Logarithme népérien en terminale : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

On utilise \(e^{\ln a}=a\) pour \(a\gt 0\) et \(\ln(e^{b})=b\) pour tout réel \(b\).

\[ \begin{aligned} 1)\ e^{\ln 3}&=3 \\ 2)\ e^{-\ln 5}&=\frac{1}{e^{\ln 5}}=\frac{1}{5} \\ 3)\ e^{\ln\left(\frac{1}{3}\right)}&=\frac{1}{3} \\ 4)\ \ln(e^5)&=5 \\ 5)\ \ln 1+\ln e&=0+1=1 \\ 6)\ \ln(e^{-2})&=-2 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} A&=\ln 7+\ln 8=\ln(7\times 8)=\ln 56 \\ B&=\ln 20-\ln 4=\ln\frac{20}{4}=\ln 5 \\ C&=-\ln 4+\ln 28=\ln\frac{28}{4}=\ln 7 \\ D&=3\ln 2=\ln(2^3)=\ln 8 \\ E&=-2\ln 4=\ln(4^{-2})=\ln\frac{1}{16} \end{aligned} \]

On écrit A et B sous la forme \(\ln c\), puis on utilise la stricte croissance de \(\ln\) sur \(]0\,;+\infty[\) : \(\ln a\lt\ln b\iff a\lt b\).

• 1) \(A=\ln(2\times 5)=\ln 10\) et \(B=\ln 9\). Comme \(10\gt 9\), \(A\gt B\).
• 2) \(A=\ln 4\) et \(B=\ln\frac{6}{2}=\ln 3\). Comme \(4\gt 3\), \(A\gt B\).
• 3) \(A=\ln(2^3)=\ln 8\) et \(B=\ln(3^2)=\ln 9\). Comme \(8\lt 9\), \(A\lt B\).
• 4) \(B=2\ln 5=\ln(5^2)=\ln 25=A\) : \(A=B\).

Pour \(k\gt 0\), l’équation \(e^x=k\) a une unique solution : \(x=\ln k\). Pour \(k\leqslant 0\), elle n’en a pas, car \(e^x\gt 0\).

• 1) \(e^x=2\iff x=\ln 2\). \(S=\{\ln 2\}\).
• 2) \(e^x=-5\) : impossible car \(e^x\gt 0\). \(S=\varnothing\).
• 3) \(e^x=\frac{1}{4}\iff x=\ln\frac{1}{4}=-\ln 4\). \(S=\{-\ln 4\}\).

Pour \(x\gt 0\) et \(a\gt 0\) : \(\ln x=\ln a\iff x=a\). Plus généralement, \(\ln x=b\iff x=e^{b}\).

• 1) \(\ln x=\ln\frac{1}{2}\iff x=\frac{1}{2}\).
• 2) \(\ln x=\frac{\ln 5}{2}=\frac{1}{2}\ln 5=\ln\left(5^{\frac{1}{2}}\right)=\ln\sqrt{5}\iff x=\sqrt{5}\).
• 3) \(\ln x=-\ln 9=\ln\frac{1}{9}\iff x=\frac{1}{9}\).

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

1) Sur \(]0\,;+\infty[\) : \(\ln x-2=0\iff x=e^2\) ; \(1+\ln x=0\iff\ln x=-1\iff x=e^{-1}\). \(S=\{e^{-1}\,;e^2\}\).

2) Sur \(\mathbb{R}\) : \(e^x+5\gt 0\) ne s’annule jamais ; \(e^x-3=0\iff x=\ln 3\). \(S=\{\ln 3\}\).

3) Sur \(]0\,;+\infty[\) : \(\ln x=0\iff x=1\) ; \(6-3\ln x=0\iff\ln x=2\iff x=e^2\). \(S=\{1\,;e^2\}\).

On travaille sur \(]0\,;+\infty[\) et on utilise la stricte croissance de \(\ln\) : \(\ln x\geqslant b\iff x\geqslant e^{b}\).

• 1) \(\ln x\geqslant 1=\ln e\iff x\geqslant e\). \(S=[e\,;+\infty[\).
• 2) \(\ln x\gt -2\iff x\gt e^{-2}\). \(S=\,]e^{-2}\,;+\infty[\).
• 3) \(\ln x\leqslant\frac{1}{2}\iff x\leqslant e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}\), avec \(x\gt 0\). \(S=\,]0\,;\sqrt{e}]\).
• 4) \(\ln x\lt 3\iff x\lt e^3\), avec \(x\gt 0\). \(S=\,]0\,;e^3[\).

1) Vrai. \(\ln x=0\iff x=1\) : 0 a un unique antécédent, 1 (la fonction \(\ln\) est strictement croissante, donc elle ne prend qu’une fois chaque valeur).

2) Faux. \(f(1)=\ln 1=0\). C’est l’image de \(e\) qui vaut 1.

3) Faux. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\) : il n’y a pas d’asymptote horizontale en \(+\infty\).

4) Vrai. \(\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty\) : la droite d’équation \(x=0\) (axe des ordonnées) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}\).

5) Faux. \(x=e^{101}\) vérifie \(\ln x=101\gt 100\) : tout \(x\gt e^{100}\) convient.

1) \(f(1)=0\) et \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\), donc \(f^{\prime}(1)=1\). La tangente a pour équation \(y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)\), soit \(y=x-1\).

2) À la calculatrice, on conjecture que \(\mathcal{C}\) est en dessous de T sur \(]0\,;+\infty[\), les deux se touchant au point \((1\,;0)\).

3) a) \(d\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et \(d^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}\). Comme \(x\gt 0\), \(d^{\prime}(x)\) a le signe de \(1-x\).

(En 0 : \(\ln x\to-\infty\), donc \(d(x)\to-\infty\). En \(+\infty\) : \(d(x)=x\left(\frac{\ln x}{x}-1\right)+1\to-\infty\) car \(\frac{\ln x}{x}\to 0\).)

b) \(d\) admet un maximum égal à \(d(1)=0\). Donc \(d(x)\leqslant 0\) pour tout \(x\gt 0\), avec égalité seulement en \(x=1\).

c) \(d(x)=\ln x-(x-1)\) est la différence entre l’ordonnée d’un point de \(\mathcal{C}\) et celle du point de T de même abscisse. Comme \(d(x)\leqslant 0\), \(\ln x\leqslant x-1\) : \(\mathcal{C}\) est en dessous de T, et ne la touche qu’en \((1\,;0)\). La conjecture est démontrée.

Calculs.

\[ \begin{aligned} 1)\ \ln(0{,}5)+\ln 2&=\ln(0{,}5\times 2)=\ln 1=0 \\ 2)\ 3\ln 2-\ln 4&=\ln 8-\ln 4=\ln\frac{8}{4}=\ln 2 \\ 3)\ \left(\ln(e^3)\right)^2&=3^2=9 \\ 4)\ e^{\ln 2+\ln 3}&=e^{\ln 6}=6 \end{aligned} \]

Entiers ou inverses d’entiers. On utilise \(n\ln a=\ln(a^n)\) puis \(e^{\ln c}=c\).

\[ \begin{aligned} A&=e^{2\ln 3}=e^{\ln 9}=9 \\ B&=e^{4\ln 2}=e^{\ln 16}=16 \\ C&=e^{-\ln 4}=e^{\ln\frac{1}{4}}=\frac{1}{4} \\ D&=e^{-5\ln 2}=e^{\ln\frac{1}{32}}=\frac{1}{32} \end{aligned} \]