Résoudre une équation du premier degré : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « résoudre une équation du premier degré », question par question.
Cette correction reprend chaque résolution ligne par ligne, comme on l’attend sur une copie : une seule transformation à la fois, appliquée aux deux membres. Chaque solution est suivie d’une vérification dans l’équation de départ, pour que tu prennes l’habitude de contrôler toi-même tes réponses.
Refais d’abord les exercices sans regarder, puis compare ta rédaction à la nôtre. Le barème détaillé montre où se gagnent les points de méthode, même quand le résultat final est faux. Les encadrés sur les pièges classiques signalent les erreurs de signe et de parenthèses les plus fréquentes en 4ème. Le schéma en barres complété du dernier exercice t’aide à relier l’équation à la situation concrète.
L’énoncé complet se trouve ici : Résoudre une équation du premier degré : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : résoudre une équation du premier degré
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Solution ou pas ? | 3 points |
| 2. La balance de Maëlle | 4 points |
| 3. Cinq équations à résoudre | 5 points |
| 4. Parenthèses d’abord | 4 points |
| 5. Les guirlandes de la fête | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : résoudre une équation du premier degré
Exercice 1 – Solution ou pas ? (3 points)
- Pour \(x = 4\) :
premier membre : \(3 \times 4 – 5 = 12 – 5 = 7\) ;
second membre : \(7\).
Les deux membres sont égaux, donc \(4\) est solution de l’équation. - Pour \(x = -2\) :
premier membre : \(5 \times (-2) + 3 = -10 + 3 = -7\) ;
second membre : \(2 \times (-2) – 3 = -4 – 3 = -7\).
Les deux membres sont égaux, donc \(-2\) est solution de l’équation. - Pour \(x = -1\) :
premier membre : \(2 \times (-1 + 4) = 2 \times 3 = 6\) ;
second membre : \(7 – (-1) = 7 + 1 = 8\).
Comme \(6 \neq 8\), \(-1\) n’est pas solution de l’équation.
Piège classique : en c), écrire \(7 – 1\) au lieu de \(7 – (-1)\). En effet, remplacer \(x\) par un nombre négatif impose de mettre ce nombre entre parenthèses.
Exercice 2 – La balance de Maëlle (4 points)
- Le plateau de gauche porte 3 sacs et 200 g, celui de droite 1 sac, 500 g et 400 g, soit 1 sac et 900 g. Ainsi, l’équilibre se traduit par : \(3x + 200 = x + 900\).
- On enlève la même masse \(x\) des deux côtés : la balance reste en équilibre. Ensuite, il reste 2 sacs et 200 g à gauche, 900 g à droite : \(2x + 200 = 900\).
- \(2x + 200 = 900\)
\(2x = 900 – 200\)
\(2x = 700\)
\(x = \frac{700}{2} = 350\)
Un sac de billes pèse 350 g. - D’abord, plateau de gauche : \(3 \times 350 + 200 = 1\,050 + 200 = 1\,250\) g.
Ensuite, plateau de droite : \(350 + 900 = 1\,250\) g.
Les deux plateaux portent 1 250 g : le résultat est juste.
Exercice 3 – Cinq équations à résoudre (5 points)
- \(4x – 9 = 11\)
\(4x = 11 + 9\)
\(4x = 20\)
\(x = \frac{20}{4}\)
La solution est \(5\). - \(-3x + 8 = 20\)
\(-3x = 20 – 8\)
\(-3x = 12\)
\(x = \frac{12}{-3}\)
La solution est \(-4\). - \(7x – 4 = 3x + 10\)
\(7x – 3x = 10 + 4\)
\(4x = 14\)
\(x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}\)
La solution est \(\frac{7}{2}\), c’est-à-dire \(3{,}5\).
Ensuite, on vérifie : \(7 \times 3{,}5 – 4 = 24{,}5 – 4 = 20{,}5\) et \(3 \times 3{,}5 + 10 = 10{,}5 + 10 = 20{,}5\). - \(2 – 5x = 11 – 2x\)
\(-5x + 2x = 11 – 2\)
\(-3x = 9\)
\(x = \frac{9}{-3}\)
La solution est \(-3\).
