Puissances de 10 et notation scientifique : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « puissances de 10 et notation scientifique », question par question.
Cette correction reprend chaque question en montrant les étapes attendues sur une copie de 4ème. Les calculs sur les exposants sont écrits ligne par ligne, afin que tu voies quand on ajoute et quand on soustrait.
Pour l’écriture scientifique, chaque réponse précise de combien de rangs la virgule se déplace, et dans quel sens. Le tableau des préfixes et l’échelle des tailles sont redessinés avec les réponses en couleur. De plus, un barème détaillé t’aide à noter ta copie sur 20. Lis enfin les remarques « Piège classique » : elles signalent les erreurs de signe les plus fréquentes avec les exposants négatifs.
L’énoncé complet se trouve ici : Puissances de 10 et notation scientifique : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : puissances de 10 et notation scientifique
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. De la puissance au nombre | 4 points |
| 2. Produits et quotients de puissances de 10 | 4 points |
| 3. Écriture scientifique | 4 points |
| 4. Les préfixes des unités | 3 points |
| 5. De l’atome à la Terre | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : puissances de 10 et notation scientifique
Exercice 1 – De la puissance au nombre (4 points)
- L’exposant positif donne le nombre de zéros après le 1, alors que l’exposant négatif donne le rang du 1 après la virgule.
\(10^{5} = 100\,000\).
\(10^{-3} = 0{,}001\).
\(10^{0} = 1\).
\(10^{1} = 10\).
Les écritures décimales sont 100 000 ; 0,001 ; 1 et 10. - On compte les zéros, ou bien le rang du chiffre 1 après la virgule.
\(1\,000\,000 = 10^{6}\).
\(0{,}0001 = 10^{-4}\).
Un milliard vaut \(1\,000\,000\,000\), donc un milliard \(= 10^{9}\).
\(0{,}1 = 10^{-1}\).
On obtient \(10^{6}\), \(10^{-4}\), \(10^{9}\) et \(10^{-1}\).
Piège classique : écrire \(10^{0} = 0\). Or tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1, car \(10^{0} = \dfrac{10^{3}}{10^{3}} = 1\).
Exercice 2 – Produits et quotients de puissances de 10 (4 points)
- Pour un produit, on ajoute les exposants ; pour un quotient, on les soustrait.
\(A = 10^{4+3} = 10^{7}\).
\(B = 10^{-5+8} = 10^{3}\).
\(C = 10^{6-2} = 10^{4}\).
\(D = 10^{3-(-2)} = 10^{3+2} = 10^{5}\).
\(A = 10^{7}\), \(B = 10^{3}\), \(C = 10^{4}\) et \(D = 10^{5}\). - On calcule d’abord le numérateur, puis le quotient.
\(10^{2} \times 10^{-7} = 10^{2+(-7)} = 10^{-5}\).
\(E = \dfrac{10^{-5}}{10^{-3}} = 10^{-5-(-3)} = 10^{-5+3}\).
\(E = 10^{-2}\). - On calcule chaque terme, ensuite on ajoute.
\(2{,}5 \times 10^{3} = 2\,500\) et \(4 \times 10^{2} = 400\).
\(F = 2\,500 + 400 = 2\,900\).
Or \(2\,900 = 2{,}9 \times 1\,000\), donc \(F = 2{,}9 \times 10^{3}\).
Piège classique : pour D, calculer \(3 – 2 = 1\) et trouver \(10^{1}\). Pourtant on soustrait \(-2\), ce qui revient à ajouter 2.
Exercice 3 – Écriture scientifique (4 points)
- On place la virgule après le premier chiffre non nul, puis on compte de combien de rangs elle a bougé.
\(45\,000 = 4{,}5 \times 10^{4}\).
\(0{,}00072 = 7{,}2 \times 10^{-4}\).
\(385 \times 10^{5} = 3{,}85 \times 10^{2} \times 10^{5} = 3{,}85 \times 10^{7}\).
\(0{,}06 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-2} \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-5}\).
Soit \(4{,}5 \times 10^{4}\) ; \(7{,}2 \times 10^{-4}\) ; \(3{,}85 \times 10^{7}\) ; \(6 \times 10^{-5}\). - Avec \(10^{6}\), la virgule avance de 6 rangs vers la droite ; en revanche, avec \(10^{-3}\), elle recule de 3 rangs.
