Patrons et volumes de solides : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « patrons et volumes de solides », question par question.
Cette correction reprend le sujet dans l’ordre, avec la rédaction attendue sur une copie. Pour les deux premiers exercices, elle explique le pliage du patron : quels sommets se rejoignent, quelles arêtes se superposent, et pourquoi. Une figure montre aussi le patron complété. Ensuite, chaque volume est calculé en trois temps : formule, aire de la base, puis résultat avec l’unité. Pour le silo et les gobelets, la correction garde la valeur exacte avec π avant d’arrondir. Enfin, le barème détaille la répartition des points, et les pièges signalés t’aideront à repérer tes erreurs.
L’énoncé complet se trouve ici : Patrons et volumes de solides : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : patrons et volumes de solides
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Le patron sur quadrillage | 4 points |
| 2. Un patron à terminer | 3 points |
| 3. Le nichoir de Maëlle | 4,5 points |
| 4. Le silo à grain | 4,5 points |
| 5. Les gobelets de la fête | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : patrons et volumes de solides
Exercice 1 – Le patron sur quadrillage (4 points)
- La pyramide a une base carrée et quatre faces triangulaires. Sa base a 4 arêtes, et 4 arêtes latérales partent du sommet. Enfin, elle a les 4 sommets de la base plus son sommet principal. La pyramide a 5 faces, 8 arêtes et 5 sommets.
- Au pliage, chaque triangle se relève autour d’un côté du carré, donc les quatre sommets libres se rejoignent au-dessus de la base. Les points \(S_2\), \(S_3\) et \(S_4\) viennent se placer sur \(S_1\).
- Les triangles \(ABS_1\) et \(BCS_2\) ont en commun le sommet \(B\) : quand on les relève, leurs côtés issus de \(B\) se collent. Le segment \([BS_1]\) se superpose au segment \([BS_2]\). De même, les triangles \(CDS_3\) et \(DAS_4\) partagent le point \(D\). Le segment \([DS_3]\) se superpose au segment \([DS_4]\).
- Sur le quadrillage, on compte \(AI = 3\text{ cm}\) et \(IS_1 = 5\text{ cm}\). Le segment \([IS_1]\) est vertical et \([AB]\) est horizontal, donc le triangle \(AIS_1\) est rectangle en \(I\).
D’après le théorème de Pythagore : \(AS_1^2 = AI^2 + IS_1^2\).
\(AS_1^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34\).
\(AS_1 = \sqrt{34} \approx 5{,}83\).
La longueur \(AS_1\) mesure environ \(5{,}8\text{ cm}\).
Piège classique : répondre que \([BS_1]\) se superpose à \([AS_1]\). Ces deux segments appartiennent à la même face, donc ils ne peuvent pas se coller l’un sur l’autre.
Exercice 2 – Un patron à terminer (3 points)
- La pyramide est régulière, donc ses quatre faces latérales sont des triangles isocèles identiques. On ajoute alors un triangle sur \([GH]\) et un autre sur \([HE]\), avec le sommet à 3 carreaux du côté, face à son milieu, comme pour les deux faces déjà tracées.
Le patron complet compte la base carrée et quatre triangles identiques (en orange, les faces ajoutées).
- D’abord, l’aire de la base carrée vaut \(4 \times 4 = 16\text{ cm}^2\).
Ensuite, chaque triangle a une base de \(4\text{ cm}\) et une hauteur de \(3\text{ cm}\) : \(\dfrac{4 \times 3}{2} = 6\text{ cm}^2\).
Les quatre triangles ont donc une aire de \(4 \times 6 = 24\text{ cm}^2\).
Au total : \(16 + 24 = 40\).
L’aire du patron terminé est \(40\text{ cm}^2\).
Piège classique : oublier de diviser par 2 l’aire d’un triangle. On trouverait alors \(64\text{ cm}^2\) au lieu de \(40\text{ cm}^2\).
Exercice 3 – Le nichoir de Maëlle (4,5 points)
- Le volume d’un cube d’arête \(a\) est \(a \times a \times a\).
\(30 \times 30 \times 30 = 27\,000\).
Le cube a un volume de \(27\,000\text{ cm}^3\). - Le toit est une pyramide, donc \(V = \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}\).
Sa base est un carré de \(30\text{ cm}\) de côté : \(30 \times 30 = 900\text{ cm}^2\).
\(V = \dfrac{900 \times 20}{3} = \dfrac{18\,000}{3} = 6\,000\).
