Corrigé du brevet de maths 2005 : France, groupement Ouest, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2005 : France, groupement Ouest, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé Ouest 2005
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Ouest 2005 est découpé en 6 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Fractions, racines et puissances » (activités numériques). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Différence de deux carrés » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu trouves la solution rédigée de « Système et poissons » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, le corrigé explique « Repère et losange » (exercice 3 de la partie numérique). Puis en outre, la correction reprend « Triangle IJK » (activités géométriques).
Enfin, tu lis la démarche complète pour « Parc d’attractions » (exercice 1 de géométrie).
Ainsi, le corrigé corrigé Ouest 2005 te fait revoir les fractions, les racines carrées, les agrandissements et réductions, les systèmes d’équations et le théorème de Pythagore, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé Ouest 2005)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions, racines et écriture scientifique
1. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, et la division est prioritaire sur l’addition :
\[\dfrac{3}{7}\div\dfrac{5}{3}=\dfrac{3}{7}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{35}\]
\[\text{A}=-\dfrac{13}{7}+\dfrac{9}{35}=-\dfrac{65}{35}+\dfrac{9}{35}=-\dfrac{56}{35}=-\dfrac{7\times8}{7\times5}=-\dfrac{8}{5}\]
\(\text{A}=-\dfrac{8}{5}\), fraction irréductible (8 et 5 n’ont que 1 comme diviseur commun).
2. Ensuite, on regroupe les racines : \(\text{B}=5\times\sqrt{8\times18}=5\sqrt{144}=5\times12\). \(\text{B}=60\).
3. Puis on fait apparaître \(\sqrt{2}\) dans chaque terme : \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\) et \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\).
\[\text{C}=2\sqrt{2}+5\times3\sqrt{2}=2\sqrt{2}+15\sqrt{2}=17\sqrt{2}\]
\(\text{C}=17\sqrt{2}\). Attention : contrairement au produit, une somme de racines ne se regroupe pas sous une seule racine (\(\sqrt{8}+\sqrt{18}\neq\sqrt{26}\)).
4. Alors on sépare les nombres et les puissances de 10 :
\[\text{D}=\dfrac{45\times4}{3}\times\dfrac{10^{-6}\times10^{8}}{10^{-3}}=60\times10^{-6+8-(-3)}=60\times10^{5}\]
Comme \(60=6\times10\), \(\text{D}=6\times10^{6}\).
Corrigé de l’exercice 2 : une différence de deux carrés
1. Avec \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) : \((5x+4)^2=25x^2+40x+16\), donc
\[F=25x^2+40x+16-49=25x^2+40x-33\]
\(F=25x^2+40x-33\).
2. Comme \(49=7^2\), \(F\) est une différence de deux carrés : \(F=(5x+4)^2-7^2\). Ensuite, on applique \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a=5x+4\) et \(b=7\) :
\[F=(5x+4-7)(5x+4+7)=(5x-3)(5x+11)\]
\(F=(5x-3)(5x+11)\). Contrôle : \((5x-3)(5x+11)=25x^2+55x-15x-33=25x^2+40x-33\).
3. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul :
\(5x-3=0\) donne \(x=\dfrac{3}{5}\) ; \(5x+11=0\) donne \(x=-\dfrac{11}{5}\).
Les solutions sont \(\dfrac{3}{5}\) et \(-\dfrac{11}{5}\) (soit 0,6 et −2,2).
4. La forme factorisée est la plus pratique : \(F=(5\times(-2)-3)(5\times(-2)+11)=(-13)\times1=-13\). Avec la forme développée : \(25\times4-80-33=100-113=-13\). Pour \(x=-2\), \(F=-13\).
Corrigé de l’exercice 3 (Ouest 2005) : système et prix des poissons
1. D’abord, on multiplie la deuxième équation par 3 pour obtenir le même coefficient de \(x\) que dans la première : \(6x+9y=33\).
