Calcul littéral et équations : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « calcul littéral et équations », question par question.
Cette correction détaille chaque étape comme sur une copie soignée. Pour les développements, elle écrit la distribution de chaque facteur avant de réduire, ce qui permet de repérer une erreur de signe. Chaque équation est résolue ligne par ligne, puis vérifiée en remplaçant \(x\) par la solution trouvée. Pour les programmes de calcul, tu verras comment passer de l’organigramme à une expression, puis à une équation. Le problème final se conclut par une figure cotée qui confirme les deux périmètres égaux. Compare donc ta copie ligne par ligne et reporte-toi au barème détaillé pour estimer ta note.
L’énoncé complet se trouve ici : Calcul littéral et équations : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : calcul littéral et équations
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Développer et réduire | 3 points |
| 2. Tester puis résoudre | 4 points |
| 3. Développer avant de résoudre | 4 points |
| 4. Deux programmes de calcul | 4,5 points |
| 5. Le carré et le rectangle de Salomé | 4,5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : calcul littéral et équations
Exercice 1 – Développer et réduire (3 points)
- On distribue 5 : \(A = 5 \times 2x – 5 \times 3\). Donc \(A = 10x – 15\).
- On distribue \(-3\) : \(B = -3 \times 4 – 3 \times (-x) = -12 + 3x\). Ainsi \(B = 3x – 12\).
- On développe : \(C = 6x + 2 – 4x + 20\), car \(-4 \times (-5) = 20\). On regroupe ensuite : \(C = 6x – 4x + 2 + 20\). Donc \(C = 2x + 22\).
- Le signe moins devant la première parenthèse change les signes de \(2x\) et de \(-9\). On obtient alors \(D = 7x – 2x + 9 + 3x + 3\). Après réduction, \(D = 8x + 12\).
Piège classique : à la question 3, écrire \(-4x – 20\) au lieu de \(-4x + 20\). En effet, le facteur \(-4\) multiplie aussi \(-5\), et moins par moins donne plus.
Exercice 2 – Tester puis résoudre (4 points)
- On remplace \(x\) par 3 dans chaque membre. À gauche, \(5 \times 3 – 7 = 15 – 7 = 8\). À droite, \(2 \times 3 + 2 = 6 + 2 = 8\). Les deux membres sont égaux, donc 3 est bien solution de l’équation.
- On soustrait 9 aux deux membres : \(4x = 1 – 9\), donc \(4x = -8\). Puis on divise par 4 : \(x = -8 \div 4\). La solution est \(-2\). Vérification : \(4 \times (-2) + 9 = -8 + 9 = 1\).
- On regroupe les termes en \(x\) à gauche : \(7x – 3x = 11 + 5\). Ainsi \(4x = 16\), puis \(x = 16 \div 4\). La solution est 4. Vérification : \(7 \times 4 – 5 = 23\) et \(3 \times 4 + 11 = 23\).
- On développe d’abord le membre de gauche : \(6x – 8 = 5x + 1\). Ensuite, \(6x – 5x = 1 + 8\). La solution est 9. Vérification : \(2 \times (27 – 4) = 46\) et \(5 \times 9 + 1 = 46\).
Exercice 3 – Développer avant de résoudre (4 points)
- On développe : \(3x + 12 – 2x + 2 = 20\), donc \(x + 14 = 20\). Alors \(x = 20 – 14 = 6\). Vérification : \(3 \times 10 – 2 \times 5 = 30 – 10 = 20\). La solution est 6.
- On développe : \(5x – 10 = 2x + 14\). Puis \(5x – 2x = 14 + 10\), c’est-à-dire \(3x = 24\). Donc \(x = 24 \div 3 = 8\). Vérification : \(5 \times 6 = 30\) et \(2 \times 15 = 30\). La solution est 8.
- On développe : \(-6 + 2x = 4x + 10\). Ensuite, \(-6 – 10 = 4x – 2x\), soit \(-16 = 2x\). Par conséquent, \(x = -16 \div 2 = -8\). Vérification : \(-2 \times (3 + 8) = -22\) et \(4 \times (-8) + 10 = -22\). La solution est \(-8\).
