Mettre un problème en équation : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « mettre un problème en équation », question par question.
Cette correction suit pour chaque exercice les quatre étapes attendues d’une mise en équation : définir l’inconnue, écrire l’équation, la résoudre ligne par ligne, puis répondre à la question par une phrase. Compare ta copie étape par étape : une équation bien posée mais mal résolue rapporte déjà des points, et le barème détaillé te montre lesquels.
Chaque résultat est vérifié dans l’énoncé, comme tu devrais le faire toi-même. Le graphique ajouté à l’exercice des tarifs montre ce que signifie la solution d’une équation, et les dimensions obtenues pour les figures sont dessinées. Les encadrés « Piège classique » signalent les erreurs les plus fréquentes : parenthèses oubliées, signe qui change mal, conclusion absente.
L’énoncé complet se trouve ici : Mettre un problème en équation : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : mettre un problème en équation
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Trois entiers consécutifs | 3 points |
| 2. L’âge de Lucie et de Malo | 4 points |
| 3. Des périmètres en fonction de x | 5 points |
| 4. Deux tarifs à la piscine | 4 points |
| 5. L’allée du jardin partagé | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : mettre un problème en équation
Exercice 1 – Trois entiers consécutifs (3 points)
- Deux entiers consécutifs se suivent, donc on ajoute \(1\) pour passer de l’un au suivant. Les deux autres nombres sont \(n + 1\) et \(n + 2\).
- La somme des trois nombres vaut \(171\) : \(n + (n + 1) + (n + 2) = 171\).
- D’abord, on réduit le membre de gauche :
\(3n + 3 = 171\)
\(3n = 171 – 3\)
Donc \(3n = 168\)
\(n = \frac{168}{3} = 56\)
Enfin, on vérifie : \(56 + 57 + 58 = 171\). Les nombres de Noé sont 56, 57 et 58. - Il faudrait \(3n + 3 = 100\), donc \(3n = 97\) et \(n = \frac{97}{3}\). Or \(97\) n’est pas divisible par \(3\) (\(3 \times 32 = 96\) et \(3 \times 33 = 99\)). Ainsi, \(n\) ne serait pas un entier. C’est impossible : Jade s’est trompée.
Piège classique : écrire \(n + n + 1 + n + 2 = 3n + 2\). Il y a trois \(n\), mais les nombres ajoutés font \(1 + 2 = 3\).
Exercice 2 – L’âge de Lucie et de Malo (4 points)
- Dans \(x\) années, chacun aura donc \(x\) ans de plus. Lucie aura \(34 + x\) ans et Malo aura \(8 + x\) ans.
- On veut que l’âge de Lucie soit le double de celui de Malo, c’est-à-dire égal à \(2\) fois \((8 + x)\). Les parenthèses sont indispensables, car c’est tout l’âge de Malo qui est doublé. On obtient bien \(34 + x = 2(8 + x)\).
- D’abord, on développe le membre de droite :
\(34 + x = 16 + 2x\)
\(34 – 16 = 2x – x\)
\(18 = x\)
La solution de l’équation est \(x = 18\). - Dans \(18\) ans, Lucie aura \(34 + 18 = 52\) ans et Malo \(8 + 18 = 26\) ans. Or \(2 \times 26 = 52\), donc la réponse est juste. Lucie aura le double de l’âge de Malo dans 18 ans.
Piège classique : écrire \(34 + x = 2 \times 8 + x\), ce qui revient à ne doubler que l’âge actuel de Malo et conduit à \(34 = 16\), une égalité absurde.
Exercice 3 – Des périmètres en fonction de x (5 points)
- Le triangle est isocèle en \(A\), donc \(AB = AC = 2x + 3\).
\(P_{ABC} = 2(2x + 3) + (x + 1)\)
Ensuite, \(P_{ABC} = 4x + 6 + x + 1\)
\(P_{ABC} = 5x + 7\). - D’abord, on résout \(5x + 7 = 42\) :
\(5x = 42 – 7\)
\(5x = 35\)
\(x = 7\)
Ainsi, \(AB = AC = 2 \times 7 + 3 = 17\) et \(BC = 7 + 1 = 8\). Vérification : \(17 + 17 + 8 = 42\). Pour \(x = 7\), le triangle a deux côtés de 17 cm et une base de 8 cm. - \(P_{EFGH} = 2 \times \left((x + 5) + x\right)\)
Ensuite, \(P_{EFGH} = 2(2x + 5)\)
\(P_{EFGH} = 4x + 10\). - On résout \(5x + 7 = 4x + 10\) :
Ensuite, \(5x – 4x = 10 – 7\)
\(x = 3\)
Vérification : \(5 \times 3 + 7 = 22\) et \(4 \times 3 + 10 = 22\). Pour \(x = 3\), les deux figures ont le même périmètre : 22 cm. Le triangle a alors des côtés de \(9\text{ cm}\), \(9\text{ cm}\) et \(4\text{ cm}\), le rectangle mesure \(8\text{ cm}\) sur \(3\text{ cm}\).
