Les inéquations en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 20 à télécharger en PDF

Rappel : on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres ; on peut multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif sans changer le sens ; si ce nombre est strictement négatif, on change le sens de l’inégalité.

1)

\[ \begin{aligned} 2x + 2 &\geqslant 4x + 6 \\ 2x – 4x &\geqslant 6 – 2 \\ -2x &\geqslant 4 \\ x &\leqslant \frac{4}{-2} \quad \text{(division par } -2 \text{ : on change le sens)} \\ x &\leqslant -2 \end{aligned} \]

\( S = \left]-\infty\,;\,-2\right] \).

2) On développe d’abord les deux membres.

\[ \begin{aligned} 2(3x + 3) &\gt 5(2x + 3) \\ 6x + 6 &\gt 10x + 15 \\ 6x – 10x &\gt 15 – 6 \\ -4x &\gt 9 \\ x &\lt -\frac{9}{4} \quad \text{(division par } -4 \text{)} \end{aligned} \]

\( S = \left]-\infty\,;\,-\dfrac{9}{4}\right[ \).

3)

\[ \begin{aligned} 3(2x – 6) &\lt 2x + 6 \\ 6x – 18 &\lt 2x + 6 \\ 6x – 2x &\lt 6 + 18 \\ 4x &\lt 24 \\ x &\lt 6 \end{aligned} \]

\( S = \left]-\infty\,;\,6\right[ \).

4) On multiplie les deux membres par 3 (positif : le sens ne change pas).

\[ \begin{aligned} \frac{x + 3}{3} &\geqslant 2 \\ x + 3 &\geqslant 6 \\ x &\geqslant 3 \end{aligned} \]

\( S = \left[3\,;\,+\infty\right[ \).

5)

\[ \begin{aligned} \frac{2x – 3}{3} &\leqslant -5 \\ 2x – 3 &\leqslant -15 \\ 2x &\leqslant -12 \\ x &\leqslant -6 \end{aligned} \]

\( S = \left]-\infty\,;\,-6\right] \).

6) On multiplie par 5 (positif), puis on divise par \(-4\) (négatif : on change le sens).

\[ \begin{aligned} \frac{3 – 4x}{5} &\gt 1 \\ 3 – 4x &\gt 5 \\ -4x &\gt 2 \\ x &\lt -\frac{2}{4} \\ x &\lt -\frac{1}{2} \end{aligned} \]

\( S = \left]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}\right[ \).

On considère l’inéquation \( x^2 + 3x \geqslant (x – 1)(x + 2) \).

1. 0 est-il solution ? On calcule séparément chaque membre pour \( x = 0 \).

\[ \begin{aligned} \text{Membre de gauche : } 0^2 + 3 \times 0 &= 0 \\ \text{Membre de droite : } (0 – 1)(0 + 2) &= -1 \times 2 = -2 \end{aligned} \]

Comme \( 0 \geqslant -2 \), l’inégalité est vraie : 0 est solution de l’inéquation.

2. \( -\frac{1}{2} \) est-il solution ?

\[ \begin{aligned} \text{Gauche : } \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 3 \times \left(-\frac{1}{2}\right) &= \frac{1}{4} – \frac{3}{2} = \frac{1}{4} – \frac{6}{4} = -\frac{5}{4} \\ \text{Droite : } \left(-\frac{1}{2} – 1\right)\left(-\frac{1}{2} + 2\right) &= \left(-\frac{3}{2}\right) \times \frac{3}{2} = -\frac{9}{4} \end{aligned} \]

Or \( -\frac{5}{4} \geqslant -\frac{9}{4} \) (car \( -5 \geqslant -9 \)). L’inégalité est vraie : \( -\frac{1}{2} \) est solution.

