Systèmes de deux équations en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

La première équation donne facilement \(y\) : on procède par substitution. \(x+y=4\iff y=4-x\). On remplace dans la seconde :

\[ \begin{aligned} 2x+3(4-x)&=7 \\ 2x+12-3x&=7 \\ -x&=-5 \\ x&=5 \end{aligned} \]

Puis \(y=4-5=-1\). Vérification : \(5+(-1)=4\) et \(10-3=7\).

Aucune inconnue n’est isolée : on utilise les combinaisons linéaires. Pour éliminer \(y\), on multiplie la première équation par 3 et la seconde par 2 :

\[ \begin{cases} 15x+6y=12 \\ 4x+6y=-10 \end{cases} \]

En soustrayant : \(11x=22\), donc \(x=2\). Dans la première équation : \(10+2y=4\), donc \(2y=-6\) et \(y=-3\).

Vérification : \(5\times2+2\times(-3)=4\) et \(2\times2+3\times(-3)=-5\).

Substitution : \(x-2y=4\iff x=2y+4\). Dans la seconde équation :

\[ \begin{aligned} 2(2y+4)+3y&=-6 \\ 7y+8&=-6 \\ 7y&=-14 \\ y&=-2 \end{aligned} \]

Puis \(x=2\times(-2)+4=0\). Vérification : \(0-2\times(-2)=4\) et \(0+3\times(-2)=-6\).

Combinaisons : on multiplie la première équation par 3 et la seconde par 2 pour éliminer \(y\) :

\[ \begin{cases} 21x+6y=3 \\ 4x+6y=10 \end{cases} \]

En soustrayant : \(17x=-7\), donc \(x=-\frac{7}{17}\). Puis \(2y=1-7x=1+\frac{49}{17}=\frac{66}{17}\), donc \(y=\frac{33}{17}\).

Vérification dans la seconde équation : \(2\times\left(-\frac{7}{17}\right)+3\times\frac{33}{17}=\frac{-14+99}{17}=\frac{85}{17}=5\).

On remarque que la seconde équation est la première multipliée par \(-3\) :

\[ -3\times(2x-y)=-6x+3y \qquad\text{et}\qquad -3\times1=-3 \]

Les deux équations sont donc équivalentes : le système se réduit à la seule équation \(2x-y=1\), c’est-à-dire \(y=2x-1\). Graphiquement, les deux droites sont confondues. Tout couple \((x\,;2x-1)\), avec \(x\) réel quelconque, est solution : par exemple \((0\,;-1)\), \((1\,;1)\), \((2\,;3)\). Il y a donc une infinité de solutions.

On peut aussi le voir avec le déterminant : \(2\times3-(-1)\times(-6)=6-6=0\), les droites sont parallèles, et elles ont un point commun \((0\,;-1)\), donc elles sont confondues.

On note \(\ell\) le nombre de lapins et \(p\) le nombre de poules. Chaque animal a une tête, un lapin a 4 pattes et une poule 2 :

\[ \begin{cases} \ell+p=120 \\ 4\ell+2p=298 \end{cases} \]

De la première équation, \(p=120-\ell\). Dans la seconde : \(4\ell+240-2\ell=298\), donc \(2\ell=58\) et \(\ell=29\). Puis \(p=120-29=91\).

Vérification : \(29+91=120\) têtes et \(4\times29+2\times91=116+182=298\) pattes.

On note \(x\) le prix d’un kilogramme de pommes et \(y\) celui d’un kilogramme de carottes (en €) :

\[ \begin{cases} 5x+2y=18{,}5 \\ 3x+7y=28{,}5 \end{cases} \]

On multiplie la première équation par 3 et la seconde par 5 pour éliminer \(x\) :

\[ \begin{cases} 15x+6y=55{,}5 \\ 15x+35y=142{,}5 \end{cases} \]

En soustrayant : \(29y=87\), donc \(y=3\). Puis \(5x=18{,}5-6=12{,}5\), donc \(x=2{,}5\).

Vérification : \(5\times2{,}5+2\times3=18{,}5\) et \(3\times2{,}5+7\times3=28{,}5\).

On note \(a\) le nombre de pièces de 1 € et \(b\) le nombre de pièces de 2 € :

\[ \begin{cases} a+b=10 \\ a+2b=15 \end{cases} \]

En soustrayant la première équation de la seconde : \(b=5\). Puis \(a=10-5=5\).

Vérification : \(5+5=10\) pièces et \(5\times1+5\times2=15\) €.

Le système n’est pas linéaire, mais il l’est en \(X=x^2\) et \(Y=y^2\) :

\[ \begin{cases} X+Y=25 \\ 2X-Y=23 \end{cases} \]

En additionnant : \(3X=48\), donc \(X=16\) ; puis \(Y=25-16=9\).

On revient à \(x\) et \(y\) : \(x^2=16\iff x=4\) ou \(x=-4\) ; \(y^2=9\iff y=3\) ou \(y=-3\). Toutes les combinaisons conviennent, car seules les valeurs de \(x^2\) et \(y^2\) interviennent.

Vérification pour \((4\,;3)\) : \(16+9=25\) et \(32-9=23\).

On isole \(y\) dans \((E_2)\) : \(-x+y=1\iff y=x+1\). On remplace dans \((E_1)\) :

\[ \begin{aligned} 5x+(x+1)&=7 \\ 6x&=6 \\ x&=1 \end{aligned} \]

Puis \(y=1+1=2\). Vérification : \(5\times1+2=7\) et \(-1+2=1\).