Module, argument et similitudes : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : module, argument et similitudes

Le sujet du contrôle : module, argument et similitudes

Exercice 1 – Angle moitié (3 points)

Dans cet exercice, \(\theta\) désigne un réel. La figure illustre la construction du point d’affixe \(1 + \mathrm{e}^{i\theta}\) : le parallélogramme construit sur \(1\) et \(\mathrm{e}^{i\theta}\) est un losange, dont la diagonale partage l’angle \(\theta\) en deux.

1. Pour \(\theta \in \left]-\pi, \pi\right[\), montrer que \(1 + \mathrm{e}^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\mathrm{e}^{i\theta/2}\). En déduire le module et un argument de \(1 + \mathrm{e}^{i\theta}\). (1 point)
2. Déterminer ensuite le module et un argument de \(1 + \mathrm{e}^{i\theta}\) lorsque \(\theta \in \left]\pi, 3\pi\right[\). (0,5 point)
3. En déduire la forme algébrique de \(\left(1 + \mathrm{e}^{i\pi/3}\right)^6\). (0,5 point)
4. Pour deux réels \(a\) et \(b\), établir enfin l’égalité \(\mathrm{e}^{ia} – \mathrm{e}^{ib} = 2i\sin\left(\frac{a – b}{2}\right)\mathrm{e}^{i(a+b)/2}\). (1 point)

Exercice 2 – Racines quatrièmes d’un complexe (4 points)

On pose \(w = -8 + 8i\sqrt{3}\) et l’on étudie l’équation \(z^4 = w\), d’inconnue complexe \(z\).

1. Écrire d’abord \(w\) sous forme exponentielle. (0,5 point)
2. Résoudre l’équation \(z^4 = w\) et donner ses solutions sous forme exponentielle. On les notera \(z_0\), \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) par argument croissant dans \(\left[0, 2\pi\right[\). (1 point)
3. Donner ensuite la forme algébrique de chacune des quatre solutions. (1 point)
4. Montrer ainsi que leurs images forment un carré, puis calculer son aire. (0,5 point)
5. Sans développer, calculer la somme \(z_0 + z_1 + z_2 + z_3\) et le produit \(z_0 z_1 z_2 z_3\). On pourra exprimer chaque \(z_k\) à l’aide de \(z_0\) et d’une racine quatrième de l’unité. (1 point)

Exercice 3 – Sommes trigonométriques (4 points)

Dans cet exercice, \(n\) est un entier naturel non nul et \(t\) un réel. On utilisera librement les résultats de l’exercice 1.

1. Pour \(t \in \left]0, 2\pi\right[\), montrer que \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \mathrm{e}^{ikt} = \mathrm{e}^{int/2}\,\frac{\sin\left(\frac{(n+1)t}{2}\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}\). (1,5 point)
2. En déduire une expression factorisée de \(\displaystyle C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos(kt)\). (0,5 point)
3. Pour \(t \in \left]-\pi, \pi\right[\), on pose maintenant \(\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\cos(kt)\). Calculer \(B_n\) en reconnaissant la partie réelle d’une puissance. (1,5 point)
4. On choisit enfin \(t = \frac{2\pi}{3}\). Montrer que la suite \((B_n)\) est alors périodique et préciser sa période. (0,5 point)

Exercice 4 – Une similitude directe (3 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère l’application \(f\) qui, au point d’affixe \(z\), associe le point d’affixe \(2iz + 3 – i\). La figure place aussi les points \(\Omega\) et \(A\) d’affixes \(1 + i\) et \(2 + i\).

1. Montrer que \(f\) admet un unique point fixe, puis préciser la nature de \(f\), son centre, son rapport et son angle. (1,5 point)
2. Calculer l’affixe de \(A^{\prime} = f(A)\). Démontrer ensuite que le triangle \(\Omega A A^{\prime}\) est rectangle en \(\Omega\), puis calculer son aire. (1 point)
3. Déterminer pour finir l’expression complexe de \(f \circ f\) et reconnaître cette transformation. (0,5 point)

Exercice 5 – Problème : un carré dans le plan complexe (6 points)

On considère l’équation \((E) : z^2 – (3 + i)z + 4 + 3i = 0\), d’inconnue complexe \(z\). Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct d’origine \(O\), on associe ensuite des points à ses solutions.

1. Calculer le discriminant de \((E)\), puis déterminer ses racines carrées. Résoudre alors \((E)\). On notera \(b\) la solution de partie imaginaire négative et \(c\) l’autre, puis \(B\) et \(C\) les points d’affixes \(b\) et \(c\). (1,5 point)
2. Calculer \(\frac{c}{b}\) et en déduire alors la nature du triangle \(OBC\). (1 point)
3. Soit ensuite \(D\) le point d’affixe \(d = b + c\). Justifier que \(OBDC\) est un carré. (0,5 point)
4. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe \(s\) de centre \(O\) qui envoie \(B\) sur \(D\). Préciser alors son rapport et son angle. (1 point)
5. Soit \(\Gamma\) l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z \neq c\) tels que \(\frac{z – b}{z – c}\) soit imaginaire pur. Montrer que \(\Gamma\) est le cercle de diamètre \([BC]\) privé du point \(C\), et donner son centre et son rayon. Vérifier enfin par un calcul que \(O\) et \(D\) appartiennent à \(\Gamma\). (1,5 point)
6. Calculer \((1 + i)^8\). Que peut-on alors conclure pour la transformation \(s \circ s \circ \cdots \circ s\), qui compose huit exemplaires de \(s\) ? (0,5 point)

Réviser module, argument et similitudes avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours complexes ; entraînez-vous sur les exercices complexes avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en MPSI regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.

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