Piège classique : à la question 1, oublier que \(-2 \times (-1) = 2\) et écrire \(x + 10 = 20\). Ainsi, on trouverait 10, et la vérification montrerait tout de suite l’erreur.
Exercice 4 – Deux programmes de calcul (4,5 points)
- \(5 \times 4 = 20\), puis \(20 – 6 = 14\). Ensuite, \(14 \times 3 = 42\) et enfin \(42 + 18 = 60\). Le programme A donne 60.
- \(-2 \times 4 = -8\), puis \(-8 – 6 = -14\). Ensuite, \(-14 \times 3 = -42\) et enfin \(-42 + 18 = -24\). Le programme A donne \(-24\).
- Avec le nombre \(x\), on obtient d’abord \(4x\), puis \(4x – 6\). On trouve ensuite \(3(4x – 6)\) et enfin \(3(4x – 6) + 18\). Or \(3(4x – 6) + 18 = 12x – 18 + 18\). Le résultat du programme A est donc \(12x\).
- On résout \(12x = 90\), donc \(x = 90 \div 12 = 7{,}5\). Vérification : \(12 \times 7{,}5 = 90\). Il faut choisir 7,5 au départ.
- Le programme B donne \(8(x + 5) = 8x + 40\). On cherche donc \(x\) tel que \(12x = 8x + 40\). Alors \(12x – 8x = 40\), soit \(4x = 40\) et \(x = 10\). Vérification : A donne \(12 \times 10 = 120\) et B donne \(8 \times 15 = 120\). Les deux programmes donnent le même résultat pour le nombre 10.
Piège classique : à la question 3, écrire \(4x – 6 \times 3 + 18\) sans parenthèses. Or la multiplication par 3 porte sur tout le résultat précédent, c’est pourquoi les parenthèses sont indispensables.
Exercice 5 – Le carré et le rectangle de Salomé (4,5 points)
- Le carré a quatre côtés de même longueur \(x + 1\). Son périmètre vaut donc \(4(x + 1) = 4x + 4\). Le périmètre du carré est \(4x + 4\) mètres.
- Le périmètre d’un rectangle vaut deux fois la somme de sa longueur et de sa largeur. Ici, c’est \(2(x + 6 + 4) = 2(x + 10) = 2x + 20\). Le périmètre du rectangle est bien \(2x + 20\) mètres.
- Pour \(x = 5\), on calcule \(4 \times 5 + 4 = 24\) et \(2 \times 5 + 20 = 30\). Le carré a alors un périmètre de 24 m et le rectangle de 30 m.
- Les deux bordures ont la même longueur lorsque les périmètres sont égaux. On résout donc \(4x + 4 = 2x + 20\). Ainsi \(4x – 2x = 20 – 4\), puis \(2x = 16\) et \(x = 8\). Le carré a alors un côté de \(8 + 1 = 9\) m. De plus, le rectangle mesure \(8 + 6 = 14\) m sur 4 m. Vérification : \(4 \times 9 = 36\) et \(2 \times (14 + 4) = 36\). Salomé doit prendre \(x = 8\) : le carré mesure 9 m de côté, le rectangle 14 m sur 4 m, et chaque bordure mesure 36 m.
Piège classique : à la question 2, calculer \(2(x + 6) + 4\) en oubliant de doubler la largeur. Le rectangle a pourtant deux largeurs, tout comme il a deux longueurs.
À retenir de ce contrôle
- Pour développer k(a + b), on multiplie le facteur k par chacun des termes de la parenthèse : k × a + k × b.
- Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun des termes qu’elle contient quand on la supprime.
- Pour résoudre une équation, on ajoute, soustrait, multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul.
- Après avoir résolu une équation, on remplace l’inconnue par la solution trouvée dans chaque membre pour vérifier l’égalité.
- Dans un problème, on choisit l’inconnue, on écrit l’équation, on la résout, puis on répond à la question posée avec l’unité.
Revenir à l’énoncé du contrôle
Consolider calcul littéral et équations après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon calcul littéral et double distributivité puis les équations et les problèmes ; entraîne-toi sur la fiche calcul littéral et scratch et les équations.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en 4ème.
Autres corrigés sur le même thème
Télécharger ou imprimer cette fiche «calcul littéral et équations : corrigé du contrôle de maths en 4ème» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
