une puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair, négative s’il est impair. De plus, on applique ensuite la règle des signes du produit ou du quotient.

• a. \((-2)^2\) : exposant pair, positif ; \(2^{-3}\) positif. Le produit est positif.
• b. \((-3)^5\) : exposant impair, négatif ; \((-2)^4\) : exposant pair, positif. Le produit est négatif.
• c. \((-1)^{10}\) : positif ; \((-2)^{-2}\) : exposant pair, positif. Le produit est positif.
• d. \((-4)^7\) : exposant impair, négatif ; \(2^{-3}\) positif. Le produit est négatif.
• e. \((-1)^{-9}\) : exposant impair, négatif (il vaut \(-1\)) ; \(-2\) négatif. Deux facteurs négatifs : le produit est positif.
• f. Numérateur : \((-1)^{-5}\) négatif et \(7^{-2}\) positif, donc numérateur négatif. Dénominateur : \((-2)^5\) négatif. Un négatif divisé par un négatif : le quotient est positif.

On place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis on compte de combien de rangs on l’a déplacée. Nombre supérieur à 10 : exposant positif ; nombre inférieur à 1 : exposant négatif. Ensuite, le signe « moins » d’un nombre négatif est conservé.

1. \(6\,000 = 6 \times 10^{3}\)
2. \(82\,000 = 8{,}2 \times 10^{4}\)
3. \(0{,}000\,05 = 5 \times 10^{-5}\)
4. \(420\,000\,000\,000 = 4{,}2 \times 10^{11}\) (le nombre a 12 chiffres, on décale la virgule de 11 rangs)
5. \(-0{,}000\,000\,000\,926\,4 = -9{,}264 \times 10^{-10}\) (le 9 est au 10e rang après la virgule)
6. \(-1\,815\,000\,000 = -1{,}815 \times 10^{9}\)

Multiplier par \(10^n\) (n positif) décale la virgule de n rangs vers la droite ; multiplier par \(10^{-n}\) la décale de n rangs vers la gauche. Par ailleurs, on complète par des zéros si nécessaire.

\[ \begin{aligned} A &= 9{,}373\,421 \times 10^4 = 93\,734{,}21 \\ B &= 0{,}000\,471\,27 \times 10^7 = 4\,712{,}7 \\ C &= -14\,973\,213{,}27 \times 10^{-5} = -149{,}732\,132\,7 \\ D &= 0{,}002\,45 \times 10^{-3} = 0{,}000\,002\,45 \\ E &= -7{,}234\,29 \times 10^{9} = -7\,234\,290\,000 \end{aligned} \]

Méthode : on calcule séparément les nombres ordinaires et les puissances de 10, puis on ramène le résultat à l’écriture scientifique.

\[ \begin{aligned} E &= \frac{6 \times 10^{-7} \times 15 \times 10^{11}}{8 \times (10^2)^4} = \frac{6 \times 15}{8} \times \frac{10^{-7+11}}{10^{8}} = 11{,}25 \times 10^{4-8} \\ &= 11{,}25 \times 10^{-4} = 1{,}125 \times 10^{1} \times 10^{-4} = 1{,}125 \times 10^{-3} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} F &= \frac{3 \times 10^{-2} \times 1{,}2 \times (10^{-3})^4}{0{,}2 \times 10^{-7}} = \frac{3 \times 1{,}2}{0{,}2} \times \frac{10^{-2} \times 10^{-12}}{10^{-7}} = 18 \times 10^{-14-(-7)} \\ &= 18 \times 10^{-7} = 1{,}8 \times 10^{-6} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G &= \frac{4 \times 10^{-2} \times 30 \times 10^{5}}{6 \times 10^{-1}} = \frac{4 \times 30}{6} \times \frac{10^{3}}{10^{-1}} = 20 \times 10^{4} \\ &= 2 \times 10^{5} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} H &= \frac{5 \times 10^{-2} \times 7 \times 10^{5}}{2 \times 10^{7}} = \frac{5 \times 7}{2} \times \frac{10^{3}}{10^{7}} = 17{,}5 \times 10^{-4} \\ &= 1{,}75 \times 10^{-3} \end{aligned} \]

