Cosinus d’un angle aigu : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « cosinus d’un angle aigu », question par question.
Cette correction suit toujours la même démarche, que tu peux réutiliser dans chaque exercice : repérer l’angle droit, nommer l’hypoténuse et le côté adjacent, écrire l’égalité du cosinus avec les lettres, puis remplacer par les valeurs. Elle montre aussi quand il faut multiplier par le cosinus et quand il faut diviser, selon la place de la longueur cherchée.
Pour les angles, la touche Arccos de la calculatrice est utilisée avec la valeur exacte du quotient. Les résultats intermédiaires gardent plusieurs décimales, afin d’obtenir un arrondi juste. Enfin, chaque exercice se termine par un barème détaillé et un piège fréquent pour t’aider à relire ta copie.
L’énoncé complet se trouve ici : Cosinus d’un angle aigu : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : cosinus d’un angle aigu
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Côté adjacent et hypoténuse | 3 points |
| 2. Calculer une longueur | 4 points |
| 3. Calculer un angle | 4 points |
| 4. La rampe de la médiathèque | 4 points |
| 5. Le toboggan du square | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : cosinus d’un angle aigu
Exercice 1 – Côté adjacent et hypoténuse (3 points)
- Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) : l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, c’est \([BC]\).
Ensuite, le côté adjacent à \(\widehat{ABC}\) est le côté de l’angle qui n’est pas l’hypoténuse : c’est \([AB]\).
\(\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}\) - Le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\), donc son hypoténuse est \([RT]\).
Les côtés de l’angle \(\widehat{RTS}\) sont \([TR]\) et \([TS]\), donc le côté adjacent est \([ST]\).
\(\cos \widehat{RTS} = \dfrac{ST}{RT}\) et \(\cos \widehat{SRT} = \dfrac{RS}{RT}\)
Piège classique : dans la figure 2, le triangle est incliné. En effet, on ne cherche pas le côté « du bas » : on repère d’abord l’angle droit, puis l’hypoténuse en face de lui.
Exercice 2 – Calculer une longueur (4 points)
- Dans le triangle \(DEF\) rectangle en \(E\), \([DF]\) est l’hypoténuse. De plus, \([DE]\) est le côté adjacent à \(\widehat{EDF}\).
\(\cos \widehat{EDF} = \dfrac{DE}{DF}\), donc \(\cos 35^\circ = \dfrac{DE}{8}\).
\(DE = 8 \times \cos 35^\circ\)
\(DE \approx 6{,}553\)
\(DE \approx 6{,}6\text{ cm}\) - Dans le triangle \(KLM\) rectangle en \(L\), \([KM]\) est l’hypoténuse. Ensuite, \([KL]\) est le côté adjacent à \(\widehat{LKM}\).
\(\cos \widehat{LKM} = \dfrac{KL}{KM}\), donc \(\cos 50^\circ = \dfrac{4{,}5}{KM}\).
\(KM = \dfrac{4{,}5}{\cos 50^\circ}\)
\(KM \approx 7{,}001\)
\(KM \approx 7{,}0\text{ cm}\)
Piège classique : dans la question b, écrire \(KM = 4{,}5 \times \cos 50^\circ\). Or la longueur cherchée est au dénominateur, donc on divise par le cosinus. Contrôle aussi que l’hypoténuse doit être plus longue que le côté adjacent.
Exercice 3 – Calculer un angle (4 points)
- Dans le triangle \(PQR\) rectangle en \(Q\), \([PR]\) est l’hypoténuse. Ensuite, \([PQ]\) est le côté adjacent à \(\widehat{QPR}\).
\(\cos \widehat{QPR} = \dfrac{PQ}{PR} = \dfrac{5}{13}\)
Puis, avec la touche \(\cos^{-1}\) (ou Arccos) de la calculatrice : \(\widehat{QPR} \approx 67{,}38^\circ\).
\(\widehat{QPR} \approx 67^\circ\) -
- Dans le triangle \(GHI\) rectangle en \(H\), \([GI]\) est l’hypoténuse. Ensuite, \([GH]\) est le côté adjacent à \(\widehat{HGI}\).