On soustrait la première équation à cette nouvelle équation : \((6x+9y)-(6x+5y)=33-25\), soit \(4y=8\), donc \(y=2\).
On remplace \(y\) par 2 dans la deuxième équation : \(2x+6=11\), donc \(2x=5\) et \(x=2{,}5\).
Vérification dans la première équation : \(6\times2{,}5+5\times2=15+10=25\). Le système a pour solution le couple \((x\ ;\ y)=(2{,}5\ ;\ 2)\).
2. Ensuite, on appelle \(x\) le prix d’un poisson rouge et \(y\) le prix d’un poisson jaune, en euros. Puis L’achat de Pierre se traduit par \(6x+5y=25\), celui de Jules par \(2x+3y=11\) : c’est exactement le système de la question 1.
a. Un poisson rouge coûte 2,50 €.
b. Un poisson jaune coûte 2 €. Contrôle avec l’achat de Jules : \(2\times2{,}5+3\times2=5+6=11\) euros.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : un quadrilatère dans un repère
1. Pour placer A(1 ; 2), on avance de 1 sur l’axe des abscisses puis on monte de 2 ; de même pour B et C. De plus, la figure complète (avec D) est donnée plus bas.
2. Dans un repère orthonormal, \(\text{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\) :
\[\text{AB}=\sqrt{(-2-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\qquad\text{BC}=\sqrt{(-3+2)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\]
AB = BC = \(\sqrt{10}\) cm, environ 3,16 cm.
3. Pour aller de B à C, on se déplace de 1 vers la gauche et de 3 vers le bas. Ensuite, on applique le même déplacement à partir de A(1 ; 2) : D(0 ; −1).
4. D est l’image de A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{BC}}\), donc \(\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{BC}}\) : le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. De plus, deux de ses côtés consécutifs sont de même longueur (AB = BC). Or un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux est un losange. ABCD est un losange.
Ce n’est pas un carré : \(\text{AC}^2=(-3-1)^2+(-2-2)^2=32\) alors que \(\text{AB}^2+\text{BC}^2=20\), donc l’angle en B n’est pas droit.
Corrigé de l’exercice 2 (Ouest 2005) : le triangle IJK
1. Tout d’abord, on trace [IJ] de 9,6 cm. Au compas, on trace un arc de centre I et de rayon 4 cm, puis un arc de centre J et de rayon 10,4 cm : leur intersection est K.
![Triangle IJK rectangle en I avec IJ = 9,6 cm horizontal, IK = 4 cm vertical et JK = 10,4 cm ; M sur [IJ] à 7,2 cm de I, N sur [IK] à 3 cm de I, et le segment [MN] en bleu parallèle à [JK]](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2005-france-groupement-ouest-septembre/gen-ex2-triangle-ijk.webp)
2. Le plus long côté est [JK]. Puis on compare \(\text{JK}^2\) et \(\text{IJ}^2+\text{IK}^2\) :
\[\text{JK}^2=10{,}4^2=108{,}16\qquad\text{IJ}^2+\text{IK}^2=9{,}6^2+4^2=92{,}16+16=108{,}16\]
On a \(\text{JK}^2=\text{IJ}^2+\text{IK}^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en I.
3. Dans le triangle IJK rectangle en I, pour l’angle \(\widehat{\text{IJK}}\), le côté opposé est [IK] et le côté adjacent est [IJ] :
\[\tan\widehat{\text{IJK}}=\dfrac{\text{IK}}{\text{IJ}}=\dfrac{4}{9{,}6}=\dfrac{5}{12}\approx0{,}417\]
La calculatrice donne \(\widehat{\text{IJK}}\approx22{,}6^\circ\). Par ailleurs, les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires (leur somme vaut 90°), donc \(\widehat{\text{IKJ}}\approx90-22{,}62=67{,}38^\circ\). \(\widehat{\text{IKJ}}\approx67^\circ\) au degré près. (Contrôle direct : \(\tan\widehat{\text{IKJ}}=\dfrac{9{,}6}{4}=2{,}4\) donne aussi 67,38°.)