Le toit a bien un volume de \(6\,000\text{ cm}^3\). - Le nichoir est un solide composé, alors on additionne les deux volumes : \(27\,000 + 6\,000 = 33\,000\).
Or \(1\text{ L} = 1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3\), donc \(33\,000 \div 1\,000 = 33\).
Le nichoir a un volume de \(33\,000\text{ cm}^3\), soit \(33\text{ L}\). - On calcule la part du toit dans le volume total : \(\dfrac{6\,000}{33\,000} \approx 0{,}182\).
Ainsi, \(0{,}182 \times 100 \approx 18\).
Le toit représente environ \(18\,\%\) du volume du nichoir.
Piège classique : diviser \(6\,000\) par \(27\,000\), c’est-à-dire par le volume du cube seul. La question porte pourtant sur le volume total du nichoir.
Exercice 4 – Le silo à grain (4,5 points)
- Le volume d’un cylindre est \(V = \pi \times r^2 \times h\).
\(V = \pi \times 2^2 \times 6 = \pi \times 4 \times 6 = 24\pi\).
Le cylindre a un volume exact de \(24\pi\text{ m}^3\). - Le volume d’un cône est \(V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}\).
\(V = \dfrac{\pi \times 2^2 \times 3}{3} = \dfrac{12\pi}{3} = 4\pi\).
Le cône a un volume exact de \(4\pi\text{ m}^3\). - On additionne les deux volumes : \(24\pi + 4\pi = 28\pi\). Puis, à la calculatrice, \(28\pi \approx 87{,}96\).
Le silo a un volume de \(28\pi\text{ m}^3\), soit environ \(88\text{ m}^3\). - Chaque mètre cube pèse \(0{,}75\) tonne, donc on multiplie : \(28\pi \times 0{,}75 = 21\pi \approx 65{,}97\).
Le silo plein contient environ \(66\) tonnes de blé.
Piège classique : oublier la division par 3 pour le cône. On trouverait \(12\pi\text{ m}^3\), soit trois fois trop.
Exercice 5 – Les gobelets de la fête (4 points)
- Gobelet cylindrique : \(V = \pi \times 3^2 \times 9 = 81\pi \approx 254{,}47\), donc environ \(254\text{ cm}^3\).
Gobelet conique : \(V = \dfrac{\pi \times 4^2 \times 9}{3} = \dfrac{144\pi}{3} = 48\pi \approx 150{,}80\), donc environ \(151\text{ cm}^3\).
Le gobelet cylindrique contient le plus : environ \(254\text{ cm}^3\) contre \(151\text{ cm}^3\). - D’abord, on convertit : \(3\text{ L} = 3\text{ dm}^3 = 3\,000\text{ cm}^3\).
Avec les cylindres : \(3\,000 \div 254{,}47 \approx 11{,}8\). Onze gobelets ne suffisent pas, car il resterait du jus, donc il en faut 12.
Avec les cônes : \(3\,000 \div 150{,}80 \approx 19{,}9\), donc il en faut 20.
Il faut au minimum 12 gobelets cylindriques ou 20 gobelets coniques. - Pour 12 gobelets cylindriques, un paquet de 10 ne suffit pas : Yanis doit acheter 2 paquets, soit \(2 \times 2{,}40 = 4{,}80\) €.
En revanche, pour 20 gobelets coniques, un seul paquet de 25 suffit : il paie \(3{,}50\) €.
Comme \(3{,}50 < 4{,}80\), les gobelets coniques reviennent moins cher, avec une économie de \(4{,}80 – 3{,}50 = 1{,}30\) €.
Yanis doit choisir les gobelets coniques, qui lui coûtent \(3{,}50\) €.
Piège classique : choisir le gobelet qui contient le plus, sans regarder le prix. Ici, le gobelet conique est plus petit, mais il est vendu beaucoup moins cher à l’unité.
À retenir de ce contrôle
- Quand on plie le patron d’une pyramide, tous les sommets des faces latérales se rejoignent en un seul point : le sommet de la pyramide.
- Dans un patron, deux arêtes qui se superposent au pliage ont forcément la même longueur, ce qui permet de contrôler une construction.
- Le volume d’un solide composé est la somme des volumes de ses parties, calculés séparément avec la formule qui convient.
- Le volume d’une pyramide ou d’un cône vaut le tiers de celui du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur.
- Pour un nombre de récipients nécessaires, on arrondit toujours à l’unité supérieure, sinon il manque une partie du liquide.
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Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon pyramides, cônes et volumes de solides ; entraîne-toi sur la fiche volumes.
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