On écrit d’abord le nombre devant la puissance de 10 en écriture scientifique, puis on additionne les exposants. Puis dans A, le nombre se lit 3 254 789,742 (les espaces de l’énoncé sont mal placés).

\[ \begin{aligned} A &= 3\,254\,789{,}742 \times 10^{-15} = 3{,}254\,789\,742 \times 10^{6} \times 10^{-15} = 3{,}254\,789\,742 \times 10^{-9} \\ B &= 0{,}000\,004\,521\,6 \times 10^{31} = 4{,}521\,6 \times 10^{-6} \times 10^{31} = 4{,}521\,6 \times 10^{25} \\ C &= 478\,256{,}56 \times 10^{-17} = 4{,}782\,565\,6 \times 10^{5} \times 10^{-17} = 4{,}782\,565\,6 \times 10^{-12} \\ D &= -0{,}000\,000\,045 \times 10^{12} = -4{,}5 \times 10^{-8} \times 10^{12} = -4{,}5 \times 10^{4} \end{aligned} \]

Un million, c’est 1 suivi de 6 zéros ; un milliard, 1 suivi de 9 zéros. Ensuite, L’exposant de \(10^n\) est le nombre de zéros. Puis pour les fractions d’unité, l’exposant négatif donne le rang du chiffre 1 après la virgule : un centième \(= 0{,}01 = 10^{-2}\).

Forme \(10^n\)	Forme \(10^{-n}\)
a. dix mille = \(10^{4}\)	a. un centième = \(10^{-2}\)
b. un million = \(10^{6}\)	b. un dix-millième = \(10^{-4}\)
c. cent millions = \(10^{8}\)	c. un millionième = \(10^{-6}\)
d. un milliard = \(10^{9}\)	d. un cent-millionième = \(10^{-8}\)
e. dix milliards = \(10^{10}\)	e. un milliardième = \(10^{-9}\)

Chaque préfixe correspond à une puissance de 10 : giga \(= 10^9\), méga \(= 10^6\), déca \(= 10^1\), milli \(= 10^{-3}\), micro \(= 10^{-6}\), nano \(= 10^{-9}\).

• a. 7 mégahertz = \(7 \times 10^{6}\) Hz
• b. 2 millisecondes = \(2 \times 10^{-3}\) s
• c. 5 gigawatts = \(5 \times 10^{9}\) W
• d. 6 microvolts = \(6 \times 10^{-6}\) V
• e. 8 nanomètres = \(8 \times 10^{-9}\) m
• f. 4 décagrammes = \(4 \times 10^{1}\) g, soit 40 g

Chaque chiffre est multiplié par la puissance de 10 de son rang : unités \(10^0\), dizaines \(10^1\), dixièmes \(10^{-1}\), centièmes \(10^{-2}\), millièmes \(10^{-3}\)… On n’écrit pas les chiffres 0.

\[ \begin{aligned} a.\ 2{,}75 &= 2 \times 10^{0} + 7 \times 10^{-1} + 5 \times 10^{-2} \\ b.\ 18{,}29 &= 1 \times 10^{1} + 8 \times 10^{0} + 2 \times 10^{-1} + 9 \times 10^{-2} \\ c.\ 34\,000 &= 3 \times 10^{4} + 4 \times 10^{3} \\ d.\ 0{,}009\,6 &= 9 \times 10^{-3} + 6 \times 10^{-4} \\ e.\ 1{,}014 &= 1 \times 10^{0} + 1 \times 10^{-2} + 4 \times 10^{-3} \end{aligned} \]

Ensuite, Au e, le chiffre des dixièmes est 0 : il n’y a pas de terme en \(10^{-1}\).

