Corrigé du brevet de maths 2002 : France, groupement Est, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2002 : France, groupement Est, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé Est 2002
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Est 2002 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Fractions et racines de 5 » (exercice 1). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Différence de deux carrés » (exercice 2). Puis le corrigé explique « PGCD de 496 et 806 » (exercice 3). Par ailleurs, la correction reprend « Disques et livres de Perrine » (exercice 4). Puis en outre, tu lis la démarche complète pour « Milieu, symétrique et losange » (exercice 1 de géométrie).
Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Pythagore, vecteurs et Thalès » (exercice 2 de géométrie). Puis le corrigé explique « Pavé creusé » (première partie). Par ailleurs, la correction reprend « Socle en bois et pyramide en verre » (deuxième partie). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Volumes sur un graphique » (troisième partie).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Est 2002 sont les fractions, les racines carrées, les équations, le théorème de Pythagore et les vecteurs, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé Est 2002)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions et racines carrées
1. La division est prioritaire sur l’addition. Diviser par \(\dfrac{18}{7}\), c’est multiplier par \(\dfrac{7}{18}\) :
\[\dfrac{6}{5} : \dfrac{18}{7} = \dfrac{6}{5} \times \dfrac{7}{18} = \dfrac{6 \times 7}{5 \times 6 \times 3} = \dfrac{7}{15}\]
\[A = \dfrac{3}{5} + \dfrac{7}{15} = \dfrac{9}{15} + \dfrac{7}{15} = \dfrac{16}{15}\]
16 et 15 n’ont aucun diviseur commun autre que 1 : \(A = \dfrac{16}{15}\).
2. Pour B : \(\sqrt{25} = 5\), \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}\) et \(\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}\).
\[B = 5 + 2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 5 + 6\sqrt{5}\]
\(B = 5 + 6\sqrt{5}\).
Pour C : le premier terme se développe avec \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), le second avec \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\).
\[\left(\sqrt{5} + 2\right)^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5} \qquad \left(\sqrt{5} – 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right) = 5 – 1 = 4\]
\[C = 9 + 4\sqrt{5} + 4 = 13 + 4\sqrt{5}\]
\(C = 13 + 4\sqrt{5}\).
Corrigé de l’exercice 2 : différence de deux carrés
1. Avec \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) : \((3x – 7)^2 = 9x^2 – 42x + 49\).
\[D = 9x^2 – 42x + 49 – 81\]
\(D = 9x^2 – 42x – 32\).
2. Comme \(81 = 9^2\), D est une différence de deux carrés \(a^2 – b^2\) avec \(a = 3x – 7\) et \(b = 9\). Ensuite, on applique \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) :
\[D = (3x – 7 – 9)(3x – 7 + 9)\]
\(D = (3x – 16)(3x + 2)\). Contrôle : \((3x – 16)(3x + 2) = 9x^2 + 6x – 48x – 32 = 9x^2 – 42x – 32\).
3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(3x – 16 = 0\) donne \(x = \dfrac{16}{3}\) ; \(3x + 2 = 0\) donne \(x = -\dfrac{2}{3}\).
L’équation a deux solutions : \(\dfrac{16}{3}\) et \(-\dfrac{2}{3}\).
Corrigé de l’exercice 3 (Est 2002) : PGCD et fraction irréductible
1. Algorithme d’Euclide :
\[806 = 1 \times 496 + 310\]
\[496 = 1 \times 310 + 186\]
\[310 = 1 \times 186 + 124\]
\[186 = 1 \times 124 + 62\]
\[124 = 2 \times 62 + 0\]
Le dernier reste non nul est 62 : \(\text{PGCD}(496 ; 806) = 62\).
2. Ensuite, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD : \(496 \div 62 = 8\) et \(806 \div 62 = 13\).
\(\dfrac{496}{806} = \dfrac{8}{13}\), fraction irréductible puisqu’on a divisé par le PGCD.
3. Puis on part de la forme simplifiée ; comme \(26 = 2 \times 13\), le dénominateur commun est 26.
\[\dfrac{8}{13} – \dfrac{3}{26} = \dfrac{16}{26} – \dfrac{3}{26} = \dfrac{13}{26} = \dfrac{1}{2}\]
Le résultat est \(\dfrac{1}{2}\).
Corrigé de l’exercice 4 : les disques et les livres de Perrine
Notons \(d\) le prix d’un disque et \(\ell\) le prix d’un livre, en euros.
- 4 disques et 5 livres coûtent 9,50 € de plus que ses 100 € : \(4d + 5\ell = 109{,}5\).
- 3 disques et 4 livres lui laissent 16 € : \(3d + 4\ell = 100 – 16 = 84\).