3. Résolution. On développe le second membre :

\[ (x – 1)(x + 2) = x^2 + 2x – x – 2 = x^2 + x – 2 \]
\[ \begin{aligned} x^2 + 3x &\geqslant x^2 + x – 2 \\ x^2 + 3x – x^2 – x &\geqslant -2 \\ 2x &\geqslant -2 \\ x &\geqslant -1 \end{aligned} \]

Les termes en \( x^2 \) s’éliminent : on se ramène à une inéquation du premier degré. On vérifie la cohérence avec les questions 1 et 2 : \( 0 \geqslant -1 \) et \( -\frac{1}{2} \geqslant -1 \), ces deux nombres sont bien dans l’ensemble des solutions.

a.

\[ \begin{aligned} 2x – 7 &\gt 2 – x \\ 2x + x &\gt 2 + 7 \\ 3x &\gt 9 \\ x &\gt 3 \end{aligned} \]

\( S = \left]3\,;\,+\infty\right[ \).

b.

\[ \begin{aligned} 5 + y &\geqslant 7 + 3y \\ y – 3y &\geqslant 7 – 5 \\ -2y &\geqslant 2 \\ y &\leqslant -1 \quad \text{(division par } -2 \text{ : on change le sens)} \end{aligned} \]

\( S = \left]-\infty\,;\,-1\right] \).

c.

\[ \begin{aligned} 3t + 2 &\leqslant 2(1 + 3t) \\ 3t + 2 &\leqslant 2 + 6t \\ 3t – 6t &\leqslant 2 – 2 \\ -3t &\leqslant 0 \\ t &\geqslant 0 \quad \text{(division par } -3 \text{)} \end{aligned} \]

\( S = \left[0\,;\,+\infty\right[ \).

1. Avec la formule A, on paie la carte 55 € puis 20 € par entrée :

\[ A(y) = 55 + 20y \quad \text{(en euros)} \]

2. Avec la formule B, on paie la carte 80 € puis 15 € par entrée :

\[ B(y) = 80 + 15y \quad \text{(en euros)} \]

3. La formule B est plus intéressante lorsqu’elle coûte strictement moins cher que la formule A :

\[ \begin{aligned} 80 + 15y &\lt 55 + 20y \\ 15y – 20y &\lt 55 – 80 \\ -5y &\lt -25 \\ y &\gt 5 \quad \text{(division par } -5 \text{ : on change le sens)} \end{aligned} \]

Le nombre d’entrées \( y \) est un entier naturel : \( y \gt 5 \) signifie \( y \geqslant 6 \). Vérification :

Pour 5 entrées, les deux formules coûtent le même prix (155 €) ; dès 6 entrées, B est moins chère.

On résout d’abord l’inéquation.

\[ \begin{aligned} -2x + 7 &\lt 5x + 29 \\ -2x – 5x &\lt 29 – 7 \\ -7x &\lt 22 \\ x &\gt -\frac{22}{7} \quad \text{(division par } -7 \text{ : on change le sens)} \end{aligned} \]

\( S = \left]-\dfrac{22}{7}\,;\,+\infty\right[ \), avec \( -\frac{22}{7} \approx -3{,}14 \) (entre \(-4\) et \(-3\), proche de \(-3\)).

Sur la droite graduée, on colorie la partie à droite de \( -\frac{22}{7} \). Le nombre \( -\frac{22}{7} \) n’est pas solution (inégalité stricte) : le crochet est tourné vers l’extérieur de la partie coloriée.

On note \( n \) le plus petit des trois entiers. Les trois entiers consécutifs sont \( n \), \( n + 1 \) et \( n + 2 \) ; le plus grand est \( n + 2 \). Leur somme vaut :

\[ n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 \]

« La somme est comprise entre 12 et 27 » se traduit (bornes incluses) par l’encadrement :

\[ \begin{aligned} 12 &\leqslant 3n + 3 \leqslant 27 \\ 12 – 3 &\leqslant 3n \leqslant 27 – 3 \\ 9 &\leqslant 3n \leqslant 24 \\ 3 &\leqslant n \leqslant 8 \end{aligned} \]

Donc \( n \in \{3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\} \) et le plus grand nombre \( n + 2 \) vérifie \( 5 \leqslant n + 2 \leqslant 10 \).

