QCM : Normes et continuité dans R^n en L2 de maths
Ce QCM continuité L2 balaie la topologie de \(\mathbb{R}^n\) et les fonctions de plusieurs variables. Il démarre par le calcul des normes usuelles et la forme de leurs boules, puis passe aux constantes d’équivalence et aux suites de vecteurs. Viennent ensuite les ouverts et fermés, l’intérieur, l’adhérence et la frontière, ainsi que la reconnaissance d’un compact. Les dernières questions portent sur les lignes de niveau, les limites en \((0,0)\) et l’image continue d’un compact.
Réponds d’abord sans le cours, en dessinant au brouillon les parties du plan proposées. Ensuite, lis chaque explication : elle donne le chemin d’approche ou l’argument de continuité qui tranche. Elle signale aussi le piège visé, par exemple une partie bornée mais non fermée, ou une limite testée seulement le long des droites.
Les 12 questions
Question 1
Dans \(\mathbb{R}^3\), on prend \(u=(3,-4,0)\). On note \(N_1\), \(N_2\) et \(N_\infty\) les normes usuelles. Que vaut le triplet \(\big(N_1(u),N_2(u),N_\infty(u)\big)\) ?
- \((7,5,4)\)
- \((7,25,4)\)
- \((-1,5,4)\)
- \((7,5,3)\)
Réponse A.
La norme 1 additionne les valeurs absolues : \(3+4+0=7\). La norme 2 vaut \(\sqrt{9+16}=5\), et la norme infinie retient le plus grand module, soit 4. Le piège 25 oublie la racine carrée. Ensuite, \(-1\) additionne les coordonnées sans valeur absolue, alors qu’une norme est positive. Enfin, 3 prend la plus grande coordonnée au lieu du plus grand module.
Question 2
Quelle est la forme de la boule unité fermée de \(N_\infty\) dans le plan, où \(N_\infty(x,y)=\max(|x|,|y|)\) ?
- Un carré de côté 2, centré en l’origine, aux côtés parallèles aux axes
- Un carré de côté 2, centré en l’origine, aux diagonales portées par les axes
- Un disque de rayon 1, centré en l’origine
- Un carré de côté 1, centré en l’origine, aux côtés parallèles aux axes
Réponse A.
La condition \(\max(|x|,|y|)\leq 1\) équivaut à \(-1\leq x\leq 1\) et \(-1\leq y\leq 1\). On obtient donc le carré \([-1,1]^2\), de côté 2. Le carré posé sur la pointe, appelé losange, est la boule de \(N_1\). De même, le disque correspond à la norme euclidienne. Enfin, le côté 1 vient d’une confusion entre rayon et côté.
Question 3
Dans \(\mathbb{R}^n\), quelle est la plus petite constante \(c\) telle que \(N_1(u)\leq c\,N_\infty(u)\) pour tout vecteur \(u\) ? Il s’agit d’une équivalence des normes.
- \(c=\sqrt{n}\)
- \(c=1\)
- \(c=n^2\)
- \(c=n\)
Réponse D.
Chaque coordonnée vérifie \(|u_i|\leq N_\infty(u)\), donc la somme des \(n\) modules est au plus \(n\,N_\infty(u)\). De plus, le vecteur \((1,\ldots,1)\) donne l’égalité, ce qui rend la constante optimale. Le piège \(\sqrt{n}\) est la bonne constante entre \(N_2\) et \(N_\infty\). Quant à \(c=1\), il convient pour l’inégalité dans l’autre sens.
Question 4
On considère la suite de vecteurs \(w_k=\left(k\sin\frac{1}{k},\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right)\) de \(\mathbb{R}^2\). Vers quel point converge-t-elle ?
- \((0,e)\)
- \((1,e)\)
- \((1,1)\)
- \((0,1)\)
Réponse B.
En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Ainsi, une suite converge si et seulement si chaque coordonnée converge. D’une part, \(k\sin\frac{1}{k}\) tend vers 1, car \(\sin h\sim h\). D’autre part, \(\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\) tend vers \(e\). Le piège 0 fait tendre le sinus vers 0 en oubliant le facteur \(k\). Quant au 1, il vient de la forme indéterminée \(1^{\infty}\) mal traitée.
Question 5
Parmi ces parties de \(\mathbb{R}^2\), laquelle est un ouvert ?
- \(\{(x,y)\,:\,x\geq 0\}\)
- \(\{(x,y)\,:\,y=x^2\}\)
- \(\{(x,y)\,:\,xy>1\}\)
- \(]0,1[\times\{0\}\)
Réponse C.
La fonction \((x,y)\mapsto xy\) est continue, et la première partie est l’image réciproque de l’ouvert \(]1,+\infty[\). Elle est donc ouverte. En revanche, le demi-plan large et la parabole sont des images réciproques de fermés, donc fermés et non ouverts. Le piège du segment \(]0,1[\times\{0\}\) confond ouvert de \(\mathbb{R}\) et ouvert du plan : aucun disque n’y tient.
Question 6
Soit \(D\) le disque unité ouvert euclidien privé de l’origine. Quelle est la frontière de \(D\) ?
- Le cercle unité seul
- Le cercle unité réuni avec l’origine
- L’origine seule
- Le disque unité fermé
Réponse B.
L’adhérence de \(D\) est le disque fermé, car l’origine est limite de points de \(D\). Par ailleurs, \(D\) est ouvert, donc son intérieur est \(D\) lui-même. Par conséquent, la frontière est la différence des deux : le cercle unité et l’origine. Le piège du cercle seul oublie le trou en 0. Quant au disque fermé, c’est l’adhérence et non la frontière.
Question 7
Laquelle de ces parties du plan est compacte ?