Alors on élimine \(\ell\) par combinaison : on multiplie la première équation par 4 et la seconde par 5.
\[16d + 20\ell = 438 \qquad 15d + 20\ell = 420\]
En soustrayant membre à membre : \(d = 18\). Puis \(3 \times 18 + 4\ell = 84\) donne \(4\ell = 30\) et \(\ell = 7{,}5\).
Un disque coûte 18 euros et un livre 7,50 euros. Vérification : \(4 \times 18 + 5 \times 7{,}5 = 72 + 37{,}5 = 109{,}5\) (il manque bien 9,50 €) et \(3 \times 18 + 4 \times 7{,}5 = 54 + 30 = 84\) (il reste bien 16 €).
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 (Est 2002) : milieu, symétrique et losange
![Repère avec les points A(1 ; 2), B(3 ; 0), C(-1 ; -2), le milieu D(2 ; 1) de [AB] et le point E(5 ; 4), formant le losange AEBC dont les diagonales se coupent en D](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2002-france-groupement-est-septembre/gen-losange-aebc.webp)
1. Les trois points sont placés dans le repère ci-dessus.
2. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités :
\[x_D = \dfrac{1 + 3}{2} = 2 \qquad y_D = \dfrac{2 + 0}{2} = 1\]
D(2 ; 1).
3. a. E est le symétrique de C par rapport à D : on trace la demi-droite [CD) et on reporte au compas, au-delà de D, la longueur CD. D est alors le milieu de [CE].
b. Les diagonales du quadrilatère AEBC sont [AB] et [EC]. D est le milieu de [AB] (question 2) et le milieu de [CE] (par construction). Or un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme : AEBC est un parallélogramme.
c. D est le milieu de [CE], donc \(x_D = \dfrac{x_C + x_E}{2}\), soit \(x_E = 2x_D – x_C = 4 – (-1) = 5\), et de même \(y_E = 2y_D – y_C = 2 – (-2) = 4\). E(5 ; 4).
4. Dans un repère orthonormé :
\[\text{AE} = \sqrt{(5 – 1)^2 + (4 – 2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]
\[\text{EB} = \sqrt{(3 – 5)^2 + (0 – 4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]
AE = EB = \(2\sqrt{5}\) cm (environ 4,47 cm).
5. AEBC est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur, [AE] et [EB]. Puis un tel parallélogramme est un losange : AEBC est un losange.
Corrigé de l’exercice 2 : Pythagore, vecteurs et Thalès
1. Le plus grand côté est [AC]. Ensuite, on compare :
\[\text{AC}^2 = 7{,}5^2 = 56{,}25 \qquad \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 4{,}5^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25\]
L’égalité \(\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2\) est vérifiée ; d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
2. Puis on trace l’angle droit en B avec BA = 4,5 cm et BC = 6 cm. Ensuite, on prolonge [AC] au-delà de C de 4 cm pour placer E. Comme \(\overrightarrow{\text{EF}} = \overrightarrow{\text{BA}}\), on part de E et on reproduit le déplacement de B vers A : F est « au-dessus » de E, à 4,5 cm, sur la parallèle à (AB) passant par E. De plus, la droite (EF) coupe (BC) en G.
![Triangle ABC rectangle en B avec AB = 4,5, BC = 6, AC = 7,5 ; E sur le prolongement de [AC] avec CE = 4 ; segment [EF] parallèle à [AB], coupé par (BC) en G avec EG = 2,4 et GF = 2,1 ; O milieu de [CE] relié à G](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2002-france-groupement-est-septembre/gen-thales-papillon.webp)
3. a. Deux vecteurs égaux ont la même longueur. Puisque \(\overrightarrow{\text{EF}} = \overrightarrow{\text{BA}}\), on a EF = BA = 4,5 cm.
b. Comme \(\overrightarrow{\text{EF}} = \overrightarrow{\text{BA}}\), les droites (EF) et (AB) sont parallèles, donc (EG) est parallèle à (AB). Ensuite, les droites (AE) et (BG) se coupent en C. D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{\text{CE}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{CG}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{EG}}{\text{AB}} \quad \text{donc} \quad \dfrac{4}{7{,}5} = \dfrac{\text{EG}}{4{,}5}\]
\(\text{EG} = \dfrac{4 \times 4{,}5}{7{,}5} = \dfrac{18}{7{,}5} = 2{,}4\). EG = 2,4 cm.
c. G est sur le segment [EF] (entre E et F, comme le montre la figure), donc GF = EF − EG = 4,5 − 2,4 : GF = 2,1 cm.