Piège classique : additionner seulement les deux côtés du rectangle, \(2x + 5\), en oubliant que le périmètre en compte quatre.
Exercice 4 – Deux tarifs à la piscine (4 points)
- Tarif A : \(6 \times 5 = 30\) ; \(6 \times 12 = 72\) ; \(6 \times 20 = 120\).
Ensuite, tarif B : \(42 + 2{,}5 \times 5 = 42 + 12{,}5 = 54{,}5\) ; \(42 + 2{,}5 \times 12 = 42 + 30 = 72\) ; \(42 + 2{,}5 \times 20 = 42 + 50 = 92\).Nombre d’entrées 5 12 20 Prix avec le tarif A (en €) 30 72 120 Prix avec le tarif B (en €) 54,50 72 92 - Tarif A : \(6x\) euros. Tarif B : \(42 + 2{,}5x\) euros.
- On cherche \(x\) tel que \(6x = 42 + 2{,}5x\) :
\(6x – 2{,}5x = 42\)
Donc \(3{,}5x = 42\)
\(x = \frac{42}{3{,}5} = \frac{420}{35} = 12\)
Les deux tarifs coûtent le même prix, 72 €, pour 12 entrées, ce que confirme le tableau. - D’abord, pour Clara : tarif A \(6 \times 8 = 48\) € et tarif B \(42 + 2{,}5 \times 8 = 62\) €. Le tarif A est conseillé à Clara.
Ensuite, pour Yanis : d’après le tableau, \(120\) € avec le tarif A contre \(92\) € avec le tarif B. Le tarif B est conseillé à Yanis, qui économise 28 €.
Ainsi, le graphique montre que le tarif A est moins cher en dessous de \(12\) entrées et que le tarif B l’est au-delà.
Piège classique : écrire \(2{,}5 \times (42 + x)\) pour le tarif B ; la carte de \(42\) € se paie une seule fois, seul le prix des entrées est multiplié par \(x\).
Exercice 5 – L’allée du jardin partagé (4 points)
- Ici, l’allée est un rectangle de \(15\text{ m}\) de long et \(x\text{ m}\) de large. Son aire est \(15x\) mètres carrés.
- L’aire du terrain est \(24 \times 15 = 360\text{ m}^2\). La pelouse occupe le terrain sauf l’allée, donc l’aire de la pelouse est \(360 – 15x\) mètres carrés.
- D’abord, on résout \(360 – 15x = 330\) :
\(360 – 330 = 15x\)
Donc \(30 = 15x\)
\(x = 2\)
Vérification : \(360 – 15 \times 2 = 360 – 30 = 330\). L’allée doit mesurer 2 m de large. - Le prix du gravier est \(4 \times 15x = 60x\) euros. Ensuite, on résout \(60x = 150\), d’où \(x = \frac{150}{60} = 2{,}5\).
Vérification : \(15 \times 2{,}5 = 37{,}5\text{ m}^2\) et \(4 \times 37{,}5 = 150\) €. Avec 150 €, l’allée peut mesurer 2,5 m de large.
Piège classique : prendre \(24x\) pour l’aire de l’allée ; l’allée est parallèle à la largeur, sa longueur est donc \(15\text{ m}\) et non \(24\text{ m}\).
À retenir de ce contrôle
- Une mise en équation commence par une phrase qui nomme l’inconnue et précise son unité, par exemple « Soit x le nombre d’entrées ».
- Quand l’inconnue apparaît dans les deux membres, on regroupe les termes en x d’un côté et les nombres de l’autre, en changeant les signes correctement.
- Un double ou un triple d’une somme s’écrit avec des parenthèses : le double de 8 + x est 2(8 + x), qu’il faut développer.
- La solution d’une équation doit toujours être vérifiée dans l’énoncé, puis interprétée : un nombre d’objets entier, une longueur positive.
- Pour comparer deux tarifs, on cherche la valeur qui les rend égaux, puis on teste une valeur plus petite et une valeur plus grande.
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