Sujet du brevet de maths 2002 : Académie de Bordeaux, septembre

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Activités numériques 12 points

Exercice 1

Les calculs intermédiaires doivent figurer sur la copie.

1. Écrire sous la forme \(a\sqrt{3}\), \(a\) étant un entier, le nombre : \(\text{A} = \sqrt{75} + 4\sqrt{12}\).

2. Prouver que :

\[ \dfrac{2 + \dfrac{3}{4}}{\dfrac{3}{4} – 5} = -\dfrac{11}{17} \qquad \dfrac{35 \times 10^{22} \times 2 \times \left(10^{-2}\right)^6}{42 \times 10^{10}} = \dfrac{5}{3}. \]

Exercice 2

Dans cet exercice, seuls les résultats finaux sont attendus et la calculatrice peut être utilisée.

1. Donner une valeur décimale approchée à 0,001 près du nombre :

\[ \text{B} = 3 + \dfrac{1}{7 + \dfrac{1}{16}}. \]

2. Donner l’écriture scientifique du nombre :

\[ \text{C} = \dfrac{10^{-4} \times 4 \times 10^{6} \times 5^2}{2 \times 10^{-10}}. \]

Exercice 3

ABCD est un rectangle : DC = 5 cm et BC = 2,5 cm.

N est le point du segment [AD] tel que : AN = 1,5 cm. M est un point du segment [AB].

On note \(x\) la longueur du segment [AM] exprimée en centimètres (\(x\) est compris entre 0 et 5).

AMPN et MBCR sont des rectangles notés respectivement R₁ et R₂.

1. a. Exprimer, en fonction de \(x\), le périmètre de R₁.

b. Exprimer, en fonction de \(x\), le périmètre de R₂.

2. Résoudre l’équation : \(2x + 3 = -2x + 15\).

3. Sur le repère suivant, représenter graphiquement les deux fonctions affines :

\(x \mapsto 2x + 3\) et \(x \mapsto -2x + 15\) pour \(0 \leqslant x \leqslant 5\).

4. Quelles sont les valeurs de AM pour lesquelles le périmètre de R₂ est supérieur ou égal au périmètre de R₁ ? (Aucune justification n’est attendue.)

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

Le dessin ci-après représente la coupe d’une maison.

Le triangle MAI est isocèle, de sommet principal M.

La droite perpendiculaire à la droite (AI), passant par M, coupe (AI) en S.

L’unité de longueur est le mètre.

On sait que : MS = 2,5 et AI = 11.

1. a. Calculer AS. (Justifier.)

b. Calculer la valeur arrondie à 0,1 degré près de la mesure de l’angle \(\widehat{\text{AMS}}\).

2. Dans le toit, il y a une fuite en N qui fait une tâche en O, sur le plafond. La droite (NO) est perpendiculaire à la droite (AI). AO = 4,5.

Pour effectuer les calculs, on prendra : \(\widehat{\text{OAN}} = 24^\circ\).

Calculer AN. On donnera la valeur arrondie à 0,1 près.

Exercice 2

ABCDEFGH est un cube.

Les points J, K, M et N sont les milieux respectifs des segments [AE], [FB], [AD] et [BC].

JKNM est une section du cube par un plan parallèle à l’arête [AB].

1. Donner, sans justifier, la nature de la section JKNM.

2. Sur le schéma ci-après, la face FGCB a été dessinée en vraie grandeur.

a. Placer les points K et N sur cette face.

b. À côté, dessiner la section JKNM en vraie grandeur.

3. Quelle est la nature du solide AJMBKN ? (Aucune justification n’est demandée.)

Exercice 3

Sur la figure ci-dessous, les droites (SF) et (TE) sont parallèles.

Les points R, S et T sont alignés dans cet ordre.

Les points R, F, E et G sont alignés dans cet ordre.

SR = 2 cm et ST = 4 cm

RF = 1,5 cm et EG = 9 cm

1. Démontrer que : RE = 4,5 cm.

2. Les droites (ES) et (TG) sont-elles parallèles ? Justifier.

Les dimensions ne sont pas respectées sur cette figure.

Problème 12 points

Problème : triangle rectangle et losange dans un repère

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O, I, J).

La figure ci-après est à compléter au fur et à mesure de la progression de ce problème.

On donne les points \(\text{A}(-4\ ;\ 3)\), \(\text{B}(-1\ ;\ -1)\) et \(\text{C}(7\ ;\ 5)\)

1. Donner les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\), puis calculer la longueur du segment [AB]. Pour la suite du problème, on admettra que BC = 10 et \(\text{AC} = 5\sqrt{5}\).

2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

3. Calculer les coordonnées du milieu M de [AC] et placer le point M sur la figure.

4. Démontrer que MB = MC.

5. Sur la figure, placer le point N, image du point M par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\). Quelles sont les coordonnées de N ? (Aucune justification n’est demandée.)

6. Démontrer que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\), \(\overrightarrow{\text{BN}}\) et \(\overrightarrow{\text{MC}}\) sont égaux.

7. Démontrer que le quadrilatère BMCN est un losange.

8. Démontrer que le triangle ABC et le losange BMCN ont la même aire.

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