Réciproque du théorème de Pythagore : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « réciproque du théorème de Pythagore », question par question.
Chaque démonstration de cette correction suit la même rédaction modèle : on nomme le plus long côté, on calcule les deux membres séparément, puis on compare avant de citer la bonne propriété. Tu verras ainsi clairement quand employer la réciproque et quand employer la contraposée.
La figure de l’exercice 3 est redessinée avec la longueur calculée et l’angle droit démontré, pour visualiser l’enchaînement entre le théorème et sa réciproque. Le barème détaillé montre que la conclusion rédigée rapporte des points à elle seule. Relis ta copie en vérifiant d’abord l’ordre de tes étapes, puis tes carrés de nombres décimaux, source fréquente d’erreurs de calcul.
L’énoncé complet se trouve ici : Réciproque du théorème de Pythagore : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : réciproque du théorème de Pythagore
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Rectangle ou pas ? | 4 points |
| 2. Un triangle trompeur | 3 points |
| 3. Deux triangles accolés | 5 points |
| 4. L’équerre du menuisier | 4 points |
| 5. La charpente de l’abri de jardin | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : réciproque du théorème de Pythagore
Exercice 1 – Rectangle ou pas ? (4 points)
- Le plus long côté est \([BC]\).
D’une part : \(BC^2 = 17^2 = 289\).
D’autre part : \(AB^2 + AC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\).
On constate que \(BC^2 = AB^2 + AC^2\). Ainsi, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). - Le plus long côté est \([DF]\).
D’une part : \(DF^2 = 12^2 = 144\).
D’autre part : \(DE^2 + EF^2 = 7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130\).
On constate que \(DF^2 \neq DE^2 + EF^2\). Donc, d’après le théorème de Pythagore (sa contraposée), le triangle \(DEF\) n’est pas rectangle. - Le plus long côté est \([GI]\).
D’une part : \(GI^2 = 2{,}9^2 = 8{,}41\).
D’autre part : \(GH^2 + HI^2 = 2^2 + 2{,}1^2 = 4 + 4{,}41 = 8{,}41\).
On constate que \(GI^2 = GH^2 + HI^2\). Ainsi, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(GHI\) est rectangle en \(H\).
Piège classique : écrire directement l’égalité \(17^2 = 8^2 + 15^2\) avant de l’avoir vérifiée. On calcule d’abord les deux membres séparément, puis on compare.
Exercice 2 – Un triangle trompeur (3 points)
- Le plus long côté est \([UW]\), qui mesure 7,6 cm. Si le triangle était rectangle, l’angle droit serait en \(V\), le sommet opposé à ce côté.
- \(UW^2 = 7{,}6^2 = 57{,}76\)
\(UV^2 + VW^2 = 4{,}5^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25\)
\(UW^2 = 57{,}76\) et \(UV^2 + VW^2 = 56{,}25\). - On constate que \(UW^2 \neq UV^2 + VW^2\). En effet, si le triangle était rectangle en \(V\), l’égalité de Pythagore serait vérifiée, mais ce n’est pas le cas. Le triangle \(UVW\) n’est donc pas rectangle : Mathéo a tort. Son angle en \(V\) est un peu plus grand qu’un angle droit, ce que l’œil ne peut pas voir.
Piège classique : conclure à partir de la figure ou d’une mesure au rapporteur. Seul le calcul permet de prouver qu’un triangle est ou n’est pas rectangle.
Exercice 3 – Deux triangles accolés (5 points)
- Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), d’hypoténuse \([AC]\). D’après le théorème de Pythagore :
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)
\(AC = \sqrt{169} = 13\)
\(AC = 13\text{ cm}\). - Dans le triangle \(ACD\), le plus long côté est \([AD]\).
D’une part : \(AD^2 = 16{,}25^2 = 264{,}0625\).
D’autre part : \(AC^2 + CD^2 = 13^2 + 9{,}75^2 = 169 + 95{,}0625 = 264{,}0625\).
On constate que \(AD^2 = AC^2 + CD^2\). Ainsi, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ACD\) est rectangle en \(C\).
- Les deux triangles sont rectangles, donc leur aire est la moitié du produit des côtés de l’angle droit.