\(1{,}08 \times 10^{6} = 1\,080\,000\).
\(9{,}3 \times 10^{-3} = 0{,}0093\).
On trouve 1 080 000 et 0,0093. - On compare d’abord les exposants : \(-3 < -2 < 3\). Ensuite, à exposant égal, on compare les nombres devant : \(5 < 6\) et \(1{,}7 < 2{,}4\).
\(9{,}9 \times 10^{-3} < 5 \times 10^{-2} < 6 \times 10^{-2} < 1{,}7 \times 10^{3} < 2{,}4 \times 10^{3}\).
Piège classique : garder \(385 \times 10^{5}\) ou \(0{,}06 \times 10^{-3}\) tels quels. Ce ne sont pas des écritures scientifiques, car le nombre devant doit être compris entre 1 et 10.
Exercice 4 – Les préfixes des unités (3 points)
- Les préfixes vont de mille en mille, donc l’exposant change de 3 à chaque case. Micro : \(10^{-6}\) ; kilo : \(10^{3}\) ; giga : \(10^{9}\).
- On remplace chaque préfixe par sa puissance de 10.
\(12\text{ km} = 12 \times 10^{3}\text{ m} = 1{,}2 \times 10^{4}\text{ m}\).
\(8\text{ mg} = 8 \times 10^{-3}\text{ g}\).
\(45\text{ Go} = 45 \times 10^{9}\text{ octets} = 4{,}5 \times 10^{10}\text{ octets}\).
Le sentier mesure \(1{,}2 \times 10^{4}\) m, le comprimé pèse \(8 \times 10^{-3}\) g et la clé contient \(4{,}5 \times 10^{10}\) octets.
Exercice 5 – De l’atome à la Terre (5 points)
- On utilise les préfixes, puis on écrit chaque résultat en notation scientifique.
\(5\text{ mm} = 5 \times 10^{-3}\text{ m}\).
25 µm \(= 25 \times 10^{-6}\text{ m} = 2{,}5 \times 10^{-5}\text{ m}\).
\(12\,700\text{ km} = 12\,700 \times 10^{3}\text{ m} = 1{,}27 \times 10^{7}\text{ m}\).
La fourmi mesure \(5 \times 10^{-3}\) m, le pollen \(2{,}5 \times 10^{-5}\) m et la Terre \(1{,}27 \times 10^{7}\) m. - Sur l’échelle, un point est d’autant plus à droite que la longueur est grande. L’atome, avec \(10^{-10}\) m, est tout à gauche : c’est A. Le pollen est entre \(10^{-5}\) et \(10^{-4}\) : c’est B. Puis la fourmi, entre \(10^{-3}\) et \(10^{-2}\), correspond à C. Enfin, la Terre, entre \(10^{7}\) et \(10^{8}\), est en D. A : atome ; B : pollen ; C : fourmi ; D : Terre.
- On divise la longueur de la fourmi par celle d’un grain de pollen.
\(\dfrac{5 \times 10^{-3}}{2{,}5 \times 10^{-5}} = \dfrac{5}{2{,}5} \times 10^{-3-(-5)} = 2 \times 10^{2} = 200\).
Il faut aligner 200 grains de pollen. - On convertit d’abord 1 mm en mètres : \(1\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m}\). Ensuite, on divise par le diamètre d’un atome.
\(\dfrac{10^{-3}}{1 \times 10^{-10}} = 10^{-3-(-10)} = 10^{7} = 10\,000\,000\).
Il faut dix millions d’atomes d’hydrogène pour former une ligne de 1 mm.
Piège classique : diviser 5 mm par 25 µm sans convertir, ce qui donne 0,2. Il faut donc exprimer les deux longueurs dans la même unité avant de calculer.
À retenir de ce contrôle
- Pour un entier n positif, 10 puissance n s’écrit avec un 1 suivi de n zéros, et 10 puissance moins n vaut un divisé par 10 puissance n.
- Pour multiplier deux puissances de 10, on ajoute les exposants ; pour diviser, on soustrait l’exposant du dénominateur, en faisant attention aux signes.
- L’écriture scientifique d’un nombre est a fois 10 puissance n, où a est compris entre 1 inclus et 10 exclu, avec un seul chiffre non nul avant la virgule.
- Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on compare d’abord les exposants, puis les nombres a si les exposants sont égaux.
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