QCM : Intégrales impropres en L2 de maths

Réponse C.

Une primitive de \(t^{-3/2}\) est \(-2t^{-1/2}\), qui tend vers 0 en \(+\infty\). Par conséquent, l’intégrale vaut \(0-(-2\times\frac{1}{2})=1\). Le piège 2 oublie d’évaluer la primitive en 4. La réponse \(\frac{1}{2}\) provient d’une primitive fausse, sans le facteur 2. Enfin, l’exposant \(\frac{3}{2}\) dépasse 1 : la divergence est donc exclue.

Réponse A.

Près de 0, l’exposant \(\frac{1}{2}\) est strictement inférieur à 1, donc l’intégrale converge. Une primitive est \(2\sqrt{t}\), qui tend vers 0 en 0. Ainsi l’intégrale vaut \(2\sqrt{9}=6\). Le piège 3 oublie le facteur 2 de la primitive. La réponse 18 multiplie 9 par 2 sans prendre la racine. Quant à la divergence, elle applique à 0 le critère valable en \(+\infty\).

Réponse D.

Il y a deux bornes impropres, qu’il faut traiter séparément. En 0, la convergence demande \(a<1\). En revanche, en \(+\infty\), elle demande \(a>1\). Ces deux conditions sont incompatibles, donc l’intégrale diverge toujours. Le piège \(a>1\) ne regarde que l’infini, tandis que \(a<1\) ne regarde que 0. Pour \(a=1\), les deux bornes divergent.

Réponse D.

L’intégrande est positive, car \(2+\sin t\geq 1\). De plus, elle est majorée par \(\frac{3}{t^2}\), dont l’intégrale converge en \(+\infty\). Le théorème de comparaison des fonctions positives conclut donc à la convergence, qui est d’ailleurs absolue. Le piège de la limite absente confond l’existence d’une limite du numérateur avec une condition de convergence, qui n’est jamais exigée.

Réponse C.

On pose \(u=-\ln t\), qui tend vers \(+\infty\) quand \(t\) tend vers 0. Ainsi \(\frac{\mathrm{d}t}{t}=-\mathrm{d}u\), et l’intégrale devient celle de \(u^{-b}\) sur \([\ln 2,+\infty[\). Elle converge donc si et seulement si \(b>1\). Le piège \(b<1\) applique la règle de Riemann en 0 alors que le changement de variable renvoie la borne à l’infini.

Réponse C.

En 0, on a \(1-\cos t\sim\frac{t^2}{2}\). Donc l’intégrande, positive, est équivalente à \(\frac{1}{2t}\), dont l’intégrale diverge en 0. Par conséquent, l’intégrale diverge. Le piège \(\frac{t}{2}\) divise par \(t\) au lieu de \(t^3\). La majoration par 2 ne donne rien, puisque \(\frac{2}{t^3}\) n’est pas intégrable en 0.

Réponse B.

La fonction \(F(x)=\int_a^x f\) admet une limite en \(+\infty\) si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy, qui porte sur toutes les tranches \([x,y]\) lointaines. La condition sur \([x,x+1]\) est trop faible : \(\frac{1}{t}\) la satisfait, et pourtant son intégrale diverge. De même, la limite nulle de \(f\) n’est ni nécessaire ni suffisante.

Réponse D.

On majore la valeur absolue : \(\left|\frac{\cos(2t)}{t^{3/2}}\right|\leq t^{-3/2}\), dont l’intégrale converge en \(+\infty\). Ainsi la fonction est intégrable sur \([1,+\infty[\), et l’intégrale converge absolument. Le piège de la semi-convergence vient d’un rapprochement hâtif avec \(\frac{\cos t}{t}\), où l’exposant vaut 1. La règle d’Abel fonctionne aussi, mais elle n’est pas nécessaire.

Réponse B.

On dérive \(t^{-1/2}\), ce qui donne \(-\frac{1}{2}t^{-3/2}\), et on intègre \(\cos t\) en \(\sin t\). La formule retranche l’intégrale du produit ; le signe moins se compense donc. Le crochet a une limite, et la nouvelle intégrale converge absolument : ainsi l’intégrale initiale converge. Le piège du signe moins oublie ce double signe négatif.

Réponse B.

La preuve repose sur une intégration par parties : il faut donc une primitive de \(f\) bornée et une fonction \(g\) monotone de limite nulle. Le piège « \(f\) bornée » est insuffisant, car \(f=1\) et \(g(t)=\frac{1}{t}\) donnent une intégrale divergente. Sans monotonie de \(g\), la conclusion peut aussi tomber, ce qui écarte la version où \(g\) tend seulement vers 0.

Réponse A.

On a \(t=u^2\), donc \(\mathrm{d}t=2u\,\mathrm{d}u\), et l’intégrale devient \(\int_0^{+\infty}2ue^{-u}\,\mathrm{d}u\). Or l’intégrale de \(ue^{-u}\) sur \([0,+\infty[\) vaut 1, par intégration par parties. Le résultat est donc 2. Le piège 1 oublie le facteur \(2u\) issu de la dérivée. La réponse \(\frac{1}{2}\) remplace \(\mathrm{d}t\) par \(\frac{\mathrm{d}u}{2\sqrt{u}}\).

Réponse A.

On écrit \(e^{-t^2}=\frac{1}{2t}\cdot 2te^{-t^2}\), puis on intègre par parties. Le crochet fournit \(\frac{e^{-x^2}}{2x}\), et l’intégrale restante, de \(\frac{e^{-t^2}}{2t^2}\), est négligeable devant lui. Par conséquent, le reste est équivalent à \(\frac{e^{-x^2}}{2x}\). Le piège \(\frac{e^{-x^2}}{x}\) perd le facteur \(\frac{1}{2}\). Quant à \(2xe^{-x^2}\), il dérive au lieu d’intégrer.