Théorème de Pythagore et longueurs : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « théorème de Pythagore et longueurs », question par question.
Cette correction montre la rédaction attendue en 4ème : on cite le triangle rectangle et son angle droit, on écrit l’égalité de Pythagore, puis on remplace et on calcule. Chaque résultat est donné en valeur exacte, puis arrondi quand la racine carrée ne tombe pas juste.
Compare d’abord ta rédaction à celle du corrigé, car la phrase qui cite le théorème rapporte des points. Ensuite, refais les calculs qui ne correspondent pas, en contrôlant chaque carré. Le barème détaille les points de méthode et de résultat. Les encadrés « Piège classique » signalent enfin les erreurs typiques, comme additionner les carrés alors qu’on cherche un côté de l’angle droit.
L’énoncé complet se trouve ici : Théorème de Pythagore et longueurs : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : théorème de Pythagore et longueurs
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Repérer l’hypoténuse | 3 points |
| 2. Racines carrées | 3 points |
| 3. Calculer l’hypoténuse | 4 points |
| 4. Calculer un côté de l’angle droit | 4 points |
| 5. L’échelle et l’écran | 6 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : théorème de Pythagore et longueurs
Exercice 1 – Repérer l’hypoténuse (3 points)
- Le triangle ABC est rectangle en A, donc l’hypoténuse est le côté opposé à A. Hypoténuse [BC] : \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
- Ensuite, DEF est rectangle en F, alors l’hypoténuse est opposée à F. Hypoténuse [DE] : \(DE^2 = DF^2 + EF^2\).
- Enfin, KLM est rectangle en L : même tourné, le côté opposé à L reste l’hypoténuse. Hypoténuse [KM] : \(KM^2 = KL^2 + LM^2\).
Piège classique : prendre pour hypoténuse le côté horizontal ou le côté « du bas ». Seul compte l’angle droit : l’hypoténuse est toujours en face de lui.
Exercice 2 – Racines carrées (3 points)
- On cherche le nombre positif dont le carré est donné : \(7^2 = 49\), \(11^2 = 121\) et \(20^2 = 400\). \(\sqrt{49} = 7\) ; \(\sqrt{121} = 11\) ; \(\sqrt{400} = 20\).
- La calculatrice donne \(\sqrt{30} \approx 5{,}477\) et \(\sqrt{50} \approx 7{,}071\). \(\sqrt{30} \approx 5{,}5\) et \(\sqrt{50} \approx 7{,}1\) au dixième près.
- En effet, \(8^2 = 8 \times 8 = 64\) et 8 est positif. Le nombre cherché est 8, c’est-à-dire \(\sqrt{64}\).
Exercice 3 – Calculer l’hypoténuse (4 points)
- Le triangle RST est rectangle en S, donc d’après le théorème de Pythagore :
\(RT^2 = RS^2 + ST^2\)
\(RT^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
\(RT = \sqrt{100} = 10\)
RT mesure 10 cm. - De même, le triangle UVW est rectangle en V, donc d’après le théorème de Pythagore :
\(UW^2 = UV^2 + VW^2\)
\(UW^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74\)
\(UW = \sqrt{74} \approx 8{,}602\)
UW mesure \(\sqrt{74}\) cm, soit environ 8,6 cm.
Piège classique : écrire \(RT = 6 + 8 = 14\). On additionne les carrés, puis on prend la racine carrée, car les longueurs elles-mêmes ne s’ajoutent pas.
Exercice 4 – Calculer un côté de l’angle droit (4 points)
- Le triangle GHI est rectangle en H, donc son hypoténuse est [GI]. D’après le théorème de Pythagore :
\(GI^2 = GH^2 + HI^2\)
\(13^2 = 5^2 + HI^2\), soit \(169 = 25 + HI^2\)
\(HI^2 = 169 – 25 = 144\)
\(HI = \sqrt{144} = 12\)
HI mesure 12 cm. - Ici, le triangle PQR est rectangle en Q, donc son hypoténuse est [PR]. D’après le théorème de Pythagore :
\(PR^2 = PQ^2 + QR^2\)
\(9^2 = 4^2 + QR^2\), soit \(81 = 16 + QR^2\)
\(QR^2 = 81 – 16 = 65\)
\(QR = \sqrt{65} \approx 8{,}062\)
QR mesure \(\sqrt{65}\) cm, soit environ 8,1 cm.
Piège classique : additionner \(13^2 + 5^2\) et trouver HI plus long que GI. Or un côté de l’angle droit est toujours plus court que l’hypoténuse, donc on soustrait.
Exercice 5 – L’échelle et l’écran (6 points)
- Le mur est vertical et le sol horizontal, donc le triangle HME est rectangle en M et son hypoténuse est l’échelle [HE]. D’après le théorème de Pythagore :
\(HE^2 = HM^2 + ME^2\)
\(6{,}5^2 = HM^2 + 2{,}5^2\), soit \(42{,}25 = HM^2 + 6{,}25\)
\(HM^2 = 42{,}25 – 6{,}25 = 36\)
\(HM = \sqrt{36} = 6\)
Le haut de l’échelle est à 6 m du sol. - On compare : \(6 < 6{,}3\). Non, l’échelle ainsi posée n’atteint pas la gouttière : il manque 30 cm.
- L’écran est un rectangle, donc sa diagonale forme avec la largeur et la hauteur un triangle rectangle. D’après le théorème de Pythagore, en notant d la diagonale :
\(d^2 = 80^2 + 45^2 = 6\,400 + 2\,025 = 8\,425\)
\(d = \sqrt{8\,425} \approx 91{,}79\)
La diagonale mesure environ 92 cm. - On convertit en pouces : \(91{,}79 \div 2{,}54 \approx 36{,}1\). L’écran fait environ 36 pouces, donc le vendeur a tort : ce n’est pas un 40 pouces.
Piège classique : multiplier par 2,54 au lieu de diviser. Un pouce étant plus long qu’un centimètre, le nombre de pouces doit être plus petit que le nombre de centimètres.
À retenir de ce contrôle
- Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
- L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est toujours le plus long côté du triangle rectangle.
- Pour trouver un côté de l’angle droit, on soustrait : le carré cherché vaut le carré de l’hypoténuse moins l’autre carré.
- On garde la valeur exacte avec la racine carrée, puis on arrondit à la fin seulement, en précisant l’unité.
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