On fait le chemin inverse de l’exercice précédent : chaque puissance de 10 indique le rang du chiffre.

\[ \begin{aligned} a.\ & 3 \times 10^{0} + 4 \times 10^{-1} + 7 \times 10^{-2} = 3 + 0{,}4 + 0{,}07 = 3{,}47 \\ b.\ & 6 \times 10^{1} + 2 \times 10^{0} + 5 \times 10^{-1} = 60 + 2 + 0{,}5 = 62{,}5 \\ c.\ & 1 \times 10^{4} + 2 \times 10^{3} = 10\,000 + 2\,000 = 12\,000 \\ d.\ & 8 \times 10^{-4} + 9 \times 10^{-5} = 0{,}000\,8 + 0{,}000\,09 = 0{,}000\,89 \\ e.\ & 4 \times 10^{0} + 3 \times 10^{-3} + 6 \times 10^{-4} = 4 + 0{,}003 + 0{,}000\,6 = 4{,}003\,6 \end{aligned} \]

On calcule chaque produit en décalant la virgule :

• \(271\,800 \times 10^{-6}\) : 6 rangs vers la gauche, 0,271 8
• \(271{,}8 \times 10^{-2}\) : 2 rangs vers la gauche, 2,718
• \(2\,718 \times 10^{-1}\) : 1 rang vers la gauche, 271,8
• \(0{,}271\,8 \times 10^{-1}\) : 1 rang vers la gauche, 0,027 18
• \(2\,718 \times 10^{0} = 2\,718 \times 1\) : 2 718
• \(0{,}271\,8 \times 10^{3}\) : 3 rangs vers la droite, 271,8
• \(0{,}002\,718 \times 10^{4}\) : 4 rangs vers la droite, 27,18
• \(0{,}027\,18 \times 10^{7}\) : 7 rangs vers la droite, 271 800

De plus, Remarque : deux expressions, \(2\,718 \times 10^{-1}\) et \(0{,}271\,8 \times 10^{3}\), sont égales à 271,8, et aucune n’est égale à 27 180. L’énoncé comporte sans doute une coquille (par exemple \(0{,}271\,8 \times 10^{5} = 27\,180\)) ; les calculs ci-dessus restent justes.

On place la virgule après le premier chiffre non nul et on compte le décalage.

• a. \(6\,540 = 6{,}54 \times 10^{3}\) (virgule décalée de 3 rangs vers la gauche)
• b. \(34{,}3 = 3{,}43 \times 10^{1}\)
• c. \(1\,475{,}2 = 1{,}475\,2 \times 10^{3}\)
• d. \(23{,}45 = 2{,}345 \times 10^{1}\)
• e. \(0{,}003\,2 = 3{,}2 \times 10^{-3}\) (virgule décalée de 3 rangs vers la droite)
• f. \(0{,}001 = 1 \times 10^{-3}\)

On a \( A = 2 \times 10^2 + 10^1 + 10^{-1} + 2 \times 10^{-2} \). De plus, on remplace chaque puissance de 10 par son écriture décimale : \( 10^2 = 100 \), \( 10^1 = 10 \), \( 10^{-1} = 0{,}1 \) et \( 10^{-2} = 0{,}01 \).

Par ailleurs, a.

\[ A = 200 + 10 + 0{,}1 + 0{,}02 = 210{,}12 \]

Ainsi, L’écriture décimale est A = 210,12.

Donc, b. On déplace la virgule de 2 rangs vers la gauche pour obtenir un nombre compris entre 1 et 10 : \( A = 2{,}1012 \times 10^2 \).

Également, c. On supprime la virgule en décalant de 2 rangs : \( 210{,}12 = 21\,012 \times 0{,}01 \), donc \( A = 21\,012 \times 10^{-2} \).

Par conséquent, d. On sépare la partie entière et la partie décimale : \( 210{,}12 = 210 + 0{,}12 = 210 + \dfrac{12}{100} \). Ensuite, on simplifie par 4 :

\[ \frac{12}{100} = \frac{3 \times 4}{25 \times 4} = \frac{3}{25} \]

En effet, 3 et 25 n’ont pas de diviseur commun autre que 1 : la fraction est irréductible, et elle est bien inférieure à 1.