\(\text{Aire}_{ABC} = \frac{AB \times BC}{2} = \frac{5 \times 12}{2} = 30\text{ cm}^2\)
\(\text{Aire}_{ACD} = \frac{AC \times CD}{2} = \frac{13 \times 9{,}75}{2} = \frac{126{,}75}{2} = 63{,}375\text{ cm}^2\)
\(\text{Aire}_{ABCD} = 30 + 63{,}375 = 93{,}375\)
L’aire du quadrilatère \(ABCD\) est \(93{,}375\text{ cm}^2\).
Piège classique : utiliser \(AC\) dans la question b sans l’avoir calculée, ou confondre les deux propriétés : le théorème sert à calculer une longueur, la réciproque à prouver un angle droit.
Exercice 4 – L’équerre du menuisier (4 points)
- Dans le triangle \(OMN\), le plus long côté est \([MN]\).
D’une part : \(MN^2 = 100^2 = 10\,000\).
D’autre part : \(OM^2 + ON^2 = 80^2 + 60^2 = 6\,400 + 3\,600 = 10\,000\).
On constate que \(MN^2 = OM^2 + ON^2\). Ainsi, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(OMN\) est rectangle en \(O\). Les deux planches sont perpendiculaires. - D’une part : \(MN^2 = 98^2 = 9\,604\).
D’autre part : \(OM^2 + ON^2 = 10\,000\).
On constate que \(MN^2 \neq OM^2 + ON^2\). Donc, d’après le théorème de Pythagore (sa contraposée), le triangle \(OMN\) n’est pas rectangle en \(O\). L’angle n’est pas droit : l’assemblage est à reprendre. - Pour que l’angle soit droit, le triangle doit être rectangle au coin, et le théorème de Pythagore donne :
\(MN^2 = 45^2 + 60^2 = 2\,025 + 3\,600 = 5\,625\)
\(MN = \sqrt{5\,625} = 75\)
Clotilde doit lire 75 cm entre ses deux repères.
Exercice 5 – La charpente de l’abri de jardin (4 points)
- \(H\) est le milieu de \([BC]\) donc \(BH = 9{,}6 \div 2 = 4{,}8\text{ m}\).
Le triangle \(ABH\) est rectangle en \(H\), d’hypoténuse \([AB]\). D’après le théorème de Pythagore :
\(AB^2 = BH^2 + AH^2 = 4{,}8^2 + 3{,}6^2 = 23{,}04 + 12{,}96 = 36\)
\(AB = \sqrt{36} = 6\)
L’arbalétrier \([AB]\) mesure 6 m. - Dans le triangle \(BEH\), le plus long côté est \([BH]\).
D’une part : \(BH^2 = 4{,}8^2 = 23{,}04\).
D’autre part : \(BE^2 + HE^2 = 3{,}84^2 + 2{,}88^2 = 14{,}7456 + 8{,}2944 = 23{,}04\).
On constate que \(BH^2 = BE^2 + HE^2\). Ainsi, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(BEH\) est rectangle en \(E\). La contrefiche \([HE]\) est bien perpendiculaire à l’arbalétrier \([AB]\). - Par symétrie, on sait que \(AC = AB = 6\text{ m}\) et \(HF = HE = 2{,}88\text{ m}\).
\(6 + 6 + 9{,}6 + 3{,}6 + 2{,}88 + 2{,}88 = 30{,}96\)
Il faut 30,96 m de bois pour fabriquer cette ferme.
Piège classique : prendre \(BC = 9{,}6\text{ m}\) comme côté du triangle \(ABH\) au lieu de sa moitié \(BH = 4{,}8\text{ m}\).
À retenir de ce contrôle
- Si le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle au sommet opposé à ce côté.
- Si le carré du plus long côté est différent de la somme des carrés des deux autres, le triangle n’est pas rectangle.
- On calcule toujours les deux membres séparément avant de les comparer ; on n’écrit jamais l’égalité à démontrer comme point de départ.
- Le théorème de Pythagore sert à calculer une longueur, sa réciproque sert à prouver qu’un angle est droit : il faut choisir selon la question.
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