Remarque : si l’on comprend « strictement comprise entre 12 et 27 », on exclut les sommes 12 et 27 : il reste \( 4 \leqslant n \leqslant 7 \), et le plus grand nombre vaut alors 6, 7, 8 ou 9.

On note \( L \) la longueur du rectangle, en cm. Sa largeur vaut 5,3 cm, donc son périmètre est :

\[ P = 2 \times (L + 5{,}3) = 2L + 10{,}6 \]

Le périmètre est inférieur ou égal à 37 cm :

\[ \begin{aligned} 2L + 10{,}6 &\leqslant 37 \\ 2L &\leqslant 37 – 10{,}6 \\ 2L &\leqslant 26{,}4 \\ L &\leqslant 13{,}2 \end{aligned} \]

De plus, la longueur doit être strictement supérieure à la largeur : \( L \gt 5{,}3 \). En regroupant les deux conditions :

\[ 5{,}3 \lt L \leqslant 13{,}2 \quad \text{soit} \quad L \in \left]5{,}3\,;\,13{,}2\right] \]

Vérification pour \( L = 13{,}2 \) : \( P = 2 \times (13{,}2 + 5{,}3) = 2 \times 18{,}5 = 37 \) cm, la limite autorisée.

On isole l’inconnue ; on change le sens de l’inégalité seulement quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.

1. \[5x – 3 \leqslant 2x + 9 \iff 3x \leqslant 12 \iff x \leqslant 4\]

   S = \(]-\infty\,;\,4]\)

2. \[7 – 2x \lt 3x + 17 \iff -10 \lt 5x \iff x \gt -2\]

   S = \(]-2\,;\,+\infty[\)

3. \[4x – 4 – 3 \geqslant 6x + 2 \iff -9 \geqslant 2x \iff x \leqslant -\dfrac{9}{2}\]

   S = \(\left]-\infty\,;\,-\dfrac{9}{2}\right]\)

1. On développe : \[3x – 6 \gt 4x + 1 \iff -x \gt 7\] On multiplie par \(-1\) : le sens change. \[x \lt -7\]

   S = \(]-\infty\,;\,-7[\)

2. On multiplie par 6, qui est positif : \[3x – 2 \lt x + 6 \iff 2x \lt 8 \iff x \lt 4\]

   S = \(]-\infty\,;\,4[\)

On réduit au même dénominateur en multipliant les deux membres par 6 (positif, le sens est conservé) :

\[2(2x – 1) \geqslant 3(x + 2)\]\[4x – 2 \geqslant 3x + 6 \iff x \geqslant 8\]

Vérification avec \(x = 8\) : \(\dfrac{15}{3} = 5\) et \(\dfrac{10}{2} = 5\), l’égalité est bien vraie.

S = \([8\,;\,+\infty[\)

On retranche 1 dans les trois membres, puis on divise par 2 (positif) :

\[-3 \lt 2x + 1 \leqslant 9 \iff -4 \lt 2x \leqslant 8 \iff -2 \lt x \leqslant 4\]

Le crochet est ouvert en \(-2\) (valeur exclue) et fermé en 4 (valeur incluse).

S = \(]-2\,;\,4]\)

1. \(A(h) = 8 + 3h\) et \(B(h) = 5h\).
2. \[8 + 3h \lt 5h \iff 8 \lt 2h \iff h \gt 4\]
3. Pour \(h = 4\), les deux loueurs demandent \(20\) € (égalité). Le loueur A est strictement moins cher dès que \(h \gt 4\), ce que confirme le graphique : sa droite passe sous celle de B à droite du point \((4\,;\,20)\).

Le loueur A est plus avantageux pour une location de plus de 4 heures.

La moyenne des quatre notes est \(\dfrac{11 + 9 + 14 + x}{4}\). On veut :

\[\dfrac{34 + x}{4} \geqslant 12 \iff 34 + x \geqslant 48 \iff x \geqslant 14\]

Comme la note est sur 20, on a aussi \(x \leqslant 20\).

