Étude locale, tangentes et asymptotes : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : étude locale, tangentes et asymptotes

Le sujet du contrôle : étude locale, tangentes et asymptotes

Exercice 1 – Développements limités d’une composée et d’un quotient (4 points)

On considère les fonctions \(u\) et \(v\) définies au voisinage de 0, avec \(x \neq 0\) pour la seconde, par

\[u(x) = \sqrt{1 + 2\sin x} \quad \text{et} \quad v(x) = \frac{\tan x – x}{x^2\left(\mathrm{e}^{x} – 1\right)}.\]

1. Écrire, au voisinage de 0 et jusqu’au terme en \(x^3\), le développement de \(u\). (2 points)
2. Préciser d’abord à quels ordres il faut développer \(\tan x – x\) et \(\mathrm{e}^{x} – 1\), puis établir que \(v(x) = \frac{1}{3} – \frac{x}{6} + \frac{29}{180}x^2 + o\left(x^2\right)\). (2 points)

Exercice 2 – Deux formes indéterminées (3 points)

Déterminer les deux limites suivantes, en justifiant chaque développement utilisé.

1. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{\arctan x} – \frac{1}{\sin x}\right)\) (1,5 point)
2. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{\frac{1}{x\sin x}}\) (1,5 point)

Exercice 3 – Tangente et point d’inflexion (4 points)

On note \(f : x \mapsto \frac{\sin x}{1 + x^2}\), définie pour tout réel \(x\). Puisque \(f\) oscille en s’amortissant, la figure se limite à \(\left[-5\,;5\right]\) pour montrer sa représentation graphique \(\mathcal{C}_f\).

1. Justifier que \(f\) est impaire, puis déterminer son développement limité à l’ordre 4 en 0. (1,5 point)
2. En déduire l’équation réduite de la droite \(T\) qui touche \(\mathcal{C}_f\) en l’origine. Préciser ensuite, près de 0, de quel côté de \(T\) se trouve \(\mathcal{C}_f\), puis conclure. (1,5 point)
3. Grâce à Taylor-Young, déduire du développement les valeurs de \(f^{\prime\prime}(0)\) et de \(f^{\prime\prime\prime}(0)\). (1 point)

Exercice 4 – Deux asymptotes obliques (4 points)

On étudie la fonction \(g : x \mapsto \sqrt{x^2 + 3x}\;\mathrm{e}^{1/x}\), dont la courbe \(\mathcal{C}_g\) est représentée ci-dessous.

1. Déterminer d’abord l’ensemble de définition \(D_g\) de \(g\). (0,5 point)
2. En posant \(t = \frac{1}{x}\), montrer qu’au voisinage de \(+\infty\), \(g(x) = x + \frac{5}{2} + \frac{7}{8x} + o\left(\frac{1}{x}\right)\). (1,5 point)
3. En déduire alors une asymptote à \(\mathcal{C}_g\) en \(+\infty\), et dire de quel côté de cette droite se place la courbe. (1 point)
4. Traiter de même le voisinage de \(-\infty\), en prenant garde au signe de \(x\). (1 point)

Exercice 5 – Problème : une fonction prolongée en 0 (5 points)

Pour tout réel \(x > 0\), on pose \(F(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}\mathrm{e}^{-x}\).

1. Montrer qu’au voisinage de \(+\infty\), \(\ln F(x) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3x} – \frac{1}{4x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\). (1 point)
2. En déduire la limite de \(F\) en \(+\infty\), puis un développement de \(F(x)\) jusqu’au terme en \(\frac{1}{x^2}\). Interpréter enfin ce résultat graphiquement. (1,5 point)
3. Montrer ensuite que \(F\) se prolonge par continuité en 0 en posant \(F(0) = 1\). (1 point)
4. Démontrer que ce prolongement est dérivable en 0 et que \(F^{\prime}(0) = -1\). Établir ensuite que \(F(x) – (1 – x)\) est équivalent à \(-x^2 \ln x\) quand \(x\) tend vers 0 par valeurs positives, puis dire de quel côté de la droite \(y = 1 – x\) se situe alors la courbe. (1,5 point)

Réviser étude locale, tangentes et asymptotes avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours calculer un développement limité et étude locale ; entraînez-vous sur les exercices calculer un développement limité et étude locale avant de retenter le sujet.

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