Puis on vérifie : \(2 – 5 \times (-3) = 2 + 15 = 17\) et \(11 – 2 \times (-3) = 11 + 6 = 17\). - \(\frac{2}{3}x – 1 = 7\)
\(\frac{2}{3}x = 8\)
\(x = 8 \times \frac{3}{2}\)
\(x = \frac{24}{2}\)
La solution est \(12\).
Enfin, on vérifie : \(\frac{2}{3} \times 12 – 1 = 8 – 1 = 7\).
Piège classique : à la question 2, passer de \(-3x = 12\) à \(x = 12 + 3\) ou à \(x = 4\). En effet, on divise les deux membres par \(-3\), signe compris.
Exercice 4 – Parenthèses d’abord (4 points)
- \(3(x – 2) = 2x + 5\)
\(3x – 6 = 2x + 5\)
\(3x – 2x = 5 + 6\)
\(x = 11\)
La solution est \(11\).
Puis on vérifie : \(3 \times (11 – 2) = 3 \times 9 = 27\) et \(2 \times 11 + 5 = 22 + 5 = 27\). Les deux membres sont égaux. - \(5 – (2x – 3) = 4(x + 5)\)
\(5 – 2x + 3 = 4x + 20\)
\(8 – 2x = 4x + 20\)
\(-2x – 4x = 20 – 8\)
\(-6x = 12\)
\(x = \frac{12}{-6}\)
La solution est \(-2\).
Ensuite, on vérifie : \(5 – (2 \times (-2) – 3) = 5 – (-7) = 12\) et \(4 \times (-2 + 5) = 4 \times 3 = 12\). - Pour \(x = -3\) : \(2 \times (-3 + 1) = 2 \times (-2) = -4\) et \(-3 – 4 = -7\). Comme \(-4 \neq -7\), Karim a tort.
\(2(x + 1) = x – 4\)
\(2x + 2 = x – 4\)
\(2x – x = -4 – 2\)
\(x = -6\)
La solution est \(-6\). En effet, \(2 \times (-5) = -10\) et \(-6 – 4 = -10\).
Piège classique : à la question 2, écrire \(5 – 2x – 3\). En effet, un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme qu’elle contient : \(-(2x – 3) = -2x + 3\).
Exercice 5 – Les guirlandes de la fête (4 points)
- La guirlande de Léna mesure 4 fois \(x\) plus 30 cm, soit \(4x + 30\). Celle de Tom mesure 2 fois \(x\) plus 110 cm, soit \(2x + 110\). Or les deux longueurs sont égales, donc \(x\) vérifie \(4x + 30 = 2x + 110\).
- \(4x + 30 = 2x + 110\)
\(4x – 2x = 110 – 30\)
\(2x = 80\)
\(x = 40\)
Une bande de tissu mesure 40 cm. - Guirlande de Léna : \(4 \times 40 + 30 = 160 + 30 = 190\) cm.
Ensuite, on contrôle avec celle de Tom : \(2 \times 40 + 110 = 80 + 110 = 190\) cm.
Chaque guirlande mesure 190 cm, soit 1,90 m. - Avec 3 bandes, la guirlande de Léna mesure \(3 \times 40 + 30 = 120 + 30 = 150\) cm.
Ensuite, notons \(c\) la longueur du cordon de Tom, en cm. Alors on veut \(2 \times 40 + c = 150\), soit \(80 + c = 150\).
\(c = 150 – 80 = 70\)
Tom doit garder un cordon de 70 cm.
Piège classique : s’arrêter à \(x = 40\) à la question 3 : la question porte sur la guirlande entière, pas sur une bande. Relis donc toujours ce que l’on demande avant de conclure.
À retenir de ce contrôle
- Pour tester un nombre, on calcule chaque membre séparément en le remplaçant, entre parenthèses s’il est négatif, puis on compare les deux résultats.
- On peut ajouter ou soustraire un même nombre, ou une même quantité en x, aux deux membres d’une équation sans changer ses solutions.
- Pour passer de -3x = 12 à la solution, on divise les deux membres par -3 : le signe du coefficient fait partie de la division.
- Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme qu’elle contient quand on la supprime.
- Dans un problème, on choisit l’inconnue, on écrit l’équation, on la résout, puis on répond à la question posée avec son unité.
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