Vérification avec \(x = 14\) : \(\dfrac{11 + 9 + 14 + 14}{4} = \dfrac{48}{4} = 12\).

Lucas doit obtenir une note comprise entre 14 et 20, soit \(x \in [14\,;\,20]\).

\(2x – 4 \gt 0 \iff x \gt 2\) et \(x + 3 \gt 0 \iff x \gt -3\). On dresse le tableau de signes :

On cherche les valeurs pour lesquelles le produit est négatif ou nul : les deux zéros sont inclus.

S = \([-3\,;\,2]\)

Le quotient n’existe pas pour \(x = -1\) : cette valeur est interdite. On étudie les signes : \(2x – 3 \gt 0 \iff x \gt \dfrac{3}{2}\) et \(x + 1 \gt 0 \iff x \gt -1\).

Le quotient est négatif ou nul pour \(-1 \lt x \leqslant \dfrac{3}{2}\) : on exclut \(-1\) (valeur interdite) et on inclut \(\dfrac{3}{2}\) (le quotient vaut 0).

S = \(\left]-1\,;\,\dfrac{3}{2}\right]\)

1. Les deux droites se coupent au point de coordonnées \((2\,;\,3)\).
2. L’inéquation \(2x – 1 \leqslant -x + 5\) se lit : « la droite \(d_1\) est en dessous de \(d_2\) ou la coupe ». C’est vrai pour les abscisses \(x \leqslant 2\) (segment vert sur l’axe).
3. \[2x – 1 \leqslant -x + 5 \iff 3x \leqslant 6 \iff x \leqslant 2\]

S = \(]-\infty\,;\,2]\)

1. On cherche les nombres situés à une distance de 3 inférieure ou égale à 2 : \[-2 \leqslant x – 3 \leqslant 2 \iff 1 \leqslant x \leqslant 5\]

   S = \([1\,;\,5]\)

2. \(|x + 1| = |x – (-1)|\) est la distance de \(x\) à \(-1\). Elle est strictement supérieure à 3 si : \[x + 1 \gt 3 \quad\text{ou}\quad x + 1 \lt -3\] soit \(x \gt 2\) ou \(x \lt -4\).

   S = \(]-\infty\,;\,-4[\ \cup\ ]2\,;\,+\infty[\)

1. Les poires coûtent \(3 \times 3{,}2 = 9{,}6\) €, donc le prix total est \(2{,}5x + 9{,}6\) euros.
2. \[2{,}5x + 9{,}6 \leqslant 30 \iff 2{,}5x \leqslant 20{,}4 \iff x \leqslant \dfrac{20{,}4}{2{,}5} = 8{,}16\]
3. Comme \(x \gt 0\), Inès peut acheter entre 0 et 8,16 kg de pommes.

   Vérification : \(2{,}5 \times 8{,}16 + 9{,}6 = 20{,}4 + 9{,}6 = 30\) €.

Elle peut acheter au maximum 8,16 kg de pommes.

On résout chaque inéquation séparément.

\[(1)\quad x – 3 \geqslant 2x – 7 \iff 4 \geqslant x \iff x \leqslant 4\]\[(2)\quad 5x + 1 \gt 2x – 8 \iff 3x \gt -9 \iff x \gt -3\]

Les solutions du système sont les nombres qui vérifient les deux conditions : on prend l’intersection.

S = \(]-3\,;\,4]\)

1. L’aire du carré est \(x^2\), donc \(x^2 \leqslant 49\), c’est-à-dire \(x^2 – 49 \leqslant 0\).
2. Avec l’identité \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) : \[x^2 – 49 = (x – 7)(x + 7)\]
3. Comme \(x \gt 0\), le facteur \(x + 7\) est strictement positif : le produit est négatif ou nul si et seulement si \(x – 7 \leqslant 0\), c’est-à-dire \(x \leqslant 7\).

   Vérification : pour \(x = 7\), l’aire vaut \(49\) cm\(^2\).

Le côté mesure au plus 7 cm : \(x \in ]0\,;\,7]\).