Frises, pavages et transformations : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « frises, pavages et transformations », question par question.
Cette correction montre comment nommer précisément une transformation : une translation se décrit par un couple de points, une rotation par son centre, son angle et son sens, une symétrie par son axe. La frise complétée et la rosace annotée te permettent de comparer ton tracé avec la réponse attendue. Chaque justification s’appuie aussi sur les propriétés de conservation, que l’on cite en toutes lettres. Le barème précise enfin où se trouvent les points de méthode, car une transformation mal décrite ne rapporte qu’une partie des points.
L’énoncé complet se trouve ici : Frises, pavages et transformations : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : frises, pavages et transformations
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. La frise de drapeaux | 4 points |
| 2. La rosace à six branches | 4 points |
| 3. Le pavage de losanges | 5 points |
| 4. Vrai ou faux | 3 points |
| 5. La frise de la salle de bains | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : frises, pavages et transformations
Exercice 1 – La frise de drapeaux (4 points)
- Le motif 2 est retourné comme dans un miroir, et la droite (d) se trouve exactement à mi-chemin entre les deux motifs. On passe du motif 1 au motif 2 par la symétrie axiale d’axe (d).
- En revanche, le motif 3 a la même orientation que le motif 1 : il a seulement glissé de 6 carreaux vers la droite, et le point A vient en B. C’est la translation qui transforme A en B.
- Le motif 6 est l’image du motif 4 par la translation qui transforme A en B. On le dessine donc 6 carreaux à droite du motif 4, avec la même orientation, orange et retourné. Le motif 6 est tracé sur la figure ci-dessous.
- D’une part, le motif 6 est l’image du motif 1 par une symétrie puis des translations. D’autre part, ces transformations conservent les aires. L’aire du motif 6 est donc de 5 carreaux.
Piège classique : répondre « translation » pour passer du motif 1 au motif 2. En réalité, le motif 2 est retourné : une translation ne retourne jamais une figure.
Exercice 2 – La rosace à six branches (4 points)
- Les six branches identiques se partagent le tour complet autour de O, donc l’angle entre deux branches voisines vaut \(360^\circ \div 6 = 60^\circ\). La branche 2 est à gauche de la branche 1. C’est la rotation de centre O, d’angle 60°, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
- De la branche 1 à la branche 4, on tourne trois fois de 60°, soit \(3 \times 60^\circ = 180^\circ\). C’est la rotation de centre O et d’angle 180°, c’est-à-dire la symétrie centrale de centre O.
- La branche 5 est l’image de la branche 1 par une rotation de centre O. De plus, une rotation conserve les longueurs. La branche 5 mesure donc 3 cm.
- Pour 8 branches identiques, on partage 360° en 8 : \(360^\circ \div 8 = 45^\circ\). Nora doit faire tourner chaque branche de 45°.
Piège classique : donner l’angle sans le centre ni le sens. Une rotation n’est entièrement décrite qu’avec ses trois éléments.
Exercice 3 – Le pavage de losanges (5 points)
- Les losanges 1, 2 et 3 ont le sommet O en commun et remplissent le tour complet. Ainsi, l’angle de la rotation vaut \(360^\circ \div 3 = 120^\circ\). C’est la rotation de centre O, d’angle 120°, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
- En revanche, le losange 4 a exactement la même position dans son hexagone que le losange 1, sans avoir tourné. C’est la translation qui transforme O en O’.
- Autour de O, les trois losanges identiques ont chacun un angle au sommet O, et ces trois angles égaux font un tour complet : \(360^\circ \div 3 = 120^\circ\).
Un losange est un parallélogramme, donc deux angles consécutifs sont supplémentaires : \(180^\circ – 120^\circ = 60^\circ\).
Chaque losange a deux angles de 120° et deux angles de 60°. - Enfin, un hexagone est formé de 3 losanges de \(6\text{ cm}^2\) chacun : \(3 \times 6 = 18\). L’aire d’un hexagone est de \(18\text{ cm}^2\).
Exercice 4 – Vrai ou faux (3 points)
- Vrai, car une rotation conserve les longueurs.
- Faux, car une translation conserve les longueurs et les angles : l’image d’un carré est donc un carré de même taille.
- Faux : une rotation de 180° autour de O est la symétrie centrale de centre O, et non une symétrie axiale.
- Vrai, en effet \(360^\circ \div 5 = 72^\circ\).
Piège classique : confondre symétrie centrale et symétrie axiale. La première fait tourner la figure d’un demi-tour, tandis que la seconde la retourne.
Exercice 5 – La frise de la salle de bains (4 points)
- On convertit d’abord : \(2{,}40\text{ m} = 240\text{ cm}\). Puis \(240 \div 30 = 8\). Camille peut aligner 8 motifs.
- Chaque motif compte 2 carreaux, donc \(8 \times 2 = 16\). Il lui faut 16 carreaux.
- Deux boîtes ne contiennent que \(2 \times 6 = 12\) carreaux, ce qui ne suffit pas. Il faut donc 3 boîtes, soit 18 carreaux.
\(3 \times 9{,}50 = 28{,}50\)
Elle achète 3 boîtes et paie 28,50 €. - \(2{,}55\text{ m} = 255\text{ cm}\), et \(255 = 30 \times 8 + 15\). Elle pose 8 motifs complets, et il reste 15 cm sans frise.
Piège classique : répondre 2,67 boîtes. On ne peut pas acheter une fraction de boîte : il faut arrondir à l’entier supérieur.
À retenir de ce contrôle
- Une translation fait glisser une figure sans la tourner : on la décrit par le couple de points qui donne sa direction, son sens et sa longueur.
- Une rotation se décrit toujours par trois éléments : son centre, son angle et son sens, par exemple le sens inverse des aiguilles d’une montre.
- Dans une rosace à n branches identiques, on passe d’une branche à la suivante par une rotation d’angle égal à 360° divisé par n.
- Translations, rotations et symétries conservent les longueurs, les angles et les aires, donc deux motifs images l’un de l’autre sont superposables.
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