- \(\{(x,y)\,:\,x^2+y^4\leq 1\}\)
- \(\{(x,y)\,:\,xy=1\}\)
- \(\{(x,y)\,:\,x^2+y^4<1\}\)
- \(\{(x,y)\,:\,x^2\leq 1\}\)
Réponse A.
En dimension finie, un compact est exactement une partie fermée et bornée. La première partie est fermée, comme image réciproque de \(]-\infty,1]\), et bornée car \(|x|\leq 1\) et \(|y|\leq 1\). L’hyperbole est fermée, mais elle n’est pas bornée. Ensuite, l’inégalité stricte donne une partie bornée et non fermée. Enfin, la bande verticale n’est pas bornée en \(y\).
Question 8
On pose \(g(x,y)=x^2-y^2\). À quoi ressemble la ligne de niveau 0 de \(g\) ?
- Le seul point \((0,0)\), comme pour \(x^2+y^2\)
- La réunion des deux droites d’équations \(y=x\) et \(y=-x\)
- Une hyperbole formée de deux branches disjointes
- La seule droite d’équation \(y=x\)
Réponse B.
On résout \(x^2-y^2=0\), c’est-à-dire \((x-y)(x+y)=0\). Donc la ligne de niveau est formée des deux bissectrices, qui se coupent à l’origine. Le piège du point isolé correspond à \(x^2+y^2=0\), où les carrés s’ajoutent. Les niveaux non nuls, eux, donnent bien des hyperboles à deux branches. Enfin, garder la seule droite \(y=x\) oublie le facteur \(x+y\).
Question 9
On définit \(h(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}\) hors de l’origine. Que dire de la limite en \((0,0)\) ?
- Elle vaut 0, car \(h\) est nulle sur les deux axes
- Elle vaut \(\frac{1}{2}\), valeur obtenue sur la droite \(y=x\)
- Elle vaut 0, car le numérateur tend vers 0
- Elle n’existe pas : on trouve 0 sur les axes et \(\frac{1}{2}\) sur \(y=x\)
Réponse D.
Sur l’axe des abscisses, \(h(x,0)=0\). Cependant, \(h(t,t)=\frac{t^2}{2t^2}=\frac{1}{2}\) pour tout \(t\) non nul. Deux chemins vers l’origine donnent donc deux valeurs différentes, et la limite n’existe pas. Le piège des axes ne teste que deux directions. Quant au numérateur qui tend vers 0, il ne suffit pas, car le dénominateur tend aussi vers 0.
Question 10
Prolongée par 0 en \((0,0)\), laquelle de ces fonctions est continue sur \(\mathbb{R}^2\) ?
- \(\dfrac{y^2}{x^2+y^2}\)
- \(\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}\)
- \(\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\)
- \(\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
Réponse C.
Comme \(x^2\leq x^2+y^2\), on a \(\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\leq|y|\), qui tend vers 0. Ainsi, cette fonction est continue en l’origine. Le quotient \(\frac{y^2}{x^2+y^2}\) vaut 1 sur l’axe des ordonnées, et \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) vaut 1 ou \(-1\) selon l’axe. Enfin, \(\frac{x^2y}{x^4+y^2}\) est un piège plus fin : il vaut \(\frac{1}{2}\) le long de la parabole \(y=x^2\).
Question 11
Soit \(\phi(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}\) hors de l’origine. Sa restriction à toute droite passant par \((0,0)\) tend vers 0. Que vaut \(\phi(t,t^2)\), et quelle conclusion en tirer pour la limite en \((0,0)\) ?
- \(0\), donc \(\phi\) tend vers 0 en \((0,0)\)
- \(\frac{1}{2}\), mais \(\phi\) tend vers 0 grâce aux droites
- \(1\), donc \(\phi\) n’a pas de limite en \((0,0)\)
- \(\frac{1}{2}\), donc \(\phi\) n’a pas de limite en \((0,0)\)
Réponse D.
On calcule \(\phi(t,t^2)=\frac{t^4}{t^4+t^4}=\frac{1}{2}\) pour \(t\) non nul. Or, sur chaque droite, la limite vaut 0. Deux chemins donnent donc deux limites, et \(\phi\) n’a pas de limite à l’origine. Le piège principal consiste à croire que toutes les droites suffisent. En effet, une parabole échappe à ce test. Le piège 1 oublie le facteur 2 du dénominateur.
Question 12
On pose \(f(x,y)=x+y\) sur le cercle unité euclidien \(C\). Pourquoi \(f\) atteint-elle un maximum sur \(C\), et quel est-il ? On utilise l’image continue d’un compact.
- \(C\) est compact et \(f\) continue ; maximum 2
- \(C\) est compact et \(f\) continue ; maximum 1
- \(C\) est compact et \(f\) continue ; maximum \(\sqrt{2}\)
- \(C\) est ouvert et \(f\) continue ; maximum \(\sqrt{2}\)
Réponse C.
Le cercle est fermé et borné, donc compact. Par conséquent, la fonction continue \(f\) y est bornée et atteint ses bornes. Avec \(x=\cos\theta\) et \(y=\sin\theta\), on obtient \(f=\sqrt{2}\cos\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)\), de maximum \(\sqrt{2}\). Le piège 2 additionne les maxima de \(x\) et de \(y\), atteints en des points différents. De plus, le cercle n’est pas ouvert.
Pour aller plus loin
- Revoir la leçon : cours de L2 de maths sur normes et continuité dans R^n
- S’exercer : exercices corrigés sur normes et continuité dans R^n
- QCM précédent : QCM : Groupes et théorème de Lagrange en L2 de maths
- QCM suivant : QCM : Différentielle et jacobienne en L2 de maths
- Tous les chapitres : le sommaire de la L2 de maths