\(\cos \widehat{HGI} = \dfrac{GH}{GI} = \dfrac{7{,}2}{9} = 0{,}8\)
\(\widehat{HGI} \approx 36{,}87^\circ\), donc \(\widehat{HGI} \approx 37^\circ\). - La somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\), et comme \(\widehat{GHI} = 90^\circ\), les deux angles aigus sont complémentaires.
\(\widehat{GIH} \approx 90^\circ – 36{,}87^\circ = 53{,}13^\circ\)
\(\widehat{GIH} \approx 53^\circ\)
- Dans le triangle \(GHI\) rectangle en \(H\), \([GI]\) est l’hypoténuse. Ensuite, \([GH]\) est le côté adjacent à \(\widehat{HGI}\).
Piège classique : une calculatrice réglée en radians donne 1,18 au lieu de 67. Vérifie donc que le mode degrés est activé avant de commencer.
Exercice 4 – La rampe de la médiathèque (4 points)
- Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\), \([AC]\) est l’hypoténuse. Ensuite, \([AB]\) est le côté adjacent à \(\alpha\).
\(\cos \alpha = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{5{,}97}{6} = 0{,}995\)
\(\alpha \approx 5{,}73^\circ\), soit \(\alpha \approx 5{,}7^\circ\).
Comme \(5{,}7^\circ > 5^\circ\), la rampe ne respecte pas le cahier des charges : elle est trop pentue. - Appelons \(L\) la longueur de la nouvelle rampe : c’est l’hypoténuse. De plus, la distance horizontale de 8 m est le côté adjacent à l’angle de \(4{,}5^\circ\).
\(\cos 4{,}5^\circ = \dfrac{8}{L}\)
\(L = \dfrac{8}{\cos 4{,}5^\circ}\)
\(L \approx 8{,}0247\)
La nouvelle rampe mesure environ 8,02 m.
Exercice 5 – Le toboggan du square (5 points)
- Dans le triangle \(TGH\) rectangle en \(H\), \([TG]\) est l’hypoténuse. Ensuite, \([HG]\) est le côté adjacent à \(\widehat{TGH}\).
\(\cos 40^\circ = \dfrac{HG}{4{,}2}\)
\(HG = 4{,}2 \times \cos 40^\circ\)
\(HG \approx 3{,}2174\)
\(HG \approx 3{,}22\text{ m}\) - Le triangle \(TGH\) est rectangle en \(H\), donc d’après le théorème de Pythagore :
\(TG^2 = TH^2 + HG^2\)
\(TH^2 = 4{,}2^2 – HG^2 \approx 17{,}64 – 3{,}22^2\)
\(TH^2 \approx 17{,}64 – 10{,}3684 = 7{,}2716\)
\(TH \approx \sqrt{7{,}2716} \approx 2{,}697\)
Le toboggan mesure environ 2,70 m de haut. (Avec la valeur non arrondie de \(HG\), on obtient \(2{,}6997\). Ainsi, l’arrondi est le même.) - La glissière mesure toujours 4,2 m (hypoténuse), et \(HG = 3\text{ m}\) est le côté adjacent à l’angle en \(G\).
\(\cos \widehat{TGH} = \dfrac{3}{4{,}2}\)
\(\widehat{TGH} \approx 44{,}4^\circ\), soit environ \(44^\circ\).
Comme \(44^\circ < 45^\circ\), le projet d’Ilyes est acceptable, mais tout juste.
Piège classique : arrondir \(HG\) à 3,2 m avant de l’utiliser en question b. Il vaut mieux garder au moins deux décimales dans les calculs intermédiaires, puis arrondir seulement à la fin.
À retenir de ce contrôle
- Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au côté adjacent à cet angle divisé par l’hypoténuse.
- Si la longueur cherchée est le côté adjacent, on multiplie l’hypoténuse par le cosinus ; si c’est l’hypoténuse, on divise par le cosinus.
- Pour trouver un angle, on calcule son cosinus puis on utilise la touche Arccos de la calculatrice réglée en degrés.
- Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires : leur somme vaut 90 degrés.
- On garde plusieurs décimales dans les calculs intermédiaires et on arrondit seulement le résultat final.
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