On écrit d’abord le nombre placé devant la puissance de 10 en notation scientifique, puis on additionne les exposants.

\[ \begin{aligned} a.\ \ 645{,}3 \times 10^{-15} &= 6{,}453 \times 10^{2} \times 10^{-15} = 6{,}453 \times 10^{-13} \\ b.\ \ 0{,}056 \times 10^{17} &= 5{,}6 \times 10^{-2} \times 10^{17} = 5{,}6 \times 10^{15} \\ c.\ \ 13{,}6 \times 10^{-9} &= 1{,}36 \times 10^{1} \times 10^{-9} = 1{,}36 \times 10^{-8} \\ d.\ \ 523 \times 10^{7} &= 5{,}23 \times 10^{2} \times 10^{7} = 5{,}23 \times 10^{9} \\ e.\ \ 34\,000 \times 10^{12} &= 3{,}4 \times 10^{4} \times 10^{12} = 3{,}4 \times 10^{16} \end{aligned} \]

Ensuite, Contrôle rapide : quand on rend le nombre de devant plus petit (645,3 devient 6,453), l’exposant augmente ; quand on le rend plus grand (0,056 devient 5,6), l’exposant diminue.

On regroupe les nombres décimaux d’un côté et les puissances de 10 de l’autre, puis on ajuste l’écriture.

\[ \begin{aligned} A &= 45 \times 10^{12} \times 4 \times 10^{-26} \\ &= (45 \times 4) \times 10^{12 + (-26)} \\ &= 180 \times 10^{-14} \\ &= 1{,}8 \times 10^{2} \times 10^{-14} = 1{,}8 \times 10^{-12} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= 12 \times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-5} \\ &= (12 \times 5) \times 10^{-5 + (-5)} \\ &= 60 \times 10^{-10} \\ &= 6 \times 10^{1} \times 10^{-10} = 6 \times 10^{-9} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= 2{,}7 \times 10^{13} \times 15{,}1 \times 10^{-8} \\ &= (2{,}7 \times 15{,}1) \times 10^{13 + (-8)} \\ &= 40{,}77 \times 10^{5} \\ &= 4{,}077 \times 10^{1} \times 10^{5} = 4{,}077 \times 10^{6} \end{aligned} \]

• a. Dans 65 100 000, on place la virgule après le premier chiffre : 6,51, soit 7 rangs. Donc \( 65\,100\,000 = 6{,}51 \times 10^{7} \) : réponse A. La réponse B n’est pas une écriture scientifique (651 n’est pas entre 1 et 10) et la C est un nombre très petit.
• b. \( 0{,}246 = 2{,}46 \times 0{,}1 = 2{,}46 \times 10^{-1} \) : réponse C. Les réponses A et B valent 24,6 et 246.
• c. \( 28 \times 10^{-3} = 28 \times 0{,}001 = 0{,}028 \) : réponse B.
• d. \( 50 \times 10^{-3} = 50 \times 0{,}001 = 0{,}05 \) : réponse C. L’exposant ne s’applique pas à 50, et le résultat n’est pas négatif.
• e. Dans 0,0035, on déplace la virgule de 3 rangs vers la droite pour obtenir 3,5 : \( 0{,}0035 = 3{,}5 \times 10^{-3} \) : réponse A. La réponse C vaut aussi 0,0035, mais 35 n’est pas compris entre 1 et 10 : ce n’est pas l’écriture scientifique.

a. La masse du paquet est égale au nombre d’atomes multiplié par la masse d’un atome :

\[ \begin{aligned} m &= 6{,}022 \times 10^{23} \times 1{,}99 \times 10^{-26} \text{ kg} \\ &= (6{,}022 \times 1{,}99) \times 10^{23 + (-26)} \text{ kg} \\ &= 11{,}983\,78 \times 10^{-3} \text{ kg} \end{aligned} \]

De plus, Or \( 10^{-3} \text{ kg} = 1 \text{ g} \) (1 kg = 1 000 g). Donc m = 11,983 78 g, soit \( 1{,}198\,378 \times 10^{1} \text{ g} \) en écriture scientifique.

b. Le chiffre des dixièmes est 9, donc on arrondit à l’unité supérieure : \( m \approx 12 \text{ g} \).