4. O est le milieu de [CE], donc O est un point de la droite (CE). Par ailleurs, la droite (OG) passe aussi par O, et G n’est pas sur (CE). Puis les deux droites ont donc un point commun, O, sans être confondues : elles sont sécantes en O. Non, les droites (OG) et (CE) ne sont pas parallèles.
Corrigé de l’exercice 2 : Pythagore, vecteurs et Thalès (suite)
Remarque : (EG) est parallèle à (AB) et (AB) est perpendiculaire à (BC), donc le triangle CGE est rectangle en G. O, milieu de son hypoténuse [CE], est le centre de son cercle circonscrit, d’où OG = OC = OE = 2 cm.
Problème
Corrigé de la première partie (Est 2002) : le pavé creusé
1. La face ABCD est un rectangle de côtés DC = AB = 6 cm et DA = BC = 7 cm. Ensuite, on le trace en vraie grandeur avec l’équerre, puis on trace ses diagonales [AC] et [BD] : leur point d’intersection est L.
2. a. Le triangle BCD est rectangle en C (angle d’un rectangle), d’hypoténuse [BD]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{BD}^2 = \text{DC}^2 + \text{CB}^2 = 6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85\]
\(\text{BD} = \sqrt{85} \approx 9{,}22\), soit BD ≈ 9,2 cm.
b. Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu, donc L est le milieu de [BD] :
\[\text{DL} = \dfrac{\text{BD}}{2} = \dfrac{\sqrt{85}}{2} \approx 4{,}61\]
DL ≈ 4,6 cm (on divise la valeur exacte, pas la valeur arrondie).
3. a. \(V_{\text{pavé}} = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} = 7 \times 6 \times 5 = 210\). Volume du pavé : 210 cm³.
b. La base ABCD a pour aire \(6 \times 7 = 42\ \text{cm}^2\) et la hauteur est OL = 4 cm :
\[V_{\text{pyr}} = \dfrac{42 \times 4}{3} = 56\]
Volume de la pyramide : 56 cm³.
c. Puis on retire la pyramide du pavé : \(210 – 56 = 154\). Volume du pavé creusé : 154 cm³.
Corrigé de la deuxième partie : bois et verre en fonction de x
1. a. La base de la pyramide OABCD mesure toujours 42 cm², et sa hauteur vaut maintenant \(x\) :
\[V_{\text{OABCD}} = \dfrac{42 \times x}{3} = 14x\]
\(V_{\text{OABCD}} = 14x\) cm³.
b. Le socle en bois est le pavé (210 cm³) privé de cette pyramide : \(V_{\text{bois}} = 210 – 14x\) cm³.
2. Dans un agrandissement de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\). Ici \(k = 2\) et \(2^3 = 8\) :
\[V_{\text{OEFGH}} = 8 \times 14x = 112x\]
Le volume de la pyramide en verre est bien \(112x\) cm³.
3. Alors on traduit « volume de verre = 2 fois le volume de bois » :
\[112x = 2(210 – 14x) \quad \text{donc} \quad 112x = 420 – 28x \quad \text{donc} \quad 140x = 420\]
\(x = 3\). Vérification : verre \(112 \times 3 = 336\) cm³ et bois \(210 – 42 = 168\) cm³, et \(336 = 2 \times 168\). Puis la valeur 3 est bien comprise entre 0 et 5.
Corrigé de la troisième partie : lecture graphique
1. \(f\) est affine (décroissante) : sa droite passe par (0 ; 210) et (5 ; 140). \(g\) est linéaire : sa droite passe par l’origine et par (5 ; 560). Avec 2 cm par unité en abscisse et 1 cm pour 25 en ordonnée, l’axe des abscisses mesure 10 cm et il faut monter jusqu’à 560, soit 22,4 cm.
2. a. Les volumes sont égaux au point d’intersection des deux droites. Ensuite, on trace depuis ce point la verticale jusqu’à l’axe des abscisses (en rouge) : on lit \(x \approx 1{,}7\).
b. Puis on résout \(f(x) = g(x)\) :
\[210 – 14x = 112x \quad \text{donc} \quad 210 = 126x \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{210}{126} = \dfrac{5}{3}\]
\(x = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\) cm, ce qui confirme la lecture graphique. De plus, les deux volumes valent alors \(112 \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{560}{3} \approx 186{,}7\) cm³.
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Comment utiliser le corrigé corrigé Est 2002
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
Dans les questions sur les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Ensuite, pour les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Par ailleurs, en ce qui concerne les équations, garde l’équilibre des deux membres à chaque étape, ainsi tu évites les erreurs de signe. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Est 2002 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Est 2002
Faut-il lire le corrigé corrigé Est 2002 en entier ?
Non, pas forcément. Puis en effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2002. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les racines carrées, les équations et le théorème de Pythagore. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. Ensuite, en outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Est 2002
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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