4. L’énoncé a oublié le nom du segment : M est sur le segment [IJ].
a. Les points I, M, J sont alignés dans cet ordre, ainsi que I, N, K. Ensuite, on calcule les deux rapports :
\[\dfrac{\text{IM}}{\text{IJ}}=\dfrac{7{,}2}{9{,}6}=0{,}75\qquad\dfrac{\text{IN}}{\text{IK}}=\dfrac{3}{4}=0{,}75\]
Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (JK) sont parallèles.
b. Comme (MN) et (JK) sont parallèles, le théorème de Thalès donne \(\dfrac{\text{MN}}{\text{JK}}=\dfrac{\text{IM}}{\text{IJ}}=0{,}75\), donc \(\text{MN}=0{,}75\times10{,}4=7{,}8\). MN = 7,8 cm. (Vérification par Pythagore dans le triangle IMN rectangle en I : \(\sqrt{7{,}2^2+3^2}=\sqrt{60{,}84}=7{,}8\).)
Problème
Corrigé du problème : les tarifs du parc d’attractions
1. Avec le tarif 1, la famille (un adulte et un enfant) paie \(18+12=30\) euros par jour : \(30\times4=120\) pour 4 jours et \(30\times14=420\) pour 14 jours. Avec le tarif 2, elle paie 100 euros plus 10 euros par jour : \(100+10=110\) pour 1 jour, \(100+40=140\) pour 4 jours et \(100+140=240\) pour 14 jours.
| Nombre de jours passés dans le parc | 1 | 4 | 14 |
|---|---|---|---|
| Prix payé avec le tarif 1 | 30 | 120 | 420 |
| Prix payé avec le tarif 2 | 110 | 140 | 240 |
2. a. Chaque jour coûte 30 euros à la famille : \(p_1(x)=30x\).
b. Au forfait de 100 euros s’ajoutent 10 euros par jour : \(p_2(x)=10x+100\).
3. \(p_1\) est linéaire : sa représentation est une droite passant par l’origine, et par exemple par (4 ; 120) et (14 ; 420). \(p_2\) est affine : c’est une droite qui coupe l’axe des ordonnées en 100 et passe par (4 ; 140) et (14 ; 240). Avec les unités imposées (1 cm pour un jour, 1 cm pour 20 euros), il faut 14 cm en largeur et 21 cm en hauteur pour aller jusqu’à 420 euros.
4. a. Puis on trace la verticale d’abscisse 8 (pointillés verts). Puis elle coupe la droite de \(p_2\) à 180 euros et celle de \(p_1\) à 240 euros. Ensuite, la droite de \(p_2\) est en dessous : pour 8 jours, le tarif 2 est le plus avantageux (180 € au lieu de 240 €). Par le calcul : \(p_2(8)=80+100=180\) et \(p_1(8)=240\).
Corrigé du problème : les tarifs du parc d’attractions (suite)
b. Alors on trace l’horizontale d’ordonnée 120 (pointillés violets). Puis elle coupe la droite de \(p_1\) au point d’abscisse 4 et celle de \(p_2\) au point d’abscisse 2. Avec 120 euros, la famille peut donc rester 4 jours avec le tarif 1 (\(30\times4=120\)) mais seulement 2 jours avec le tarif 2 (\(10\times2+100=120\)). C’est le tarif 1 qui permet de passer le plus de jours au parc : 4 jours.
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Comment utiliser le corrigé corrigé Ouest 2005
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. De plus, en effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Pour les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. En ce qui concerne les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Quant aux agrandissements et réductions, souviens-toi que les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³, donc repère bien le coefficient k. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Ouest 2005, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Ouest 2005
Faut-il lire le corrigé corrigé Ouest 2005 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2005. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, les racines carrées, les agrandissements et réductions et les systèmes d’équations. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Ouest 2005
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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