Par ailleurs, un tel paquet d’atomes de carbone (appelé une mole par les chimistes) pèse donc environ 12 grammes.

a. On compte le nombre de secondes dans une année de 365 jours :

\[ 365 \times 24 \times 3\,600 = 31\,536\,000 \text{ s} = 3{,}1536 \times 10^{7} \text{ s} \]

Ainsi, la lumière parcourt \( 3 \times 10^{5} \) km chaque seconde, donc en une année :

\[ \begin{aligned} d &= 3 \times 10^{5} \times 3{,}1536 \times 10^{7} \\ &= (3 \times 3{,}1536) \times 10^{5 + 7} \\ &= 9{,}4608 \times 10^{12} \text{ km} \\ &\approx 9{,}5 \times 10^{12} \text{ km} \end{aligned} \]

Donc, une année-lumière vaut environ \( 9{,}5 \times 10^{12} \) km, soit près de 9 500 milliards de kilomètres.

Également, b. La lumière de l’extinction a mis 5 000 ans à nous parvenir : l’étoile est à 5 000 années-lumière.

\[ \begin{aligned} D &= 5\,000 \times 9{,}4608 \times 10^{12} \\ &= 5 \times 10^{3} \times 9{,}4608 \times 10^{12} \\ &= 47{,}304 \times 10^{15} \\ &= 4{,}7304 \times 10^{16} \text{ km} \end{aligned} \]

Par conséquent, Si l’on part de la valeur arrondie \( 9{,}5 \times 10^{12} \) km, on trouve \( 4{,}75 \times 10^{16} \) km : les deux résultats sont proches, environ \( 4{,}7 \times 10^{16} \) km.

Pour comparer des nombres écrits avec des puissances de 10 différentes, on les écrit tous en notation scientifique (ou avec la même puissance de 10).

\[ \begin{aligned} \text{Vénus} : \ 105 \times 10^{6} &= 1{,}05 \times 10^{2} \times 10^{6} = 1{,}05 \times 10^{8} \text{ km} \\ \text{Mars} : \ 2\,250 \times 10^{5} &= 2{,}25 \times 10^{3} \times 10^{5} = 2{,}25 \times 10^{8} \text{ km} \\ \text{Terre} : \ 1{,}5 \times 10^{8} & \text{ km} \end{aligned} \]

En effet, les trois distances ont la même puissance \( 10^{8} \) : on compare les nombres de devant, \( 1{,}05 \lt 1{,}5 \lt 2{,}25 \).

Ensuite, en écriture décimale : Vénus est à 105 millions de km, la Terre à 150 millions de km et Mars à 225 millions de km.

A. On déplace la virgule de 2 rangs vers la gauche dans 732,472 :

\[ A = 732{,}472 \times 10^{-6} = 7{,}324\,72 \times 10^{2} \times 10^{-6} = 7{,}324\,72 \times 10^{-4} \]

B. On calcule d’abord la puissance de puissance : \( (10^{-5})^{2} = 10^{-10} \).

\[ \begin{aligned} B &= 4 \times 10^{-10} \times 3 \times 10^{4} \times 10^{6} \\ &= (4 \times 3) \times 10^{-10 + 4 + 6} \\ &= 12 \times 10^{0} = 12 \\ &= 1{,}2 \times 10^{1} \end{aligned} \]

De plus, C. \( (10^{-3})^{-1} = 10^{3} \). Par ailleurs, on regroupe, et on remarque que \( 6 \times 7 = 42 \) :

\[ \begin{aligned} C &= \frac{42 \times 10^{3} \times 37 \times 10^{4}}{6 \times 10^{-3} \times 7 \times 10^{5}} \\ &= \frac{42 \times 37}{42} \times \frac{10^{7}}{10^{2}} \\ &= 37 \times 10^{5} \\ &= 3{,}7 \times 10^{6} \end{aligned} \]

Aire. L’aire d’un rectangle est longueur × largeur :

\[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= 6{,}4 \times 10^{30} \times 1{,}28 \times 10^{20} \\ &= (6{,}4 \times 1{,}28) \times 10^{30 + 20} \\ &= 8{,}192 \times 10^{50} \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Par ailleurs, Périmètre. \( P = 2 \times (L + \ell) \). Puis pour additionner, il faut la même puissance de 10 : \( 1{,}28 \times 10^{20} = 0{,}000\,000\,000\,012\,8 \times 10^{30} \).

\[ \begin{aligned} P &= 2 \times (6{,}4 \times 10^{30} + 1{,}28 \times 10^{20}) \\ &= 12{,}8 \times 10^{30} + 2{,}56 \times 10^{20} \\ &= 12{,}800\,000\,000\,025\,6 \times 10^{30} \\ &= 1{,}280\,000\,000\,002\,56 \times 10^{31} \text{ m} \end{aligned} \]

Ainsi, la largeur est 10 milliards de fois plus petite que la longueur : elle ne change presque rien au périmètre, et l’on peut écrire \( P \approx 1{,}28 \times 10^{31} \) m.

