Convergence d’intégrales impropres : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « convergence d’intégrales impropres », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur les intégrales impropres, au premier semestre de L2. Il s’ouvre sur la démonstration des critères des intégrales de Riemann, qui servent ensuite de référence. Vous établirez alors la nature de quatre intégrales de fonctions positives par comparaison aux bornes. Puis un exercice traite les intégrales de Bertrand, au voisinage de l’infini comme de 0. Vous calculerez aussi une intégrale par intégration par parties, en justifiant chaque limite aux bornes. Enfin, le problème étudie une intégrale semi-convergente, dont il majore le reste. Aucune intégrale ne dépend d’un paramètre.
Ce qu’évalue le contrôle : convergence d’intégrales impropres
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Intégrales impropres : critères de convergence (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Établir la nature des intégrales de Riemann en l’infini et en 0
- Déterminer la nature d’une intégrale de fonction positive par équivalent, domination ou négligeabilité
- Reconnaître et calculer des intégrales de Bertrand à l’aide d’une primitive
- Calculer une intégrale impropre par intégration par parties en justifiant les limites aux bornes
- Prouver qu’une intégrale converge sans converger absolument, puis majorer son reste
Avant de commencer le devoir
Pour chaque intégrale, repérez d’abord les bornes à problème, puis traitez-les séparément. Vérifiez ensuite le signe de la fonction, car les théorèmes de comparaison ne s’appliquent qu’aux fonctions positives. Avant une intégration par parties, travaillez sur un segment \([a, X]\) et calculez la limite du crochet avant de passer à la limite. Enfin, gardez du temps pour le problème, qui rapporte le plus de points.
Le sujet du contrôle : convergence d’intégrales impropres
Exercice 1 – Question de cours : les intégrales de Riemann (3 points)
Dans tout l’exercice, \(\alpha\) désigne un réel fixé.
- Calculer \(\int_1^X \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}}\) pour \(X > 1\), puis démontrer que \(\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\). Préciser alors sa valeur.
- Énoncer ensuite, sans démonstration, le critère analogue pour \(\int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}}\).
- Application. Montrer que la fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^{1/3}(1+t^2)}\) est intégrable sur \(]0, +\infty[\).
Exercice 2 – Quatre natures par comparaison (4,5 points)
Déterminer la nature de chacune des intégrales suivantes, en justifiant d’abord la continuité de la fonction et son signe au voisinage de chaque borne à problème.
- \(\int_1^{+\infty} \left(\sqrt{t^2 + 3} – t\right)\mathrm{d}t\)
- \(\int_0^1 \frac{\ln\left(1 + \sqrt{t}\right)}{t}\,\mathrm{d}t\)
- \(\int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}t}{(\sin t)^{2/3}}\)
- \(\int_1^{+\infty} t^5\,\mathrm{e}^{-\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\)
Exercice 3 – Autour des intégrales de Bertrand (4 points)
La figure compare, sur \([\mathrm{e}, 30]\), les fonctions \(t \mapsto \frac{1}{t \ln t}\) et \(t \mapsto \frac{1}{t (\ln t)^2}\). Elles sont très proches, et pourtant leurs intégrales en \(+\infty\) n’ont pas la même nature.
- Dériver \(t \mapsto \ln(\ln t)\) sur \(]1, +\infty[\). En déduire que \(\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t \ln t}\) diverge.
- Montrer de même que \(\int_{\mathrm{e}}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t (\ln t)^2}\) converge, puis calculer sa valeur.
- Par négligeabilité devant une fonction de Riemann bien choisie, déterminer la nature de \(\int_2^{+\infty} \frac{\ln t}{t^{3/2}}\,\mathrm{d}t\).
- Établir enfin la convergence de \(\int_0^{1/2} \frac{\mathrm{d}t}{t\,|\ln t|^3}\) et calculer sa valeur.
Exercice 4 – Un logarithme intégré par parties (4 points)
On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0, +\infty[\) par \(g(t) = \ln\left(1 + \frac{4}{t^2}\right)\), représentée ci-dessous, ainsi que l’intégrale \(K = \int_0^{+\infty} g(t)\,\mathrm{d}t\).
- Écrire \(g(t) = \ln(t^2 + 4) – 2\ln t\), puis montrer que \(g\) est intégrable au voisinage de \(0\).
- Donner un équivalent de \(g(t)\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\). En déduire que \(K\) converge.
- Pour \(0 < a < X\), intégrer par parties \(\int_a^X g(t)\,\mathrm{d}t\) en dérivant \(g\). Justifier ensuite que le crochet obtenu tend vers \(0\) quand \(a\) tend vers \(0\) et \(X\) vers \(+\infty\).
- En déduire la valeur exacte de \(K\).
Exercice 5 – Problème : une oscillation de plus en plus rapide (4,5 points)
On étudie \(I = \int_0^{+\infty} \cos\left(\mathrm{e}^{t}\right)\mathrm{d}t\). La fonction intégrée ne tend pas vers \(0\) en \(+\infty\) ; cependant, ses oscillations deviennent de plus en plus serrées, comme le montre la figure.
- À l’aide du changement de variable \(u = \mathrm{e}^{t}\), dont on vérifiera les hypothèses, montrer que \(I\) a la même nature que \(\int_1^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\,\mathrm{d}u\).
- Pour \(X > 1\), intégrer par parties \(\int_1^X \frac{\cos u}{u}\,\mathrm{d}u\). En déduire que cette intégrale converge en \(+\infty\), donc que \(I\) converge.
- En utilisant \(|\cos u| \geq \cos^2 u = \frac{1 + \cos(2u)}{2}\), montrer que \(\int_1^{+\infty} \frac{|\cos u|}{u}\,\mathrm{d}u\) diverge. Que peut-on dire alors de \(I\) ?
- Pour \(X \geq 1\), on pose \(R(X) = \int_X^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\,\mathrm{d}u\). Prouver que \(|R(X)| \leq \frac{2}{X}\). En déduire une majoration de \(\left|\int_A^{+\infty} \cos\left(\mathrm{e}^{t}\right)\mathrm{d}t\right|\) pour \(A \geq 0\).
Réviser convergence d’intégrales impropres avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours intégrales impropres ; entraînez-vous sur les exercices intégrales impropres avant de retenter le sujet.
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