A. Dans une somme, on ne peut pas regrouper les puissances : on calcule chaque terme en écriture décimale.

\[ \begin{aligned} A &= 734{,}23 \times 10^{-1} + 48{,}32 + 0{,}000\,45 \times 10^{3} \\ &= 73{,}423 + 48{,}32 + 0{,}45 \\ &= 122{,}193 \\ &= 1{,}221\,93 \times 10^{2} \end{aligned} \]

Donc, B. On divise les nombres entre eux et les puissances de 10 entre elles :

\[ B = \frac{42}{7} \times \frac{10^{-5}}{10^{-8}} = 6 \times 10^{-5 – (-8)} = 6 \times 10^{3} \]

On cherche combien de fois la superficie de la France est contenue dans celle de la Terre : c’est un quotient. Ensuite, on arrondit chaque nombre pour obtenir un ordre de grandeur.

• Terre : \( 510\,065\,000 \text{ km}^2 \approx 5 \times 10^{8} \text{ km}^2 \) ;
• France : \( 551\,602 \text{ km}^2 \approx 5 \times 10^{5} \text{ km}^2 \).

\[ \frac{5 \times 10^{8}}{5 \times 10^{5}} = \frac{5}{5} \times 10^{8 – 5} = 10^{3} \]

Il faudrait donc environ 1 000 fois la France pour recouvrir la Terre. Puis le calcul exact à la calculatrice donne \( 510\,065\,000 \div 551\,602 \approx 925 \), ce qui confirme l’ordre de grandeur.

On simplifie le numérateur et le dénominateur séparément, puis on applique la règle du quotient \( \dfrac{10^{n}}{10^{p}} = 10^{n – p} \).

\[ \begin{aligned} A &= \frac{10^{3} \times 10^{-5}}{10^{2}} = \frac{10^{-2}}{10^{2}} = 10^{-2 – 2} = 10^{-4} \\ B &= \frac{10^{-2} \times 10^{-9}}{(10^{3})^{4}} = \frac{10^{-11}}{10^{12}} = 10^{-11 – 12} = 10^{-23} \\ C &= \frac{(10^{-2})^{5}}{10^{7} \times 10^{-8}} = \frac{10^{-10}}{10^{-1}} = 10^{-10 – (-1)} = 10^{-9} \\ D &= \frac{10^{2} \times 10^{-9}}{10^{-7}} = \frac{10^{-7}}{10^{-7}} = 10^{0} \\ E &= \frac{10^{7} \times 10^{5}}{10^{-3} \times 10^{-1}} = \frac{10^{12}}{10^{-4}} = 10^{12 – (-4)} = 10^{16} \\ F &= \frac{(10^{4})^{3}}{10^{8} \times 10^{-2}} = \frac{10^{12}}{10^{6}} = 10^{12 – 6} = 10^{6} \end{aligned} \]

Également, Pour D, le numérateur et le dénominateur sont égaux : \( D = 10^{0} = 1 \).

On place la virgule juste après le premier chiffre non nul, on compte de combien de rangs elle s’est déplacée : vers la gauche, l’exposant est positif ; vers la droite, il est négatif. De plus, les zéros inutiles à la fin de la partie décimale disparaissent.

Nombre	Déplacement de la virgule	Notation scientifique
540 000 000 000	11 rangs à gauche	\( 5{,}4 \times 10^{11} \)
650 000 000	8 rangs à gauche	\( 6{,}5 \times 10^{8} \)
0,000 000 006	9 rangs à droite	\( 6 \times 10^{-9} \)
1 048 000 000 000	12 rangs à gauche	\( 1{,}048 \times 10^{12} \)
0,000 002 64	6 rangs à droite	\( 2{,}64 \times 10^{-6} \)
20 300 000	7 rangs à gauche	\( 2{,}03 \times 10^{7} \)
673,185	2 rangs à gauche	\( 6{,}731\,85 \times 10^{2} \)
8 070 000 000	9 rangs à gauche	\( 8{,}07 \times 10^{9} \)
4 000,007	3 rangs à gauche	\( 4{,}000\,007 \times 10^{3} \)
0,700 600 000	1 rang à droite	\( 7{,}006 \times 10^{-1} \)

Suite du corrigé corrigé puissances 4ème

Par conséquent, Attention à 4 000,007 : les zéros situés entre des chiffres non nuls doivent être conservés.

On écrit le nombre de devant en notation scientifique, puis on additionne les exposants des deux puissances de 10.

\[ \begin{aligned} 6\,300 \times 10^{4} &= 6{,}3 \times 10^{3} \times 10^{4} = 6{,}3 \times 10^{7} \\ 450 \times 10^{6} &= 4{,}5 \times 10^{2} \times 10^{6} = 4{,}5 \times 10^{8} \\ 0{,}000\,67 \times 10^{-5} &= 6{,}7 \times 10^{-4} \times 10^{-5} = 6{,}7 \times 10^{-9} \\ 6\,300 \times 10^{12} &= 6{,}3 \times 10^{3} \times 10^{12} = 6{,}3 \times 10^{15} \\ 0{,}012\,500 \times 10^{-14} &= 1{,}25 \times 10^{-2} \times 10^{-14} = 1{,}25 \times 10^{-16} \\ 0{,}012\,500 \times 10^{-12} &= 1{,}25 \times 10^{-2} \times 10^{-12} = 1{,}25 \times 10^{-14} \\ 0{,}012\,500 \times 10^{15} &= 1{,}25 \times 10^{-2} \times 10^{15} = 1{,}25 \times 10^{13} \\ 81\,500\,000 \times 10^{23} &= 8{,}15 \times 10^{7} \times 10^{23} = 8{,}15 \times 10^{30} \\ 81\,500\,000 \times 10^{13} &= 8{,}15 \times 10^{7} \times 10^{13} = 8{,}15 \times 10^{20} \end{aligned} \]

Pour chaque expression, on regroupe les nombres décimaux et les puissances de 10, on calcule chaque partie, puis on ajuste pour avoir un nombre entre 1 et 10 devant.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{3 \times 10^{2} \times 1{,}2 \times 10^{-9}}{15 \times 10^{2}} = \frac{3 \times 1{,}2}{15} \times \frac{10^{-7}}{10^{2}} = 0{,}24 \times 10^{-9} = 2{,}4 \times 10^{-10} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= 3 \times 10^{-4} \times 7 \times 10^{9} \times 1{,}25 = (3 \times 7 \times 1{,}25) \times 10^{5} = 26{,}25 \times 10^{5} = 2{,}625 \times 10^{6} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= \frac{8 \times 10^{35} \times 15 \times 10^{-6}}{20 \times (10^{2})^{5}} = \frac{8 \times 15}{20} \times \frac{10^{29}}{10^{10}} = 6 \times 10^{19} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D &= 7{,}5 \times (10^{9})^{-2} \times 2 \times 10^{-14} = (7{,}5 \times 2) \times 10^{-18 + (-14)} = 15 \times 10^{-32} = 1{,}5 \times 10^{-31} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E &= 2 \times 10^{6} \times 29 \times 10^{-3} \times 0{,}001 = (2 \times 29) \times 10^{6 – 3 – 3} = 58 \times 10^{0} = 5{,}8 \times 10^{1} \end{aligned} \]

En effet, pour F, \( (10^{3})^{-4} = 10^{-12} \) et \( 4 \times 3{,}3 = 13{,}2 \). Ensuite, le quotient \( 6 \div 13{,}2 = \dfrac{5}{11} \) ne tombe pas juste : on donne une valeur arrondie.

Suite du corrigé corrigé puissances 4ème

\[ \begin{aligned} F &= \frac{6 \times 10^{-12}}{4 \times 10^{6} \times 3{,}3 \times 10^{-7}} = \frac{6}{13{,}2} \times \frac{10^{-12}}{10^{-1}} = \frac{5}{11} \times 10^{-11} \approx 0{,}4545 \times 10^{-11} \approx 4{,}55 \times 10^{-12} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G &= \frac{15 \times 10^{7} \times 4 \times 10^{-5}}{0{,}25 \times 10^{2}} = \frac{60 \times 10^{2}}{0{,}25 \times 10^{2}} = 60 \div 0{,}25 = 240 = 2{,}4 \times 10^{2} \end{aligned} \]

Ensuite, pour H, on écrit \( 0{,}01 = 10^{-2} \), \( 0{,}002\,96 = 2{,}96 \times 10^{-3} \) et \( 10\,000 = 10^{4} \) :

\[ \begin{aligned} H &= 10^{-2} \times 2{,}96 \times 10^{-3} \times 10^{4} \times 5 \times 10^{-6} \times 10^{4} \\ &= (2{,}96 \times 5) \times 10^{-2 – 3 + 4 – 6 + 4} \\ &= 14{,}8 \times 10^{-3} = 1{,}48 \times 10^{-2} \end{aligned} \]

On convertit d’abord la durée en secondes, puisque la vitesse est donnée en mètres par seconde :

\[ 8 \text{ min } 20 \text{ s} = 8 \times 60 + 20 = 500 \text{ s} = 5 \times 10^{2} \text{ s} \]

De plus, la distance parcourue est égale à la vitesse multipliée par la durée :

\[ \begin{aligned} d &= 3 \times 10^{8} \times 5 \times 10^{2} \\ &= (3 \times 5) \times 10^{8 + 2} \\ &= 15 \times 10^{10} \\ &= 1{,}5 \times 10^{11} \text{ m} \end{aligned} \]

Conversion en kilomètres : 1 km = \( 10^{3} \) m, donc on divise par \( 10^{3} \) :

\[ d = 1{,}5 \times 10^{11} \div 10^{3} = 1{,}5 \times 10^{8} \text{ km} = 150\,000\,000 \text{ km} \]

Nombre de billets. 2 milliards d’euros = \( 2 \times 10^{9} \) €. Chaque billet vaut 50 € :

\[ \frac{2 \times 10^{9}}{50} = \frac{2 \times 10^{9}}{5 \times 10^{1}} = 0{,}4 \times 10^{8} = 4 \times 10^{7} \text{ billets} \]

Il faut donc 40 millions de billets.

De même, Hauteur de la pile. Un billet a une épaisseur de \( 80 \) micromètres, soit \( 80 \times 10^{-6} \text{ m} = 8 \times 10^{-5} \) m.

\[ \begin{aligned} h &= 4 \times 10^{7} \times 8 \times 10^{-5} \\ &= (4 \times 8) \times 10^{7 – 5} \\ &= 32 \times 10^{2} \\ &= 3{,}2 \times 10^{3} \text{ m} = 3\,200 \text{ m} \end{aligned} \]

Ainsi, la pile de billets mesurerait 3 200 m, soit 3,2 km : près de dix fois la hauteur de la tour Eiffel.

On calcule le volume de sable (un pavé droit), dans une seule unité : le millimètre, puisque l’on sait combien de grains il y a dans 1 mm³.

• épaisseur : 1 m = \( 10^{3} \) mm ;
• largeur : 50 m = \( 5 \times 10^{4} \) mm ;
• longueur : 2 km = 2 000 m = \( 2 \times 10^{6} \) mm.

\[ \begin{aligned} V &= 10^{3} \times 5 \times 10^{4} \times 2 \times 10^{6} \\ &= (5 \times 2) \times 10^{3 + 4 + 6} \\ &= 10 \times 10^{13} = 10^{14} \text{ mm}^3 \end{aligned} \]

Il y a 10 grains par mm³, donc le nombre de grains est :

\[ N = 10 \times 10^{14} = 10^{15} \]

Donc, La plage contient environ un million de milliards de grains de sable.